专题01 相交线与平行线6大考点（期末真题汇编，广东专用）七年级数学下学期新教材人教版

**基本信息** 聚焦广东各地期末真题，以焰火晚会、共享单车等生活情境和动态几何探究为特色，全面覆盖相交线与平行线核心考点。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |选择/填空|约30题|对顶角、垂线、平行线判定与性质、平移、命题|汕头焰火晚会距离问题考查垂线段最短，共享单车角度计算应用平行线性质| |解答/压轴|约15题|角度证明、动态几何、多结论探究|点P运动中的角度关系探究（考点06），折纸实验验证平行（融入动手操作）|

专题01 相交线与平行线 高频考点概览 考点01相交线 考点02平行线的判定 考点03平行线的性质 考点04 平移 考点05 定义、命题与定理 考点06 相交线与平行线中的综合压轴题型 考点01 相交线 1.（24-25七年级下·广东广州·期末）下列日常使用的工具或学具中，没有应用到对顶角及其相关知识的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查对顶角．根据对顶角的定义以及画一条线段等于已知线段进行判断即可． 【详解】解：选项A，选项B，选项C中的工具，利用了对顶角相等， 而选项D利用的是“画一条线段等于已知线段”， 故选：D． 2．（24-25七年级下·广东广州·期末）如图，直线与相交于点，若，则等于（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据对顶角的性质证明，再根据求出答案即可． 本题主要考查了对顶角、邻补角，解题关键是熟练掌握对顶角的性质． 【详解】解：直线与相交于点， ， ， ∴ ∴， 故选：． 3．（24-25七年级下·广东中山·期末）光线从空气照射到水中会发生折射现象．如图，为入射光线，为折射光线，直线为水面，点A，O，C在同一条直线上．其中，，则__________． 【答案】 【分析】本题考查了对顶角相等，由对顶角相等可得，再结合图形计算即可得解，熟练掌握对顶角相等是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：， ∵， ∴， 故答案为：． 4.（23-24七年级下·广东广州·期末）如图，已知直线与直线相交于点，下列条件中不能说明的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查垂直定义，由选项中条件，结合垂直定义求解是解决问题的关键．由垂直定义、平角定义、对顶角及互补定义逐项验证即可得到答案． 【详解】解：A、由能说明，不符合题意； B、由，且，可得，能说明，不符合题意； C、由和是对顶角，则，不能说明，符合题意； D、由和是对顶角，则，当时，，能说明，不符合题意； 故选：C． 5.（24-25七年级下·广东广州·期末）已知直线相交于点O，如图所示，于点O，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是垂线、对顶角．根据对顶角相等求得，根据垂直的定义得到，据此解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 6．（24-25七年级下·广东清远·期末）如图，将平面镜放置在桌面上，光线经过平面镜反射形成光线．已知，，，则的度数为 ________ ． 【答案】/35度 【分析】本题考查垂直的定义，角的计算． 由垂直的定义得到，而，即可得到． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 7.（23-24七年级下·广东·期末）下列说法中，正确的个数有（    ）个 （1）两点之间的所有连线中，线段最短； （2）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； （3）同一平面内，两直线的位置关系是相交、平行和垂直 （4）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短； （5）直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离 A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题主要考查了两直线的位置关系，两点之间线段最短，点到直线的距离，垂线段最短等等，熟知相关知识是解题的关键． 【详解】解：（1）两点之间的所有连线中，线段最短，原说法正确； （2）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，原说法正确； （3）同一平面内，两直线的位置关系是相交或平行，原说法错误； （4）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，原说法正确； （5）直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离，原说法错误； ∴说法正确的有3个， 故选：B． 8.（24-25七年级下·广东汕头·期末）2025年1月30日(大年正月初二)晚上8点汕头在内海湾举办了“己如意 美美至汕”迎新春大型焰火晚会，吸引近50万观众现场观赏．市民小王也是现场观众之一，如图，他家住P处，观赏地点海滨路可以看成直线l，则小王赶往观赏地点的最近路线是线段，理由是_______． 【答案】垂线段最短 【分析】本题主要考查了垂线段的性质，从直线外一点到这条直线上各点所连线段中，垂线段最短． 【详解】解：直线外的点与直线上的点A、B、C、D的连线段中，是垂线段． 根据垂线段最短，小王赶往观赏地点的最近路线是线段． 故答案为：垂线段最短 9.（24-25七年级下·广东肇庆·期末）如图，是射线外的一点，，垂足为，，是射线上一个动点，则线段的长度不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查垂线段的性质，根据直线外一点和直线上点的连线中，垂线段最短的性质，可得答案． 【详解】解：由题意知，为点P到的垂线段， ， 线段的长度不可能是3， 故选A． 10.（24-25七年级下·广东江门·期中）如图，要把河中的水引到水池中，应在河岸处开始挖渠才能使水渠的长度最短，这一做法蕴含的数学原理是（   ） A．两点之间，线段最短 B．经过一点有无数条直线 C．两点确定一条直线 D．垂线段最短 【答案】D 【分析】本题考查垂线段的性质：垂线段最短，熟练掌握垂线段最短是解题的关键． 根据垂线段的性质：垂线段最短进行解答． 【详解】解：要把河中的水引到水池中，应在河岸处开始挖渠才能使水渠的长度最短，这一做法蕴含的数学原理是：垂线段最短， 故选：D． 11.（24-25七年级下·广东·期末）学源于生活，用于生活，我们要会“用数学的眼光观察现实世界，用数学的思维思考现实世界，用数学的语言表达现实世界”．下列生活场景中，用到“垂线段最短”这一数学原理的是（   ） A．打靶瞄准 B．拉绳插秧 C．跳远测量成绩 D．弯曲河道改直 【答案】C 【分析】本题主要考查了两点确定一条直线，垂线段最短，两点之间线段最短，根据线段的性质，直线的性质和垂线段最短分别判断即可． 【详解】解：A、打靶瞄准用到的是两点确定一条直线，不符合题意； B、拉绳插秧用到的是两点确定一条直线，不符合题意； C、跳远测量成绩用到的是“垂线段最短”，符合题意； D、弯曲河道改直用到的是两点之间，线段最短，不符合题意； 故选：C． 12.（24-25七年级下·广东广州·期末）如图，直线外一点O，点C、D、E、F都在直线AB上，则点O到直线的距离是（    ） A．线段的长度 B．线段的长度 C．线段的长度 D．线段的长度 【答案】B 【分析】本题考查点到直线的距离，即从直线外一点到这条线所画的垂直线段最短，它的长度叫做这个点到直线的距离．根据点到直线的距离的概念即可得解． 【详解】解：∵， ∴根据点到直线的距离的概念可得：点O到直线的距离是线段的长度； 故选：B． 13.（24-25七年级下·广东广州·期末）如图，P是直线l外一点，点A，B，C在直线l上，，垂足为B，，，，则点P到直线l的距离是______． 【答案】3 【分析】本题主要考查了点到直线的距离，解题关键是熟练掌握从直线外一点作直线的垂线，这点到垂足间的垂线段长度叫点到直线的距离． 根据点到直线的距离的定义求解即可． 【详解】解：∵，， ∴点P到直线l的距离是3， 故答案为：3． 14.（23-24七年级下·广东广州·期末）直线l上有三点A，B，C，点P为直线l外一点，若，，，点P到直线l的距离为，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了点到直线的距离，熟记点到直线的距离的定义是解题的关键． 根据“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，这条垂线段的长度，叫做点到直线的距离”进行解答． 【详解】，，， 最短， 直线外一点到直线上各点的所有线中，垂线段最短， 点P到直线l的距离不大于，即． 故选：D． 15．（24-25七年级下·广东珠海·期末）为了测量村庄是否对河道施工有影响，需测量村庄到河道的距离．某测绘队（点）沿河道规划路线进行测量，如图，测量角度与线段的长度如表所示，则村庄到河道的距离为______米． 的度数/度 52.3 69.5 90 93 105.8 117.8 的长度/米 693 586 549 552 570 620 【答案】549 【分析】本题考查的是点到直线的距离，理解题意是解本题的关键．由表格信息可得当时，即可得到答案. 【详解】解：根据点到直线的距离可得：村庄A到河道的距离为549米， 故答案为：549 16.（24-25七年级下·甘肃兰州·期中）如图，下列结论不正确的是（　　） A．与是内错角 B．与是同位角 C．与是内错角 D．与是同旁内角 【答案】B 【分析】本题考查对顶角、同位角、内错角、同旁内角，解题的关键根据对顶角、同位角、内错角、同旁内角的定义依次对各选项逐一分析即可作出判断． 【详解】解：A. 与是内错角，故该选项正确，不符合题意； B. 与不是同位角，故该选项不正确，符合题意； C. 与是内错角，故该选项正确，不符合题意； D. 与是同旁内角，故该选项正确，不符合题意； 故选：B． 17.（23-24七年级下·广东·期末）如图，下列说法错误的是（   ） A．与是同旁内角 B．与是同位角 C．与是内错角 D．与是对顶角 【答案】D 【分析】本题考查的知识点是同旁内角、同位角、内错角、对顶角的定义，解题关键是熟练掌握同旁内角、同位角、内错角、对顶角的定义．根据同旁内角、同位角、内错角、对顶角的定义对选项进行逐一判断即可求解． 【详解】解：．与是同旁内角，说法正确，不符合题意，选项错误； ．与是同位角，说法正确，不符合题意，选项错误； ．与是内错角，说法正确，不符合题意，选项错误； ．与不是对顶角，是邻补角，说法错误，符合题意，选项正确． 故选：． 18.（23-24七年级下·广东潮州·期末）英文字母中，存在同位角、内错角、同旁内角（不考虑字母宽度），下列字母中含同旁内角最多的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了同位角、内错角、同旁内角，同位角的边构成“F”形，内错角的边构成“Z”形，同旁内角的边构成“U”形．两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角．根据同旁内角的定义进行选择即可． 【详解】解：A．字母A中含有4对同旁内角； B．字母F中含有1对同旁内角； C．字母M中含有0对同旁内角； D．字母Z中含有0对同旁内角； 故选：A 19.（25-26七年级上·广东广州·期末）如图，已知直线与直线相交于点，，． (1)则； (2)若平分，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查对顶角、邻补角、角平分线的性质，正确的识图和推理是解决问题的关键． （1）由对顶角的概念可知； （2）由邻补角及角分线的性质可得，再根据计算即可． 【详解】（1）由题可知，（对顶角相等）； 故答案为：； （2）， ， 平分， ， ． 20.（24-25七年级下·广东珠海·期末）如图，直线，相交于点于点． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查垂直的定义，对顶角性质，角的和差． （1）由垂直的定义得到，由对顶角相等得到，从而根据角的和差即可求解； （2）设，则，根据列出方程，求解得到，根据邻补角即可求解． 【详解】（1）解：， ， ； ； （2）解：∵， ∴设，则， ∵， ， 解得：， ， ． 21.（24-25七年级下·广东广州·期末）如图，直线相交于点O，过点O作，且平分，． (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了角平分线的定义，垂线，角的计算，对顶角、邻补角，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． （1）根据角平分线的定义和对顶角相等证明即可； （2）根据垂直定义可得，从而可得，然后利用角平分线的定义可得，再利用平角定义进行计算，即可解答． 【详解】（1）证明：平分， ， ， ， ； （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 22.（24-25七年级下·广东阳江·期末）如图，，，，垂足为． (1)___________． (2)求的度数． 【答案】(1)60 (2) 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，垂直的定义，对顶角相等，解题的关键是掌握以上知识点． （1）根据对顶角相等求解即可； （2）首先求出，然后根据得到，进而求解即可． 【详解】（1）∵ ∴； （2）， ， ， ， ， ， 考点02 平行线的判定 1.（24-25七年级下·广东汕头·期末）如图，下列条件中能判断直线的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】题目主要考查平行线的判定，熟练掌握平行线的判定的条件是解题关键，根据平行线的判定依次判断即可． 【详解】解：，不能判断，故选项A不符合题意； ∵，且当时，， ∴当时，，故选项B不符合题意； ∵，，不能判断，故选项C不符合题意； 与是直线和被第三条直线所截形成的同旁内角，且， 能判断，选项D正确． 故答案为：D． 2.（24-25七年级下·广东云浮·期末）将一副三角尺按如图所示的方式摆放在桌面上，能够判定的依据是（   ） A．内错角相等，两直线平行 B．两直线平行，内错角相等 C．同位角相等，两直线平行 D．两直线平行，同旁内角互补 【答案】A 【分析】本题考查平行线的判定．根据内错角相等，两直线平行，作答即可． 【详解】解：由图可知：， ∴（内错角相等，两直线平行）； 故选：A． 3.（24-25七年级下·广东湛江·期末）如图，其中能判定的条件是(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的判定，根据平行线的判定定理逐项判断即可求解，掌握平行线的判定定理是解题的关键． 【详解】解：A. ，不能判定，故该选项不正确，不符合题意；     B. ∵，∴，不能判定，故该选项不正确，不符合题意； C. ，∴，故该选项正确，符合题意；     D. ，∴，不能判定，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 4．（24-25七年级下·广东·期末）下列图形中，能利用判断的是（   ） A．B．C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线的判定，根据平行线的判定定理一一判定以及可得出答案． 【详解】解：．由无法判断，故该选项不符合题意； ．∵，∴，无法判断故该选项不符合题意； ．由无法判断，故该选项不符合题意； ．∵，∴ ，故该选项符合题意； 故选：D． 5.（24-25七年级下·广东·期末）如图，两条直线，被第三条直线所截，请添加一个条件：______，使得． 【答案】答案不唯一 【分析】本题考查平行线的判定，掌握平行线的判定定理是解题的关键．在图中发现直线，被直线所截，故可按内错角相等，两直线平行补充条件． 【详解】解：， ∴内错角相等，两直线平行， 故答案为：答案不唯一． 6.（22-23七年级下·广东清远·期末）把下列的推理过程补充完整，并在括号里填上推理的依据： 如图，已知直线a，b，c，d，e，且 ，，试说明：． 解：因为， 所以　　　 　　　　　　　（       ） 又因为， 所以　　　　　　　　　　　 （        ） 所以（   　　　 ） 【答案】；内错角相等，两直线平行；；同旁内角互补，两直线平行；如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 【分析】本题考查平行线的判定和性质以及平行公理．根据平行线的性质得出，，即可推出答案． 【详解】解：∵， ∴ (内错角相等，两直线平行)， ∵， ∴ (同旁内角互补，两直线平行)， ∴ (如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行)， 故答案为：；内错角相等，两直线平行；；同旁内角互补，两直线平行；如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． 7．（23-24七年级下·广东广州白云区·期末）完成下面的证明： 如图，平分，平分，且． 求证：． 证明：∵平分（已知）， ∴（    ）． 又∵平分（    ）， ∴______（    ）． （    ）． 又∵（已知）， （______）（    ）． ∴（    ）． 【答案】角平分线的定义；已知；；角平分线的定义；等量代换；；等量代换；同旁内角互补，两直线平行 【分析】本题考查平行线的判定，角平分线定义，根据角平分线的定义以及同旁内角互补，两直线平行，进行作答即可． 【详解】证明：∵平分（已知）， ∴（角平分线的定义）． ∵平分（已知）， ∴（角平分线的定义）． ∴（等量代换）． ∵（已知）， ∴（等量代换）． ∴（同旁内角互补，两直线平行）． 8．（24-25八年级上·广东省河源市·期末）已知：如图，直线与直线分别交于点E、F，直线与直线交于点A，且，，试说明：，． 【答案】见解析 【分析】本题考查平行线的判定，理解并掌握平行线的判定定理是解题关键．先证，可得，再证，可证． 【详解】证明：∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 考点03 平行线的性质 1.（23-24七年级下·广东揭阳·期中）在同一平面内，两条直线的位置关系是（    ） A．平行 B．相交 C．垂直 D．平行或相交 【答案】D 【分析】本题主要考查了同一平面内，两条直线的位置关系，注意垂直是相交的一种特殊情况，不能单独作为一类． 利用同一个平面内，两条直线的位置关系解答，同一平面内两条直线的位置关系有两种：平行、相交． 【详解】解：在同一个平面内，两条直线只有两种位置关系，即平行或相交． 故选：D 2．（24-25七年级下·广东省清远市英德市·期末）如图，过点P作直线的平行线，可作的平行线有（   ） A．1条 B．2条 C．3条 D．无数条 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行公理，根据过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行求解即可． 【详解】解，∵过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行， ∴过点P作直线的平行线，可作的平行线有1条， 故选：A 3．（24-25七年级下·广东湛江·期末）下列命题中，是真命题的是（　　） A．两条直线被第三条直线所截，内错角相等 B．互补的两个角是邻补角 C．在同一平面内，如果，，那么 D．在同一平面内，如果，，那么A，B，C 三点在同一条直线上 【答案】D 【分析】根据相关知识，判断解答即可． 本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握知识是解题的关键． 【详解】解：A. 两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等，错误，不符合题意； B. 互补的两个角不一定是邻补角，错误，不符合题意； C. 在同一平面内，如果，，那么，错误，不符合题意； D. 在同一平面内，如果，，那么A，B，C 三点在同一条直线上，正确，符合题意； 故选：D． 4.（24-25七年级下·广东·期末）如图，已知，若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了邻补角，平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．根据邻补角的定义求得，根据平行线的性质即可得出． 【详解】解：如图所示，    ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 5．（24-25七年级下·广东汕头·期末）如图，，，若，则的度数是_______． 【答案】/度 【分析】本题考查平行线的性质，先求得，再利用两直线平行，同旁内角互补求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴ ∴ 故答案为：． 6．（24-25七年级下·广东广州·期末）如图，平行线，被直线所截，与相交于点，于点，，则的度数为______． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，垂直的定义．根据两直线平行，同位角相等，即可求出，再根据垂直的定义，即可求解． 【详解】解：如图所示： ∵， ， ， ， ， 故答案为：． 7．（24-25七年级下·广东东莞·期末）将一个直角三角尺与两边平行的纸条如图放置，则下列结论一定正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的性质、余角的性质等知识点．根据行线的性质和余角的性质逐个判断即可解答． 【详解】解：根据两直线平行，同位角相等，可得， ∵三角板的顶角是直角， ∴， ∴，故与不一定相等； 根据两直线平行，同旁内角互补，可得，， ∵与不一定相等 ∴与不一定相等； ∵， ∴不一定等于； 观察四个选项，选项C符合题意． 故选：C． 8．（24-25七年级下·广东省汕头市龙湖区·期末）已知直线，且分别与直线交于点，把一块含角的三角尺按如图所示的位置摆放，若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查平行线的性质，理解并掌握平行线的性质是解题的关键．根据平行线的性质可得，根据平角的性质即可求解． 【详解】解：如图所示， ， ， 由题意知， ， 9．（24-25七年级下·广东东莞·期末）如图，烧杯内液体表面与烧标下底都平行，光线从液体中射向空气时发生折射，已知，则的度数为____________． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，掌握两直线平行同位角相等是解题的关键． 根据两直线平行同位角相等可得，再根据角的和差计算即可解答． 【详解】解：∵， ， 故答案为：． 10．（24-25七年级下·广东广州·期末）为出行方便，越来越多的市民使用共享单车，图为单车实物图，图为单车示意图，已知，则的度数为______． 【答案】/75度 【分析】本题考查了平行线的性质，先利用平行线的性质可得，进而由即可求解，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ， 故答案为：． 故选B． 11.（24-25七年级下·广东梅州·期末）近几年中学生近视的现象越来越严重，为保护视力，读书，写字、看书姿势要端正，一般人正常的阅读角度为俯角，书本与课桌的角度要保持在至，其几何示意图如图所示，其中，，则视线和书本所在平面所成的角度是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，理解题意，能熟练利用平行线的性质求解是解题的关键．过C作，由平行线的性质即可求解． 【详解】解：如图， 过C作， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 故选：C． 12．（24-25七年级下·广东汕头·期末）某商场停车场出入口折叠拦道闸，可其抽象为如图所示的几何图形，其中，垂足为A，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质推出． 过B作，由已知得到，可证明，由垂直的定义得到，即可求出的度数． 【详解】解：过B作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 13.（24-25七年级下·广东揭阳·期末）如图是一种夏季躺椅及其结构示意图，扶手与底座平行，支撑和与底座分别交于点G和点D，扶手与靠背交于点N，已知．若平分，，则扶手与靠背的夹角的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，掌握平行线的判定方法和性质是关键． 根据同位角相等，两直线平行得到，根据两直线平行，内错角相等，结合角平分线的定义得到，则，再根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵扶手与底座平行， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：B ． 14．（24-25七年级下·广东云浮·期末）兴趣小组利用激光和平面镜进行平行光的反射实验．如图，一组平行光线a，b经过平面镜反射后得到一组互相平行的反射光线．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形内角和定理，对顶角，根据题意可得：，，然后利用三角形内角和定进行计算，再根据对顶角相等，即可解答． 【详解】解：如图： ∵一组平行光线a，b经过平面镜反射后得到一组互相平行的反射光线， ∴，， ∴ ∴， 故选：B． 15．（24-25七年级下·广东云浮·期末）如图，已知：平分，有下列结论：①；②；③；④．结论正确的有（  ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】①根据平行线的传递性可以判断出来；②所以，然后根据两直线平行同旁内角互补可得，即，联立可求得结果；③根据以及，可求得结果；④根据即以及，可求得结果． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴，即， ①∵，， ∴， 故①正确； ②∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， 即， 故②正确； ③由①可得， ∴， ∴，即， 又， ∴， 即， 将代入， 化简可得：， 故③正确； ④∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故④正确； 正确的个数共有4个， 故选：D． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质、平行线的传递性、两直线平行内错角相等、两直线平行同旁内角互补、角平分线的有关计算，准确找到角度之间的关系是解题的关键． 16．（24-25七年级下·广东河源·期末）如图，，为上一点，，且平分，过点作于点，且，则下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确结论的序号是（　　） A．①②③ B．①② C．①③ D．②④ 【答案】B 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，垂线的定义，平行线的性质，准确识图，理解角平分线的定义，垂直定义，熟练掌握平行线的性质是解决问题的关键． ①根据平分，可设，则，，由平行线性质得，，，然后根据得，由此解出，进而可对结论①进行判断； ②由①可知，，据此可对结论②进行判断； ③根据平行线的性质可得，，但题干未知的大小，由此即可判断③； ④由可知根据已知条件无法求出，据此可对结论④进行判断，综上所述即可得出答案． 【详解】解：①∵平分， ∴设，则， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∵，， ∴， 即， ∵为上一点， ∴， 即， 解得：， ∴， 故结论①正确； ②由①可知：，， ∴， 故结论②正确； ③根据已知条件无法求出平分， 故结论③错误； ④∵， ∴根据已知条件无法求出， 故结论④不正确． 综上所述：正确的结论是①②． 故选：B． 17．（24-25七年级下·广东·期末）如图，已知，，．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了平行线的判定与性质； （1）由，，得出，利用“同旁内角互补，两直线平行”可证出； （2）由得出，由得出，利用“内错角相等，两直线平行”可证出，进而可证出． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 18．（24-25七年级下·广东湛江·期末）如图，已知直线，且与互补，求证： (1)； (2)当时，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． （1）根据题意，易得到，从而证得结论； （2）由，得到，再结合平角的概念，得到结果． 【详解】（1）证明：， ， 与互补， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ． 19．（24-25七年级下·广东潮州·期末）如图，，，，试说明． （请完善解答过程，并在括号内填写相应的理论依据．） 解：∵，（已知） ∴______（                        ） （                ） （已知） （          ） （                             ） _____（两直线平行，同位角相等） （已知） （垂直的定义） ．（等量代换） 【答案】；同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；等量代换；同旁内角互补，两直线平行； 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，垂线的定义，熟知平行线的性质与判定条件是解题的关键．根据平行线的性质与判定条件以及垂线的定义进行证明即可． 【详解】解：，（已知） （同位角相等，两直线平行） ．（两直线平行，内错角相等） ，（已知） ．（等量代换） ．（同旁内角互补，两直线平行） ．（两直线平行，同位角相等） ，（已知） ．（垂直的定义） ．（等量代换） 故答案为：；同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；等量代换；同旁内角互补，两直线平行；． 20．（24-25七年级下·广东梅州·期末）如图，在中，于点，点在的延长线上，于点，．试说明：是的平分线．请你完成下列说理过程： ∵，（已知）， ∴（①__________）， ∴（②__________）， ∴③__________（④__________）， ⑤__________（⑥__________）， ∵（⑦__________）， ∴⑧__________（⑨__________）， ∴是的平分线． 【答案】①垂直的定义；②同位角相等，两直线平行；③；④两直线平行，同位角相等；⑤；⑥两直线平行，内错角相等；⑦已知；⑧；⑨等量代换 【分析】本题考查了垂直的定义、平行线的判定与性质，根据垂直的定义，“同位角相等，两直线平行”、“两直线平行，同位角相等”，“两直线平行，内错角相等”，逐步推理证明即可，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：∵，（已知）， ∴（垂直的定义）， ∴（同位角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，同位角相等）， （两直线平行，内错角相等）， ∵（已知）， ∴（等量代换）， ∴是的平分线． 故答案为：①垂直的定义；②同位角相等，两直线平行；③；④两直线平行，同位角相等；⑤；⑥两直线平行，内错角相等；⑦已知；⑧；⑨等量代换． 21．（24-25七年级下·广东汕头·期末）已知：如图，，． (1)证明． (2)若，垂足为点A，，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键． （1）由得到，然后等量代换得到，即可得到； （2）由得到，求出，然后由，得到，进而求解即可． 【详解】（1）证明：， ． ， ． ． ； （2）解：， ． ， ． ， ， ， ． ． ． 22．（24-25七年级下·广东珠海·期末）如图，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据平行线的判定与性质进行证明即可； （2）根据平行线的性质进行计算即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 23．（24-25七年级下·广东清远·期末）如图1，在中，，，E、D分别是，上的点，且， (1)求的度数； (2)如图2，过点B作交的延长线于点F，猜想与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是平行线的判定与性质． （1）先证明，结合，可得． （2）由，可得，结合，证明，进一步证明即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 24．（22-23七年级下·全国·期中）如图，已知，，． (1)请你判断与的位置关系，并证明你的结论； (2)若，平分，试求的度数． 【答案】(1)；见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系，平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系． （1）依据平行线的判定与性质，即可得到与的数量关系； （2）利用平行线的性质以及角平分线的定义，即可得出的度数，再根据为直角，即可得出． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴， 又∵平分， ∴， ∴， 又∵， ∴； 考点04 平移 1．（24-25七年级下·广东中山·期末）截至2025年5月24日24时，《哪吒之魔童闹海》全球实时票房达到158.64亿元．题图是一张哪吒图片，下列哪张图片是通过平移题1图得到的（   ） A．B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了生活中的平移现象，根据图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状、大小和方向进行判断即可． 【详解】解：根据平移的性质，可知选项B是通过平移题1图得到的， 故选：B 2．（24-25七年级下·广东广州·期末）在中国园林建筑中，洞窗是最生动的眼睛，主要以镂空图案填心为主，故也称为镂空花窗以下花窗的图样中，可以看作由其中一个图形通过平移得到的图形是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平移的性质，熟练掌握平移的定义是解题的关键；根据平移的定义逐项判断即可； 【详解】解∶A．该图案可以看作是由一个基本图形沿着某个方向进行平移，故A该选项符合题意； B．该图案不是由一个基本图形平移而成，是由一个基本图形旋转而成，故B选项不符合题意 C．该图案不是由一个基本图形平移而成，是由一个基本图形旋转而成，故C选项不符合题意 D．该图案不是由一个基本图形平移而成，是由一个基本图形旋转而成，故D选项不符合题意 故选：A． 3．（24-25七年级下·广东湛江·期末）在同一平面内，下列说法错误的有（ ）个． （）过一点有且只有一条直线与已知直线平行； （）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； （）有公共顶点且和等于度的两个角互为邻补角； （）平移既改变图形的位置，也改变图形的形状和大小． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行公理、垂线的性质、邻补角的定义及平移的性质，根据平行公理、垂线的性质、邻补角的定义及平移的性质逐一判断即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：（）过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，该选项说法错误，符合题意； （）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，该选项说法正确，不符合题意； （）有公共顶点和一条公共边且另一边互为反向延长线的两个角互为邻补角，该选项说法错误，符合题意； （）平移仅改变图形的位置，不改变其形状和大小，该选项说法错误，符合题意； 综上，说法错误的有个， 故选：． 4．（23-24七年级下·广东广州·期末）如图，将向右平移得到，已知，，，则四边形的周长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．8 【答案】D 【分析】本题主要考查了平移的性质，根据平移的性质得到，，再由线段的和差关系得到，据此根据四边形周长计算公式求解即可． 【详解】解：由平移的性质可得，， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形的周长为， 故选：D． 5.（23-24七年级下·广东韶关·期末）如图，将沿着点B到C的方向平移到的位置，，，平移距离为3，则图中阴影部分的面积为______________．    【答案】12 【分析】本题主要考查了平移的性质及梯形的面积公式，根据平移的性质得出，则，则阴影部分面积，根据梯形的面积公式即可求解． 【详解】解：由平移的性质知，，， ∴， ∴． 故答案为：12 6.（23-24七年级下·广东云浮·期末）为在广州白云国际机场迎接某国领导人，工作人员需要在飞机舷梯（图1）上铺设红地毯．已知舷梯宽1.5米，舷梯侧面及相关数据如图2所示，则至少需要购买______平方米的地毯． 【答案】9 【分析】本题考查平移的性质，解题的关键是要利用平移的知识，把要求的所有线段平移到一条直线上进行计算．根据题意，结合图形，先把楼梯的横竖向上向右平移，构成一个长方形，再求得其面积即可． 【详解】解：利用平移线段，把楼梯的横竖向上向右平移，构成一个长方形，长宽分别为3.3米，2.7米， ∴地毯的长度为（米）， ∴地毯的面积为（平方米）． 故答案为：9． 7．（23-24七年级下·广东湛江·期末）如图，将直角三角形沿斜边的方向平移到三角形的位置，交于点，，，三角形的面积为1，下列结论：①；②三角形平移的距离是2；③；④四边形的面积为4，正确的有（    ） A．②③ B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】本题考查的是平移的性质，正确的掌握平移的性质是解题的关键．根据平移的性质分别对各个小题进行判断：①利用平移前后对应线段是平行的即可得出结果；②平移距离指的是对应点之间的线段的长度；③根据平移前后对应线段相等即可得出结果；④根据，得出，利用梯形的面积公式即可得出结果． 【详解】解：①∵直角三角形沿斜边的方向平移到三角形的位置， ∴，， ∴， ∴，故①正确，符合题意； ②平移距离应该是的长度， ∵，， ∴， 即三角形平移的距离大于2，故②错误，不符合题意； ③由平移前后的对应点的连线平行且相等可知，，故③正确，符合题意； ④∵的面积是1，， ∴， ∵由平移知：， ∴， 根据平移可知，， ∴， ∴ ，故④正确，符合题意． 综上分析可知：正确的有①③④． 故选：C． 8.（24-25七年级下·广东东莞·期末）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，箭头图形的顶点分别在格点（网格线的交点）上． (1)请在网格图中画出该箭头图形向右平移8个单位长度后的图形，点，点，点的对应点分别为； (2)线段与的位置关系是__________，线段的长度是__________． 【答案】(1)见解析 (2)，9 【分析】本题考查了作图平移变换，平移的性质； （1）根据平移方向和平移距离作图即可； （2）根据平移的性质解答即可． 【详解】（1）解：平移后的图形如图所示： （2）根据平行的性质可得，， 故答案为：，9． 考点05 定义、命题与定理 1．（22-23七年级下·广东汕头·期末）下列语句中，是命题的是（　　） A．在线段上任取一点 B．对顶角相等 C．过直线外一点作直线，使 D．锐角都相等吗？ 【答案】B 【分析】根据命题的定义进行判断即可． 【详解】解：A．在线段上任取一点，不是命题，故选项不符合题意； B．对顶角相等是命题，故选项符合题意； C．过直线外一点作直线，使，不是命题，故选项不符合题意； D．锐角都相等吗？不是命题，故选项不符合题意． 故选：B． 【点睛】此题考查了命题，熟练掌握“表示判断的语句叫做命题”是解题的关键． 2．（24-25七年级下·广东东莞·期末）对命题“同位角相等”的描述正确的是（  ） A．是真命题 B．题设：两个角是同位角 C．是定理 D．结论：是同位角 【答案】B 【分析】本题考查命题的结构及真假判断，解题的关键是掌握原命题“同位角相等”需明确其题设与结论，并判断其正确性． 根据命题的结构以及平行线的性质定理逐项进行判断即可． 【详解】解：选项A：同位角相等仅在两条直线平行时成立，原命题缺少条件，故为假命题，该选项错误，不符合题意； 选项B：命题“同位角相等”可改写为“如果两个角是同位角，那么它们相等”，题设是“两个角是同位角”，结论是“这两个角相等”， 该选项正确，符合题意； 选项C：定理需为真命题，但原命题未限定条件，不成立，该选项错误，不符合题意； 选项D：结论应为“两个角相等”，而非“是同位角”， 该选项错误，不符合题意； 故选：B． 3．（24-25七年级下·广东·期末）下列命题中，不正确的是（　 ） A．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 B．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 C．垂直于同一直线的两条直线垂直 D．平行于同一直线的两条直线平行 【答案】C 【分析】本题考查几何命题的真假判断，涉及垂直、平行等性质，关键是熟练应用知识点解决问题；根据知识点逐一判断即可. 【详解】解：A：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，正确； B：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，正确； C：∵ 垂直于同一直线的两条直线可能平行（如在平面内），不一定垂直，∴ 该命题错误； D：平行于同一直线的两条直线平行，正确； ∴ 不正确的是C； 故答案选：C． 4．（24-25七年级下·广东广州·期末）下列命题是真命题的是（     ） A．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 B．两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补 C．相等的两个角是对顶角 D．两个锐角的和是钝角 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线的判定、对顶角的定义、角的和差等知识点，掌握相关定义是解题的关键． 根据平行线的判定、对顶角的定义、角的和差等知识逐项判断即可． 【详解】解：A．在同一平面内，若两条直线都垂直于同一条直线，则它们的方向相同，根据平行线判定定理，这两条直线必平行．故A为真命题，符合题意； B．两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补的前提是两直线平行．若两直线不平行，同旁内角不互补．因此B是假命题，不符合题意； C．对顶角一定相等，但相等的角未必是对顶角，故C是假命题，不符合题意； D．两个锐角的和可能为锐角（如）、直角（如）或钝角（如），因此D是假命题，不符合题意． 故选：A． 5．（24-25七年级下·广东广州·期末）下列命题是假命题的是（　　） A．同位角相等 B．同角的补角相等 C．对顶角相等 D．如果，那么 【答案】A 【分析】本题主要考查了命题与定理的知识，利用平行线的性质、互补的定义、对顶角的性质等知识分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：A、两直线平行，同位角相等，原说法错误，是假命题，符合题意； B、同角的补角相等，正确，是真命题，不符合题意； C、对顶角相等，正确，是真命题，不符合题意； D、如果，那么，正确，是真命题，不符合题意． 故选：A． 6．（23-24七年级下·广东·期末）对于命题“如果，那么”，下面能说明它是假命题的反例是（   ） A．， B．， C． D．， 【答案】C 【分析】本题考查假命题的反例，反例需满足命题的条件，同时不满足命题的结论，据此分析各选项即可． 【详解】解：∵原命题的条件是，结论是 ∴反例要满足且 对于选项C，，，满足条件但不满足结论，是原命题的反例 选项A满足条件也满足结论，不是反例 选项B、D不满足命题的条件，不是反例 故选：C． 7．（24-25七年级下·广东中山·期末）对于命题“已知，那么”，能说明它是假命题的反例是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了不等式的性质，真假命题等知识．根据当不等式两边乘以负数时，不等号方向改变，原命题不成立求解即可． 【详解】解：原命题“已知，则”成立的条件是．若a为负数，则不等式方向改变，即． 选项A中，为负数，代入计算得，，此时，即，说明原命题不成立，故A是反例． 选项B、C、D中的a均为正数，代入后成立，无法作为反例， 故选：A． 8．（24-25七年级下·广东·期末）把命题“同旁内角互补，两直线平行”改写成“如果…，那么…”的形式为：如果___________，那么_____________． 【答案】 同旁内角互补 两直线平行 【分析】本题考查了写出命题的题设与结论，如果后面是题设，那么后面是结论． 根据命题“同旁内角互补，两直线平行”的题设和结论进行分析，解答即可． 【详解】解：依题意，把命题“同旁内角互补，两直线平行”改写成“如果…，那么…”的形式为：如果同旁内角互补，那么两直线平行， 故答案为：同旁内角互补，两直线平行 9．（24-25七年级下·广东·期末）将“同角的补角相等”改成“如果…，那么…”的形式为：如果____________，那么这两个角相等． 【答案】两个角是同一个角的补角 【分析】本题考查命题的改写，根据如果后面是条件，那么后面是结论，进行改写即可． 【详解】解：如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等． 故答案为：两个角是同一个角的补角 10．（24-25七年级下·广东广州·期末）如图，有两条直线m、n与直线a相交，已知，根据图形，以a、m、n的两个可能关系分别为条件、结论，写出一个正确的命题如下： ，又___________，___________． 【答案】 或 或 【分析】本题考查命题与定理，在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行．由图形，写出一个真命题． 【详解】解：第一种情况：， 又， ． 第二种情况：， 又， ． 故答案为：①或，②或． 11．（24-25七年级下·广东广州·期末）市政部门决定对公园的广场重新整修，按照图中的排列方式重新铺设广场地砖，需要用到两种规格的正方形地砖，其中一种是边长为的大正方形地砖，一种是边长为的小正方形地砖．为节约成本，铺设边缘部分时，可以将大正方形瓷砖分割成相等的两块使用．经过一段时间工作后，工人们已经铺设了一块边长为的正方形场地，那么他至少使用了______块大正方形地砖． 【答案】 【分析】根据已知图形找出基本单元，求解基本单元内大正方形数量，根据场地面积求解其内有几个基本单元，从而得到大正方形的数量． 本题主要考查了推理与论证，根据图形找出基本可重复的最小单元图形是本题解题的关键． 【详解】解：如图： 可以发现，虚线部分是一个可重复的基本单元，每个基本单元内大正方形的数量为5个， 红框边长为：， 正方形场地内基本单元的数量为：（个）， 大正方形的数量为：（个）， 故答案为：． 考点06 相交线与平行线中的综合压轴题型 1．（24-25七年级下·广东河源·期末）在学习过平行线的判定后，我们围绕“过直线外一点作已知直线的平行线”为主题开展探究． 方法一：用尺规作图的方法画平行线 （1）A同学用的是尺规作图，已知P是直线a外一点，按如下作图步骤可作． A同学画法，过点P作直线b与a相交，作，则，依据是： ． （2）B同学想出了另外一种尺规作图的方法如图所示． B同学画法，过点P作直线b与a相交，作，则，依据是： ． 方法二：用折纸的方法画平行线 （3）已知P是外一点，按照下面折纸步骤能折出与直线平行的直线（折纸步骤如图所示）． 第一步：过点P折叠纸片，使点C的对应点C′落在直线上（如图②），记折痕与的交点为A，则折痕与的位置关系是 ，依据是： ． 第二步：将纸片展开并铺平，再过点P将纸片进行折叠，使得点E的对应点E′落在直线上（如图③），则折痕与的位置关系是 ，依据是： ． 第三步：将纸片展开并铺平，此时折痕与的位置关系是 ，依据是： ． 【答案】（1）内错角相等，两直线平行；（2）同位角相等，两直线平行；（3）垂直，折叠的性质；垂直，折叠的性质；平行，同一平面内，两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行 【分析】本题考查了平行线的判定和性质的应用，熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键． （1）根据作图，可得到，即内错角相等，两直线平行； （2）根据作图，可得到，即同位角相等，两直线平行； （3）根据折叠，可得到根据折叠的性质，折痕垂直于两点的连线，利用同一平面内，两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行，可得到结果． 【详解】（1）A同学画法，过点P作直线b与a相交，作，则，依据是：内错角相等，两直线平行， 故答案为：内错角相等，两直线平行； （2）B同学画法，过点P作直线b与a相交，作，则，依据是：同位角相等，两直线平行， 故答案为：同位角相等，两直线平行； （3）第一步：过点P折叠纸片，使点C的对应点C′落在直线上（如图②），记折痕与的交点为A，则折痕与的位置关系是垂直，依据是：折叠的性质， 第二步：将纸片展开并铺平，再过点P将纸片进行折叠，使得点E的对应点E′落在直线上（如图③），则折痕与的位置关系是垂直，依据是：折叠的性质， 第三步：将纸片展开并铺平，此时折痕与的位置关系是平行，依据是：同一平面内，两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行， 故答案为：垂直，折叠的性质；垂直，折叠的性质；平行，同一平面内，两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行． 2．（24-25七年级下·广东·期末）如图1，，，，求的度数． 小明的思路是：过作，通过平行线性质来求． （1）按小明的思路，求的度数； （问题迁移） （2）如图2，，点在射线上运动，记，，当点在两点之间运动时，问与之间有何数量关系？请说明理由； （问题应用） （3）在（2）的条件下，如果点在两点外侧运动时（点与点三点不重合），请直接写出与之间的数量关系（并画出相应的图形）． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）或者，画图见解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力，题目是一道比较典型的题目，解题时注意分类思想的运用． （1）利用平行线的性质，同旁内角互补，求出，度数，利用，进行求解即可； （2）过点作，得，得到，，进而得到； （3）分点在的延长线上和在线段上两种情况进行讨论即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴； （2）， 理由如下：如图2，过点作， ∵， ∴， ∴，， ∴； （3）如图3所示，当在线段的延长线时，由（2）可知，， ， 如图4所示，当在线段上时，由（2）可知，， ． 3．（24-25七年级下·广东·期末）问题情境：如图，，点在直线上，点在直线上，点在直线，之间，连接，．勤奋小组的同学们对该图形进行了研究． (1)观察猜想：小明猜想，他过点作，如图，请帮他完成证明过程． (2)深入探究：小华在帮助小明完善解题过程时，发现用同样的辅助线还可以得到，，之间的关系，请写出这三个角度间满足的关系并完成证明． (3)问题解决：图3是天文爱好者小夏在观察北斗七星时所拍摄的画面，绘制北斗七星的位置图时将北斗七星摇光、开阳、玉衡、天权、天玑、天璇、天枢分别标为，并连接．绘制过程中发现摇光、开阳所在的直线与天玑、天璇所在的直线几乎平行（如图）（因为距离地球很远，所以近似看作）．结合上面的探究过程，若，则． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 (3) 【分析】（1）过点作，利用平行线的性质与判定即可完成论证； （2）过点作，利用平行线的性质与判定即可完成论证； （3）过点作，利用平行线的性质与判定即可完成求解； 【详解】（1）证明：如图：过点作， ∵， ∴， ∴ ∴． （2）证明：如图：过点作， ∵， ∴， ∴， ∴． ∴     （3）解：如图：过点作， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴由（1）的结论可知， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线的性质与判定等知识点，灵活运用相关性质成为解题的关键． 4．（24-25七年级下·广东广州·期末）已知直线，点、分别为直线、上的点，点是与之间任意一点，连接、过直线上的另一点作直线，直线交直线于点． (1)如图，若，求的度数； (2)如图，求证：； (3)如图，点是与之间除了点外的任意一点，，，过点作的垂线交于点，连接，，，求的度数． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查了平行线的性质以及角的计算，合理运用倍角关系是本题解题的关键． （1）根据平行线的性质依次求出和即可； （2）过作，根据平行线的性质求证即可； （3）先根据三角形内角和求出，然后根据补角的性质以及给出的两个倍角关系，得出，过作，根据平行线的性质求出，然后根据倍角关系求出即可． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）证明：过作，如图： ， ，， ， ， ， ， ； （3）解：， ， ， ， ， ，， ， ，， ， 过作，如图： ， ，， ， ． 5．（24-25七年级下·广东广州·期末）【问题情境】在劳动课上，陈老师带同学们制作手工艺品． 活动一：张华先通过折纸折出一个框架，折纸过程如下：图①-图②-图③-图④． （1）通过上述的折纸过程，图②的折痕与直线的位置关系是______；如图④，因为，所以，依据是______． 活动二：张华在框架做好以后，他在P、Q两点处安装了两个小射灯，射灯P发出的射线从开始，绕点P以每秒的速度顺时针旋转，每次碰到后立即原路返回，若射线转动20秒后，射灯Q发出的射线从开始，绕点Q以每秒的速度顺时针旋转，每次碰到后立即原路返回． （2）在射线第一次到达之前，当射灯Q转动t秒时，射线转动到如图⑤的位置． ①______用含t的式子表示； ②记射线与射线的交点为点O，在图⑥中画出秒时的图形，求此时的度数． 【问题探究】 （3）在（2）的条件下，求当t为何值时． 【答案】（1）垂直，内错角相等，两直线平行；（2）①；②；（3）10或 【分析】根据翻折的性质进行判断即可，根据平行线的判定定理进行判断即可； ①根据角度=转动速度时间列出代数式即可； ②分别计算此时的和，再图中画出O点，过O作，利用平行线的性质求解即可； 计算t的取值范围，根据平行线的性质进行解答即可． 本题主要考查了平行线的判定与性质，根据角的数量关系列出方程是本题解题的关键． 【详解】解：由折叠的性质可知，， ， 内错角相等，两直线平行； 故答案为：垂直，内错角相等，两直线平行； ①当时，， 转动过程中，， 故答案为：； ②当时，，， 如图： 作， ， ， ，， ； 当时，运动停止， ， ， ①当时，在垂直方向右侧，如图： ， ， ， ， ， 即， ， 解得：； ②当时，如图： 同理可得：， ， 解得：； ③当时，如上图， 同理可得：， ， 解得：，不符合题意； 综上所述，或 6.11．（24-25七年级下·广东惠州·期末）已知直线，在三角形纸板中，，．      (1)将三角形按如图1放置，点和点分别在直线上，若，则 °， °； (2)将三角形按图2放置，点E和点G分别在直线、上，交于点H，若，．试求之间的数量关系； (3)在图2中，若，将三角形绕点以每秒的速度顺时针旋转一周，设运动时间为秒．当三角形的一条直角边分别与平行时，求出相应的值（直接写出答案）． 【答案】(1)，55 (2) (3)或或或 【分析】本题考查了平行线的性质，平行公理的应用，过“拐点”构造平行线是解题关键． （1）过F点作，根据、，,即可求解； （2）过F点作，根据、即可求解； （3）根据题意画出满足条件的几何图，分四种情况讨论，求出旋转的角度即可求解． 【详解】（1）解：过F点作，如图所示： ∵，，， ∴， ∴，，， ∴； 故答案为：；55． （2）解：过F点作，如图所示： ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 即：； （3）解：∵，， ∴， 时，如图所示： 此时：， 旋转角度， ∴； 时，如图所示： 此时：旋转角度， ∴； 时，如图所示： 此时：， 旋转角度， ∴； 时，如图所示： 此时：， 旋转角度为：， ∴； 综上所述：的值为：或或或． 7．（24-25七年级下·广东东莞·期末）【问题背景】 如图1，已知，直线与，分别交于点E，F，交直线于点，且． （1）求证：平分； 【拓展迁移】 （2）点是射线上的一个动点（不与点重合），平分交直线于点，过点作交直线于点．设． （1）如图2，当点在点的左侧，且时，求的值； （2）当点在运动过程中，直接写出和之间的数量关系． 【答案】（1）见解析；（2）①；②或． 【分析】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义以及动态几何中角的数量关系探究，解题的关键是熟练运用平行线的性质（两直线平行，同位角相等、内错角相等、同旁内角互补）和角平分线的定义，结合动点位置进行分类讨论． （1）利用得到，结合，通过等量代换证明平分； （2）①根据角平分线定义表示出，结合平行线得到，代入的值求出； ②分点在左侧和右侧两种情况，分别和平行线性质和角平分线定义推导和的数量关系． 【详解】（1）证明：如图1，， ， 又， ， 平分； （2）①如图2，平分， ， 又平分， ， 又， 又∵， ， ， 又， ， 又， 即， ， 当时，； ②或， 当点在点的左侧时，由①知：； 当点在点的右侧时，如图3， ， 又， ， 平分， ， 又平分， ， 又 ． 综上所述，和之间的数量关系或． 8．（23-24七年级下·广东·期末）如图1，O为直线上一点，过点O作射线，，将一直角三角板（）的直角顶点放在点O处，一边在射线上，另一边与都在直线的上方，将图1中的三角板绕点O以每秒的速度沿顺时针方向旋转一周． 　 (1)几秒后与重合？ (2)如图2，经过t秒后，，求此时t的值； (3)若三角板在转动的同时，射线也绕O点以每秒的速度沿顺时针方向旋转一周，那么经过多长时间与重合？ (4)在（3）的条件下，当射线，射线，射线三条中的一条是另外两条组成的夹角的平分线时，请直接写出t的值． 【答案】(1)10秒后与重合 (2)经过秒或80秒后， (3)经过20秒时间与重合 (4)的值为或 【分析】此题考查了平行线的判定与性质，角的计算以及方程的应用，关键是应该认真审题并仔细观察图形，找到各个量之间的关系求出角的度数是解题的关键． （1）用角的度数除以转动速度即可得； （2）求出，结合旋转速度可得时间； （3）设，则，由题意列出方程，解方程即可； （4）分四种情况讨论：平分时（都在上方），平分平分时（上方、下方各一个角)，平分，根据转动速度关系列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴秒后与重合； （2）解：分两种情况： 在上方时，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴经过20秒后，； 在下方时，如图2.2， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴经过20秒或80秒后，； （3）解：如图3所示： 则， ∵三角板绕点以每秒的速度，射线也绕点以每秒的速度旋转， 设，则， ∵与重合， 则， 可得：， 解得：秒； 即经过20秒时间与重合； （4）解：分三种情况： ①平分时，此时在上方，如图4所示： ， ∴，无解； ②平分，此时在上方，如图5所示： ， ， 解得：秒； ③当平分时，如图6， ， ， 解得：； ④当平分时，如图7， ， ，无解； 故的值为或． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题01 相交线与平行线 ☆高颜考点概览 考点01相交线 考点02平行线的判定 考点03平行线的性质 考点04平移 考点05定义、命题与定理 考点06相交线与平行线中的综合压轴题型 目目 考点01 相交线 1.(24-25七年级下·广东广州期末)下列日常使用的工具或学具中，没有应用到对顶角及其相关知识的是 () TTTT个 60 909 6 120° 0 150 a B B a 2.(24-25七年级下·广东广州期末)如图，直线AB与CD相交于点O,若∠1+∠2=60°，则∠1等于( 丁2 B A.30° B.35 C.60 D.120° 1/26 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 3.(24-25七年级下·广东中山期末)光线从空气照射到水中会发生折射现象.如图，A0为入射光线， OB为折射光线，直线DE为水面，点A,O,C在同一条直线上.其中∠AOD=4O°，∠BOC=20°，则 ∠BOE= 0 D 0 空气E 水 B C 4.(23-24七年级下·广东广州期末)如图，已知直线AB与直线CD相交于点0，下列条件中不能说明 AB⊥CD的是() B D A.∠AOC=90°B.∠AOC=∠BOCC.∠AOC=∠BODD.∠AOC+∠BOD=180° 5.(24-25七年级下·广东广州期末)已知直线AB,CD相交于点O,如图所示，OE⊥AB于点O,若 ∠D0A=135°，则∠COE的度数是，() E A.25° B.35° C.45° D.55 6.(24-25七年级下·广东清远期末)如图，将平面镜放置在桌面AB上，光线C0经过平面镜反射形成光 线OD.已知EO⊥AB,∠AOC=35°，∠COE=∠DOE,则∠DOB的度数为 D 7.(23-24七年级下广东·期末)下列说法中，正确的个数有()个 2/26 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (1)两点之间的所有连线中，线段最短： (2)在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直： (3)同一平面内，两直线的位置关系是相交、平行和垂直 (4)连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短： (5)直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离 A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 8.(24-25七年级下·广东汕头期末)2025年1月30日（大年正月初二）晚上8点汕头在内海湾举办了“己如 意美美至汕”迎新春大型焰火晚会，吸引近50万观众现场观赏.市民小王也是现场观众之一，如图，他 家住P处，观赏地点海滨路可以看成直线I,则小王赶往观赏地点的最近路线是线段PC,理由是」 9.(24-25七年级下广东肇庆期末)如图，P是射线AB外的一点，PC⊥AB,垂足为C,PC-3.5,D是 射线AB上一个动点，则线段PD的长度不可能是() P A.3 B.4 c.5 D.35 10.(24-25七年级下广东江门期中)如图，要把河中的水引到水池4中，应在河岸B处 （AB⊥CD) 开始挖 渠才能使水渠的长度最短，这一做法蕴含的数学原理是() BH A. A.两点之间，线段最短 B.经过一点有无数条直线 C.两点确定一条直线 D.垂线段最短 11.(24-25七年级下·广东·期末)学源于生活，用于生活，我们要会“用数学的眼光观察现实世界，用数学 3/26 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 的思维思考现实世界，用数学的语言表达现实世界”，下列生活场景中，用到“垂线段最短”这一数学原 理的是() 打靶瞄准 B 拉绳插秧 器 跳远测量成绩 弯曲河道改直 12.(2425七年级下广东广州期末)如图，直线外一点O,点C、D、E、F都在直线AB上，则点O到直 线AB的距离是() ○ D E F B A.线段OC的长度 B.线段OD的长度 C.线段OE的长度 D.线段OF的长度 13.(2425七年级下广东广州期末)如图，P是直线1外一点，点A,B,C在直线1上，PB⊥1，垂足为 B,PA=4,PB=3,PC=5,则点P到直线I的距离是 4/26 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 14.(23-24七年级下广东广州：期末)直线1上有三点A,B,C,点P为直线1外一点，若PA=2Cm, PB=3cm,PC=4cm,点P到直线1的距离为dcm,则下列说法正确的是() A.d>4 B.3<d≤4 c.2<d≤3 D.d≤2 15.(24-25七年级下·广东珠海·期末)为了测量村庄A是否对河道施工有影响，需测量村庄A到河道的距 离.某测绘队（点P)沿河道规划路线MN进行测量，如图，测量角度∠APN与线段AP的长度如表所示， 则村庄A到河道的距离为 米。 ∠APN的度 52.3 69.5 90 93 105.8 117.8 数/度 AP的长度 54 693 586 552 570 620 米 P/ M 测量点 16.(24-25七年级下甘肃兰州期中)如图，下列结论不正确的是() D 12 64 B A.∠5与∠6是内错角 B.∠1与∠4是同位角 C.∠3与∠4是内错角 D.∠2与∠3是同旁内角 17.(23-24七年级下广东·期末)如图，下列说法错误的是() 5/26 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.∠A与∠B是同旁内角 B.∠1与∠B是同位角 C.∠2与∠3是内错角 D.∠1与∠3是对顶角 18.(23-24七年级下广东潮州期末)英文字母中，存在同位角、内错角、同旁内角（不考虑字母宽度）， 下列字母中含同旁内角最多的是() AFMZ 19.(25-26七年级上：广东广州期末)如图，已知直线AB与直线CD相交于点O,∠A0E=50°， ∠BOD=30° (则40C=· (2)若OF平分∠AOD,求∠EOF的度数. 20.(2425七年级下广东珠海期未)如图，直线AB,CD相交于点O,E01AB于点O. E B (1)若∠B0C=130°，求∠DOE的度数： (2)若∠A0C:∠D0E=3:2,求∠B0C的度数. 6/26 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 21.(2425七年级下广东广州期末)如图，直线AB、CD相交于点O,过点O作OE⊥AB,且OF平分 ∠AOD,∠EOF=12° (1)求证：∠COF=∠BOF: (2)求∠BOD的度数 22.(2425七年级下广东阳江期末)如图，∠AMD=60°，∠AMC=3∠MNF,PN⊥EF,垂足为N. A M —D (I)∠CMN= (2)求∠PNM的度数. 目目 考点02 平行线的判定 1.(24-25七年级下·广东汕头期末)如图，下列条件中能判断直线a∥b的是（) A.∠3=∠4 B.∠1=∠3 C.∠2=∠4 D.∠4+∠5=180° 2.(24-25七年级下广东云浮期末)将一副三角尺按如图所示的方式摆放在桌面上，能够判定AD∥BC的 依据是() 7/26 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B A.内错角相等，两直线平行 B.两直线平行，内错角相等 C.同位角相等，两直线平行 D.两直线平行，同旁内角互补 3.(24-25七年级下·广东湛江期末)如图，其中能判定AB‖CD的条件是() A 4 3人5 A.∠D=∠B B.∠2=∠3 C.∠1=∠4 D.∠D+∠BCD=180° 4.(24-25七年级下广东期末)下列图形中，能利用∠1=∠2判断AB∥CD的是() D GD 5.(24-25七年级下广东期末)如图，两条直线a,b被第三条直线C所截，请添加一个条件： 一，使 得a∥b 6.(22-23七年级下·广东清远期末)把下列的推理过程补充完整，并在括号里填上推理的依据： 如图，已知直线a,b,c,d,e,且∠1=∠2，∠3+∠4=180°，试说明：a∥c 解：因为∠1=∠2， 所以 ∥ 又因为∠3+∠4=180°， 8/26 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 所以 所以a∥c( d 7.(23-24七年级下广东广州白云区期末)完成下面的证明： 如图，BE平分∠ABD,DE平分∠BDC,且∠a+∠B=90°」 求证：AB∥CD A E D 证明：，BE平分∠ABD(已知)， .∠ABD=2∠a(). 又：DE平分∠BDC(), .∴.∠BDC= ∠ABD+∠BDC=-2La+2∠B=2(2a+∠B(）. 又：∠a+∠B=90°（已知）， .∠ABD+∠BDC=()()· .AB∥CD(). 8.(24-25八年级上·广东省河源市期末)已知：如图，直线NF与直线AB、CD分别交于点E、F,直线 AM与直线HB交于点A,且∠I=∠4=105°，∠2=75°，试说明：AM∥NF,AB∥CD, 9/26 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A C 目目 考点03 平行线的性质 1.(23-24七年级下广东揭阳期中)在同一平面内，两条直线的位置关系是() A.平行 B.相交 C.垂直 D.平行或相交 2.(24-25七年级下·广东省清远市英德市·期末)如图，过点P作直线！的平行线，可作的平行线有() 力· A.1条 B.2条 C.3条 D.无数条 3.(24-25七年级下广东湛江期末)下列命题中，是真命题的是() A.两条直线被第三条直线所截，内错角相等 B.互补的两个角是邻补角 C.在同一平面内，如果a1方b1 ,那么alc D.在同一平面内，如果AB⊥1，BC⊥I,那么A,B,C三点在同一条直线上 4.(24-25七年级下广东期末)如图，已知a∥b,若∠1=50°，则∠2等于() A.50° B.70° C.110 D.130° 5.(24-25七年级下·广东汕头期末)如图，AD‖BC,AB⊥AC,若∠I=36°，则∠B的度数是 入 10/26 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 6.(24-25七年级下广东广州期末)如图，平行线a,b被直线c所截，a与c相交于点O,OP⊥c于点 0,∠1=60°，则∠2的度数为°. 7.(2425七年级下广东东莞期末)将一个直角三角尺与两边平行的纸条如图放置，则下列结论一定正 确的是() A.∠1=∠4 B.∠3=∠5 C.∠2+∠3=180°D.L2+L5=180° ∥13 8.(24-25七年级下·广东省汕头市龙湖区·期末)已知直线 ,且分别与直线交于点B,把一块含 30°角的三角尺按如图所示的位置摆放，若∠1=55°，则∠2的度数是() A.85° B.95° C.105° D.135° 9.(24-25七年级下·广东东莞·期末)如图，烧杯内液体表面AB与烧标下底都CD平行，光线EF从液体 ∠FED=65°，∠GFH=36 中射向空气时发生折射，已知 ,则∠HF 的度数为. G 空气F B 液体 10.(24-25七年级下·广东广州期末)为出行方便，越来越多的市民使用共享单车，图1为单车实物图， 11/26 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 图2为单车示意图，己知AE∥BF,CB∥GD,∠GFB=105°，则∠AEB的度数为 图1 图2 11.(24-25七年级下·广东梅州期末)近几年中学生近视的现象越来越严重，为保护视力，读书，写字、看 书姿势要端正，一般人正常的阅读角度为俯角40°，书本与课桌的角度要保持在25°至40°，其几何示意图 如图所示，其中ABI‖ED,∠ABC=40°，∠CDE=35°，则视线BC和书本所在平面CD所成的角度∠BCD是 B E A.55° B.65° C.75° D.85 12.(24-25七年级下·广东汕头期末)某商场停车场出入口折叠拦道闸，可其抽象为如图所示的几何图形， 其中BA⊥AE,垂足为A,CD∥AE,则∠ABC+∠BCD=() D 7777777777777777797 A.250° B.260° C.270° D.280° 13.(24-25七年级下·广东揭阳期末)如图是一种夏季躺椅及其结构示意图，扶手AB与底座CD平行，支 撑OE和OF与底座CD分别交于点G和点D,扶手AB与靠背DM交于点N,己知∠AOE=∠BNM.若 OE平分∠AOF,∠ODC=30°，则扶手AB与靠背DM的夹角∠ANM的度数为() 12/26 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 M A B /G D A.100 B.105 C.120° D.150° 14.(24-25七年级下·广东云浮·期末)兴趣小组利用激光和平面镜进行平行光的反射实验.如图，一组平 行光线a,b经过平面镜反射后得到一组互相平行的反射光线.若∠1=∠2=48°，则∠3的度数为() A.48 B.84° C.90° D.96° 15.(24-25七年级下广东云浮期末)如图，已知：AB∥CD,CD∥EF,AE平分∠BAC,AC⊥CE,有下 列结论：①AB∥EF;②2∠1-∠4=90°；③2∠3-∠2=180°；④2∠3+∠4=270°.结论正确的有() B A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 16.(24-25七年级下广东河源期末)如图，AB∥CD,F为AB上一点，FD∥EH,且FE平分∠AFG 过点F作FG⊥EH于点G,且∠AFG=2LD,则下列结论：①∠D=30°；②2∠D+LEHC=90°；③FD 平分∠HFB:④FH平分∠GFD.其中正确结论的序号是() A D H A.①②③ B.①② C.①③ D.②④ 17.(24-25七年级下广东期末)如图，己知∠1=72°，∠2=108°，∠C=∠D.求证： 13/26 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (I)BD∥CE; (2)∠A=∠F. 18.(2425七年级下广东湛江·期末)如图，已知直线AB∥DF,且∠D与∠B互补，求证： D H G (I)DE∥BC: (2)当∠AMD=80°时，求∠AGC的度数. 19.(2425七年级下·广东潮州期末)如图，EF LBC,1=∠C,∠2+∠3=180°，试说明∠ADC=90° (请完善解答过程，并在括号内填写相应的理论依据.) E 3 B 解：，∠1=∠C,(已知) .GD∥( .∠2=∠DAC( ) :∠2+∠3=180°（已知） .∠DAC+∠3=180°( ∴，AD∥EF( ) .∠ADC=∠ (两直线平行，同位角相等) 14/26 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :EF⊥BC(已知) .∠EFC=90°（垂直的定义） .∠ADC=90°.（等量代换） 20.(24-25七年级下·广东梅州期末)如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D,点E在CA的延长线上， EF⊥BC于点F,∠E=∠3.试说明：AD是∠BAC的平分线.请你完成下列说理过程： E 3 B 64 :AD1BC,EF LBC(己知)， ∠4=∠5=90°（① ∴.AD∥EF(②」 ∴.∠1=③ (④ ∠2=⑤ (⑥ :∠E=∠3（⑦. ∴.∠1=⑧ (⑨ .AD是∠BAC的平分线： 21.(2425七年级下·广东汕头期末)已知：如图，AB∥DE,∠E=∠B (1)证明∠EAC=∠C. (2)若AB L AC,垂足为点A,∠EDB=120°，求∠EAC的度数. 22.(24-25七年级下广东珠海期末)如图，1+∠2=180°，∠B=∠3. 15/26 多学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 C D 03 B (I)求证：AB∥CD: (2)若∠A=75°，∠ACE=2∠3，求∠CEB的度数， 23.(24-25七年级下·广东清远期末)如图1，在△ABC中，∠A=40°，∠ABC=100°，E、D分别是AC, BC上的点，且∠CDE=100°， D E D A B 图1 图2 (I)求∠CED的度数： (2)如图2，过点B作BF∥AC交ED的延长线于点F,猜想∠ABF与∠CED的数量关系，并说明理由. 24.(22-23七年级下全国期中)如图，已知BC⊥AE,DE1AE,∠2+∠3=180° G F (1)请你判断CF与BD的位置关系，并证明你的结论： (2)若∠1=70°，BC平分∠ABD,试求∠ACF的度数. 目目 考点04 平移 1.(24-25七年级下广东中山期末)截至2025年5月24日24时，《哪吒之魔童闹海》全球实时票房达 到158.64亿元.题图是一张哪吒图片，下列哪张图片是通过平移题1图得到的() 16/26 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 、 2.(24-25七年级下·广东广州期末)在中国园林建筑中，洞窗是最生动的眼睛，主要以镂空图案填心为 主，故也称为镂空花窗·以下花窗的图样中，可以看作由其中一个图形通过平移得到的图形是() 己5己 A. C. D 3.(24-25七年级下·广东湛江期末)在同一平面内，下列说法错误的有()个. (1)过一点有且只有一条直线与己知直线平行： (2)过一点有且只有一条直线与已知直线垂直： (3)有公共顶点且和等于180度的两个角互为邻补角： (4)平移既改变图形的位置，也改变图形的形状和大小. A.1 B.2 C.3 D.4 4.(23-24七年级下广东广州期末)如图，将△ABC向右平移得到△DEF,已知BF=4,CE=2, AC=3,则四边形ACFD的周长为() A D B E A.3 B.4 C.5 D.8 5.(23-24七年级下广东韶关期末)如图，将Rt△ABC沿着点B到C的方向平移到△DEF的位置，AB=5, DO=2,平移距离为3，则图中阴影部分的面积为 17/26 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 O E 6.(23-24七年级下·广东云浮·期末)为在广州白云国际机场迎接某国领导人，工作人员需要在飞机舷梯 (图1)上铺设红地毯.已知舷梯宽1.5米，舷梯侧面及相关数据如图2所示，则至少需要购买平方 米的地毯， 2.7m 3.3m 图1 图2 7.(23-24七年级下广东湛江·期末)如图，将直角三角形ABC沿斜边AC的方向平移到三角形DEF的位 置，DE交BC于点G,BG=2,EF=5,三角形BEG的面积为1，下列结论：①∠A=∠BED:②三角形 ABC平移的距离是2：③BE=CF；④四边形ABGD的面积为4，正确的有() D G C B E A.②③ B.①②③ C.①③④ D.①②③④ 8.(24-25七年级下广东东莞期末)如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，箭头图形 的顶点分别在格点（网格线的交点）上. (I)请在网格图中画出该箭头图形向右平移8个单位长度后的图形，点A,点B,点C的对应点分别为 18/26 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A,B',C" (2)线段AB与AB的位置关系是 线段BC的长度是 目目 考点05 定义、命题与定理 1. (22-23七年级下·广东汕头期末)下列语句中，是命题的是() A.在线段AB上任取一点C B.对项角相等 C.过直线b外一点O作直线a,使a∥bD.锐角都相等吗？ 2.(24-25七年级下·广东东莞期末)对命题“同位角相等”的描述正确的是() A.是真命题 B.题设：两个角是同位角 C.是定理 D.结论：是同位角 3.(24-25七年级下广东·期末)下列命题中，不正确的是() A.在同一平面内，过一点有且只有一条直线与己知直线垂直 B.经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 C.垂直于同一直线的两条直线垂直 D.平行于同一直线的两条直线平行 4.(24-25七年级下广东广州期末)下列命题是真命题的是() A.在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 B.两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补 C.相等的两个角是对顶角 D.两个锐角的和是钝角 5.(24-25七年级下·广东广州期末)下列命题是假命题的是() A.同位角相等 B.同角的补角相等 C.对顶角相等 D.如果a∥b,b∥c,那么a∥c 6.(23-24七年级下·广东期末)对于命题“如果∠1+∠2=90°，那么∠1≠∠2”，下面能说明它是假命题 的反例是() A.∠1=50°，∠2=40° B.∠1=50°，∠2=50° C.∠1=∠2=45° D.∠1=40°，∠2=40° 7.(24-25七年级下·广东中山期末)对于命题“已知2<3，那么2a<3a”,能说明它是假命题的反例是 19/26 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 () A.a=-2 B.a=V2-1 c a=v2 D.a-2 8.(2425七年级下广东期末)把命题“同旁内角互补，两直线平行”改写成“如果…，那么…”的形 式为：如果 一，那么」 9.(2425七年级下广东期末)将“同角的补角相等”改成“如果…，那么…”的形式为：如果 那么这两个角相等 10.(2425七年级下广东广州期末)如图，有两条直线、n与直线a相交，已知a上m,根据图形，以 a、m、的两个可能关系分别为条件、结论，写出一个正确的命题如下： :a⊥m,又 m 11.(2425七年级下广东广州期末)市政部门决定对公园的广场重新整修，按照图中的排列方式重新铺 设广场地砖，需要用到两种规格的正方形地砖，其中一种是边长为40©m的大正方形地砖，一种是边长为 20m的小正方形地砖.为节约成本，铺设边缘部分时，可以将大正方形瓷砖分割成相等的两块使用.经 过一段时间工作后，工人们已经铺设了一块边长为4的正方形场地，那么他至少使用了」 块大正方 形地砖 目目 考点06 相交线与平行线中的综合压轴题型 1.(24-25七年级下·广东河源·期末)在学习过平行线的判定后，我们围绕“过直线外一点作已知直线的 平行线”为主题开展探究. 方法一：用尺规作图的方法画平行线 (1)A同学用的是尺规作图，已知P是直线a外一点，按如下作图步骤可作c∥a. 20/26 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 b b A同学画法，过 ① ② ③ ④ 点P作直线b与a相交，作∠2=∠1，则c∥a,依据是：- (2)B同学想出了另外一种尺规作图的方法如图所示. P b d P a B同学画法，过 a ① ② ③ ④ 点P作直线b与a相交，作∠3=I,则c∥a,依据是：- 方法二：用折纸的方法画平行线 (3)已知P是BC外一点，按照下面折纸步骤能折出与直线BC平行的直线（折纸步骤如图所示）， E B ① B② ③ B ④ 第一步：过点P折叠纸片，使点C的对应点C落在直线BC上（如图②），记折痕DE与BC的交点为A, 则折痕DE与BC的位置关系是_，依据是：-· 第二步：将纸片展开并铺平，再过点P将纸片进行折叠，使得点E的对应点E落在直线DE上（如图③）， 则折痕PF与EE的位置关系是_，依据是：-· 第三步：将纸片展开并铺平，此时折痕P℉与BC的位置关系是_，依据是：。 2.(24-25七年级下·广东期末)如图1，AB∥CD,∠PAB=130°，∠PCD=120°，求∠APC的度数. 21/26 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B …E 0 M M D B 图1 图2 备用图 小明的思路是：过P作PE∥CD,通过平行线性质来求∠APC (I)按小明的思路，求∠APC的度数： (问题迁移) (2)如图2，AB∥CD,点P在射线OM上运动，记∠PAB=C,∠PCD=B,当点P在B,D两点之间运动 时，问∠APC与，P之间有何数量关系？请说明理由： (问题应用) (3)在(2)的条件下，如果点P在B,D两点外侧运动时（点P与点O,B,D三点不重合），请直接写出 ∠APC.a,B 与 之间的数量关系（并画出相应的图形）· 3.(24-25七年级下广东期末)问题情境：如图1，AB∥CD,点E在直线AB上，点F在直线CD上， 点P在直线AB,CD之间，连接PE,PF.勤奋小组的同学们对该图形进行了研究. B H 图1 图2 图3 图4 (I)观察猜想：小明猜想LAEP+∠CFP=∠EPF,他过点P作PO∥AB,如图2，请帮他完成证明过程. (2)深入探究：小华在帮助小明完善解题过程时，发现用同样的辅助线还可以得到∠BEP,∠EPF,∠PFD 之间的关系，请写出这三个角度间满足的关系并完成证明 (3)问题解决：图3是天文爱好者小夏在观察北斗七星时所拍摄的画面，绘制北斗七星的位置图时将北斗七 星摇光、开阳、玉衡、天权、天玑、天璇、天枢分别标为A,B,C,D,E,F,G,并连接 22/26 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 AB,BC,CD,DE,EF,FG AB EF 绘制过程中发现摇光、开阳所在的直线 与天玑、天璇所在的直线几乎平 行（如图4）（因为距离地球很远，所以近似看作AB∥EF)·结合上面的探究过程，若 ∠HBC=36°，∠BCD=168°，∠DEF=103°∠CDE=。 ,则 4.(24-25七年级下广东广州期末)已知直线AB∥CD,点E、G分别为直线AB、CD上的点，点F是 AB与CD之间任意一点，连接EF、GF.过直线AB上的另一点M作直线MN∥FG,直线MN交直线CD 于点N, A、M E -B A、M 图① 图② (I)如图①，若∠FGD=120°，求∠BMN的度数； (2)如图①，求证：∠EFG=∠BMN+∠MEF: O如图②·点R足HB与CD之间险了点F外的在意一点，∠R0FER,∠RGD-PGR,过点E 作FG的垂线交CD于点H,连接MH,∠IHMN=∠ERG,∠FHD-∠AEF=3O,求∠HMN的度 5.(24-25七年级下广东广州期末)【问题情境】在劳动课上，陈老师带同学们制作手工艺品. 活动一：张华先通过折纸折出一个框架，折纸过程如下：图①图②-图③-图④. 23/26 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 F P P. B A A A E 图① 图② 图③ 图④ C D C D ON B A 图⑤ 图⑥ (1)通过上述的折纸过程，图②的折痕P9与直线AB的位置关系是一；如图④，因为∠I=∠2，所以 AB∥CD,依据是 活动二：张华在框架做好以后，他在P、O两点处安装了两个小射灯，射灯P发出的射线PV从PD开始， 绕点P以每秒1°的速度顺时针旋转，每次碰到CD后立即原路返回，若射线PN转动20秒后，射灯Q发出 的射线QH从Q4开始，绕点Q以每秒3°的速度顺时针旋转，每次碰到AB后立即原路返回. (2)在射线PN第一次到达PC之前，当射灯Q转动t秒时，射线PV转动到如图⑤的位置， ①<DPw o 用含t的式子表示： ②记射线PN与射线QH的交点为点O,在图⑥中画出t=40秒时的图形，求此时∠POQ的度数. 【问题探究】 (3)在(2)的条件下，求当t为何值时PV∥QH, 6.11.(2425七年级下广东惠州期末)已知直线AB∥CD,在三角形纸板EFG中，∠F=90°， ∠EGF=30°. 24/26 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B A -R -C D- G 图1 图2 (I)将三角形EFG按如图1放置，点E和点G分别在直线AB、CD上，若∠DGF=25°，则∠AEF=_, ∠BEG=_: (2)将三角形EFC按图2放置，点E和点G分别在直线AB、CD上，GF交AB于点H,若∠DGF=a, ∠BEF=B a B 试求之间的数量关系： (3)在图2中，若∠AEF=20°，∠AEG=40°，将三角形EFH绕点F以每秒10°的速度顺时针旋转一周，设 运动时间为t秒.当三角形EFH的一条直角边分别与GE平行时，求出相应t的值（直接写出答案）， 7.(24-25七年级下·广东东莞·期末)【问题背景】 如图I,已知AB∥CD,直线EF与AB,CD分别交于点E,F,EM交直线CD于点M,且 ∠FEM=∠FME A E B EB F 图1 图2 \E一B F 备用图 (I)求证：EM平分∠BEF; 【拓展迁移】 (2)点G是射线MC上的一个动点（不与点M,F重合），EH平分∠FEG交直线CD于点H,过点H作 25/26 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 HN∥EM AB N ∠EHN=a,∠EGF=B 交直线“于点.设 (1)如图2，当点G在点F的左侧，且α=63°时，求P的值； (2)当点G在运动过程中，直接写出α和B之间的数量关系. 8.(23-24七年级下广东期末)如图1,0为直线AB上一点，过点0作射线0C,∠A0C=30°，将一直 角三角板（∠M=30°）的直角顶点放在点O处，一边ON在射线OA上，另一边OM与OC都在直线AB的 上方，将图1中的三角板绕点0以每秒3°的速度沿顺时针方向旋转一周. M C M AN O B 0 B 图1 图2 备用图1 备用图2 (1)几秒后ON与OC重合？ (2)如图2，经过t秒后，MN∥AB,求此时t的值： (3)若三角板在转动的同时，射线OC也绕O点以每秒6°的速度沿顺时针方向旋转一周，那么经过多长时间 OC与OM重合？ (4)在(3)的条件下，当射线OC,射线OM,射线OB三条中的一条是另外两条组成的夹角的平分线时， 请直接写出t的值. 26/26