专题07一元一次不等式（组）同步讲义（2）(知识梳理+题型精析+考点突破）2025-2026学年湘教版七年级数学下册

专题07一元一次不等式（组）同步讲义（2） 【3.5一元一次不等式组】 1.理解一元一次不等式组的概念，知道一元一次不等式组的解集的含义。 2.会解由两个一元一次不等式组成的不等式组，能利用数轴确定不等式组的解集。 3.掌握不等式组解集的四种基本情况（同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到）。 4.能根据题意列出一元一次不等式组解决简单的实际问题。 5.体会数形结合与转化的数学思想，提升运算与逻辑推理能力。 必备知识 点梳理 1.不等式组的相关概念 2.解集的四种情况 3.解一元一次不等式组的步骤 4.一元一次不等式组的实际应用. 常考题型 精讲精炼 1.一元一次不等式组的定义 2.求不等式组的解集 3.求不等式组的整数解 4.由不等式组的解集求参数 5.由不等式组解集的情况求参数 6.不等式组和方程组结合的问题 7.解|x|a型的不等式 8.列一元一次不等式组 9.不等式组的经济问题 10.不等式组的行程与分配问题 11.不等式组方案选择与阶梯收费问题 12.一元一次不等式组的其他实际应用问题 强化巩固 解答题(6题) 【知识点01.不等式组相关概念】 一元一次不等式组：把几个含有相同未知数的一元一次不等式合在一起，就组成一元一次不等式组。 不等式组的解集：几个不等式解集的公共部分。 解不等式组：求不等式组解集的过程。 【知识点02.解集的四种情况】 设 a<b： 【知识点03.解一元一次不等式组的步骤(必考)】 1.分别解出每个一元一次不等式的解集 2.在数轴上表示出各个解集 3.找出公共部分，写出不等式组的解集 4.检验（实际问题需符合题意） 【知识点04.一元一次不等式组的实际应用】 核心思路：审→设→列→解→验→答（六步走，缺一不可） ✅关键：找到题目中的不等关系词，列出多个不等式组成不等式组。 步骤详解: 1.审：审清题意，找出已知量、未知量，圈出不等关系关键词（核心）；📌 常见不等词：至少、至多、不少于、不超过、大于、小于、多于、少于等。 2.设：设出一个未知数（直接设所求量，预习阶段多为单未知数）； 3.列：根据不等关系，列出两个及以上一元一次不等式，组成不等式组； 4.解：按照不等式组解法，求出解集； 5.验：双重验证（预习必做，避坑关键）； 验证解集是否符合不等式组的解； 验证解集是否符合实际问题意义（如人数、物品数为正整数，长度、重量为非负数）。 6.答：根据验证结果，写出符合题意的答案（注意单位）。 【知识点05.易错点】 1.去分母、系数化为负数时，不等号方向必须改变。 2.数轴表示： 含等号（≥、≤）用实心点 不含等号（＞、＜）用空心圈 3.解集是所有不等式的公共部分，不是合并或随便写一个。 4.书写规范：解集要用最简形式（如 2<x≤5），不能乱序。 【题型1.一元一次不等式组的定义】 【典例】下列是一元一次不等式组的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】某生物兴趣小组要在温箱里同时培养A，B两种菌苗，已知A种菌苗生长的适宜温度的范围是 ，B种菌苗生长的适宜温度 的范围是 ，那么温箱里的温度应该设定的范围是_________． 【跟踪专练2】我们规定任意两点M、N之间的距离记作，已知点A在数轴上，对应的数是，点B在数轴上对应的点是1；如果点Q在数轴上，而且满足，请用不等式表示出所有符合条件的点Q所对应数x的范围______． 【跟踪专练3】下列不等式组中，不是一元一次不等式组的是（ ） （） ()()() A．() B．() C．()、() D．()、() 【题型2.求不等式组的解集】 【典例】不等式组的解集是___________． 【跟踪专练1】对于实数对，定义偏左数为，偏右数为．已知实数对的偏左数偏右数，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】定义一种新运算：，则关于x的不等式组的负整数解共有__________个． 【跟踪专练3】定义：我们把互不相等的三个正整数，3，5放在一起（排列不分顺序），组成一个数串称为特征数串，现操作如下：用一个特征数串三个数中最大的数减去其它两个数之积的差的绝对值去替换这三个数中最大的数得到一个新数串，若这个新数串仍为特征数串时，就可进行再次操作，否则停止，下列说法： ①特征数串17，3，5经过操作后可以得到新数串1，2，3； ②若特征数串，3，5经过一次操作后得到的新数串为1，2，3，则或2； ③若特征数串，3，5经过两次操作后得到的新数串为1，2，3，则共有6种不同的取值． 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【题型3.求不等式的整数解】 【典例】已知，则关于的不等式组的所有整数解的积是________． 【跟踪专练1】不等式组的负整数解是（　　） A．，0， B． C．， D．不能确定 【跟踪专练2】已知关于的不等式组的整数解共有5个，则的取值范围是______． 【跟踪专练3】已知关于的不等式组的最小整数解是3，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型4.由不等式组的解集求参数】 【典例】关于的不等式组的解集是，则的值为______． 【跟踪专练1】关于x的不等式组的解集是，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】关于的不等式组的解集为，则___________． 【跟踪专练3】关于x的方程的解为非负整数，且关于x的不等式组无解，则符合条件的整数k的值的和为（   ） A．5 B．2 C．4 D．6 【题型5.由不等式组解集的情况求参数.】 【典例】若关于的不等式组只有3个整数解，则的取值范围是___________． 【跟踪专练1】若不等式组有解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】关于x的不等式组恰有三个整数解，则符合条件的所有整数a的和为________． 【跟踪专练3】关于的不等式组恰有3个整数解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型6.不等式组和方程组结合的问题】 【典例】关于 x 、y 的方程组的解满足 x + y >0，则k的值满足的范围为___________ ． 【跟踪专练1】已知关于x的不等式组的解集为，则a，b的值分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【跟踪专练2】若方程组的解，满足，则的取值范围为___________． 【跟踪专练3】设表示不超过x的最大整数，如，，，若x，y满足，那么的值是（   ） A．3 B．2或 C．3或 D．1或2 【题型7.解|x|的不等式】 【典例】不等式的解集是______． 【跟踪专练1】若，则x与3的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】不等式的解为_____． 【跟踪专练3】如果｜x｜＞3，那么x的范围是___________ 【题型8.列一元一次不等式组】 【典例】今年3月某天的最高气温为12℃，最低气温为﹣1℃，则这天气温t（℃）的变化范围是_____． 【跟踪专练1】已知，下列结论不正确的是（　　） A． B． C． D． 【跟踪专练2】对于实数，用表示不大于的最大整数，例如，，，若，则的取值范围________． 【跟踪专练3】用表示三种不同的物体，现放在天平上比较两次，情况如图所示，那么这三种物体按质量从大到小的顺序排列应为（ ） A． B． C． D． 【题型9.不等式组的经济问题】 【典例】淇淇第一次以5元/千克的价格买了2千克西红柿，第二次以元/千克的价格买了4千克西红柿，两次购买西红柿的平均价格每千克大于5元且小于6元，若恰好是整数，则___________． 【跟踪专练1】“双减”政策实施之后，某校为丰富学生的课外生活，现决定增购篮球和排球共30个，购买资金不超过3600元，且购买篮球的数量不少于排球数量的一半，若每个篮球150元，每个排球100元．求共有几种购买方案？设购买篮球个，可列不等式组为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】王芳到文具店购买中性笔和笔记本，中性笔每支0.8元，笔记本每本1.2元．王芳带了12元，当她买了5本笔记本后，如果计划余下的钱少于0.8元，那么她还能买几支中性笔？ 【跟踪专练3】初一年级倡导书目为《我们仨》和《围城》．已知购买3本《我们仨》4本《围城》共需160元．购进2本《我们仨》和1本《围城》共需65元． (1)购买一本《我们仨》和一本《围城》各需多少钱？ (2)冰莹图书馆为方便学生借阅，计划购进两种书籍共100本，且总费用不超过2345元，预计购进《我们仨》的数量不超过《围城》数量的，有哪几种购买方案？ 【题型10.不等式组的行程与分配问题】 【典例】春雨中学九年级（1）班和九年级（2）班的同学外出参观，将两班的所有学生分成8组，如果每组人数比预定每组人数多1人，那么学生总数将超过100人；如果每组人数比预定每组人数少1人，那么学生总数将不到90人．则预定每组学生有___________人． 【跟踪专练1】为梦想续航，向美好奔赴．1月12日下午，南开中学一年一度的迎新年环校跑火热开跑．3000余名南开学子奔跑在美丽的校园里，他们无惧考验，用脚步丈量青春．为了在比赛中取得好名次，甲、乙、丙3人于1月10日、11日两天去操场练习，已知甲、乙、丙的速度均为整数，不低于，不高于，乙速度是甲速度的两倍，且均各自保持不变．10日甲乙练习时间之比为，丙练习时间比甲少，10日他们一共跑了．11日他们练习时间增加，甲增加的时间占乙、丙增加时间之和的，乙增加的时间是丙增加时间的2倍，且甲乙练习时间之和为丙练习时间的3倍，11日他们一共跑了，则甲的速度为______，11日三人练习时间之和为_______． 【跟踪专练2】某工厂计划生产A、B两种产品共15件，其生产成本和利润如表： A种产品 B种产品 成本（万元/件） 3 4 利润（万元/件） 1 3 (1)若工厂计划获利23万元，问A、B两种产品应分别生产多少件？ (2)若工厂计划投入资金不多于56万元，且获利多于31万元，问工厂有哪几种生产方案？ (3)在（2）的条件下，哪种生产方案获利最大？并求出最大利润 【跟踪专练3】热爱锻炼的李子宸同学沿着香零山的环形跑道（周长大于）按逆时针方向跑步，并用跑步软件记录运动轨迹，他从起点出发，每跑，软件会在运动轨迹上标注出相应的里程数．前的记录数据如图所示． (1)当李子宸同学跑了2圈时，他的运动里程数______（填“”“”或“”）； (2)若，利用不等式的基本性质比较与的大小； (3)如果李子宸同学跑到时恰好回到起点，求此时李子宸同学总共跑的圈数． 【题型11.不等式组的方案选择与阶梯收费问题】 【典例】学校购进单价分别为5元和7元的两种笔记本共50本作为奖品发放给学生，要求种笔记本的数量不多于种笔记本数量的3倍，不少于种笔记本数量的2倍，则不同的购买方案种数为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【跟踪专练1】大连地铁票收费标准如下： 不超过，2元人次；超过到（含），元/人次； 超过到（含），4元/人次； 超过到（含），5元/人次； 超过到（含），6元/人次； 超过到（含），7元/人次； 超过到（含），8元/人次； 超过部分，票价每增加元可再乘坐． 一位乘客单次乘坐地铁购票花费了元，设他乘坐地铁的里程为，用不等式表示的范围为______． 【跟踪专练2】已知，符号表示大于或等于的最小正整数，如： (1)填空：_____；____；若，则的取值范围是____． (2)某市的出租车收费标准规定如下：以内（包括）收费元，超过后，每行驶，加收元（不足的按计算），用表示所行的公里数，表示行公里应付车费，则乘车费可按如下的公式计算： 当（单位：千米）时，（元）； 当（单位：千米）时，_____（元）（用符号来取整） (3)某乘客乘车后付费元，求该乘客所行的路程的取值范围． 【跟踪专练3】.某初中519名学生和20名教师参加春游活动，现有A、B两种公交车型可供租用，且A、B两种公交车型核载人数分别为35人／辆、28人／辆．已知租用2辆A型客车与1辆B型客车需要1036元，租用1辆A型客车与3辆B型客车需要1358元． (1)求租用每辆A型客车与每辆B型客车各需要多少元； (2)若要求此次租车共18辆，且总租金不高于6200元，请问有几种租车方案？ 【题型12.一元一次不等式组的其他应用】 【典例】按照如下程序操作，规定：从“输入一个值”到“结果是否大于83”为一次程序操作．如果结果得到的数小于或等于83，则用得到的这个数进行下一次操作．如果程序操作执行两次才停止，则输入的的取值范围是_____． 【跟踪专练1】如图，是测量一颗玻璃球体积的过程：第一步：将的水倒进一个容量为的杯子中；第二步：将四颗相同的玻璃球放入水中，结果水没有满；第三步：再加一颗同样的玻璃球放入水中，结果水满溢出． 根据以上过程，推测这样一颗玻璃球的体积在（    ） A．以上，以下 B．以上，以下 C．以上，以下 D．以上，以下 【跟踪专练2】《义务教育语文课程标准》（2022年版）提出：初中阶段的阅读量不少于260万字．为此，学校图书馆计划购置一批图书以满足学生的阅读需求．如图是长为的单格书架，在该书架上按图示的方法摆放文学类和艺术类图书，其中文学类图书每本厚约，艺术类图书每本厚约． (1)若在该书架上，文学类图书已经摆放了20本，剩余空间都摆放艺术类图书，则艺术类图书最多还可以摆放多少本？ (2)现有文学类和艺术类图书共100本放置在该书架上，根据摆放要求，艺术类图书数量不多于文学类图书数量的2倍，请问有哪几种摆放方案？ 【跟踪专练3】金华佛手适宜闻香观赏，佛手柑挂件深受大家喜爱．某工艺品店销售小号和大号两种规格的佛手柑挂件，已知销售个小号佛手柑挂件和个大号佛手柑挂件共可获利元，销售个小号佛手柑挂件的获利和销售个大号佛手柑挂件的获利相等． (1)求销售个小号佛手柑挂件和个大号佛手柑挂件分别获利几元？ (2)该店某天销售佛手柑挂件共个，已知销售的大号佛手柑挂件的数量比小号佛手柑挂件的数量的倍还多，获得的总利润不足元，请求出销售的小号佛手柑挂件和大号佛手柑挂件各多少个？ 【解答题】 1．解不等式组，并将其解集在数轴上表示出来． 2．求不等式组：的所有非负整数解． 3．明明在解一元一次不等式组时，发现“□”里的常数看不清楚，但知道这个不等式组的解集为．若用字母表示“□”里的常数，试求字母的取值范围． 4．已知关于的方程组的解满足，求的取值范围． 5．阅读理解：请阅读下面求含绝对值的不等式和的解集过程．对于含绝对值的不等式，从图的数轴上看：大于而小于的数的绝对值小于，所以的解集为；对于含绝对值的不等式，从图的数轴上看：小于或大于的数的绝对值大于，所以的解集为或． 问题解决： (1)求出含绝对值的不等式的解集 (2)已知关于，的二元一次方程的解满足，其中是正数，求的取值范围． 6．根据以下素材，解决相应问题， 【素材1】我校开展爱心义卖活动，小艺和同学们打算推销自己的手工制品．他们以每张15元的价格买了100张长方形木板，每张木板的长和宽分别为80cm，40cm． 【素材2】现将部分木板按图①所示的虚线裁剪，剪去四个边长相同的小正方形（阴影部分），再把剩余五个长方形拼制成无盖长方体收纳盒，使其底面长与宽之比为．其余木板按图②所示的虚线裁剪出两块木板（阴影部分是余料），给部分收纳盒配上盖子． 【问题解决】 (1)求出长方体收纳盒的高度； (2)若制成的有盖收纳盒个数大于无盖收纳盒个数，但不到无盖收纳盒个数的2倍，木板该如何分配？请给出分配方案． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07一元一次不等式（组）同步讲义（2） 【3.5一元一次不等式组】 1.理解一元一次不等式组的概念，知道一元一次不等式组的解集的含义。 2.会解由两个一元一次不等式组成的不等式组，能利用数轴确定不等式组的解集。 3.掌握不等式组解集的四种基本情况（同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到）。 4.能根据题意列出一元一次不等式组解决简单的实际问题。 5.体会数形结合与转化的数学思想，提升运算与逻辑推理能力。 必备知识 点梳理 1.不等式组的相关概念 2.解集的四种情况 3.解一元一次不等式组的步骤 4.一元一次不等式组的实际应用. 常考题型 精讲精炼 1.一元一次不等式组的定义 2.求不等式组的解集 3.求不等式组的整数解 4.由不等式组的解集求参数 5.由不等式组解集的情况求参数 6.不等式组和方程组结合的问题 7.解|x|a型的不等式 8.列一元一次不等式组 9.不等式组的经济问题 10.不等式组的行程与分配问题 11.不等式组方案选择与阶梯收费问题 12.一元一次不等式组的其他实际应用问题 强化巩固 解答题(6题) 【知识点01.不等式组相关概念】 一元一次不等式组：把几个含有相同未知数的一元一次不等式合在一起，就组成一元一次不等式组。 不等式组的解集：几个不等式解集的公共部分。 解不等式组：求不等式组解集的过程。 【知识点02.解集的四种情况】 设 a<b： 【知识点03.解一元一次不等式组的步骤(必考)】 1.分别解出每个一元一次不等式的解集 2.在数轴上表示出各个解集 3.找出公共部分，写出不等式组的解集 4.检验（实际问题需符合题意） 【知识点04.一元一次不等式组的实际应用】 核心思路：审→设→列→解→验→答（六步走，缺一不可） ✅关键：找到题目中的不等关系词，列出多个不等式组成不等式组。 步骤详解: 1.审：审清题意，找出已知量、未知量，圈出不等关系关键词（核心）；📌 常见不等词：至少、至多、不少于、不超过、大于、小于、多于、少于等。 2.设：设出一个未知数（直接设所求量，预习阶段多为单未知数）； 3.列：根据不等关系，列出两个及以上一元一次不等式，组成不等式组； 4.解：按照不等式组解法，求出解集； 5.验：双重验证（预习必做，避坑关键）； 验证解集是否符合不等式组的解； 验证解集是否符合实际问题意义（如人数、物品数为正整数，长度、重量为非负数）。 6.答：根据验证结果，写出符合题意的答案（注意单位）。 【知识点05.易错点】 1.去分母、系数化为负数时，不等号方向必须改变。 2.数轴表示： 含等号（≥、≤）用实心点 不含等号（＞、＜）用空心圈 3.解集是所有不等式的公共部分，不是合并或随便写一个。 4.书写规范：解集要用最简形式（如 2<x≤5），不能乱序。 【题型1.一元一次不等式组的定义】 【典例】下列是一元一次不等式组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查一元一次不等式组的判断，根据一元一次不等式组的定义：由几个含有同一个未知数的一元一次不等式组成的不等式组，逐一分析选项即可得出答案． 【详解】解：A、选项中的不等式组含两个未知数x和y，不符合定义，故此选项不符合题意； B、选项中的第一个不等式中未知数x的次数为2，不是一元一次不等式，不符合定义，故此选项不符合题意； C、选项中的两个不等式都只含一个未知数x，x的次数为1，且都是整式不等式，符合一元一次不等式组的定义，故此选项符合题意； D、选项中的第一个不等式中含有（分式），不是整式不等式，不符合定义，故此选项不符合题意； 故选：C． 【跟踪专练1】某生物兴趣小组要在温箱里同时培养A，B两种菌苗，已知A种菌苗生长的适宜温度的范围是 ，B种菌苗生长的适宜温度 的范围是 ，那么温箱里的温度应该设定的范围是_________． 【答案】 【分析】本题考查了求不等式组解集的意义；由题意知，温度要同时适宜两种菌苗的生长，就是求这两个范围的公共部分． 【详解】解：这两个温度范围的公共部分是：； 故答案为：． 【跟踪专练2】我们规定任意两点M、N之间的距离记作，已知点A在数轴上，对应的数是，点B在数轴上对应的点是1；如果点Q在数轴上，而且满足，请用不等式表示出所有符合条件的点Q所对应数x的范围______． 【答案】 【分析】本题考查数轴上两点间的距离，有理数的减法等知识，分“当点Q在A点的左边，即时，当点Q在线段上，当点Q在B点的右边”三种情况讨论即可得解，运用数形结合与分类讨论思想解题是解题的关键． 【详解】解：当点Q在A点的左边，即时，； 当点Q在线段上，即时，； 当点Q在B点的右边，即时，； 故答案为： 【跟踪专练3】下列不等式组中，不是一元一次不等式组的是（ ） （） ()()() A．() B．() C．()、() D．()、() 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次不等式组的定义，根据一元一次不等式组的定义进行判断即可，正确理解一元一次不等式组的定义是解题的关键． 【详解】解：根据一元一次不等式组的概念，可知（）、（）、（）是一元一次不等式组，（）中含有两个未知数，且最高次数为，故不是一元一次不等式组， 故选：． 【题型2.求不等式组的解集】 【典例】不等式组的解集是___________． 【答案】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小无解”的原则是解答此题的关键．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解确定不等式组的解集． 【详解】解：解不等式，得； 解不等式，得； 所以不等式组的解集为， 故答案为：． 【跟踪专练1】对于实数对，定义偏左数为，偏右数为．已知实数对的偏左数偏右数，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查一元一次不等式组的应用，根据题意可列出一元一次不等式组，求解即可． 【详解】根据题意，得 解不等式，得 ． 解不等式，得 ． 所以该不等式组的解集为． 故选：C． 【跟踪专练2】定义一种新运算：，则关于x的不等式组的负整数解共有__________个． 【答案】3 【分析】根据新定义化简不等式组.求出解集后，找出解集中的负整数，即可得到负整数解的个数． 【详解】解： 将不等式组，即化简得 解得 解得 不等式组的解集为 不等式组的负整数解为，共个． 【跟踪专练3】定义：我们把互不相等的三个正整数，3，5放在一起（排列不分顺序），组成一个数串称为特征数串，现操作如下：用一个特征数串三个数中最大的数减去其它两个数之积的差的绝对值去替换这三个数中最大的数得到一个新数串，若这个新数串仍为特征数串时，就可进行再次操作，否则停止，下列说法： ①特征数串17，3，5经过操作后可以得到新数串1，2，3； ②若特征数串，3，5经过一次操作后得到的新数串为1，2，3，则或2； ③若特征数串，3，5经过两次操作后得到的新数串为1，2，3，则共有6种不同的取值． 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查新定义，数字的变化规律，根据其定义进行分析判断是解决该类问题的关键． 根据题中的操作将一个有效数串三个数中最大的数减去其它两个数积的差的绝对值去替换这三个数中最大的数得到一个新数串，再根据定义进行检验判断新得到有效数串是否为有效数串即可求出结论． 【详解】解：①若特征数串17，3，5， ∵ ∴第一次替换后新数串为2，3，5， ∵ ∴第二次替换后新数串为1，2，3， 故①正确； ②若特征数串，3，5， ∵经过一次操作后得到的新数串为1，2，3， ∴5被替换，即5为最大数， ∴或， ∵x为正整数， ∴或， 故②正确； ③若特征数串，3，5， 分两种情况：（1）当为最大数时，则第一次替换后新特征数串为：、3、5， 经过第二次变换后，新数串为1、2、3， 则可知，第二次操作，5被替换， ∴，解得： 新数串为：、3、或， ∵特征数串，3，5经过两次操作后得到的新数串为1，2，3， ∴当，或， ∴或， 特征数串为16，3，5；或14，3，5； 当，或， ∴或； 特征数串为13，3，5；或17，3，5； （2）当5为最大数时，则第一次替换后新特征数串为：x、3、， ∵经过第二次变换后，新数串为1、2、3， 则可知，第二次操作，x或被替换， 当x最大时，则，解得：， ∴新数串为：，3， 当， 时 ∴（舍去） 当，时， ∴无解； 当最大时，则，解得：， ∴新数串为：，3，x， 当， 时 解得：（舍去）； 当， 时 无解； 综上，若特征数串，3，5经过两次操作后得到的新数串为1，2，3，则共有4种不同的取值． 故③错误； ∴有①②正确，共2个． 故选：C． 【题型3.求不等式的整数解】 【典例】已知，则关于的不等式组的所有整数解的积是________． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是求不等式组的整数解，解题关键是熟练掌握一元一次不等式组的解法． 先求出不等式组的解集，结合的取值范围找到所有整数解并求积即可． 【详解】解：由可得， ， 不等式组的解为，所有整数解为、、， 故所有整数解的积是． 故答案为：． 【跟踪专练1】不等式组的负整数解是（　　） A．，0， B． C．， D．不能确定 【答案】C 【分析】先求出不等式组的解集，再找出解集中符合要求的负整数． 【详解】解：不等式组的解集为：， ∴该不等式组的负整数解是，． 【跟踪专练2】已知关于的不等式组的整数解共有5个，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】先分别求解不等式组中两个不等式，得到不等式组的解集，再根据整数解的个数确定a的取值范围． 【详解】解：解不等式，得． 解不等式，得． ∵不等式组的整数解有5个， 所以不等式组的解集为． 这个整数解为，，，，． ∴的取值范围是． 【跟踪专练3】已知关于的不等式组的最小整数解是3，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先分别解两个不等式，得到不等式组的解集为，根据最小整数解是，可知不是解而是解，从而得出关于的不等式组，求解即可． 【详解】解：解不等式组： 解第一个不等式： ∵ ∴ ． 解第二个不等式： ∵ 两边乘： 展开： 移项： ∴ ． 即 ． ∴ 不等式组的解集为 ． ∵ 最小整数解是 ∴ 不是解，故 ． 又 ∵ 是解，故 ∵ ∴ ． 即 ． ∵ 且 ∴ ． 即 ． ∴ ． 故选：B． 【点睛】本题考查了知识点一元一次不等式组的整数解，解题关键是根据最小整数解的条件，建立关于的不等式，从而确定 的取值范围． 【题型4.由不等式组的解集求参数】 【典例】关于的不等式组的解集是，则的值为______． 【答案】3 【分析】分别求出每个不等式的解集，再结合不等式组的解集得出关于a的方程，解之即可得出答案． 【详解】解：解不等式得，， 解不等式得，， 不等式组的解集是：， 关于的不等式组的解集是， ， ， 故答案为：3 ． 【跟踪专练1】关于x的不等式组的解集是，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先分别解出两个不等式的解集，再根据不等式组解集“同小取小”的规则，即可确定a的取值范围． 【详解】解：， 解不等式得∶， 解不等式得∶， ∵不等式组的解集是， ∴， 【跟踪专练2】关于的不等式组的解集为，则___________． 【答案】1 【分析】本题考查了不等式组的含参问题，先分别求解两个不等式，再根据该不等式组的解集得出，求出a和b的值，即可解答． 【详解】解：， 由①得：， 由②得：， ∵不等式组解集为， ∴， 解得：， ∴． 【跟踪专练3】关于x的方程的解为非负整数，且关于x的不等式组无解，则符合条件的整数k的值的和为（   ） A．5 B．2 C．4 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了解一元一次方程，解一元一次不等式组，正确解一元一次方程，解一元一次不等式组是解题的关键．先表示出方程的解，由方程的解为非负整数且不等式组无解，确定出k的值即可． 【详解】解：解方程得， ∵方程的解为非负整数， ∴0，即， 不等式组整理得：， 由不等式组无解，得到， ∴，即整数， 当时，，不是整数； 当时，，不是整数，两个k的值不符合题意，舍去； 综上，， 则符合条件的整数k的值的和为4． 故选：． 【题型5.由不等式组解集的情况求参数.】 【典例】若关于的不等式组只有3个整数解，则的取值范围是___________． 【答案】 【分析】本题考查了解不等式组，掌握不等式的性质，不等式组的取值方法是关键． 根据不等式的性质解不等式组，再根据不等式组的取值方法得到解集，由只有3个整数解的含义即可求解． 【详解】解：， 解①得，， 解②得，， ∴， ∵不等式组只有3个整数解，即整数解为， ∴， 解得，， 故答案为： ． 【跟踪专练1】若不等式组有解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先分别解出两个不等式的解集，再根据不等式组有解即解集存在公共部分，列出关于a的不等式，求解即可． 【详解】解：， 由①得，； 由②得，； ∵不等式组有解，两个解集存在公共部分， ∴， 解得． 【跟踪专练2】关于x的不等式组恰有三个整数解，则符合条件的所有整数a的和为________． 【答案】1 【分析】先分别求解不等式组中的两个不等式得到解集，再根据恰有三个整数解确定参数的取值范围，找出范围内的整数，最后计算它们的和． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为， ∵不等式组恰有三个整数解，小于的连续三个整数为， ∴不等式组的三个整数解为， ∴， ∴ ∴符合条件的整数为， ∴所有整数的和为 【跟踪专练3】关于的不等式组恰有3个整数解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元一次不等式组的整数解，解题关键是先求出不等式组的解集，再根据整数解的个数确定参数的取值范围 【详解】解：解不等式，得 ∵解不等式，得 ∴不等式组的解集为 ∵不等式组恰有3个整数解，这3个整数解为 ∴要使能取到且取不到，需满足 故选：A． 【题型6.不等式组和方程组结合的问题】 【典例】关于 x 、y 的方程组的解满足 x + y >0，则k的值满足的范围为___________ ． 【答案】k＞−4 【分析】两方程相加，再等式两边都除以4，根据已知x＋y＞0得出关于k的不等式，求出不等式的解集即可． 【详解】解： ①＋②得：4x＋4y＝k＋4， x＋y＝k＋1， ∵关于x，y的方程组的解满足x＋y＞0， ∴k＋1＞0， 解得：k＞−4， 故答案为：k＞−4． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，一元一次不等式的应用，解此题的关键是能得出关于k的一元一次不等式． 【跟踪专练1】已知关于x的不等式组的解集为，则a，b的值分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查的是一元一次不等式组与二元一次方程组的综合．分别求出每一个不等式的解集，根据不等式组的解集得出关于a、b的方程组，解之求得a、b的值即可得出答案． 【详解】解： ， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为， ∵不等式组的解集为， ∴， 解得：． 故选：D 【跟踪专练2】若方程组的解，满足，则的取值范围为___________． 【答案】/ 【分析】本题主要考查解方程组及不等式的综合，理解题意，熟练掌握运用求解方法是解题关键．先将两个方程相加，得到，代入然后求解即可． 【详解】解：解方程组： 得，， ∵， ∴， 解得：． 故答案为：． 【跟踪专练3】设表示不超过x的最大整数，如，，，若x，y满足，那么的值是（   ） A．3 B．2或 C．3或 D．1或2 【答案】C 【分析】本题考查了新定义，方程组的定义，不等式组的解法，理解题意，通过不等式组分析确定和的可能值，是解题的关键． 设，，则a、b为整数，由方程组得到，，然后根据新定义可知，，从而得到，，进而得到关于b的一元一次不等式组，解得b的可能值，从而确定x和y的值，即可解答． 【详解】解：设，，则a、b为整数， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵a、b为整数， ∴， ∵， ∴，则， 又∵， ∴，即， 将代入得， 即 解得， ∴或2， 当时，，，， ∴； 当时，，，， ∴， ∴的值为3或． 故选：C． 【题型7.解|x|的不等式】 【典例】不等式的解集是______． 【答案】/ 【分析】根据“|a|”的几何意义是：数a在数轴上对应的点到原点的距离即可解答． 【详解】解：根据绝对值的几何意义可得：“”可理解为数在数轴上对应的点到原点的距离小于， 不等式的解集是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了绝对值的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键． 【跟踪专练1】若，则x与3的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了绝对值的非负性，准确分析判断是解题的关键． 根据绝对值的非负性，等式成立需，即，且代入验证成立． 【详解】， ， ，即， 故选． 【跟踪专练2】不等式的解为_____． 【答案】或 【分析】分、和三种情况进行讨论，去掉绝对值符号，即可求解． 【详解】解：当时，原不等式即，解得：； 当时，原式即：，无解； 当时，原式即：，解得：． 故不等式的解集是：或． 【跟踪专练3】如果｜x｜＞3，那么x的范围是___________ 【答案】或 【分析】首先算出|x|=3的解，然后根据“大于取两边”的口诀得解 ． 【详解】解：由绝对值的意义可得： x=3或x=-3时，|x|=3， ∴根据“大于取两边”即可得到｜x｜＞3的解集为：x>3或 x<−3（如图）， 故答案为：x>3或 x<−3．　　 【点睛】本题考查绝对值的意义及不等式的求解，熟练掌握有关不等式的求解方法是解题关键． 【题型8.列一元一次不等式组】 【典例】今年3月某天的最高气温为12℃，最低气温为﹣1℃，则这天气温t（℃）的变化范围是_____． 【答案】-1≤t≤12 【分析】这一天的气温应该大于或等于最低气温而小于或等于最高气温． 【详解】解：因为最低气温是-1℃，所以-1≤t，最高气温是12℃，t≤12，则今天气温t（℃）的范围是-1≤t≤12． 故答案为：-1≤t≤12． 【点睛】此题考查了不等式的定义，解答此题要知道，t包括-1℃和12℃，符号是≤，≥． 【跟踪专练1】已知，下列结论不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了不等式的性质，能熟记不等式的性质是解此题的关键．根据题意用表示出，即代入，即可判断A，进而得出，代入，即可判断B，进而判断C，根据，即可判断D选项，即可求解． 【详解】解：∵ ∴ ∴，故A正确，不符合题意； ∴，则，故B正确，不符合题意； ∵， ∴，故C错误，符合题意； ∵ ∴ ∵ ∴ ∴，故D选项正确 ，不符合题意； 故选：C． 【跟踪专练2】对于实数，用表示不大于的最大整数，例如，，，若，则的取值范围________． 【答案】 【分析】根据表示不大于的最大整数可列不等式，解不等式即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查新定义最大整数问题，掌握表示不大于的最大整数的定义，抓住是解题关键． 【跟踪专练3】用表示三种不同的物体，现放在天平上比较两次，情况如图所示，那么这三种物体按质量从大到小的顺序排列应为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题列出不等式关系式即可求解．根据图示三种物体的质量列出不等关系式是关键． 【详解】解：依据第一个图得，则， 依据第二个图得：， 则， 故， 故选A． 【题型9.不等式组的经济问题】 【典例】淇淇第一次以5元/千克的价格买了2千克西红柿，第二次以元/千克的价格买了4千克西红柿，两次购买西红柿的平均价格每千克大于5元且小于6元，若恰好是整数，则___________． 【答案】 【分析】本题考查不等式解应用题，根据题意求出两次购买西红柿的平均价格，列出不等式求解即可得到答案．读懂题意，准确求出两次购买西红柿的平均价格是解决问题的关键． 【详解】解：第一次以5元/千克的价格买了2千克西红柿， 第一次花费元； 第二次以元/千克的价格买了4千克西红柿， 第二次花费元； 两次购买西红柿的平均价格每千克大于5元且小于6元， ， 解得， 恰好是整数， ， 故答案为：． 【跟踪专练1】“双减”政策实施之后，某校为丰富学生的课外生活，现决定增购篮球和排球共30个，购买资金不超过3600元，且购买篮球的数量不少于排球数量的一半，若每个篮球150元，每个排球100元．求共有几种购买方案？设购买篮球个，可列不等式组为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的应用，根据题目中的不等关系，列出不等式组是解题的关键； 根据题意，设购买篮球个，则排球为个，总费用不超过3600元，即 ；篮球数量不少于排球数量的一半，即 ． 【详解】解：∵购买篮球个，则排球为个， 总费用为 ，且不超过3600元， ∴ ； 又∵篮球数量不少于排球数量的一半， ∴ ； 故不等式组为 ， 故选：C． 【跟踪专练2】王芳到文具店购买中性笔和笔记本，中性笔每支0.8元，笔记本每本1.2元．王芳带了12元，当她买了5本笔记本后，如果计划余下的钱少于0.8元，那么她还能买几支中性笔？ 【答案】她还能买7支中性笔 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，掌握根据实际问题列出不等式组并取正整数解是解题的关键． 设能买支中性笔，根据总花费不超过元且剩余钱数少于元，列出不等式组，求解后取正整数解． 【详解】解：设她能买支中性笔． 由题意，得 解得． 为正整数， ． 故她还能买支中性笔． 【跟踪专练3】初一年级倡导书目为《我们仨》和《围城》．已知购买3本《我们仨》4本《围城》共需160元．购进2本《我们仨》和1本《围城》共需65元． (1)购买一本《我们仨》和一本《围城》各需多少钱？ (2)冰莹图书馆为方便学生借阅，计划购进两种书籍共100本，且总费用不超过2345元，预计购进《我们仨》的数量不超过《围城》数量的，有哪几种购买方案？ 【答案】(1)20元；25元 (2)3种；方案见解析 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用； （1）设购买一本《我们仨》需元，购买一本《围城》需元，根据购买3本《我们仨》4本《围城》共需160元．购进2本《我们仨》和1本《围城》共需65元，再建立方程组解题即可； （2）设购买《我们仨》本，购买《围城》本，根据计划购进两种书籍共100本，且总费用不超过2345元，预计购进《我们仨》的数量不超过《围城》数量的，建立不等式组求解即可． 【详解】（1）解：设购买一本《我们仨》需元，购买一本《围城》需元， 由题意得：， 解得：． 答：购买一本《我们仨》需元，购买一本《围城》需元． （2）解：设购买《我们仨》本，购买《围城》本， 由题意得：， 解得：， ∵为正整数， ∴的值为、、， ∴有种购买方案： ①购买《我们仨》本，购买《围城》本； ②购买《我们仨》本，购买《围城》本； ③购买《我们仨》本，购买《围城》本． 【题型10.不等式组的行程与分配问题】 【典例】春雨中学九年级（1）班和九年级（2）班的同学外出参观，将两班的所有学生分成8组，如果每组人数比预定每组人数多1人，那么学生总数将超过100人；如果每组人数比预定每组人数少1人，那么学生总数将不到90人．则预定每组学生有___________人． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的实际应用，根据题意列出不等式组是解题的关键． 设预定每组分配人，根据两班的所有学生分成8组，如果每组人数比预定每组人数多1人，那么学生总数将超过100人；如果每组人数比预定每组人数少1人，那么学生总数将不到90人，列出不等式方程组求解即可． 【详解】解：设预定每组分配人，根据题意可得： 解得： ∵为整数， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练1】为梦想续航，向美好奔赴．1月12日下午，南开中学一年一度的迎新年环校跑火热开跑．3000余名南开学子奔跑在美丽的校园里，他们无惧考验，用脚步丈量青春．为了在比赛中取得好名次，甲、乙、丙3人于1月10日、11日两天去操场练习，已知甲、乙、丙的速度均为整数，不低于，不高于，乙速度是甲速度的两倍，且均各自保持不变．10日甲乙练习时间之比为，丙练习时间比甲少，10日他们一共跑了．11日他们练习时间增加，甲增加的时间占乙、丙增加时间之和的，乙增加的时间是丙增加时间的2倍，且甲乙练习时间之和为丙练习时间的3倍，11日他们一共跑了，则甲的速度为______，11日三人练习时间之和为_______． 【答案】 5 288 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的应用，二元一次方程组的应用，设甲的速度为，丙的速度为，则乙的速度为，根据三人的速度不低于，不高于列出不等式组可求出，则甲的速度为，则乙的速度为；设1月10日甲练习的时间为，则乙练习的时间为，丙练习的时间为，根据路程等于速度乘以时间可得；设1月11日丙增加的时间为，则乙增加的时间为，则甲增加的时间为，根据甲乙练习时间之和为丙练习时间的3倍，推出；根据路程等于速度乘以时间可得，联立①②，解方程组即可得到答案． 【详解】解：设甲的速度为，丙的速度为，则乙的速度为， 由题意得，， ∴， ∴， ∴甲的速度为，则乙的速度为； 设1月10日甲练习的时间为，则乙练习的时间为，丙练习的时间为， ∵10日他们一共跑了， ∴， ∴ 设1月11日丙增加的时间为，则乙增加的时间为， ∴甲增加的时间为， ∵甲乙练习时间之和为丙练习时间的3倍， ∴， ∴； ∵11日他们一共跑了， ∴， ∴， ∴， 联立①②，解得， ∴， ∴11日三人练习时间之和为； 故答案为：5；288． 【跟踪专练2】某工厂计划生产A、B两种产品共15件，其生产成本和利润如表： A种产品 B种产品 成本（万元/件） 3 4 利润（万元/件） 1 3 (1)若工厂计划获利23万元，问A、B两种产品应分别生产多少件？ (2)若工厂计划投入资金不多于56万元，且获利多于31万元，问工厂有哪几种生产方案？ (3)在（2）的条件下，哪种生产方案获利最大？并求出最大利润 【答案】(1)A种产品应生产件，B种产品生产件； (2)有三种生产方案：第一种A种产品应生产件，B种产品生产件；第二种A种产品应生产件，B种产品生产件；第三种A种产品应生产件，B种产品生产件； (3)生产A种产品4件，B种产品11件的方案获利最大，最大利润为37万元 【分析】（1）设A产品应生产x件，则B产品应生产件，根据“工厂计划获利23万元”及两种产品的利润列方程求解即可； （2）设A产品应生产a件，则B产品应生产件，根据“工厂计划投入资金不多于56万元，且获利多于31万元”列出不等式组，求出，即可得到答案； （3）分别求出三种方案获利，比较即可． 【详解】（1）解：设A产品应生产x件，则B产品应生产件， ∵工厂计划获利23万元， ∴， 解得：， ∴， 即A种产品应生产件，B种产品生产件； （2）解：设A产品应生产a件，则B产品应生产件， ∵工厂计划投入资金不多于56万元，且获利多于31万元， ∴， 解得： ∴， 可知有三种生产方案：第一种A种产品应生产件，B种产品生产件；第二种A种产品应生产件，B种产品生产件；第三种A种产品应生产件，B种产品生产件； （3）解：第一种A种产品应生产件，B种产品生产件获利（万元）； 第二种A种产品应生产件，B种产品生产件获利（万元）； 第三种A种产品应生产件，B种产品生产件获利（万元）； 可知第一种获利最大，最大利润为37万元． 【跟踪专练3】热爱锻炼的李子宸同学沿着香零山的环形跑道（周长大于）按逆时针方向跑步，并用跑步软件记录运动轨迹，他从起点出发，每跑，软件会在运动轨迹上标注出相应的里程数．前的记录数据如图所示． (1)当李子宸同学跑了2圈时，他的运动里程数______（填“”“”或“”）； (2)若，利用不等式的基本性质比较与的大小； (3)如果李子宸同学跑到时恰好回到起点，求此时李子宸同学总共跑的圈数． 【答案】(1) (2) (3)7 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，不等式的性质，正确理解题意，得出不等式是解题的关键． （1）由图可得，小明跑第一圈时软件标记了，跑第二圈时标记了，跑第三圈时标记了和，据此可知小明跑了2圈时，他的运动里程数小于； （2）利用不等式的基本性质求解即可； （3）设公园的环形跑道周长为，小明总共跑了圈，然后列不等式求出t的取值范围，再根据，代入求出x的取值范围即可． 【详解】（1）解：由图可得，小明跑第一圈时软件标记了，跑第二圈时标记了，跑第三圈时标记了和， ∴当小明跑了2圈时，他的运动里程数； （2）解：∵ ∴ ∴； （3）解：设公园的环形跑道周长为，小明总共跑了圈， 由题意得：， 解得：， ∴， ∴ 又∵李子宸同学跑到时恰好回到起点， ， ∴， ∴， ∵x是正整数， ∴，即此时小明总共跑的圈数为7． 【题型11.不等式组的方案选择与阶梯收费问题】 【典例】学校购进单价分别为5元和7元的两种笔记本共50本作为奖品发放给学生，要求种笔记本的数量不多于种笔记本数量的3倍，不少于种笔记本数量的2倍，则不同的购买方案种数为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据题意列出不等式组是解题的关键．设购进A种笔记本为x本，则购进B种笔记本为本，根据题意列出一元一次不等式组，然后求整数解即可． 【详解】解：设购进A种笔记本为x本，则购进B种笔记本为本， 由题意得：， 解得， ∵x为正整数， ∴x的取值为34、35、36、37， 则不同的购买方案种数为4种． 故选：B． 【跟踪专练1】大连地铁票收费标准如下： 不超过，2元人次；超过到（含），元/人次； 超过到（含），4元/人次； 超过到（含），5元/人次； 超过到（含），6元/人次； 超过到（含），7元/人次； 超过到（含），8元/人次； 超过部分，票价每增加元可再乘坐． 一位乘客单次乘坐地铁购票花费了元，设他乘坐地铁的里程为，用不等式表示的范围为______． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键．根据“超过部分，票价每增加元可再乘坐”，结合一位乘客单次乘坐地铁购票花费了元，即按里程计算超过元且不超过元，可列出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围． 【详解】解：根据题意得：， 解得：． 故答案为：． 【跟踪专练2】已知，符号表示大于或等于的最小正整数，如： (1)填空：_____；____；若，则的取值范围是____． (2)某市的出租车收费标准规定如下：以内（包括）收费元，超过后，每行驶，加收元（不足的按计算），用表示所行的公里数，表示行公里应付车费，则乘车费可按如下的公式计算： 当（单位：千米）时，（元）； 当（单位：千米）时，_____（元）（用符号来取整） (3)某乘客乘车后付费元，求该乘客所行的路程的取值范围． 【答案】(1)，， (2) (3) 【分析】本题主要考查了新定义，列代数式，正确理解的意义是解题的关键． （1）根据符号表示大于或等于的最小正整数求解即可； （2）以内（包括）收费元，超过后，每行驶，加收元（不足的按计算），结合的意义列式即可； （3）把代入求解的范围即可解答． 【详解】（1）解：表示大于或等于的最小正整数， ，， ， ， 故答案为：，，； （2）解：由题意得，当（单位：千米）时，， 故答案为：； （3）解：由题意得，， 得， 故， 即， 故该乘客所行的路程的取值范围：． 【跟踪专练3】.某初中519名学生和20名教师参加春游活动，现有A、B两种公交车型可供租用，且A、B两种公交车型核载人数分别为35人／辆、28人／辆．已知租用2辆A型客车与1辆B型客车需要1036元，租用1辆A型客车与3辆B型客车需要1358元． (1)求租用每辆A型客车与每辆B型客车各需要多少元； (2)若要求此次租车共18辆，且总租金不高于6200元，请问有几种租车方案？ 【答案】(1)租用每辆A型客车需要350元，每辆B型客车需要336元 (2)共有6种租车方案 【分析】（1）设租用每辆A型客车需要元，每辆B型客车需要元，根据租用2辆A型客车与1辆B型客车需要1036元，租用1辆A型客车与3辆B型客车需要1358元，列出方程组进行求解即可； （2）设租用A型客车辆，则租用B型客车辆，根据题意，列出不等式组进行求解即可． 【详解】（1）解：设租用每辆A型客车需要元，每辆B型客车需要元，由题意，得： ， 解得； 答：租用每辆A型客车需要350元，每辆B型客车需要336元； （2）解：设租用A型客车辆，则租用B型客车辆，由题意，得： ， 解得， ∵为整数， ∴， ∴共有6种租车方案． 【题型12.一元一次不等式组的其他应用】 【典例】按照如下程序操作，规定：从“输入一个值”到“结果是否大于83”为一次程序操作．如果结果得到的数小于或等于83，则用得到的这个数进行下一次操作．如果程序操作执行两次才停止，则输入的的取值范围是_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的应用， 先根据程序图的操作过程得出不等式组，再求出不等式组的解集． 【详解】解：根据题意，得 ， 解得． 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，是测量一颗玻璃球体积的过程：第一步：将的水倒进一个容量为的杯子中；第二步：将四颗相同的玻璃球放入水中，结果水没有满；第三步：再加一颗同样的玻璃球放入水中，结果水满溢出． 根据以上过程，推测这样一颗玻璃球的体积在（    ） A．以上，以下 B．以上，以下 C．以上，以下 D．以上，以下 【答案】C 【分析】设玻璃球的体积为，根据题意列出不等式组，解不等式组，即可求解． 【详解】解：设玻璃球的体积为，根据题意可得 不等式组， 解得， 即一颗玻璃球的体积在以上，以下． 【跟踪专练2】《义务教育语文课程标准》（2022年版）提出：初中阶段的阅读量不少于260万字．为此，学校图书馆计划购置一批图书以满足学生的阅读需求．如图是长为的单格书架，在该书架上按图示的方法摆放文学类和艺术类图书，其中文学类图书每本厚约，艺术类图书每本厚约． (1)若在该书架上，文学类图书已经摆放了20本，剩余空间都摆放艺术类图书，则艺术类图书最多还可以摆放多少本？ (2)现有文学类和艺术类图书共100本放置在该书架上，根据摆放要求，艺术类图书数量不多于文学类图书数量的2倍，请问有哪几种摆放方案？ 【答案】(1)87本 (2)共有2种摆放方案，方案1：摆放34本文学类图书，66本艺术类图书；方案2：摆放35本文学类图书，65本艺术类图书 【分析】本题考查了一元一次不等式（组）的实际应用，解题的关键是正确理解题意，建立不等式（组）求解． （1）设艺术类图书还可以摆放x本，根据文学类图书的厚度艺术类图书的厚度小于等于建立不等式求解； （2）设文学类图书摆放m本，则艺术类图书摆放本，根据题意建立不等式组求解整数解即可． 【详解】（1）解：设艺术类图书还可以摆放x本，根据题意得：， 解得：x， 又∵x为正整数， ∴． ∴艺术类图书最多还可以摆放87本 （2）解：设文学类图书摆放m本，则艺术类图书摆放本， 根据题意得：， 解得：， 又∵m为正整数， ∴m可以为34，35， ∴共有2种摆放方案， 方案1：摆放34本文学类图书，66本艺术类图书； 方案2：摆放35本文学类图书，65本艺术类图书． 【跟踪专练3】金华佛手适宜闻香观赏，佛手柑挂件深受大家喜爱．某工艺品店销售小号和大号两种规格的佛手柑挂件，已知销售个小号佛手柑挂件和个大号佛手柑挂件共可获利元，销售个小号佛手柑挂件的获利和销售个大号佛手柑挂件的获利相等． (1)求销售个小号佛手柑挂件和个大号佛手柑挂件分别获利几元？ (2)该店某天销售佛手柑挂件共个，已知销售的大号佛手柑挂件的数量比小号佛手柑挂件的数量的倍还多，获得的总利润不足元，请求出销售的小号佛手柑挂件和大号佛手柑挂件各多少个？ 【答案】(1)销售一个小号佛手柑挂件获利元，销售一个大号佛手柑挂件获利元 (2)销售小号佛手柑挂件个，销售大号佛手柑挂件个 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用， （1）设销售一个小号佛手柑挂件获利元，销售一个大号佛手柑挂件获利元，根据“销售个小号佛手柑挂件和个大号佛手柑挂件共可获利元，销售个小号佛手柑挂件的获利和销售个大号佛手柑挂件的获利相等”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设销售小号佛手柑挂件个，则销售大号佛手柑挂件个（为正整数），根据“销售的大号佛手柑挂件的数量比小号佛手柑挂件的数量的倍还多，获得的总利润不足元”，可列出关于的一元一次不等式组，解之即可得出结论； 解题的关键：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． 【详解】（1）解：设销售一个小号佛手柑挂件获利元，销售一个大号佛手柑挂件获利元， 依题意，得：， 解得：， 答：销售一个小号佛手柑挂件获利元，销售一个大号佛手柑挂件获利元； （2）解：设销售小号佛手柑挂件个，则销售大号佛手柑挂件个（为正整数）， 依题意，得：， 解得：， ∵为正整数， ∴， ∴（个）， 答：销售小号佛手柑挂件个，销售大号佛手柑挂件个． 【解答题】 1．解不等式组，并将其解集在数轴上表示出来． 【答案】 ，图见解析 【分析】本题考查的知识点是求不等式组的解集、在数轴上表示不等式的解集，解题关键是熟练掌握解不等式组． 分别求出不等式组中两个不等式的解集，再得出不等式组的解集，然后表示在数轴上． 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， 不等式组的解集为， 将其解集在数轴上表示出来为： 2．求不等式组：的所有非负整数解． 【答案】，， 【分析】先求出不等式组的解集，再写出其中的非负整数解即可． 【详解】解：解不等式①得：， 解不等式②得：， 将不等式①和②的解集表示在数轴上为： ∴不等式组的解集为： ∴不等式组的所有非负整数解为：，，． 3．明明在解一元一次不等式组时，发现“□”里的常数看不清楚，但知道这个不等式组的解集为．若用字母表示“□”里的常数，试求字母的取值范围． 【答案】 【分析】先解出第一个不含参数的不等式，再用参数表示第二个不等式的解集，最后结合已知的不等式组解集，利用“同大取大”的原则来确定参数的取值范围． 【详解】解：由题意，得 解不等式①，得， 解不等式②，得． 不等式组的解集为， ， ． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解法与含参数不等式组的解集分析，解题关键是熟练掌握不等式组解集法则，并能结合已知解集反向推导参数的取值范围． 4．已知关于的方程组的解满足，求的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法和一元一次不等式组的解法，灵活应用整体思想是解题的关键； 观察已知的式子结合方程组的两个方程的特点可让方程组中的两个相减，即可得到，即可得到关于m的不等式组，再进一步求解即可． 【详解】解：， ，得， ∵， ∴， 解得． 5．阅读理解：请阅读下面求含绝对值的不等式和的解集过程．对于含绝对值的不等式，从图的数轴上看：大于而小于的数的绝对值小于，所以的解集为；对于含绝对值的不等式，从图的数轴上看：小于或大于的数的绝对值大于，所以的解集为或． 问题解决： (1)求出含绝对值的不等式的解集 (2)已知关于，的二元一次方程的解满足，其中是正数，求的取值范围． 【答案】(1)或； (2)． 【分析】本题考查了解含有绝对值的不等式，求不等式组的解集，理解题中的方法是解题的关键． （）根据题中提供的方法进行解答即可； （）根据题中提供的方法进行解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴或； （2）解：∵， ∴， 解得：， ∵， ∴． 6．根据以下素材，解决相应问题， 【素材1】我校开展爱心义卖活动，小艺和同学们打算推销自己的手工制品．他们以每张15元的价格买了100张长方形木板，每张木板的长和宽分别为80cm，40cm． 【素材2】现将部分木板按图①所示的虚线裁剪，剪去四个边长相同的小正方形（阴影部分），再把剩余五个长方形拼制成无盖长方体收纳盒，使其底面长与宽之比为．其余木板按图②所示的虚线裁剪出两块木板（阴影部分是余料），给部分收纳盒配上盖子． 【问题解决】 (1)求出长方体收纳盒的高度； (2)若制成的有盖收纳盒个数大于无盖收纳盒个数，但不到无盖收纳盒个数的2倍，木板该如何分配？请给出分配方案． 【答案】(1)10cm (2)有4种分配方案，详情见解析 【分析】(1)设长方体收纳盒的高度（即剪去小正方形的边长）为未知数，依据原木板尺寸表示出无盖收纳盒底面的长与宽，再结合底面长与宽的比例关系建立方程求解； (2)设无盖收纳盒和有盖收纳盒的个数，根据木板总数限制以及有盖与无盖收纳盒个数的数量关系列出不等式组，进而确定满足条件的整数解来得到分配方案． 【详解】（1）解：设长方体收纳盒的高度为， 则，解得． 故长方体收纳盒的高度为cm． （2）解：设用张木板制作无盖长方体收纳盒， 则 解得． 为整数， 或或或． 故共有种分配方案： ①张木板制作无盖长方体收纳盒，张木板制作盒盖； ②张木板制作无盖长方体收纳盒，张木板制作盒盖； ③张木板制作无盖长方体收纳盒，张木板制作盒盖； ④张木板制作无盖长方体收纳盒，张木板制作盒盖． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用和一元一次不等式组的应用，解题关键是：从几何裁剪中找到等量关系，建立方程求解高度以及准确梳理制作不同收纳盒所需的木板数量，建立不等式组，并结合整数解的要求确定分配方案． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $