精品解析：河南省部分校2026届普通高中学生第二次适应性考试数学试题

河南省2026届普通高中学生第二次适应性考试 数学试题卷 本试题卷共4页，四大题，19小题，满分150分.考试时间120分钟. 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，用0.5毫米的黑色墨水签字笔将答案写在答题卡上.写在本试题卷上无效. 3．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（  ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为，得，又， 所以； 因为得，所以， 则.故选项C正确. 2. 已知，则（ ） A. B. C. 5 D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为，故，故. 3. 已知向量，向量满足，则（ ） A. B. C. 5 D. 10 【答案】B 【解析】 【详解】等式两边同时平方，得， 化简得 . ，则， 所以 . 4. 已知正切函数与函数对称中心完全相同，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出正切函数及正弦函数的对称中心，根据题意求解即可. 【详解】正切函数的对称中心为，. 正弦函数的对称中心为，. 因为正切函数与函数对称中心完全相同，所以. 5. 已知是定义在上的奇函数，是偶函数，则（ ） A. 0 B. C. 2 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，推得是以为周期的周期函数，得到，结合，即可求解. 【详解】由函数是定义在R上的奇函数，可得，且， 又由是偶函数，即函数的图象关于轴对称， 可得函数的图象关于对称，即， 因为，可得， 即，所以函数是以为周期的周期函数， 可得 因为，可得， 所以. 6. 已知数列的各项均为正数，前项和为，则“”是“为等比数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】由可知，根据充分条件和必要条件的概念即可判断. 【详解】可化为， 即，而的比值不确定，故不能得到为等比数列， 反之，若为公比为的等比数列，则， 则，即， 若，则， 则，即，不满足题意， 故对于公比为的等比数列，， 所以为等比数列不一定能推出. 故“”是“为等比数列”的既不充分又不必要条件. 7. 已知直线，圆，直线与圆交于，两点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先确定直线恒过的圆内定点，再利用弦长公式，结合“圆心到直线的距离最大时弦长最小”的几何性质求解. 【详解】将直线 整理为 ， 令 ，得直线 恒过定点 . 圆 的圆心为 ，半径 ， ，故点 在圆 内. 设圆心 到直线 的距离为 ，弦长 . 要使 最小，需 取最大值. 当 时，， 此时 . 8. 若，，且满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将式子进行化简构造函数，利用构造的函数得到的关系，将化为关于的函数解析式，利用求导研究函数的单调性和最值，从而求出的取值范围． 【详解】由变形可得：，即， 故； 令，则 由得： 当时，，单调递增， 当时，，单调递减； 因为，，故，故在上， 可得：，故； 令，，； 则，令，解得：； 当时，，单调递增， 当时，，单调递减； 故，综上； 故． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 某公司统计了去年1月份到5月份某种产品的销售额如下表： 月份 1 2 3 4 5 销售额万元 1.8 2.2 2.8 3.1 根据表中数据，通过最小二乘法求得的经验回归方程为，则（ ） A. 变量与正相关 B. C. 样本数据的下四分位数为1.8 D. 当时，的预测值为4.1万元 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据回归系数，可判定A正确；根据回归直线方程经过样本中心，列出方程，求得的值，可判定B正确；根据百分位数的计算方法，可判定C错误；根据回归直线方程，求得预测值，可判定D正确. 【详解】对于A，由回归直线方程，可得， 所以变量与正相关，所以A正确； 对于B，因为回归直线方程经过样本中心， 因为，所以， 又由，解得，所以B正确； 对于C，将样本数据的数据排序为：， 由，则样本数据的下四分位数为第个数据，所以C不正确； 对于D，当时，，所以的预测值为万元，所以D正确. 10. 已知为坐标原点，是抛物线的焦点，点，在上且位于轴的两侧，，则（ ） A. B. 直线经过点 C. D. 与面积之和的最小值是3 【答案】ABD 【解析】 【分析】设出直线的方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理及计算判断A，B；利用向量模的坐标表示表示出模长，再结合韦达定理代换，最后用基本不等式求解最值判断C，利用三角形面积公式建立关系，借助基本不等式求解判断D即可. 【详解】对于A，显然直线不垂直于y轴，设直线方程为， 由，消去得， 得到，，得， 而，，可得， 由，得，解得或， 而，即，因此，，故A正确； 对于B，此时直线恒过点，故B正确； 对于C，由模长公式得， 同理可得， 则 ， 由基本不等式得， 当且仅当时取等，此时，得到， 可得，故C错误， 对于D，不妨设，而， 则 ， 当且仅当时取等号，故D正确. 11. 已知正四棱锥中，底面边长为，侧面与底面所成二面角的大小为，记为该四棱锥底面的中心，长为的线段的一个端点在线段上运动，另一个端点在底面上运动，线段的中点为，下列结论正确的是（ ） A. 直线与、与所成的角相等 B. 侧棱与底面所成角的正切值为 C. 的轨迹与底面围成几何体的体积为 D. 记为的中点，过作截面将该四棱锥分为上、下两部分（如图），记上下两部分的体积为，，则的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】选项A：通过平移异面直线，将与与的夹角转化为与与的夹角，结合正四棱锥的性质判断；选项B：结合图形确定侧棱与底面所成角，再用比上底面中心到顶点的距离得到正切值即可；选项C：建立坐标系，设出的坐标，结合长度为的条件，推导点坐标满足的方程，进而确定轨迹形状，再计算对应几何体的体积； 选项D：首先找到过BM的截面与棱锥其余棱的交点，确定截面形状，然后利用体积分割表示出上部分的体积，再结合基本不等式求的最小值. 【详解】正四棱锥底面边长为，是底面中心， 设高，到侧面底边的投影长为，侧面与底面二面角为， 因此，到顶点距离. 选项A，由正四棱锥可得、，可得直线与、与所成的角为， 由正四棱锥对称性，可得，即直线与、与所成的角相等，A正确； 选项B，如图所示，设侧棱与底面所成角，满足，B错误； 选项C，如图所示，以为坐标原点，为轴，建立空间直角坐标系， 设，，由得，是中点， 坐标满足，代入得，且， 即轨迹是半径为的上半球，体积为：，C正确； 选项D，记正四棱锥的体积为，的最小值，由为定值知，只需求的最小值. 如图所示，设过的截面分别交和于、，平面与平面的交线为，与相交于，则，令，， 则，即有， ， 当且仅当时取等号，此时 ，所以的最小值是. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 的展开式中的系数为______． 【答案】 【解析】 【详解】中，任意一个因式选取，该项式的中的指数必为负数，不可能得出， 求展开式中的系数等价于求中的系数， 的通项公式为， 令，，故展开式中的系数为． 13. 已知外接圆半径为2，复数，，且，则的面积的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可得，进而得到，，，再利用三角形面积公式及恒等变形化简可得，继而求最值即可． 【详解】 , ， ，， 即，又为的内角， 或， 不妨取，则，，， 由正弦定理得，则， ， ， 当，即时，的面积取得最大值，最大值为． 14. 集合（为向量），若，定义.若从集合中任取两个不同的向量，则的概率为___________；若从集合中任取两个不同的向量，记，则______________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据定义结合古典概率计算公式可填第一空；根据定义确定随机变量的可能取值，再结合定义和计数原理求，由此可得分布列，结合期望公式可得，再分别计算，，化简可填第二空. 【详解】里边元素个数为，任取两个不同向量，基本事件数为， 从集合中任取两个不同的向量，若， 则有两个对应位置上的值均为1， 这要求一个向量恰有2个分量为1，另一个向量3个分量全为1， 其中分量全为1的向量只有1个，即； 恰有2个分量为1的向量有个， 因此满足条件的向量对有， 故的概率为； 若，则，，与为不相等的向量矛盾， 所以随机变量的可能取值有， 对于的随机变量，在坐标与中有个对应位置上的值均为1，剩下个对应位置上的值有3种对应关系， 且个对应位置上的值不能同时为0，否则，两个向量相等， 此时所对应情况数为种. 中元素的个数为个，所以. 所以随机变量的分布列为： 所以随机变量的数学期望为. 首先计算： 设， 两边求导得，， 两边乘以后得， 令，得， 所以 所以. 下面计算： 因为， ， ， ， 因为， 所以，所以. 所以. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 学校组织游戏活动，学生从盒子中有放回的摸球且每次只能摸取1个球，每次摸球结果相互独立，盒中有1分和2分的球若干，摸到1分球的概率为，摸到2分球的概率为． （1）若学生甲摸球2次，其总得分记为X，求随机变量X的期望； （2）学生甲、乙各摸4次球，若最终得分相同，则都不获得奖励；若不同，则得分多者获得奖励．已知甲前2次摸球得了4分，求乙获得奖励的概率． 【答案】（1） 2 3 4 ； （2） 【解析】 【分析】（1）依题得到的取值，求出对应的概率，列出分布列，求得均值； （2）记“甲最终得分为分”，；“乙获得奖励”,求得和，以及和，利用全概率公式计算即可得到. 【小问1详解】 由题意知学生甲摸球2次总得分的取值为2，3，4， 则，，， 所以的分布列为： 2 3 4 所以． 【小问2详解】 记“甲最终得分为分”，；“乙获得奖励”． ，． 当甲最终得7分时，乙获得奖励需要最终得8分，则 ； 当甲最终得6分时，乙获得奖励需要最终得8分或7分，则 ； 故 ． 即乙获得奖励的概率为． 16. 已知分别为三个内角的对边，且 （1）求角； （2）已知，为锐角三角形，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据正弦定理边角互化，然后借助辅助角公式化简三角函数式，结合内角范围即可求出角； （2）先用正弦定理把边化为角的正弦，然后利用三角恒等变换化简，再由锐角三角形约束的范围，最后结合正弦函数的单调性即可得出的取值范围. 【小问1详解】 因为，由正弦定理得： ， 因为，所以，则， 即，， 因为，则，所以，即. 【小问2详解】 因为，，所以， 所以，， 所以 ， 因为为锐角三角形，所以，即， 所以， 所以， 所以． 17. 如图，在多面体EFABCD中，四边形ABCD为平面四边形，四边形ABEF为平行四边形，R在线段CD上， P，Q分别为BF，FR的中点. （1）求证：PQ∥平面FAD. （2）若AF平面ABCD，AF=AB. （i）求四棱锥C-ABEF外接球的表面积； （ii）求直线AD与平面BCF所成角的大小. 【答案】（1）因为，分别为，的中点，所以 ，又在线段上， ， ，，所以，， 所以，，且，所以， 所以四边形为直角梯形，且，所以平行且等于， 所以四边形为平行四边形，所以 ， 又 ，所以，又平面，平面， 所以平面； （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）根据三角形中位线定理得到PQ与BR的平行关系，再利用平行四边形证明 ，最后通过线面平行的判定定理证明结论； （2）（i）补全四棱锥形状，得到外接球球心位置，计算球的半径后用球的表面积公式求解； （ii）根据线面角的定义求出相关线段的长，再计算即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （i）若平面，平面，，则， 又平面，平面，， 所以平面，且四边形为正方形， 所以四棱锥是棱长为的正方体的一部分， 所以外接球的直径为棱长为的正方体的体对角线长，所以， 所以四棱锥外接球的表面积为 ； （ii）因为四边形为正方形，所以， 又由（i）可知平面，平面，所以， 且，平面，所以平面， 所以直线与平面所成角的正弦值为与所成角的余弦值， 又易知，， 所以直线与平面所成角的正弦值为 所以直线与平面所成角的大小为 18. 已知函数，. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若对任意的恒成立，求的取值范围； （3）证明：当时，. 【答案】（1）． （2）． （3） 先证明. 由第（2）问中的证明可知，当时，. 所以. 再证明. 令. 则. 且. 当时，，所以． 因此. 由于，上面两个不等式右边都为正数，所以两式相乘，得. 即. 故原不等式成立． 【解析】 【分析】（1）当时，先求和，再利用切线方程求解． （2）先由和得到右侧差商的极限不小于，从而得到；再证明当时，利用可得，从而确定的取值范围． （3）分别证明两个不等式和，再将两式相乘得到结论． 【小问1详解】 当时，，所以. 又，所以. 故曲线在点处的切线方程为. 即. 【小问2详解】 因为. 若对任意非负实数恒成立，则对任意，有. 当从正数一侧趋近于时，得. 又，所以. 从而. 下面证明当时，原不等式恒成立． 令. 则. 令. 则. 当时，，又，所以，即． 又，所以当时，，即. 因此当时，. 若，则，所以． 又，故对任意非负实数恒成立． 综上，的取值范围为. 【小问3详解】 略 19. 设双曲线的左、右焦点分别为，离心率为2．过点作轴的垂线与交于两点，． （1）求的方程； （2）若直线与的右支交于不同的两点，求的取值范围； （3）过作一条不垂直于轴的射线与的左支在第二象限交于点，过作与平行的一条射线与在第一象限交于点，证明：成等差数列． 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由条件结合双曲线定义列关于的方程，解方程，可得到双曲线方程； （2）将直线方程与双曲线方程联立，消去得到关于的一元二次方程，所以需满足二次项系数不为0，且判别式，因为交点在右支，所以利用韦达定理得到两根之和大于0、两根之积大于0，联立不等式求解的取值范围； （3）设，点关于原点的对称点记为，此时，，由，可得，，三点共线，且可设直线的方程为， 将直线方程与双曲线方程联立，由韦达定理可得的关系式，设直线的倾斜角为，从而可得，的表达式，利用等差数列的性质可证明. 【小问1详解】 由题可得. 由双曲线定义知，则. 因为，所以， 又，所以， 所以双曲线的方程为. 【小问2详解】 联立，所以， 由题知：， 所以，解得或， 即. 【小问3详解】 设，点关于原点的对称点记为， 此时，， 因为，，所以， 因为，所以，即， 所以，，三点共线，且， 设直线的方程为， 联立，消去并整理得， 此时且，，， 因为，所以， 且， 则，所以， 设直线的倾斜角为，此时，， 所以， 同理可得， 所以， 所以，，成等差数列. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南省2026届普通高中学生第二次适应性考试 数学试题卷 本试题卷共4页，四大题，19小题，满分150分.考试时间120分钟. 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，用0.5毫米的黑色墨水签字笔将答案写在答题卡上.写在本试题卷上无效. 3．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（  ） A. B. C. D. 2. 已知，则（ ） A. B. C. 5 D. 3. 已知向量，向量满足，则（ ） A. B. C. 5 D. 10 4. 已知正切函数与函数对称中心完全相同，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 5. 已知是定义在上的奇函数，是偶函数，则（ ） A. 0 B. C. 2 D. 4 6. 已知数列的各项均为正数，前项和为，则“”是“为等比数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 7. 已知直线，圆，直线与圆交于，两点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 若，，且满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 某公司统计了去年1月份到5月份某种产品的销售额如下表： 月份 1 2 3 4 5 销售额万元 1.8 2.2 2.8 3.1 根据表中数据，通过最小二乘法求得的经验回归方程为，则（ ） A. 变量与正相关 B. C. 样本数据的下四分位数为1.8 D. 当时，的预测值为4.1万元 10. 已知为坐标原点，是抛物线的焦点，点，在上且位于轴的两侧，，则（ ） A. B. 直线经过点 C. D. 与面积之和的最小值是3 11. 已知正四棱锥中，底面边长为，侧面与底面所成二面角的大小为，记为该四棱锥底面的中心，长为的线段的一个端点在线段上运动，另一个端点在底面上运动，线段的中点为，下列结论正确的是（ ） A. 直线与、与所成的角相等 B. 侧棱与底面所成角的正切值为 C. 的轨迹与底面围成几何体的体积为 D. 记为的中点，过作截面将该四棱锥分为上、下两部分（如图），记上下两部分的体积为，，则的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 的展开式中的系数为______． 13. 已知外接圆半径为2，复数，，且，则的面积的最大值为______． 14. 集合（为向量），若，定义.若从集合中任取两个不同的向量，则的概率为___________；若从集合中任取两个不同的向量，记，则______________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 学校组织游戏活动，学生从盒子中有放回的摸球且每次只能摸取1个球，每次摸球结果相互独立，盒中有1分和2分的球若干，摸到1分球的概率为，摸到2分球的概率为． （1）若学生甲摸球2次，其总得分记为X，求随机变量X的期望； （2）学生甲、乙各摸4次球，若最终得分相同，则都不获得奖励；若不同，则得分多者获得奖励．已知甲前2次摸球得了4分，求乙获得奖励的概率． 16. 已知分别为三个内角的对边，且 （1）求角； （2）已知，为锐角三角形，求的取值范围． 17. 如图，在多面体EFABCD中，四边形ABCD为平面四边形，四边形ABEF为平行四边形，R在线段CD上， P，Q分别为BF，FR的中点. （1）求证：PQ∥平面FAD. （2）若AF平面ABCD，AF=AB. （i）求四棱锥C-ABEF外接球的表面积； （ii）求直线AD与平面BCF所成角的大小. 18. 已知函数，. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若对任意的恒成立，求的取值范围； （3）证明：当时，. 19. 设双曲线的左、右焦点分别为，离心率为2．过点作轴的垂线与交于两点，． （1）求的方程； （2）若直线与的右支交于不同的两点，求的取值范围； （3）过作一条不垂直于轴的射线与的左支在第二象限交于点，过作与平行的一条射线与在第一象限交于点，证明：成等差数列． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $