河南省部分校2026届普通高中学生第二次适应性考试数学试题

**基本信息** 河南省2026届高二二模数学试卷，覆盖函数、几何、概率等核心知识，通过分层设计与真实情境考查数学眼光、思维与语言，适配高考备考需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|集合运算、向量数量积、函数奇偶性|第6题以数列充要条件辨析考查逻辑推理，第8题函数取值范围问题体现数学抽象| |填空题|3题/15分|二项式定理、解三角形、概率|第14题结合复数与外接圆考查三角形面积最值，渗透数学建模| |解答题|5题/77分|概率统计、立体几何、导数、双曲线|第17题立体几何综合线面平行、外接球与线面角，考查空间观念；第19题导数问题融合切线、恒成立与证明，突出运算能力与逻辑推理|

参照机密级管理★启用前 参考答案及解析类型：A 河南省2026届普通高中学生第二次适应性考试 数学参考答案及解析 题号 1 2 3 4 5 6 答案 C A B B A D 题号 7 8 9 10 11 答案 ⊙ A ABD ABD ACD 1.C +220分 (x+2)(x-3)≤0 【详解】因为 3- ,得-2≤x<3,又x∈Z, x-3≠0 所以A={-2,-1,0,1,2: 因为x2-x-2≤0得-1≤x≤2，所以B={x-1≤x≤2， 则A∩B={-1,0,1,2}.故选项C正确 2.A 【详解】因为z=3+41,故上-，1=3-4i-3_4 ,故 z3+4i252525 9 .161 6255 3.B 【详解】等式a+=a-两边同时平方，得+2a-6+=-2a-i+, 化简得a.b=0 a=(1,2),则a=12+22=5, 所以a6-2a=a.b-2a·a=a.b-2a=0-2x5=-l0 4.B 【分析】求出正切函数y=tanx及正弦函数y=sin@x的对称中心，根据题意求 答案第1页，共2页 解即可. 【详解】正切函数y=tanx的对称中心为 经0kez 正弦函数y=sin0x的对称中心为 ,0 k∈Z 因为正切函数y=tanx与函数y=sin0xo>0对称中心完全相同，所以 0=2. 5.A 【分析】根据题意，推得∫(x是以4为周期的周期函数，得到f(2026)=f(2) ,结合f(2)=f(0)=0,即可求解. 【详解】由函数fx是定义在R上的奇函数，可得f-x=-fx),且 f(0)=0, 又由f(x+1是偶函数，即函数f(x+1)的图象关于y轴对称， 可得函数y=f(x)的图象关于x=1对称，即f(x+2)=f(-x), 因为f(-x)=-f(x),可得f(x+2)=-f(x), 即f(x+4)=-∫x+2)=f(x),所以函数f(x)是以4为周期的周期函数， 可得f(2026)=f(4×506+2)=f(2) 因为f(-x+1)=f(x+1),可得f(2)=f(-1+1)=f(0)=0, 所以f(2026)=0. 6.D 【分析】由Sn1=3Sn-2Sm-1n≥2)可知a+1=2an（n≥2)，根据充分条件和必 要条件的概念即可判断. 【详解】Sn1=3Sn-2Sn-1n≥2)可化为Sn1-Sn=2Sn-2Sn1（n≥2)， 答案第1页，共2页 即a=2a.(n≥2，而2的比值不确定，故不能得到{a}为等比数列， 反之，若{a,}为公比为3的等比数列，则a+1=3an(n≥1， 则Sn+1-Sn=3Sn-3Sn1(n≥2），即Sn1=4Sn-3Sm-1(n≥2）， 若Sm+1=3Sn-2Sm-1（n≥2)，则4Sn-3Sn-1=3Sn-2Sn-1（n≥2)， 则Sn=Sn-1n≥2)，即an=0(n≥2)，不满足题意， 故对于公比为3的等比数列，Sn+1≠3Sn-2Sn1n≥2)， 所以{an}为等比数列不一定能推出Sn+1=3Sn-2S.-1（n≥2) 故“Sn1=3Sn-2Snn≥2”是“{a}为等比数列的既不充分又不必要条件. 7.B 【分析】先确定直线恒过的圆内定点，再利用弦长公式，结合“圆心到直线的距离 最大时弦长最小的几何性质求解. 【详解】将直线1：mx+y-m+1=0整理为mx-1+y+1=0, x-1=0 y+1=0得直线1恒过定点P1,-1. 圆C:x2+y2=4的圆心为C(0,0),半径r=2, CP=V1-0)2+(-1-0)2=√2<2，故点p在圆C内. 设圆心C到直线1的距离为d,弦长MW=2Vr2-d2 要使MW最小，需d取最大值. 当I⊥CP时，dnax=|CPl=V2, 此时1MWm=22-(V2=2W4-2=2V2. 8.A 答案第1页，共2页 【分析】将式子进行化简构造函数，利用构造的函数得到m,”的关系，将”化为 关于”的函数解析式，利用求导研究函数的单调性和最值，从而求出m的取值 n 范围. 【详解】由me"+n=e"+nlnn变形可得：me-e"=nlnn-n,即 e"(m-1)=n(In n-1), 故e"m-l=en"(lnn-l); 令f(x=e*(x-1),则f(m)=f(lnn 由f'(x=e(x-l+e=xe得： 当x>0时，f'(x)>0,f(x)单调递增， 当x<0时，f'(x)<0,f(x)单调递减； 因为m>0,n>1,故lnn>0,故在(0，+o)上，f(m)=f(lnn 可得：m=lnn,故”=nn 令gm=h”,n∈l,+w,gn>0: g1网=2-1h8,g1a-0,解：-e 当1<n<e时，g'(n)>0,g(n)单调递增， 当n>e时，g'(n)<0,g(nm)单调递减： 枚g≤g1e-e-,综上0<g到四s日 e 9.ABD 答案第1页，共2页 【分析】根据回归系数k>0,可判定A正确：根据回归直线方程经过样本中心 (,y),列出方程，求得的值，可判定B正确；根据百分位数的计算方法，可 判定C错误；根据回归直线方程，求得预测值，可判定D正确. 【详解】对于A,由回归直线方程=0.32x+1.54,可得k=0.32>0, 所以变量y与x正相关，所以A正确： 对于B,因为回归直线方程经过样本中心(x,y), 因为=1+2+3+4+5=3，所以y=0.32×3+1,54=2.5, 5 又由下=18+2.2+2.8+3.1+1=2.5，解得1=2.6，所以B正确 5 对于C,，将样本数据y的数据排序为：1.8,2.2,2.6,2.8,3.1， 由5×二=1.25<2，则样本数据y的下四分位数为第2个数据2.2，所以C不正 确； 对于D,当x=8时，=0.32×8+1.54=4.1，所以y的预测值为4.1万元，所 以D正确. 10.ABD 【分析】设出直线AB的方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理及OA.OB=2 计算判断A,B;利用向量模的坐标表示表示出模长，再结合韦达定理代换，最 后用基本不等式求解最值判断C,利用三角形面积公式建立关系，借助基本不等 式求解判断D即可. 【详解】对于A,显然直线AB不垂直于y轴，设直线AB方程为x=my+n, 答案第1页，共2页 Xm+m,消去x得y2-m心-n=0, 由 y2=x 得到△=m2+4n>0,y2=-n,得xx2=yy好=n2, 而OA=x,y,OB=(x2,y2),可得OAOB=xx2+yy2=n2-n, 由0A.OB=2,得n2-n=2,解得n=2或-1， 而yy2<0,即n>0,因此n=2,yy2=-2,故A正确： 对于B,此时直线AB:x=my+2恒过点C(2,0),故B正确； 对于C,由模长公式得0A=V+=+=+1, 同理可得08=√+好=V+好=V好+1， 则OA-OB=V+1×V写+1=以V号+片+片+1 4 4 4 阳基不不等武得+5≥2十59 4 且仅当一时赵等，此时V2,得到+ -+5≥6， 可得0A0B≥6，故c错误， 对于D,不妨设片>0，而F(,0), 则S.4o+S,m=20Ey-为+20F 答案第1页，共2页 19 9 9 =y-y2+ -8+-%)2284=2 ×(-2)=3, 9 3 当且仅当。y=-y2=。时取等号，故D正确。 8 11.ACD 【分析】选项A:通过平移异面直线，将PA与BC,PA与CD的夹角转化为PA与 AD,PA与AB的夹角，结合正四棱锥的性质判断；选项B:结合图形确定侧棱 与底面所成角，再用PO比上底面中心到顶点的距离得到正切值即可；选项C: 建立坐标系，设出E,F的坐标，结合EF长度为2的条件，推导Q点坐标满足 的方程，进而确定轨迹形状，再计算对应几何体的体积；选项D:首先找到过 BM的截面与棱锥其余棱的交点，确定截面形状，然后利用体积分割表示出上部 分的体积，再结合基本不等式求 的最小值， 【详解】正四棱锥P-ABCD底面边长为2，O是底面中心， 设高PO=h,O到侧面底边的投影长为1，侧面与底面二面角为60°， 因此h=1,tan60°=√5，O到顶点距离0A=√2 选项A,由正四棱锥可得BC∥AD、CDIIAB,可得直线PA与BC、PA与 CD所成的角为∠PAD,∠PAB, 由正四棱锥对称性△PAB兰△PAD,可得∠PAB=∠PAD,即直线PA与BC、 PA与CD所成的角相等，A正确； 选项B,如图所示，设侧棱与底面所成角0，满足 tan0=P0-5-6v6 ,B错误； A0V223 答案第1页，共2页 B 选项C,如图所示，以O为坐标原点，PO为z轴，建立空间直角坐标系， 设0,0，)，F,y.0,由EF=号得产++或= Q是EF中点， 坐标满足xo= 0=，代入得号++6=绿，且≥0， y 2g- Γ2 即O轨迹是半径为的上半球，体积为：V=】4心=2 3u·3π（)=。2，C 96 确； B 选项D,记正四棱锥的体积为V, 的最小值，由g+=V为定值知，只需 求的最小值. 如图所示，设过BM的截面分别交PA和PC于L、K,平面PBD与平面PAC 的交线为PO,PO与8M相交于G,则PG=2P0,令PK-x,P兴 PC =X, =y, PA 11=1, 测元=c+网列承+瓦，即有动 3v VI=VP-BLM VP-BKM =VL-PBM +VK-PBM PL.V-M PA PK.VC-PBM PC 答案第1页，共2页 V =y.V+x VB-PAD 2 2 Y-Y-1>1 的最小 当且仅当x=y=名时取等号，比时乃V-g7一2，所以 值是时 12.180 10 【详解】 2+ 中，任盘一个因武选取。，该项式的中的指数必 为负数，不可能得出x2, 求展开式中x2的系数等价于求1-2x)”中x2的系数， (1-2x)°的通项公式为T,1=C010-(-2x=C。(-2x, 令r=2,I3=C%(-2)2x2=180x2,故展开式中x2的系数为180. 13.2 【分析】根据题意可得c0sA-B=0,进而得到A=兀+B,C=-2B, 2 B∈0， 4 再利用三角形面积公式及恒等变形化简可得S。Ac=2sin4B，继 而求最值即可. 【详解】 +=(cos4+cosB)+(sin4+sinB)2=2+2cos4cosB+2sinAsinB 答案第1页，共2页 =2+2c0sA-B), =(cos4-cosB)2+(sind-sinB)2=2-2cos4cosB-2sinAsinB =2-2cos(A-B), :31+22=31-2,∴.2+2c0s(A-B)=2-2c0s(A-B), 即cosA-B=0,又A,B,C为ABC的内角， 48=孩48高 2 不奶取4-8=至，则A=+B,C=号28，Be0日 2 4 由正弦定理得Q=b」 -=2R=4,a=4sin A,c=4sin C, sin A sin B sin C .'S.c=acsinB=8sinAsinBsinC=8sin sinBsin -2B 2 2 =8cosBsinBcos2B =4sin 2Bcos2B 2sin 4B, :B∈0,4 ,4B∈0，元， 4B三，即B三←时，ABC的面积取得最大值，最大值 P 3 n2"-1-1 14. 28 2(2”-1 【分析】根据定义结合古典概率计算公式可填第一空；根据定义确定随机变量X 的可能取值，再结合定义和计数原理求P(X=k),由此可得分布列，结合期望 公式可得E(X)= 3”5k.C 1 (2”-1小2”03(2”-1小2” 分k:C,再分别计究 k·C,化简可流第一空 k0 答案第1页，共2页 【详解】P,里边元素个数为23=8，任取两个不同向量，基本事件数为C=28, 从集合卫中任取两个不同的向量ā，b,若a.b=2, 则d=（(a,a2,a),b=(b,b2,b)有两个对应位置上的值均为1， 这要求一个向量恰有2个分量为1，另一个向量3个分量全为1， 其中分量全为1的向量只有1个，即1,1,1； 恰有2个分量为1的向量有C=3个， 因此满足条件的向量对有C子=3， 3 故ā.=2的概率为 若a.b=n,则a=(1,1,1,,1),b=(1,l,l,1,与a,b为不相等的向量矛盾， 所以随机变量X的可能取值有0,1,2,3，…，n-1, 对于X=k的随机变量，在坐标a1,a2,a3,…,an与b1,b2,b3,…,bn中有k个对 应位置上的值均为1，剩下-k个对应位置上的值有3种对应关系， 且-k个对应位置上的值不能同时为0，否则，两个向量相等， 此时所对位防况数为C(3-刂种 Pn中元素的个数为2”个，所以P(X=k)= 3*-2c3*-到 C2. (2”-12” 所以随机变量X的分布列为： X 0 1 2 3 n-1 3”-1 C(3- C2(3-2-l c3-3- 2C- 2”-1·2" (2”-12” (2”-12” (2”-1小2” 2”-1·2 所以随机变量X的数学期望为 答案第1页，共2页 x=26-c53t-13”月6c 1 台(2-2”(2”-小2名3(2-小2名 首先计算：C: 3 设(1+x)”=C8+xC,+xC2+xC+…+x"C%, 两边求导得，n(1+x)"-=C+2xC?+3x2C+…+nx"-C, 两边乘以x后得，nx(1+x)-=xC,+2x2C2+3xC+…+nxC a5目cc+gc 所以 c-e c cc 9 3" 下面计算兑kC k=0 因为(n-k)C-*=(n-k)C, (:nC:+(n-cc 空c=c+2c+-c+a 2a-1-c-2c, 因为2c+n--C=nC+C+c++C)=n2, 所以∑kC=n2，所以∑k,C=n(21- k=0 答案第1页，共2页 n(2"--1 所以E(X)= 2(2”-1 15.(1) X 2 4 P 4 4 1 3 40 (2) 729 【分析】(1)依题得到X的取值，求出对应的概率，列出分布列，求得均值； (2)记An=“甲最终得分为m分”，m=6,7,8;B=“乙获得奖励”，求得P(A,）和 P(A6),以及P(B|A)和P(B|A),利用全概率公式计算即可得到P(B). 【详解】(1)由题意知学生甲摸球2次总得分X的取值为2,3,4， 则P(X=2= 214 所以X的分布列为： X 2 3 4 A P 9 1-9 所以E(X)=2x4+3xA+4× 4,418 9 9 9-3 (2)记A=“甲最终得分为m分”，m=6,7,8;B=乙获得奖励” ）2 答案第1页，共2页 当甲最终得7分时，乙获得奖励需要最终得8分，则 P(B14)=C(=（月： 当甲最终得6分时，乙获得奖励需要最终得8分或7分，则 Pa41=c+c×=g 故P(B)=P(A,B)+P(AB)=P(A,)×PBA,)+P(A6)×P(BA6 .41 40 40 729 40 即乙获得奖励的概率为 729 元 16.(1)C= (2)2a-b∈(0,3) 【分析】(1)先根据正弦定理边角互化，然后借助辅助角公式化简三角函数式， 结合内角范围即可求出角C; (2)先用正弦定理把边化为角的正弦，然后利用三角恒等变换化简2-b,再由 锐角三角形约束A的范围，最后结合正弦函数的单调性即可得出2α-b的取值 范围 【详解】(1)因为√3 csin A+acosC-2a=0,由正弦定理 a b =C-=2R得： sin A sin B sin C 3sin C sin 4+sin 4cos C-2sin 4=0, 因为A∈(0，π)，所以sinA≠0，则√3sinC+cosC=2, 即2sinC+2=2,s如(c+3=l, 答案第1页，共2页 因为0<C<元，则<C+7五，所以C+-,即C= 6 66 62 3 ab c 3 =2 2D因为Cc=V3,所以sin 4 sin B sinc 3 2 所以a=2sinA,b=2sinB, 2-A) 所以2a-b=4sin4-2sinB=4sin4-2sin( 2 4sinA-2(sin cos A-cos ssin 4)=3sin4-3cos4 3 csA)=25sin(A-马， sin 4-Ic 6 0<A< 因为ABC为锐角三角形，所以 2 即<A<, A< 2π 6 2 0<B= 3 2 所以04-君号 所以0<sin(A-乃)< 6 2 所以2a-b∈(0,3) 17.(I)因为P,Q分别为BF,FR的中点，所以PQ∥BR,又R在线段CD上， CR=DR=2, AC=AD=22,AB=BC=2,所以AB2+BC2=AC2, AC2+AD2=CD2, 所以AB⊥BC,AC⊥AD,且∠ACB=∠ACD=45°，所以BC⊥CD, 所以四边形ABCD为直角梯形，且AB∥CD,所以AB平行且等于DR, 所以四边形ABRD为平行四边形，所以BR‖AD, 答案第1页，共2页 又PQ‖BR,所以PQ∥AD,又PQ丈平面FAD,ADC平面FAD, 所以PQII平面FAD: (2)(i)12π；(i) 元 6 【分析】(1)根据三角形中位线定理得到PQ与BR的平行关系，再利用平行四边 形证明BR‖AD,最后通过线面平行的判定定理证明结论； (2)()补全四棱锥形状，得到外接球球心位置，计算球的半径后用球的表面积 公式求解； (ⅱ)根据线面角的定义求出相关线段的长，再计算即可 【详解】(1)略 (2) B R (i)若AF⊥平面ABCD,BCC平面ABCD,AF=AB=2,则AF⊥BC, 又AB⊥BC,ABC平面ABEF,AFC平面ABEF,AB∩AF=A, 所以BC⊥平面ABEF,且四边形ABEF为正方形， 所以四棱锥C-ABEF是棱长为2的正方体的一部分， 所以外接球的直径2R为棱长为2的正方体的体对角线长，所以R=√5， 所以四棱锥C-ABEF外接球的表面积为4π×3=12π； (i)因为四边形ABEF为正方形，所以AE⊥BF, 又由(i)可知BC⊥平面ABEF,AEC平面ABEF,所以AE⊥BC, 答案第1页，共2页 且BFO BC=B,BF,BCC平面BCF,所以AE⊥平面BCF, 所以直线AD与平面BCF所成角的正弦值为AE与AD所成角的余弦值， 又易知AE=AD=2√2，ED=VEB2+BD2=V4+(4+16)=2V6, 所以直线AD与平面BCF所成角的正弦值为 8+8-241 cos∠EAD= 2×22×2W22’ 所以直线AD与平面BCF所成角的大小为 元 6 18.(1)y=2x. (2)a≥0. (3) 先证明e“-1>x+ 2 由第(2)问中的证明可知，当x>0时，e>1+x+ 2 所以e-1>x+ x2x(x+2) 22 再证明n1+刘>2x x+2 令p(x=n(1+x)- 2x +2 则p(0=0. 4 (x+2)2-41+x)。 x2 目ox刘=1+x(x+27 (1+x)(x+2)2(1+x)(x+22 当x>0时，p'x>0,所以px>00=0. 因此n(1+x)>2x x+2 答案第1页，共2页 由于x>0,上面两个不等式右边都为正数，所以两式相乘，得 (e-1n(1+x>x+2.2x =x2 2 x+2 即e*-1ln(x+1)>x2. 故原不等式成立. 【分析】(1)当a=2时，先求f(0)和'(0)，再利用切线方程 y-f(0)=f(0(x-0)求解. (2)先由f(0=0和f(x≥0得到右侧差商的极限不小于0，从而得到a≥0； 再证明当a≥0时，利用e>1+x+亡可得了≥0，从而确定a的取值范围。 (3)分别证明两个不等式e-1>x+和n(1+刘>2r ,再将两式相乘得到 2 x+2 结论 【详解】(1)当a=2时，f(x)=2e-x2-2,所以f(0)=2e°-0-2=0. 又f'(x)=2e*-2x,所以f'(0)=2. 故曲线y=f(x)在点(0，f(0)处的切线方程为y-0=2(x-0). 即y=2x. (2)因为f(0)=2e°-0+(a-2).0-2=0. 若f(x)≥0对任意非负实数x恒成立，则对任意>0，有x-fO≥0 当x从正数一侧趋近于0时，得∫'0)≥0. 又f'(x)=2e-2x+a-2,所以f'(0)=a. 从而a≥0. 下面证明当α≥0时，原不等式恒成立. 答案第1页，共2页 令8划=c-1-x- 2 则g'x=e-1-x. 令hx=ex-1-x. 则h'x=e-1. 当x>0时，h'(x>0,又h(0)=0,所以hx)>0,即g'(x>0. x2 又g(0)=0,所以当x>0时，gx)>0,即e>1+x+ 2 因此当x>0时，f(x)=2e-x2+(a-2)x-2 >2x+52+u-2-2= 若a≥0，则ax≥0，所以f(x)>0. 又f(0)=0,故f(x)≥0对任意非负实数x恒成立. 综上，a的取值范围为a≥0. (3)略 1.①x-=1 3 (2k∈-o,-V5u(V5,+0】 (3)证明见解析 【分析】(1)由条件结合双曲线定义列关于α，b的方程，解方程，可得到双曲线 方程； (2)将直线方程与双曲线方程联立，消去y得到关于x的一元二次方程，所以需 满足二次项系数不为0，且判别式△>0，因为交点在右支，所以利用韦达定理 得到两根之和大于0、两根之积大于0，联立不等式求解k的取值范围； 答案第1页，共2页 (3)设D(x2,y2),点A(x,y)关于原点的对称点记为E(x3,y),此时x3=-x ，=-,由AF1DF,可得D,E,E三点共线，且AE=EF可设直 线DE的方程为x=y+2(m≠O),将直线DF,方程与双曲线方程联立，由韦 达定理可得y2,的关系式，设直线DF的倾斜角为0，从而可得DF引，EF引 的表达式，利用等差数列的性质可证明， 【详解】1)由题可得PF=PO=3 由双曲线定义知2a=PFPF=5-3=2,则a=1. 因为e=￡=2，所以c=2, a 又c2=a2+b2,所以b2=3, 所以双曲线C的方程为x2- 31. x2、2 =1 (2)联立 -3,所以(3-k2)x2-2k(6-4K)x-(6-4)2-3=0, y=k(x-4)+6 3-k2≠0 △=[-2k(6-4k)P-43-2)[-(6-4-3]>0 由题知： 2k(6-4>0 3-k2 -6-4k2-3>0 3-k2 [5k2-16k+13>0 所以{3-k2<0 ，解得k>√3或k<-√5， k(2k-3)>0 即k∈(-0，-v5U(N5,+o） (3)设D(x2,y),点A(x,)关于原点的对称点记为E(,3), 答案第1页，共2页 此时x3=-X1,y3=-y, 2产2中2 因为4=乃 所以kFA=kER, 因为AF IIDF,所以kFA=ks,即kE,=kD, 所以D,E,E三点共线，且AF日EF, 设直线DF,的方程为x=my+2(m≠0)， x=my+2 联立 x-上-1'消去x并整理得(3m-y2+12my+9=0, 3 12m 此时3m2-1≠0且△=36m2+36>0,+为=3m-24=3m2-’ 因为y2y3<0,所以3m2-1<0, 且(0y3-2)2=0y3+y2)2-4y2y3= 12m）2 3636m2+1 3m2-1 3m2-1(3m2-1)2 则y-y2= Nm+1,所以当-业=2Wm+1 3m2-1 y2y3 3 设直线DF,的倾斜角为0，此时tan0=1,sin0= y2 m DE' 1-sin0-1 所以DF为 Vm2+1 y2 f} 1 1 1+1111=1=2 所以DnE网D的I+m(方为) v1+m2 y2y3 3 111 所以A丽'3'D 成等差数列， 答案第1页，共2页 D 答案第1页，共2页 机密★启用前 试题卷类型：A 河南省2026届普通高中学生第二次适应性考试 数学试题卷 本试题卷共4页，四大题，19小题，满分150分。考试时间120分钟。 注意事项： 1． 答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上。 2． 回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，用0.5毫米的黑色墨水签字笔将答案写在答题卡上。写在本试题卷上无效。 3． 考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则 A． B． C． D． 2. 已知，则 A． B． C．5 D． 3. 已知向量，向量满足，则 A． B． C．5 D．10 4. 已知正切函数与函数对称中心完全相同，则 A．1 B．2 C． D． 5. 已知是定义在上的奇函数，是偶函数，则 A．0 B． C．2 D．4 6. 已知数列的各项均为正数，前项和为，则“”是“为等比数列”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 7. 已知直线，圆，直线与圆交于，两点，则的最小值为 A． B． C． D． 8. 若，，且满足，则的取值范围是 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 某公司统计了去年1月份到5月份某种产品的销售额如下表： 月份 1 2 3 4 5 销售额万元 1.8 2.2 2.8 3.1 根据表中数据，通过最小二乘法求得的经验回归方程为，则 A．变量与正相关 B． C．样本数据的下四分位数为1.8 D．当时，的预测值为4.1万元 10. 已知为坐标原点，是抛物线的焦点，点，在上且位于轴的两侧，，则 A． B．直线经过点 C． D．与面积之和的最小值是3 11. 已知正四棱锥中，底面边长为，侧面与底面所成二面角的大小为，记为该四棱锥底面的中心，长为的线段的一个端点在线段上运动，另一个端点在底面上运动，线段的中点为，下列结论正确的是 A．直线与、与所成的角相等 B．侧棱与底面所成角的正切值为 C．的轨迹与底面围成几何体的体积为 D．记为的中点，过作截面将该四棱锥分为上、下两部分（如图），记上下两部分的体积为，，则的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 的展开式中的系数为—▲—． 13. 已知外接圆半径为2，复数，，且，则的面积的最大值为—▲—． 14. 集合（为向量），若，定义.若从集合中任取两个不同的向量，则的概率为—▲—；若从集合中任取两个不同的向量，记，则—▲—． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （13分）学校组织游戏活动，学生从盒子中有放回的摸球且每次只能摸取1个球，每次摸球结果相互独立，盒中有1分和2分的球若干，摸到1分球的概率为，摸到2分球的概率为． （1）若学生甲摸球2次，其总得分记为X，求随机变量X的期望； （2）学生甲、乙各摸4次球，若最终得分相同，则都不获得奖励；若不同，则得分多者获得奖励．已知甲前2次摸球得了4分，求乙获得奖励的概率． 16. （15分）已知分别为三个内角的对边，且． （1）求角； （2）已知，为锐角三角形，求的取值范围． 17. （15分）如图，在多面体EFABCD中，四边形ABCD为平面四边形，四边形ABEF为平行四边形，R在线段CD上， P，Q分别为BF，FR的中点． （1）求证：PQ∥平面FAD； （2）若AF平面ABCD，AF＝AB． （i）求四棱锥C－ABEF外接球的表面积； （ii）求直线AD与平面BCF所成角的大小． 18. （17分）已知函数，． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若对任意的恒成立，求的取值范围； （3）证明：当时，． 19. （17分）设双曲线的左、右焦点分别为，离心率为2．过点作轴的垂线与交于两点，． （1）求的方程； （2）若直线与的右支交于不同的两点，求的取值范围； （3）过作一条不垂直于轴的射线与的左支在第二象限交于点，过作与平行的一条射线与在第一象限交于点，证明：成等差数列． 数学试题卷　第 1 页（共 4 页） 学科网（北京）股份有限公司 $