专题3.4 一元一次不等式（组）的应用（1大考点+8大题型+强化训练）（高效培优讲义）数学新教材湘教版七年级下册

专题3.4 一元一次不等式（组）的应用 教学目标 1. 能从实际问题中识别不等关系，建立一元一次不等式（组）模型，规范求解并检验解的合理性。 2. 掌握“实际问题→抽象建模→求解检验”的解题流程，提升数学建模与逻辑推理能力。 3. 体会不等式在生活决策中的应用，养成严谨审题、规范表达的数学习惯。 教学重难点 1.重点 （1）准确提取实际问题中的不等关系（如“至少”“不超过”），正确列出一元一次不等式（组）。 （2）熟练掌握列不等式（组）解应用题的完整步骤，规范书写解答过程并验证解集。 2.难点 （1）挖掘实际问题中的隐含不等关系，区分“≥”“≤”“>”“<”，突破“等量”到“不等”的思维转换。 （2）结合实际意义检验解集合理性，处理整数解、边界值取舍等问题，避免脱离实际的错误。 知识点01 一元一次不等式（组）的应用 （1）由实际问题中的不等关系列出不等式（组），建立解决问题的数学模型，通过解不等式（组）可以得到实际问题的答案． （2）列不等式（组）解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵． （3）列一元一次不等式解决实际问题的方法和步骤： ①弄清题中数量关系，用字母表示未知数． ②根据题中的不等关系列出不等式（组）． ③解不等式，求出解集． ④写出符合题意的解． 【即学即练1】1．（25-26七年级上·江苏苏州·期末）甲、乙两队进行足球对抗赛，比赛规则规定每队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．两队一共比赛了7场，甲队保持不败，得分超过15分，则甲队胜了（    ） A．5场 B．至多5场 C．至少5场 D．至少6场 2．（2026七年级下·北京·专题练习）“双减”政策实施之后，某校为丰富学生的课外生活，现决定增购篮球和排球共30个，购买资金不超过3600元，且购买篮球的数量不少于排球数量的一半，若每个篮球150元，每个排球100元．求共有几种购买方案？设购买篮球个，可列不等式组为（ ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·浙江金华·期末）金华佛手适宜闻香观赏，佛手柑挂件深受大家喜爱．某工艺品店销售小号和大号两种规格的佛手柑挂件，已知销售个小号佛手柑挂件和个大号佛手柑挂件共可获利元，销售个小号佛手柑挂件的获利和销售个大号佛手柑挂件的获利相等． (1)求销售个小号佛手柑挂件和个大号佛手柑挂件分别获利几元？ (2)该店某天销售佛手柑挂件共个，已知销售的大号佛手柑挂件的数量比小号佛手柑挂件的数量的倍还多，获得的总利润不足元，请求出销售的小号佛手柑挂件和大号佛手柑挂件各多少个？ 题型01 工程问题 【典例1】（25-26九年级下·浙江杭州·开学考试）某学校组织七年级学生到劳动实践教育基地参加实践活动，某小组的任务是平整土地，学校要求完成全部任务的时间不超过3小时．开始的半小时，由于操作不熟练，只平整了．若设他们在剩余时间内每小时平整土地，则根据题意可列不等式为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级下·云南昆明·期末）一个工程队规定要在6天内完成300土方的工程，第一天完成了60土方，现在要比原计划至少提前2天完成任务，以后几天平均每天至少完成的土方数为（   ） A．65 B．70 C．75 D．80 【变式2】（25-26七年级下·全国·课后作业）某小区王先生准备装修新居，装修公司派来甲工程队完成此项工程．甲工程队单独完成此项工程需50天，由于工期过长，王先生要求装修公司再派一支乙工程队与甲工程队合作完成此项工程，乙工程队单独完成此项工程需30天．甲、乙工程队每天施工费分别为800元和1000元，若王先生要求施工费用不能超过34000元，则甲工程队至多工作________天． 【变式3】（2025·湖南永州·模拟预测）习近平总书记高度重视水污染防治工作，将其作为生态文明建设和环境保护的关键环节，提出一系列新理念、新思路和新举措，为解决污水问题提供了根本遵循．祁阳市某河流防污治理工程已正式启动，由甲队单独做5个月后，乙队再加入合作2个月就可以完成这项工程．已知若甲队单独做需要8个月可以完成． (1)乙队单独完成这项工程需要几个月？ (2)已知甲队每月施工费用为15万元，比乙队多6万元，按要求该工程总费用不超过141万元，工程必须在一年内竣工（包括12个月），为了确保经费和工期，采取甲队做个月（为整数），乙队做4个月分工合作的方式施工，请问有哪几种施工方案并求出最省钱的方案费用？ 题型02 销售问题 【典例2】（25-26七年级下·全国·月考）某经销商销售一批电话手表，第一个月以550元／块的价格售出60块，第二个月开始降价，以500元／块的价格将这批电话手表全部售出，销售总额超过了5.3万元．这批电话手表至少有（    ） A．99块 B．100块 C．101块 D．102块 【变式1】（24-25八年级下·山东青岛·月考）为有效开展“阳光体育”活动，某校计划购买篮球和足球共50个，购买资金不超过3200元，且购买篮球的数量不少于足球数量的一半，若每个篮球80元，每个足球50元．求共有几种购买方案？设购买篮球个，可列不等式组（　　） A． B． C． D． 【变式2】（2025·河北邯郸·二模）淇淇第一次以5元/千克的价格买了2千克西红柿，第二次以元/千克的价格买了4千克西红柿，两次购买西红柿的平均价格每千克大于5元且小于6元，若恰好是整数，则___________． 【变式3】（25-26八年级上·湖南长沙·月考）某社区开展“垃圾分类”入户宣传活动，需要准备两种宣传物资：A物资（宣传折页）每份成本1.5元，B物资（定制垃圾袋）每份成本3元．已知本次活动共需准备200份物资，为了达到更好的宣传效果，要求B物资的数量不低于A物资数量的一半． (1)若同时采购A、B两种物资刚好花了450元，请问A物资和B物资各买了多少份？ (2)为控制预算，A物资和B物资共花费的成本不超过420元，在满足所有条件的情况下，A物资最多可以买多少份？ 题型03 行程问题 【典例3】（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·月考）哈市乘坐出租车的收费标准：起步价8元（即行驶距离不超过3千米都须付8元车费），超过3千米以后，每增加1千米，加收2元（不足1千米的部分按1千米计）．某人乘出租车从甲地到乙地共付车费18元，那么甲地到乙地路程满足（　　） A． B．7 C．7 D．7 【变式1】（25-26七年级下·全国·课后作业）小华同学现要在38min内完成4.1km的路程，已知她步行每分钟可走90m，跑步每分钟可跑210m．小华同学完成这段路程，至少要跑多少分钟？设要跑x min，则可列不等式为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·全国·课后作业）方方驾驶汽车从甲地匀速行驶去乙地，设汽车的行驶速度为．已知行驶速度限定为不超过，若他以的平均速度行驶，则需到达目的地；若他必须要在内（包括）到达乙地，则的取值范围是_____． 【变式3】（24-25七年级下·江苏南京·期末）如图，A，B两地间的公路长，其中有一段长的施工道路，M距离A地甲、乙两辆轿车分别从A，B两地出发，沿该公路相向而行，乙车比甲车晚出发在非施工道路其限速情况如图所示，甲车始终以的速度行驶，乙车始终以的速度行驶；在施工道路，两车均以的速度行驶． (1)若 ①甲车出发时，甲车行至______处，乙车行至______处；填“M”“N”或“的中点” ②甲车行至的中点时，乙车行驶的时间为______h (2)已知两车在P处相遇． ①若P与N重合，求V的值； ②若P在非施工道路上不与M，N重合，直接写出V的取值范围． 题型04 运输问题 【典例4】（24-25七年级下·山东青岛·期末）太原地铁“一号线”正在进行修建，预计年年底通车试运营，标志色为梦想蓝，现有大量的残土需要运输，某车队有载重量为吨的卡车辆，载重量为吨的卡车辆，该车队需要一次运输残土不低于吨，为了完成任务，该车队准备新购进这两种卡车共辆，若购进载重量为吨的卡车辆，则需要满足的不等式为（ ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24八年级下·山西太原·期中）现有大量的残土需要运输，某车队有载重量为8吨的卡车5辆，载重量为10吨的卡车7辆．该车队需要一次运输残土不低于166吨．为了完成任务，该车队准备新购进这两种卡车共6辆．若购进载重量为8吨的卡车a辆，则a需要满足的不等式为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·山东菏泽·一模）某商场工作人员为方便客户购物需用扶手电梯和直立电梯从一楼运输一批购物车到二楼．若该商场扶手电梯一次性可以运输24辆购物车，直立电梯一次性可以运输18辆购物车．若要运输100辆购物车，且最多只能使用电梯5次，则共有______种运输方案，分别是_____． 【变式3】（24-25八年级下·四川成都·期中）某企业需运输一批生产物资，已知3辆大货车与2辆小货车一次可以运输65箱物资；4辆大货车与6辆小货车一次可以运输120箱物资． (1)求1辆大货车和1辆小货车一次分别运输多少箱物资； (2)计划用两种货车共15辆运输这批物资，每辆大货车一次需费用500元，每辆小货车一次需费用300元．若运输物资不少于175箱，且总费用小于6100元．请求出有几种运输方案？ 题型05 比赛问题 【典例5】（25-26七年级·上海·假期作业）某乡镇中心学校举行教职工象棋比赛，规定预赛10局，积分不低于30分的选手晋级．预赛中，赢一局得10分，平一局得3分，输一局扣5分，张老师在预赛中平2局，他要想晋级比赛，则至少应获胜（    ） A．3局 B．4局 C．5局 D．6局 【变式1】（22-23八年级下·广东深圳·期中）某学校举行“创新杯”篮球比赛，比赛方案规定：每场比赛都要分出胜负，每队胜1场积2分，负1场积1分，每只球队在全部8场比赛中积分不少于12分，才能获奖．小明所在球队参加了比赛并计划获奖，设这个球队在全部比赛中胜x场，则x应满足的关系式是(      ) A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·甘肃张掖·月考）篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分，负一场得1分．某队预计在下个赛季全部32场比赛中最少得到48分，才有希望进入季后赛．该队要想进入季后赛，则至少要胜多少场比赛？若设至少想胜场比赛，则可列出不等式为______． 【变式3】（23-24八年级下·河南郑州·期中）“天空课堂”开课以来，受到广大青少年的喜爱．某校利用课后服务时间开展“追寻‘天宫’”知识竞赛，共有15个班级参加． (1)比赛规定：每场比赛都要分出胜负，胜一场积5分，负一场积3分，某班级在14场比赛中获得总积分54分，该班级胜、负场数分别是多少？ (2)比赛中设置了20道多选题，全部选对可得3分，选对但选不全可得2分，其余情况均不得分．某班在一场比赛中，共答对了18道题（选对但选不全的也算在内），其中选对但选不全的题目至少比全部选对的多2道，且多选题所得的总分不少于41分，该班级在这场比赛中多选题最多能得多少分？ 题型06 古代问题 【典例6】（23-24八年级下·河北保定·期中）我国古代《易经》记载，远古时期人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图，一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结，满五进一，用来记录采集到野果的个数，若她采集到的一筐野果不少于45个，则在第2根绳子上的打结数至少是（  ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1】（24-25七年级下·广东惠州·期末）程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，根据如图的程序进行计算：程序运行到“判断结果是否大于28”为一次运算．若运算进行了3次才停止，则x的取值范围是__________． 【变式2】（2024·贵州六盘水·二模）方程是刻画现实世界数量关系的一个有效模型，这个名词最早出现在我国古代数学专著 《九章算术》中．请用方程思想解决下列问题： 某单位组织联谊活动，需采购可乐、橙汁两种饮料，已知购买4箱可乐、2箱橙汁需320元， 购买3箱可乐、1箱橙汁需210元． (1)求可乐、橙汁每箱的价格； (2)单位计划经费不超过1100元，购买两种饮料共20箱，且橙汁不少于8箱，则共有哪几种购买方案？ 【变式3】（2025·贵州·一模）如图是古代一位将军在一次护城战役中的布阵图，在城池的周围分布甲，乙两种类型的哨所．若每个哨所至少要有一人，同类型哨所的人数相同，城池周围每条边上三个哨所的人数和都为11人． (1)若六个哨所的总人数为21人，求甲，乙两种类型每个哨所的人数； (2)假设每个甲型哨所的人数为，请用含的代数式表示六个哨所的总人数，并求出六个哨所总人数最大值与最小值及相应的的值． 题型07 分段收费问题 【典例7】（24-25七年级下·山东临沂·期末）某市地铁票收费标准如下：不超过63元；超过6到12（含）4元；超过12到22（含）5元；超过22到32（含）6元；超过32部分，每增加1元可再乘坐20．一位乘客单次乘坐地铁购票花费了9元，设他乘坐地铁的里程为，用不等式表示x的范围________． 【变式1】（24-25七年级下·辽宁大连·期末）大连地铁票收费标准如下： 不超过，2元人次；超过到（含），元/人次； 超过到（含），4元/人次； 超过到（含），5元/人次； 超过到（含），6元/人次； 超过到（含），7元/人次； 超过到（含），8元/人次； 超过部分，票价每增加元可再乘坐． 一位乘客单次乘坐地铁购票花费了元，设他乘坐地铁的里程为，用不等式表示的范围为______． 【变式2】（25-26七年级上·河北邢台·期末）如图是第十五届全运会吉祥物“喜洋洋”和“乐融融”，寓意为“喜气洋洋、其乐融融、团圆和美”．某商店计划采购x对吉祥物钥匙扣，两个工厂收费方式如下． 甲厂收费方式：收模具费元，另外每对收制造费元． 乙厂收费方式：不超过对时，每对钥匙扣收制造费元；超过对时，超过部分每对钥匙扣收费元： (1)①当不超过时，甲厂的收费为________元，乙厂的收费为________元；②当超过时，乙厂的收费为________元； (2)采购多少对吉祥物钥匙扣时，甲、乙两厂收费相同? (3)直接写出选择哪个厂更节省费用． 【变式3】（24-25八年级下·广东深圳·期末）深圳市高速公路收费站在早高峰期间，人工收费通道和通道同时开放．已知通道每小时通过的车辆数是人工收费通道的倍，通过600辆车时，通道比人工收费通道少用3小时． (1)求人工收费通道和通道每小时分别通过多少辆车？ (2)如果高速收费站一共有10条收费通道，请问至少要开通多少条通道才能在早高峰2个小时的时间段内通过5000辆车？ 题型08 方案问题 【典例8】（22-23七年级下·陕西渭南·期末）把一些书分给名同学，若每人分本则不够，若每人分本，则正好剩余本．依题意，可列不等式为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26七年级上·全国·假期作业）若干名学生乘船．若每条船坐人，则人无船坐；若每条船坐人，则空一条船，还有船不空也不满，设有条船，则可列不等式组为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级上·黑龙江牡丹江·期末）若干名学生乘船，若每条船坐4人，则2人无船坐；若每条船坐6人，则空一条船，还有一条船不空也不满，则共有________条船． 【变式3】（25-26七年级上·湖北武汉·期末）一家游泳馆开展冬季促销活动，方案有两种： 方案 优惠方案 方案① 办会员证，每张280元，只限本人使用，凭会员证购买入场券每张20元 方案② 前30次按照每次原价30元收费，超过30次后每次按原价的六折收费 设小明计划这个冬季去游泳次（其中为正整数） (1)若时，选择方案①的总费用为___________元，选择方案②的总费用为___________元； (2)请根据的范围讨论小明选择哪种方案更优惠？ (3)方案一比方案二最多优惠___________元． 一、单选题 1．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）学校购进单价分别为5元和7元的两种笔记本共50本作为奖品发放给学生，要求种笔记本的数量不多于种笔记本数量的3倍，不少于种笔记本数量的2倍，则不同的购买方案种数为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 2．（24-25七年级下·河北廊坊·期末）下图表示甲、乙两人依次进入电梯时，电梯因超重而响起警示音的过程，且过程中没有其他人进出．已知当电梯乘载的重量超过时警示音响起，且甲、乙的体重分别为．若甲进入电梯前，电梯内已乘载的重量为，则满足题意的不等式是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）将一箱苹果分给若干个小朋友，若每个小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果；若每个小朋友分8个苹果，则有1个小朋友分到的苹果不足8个．求这一箱苹果的个数与小朋友的人数．若设小朋友的人数为，则可列不等式组为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级·上海·假期作业）某次知识竞赛共有20道题，答对一题得10分，答错或不答均扣5分，小玉得分超过95分，他至多可以答错的试题道数为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 5．（25-26七年级·上海·假期作业）随着科技的进步，我们可以通过手机实时查看公交车到站情况．小明想乘公交车，可又不想静静地等在站．他从站往站走了一段路，拿出手机查看了公交车到站情况，发现他与公交车的距离为（如图），此时有两种选择： （1）与公交车相向而行，到公交站去乘车； （2）与公交车同向而行，到公交站去乘车． 假设小明的速度是公交车速度的，若要保证小明不会错过这辆公交车，则，两公交站之间的距离最大为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（24-25七年级下·内蒙古巴彦淖尔·期末）如图，在我们的生活中，经常见到共享自助洗车．它的收费标准如下：洗车13分钟内（包括13分钟）收费6元，超出后加收元/分钟，不足一分钟按一分钟计算．某同学的爸爸洗车花费了元，请你写出洗车的时间的范围（单位：分钟）________． 7．（25-26八年级上·浙江台州·期末）按照如下程序操作，规定：从“输入一个值”到“结果是否大于83”为一次程序操作．如果结果得到的数小于或等于83，则用得到的这个数进行下一次操作．如果程序操作执行两次才停止，则输入的的取值范围是_____． 8．（24-25七年级下·全国·课后作业）一种药品的说明书上写着：“每日用量，分3～4次服完．”设一次服用这种药品，则x的取值范围为________． 9．（25-26八年级下·全国·课后作业）茶叶采摘之后需要经历摊晾、杀青、揉捻、干燥等环节才能制作成我们平时所喝的茶叶．已知生产1千克成品毛尖需要鲜茶叶毛尖4千克，生产1千克成品银针需要鲜茶叶银针3.5千克．若某一天生产了成品茶叶共20千克，所使用的现摘茶叶不超过75千克，则生产出的成品毛尖至多为__________千克． 10．（25-26八年级上·贵州贵阳·期末）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，其中记载了“物不知数”的问题，是“中国剩余定理”的经典应用．今有问题为：“现有兵两千有余且不满两千一百，五五数之剩一，七七数之剩三，八八数之剩二，问兵几何”．请利用“逐步确定”策略求出共有兵________人． 三、解答题 11．（25-26八年级上·湖北孝感·期末）近年来光伏建筑一体化广受关注．朝阳社区拟修建，两种光伏车棚若干个，分别使用甲、乙两种不同型号的光伏板，甲种光伏板的单价比乙种光伏板的单价少200元，用7000元购进甲种光伏板的数量是用4500元购进乙种光伏板数量的2倍． (1)求甲种光伏板的单价是多少？ (2)若社区计划购进乙种光伏板的数量比甲种光伏板的2倍还多40块，且乙种光伏板的数量不低于400块，购进两种光伏板的总费用不超过511000元，求社区有几种购买方案?哪种方案的费用最低?最低费用是多少元? 12．（24-25七年级下·重庆·期末）夏天天气炎热，西瓜作为消暑水果需求量大增，某水果批发公司需要考虑从农场运输西瓜到城市销售，已知3辆A型货车与2辆B型货车一次可以运输34吨西瓜，5辆A型货车与3辆B型货车一次可以运输54吨西瓜． (1)求每辆A型货车和每辆B型货车一次分别可以运输多少吨西瓜？ (2)该公司计划用两种货车共12辆运输一批西瓜，A型货车运输一次费用为1500元，B型货车运输一次费用为2000元，若运输西瓜总量不少于85吨，且总费用少于23000元，请你列出所有运输方案． 13．（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）近年来新能源汽车产业及市场迅猛增长，为了缓解新能源汽车充电难的问题，某小区计划新建地上和地下两类充电桩．已知新建1个地上充电桩和2个地下充电桩需要万元；新建个地上充电桩和个地下充电桩需要万元． (1)该小区新建1个地上充电桩和1个地下充电桩各需多少万元？ (2)若该小区计划用不超过万元的资金新建个充电桩，且地下充电桩的数量不少于地上充电桩数量的2倍，则共有几种建造方案？并列出所有方案． 14．（25-26九年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）某中学为加强学生体育锻炼，购置相同的篮球、相同的足球若干个．若购买篮球20个，足球15个共需4000元；若购买篮球10个，足球20个共需3000元． (1)求每个篮球、足球分别为多少元？ (2)该中学购买篮球、足球共40个，若购买篮球、足球的总费用低于4400元，求至少购买足球多少个？ 15．（25-26七年级上·广东肇庆·期末）某购物平台推出以下两种图书促销方式： 方式一：满100元减50元． 方式二：单件图书打六折（即按原价的计算）． 请回答下列问题： (1)若购买一册书的原价是80元，分别计算按方式一和方式二进行购买所需支付的金额． (2)设购买的图书原价为t元，按原价是否满100元分两种情况，分别写出按方式一、方式二购买时需支付的金额（用含t的代数式表示），填写在下表： 原价t的范围 方式一支付金额 方式二支付金额 (3)购买图书的原价在什么范围内，两种方式支付的金额相同？ (4)根据以上结果，分析如何根据图书原价选择更省钱的购买方式． 原价t的范围 方式一支付金额 方式二支付金额 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.4 一元一次不等式（组）的应用 教学目标 1. 能从实际问题中识别不等关系，建立一元一次不等式（组）模型，规范求解并检验解的合理性。 2. 掌握“实际问题→抽象建模→求解检验”的解题流程，提升数学建模与逻辑推理能力。 3. 体会不等式在生活决策中的应用，养成严谨审题、规范表达的数学习惯。 教学重难点 1.重点 （1）准确提取实际问题中的不等关系（如“至少”“不超过”），正确列出一元一次不等式（组）。 （2）熟练掌握列不等式（组）解应用题的完整步骤，规范书写解答过程并验证解集。 2.难点 （1）挖掘实际问题中的隐含不等关系，区分“≥”“≤”“>”“<”，突破“等量”到“不等”的思维转换。 （2）结合实际意义检验解集合理性，处理整数解、边界值取舍等问题，避免脱离实际的错误。 知识点01 一元一次不等式（组）的应用 （1）由实际问题中的不等关系列出不等式（组），建立解决问题的数学模型，通过解不等式（组）可以得到实际问题的答案． （2）列不等式（组）解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵． （3）列一元一次不等式解决实际问题的方法和步骤： ①弄清题中数量关系，用字母表示未知数． ②根据题中的不等关系列出不等式（组）． ③解不等式，求出解集． ④写出符合题意的解． 【即学即练1】1．（25-26七年级上·江苏苏州·期末）甲、乙两队进行足球对抗赛，比赛规则规定每队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．两队一共比赛了7场，甲队保持不败，得分超过15分，则甲队胜了（    ） A．5场 B．至多5场 C．至少5场 D．至少6场 【答案】C 【分析】本题考查了用一元一次不等式解决实际问题等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 设甲队胜了场根据甲队得分超过分列一元一次不等式求解，结合为整数确定甲队胜场的最小值，进而选出正确选项． 【详解】解：设甲队胜了场， 则， 解得：， ∴的最小值为， 即甲队至少胜了场， 故选：C． 2．（2026七年级下·北京·专题练习）“双减”政策实施之后，某校为丰富学生的课外生活，现决定增购篮球和排球共30个，购买资金不超过3600元，且购买篮球的数量不少于排球数量的一半，若每个篮球150元，每个排球100元．求共有几种购买方案？设购买篮球个，可列不等式组为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的应用，设购买篮球x个，则购买排球个，根据购买资金不超过3600元、购买篮球的数量不少于排球数量的一半，即可得出关于x的一元一次不等式组． 【详解】解：设购买篮球x个，则购买排球个， 由题意得， 故选：C． 3．（25-26八年级上·浙江金华·期末）金华佛手适宜闻香观赏，佛手柑挂件深受大家喜爱．某工艺品店销售小号和大号两种规格的佛手柑挂件，已知销售个小号佛手柑挂件和个大号佛手柑挂件共可获利元，销售个小号佛手柑挂件的获利和销售个大号佛手柑挂件的获利相等． (1)求销售个小号佛手柑挂件和个大号佛手柑挂件分别获利几元？ (2)该店某天销售佛手柑挂件共个，已知销售的大号佛手柑挂件的数量比小号佛手柑挂件的数量的倍还多，获得的总利润不足元，请求出销售的小号佛手柑挂件和大号佛手柑挂件各多少个？ 【答案】(1)销售一个小号佛手柑挂件获利元，销售一个大号佛手柑挂件获利元 (2)销售小号佛手柑挂件个，销售大号佛手柑挂件个 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用， （1）设销售一个小号佛手柑挂件获利元，销售一个大号佛手柑挂件获利元，根据“销售个小号佛手柑挂件和个大号佛手柑挂件共可获利元，销售个小号佛手柑挂件的获利和销售个大号佛手柑挂件的获利相等”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设销售小号佛手柑挂件个，则销售大号佛手柑挂件个（为正整数），根据“销售的大号佛手柑挂件的数量比小号佛手柑挂件的数量的倍还多，获得的总利润不足元”，可列出关于的一元一次不等式组，解之即可得出结论； 解题的关键：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． 【详解】（1）解：设销售一个小号佛手柑挂件获利元，销售一个大号佛手柑挂件获利元， 依题意，得：， 解得：， 答：销售一个小号佛手柑挂件获利元，销售一个大号佛手柑挂件获利元； （2）解：设销售小号佛手柑挂件个，则销售大号佛手柑挂件个（为正整数）， 依题意，得：， 解得：， ∵为正整数， ∴， ∴（个）， 答：销售小号佛手柑挂件个，销售大号佛手柑挂件个． 题型01 工程问题 【典例1】（25-26九年级下·浙江杭州·开学考试）某学校组织七年级学生到劳动实践教育基地参加实践活动，某小组的任务是平整土地，学校要求完成全部任务的时间不超过3小时．开始的半小时，由于操作不熟练，只平整了．若设他们在剩余时间内每小时平整土地，则根据题意可列不等式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用3小时完成的任务量不小于列不等式即可． 【详解】解：由题意可得3小时完成的任务量不小于， 设剩余时间每小时平整， 如果工作3小时，则3小时总平整面积为， 可得不等式． 【变式1】（24-25七年级下·云南昆明·期末）一个工程队规定要在6天内完成300土方的工程，第一天完成了60土方，现在要比原计划至少提前2天完成任务，以后几天平均每天至少完成的土方数为（   ） A．65 B．70 C．75 D．80 【答案】D 【分析】设以后几天平均每天至少完成的土方数为x方，根据题意，得，解不等式即可． 本题考查了不等式的应用。熟练掌握列不等式，解不等式是解题的关键． 【详解】解：设以后几天平均每天至少完成的土方数为x方， 根据题意，得， 解得． 故选：D． 【变式2】（25-26七年级下·全国·课后作业）某小区王先生准备装修新居，装修公司派来甲工程队完成此项工程．甲工程队单独完成此项工程需50天，由于工期过长，王先生要求装修公司再派一支乙工程队与甲工程队合作完成此项工程，乙工程队单独完成此项工程需30天．甲、乙工程队每天施工费分别为800元和1000元，若王先生要求施工费用不能超过34000元，则甲工程队至多工作________天． 【答案】20 【分析】本题考查工程问题与一元一次不等式的结合应用，掌握用工作量表示工作天数的方法，以及根据费用约束建立不等式的思路是解题的关键． 设甲工程队工作天，根据工程完成条件，乙工程队工作天数为，再根据施工费用限制列出不等式求解． 【详解】解：设甲工程队工作天，则乙工程队工作天数为 天． 总施工费用为 ． 化简得 ， 即 ， 所以 ， 解得 ． 故甲工程队至多工作天． 故答案为：． 【变式3】（2025·湖南永州·模拟预测）习近平总书记高度重视水污染防治工作，将其作为生态文明建设和环境保护的关键环节，提出一系列新理念、新思路和新举措，为解决污水问题提供了根本遵循．祁阳市某河流防污治理工程已正式启动，由甲队单独做5个月后，乙队再加入合作2个月就可以完成这项工程．已知若甲队单独做需要8个月可以完成． (1)乙队单独完成这项工程需要几个月？ (2)已知甲队每月施工费用为15万元，比乙队多6万元，按要求该工程总费用不超过141万元，工程必须在一年内竣工（包括12个月），为了确保经费和工期，采取甲队做个月（为整数），乙队做4个月分工合作的方式施工，请问有哪几种施工方案并求出最省钱的方案费用？ 【答案】(1)乙队需要16个月完成 (2)方案一：甲队作6个月，乙队作4个月；方案二：甲队作7个月，乙队作4个月．方案一最省钱，费用为126万元． 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，正确列出方程和不等式组是解答本题的关键． （1）设完成本项工程的工作总量为1，由题意可知，从而得出x=15． 即单独完成这项工程需要15个月． （2）根据工程总费用不超过141万元，工程必须在一年内竣工列出方程组，得出a的取值范围，确定工程方案，再求出费用即可． 【详解】（1）设乙队需要x个月完成，根据题意得：， 解得， 经检验是原方程的根 答：乙队需要16个月完成； （2）根据题意得：， 解得 方案一：甲队作6个月，乙队作4个月，万元； 方案二：甲队作7个月，乙队作4个月，万元； 所以方案一最省钱，费用为126万元． 题型02 销售问题 【典例2】（25-26七年级下·全国·月考）某经销商销售一批电话手表，第一个月以550元／块的价格售出60块，第二个月开始降价，以500元／块的价格将这批电话手表全部售出，销售总额超过了5.3万元．这批电话手表至少有（    ） A．99块 B．100块 C．101块 D．102块 【答案】C 【分析】设总手表数为x块，根据销售额超过53000元列出不等式，求解即可． 本题考查了根据题意列不等式，熟练掌握根据题意列出不等式是解题的关键． 【详解】解：设这批电话手表有x块 ∵ 第一个月销售额为元， 第二个月销售额为元， 总销售额为元， 且总销售额元， ∴ ， 化简得：， ∴， ∴， ∵ x为整数， ∴ x至少为101． 因此，这批电话手表至少有101块． 故选：C ． 【变式1】（24-25八年级下·山东青岛·月考）为有效开展“阳光体育”活动，某校计划购买篮球和足球共50个，购买资金不超过3200元，且购买篮球的数量不少于足球数量的一半，若每个篮球80元，每个足球50元．求共有几种购买方案？设购买篮球个，可列不等式组（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次不等式组的实际应用，设购买篮球个，则购买足球个，根据购买资金不超过3200元，且购买篮球的数量不少于足球数量的一半，若每个篮球80元，每个足球50元．列不等式组即可． 【详解】解：设购买篮球个，则购买足球个， 根据题意：， 故选：C． 【变式2】（2025·河北邯郸·二模）淇淇第一次以5元/千克的价格买了2千克西红柿，第二次以元/千克的价格买了4千克西红柿，两次购买西红柿的平均价格每千克大于5元且小于6元，若恰好是整数，则___________． 【答案】 【分析】本题考查不等式解应用题，根据题意求出两次购买西红柿的平均价格，列出不等式求解即可得到答案．读懂题意，准确求出两次购买西红柿的平均价格是解决问题的关键． 【详解】解：第一次以5元/千克的价格买了2千克西红柿， 第一次花费元； 第二次以元/千克的价格买了4千克西红柿， 第二次花费元； 两次购买西红柿的平均价格每千克大于5元且小于6元， ， 解得， 恰好是整数， ， 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·湖南长沙·月考）某社区开展“垃圾分类”入户宣传活动，需要准备两种宣传物资：A物资（宣传折页）每份成本1.5元，B物资（定制垃圾袋）每份成本3元．已知本次活动共需准备200份物资，为了达到更好的宣传效果，要求B物资的数量不低于A物资数量的一半． (1)若同时采购A、B两种物资刚好花了450元，请问A物资和B物资各买了多少份？ (2)为控制预算，A物资和B物资共花费的成本不超过420元，在满足所有条件的情况下，A物资最多可以买多少份？ 【答案】(1)A物资买了100份，B物资买了100份； (2)133 【分析】本题考查了一元一次方程和一元一次不等式组的应用，根据关系列出等式和不等式即可； （1）设A物资买了份，B物资买了份；列出方程，求解即可；             （2）设A物资买了份，B物资买了份；列出不等式，再根据B物资的数量不低于A物资数量的一半，列出不等式即可，求解即可. 【详解】（1）解：设A物资买了份，B物资买了份； ， 解得：， B物资：， 答：A物资买了100份，B物资买了100份； （2）设A物资买了份，B物资买了份； ， 解得：， ∵B物资的数量不低于A物资数量的一半， ∴，   解得：， ∴， ∴A物资最多可以买133份. 题型03 行程问题 【典例3】（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·月考）哈市乘坐出租车的收费标准：起步价8元（即行驶距离不超过3千米都须付8元车费），超过3千米以后，每增加1千米，加收2元（不足1千米的部分按1千米计）．某人乘出租车从甲地到乙地共付车费18元，那么甲地到乙地路程满足（　　） A． B．7 C．7 D．7 【答案】D 【分析】本题主要考查了不等式组的应用，根据总费用18元中，起步价8元对应3千米，剩余10元为超过3千米的费用，根据超过部分每千米2元，求出超过的千米数为千米，根据不足1千米按1千米计，实际路程需满足：超过3千米的部分大于4千米且不超过5千米，据此列出不等式组解不等式组即可． 【详解】解：∵总费用18元中，起步价8元对应3千米，剩余10元为超过3千米的费用，超过部分每千米2元， ∴超过的千米数为千米， ∵不足1千米按1千米计， ∴实际路程需满足：超过3千米的部分大于4千米且不超过5千米， ∴， 解得：， 故选：D． 【变式1】（25-26七年级下·全国·课后作业）小华同学现要在38min内完成4.1km的路程，已知她步行每分钟可走90m，跑步每分钟可跑210m．小华同学完成这段路程，至少要跑多少分钟？设要跑x min，则可列不等式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查由实际问题抽象出一元一次不等式，关键是根据题意找出不等关系列出不等式． 设要跑，则步行时间为，根据题意列出不等式解答即可． 【详解】解：设要跑，则步行时间为， ∵她步行每分钟可走，跑步每分钟可跑． ∴她跑步距离为，步行距离为， ∵总距离至少为，， ∴总距离需满足， 故选：B 【变式2】（25-26八年级下·全国·课后作业）方方驾驶汽车从甲地匀速行驶去乙地，设汽车的行驶速度为．已知行驶速度限定为不超过，若他以的平均速度行驶，则需到达目的地；若他必须要在内（包括）到达乙地，则的取值范围是_____． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键． 根据路程不变，由速度和时间的关系列出不等式组，解之即可得出行驶的平均速度的范围． 【详解】解：依题意得： 解得：． 故答案为：． 【变式3】（24-25七年级下·江苏南京·期末）如图，A，B两地间的公路长，其中有一段长的施工道路，M距离A地甲、乙两辆轿车分别从A，B两地出发，沿该公路相向而行，乙车比甲车晚出发在非施工道路其限速情况如图所示，甲车始终以的速度行驶，乙车始终以的速度行驶；在施工道路，两车均以的速度行驶． (1)若 ①甲车出发时，甲车行至______处，乙车行至______处；填“M”“N”或“的中点” ②甲车行至的中点时，乙车行驶的时间为______h (2)已知两车在P处相遇． ①若P与N重合，求V的值； ②若P在非施工道路上不与M，N重合，直接写出V的取值范围． 【答案】(1)①M，N；② (2)①，②或 【分析】①根据题意，分别得到，，，，根据甲乙两车的速度，即可得到两车行驶的距离，即可得到结果； ②根据甲车在段和段的速度不同，得到甲车的行驶时间，结合乙车比甲车晚出发，得到乙车所用时间； ①两车在P处相遇与N重合，分别求出甲乙所用的时间，从而得到乙车的速度； ②分类讨论相遇点在上，分别表示甲乙所行驶的路程，根据总路程为，得到等式，表示出速度，同时结合限速的要求，得到结果． 本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用，以及路程、速度、时间之间的关系的应用，正确理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：①依题意，，，， ， 甲车从A地出发，始终以的速度行驶， 甲车2小时共行驶了， 甲车出发2小时，行至M处， 乙车从B地出发，比甲车晚出发小时，以的速度行驶， 乙车共行驶了， 乙车行至N处， 故答案为：M，N； ②甲车行至的中点时，所用时间为：， 此时乙车行驶所用时间：， 故答案为：； （2）①两车在P处相遇，P与N重合， 甲车所用时间为， 此时乙车所用时间为， 乙车的速度为； ②P在非施工道路上不与M，N重合， 若P在上，设甲的行驶时间为t，则， 此时甲行驶路程为，乙行驶的路程为， ， ， ， 解得， 限速为， ， 若P在上，设甲的行驶时间为t，， 则， 此时甲行驶路程为，乙行驶的路程为， ， ， ， 解得， 限速为， ， 综上所述或． 题型04 运输问题 【典例4】（24-25七年级下·山东青岛·期末）太原地铁“一号线”正在进行修建，预计年年底通车试运营，标志色为梦想蓝，现有大量的残土需要运输，某车队有载重量为吨的卡车辆，载重量为吨的卡车辆，该车队需要一次运输残土不低于吨，为了完成任务，该车队准备新购进这两种卡车共辆，若购进载重量为吨的卡车辆，则需要满足的不等式为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，根据题意可得载重量为吨的卡车共有辆，载重量为吨的卡车共有辆，再根据题意列出不等式即可，根据题意找到不等量关系是解题的关键． 【详解】解：由题意得，， 故选：． 【变式1】（23-24八年级下·山西太原·期中）现有大量的残土需要运输，某车队有载重量为8吨的卡车5辆，载重量为10吨的卡车7辆．该车队需要一次运输残土不低于166吨．为了完成任务，该车队准备新购进这两种卡车共6辆．若购进载重量为8吨的卡车a辆，则a需要满足的不等式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了列一元一次不等式，根据购进载重量为8吨的卡车a辆，因为共6辆，所以载重量为10吨的卡车为辆，再结合“载重量为8吨的卡车5辆，载重量为10吨的卡车7辆,该车队需要一次运输残土不低于166吨”，进行列式，即可作答． 【详解】解：∵该车队准备新购进这两种卡车共6辆． ∴载重量为10吨的卡车为辆， ∵该车队需要一次运输残土不低于166吨,且载重量为8吨的卡车5辆，载重量为10吨的卡车7辆 ∴则a需要满足的不等式为 故选：A 【变式2】（2025·山东菏泽·一模）某商场工作人员为方便客户购物需用扶手电梯和直立电梯从一楼运输一批购物车到二楼．若该商场扶手电梯一次性可以运输24辆购物车，直立电梯一次性可以运输18辆购物车．若要运输100辆购物车，且最多只能使用电梯5次，则共有______种运输方案，分别是_____． 【答案】 4 使用扶手电梯2次，则使用直立电梯3次；使用扶手电梯3次，则使用直立电梯2次；使用扶手电梯4次，则使用直立电梯1次；使用扶手电梯5次，则使用直立电梯0次 【分析】本题主要考查了不等式组的应用，根不等关系，列出方程，是解题的关键．设使用扶手电梯x次，则使用直立电梯次，根据要运输100辆购物车，列出不等式组，解不等式组即可． 【详解】解：设使用扶手电梯x次，则使用直立电梯次，根据题意得： ， 解得：， ∵x为整数， ∴，3，4，5， 因此有4种方案，即使用扶手电梯2次，则使用直立电梯3次；使用扶手电梯3次，则使用直立电梯2次；使用扶手电梯4次，则使用直立电梯1次；使用扶手电梯5次，则使用直立电梯0次． 故答案为：4；使用扶手电梯2次，则使用直立电梯3次；使用扶手电梯3次，则使用直立电梯2次；使用扶手电梯4次，则使用直立电梯1次；使用扶手电梯5次，则使用直立电梯0次． 【变式3】（24-25八年级下·四川成都·期中）某企业需运输一批生产物资，已知3辆大货车与2辆小货车一次可以运输65箱物资；4辆大货车与6辆小货车一次可以运输120箱物资． (1)求1辆大货车和1辆小货车一次分别运输多少箱物资； (2)计划用两种货车共15辆运输这批物资，每辆大货车一次需费用500元，每辆小货车一次需费用300元．若运输物资不少于175箱，且总费用小于6100元．请求出有几种运输方案？ 【答案】(1)1辆大货车一次运输15箱物资，1辆小货车一次运输10箱物资 (2)有三种运输方案，见解析 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用， 对于（1），设1辆大货车一次运输x箱物资，1辆小货车一次运输y箱物资，再根据运输物资的箱数相等列出方程组，求出解即可； 对于（2），设运输这批物资的大货车m辆，则小货车辆，再根据箱数和费用列出不等式组，求出解集，再选择适合的方案解答即可． 【详解】（1）解：设1辆大货车一次运输x箱物资，1辆小货车一次运输y箱物资，根据题意，得 ， 解得， 所以设1辆大货车一次运输15箱物资，1辆小货车一次运输10箱物资； （2）解：设运输这批物资的大货车m辆，则小货车辆，根据题意，得 ， 解得， ∵m是正整数， ∴m可取5,6,7， ∴运输方案有3种， 方案一：大货车5辆，小货车10辆，此时所需要费用为（元）； 方案二：大货车6辆，小货车9辆，此时所需要费用为（元）； 方案三：大货车7辆，小货车8辆，此时所需要费用为（元）． 答：方案一：大货车5辆，小货车10辆；方案二：大货车6辆，小货车9辆；方案三：大货车7辆，小货车8辆． 题型05 比赛问题 【典例5】（25-26七年级·上海·假期作业）某乡镇中心学校举行教职工象棋比赛，规定预赛10局，积分不低于30分的选手晋级．预赛中，赢一局得10分，平一局得3分，输一局扣5分，张老师在预赛中平2局，他要想晋级比赛，则至少应获胜（    ） A．3局 B．4局 C．5局 D．6局 【答案】C 【分析】本题主要考查一元一次不等式的应用，理解题意，列出不等式是解题的关键． 设张老师至少获胜x局，依据积分规则列出一元一次不等式，求解不等式并结合实际取整，得到获胜局数的最小值． 【详解】设张老师至少获胜x局，则输了局，即局， ∵ 积分不低于30分可晋级，赢一局得10分，平一局得3分，输一局扣5分，张老师平2局， ∴ 列不等式：， 展开并整理得：， ， ， 解得：， ∵ x为正整数， ∴ x的最小值为5， 即张老师至少应获胜5局． 故选：C． 【变式1】（22-23八年级下·广东深圳·期中）某学校举行“创新杯”篮球比赛，比赛方案规定：每场比赛都要分出胜负，每队胜1场积2分，负1场积1分，每只球队在全部8场比赛中积分不少于12分，才能获奖．小明所在球队参加了比赛并计划获奖，设这个球队在全部比赛中胜x场，则x应满足的关系式是(      ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意，胜一场得分，负一场得分，由不等关系：每只球队在全部8场比赛中积分不少于12分，列出不等式即可． 【详解】解：由题意，胜一场得分，负一场得分， 则得不等式：， 故答案为：A． 【点睛】本题考查了列一元一次不等式，关键是找到不等关系． 【变式2】（24-25八年级下·甘肃张掖·月考）篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分，负一场得1分．某队预计在下个赛季全部32场比赛中最少得到48分，才有希望进入季后赛．该队要想进入季后赛，则至少要胜多少场比赛？若设至少想胜场比赛，则可列出不等式为______． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式．由胜、负场数间的关系，可得出该队负场数是，利用得分胜场数负场数，结合得分不少于48分，即可得出关于x的一元一次不等式，此题得解． 【详解】解：该队共比赛32场，每场比赛都要分出胜负，且胜场数是x， 负场数是． 根据题意得：． 故答案为：． 【变式3】（23-24八年级下·河南郑州·期中）“天空课堂”开课以来，受到广大青少年的喜爱．某校利用课后服务时间开展“追寻‘天宫’”知识竞赛，共有15个班级参加． (1)比赛规定：每场比赛都要分出胜负，胜一场积5分，负一场积3分，某班级在14场比赛中获得总积分54分，该班级胜、负场数分别是多少？ (2)比赛中设置了20道多选题，全部选对可得3分，选对但选不全可得2分，其余情况均不得分．某班在一场比赛中，共答对了18道题（选对但选不全的也算在内），其中选对但选不全的题目至少比全部选对的多2道，且多选题所得的总分不少于41分，该班级在这场比赛中多选题最多能得多少分？ 【答案】(1)该班级胜了6场，负了8场 (2)该班级在这场比赛中多选题最多能得44分 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用等知识点，审请题意、正确列出方程组和不等式组成为解题的关键． （1）设该班级胜了x场，负了y场．然后根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）设该班级在这场比赛中全部选对的有道，则选对但选不全的有道．然后根据题意列不等式组求解，然后根据实际意义即可解答． 【详解】（1）解：设该班级胜了x场，负了y场． 根据题意，得解得． 答：该班级胜了6场，负了8场． （2）解：设该班级在这场比赛中全部选对的有道，则选对但选不全的有道． 根据题意可列出不等式组解得：． 根据题意知全部选对的题越多，得分越多． 当时，多选题得分最多，为（分）． 答：该班级在这场比赛中多选题最多能得44分． 题型06 古代问题 【典例6】（23-24八年级下·河北保定·期中）我国古代《易经》记载，远古时期人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图，一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结，满五进一，用来记录采集到野果的个数，若她采集到的一筐野果不少于45个，则在第2根绳子上的打结数至少是（  ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题是以古代“结绳计数”为背景，按满五进一计数，运用了类比的方法，根据图示列式求解．解题的关键是运用“满五进一”的进制思想． 设在第2根绳子上的打结数是x，根据满五进一列出不等式，然后求解即可得出答案． 【详解】解：设在第2根绳子上的打结数是x（x为正整数）， 根据题意得：， 解得：， ∵x为正整数， ∴x取最小值4．即在第2根绳子上的打结数至少是4． 故选：D． 【变式1】（24-25七年级下·广东惠州·期末）程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，根据如图的程序进行计算：程序运行到“判断结果是否大于28”为一次运算．若运算进行了3次才停止，则x的取值范围是__________． 【答案】/ 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，读懂题目信息，理解运行程序并列出不等式组是解题的关键．根据运行程序，第二次运算结果小于或等于28，第三次运算结果大于28列出不等式组，然后求解即可． 【详解】解：由题意得，， 解不等式①得，， 解不等式②得，， ∴， 故答案为． 【变式2】（2024·贵州六盘水·二模）方程是刻画现实世界数量关系的一个有效模型，这个名词最早出现在我国古代数学专著 《九章算术》中．请用方程思想解决下列问题： 某单位组织联谊活动，需采购可乐、橙汁两种饮料，已知购买4箱可乐、2箱橙汁需320元， 购买3箱可乐、1箱橙汁需210元． (1)求可乐、橙汁每箱的价格； (2)单位计划经费不超过1100元，购买两种饮料共20箱，且橙汁不少于8箱，则共有哪几种购买方案？ 【答案】(1)每箱可乐的价格是元，橙汁的价格是元 (2)方案一：购买箱橙汁，箱可乐；方案二：购买箱橙汁，箱可乐；方案三：购买箱橙汁，箱可乐； 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，准确理解题意，找准等量关系是解题的关键． （1）设每箱可乐的价格是元，橙汁的价格是元，根据题意列出二元一次方程组计算即可； （2）设购买箱橙汁，则购买箱可乐，根据题意列出一元一次不等式组进行求解即可． 【详解】（1）解：设每箱可乐的价格是元，橙汁的价格是元， 解得， 答：每箱可乐的价格是元，橙汁的价格是元； （2）解：设购买箱橙汁，则购买箱可乐， 根据题意可得， 解得 为正整数， 可以是， 该单位共有种购买方案， 方案一：购买箱橙汁，箱可乐； 方案二：购买箱橙汁，箱可乐； 方案三：购买箱橙汁，箱可乐； 【变式3】（2025·贵州·一模）如图是古代一位将军在一次护城战役中的布阵图，在城池的周围分布甲，乙两种类型的哨所．若每个哨所至少要有一人，同类型哨所的人数相同，城池周围每条边上三个哨所的人数和都为11人． (1)若六个哨所的总人数为21人，求甲，乙两种类型每个哨所的人数； (2)假设每个甲型哨所的人数为，请用含的代数式表示六个哨所的总人数，并求出六个哨所总人数最大值与最小值及相应的的值． 【答案】(1)每个甲哨所有4人，每个乙哨所有3人 (2)当时，哨所总人数的最大值是30人，当时，哨所总人数的最小值是18人 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是找准等量关系． （1）设每个甲哨所有人，每个乙哨所有人，根据六个哨所的总人数为21人，即可得出关于与二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设六个哨所的总人数为人，将六个哨所有人数相加即可得出关于的一次函数关系式，利用一次函数的性质即可解决最值问题． 【详解】（1）解：设每个甲哨所有人，每个乙哨所有人， 根据题意列方程得：， 解得， 答：每个甲哨所有4人，每个乙哨所有3人； （2）解：设六个哨所的总人数为人， ∵每个甲型哨所的人数为，城池周围每条边上三个哨所的人数和都为11人， ∴每个乙型哨所的人数为人， 又每个哨所至少要有一人， ∴， ∴， ∴， 随的增大而减小， 当时，最大值，当时，最小值， 答：当时，哨所总人数的最大值是30人，当时，哨所总人数的最小值是18人． 题型07 分段收费问题 【典例7】（24-25七年级下·山东临沂·期末）某市地铁票收费标准如下：不超过63元；超过6到12（含）4元；超过12到22（含）5元；超过22到32（含）6元；超过32部分，每增加1元可再乘坐20．一位乘客单次乘坐地铁购票花费了9元，设他乘坐地铁的里程为，用不等式表示x的范围________． 【答案】 【分析】本题考查了不等式的应用，根据收费标准，超过32部分，每增加1元可再乘坐20，从而得出8元和9元最多乘坐的里程，进而得到x的范围即可． 【详解】解：由题意，7元可以最多乘坐：； 8元可以最多乘坐：； 9元可以最多乘坐：； ∴； 故答案为：． 【变式1】（24-25七年级下·辽宁大连·期末）大连地铁票收费标准如下： 不超过，2元人次；超过到（含），元/人次； 超过到（含），4元/人次； 超过到（含），5元/人次； 超过到（含），6元/人次； 超过到（含），7元/人次； 超过到（含），8元/人次； 超过部分，票价每增加元可再乘坐． 一位乘客单次乘坐地铁购票花费了元，设他乘坐地铁的里程为，用不等式表示的范围为______． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键．根据“超过部分，票价每增加元可再乘坐”，结合一位乘客单次乘坐地铁购票花费了元，即按里程计算超过元且不超过元，可列出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围． 【详解】解：根据题意得：， 解得：． 故答案为：． 【变式2】（25-26七年级上·河北邢台·期末）如图是第十五届全运会吉祥物“喜洋洋”和“乐融融”，寓意为“喜气洋洋、其乐融融、团圆和美”．某商店计划采购x对吉祥物钥匙扣，两个工厂收费方式如下． 甲厂收费方式：收模具费元，另外每对收制造费元． 乙厂收费方式：不超过对时，每对钥匙扣收制造费元；超过对时，超过部分每对钥匙扣收费元： (1)①当不超过时，甲厂的收费为________元，乙厂的收费为________元；②当超过时，乙厂的收费为________元； (2)采购多少对吉祥物钥匙扣时，甲、乙两厂收费相同? (3)直接写出选择哪个厂更节省费用． 【答案】(1)①；；② (2)对或对 (3)当或时，选乙厂更节省费用；当时，选甲厂更节省费用；当或时，两厂收费相同 【分析】本题考查了分段函数在实际问题中的应用，通过建立甲、乙两厂的收费函数，利用方程和不等式求解收费相同及费用更省的情况，熟练运用分类讨论思想是解答本题的关键． （1）根据甲厂“固定模具费每对制造费”的收费模式，以及乙厂“不超过对和超过对”的分段收费规则，分别列出对应 x 取值范围的收费表达式； （2）分“不超过对”和“超过对”两种情况，令甲、乙两厂收费函数相等，通过解方程求出收费相同时的采购数量； （3）分“不超过对”和“超过对”两种情况，分别建立甲厂收费小于、等于、大于乙厂收费的不等式，通过解不等式确定不同采购数量下更节省费用的工厂选择． 【详解】（1）解：由题意可得，当不超过时，甲厂的收费为元，乙厂的收费为元，当超过时，乙厂的收费为元； （2）解：当不超过时，， 解得：； 当超过时，， 解得：； 答：采购对或对吉祥物钥匙扣时，甲、乙两厂收费相同； （3）解：当不超过时， ，解得：， ，解得：， ，解得：， 当超过时， ，解得：， ，解得：， ，解得：， 答：当或时，选乙厂更节省费用；当时，选甲厂更节省费用；当或时，两厂收费相同． 【变式3】（24-25八年级下·广东深圳·期末）深圳市高速公路收费站在早高峰期间，人工收费通道和通道同时开放．已知通道每小时通过的车辆数是人工收费通道的倍，通过600辆车时，通道比人工收费通道少用3小时． (1)求人工收费通道和通道每小时分别通过多少辆车？ (2)如果高速收费站一共有10条收费通道，请问至少要开通多少条通道才能在早高峰2个小时的时间段内通过5000辆车？ 【答案】(1)人工收费通道每小时通过120辆车，通道每小时通过300辆车． (2)至少要开通8条通道 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意列出方程和不等式是解题的关键． （1）设人工收费通道每小时通过辆车，则通道每小时通过辆车，根据通过600辆车时，通道比人工收费通道少用3小时建立方程求解即可； （2）设开条通道，则开条人工收费通道，根据2个小时的时间段内要至少通过5000辆车建立不等式求解即可． 【详解】（1）解：设人工收费通道每小时通过辆车，则通道每小时通过辆车． 根据题意得：， 解得：， 经检验：是分式方程的根，且符合题意， ∴， 答：人工收费通道每小时通过120辆车，通道每小时通过300辆车． （2）解：设开条通道，则开条人工收费通道． 根据题意得： 解得：． ∵为整数， ∴的最小值是8． 答：至少要开通8条通道． 题型08 方案问题 【典例8】（22-23七年级下·陕西渭南·期末）把一些书分给名同学，若每人分本则不够，若每人分本，则正好剩余本．依题意，可列不等式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了根据实际问题列不等式，解决问题的关键是弄清题意，找到关键语句，确定各量间的关系．根据题意，书的总数不变，每人分本不够，即总数小于；每人分本剩余本，即总数等于，从而列出不等式． 【详解】解：设书的总数为本， 每人分本不够， ， 每人分本，则正好剩余本， ， ， 故选：A． 【变式1】（25-26七年级上·全国·假期作业）若干名学生乘船．若每条船坐人，则人无船坐；若每条船坐人，则空一条船，还有船不空也不满，设有条船，则可列不等式组为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式组，关键是正确理解题意，找出题目中的不等关系． 根据设有条船，又根据“每条船坐人，则人无船坐”可得学生有人，再根据“每条船坐人，则空一条船，还有船不空也不满”列出不等式组即可． 【详解】解：∵设有条船，若每条船坐人，则人无船可坐， ∴学生总人数为人． ∵每条船坐人，则空一条船，还有船不空也不满， ∴使用条船，其中坐满的船数为条， ∴最后一条船的人数为人． ∵最后一条船不空也不满， ∴最后一条船的人数大于人，小于人， 即：， 不等式组为． 故选：C． 【变式2】（24-25七年级上·黑龙江牡丹江·期末）若干名学生乘船，若每条船坐4人，则2人无船坐；若每条船坐6人，则空一条船，还有一条船不空也不满，则共有________条船． 【答案】5或6 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用． 设船数为条，学生数为人．根据第一条条件，每条船坐 4 人则 2 人无船坐，可得 ．根据第二条条件，每条船坐6人则空一条船，还有一条船不空也不满，可得 ，其中 ．联立方程解得 ，代入不等式 求解，可得或． 【详解】解：设船数为条，学生数为人． 由“每条船坐4人，则2人无船坐”可得：， 由“当每条船坐6人时，空一条船，还有一条船不空也不满”，设不空也不满的船上有名学生，可得：，其中， 联立方程：， 即， 由，得：， 解得：， 由于为整数，因此 或 ． 故答案为：5或6． 【变式3】（25-26七年级上·湖北武汉·期末）一家游泳馆开展冬季促销活动，方案有两种： 方案 优惠方案 方案① 办会员证，每张280元，只限本人使用，凭会员证购买入场券每张20元 方案② 前30次按照每次原价30元收费，超过30次后每次按原价的六折收费 设小明计划这个冬季去游泳次（其中为正整数） (1)若时，选择方案①的总费用为___________元，选择方案②的总费用为___________元； (2)请根据的范围讨论小明选择哪种方案更优惠？ (3)方案一比方案二最多优惠___________元． 【答案】(1)； (2)见解析 (3)20 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的应用、列代数式，解题时要熟练掌握并能根据题意列出关系式是关键． （1）依据题意，方案①：会员证280元每次20元，可得，总费用为元；方案②：根据题意可得总费用为元，进而得解； （2）依据题意，分时、时，和时，分别计算可以得解； （3）依据题意，分、和时，分别分析计算可以得解． 【详解】（1）解：方案①：会员证280元每次20元， ∴x为次数，总费用为元； 方案②：前30次费用元超过30次部分（次），每次元， ∴总费用为元； 故答案为：；； （2）解：①当时， 方案①费用：； 方案②费用：， 令， ∴． 当时，，方案②更优惠； 当时，，两种方案费用相同； 当时，，方案①更优惠； ②当时，方案①费用：；方案②费用：； 令， ∴． 当时，，方案①更优惠； 当时，，两种方案费用相同； 当时，，方案②更优惠； （3）解：方案一比方案二最多优惠的金额优惠额方案②费用方案①费用，需找优惠额的最大值： 当时，方案②更便宜，优惠额为负（无优惠）； 当时，优惠额（随x增大而增大）， 时，优惠额元； 当时，优惠额（随x增大而减小），最大值小于20元． 综上，方案一比方案二最多优惠20元． 故答案为：20 一、单选题 1．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）学校购进单价分别为5元和7元的两种笔记本共50本作为奖品发放给学生，要求种笔记本的数量不多于种笔记本数量的3倍，不少于种笔记本数量的2倍，则不同的购买方案种数为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据题意列出不等式组是解题的关键．设购进A种笔记本为x本，则购进B种笔记本为本，根据题意列出一元一次不等式组，然后求整数解即可． 【详解】解：设购进A种笔记本为x本，则购进B种笔记本为本， 由题意得：， 解得， ∵x为正整数， ∴x的取值为34、35、36、37， 则不同的购买方案种数为4种． 故选：B． 2．（24-25七年级下·河北廊坊·期末）下图表示甲、乙两人依次进入电梯时，电梯因超重而响起警示音的过程，且过程中没有其他人进出．已知当电梯乘载的重量超过时警示音响起，且甲、乙的体重分别为．若甲进入电梯前，电梯内已乘载的重量为，则满足题意的不等式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了于实际问题抽象出一元一次不等式组，解决本题的关键是根据题意找到不等关系．由图可得，甲的重量为，且进入电梯后，警示音没有响起；乙的重量为，进入电梯后，警示音响起，分别列出不等式即可求解． 【详解】解：由题意可知：当电梯乘载的重量超过时警示音响起，甲进入电梯前，电梯内已乘载的重量为， 由图可知： 甲的重量为，且进入电梯后，警示音没有响起， 所以此时电梯乘载的重量，解得， 因为乙的重量为，且进入电梯后，警示音响起， 所以此时电梯乘载的重量，解得， 因此． 故选：A． 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）将一箱苹果分给若干个小朋友，若每个小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果；若每个小朋友分8个苹果，则有1个小朋友分到的苹果不足8个．求这一箱苹果的个数与小朋友的人数．若设小朋友的人数为，则可列不等式组为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查由实际问题抽象出一元一次不等式组，关键是正确理解题意，找出题目中的不等关系． 设小朋友人数为，则苹果总数为，当每个小朋友分个苹果时，前个小朋友分得个苹果，最后一个小朋友分得的苹果数为，该值大于且小于，由此可列不等式组． 【详解】解：∵苹果总数为， 前个小朋友分得个苹果， ∴最后一个小朋友分得的苹果数为， 由题意，， 即不等式组为 故选：C． 4．（25-26七年级·上海·假期作业）某次知识竞赛共有20道题，答对一题得10分，答错或不答均扣5分，小玉得分超过95分，他至多可以答错的试题道数为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题考查一元一次不等式的实际应用，需根据得分条件列出不等式，求解后取符合题意的最大整数解即可． 【详解】解：设小玉答错或不答的试题道数为道，则答对的试题道数为道， ∵小玉得分超过95分， ∴， 去括号得：， 合并同类项得：， 移项得：， 计算得：， 系数化为1（不等号方向改变）得：， ∵为非负整数， ∴的最大值为6， 即小玉至多可以答错6道试题， 故选：B． 5．（25-26七年级·上海·假期作业）随着科技的进步，我们可以通过手机实时查看公交车到站情况．小明想乘公交车，可又不想静静地等在站．他从站往站走了一段路，拿出手机查看了公交车到站情况，发现他与公交车的距离为（如图），此时有两种选择： （1）与公交车相向而行，到公交站去乘车； （2）与公交车同向而行，到公交站去乘车． 假设小明的速度是公交车速度的，若要保证小明不会错过这辆公交车，则，两公交站之间的距离最大为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，解题的关键是找到不等关系列出一元一次不等式．可设小明的速度是分，则公交车速度是分，看手机后走的时间为分，，两公交站之间的距离为，计算得到小明的路程，公交车的路程，再根据到公交站的路程之间的不等关系路程不等式求解即可． 【详解】解：设小明的速度是分，则公交车速度是分，看手机后走的时间为分，，两公交站之间的距离为， 到公交站：， 解得， 则， 到公交站：， 解得． 故，两公交站之间的距离最大为． 故选：B． 二、填空题 6．（24-25七年级下·内蒙古巴彦淖尔·期末）如图，在我们的生活中，经常见到共享自助洗车．它的收费标准如下：洗车13分钟内（包括13分钟）收费6元，超出后加收元/分钟，不足一分钟按一分钟计算．某同学的爸爸洗车花费了元，请你写出洗车的时间的范围（单位：分钟）________． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，正确列出不等式组是解题关键．先求出超过13分钟后，洗车的最长时间为7分钟，再根据不足一分钟按一分钟计算建立不等式组，解不等式组即可得． 【详解】解：由题意得：（分钟）， ∵不足一分钟按一分钟计算， ∴， 解得， 故答案为：． 7．（25-26八年级上·浙江台州·期末）按照如下程序操作，规定：从“输入一个值”到“结果是否大于83”为一次程序操作．如果结果得到的数小于或等于83，则用得到的这个数进行下一次操作．如果程序操作执行两次才停止，则输入的的取值范围是_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的应用， 先根据程序图的操作过程得出不等式组，再求出不等式组的解集． 【详解】解：根据题意，得 ， 解得． 故答案为：． 8．（24-25七年级下·全国·课后作业）一种药品的说明书上写着：“每日用量，分3～4次服完．”设一次服用这种药品，则x的取值范围为________． 【答案】 【分析】本题考查了不等式在实际生活中的应用，准确理解题意是解题的关键．根据每日用量范围和服用次数，应分别求出每日服用3次和4次时，单次服用剂量x的取值范围，再将两个范围取并集即可得到最终结果． 【详解】解：当每日服用3次时，单次服用剂量为，则每日用量为， 根据题意得， 解得， 当每日服用4次时，单次服用剂量为，则每日用量为， 根据题意得， 解得， 综上所述，x的取值范围为． 故答案为：． 9．（25-26八年级下·全国·课后作业）茶叶采摘之后需要经历摊晾、杀青、揉捻、干燥等环节才能制作成我们平时所喝的茶叶．已知生产1千克成品毛尖需要鲜茶叶毛尖4千克，生产1千克成品银针需要鲜茶叶银针3.5千克．若某一天生产了成品茶叶共20千克，所使用的现摘茶叶不超过75千克，则生产出的成品毛尖至多为__________千克． 【答案】10 【分析】根据成品茶叶总质量表示出成品银针的质量，再结合鲜茶叶使用量不超过75千克的条件，列一元一次不等式求解即可． 【详解】解：设生产出的成品毛尖为千克，则生产出的成品银针为千克． 根据题意，得． 去括号，得． 合并同类项，得． 移项，得． 计算得． 系数化为1，得． 故生产出的成品毛尖至多为10千克． 10．（25-26八年级上·贵州贵阳·期末）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，其中记载了“物不知数”的问题，是“中国剩余定理”的经典应用．今有问题为：“现有兵两千有余且不满两千一百，五五数之剩一，七七数之剩三，八八数之剩二，问兵几何”．请利用“逐步确定”策略求出共有兵________人． 【答案】2026 【分析】本题考查“逐步确定”策略，根据题意，先确定之间，满足除以8余2的数，再在这些数中确定除以7余3的数，再确定除以5余1的数即可． 【详解】解：设八八数之剩二的数为， 由题意，， ∴，即， ∴满足题意的整数为共13个数， ∴满足条件的数有2002，2010，2018，2026，2034，2042，2050，2058，2066，2074，2082，2090，2098，共13个数， 这13个数中满足七七数之剩三的数只有2026和2082两个数， 2026和2082两个数中满足五五数之剩一的只有2026； 故共有兵2026人； 故答案为：2026. 三、解答题 11．（25-26八年级上·湖北孝感·期末）近年来光伏建筑一体化广受关注．朝阳社区拟修建，两种光伏车棚若干个，分别使用甲、乙两种不同型号的光伏板，甲种光伏板的单价比乙种光伏板的单价少200元，用7000元购进甲种光伏板的数量是用4500元购进乙种光伏板数量的2倍． (1)求甲种光伏板的单价是多少？ (2)若社区计划购进乙种光伏板的数量比甲种光伏板的2倍还多40块，且乙种光伏板的数量不低于400块，购进两种光伏板的总费用不超过511000元，求社区有几种购买方案?哪种方案的费用最低?最低费用是多少元? 【答案】(1)甲种光伏板的单价为700元 (2)一共有11种购买方案，购买甲种光伏板为180块，乙种光伏板为400块总费用最低，最低费用为486000元 【分析】本题主要考查了一次函数的性质，分式方程的应用，不等式组的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程，根据不等关系列出不等式． （1）设甲种光伏板的单价为元，则乙种光伏板的单价为元，根据用7000元购进甲种光伏板的数量是用4500元购进乙种光伏板数量的2倍，列出方程，解方程即可； （2）设甲种光伏板的数量为块，则乙种光伏板的数量为块，根据乙种光伏板的数量不低于400块，购进两种光伏板的总费用不超过511000元，列出不等式，解不等式组得出，设总费用为w元，根据题意得出，根据一次函数的性质，得出答案即可． 【详解】（1）解：设甲种光伏板的单价为元，则乙种光伏板的单价为元， 由题意得， 解得：， 经检验，为原方程的根， 甲种光伏板的单价为700元． （2）解：设甲种光伏板的数量为块，则乙种光伏板的数量为块， 由题意得：， 解得， 为正整数， 满足条件的有11种取值，所以一共有11种购买方案， 设总费用为w元， 则， ， ∴w随的增大而增大. 越小，总费用越低， 当时，总费用最低， 即购买甲种光伏板为180块，则乙种光伏板为400块总费用最低， 最低费用为元． 12．（24-25七年级下·重庆·期末）夏天天气炎热，西瓜作为消暑水果需求量大增，某水果批发公司需要考虑从农场运输西瓜到城市销售，已知3辆A型货车与2辆B型货车一次可以运输34吨西瓜，5辆A型货车与3辆B型货车一次可以运输54吨西瓜． (1)求每辆A型货车和每辆B型货车一次分别可以运输多少吨西瓜？ (2)该公司计划用两种货车共12辆运输一批西瓜，A型货车运输一次费用为1500元，B型货车运输一次费用为2000元，若运输西瓜总量不少于85吨，且总费用少于23000元，请你列出所有运输方案． 【答案】(1)每辆A型货车一次可以运输6吨西瓜，每辆B型货车一次可以运输8吨西瓜； (2)一共有三种方案：方案一、使用A型货车3辆，使用B型货车9辆；方案二、使用A型货车4辆，使用B型货车8辆；方案一、使用A型货车5辆，使用B型货车7辆． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，正确理解题意列出方程组和不等式组是解题的关键． （1）设每辆A型货车一次可以运输x吨西瓜，每辆B型货车一次可以运输y吨西瓜，根据3辆A型货车与2辆B型货车一次可以运输34吨西瓜，5辆A型货车与3辆B型货车一次可以运输54吨西瓜建立方程组求解即可； （2）设使用A型货车m辆，则使用B型货车辆，根据运输西瓜总量不少于85吨，且总费用少于23000元建立不等式组求解即可． 【详解】（1）解：设每辆A型货车一次可以运输x吨西瓜，每辆B型货车一次可以运输y吨西瓜， 由题意得，， 解得， 答：每辆A型货车一次可以运输6吨西瓜，每辆B型货车一次可以运输8吨西瓜； （2）解：设使用A型货车m辆，则使用B型货车辆， 由题意得，， 解得， 又∵m为整数， ∴m的值可以为3或4或5， 当时，， 当时，， 当时，， 答：一共有三种方案：方案一、使用A型货车3辆，使用B型货车9辆；方案二、使用A型货车4辆，使用B型货车8辆；方案一、使用A型货车5辆，使用B型货车7辆． 13．（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）近年来新能源汽车产业及市场迅猛增长，为了缓解新能源汽车充电难的问题，某小区计划新建地上和地下两类充电桩．已知新建1个地上充电桩和2个地下充电桩需要万元；新建个地上充电桩和个地下充电桩需要万元． (1)该小区新建1个地上充电桩和1个地下充电桩各需多少万元？ (2)若该小区计划用不超过万元的资金新建个充电桩，且地下充电桩的数量不少于地上充电桩数量的2倍，则共有几种建造方案？并列出所有方案． 【答案】(1)该小区新建1个地上充电桩需要0.2万元，1个地下充电桩需要0.3万元 (2)共有3种建造方案，见解析 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：①找准等量关系，正确列出二元一次方程组；②根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． （1）设该小区新建个地上充电桩需要万元，个地下充电桩需要万元，根据题意列出二元一次方程组求解即可； （2）设新建m个地上充电桩，则新建个地下充电桩，根据题意列出不等式组求解即可． 【详解】（1）解：设该小区新建一个地上充电桩需万元，一个地下充电桩需万元， 根据题意得：， 解得：， 答：该小区新建一个地上充电桩需万元，一个地下充电桩需万元； （2）解：设新建m个地上充电桩，则新建个地下充电桩， 根据题意得：， 解得：， 又m为正整数， m可以为18，19，20， 共有3种建造方案， 方案1：新建18个地上充电桩，42个地下充电桩； 方案2：新建19个地上充电桩，41个地下充电桩； 方案3：新建20个地上充电桩，40个地下充电桩． 14．（25-26九年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）某中学为加强学生体育锻炼，购置相同的篮球、相同的足球若干个．若购买篮球20个，足球15个共需4000元；若购买篮球10个，足球20个共需3000元． (1)求每个篮球、足球分别为多少元？ (2)该中学购买篮球、足球共40个，若购买篮球、足球的总费用低于4400元，求至少购买足球多少个？ 【答案】(1)每个篮球140元，每个足球80元 (2)21个 【分析】（1）设每个篮球元，每个足球元，根据已知列二元一次方程组，求解即可； （2）设购买足球个，则购买篮球个，根据总费用低于元列出一元一次不等式，求解即可． 本题考查二元一次方程组和一元一次不等式的应用． 【详解】（1）解：设每个篮球元，每个足球元， 由题意可得， 解得， 每个篮球元，每个足球元； （2）设购买足球个，则购买篮球个， 由题意可得，解得， 为足球的个数，应为正整数， 的最小值为， 至少购买足球个． 15．（25-26七年级上·广东肇庆·期末）某购物平台推出以下两种图书促销方式： 方式一：满100元减50元． 方式二：单件图书打六折（即按原价的计算）． 请回答下列问题： (1)若购买一册书的原价是80元，分别计算按方式一和方式二进行购买所需支付的金额． (2)设购买的图书原价为t元，按原价是否满100元分两种情况，分别写出按方式一、方式二购买时需支付的金额（用含t的代数式表示），填写在下表： 原价t的范围 方式一支付金额 方式二支付金额 (3)购买图书的原价在什么范围内，两种方式支付的金额相同？ (4)根据以上结果，分析如何根据图书原价选择更省钱的购买方式． 【答案】(1)按方式一购买需要支付的金额为80元，按方式二购买需要支付的金额为元 (2)表见解析 (3)元时，按两种方式支付金额相同 (4)当时，按方式二购买更省钱，当时按方式一购买更省钱，当时，两种方式费用一样，当时，按照方案式购买更省钱 【分析】本题考查列代数式，一元一次方程的实际应用； （1）根据题意列算式求解即可； （2）根据题意列出代数式，完成列表； （3）根据题意列出方程，解方程，即可求解； （4）根据题意分情况讨论即可求解． 【详解】（1）解：按方式一购买需要支付的金额为：80元． 按方式二购买需要支付的金额为：元． （2）解：根据题意，补全表格如下： 原价t的范围 方式一支付金额 方式二支付金额 （3）解：根据题意，得， 解得： 答：元时，按两种方式支付金额相同； （4）解：由题意，结合（2），得 当时，方式一是按原价购买，方式二是打六折购买，故方式二购买更省钱； 由得， 由， 由得， 答：当时，按方式二购买更省钱； 当时，按方式一购买更省钱； 当时，两种方式费用一样； 当时，按照方式二购买更省钱． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $