精品解析：河南省实验中学2026届高三全真模拟测试Ⅱ数学试题

2026届高考河南省实验中学全真模拟测试Ⅱ 高三数学 时间：120分钟 满分：150分 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案编号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡、草稿纸一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足（其中为虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 3. 在二项式的展开式中，的系数为（　　） A. ﹣80 B. ﹣40 C. 40 D. 80 4. 已知直线，圆，直线与圆交于，两点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数在定义域上是增函数，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知椭圆（）的左、右焦点分别为，，以为直径的圆与C在第一象限交于点P，直线交C于另一点Q，且，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知的面积为1，，的中点分别，，且，则的最小值为（ ） A. B. 2 C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若两个变量的样本相关系数的绝对值越接近1，则这两个变量的线性相关性越强 B. 若随机变量服从正态分布，且，则 C. 一组数据10，11，11，12，13，14，16，18，20，22的上四分位数为11 D. 对具有线性相关关系的变量，，其经验回归方程为，若样本数据的中心点为，则实数的值是 10. 声音是由物体振动产生的声波．纯音的数学模型是函数，我们日常听到的声音通常由多个纯音叠加而成，称为复合音，其数学模型为，记，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 在区间上恰有3个零点 C. 的图象关于点中心对称 D. 的最大值为 11. 已知为坐标原点，抛物线的焦点为，点在的准线上，过的直线与交于不同的两点，，关于轴的对称点为，则（ ） A. B. ，，三点共线 C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知单位向量与的夹角为，则__________. 13. 年3月日是第个植树节，用2、0、2、6、3、1、2这7个数字共能组成________个不同的七位数（用数字作答）． 14. 已知一个圆台的上底面圆半径为1，母线长为5，且该圆台存在内切球，若一个底面边长为3的正三棱锥可以任意地在该圆台内部旋转，则正三棱锥体积的最大值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知双曲线的右焦点为，点在上，且轴． （1）求的方程； （2）若过的直线与双曲线的右支交于，两点，且，求直线的方程． 16. 如图，在三棱柱中，平面平面，底面是等边三角形，为的中点，，. （1）证明：平面. （2）求二面角的正弦值. 17. 已知是等差数列，其前项和为，是等比数列，已知，，，是和的等比中项． （1）求和的通项公式； （2）设数列的前项和 ①求； ②对于恒成立，求实数的最大值． 18. 人工智能（AI）是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动力量，使人类社会的发展日新月异．某探究小组利用AI解答了一些模拟试卷，收集其准确率，整理得到如图所示的频率分布直方图．已知准确率在内的试卷数为10． （1）求图中的值，并求出试卷总数； （2）现有甲、乙两名小组成员进行AI运用比赛，规定每局比赛胜者得1分，负者得0分，平局双方均得0分，比赛一直进行到一方比另一方多两分为止，多得两分的一方赢得比赛．已知每局比赛中，甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，两人平局的概率为（，，，），且每局比赛结果相互独立． ①若，，，求进行4局比赛后甲同学赢得比赛的概率； ②当时， （i）若比赛最多进行5局，记比赛结束时比赛局数为，求数学期望的最大值； （ii）若比赛不限制局数，求“甲同学赢得比赛”的概率（用，表示）． 19. 若函数． （1）若方程有两个不同的实数根，求实数的取值范围； （2）证明：恒成立； （3）是否存在正实数，使得恰有三个零点且三个零点构成等差数列，若存在，求出该数列的公差；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届高考河南省实验中学全真模拟测试Ⅱ 高三数学 时间：120分钟 满分：150分 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案编号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡、草稿纸一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】，解得，， 集合； ，则，解得， 集合； ． 2. 已知复数满足（其中为虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】. 所以. 3. 在二项式的展开式中，的系数为（　　） A. ﹣80 B. ﹣40 C. 40 D. 80 【答案】A 【解析】 【分析】根据二项展开式的通项，可得，令，即可求得的系数，得到答案. 【详解】由题意，二项式的展开式的通项为， 令，可得， 即展开式中的系数为，故选A. 【点睛】本题主要考查了二项式定理的应用，其中解答中熟记二项展开式的通项是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 4. 已知直线，圆，直线与圆交于，两点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先确定直线恒过的圆内定点，再利用弦长公式，结合“圆心到直线的距离最大时弦长最小”的几何性质求解. 【详解】将直线 整理为 ， 令 ，得直线 恒过定点 . 圆 的圆心为 ，半径 ， ，故点 在圆 内. 设圆心 到直线 的距离为 ，弦长 . 要使 最小，需 取最大值. 当 时，， 此时 . 5. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由切化弦可得，再由，求出和的值，即可求出. 【详解】解：由，则，即①， 因为，所以②， 联立①②解得，， 所以. 6. 已知函数在定义域上是增函数，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用分段函数的单调性法则可得答案. 【详解】要使函数在上为增函数，需满足以下条件： （1）在上单调递增， 当时，为开口向下的二次函数， 需对称轴； （2）由在上单调递增， 当时，，， 得：对任意恒成立， 即对任意恒成立，令， 对任意恒成立， 所以在上单调递增，，故； （3）在处的左极限小于等于在处的右极限， 所以，即， 即：.综上：，即. 7. 已知椭圆（）的左、右焦点分别为，，以为直径的圆与C在第一象限交于点P，直线交C于另一点Q，且，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，根据题意结合椭圆的定义可得相应长度，结合勾股定理运算求解即可. 【详解】设的半焦距为，， 则，，，， 由题意可知：， 在中，，即，解得， 则，， 在中，，即，可得， 所以椭圆C的离心率. 8. 已知的面积为1，，的中点分别，，且，则的最小值为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用线段长度的关系，设其中一条线段，就可以表示相关线段，再引入 ，利用面积关系得到一个等式，然后用余弦定理表示边，最后转化为角的函数来求最值即可． 【详解】取，根据已知条件可知为的重心， 由，设，，则，，，， 由， 又因为， 所以， 由余弦定理可知， 令，则， 即， 因为，所以，即， 因为，所以的最小值为． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若两个变量的样本相关系数的绝对值越接近1，则这两个变量的线性相关性越强 B. 若随机变量服从正态分布，且，则 C. 一组数据10，11，11，12，13，14，16，18，20，22的上四分位数为11 D. 对具有线性相关关系的变量，，其经验回归方程为，若样本数据的中心点为，则实数的值是 【答案】ABD 【解析】 【分析】分别依据相关系数的意义、正态分布的对称性、分位数的计算方法、回归直线的性质，逐一分析各选项的正误. 【详解】对于选项A，样本相关系数的绝对值越接近1，说明两个变量的线性相关性越强，故A正确. 对于选项B，随机变量，正态曲线关于对称， 由，得，则， ，故，故B正确. 对于选项C，数据共10个，上四分位数位置为，取第8个数据18，故C错误. 对于选项D，经验回归直线过样本中心点，代入， 得，解得，故D正确. 10. 声音是由物体振动产生的声波．纯音的数学模型是函数，我们日常听到的声音通常由多个纯音叠加而成，称为复合音，其数学模型为，记，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 在区间上恰有3个零点 C. 的图象关于点中心对称 D. 的最大值为 【答案】BC 【解析】 【分析】A.利用周期的定义作判定； B.直接求解在区间的零点，从而得到零点的个数； C. 中心对称的充要条件是：对任意，有； D.举出反例，说明的最大值不是. 【详解】选项 A：， 因为， 所以不是的最小正周期，因此A 错误； 选项 B： ， 令，则：，或， 在上的解为， ，即，在上的解为（与上述解重合）， 因此零点为，共 3 个，B 正确。 选项 C： 因为 所以，图象关于点中心对称，C 正确； 选项 D：， 因为 所以的最大值不是，D 错误. 11. 已知为坐标原点，抛物线的焦点为，点在的准线上，过的直线与交于不同的两点，，关于轴的对称点为，则（ ） A. B. ，，三点共线 C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】由点在准线上，先求出，即求出抛物线方程，设直线的方程，坐标，表示出韦达定理，利用向量的数量积即可判断选项；分别表示出与的坐标，检验坐标交叉相乘，差是否为0即可判断选项；利用抛物线的定义，分别将，，用坐标表示，结合韦达定理化简，利用基本不等式，即可对选项，作出判断. 【详解】由题意知，则，所以抛物线方程为，焦点为， 设直线的方程为，， 联立得，则，即，， 则或，，，所以， 因为，所以，选项正确； 因为与关于轴对称，所以点为，所以，， 因为， 化简整理得， 所以与共线，又两向量共点，因此，，三点共线，选项正确； 由抛物线的定义可得，又， 所以， 由基本不等式可知，当且仅当，即时等号成立， 所以，又且，所以， 等号取不到，因此，选项错误； 由，，则， 因为，，所以由基本不等式可得， 当且仅当，即时等号成立，此时取最小值18，选项正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知单位向量与的夹角为，则__________. 【答案】 【解析】 【详解】解：因为单位向量,的夹角为， 故，故 13. 年3月日是第个植树节，用2、0、2、6、3、1、2这7个数字共能组成________个不同的七位数（用数字作答）． 【答案】 【解析】 【详解】这7个数字中，0不能出现在首位，数字2重复了3次， 7个数字全排列，考虑有3个重复的数字2，排列数为：； 若首位固定为0，剩余6个数字全排列，考虑有3个重复的数字2，排列数为： ， 综上，共能组成个不同的七位数． 14. 已知一个圆台的上底面圆半径为1，母线长为5，且该圆台存在内切球，若一个底面边长为3的正三棱锥可以任意地在该圆台内部旋转，则正三棱锥体积的最大值为________． 【答案】 【解析】 【分析】求出圆台内切球的半径为，由题意知，正三棱锥的外接球半径最大为，设正三棱锥的高为，求出的取值范围，即可求出答案. 【详解】圆台内切球的轴截面如图所示，作，易知四边形为矩形， 由题可知，，， 由切线长定理可知，所以， 所以， 所以，即， 所以圆台内切球半径为， 若一个底面边长为3的正三棱锥可以任意地在该圆台内部旋转， 则正三棱锥的外接球半径最大为， 如图，正三棱锥的球心为，的内心为， 设正三棱锥的外接球半径为，正三棱锥的高为， 因为， 所以， 在中，，， 所以，即， 所以，解得， 所以当时，正三棱锥体积取得最大值， 最大值为， 所以正三棱锥体积的最大值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知双曲线的右焦点为，点在上，且轴． （1）求的方程； （2）若过的直线与双曲线的右支交于，两点，且，求直线的方程． 【答案】（1） （2）和 【解析】 【分析】（1）将点坐标代入方程，又轴，得，联立即可. （2）由题可设直线的方程为，根据题意得，故，联立方程直线与曲线方程，消去后用韦达定理，将其代入弦长公式可解，从而得到直线的方程. 【小问1详解】 因为点在上，所以， 又为的右焦点，轴，则，故， 所以，因此的方程为. 【小问2详解】 设直线的方程为，， 因为直线与的右支交于两点，双曲线的渐近线为， 所以，即，联立方程， 消去得，则，， 所以， 解得，即，故直线的方程为或. 16. 如图，在三棱柱中，平面平面，底面是等边三角形，为的中点，，. （1）证明：平面. （2）求二面角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知得、，再应用线面垂直的判定证明结论； （2）由题设构建合适的空间直角坐标系，标注相关点坐标并求出对应平面的法向量，进而应用向量法求面面角的余弦值，即可得其正弦值. 【小问1详解】 因为，所以， 因为底面是等边三角形，为的中点，所以， 因为，平面，所以平面. 【小问2详解】 因为，平面平面，平面平面， 而平面，所以平面. 以为原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如下空间直角坐标系， 则，，，， 则，，. 设平面的法向量为，则， 令，得. 设平面的法向量为，则， 令，得. 设二面角的平面角为，由图知为锐角， 因为， 所以， 所以二面角的正弦值为. 17. 已知是等差数列，其前项和为，是等比数列，已知，，，是和的等比中项． （1）求和的通项公式； （2）设数列的前项和 ①求； ②对于恒成立，求实数的最大值． 【答案】（1）， （2）①；② 【解析】 【分析】（1）利用等差数列的通项公式和求和公式及等比数列的通项公式求解； （2）①求出，利用错位相减法求和.②将代入恒成立不等式：，从而得到对恒成立，设，问题转化为求,利用单调性求出的最小值，从而得到的最大值. 【小问1详解】 因为数列是等差数列，，， 所以， 解得，则. 则，则 ，，， 因为，所以 ， 则 ，. 【小问2详解】 ①由（1）得，代入数列通项：， 因此数列前项和为：， 将上式两边同乘公比：， 用错位相减法，作差： ， . ②将代入恒成立不等式：， 解得： ，即：对恒成立， 设，问题转化为求, , 当时， ， ，数列单调递减； 当时， ，，数列单调递增， 因此数列在处取得最小值，， 因此的最大值为. 18. 人工智能（AI）是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动力量，使人类社会的发展日新月异．某探究小组利用AI解答了一些模拟试卷，收集其准确率，整理得到如图所示的频率分布直方图．已知准确率在内的试卷数为10． （1）求图中的值，并求出试卷总数； （2）现有甲、乙两名小组成员进行AI运用比赛，规定每局比赛胜者得1分，负者得0分，平局双方均得0分，比赛一直进行到一方比另一方多两分为止，多得两分的一方赢得比赛．已知每局比赛中，甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，两人平局的概率为（，，，），且每局比赛结果相互独立． ①若，，，求进行4局比赛后甲同学赢得比赛的概率； ②当时， （i）若比赛最多进行5局，记比赛结束时比赛局数为，求数学期望的最大值； （ii）若比赛不限制局数，求“甲同学赢得比赛”的概率（用，表示）． 【答案】（1）；. （2）①；②（i）；（ii）. 【解析】 【分析】（1）利用频率等于面积，频数等于频率乘以总数求解，利用所有矩形的频率和为列出的等式，计算出的值. （2）①设甲获胜为事件，乙获胜为事件，两人平局为事件，记“进行4局比赛后甲同学赢得比赛”为事件，则事件包括事件：，利用独立事件的乘法和互斥事件的加法求出；②（i）由得到每局比赛结果仅有 “甲获胜” 和 “乙获胜”，即 ，由题意得的所有可能取值为：，分别求出，，，列出的分布列.由利用基本不等式求出的范围，利用数学期望公式求出，利用二次函数的图像和性质求出的最大值. （ii）记 “甲同学赢得比赛” 为事件，前两局比赛结果可能有：、、、，分别求出其概率，当甲、乙两名同学得分总数相同时，甲同学赢得比赛的概率与比赛一开始甲同学赢得比赛的概率相同，利用全概率公式求出 【小问1详解】 因为准确率在内的频率除以组距为，该组试卷数为， 设试卷总数为，， 则， ， ， 则，试卷总数为. 【小问2详解】 ①设甲获胜为事件，则，乙获胜为事件，则， 两人平局为事件，则， 记“进行4局比赛后甲同学赢得比赛”为事件， 则事件包括事件：， 则， ； （i）因为，所以每局比赛结果仅有 “甲获胜” 和 “乙获胜”，即 ， 由题意得的所有可能取值为：， ， ， 所以的分布列为： 2 4 5 因为 ，所以 ，等号成立时，，即 . 数学期望化简推导过程如下： ， 当 时，取得最大值： ， 故的最大值为：. （ii）记 “甲同学赢得比赛” 为事件， 前两局比赛结果可能有：、、、， 其中：表示 “甲同学赢得比赛”，概率为 ， 表示 “乙同学赢得比赛”，概率为 ， 、 表示 “甲、乙两名同学各得 1 分”，概率均为 ， 当甲、乙两名同学得分总数相同时， 甲同学赢得比赛的概率与比赛一开始甲同学赢得比赛的概率相同， 根据全概率公式列方程推导： , 则，即， 解得：，代入恒等式， 得到. 19. 若函数． （1）若方程有两个不同的实数根，求实数的取值范围； （2）证明：恒成立； （3）是否存在正实数，使得恰有三个零点且三个零点构成等差数列，若存在，求出该数列的公差；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）存在正实数使得恰有三个零点且三个零点构成等差数列，公差为 【解析】 【分析】（1）等价于，令，通过求导求出的单调性，可得图象，结合图象即可求出答案； （2）不等式可化为，分为，和三种情况，分别讨论即可，当时，证明，再证明即可证明； （3）恰有三个零点等价于有三个不同的根，令，通过求导得到的单调性，结合图象可求出的取值范围，不妨设，公差为，则，，方程两边同时取对数得，根据，分别求出，列等式即可求出答案. 【小问1详解】 等价于， 令，， 当，，函数在上单调递增， 当，，函数在上单调递减， 所以当时，函数取得最大值，最大值为， 当时，，当时，， 所以当时，方程有两个不同的实数根，即两个不同的实数根， 所以实数的取值范围为. 【小问2详解】 不等式可化为， 当时，，，所以， 而，所以； 当时， 显然成立； 当时，设，， 设，， 所以函数在上单调递增， 又，， 所以，使得，即， 当时，，即，函数在上单调递减， 当时，，即，函数在上单调递增， 所以， 即，即， 令，则， 所以函数在上单调递增，所以当时，， 即时，，即， 结合，所以， 综上所述，恒成立，故恒成立. 【小问3详解】 ， 恰有三个零点等价于有三个不同的根， 即有三个不同的根， 令，定义域为，， 当时，，所以函数在上单调递增， 当时，，所以函数在上单调递减， 当时，，所以函数在上单调递增， 当时，， 当时，，当时，， 当时，，当时，， 所以当有三个不同的根时，， 不妨设三个根满足， 设等差数列公差为，则，， 方程两边同时取对数得， 将代入得， 根据得， 解得， 根据得， 解得， 所以，即，解得，即， 所以存在正实数使得恰有三个零点且三个零点构成等差数列，公差为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $