专题02 动点问题与辅助线问题（专项训练）数学新教材浙教版八年级下册

**基本信息** 专题聚焦平行四边形动点与辅助线问题，通过题型建模构建动态轨迹分析与中位线转化的系统方法，衔接知识逻辑与解题实践，培养几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |平行四边形边上动点|5题|动态轨迹分析、方程思想|以平行四边形性质为基础，通过时间变量表示线段关系，构建动态几何模型| |平行四边形对角线上动点|3题|对称性质应用、图形判定|结合对角线中点特性，探究动点运动对特殊四边形（矩形、菱形）的影响| |中点与中位线|5题|中位线转化、中点性质迁移|从三角形中位线到四边形中点连线，形成“中点→中位线→线段关系”的推理链条| |综合问题探究|4题|多知识点融合、分类讨论|整合动态问题与图形变换，培养空间观念与创新意识，衔接中考综合题型|

专题02 动点问题与辅助线问题 目录 A题型建模・专项突破 题型一、平行四边形边上的动点问题（常考点） 1 题型二、平行四边形对角线上的动点问题（常考点） 7 题型三、根据中点作三角形的中位线进行作答 12 题型四、平行四边形综合问题探究（难点） 16 B综合攻坚・能力跃升 题型一、平行四边形边上的动点问题 1．（25-26八年级下·北京·期中）如图，在中，是中点，动点从点出发，沿运动到点时停止，以为边作，且点、分别在、上．在动点运动的过程中，的面积（   ） A．先减小，再增大 B．先增大，再减小 C．逐渐减小 D．不变 【答案】D 【分析】如图，连接，过点E作于点M，过点E作于点N，根据平行四边形的性质可证明，，设，，，根据，即可判断． 【详解】解：连接，过点E作于点M，过点E作于点N， ∵四边形为平行四边形， ∴，，， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， 同理， ∵，是中点， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 设，，，则， ∴ ， ∴在动点运动的过程中，的面积不变． 2．（2023·河北·二模）如图，在四边形中，，，，点从点出发，以的速度向点运动，点从点同时出发，以相同的速度向点运动，当其中一个动点到达端点时，两个动点同时停止运动．设点的运动时间为（单位：），下列结论正确的是（    ） A．当时，四边形为矩形 B．当时，四边形为平行四边形 C．当时， D．当时，或 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质、矩形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，对于选项A、B，分别计算当与时相应线段的长度结合平行四边形的判定方法判断即可；对于C、D选项，作，垂足分别为E、F，如图，证明，得出，进而得出关于t的方程，解方程判定即可. 【详解】解：当时，，cm，， ∴， ∴四边形不为矩形，故选项A结论错误； 当时，，，cm， ∴， ∴四边形不为平行四边形，故选项B结论错误； 当时，作，垂足分别为E、F，如图， ∵， ∴， ∴四边形都是矩形， ∴， ∴当时，，， ∴， ∵， ∴， 解得：或，故选项C错误、选项D正确； 故选：D. 3．（24-25八年级下·河南南阳·期中）如图，在四边形中，，，，，．动点从点出发，沿射线以每秒的速度运动．动点同时从点出发，在线段上以每秒的速度向点运动；当动点到达点时，动点也同时停止运动．设点的运动时间为秒，当以点、、、为顶点的四边形是平行四边形时，的值为__________． 【答案】或 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，一元一次方程的应用，分两种情况：①当四边形为平行四边形时，②当四边形为平行四边形时，分别结合平行四边形的性质，列出一元一次方程，解方程即可求解． 【详解】解：∵，动点同时从点出发，在线段上以每秒的速度向终点运动， ∴运动时间为（秒）， ，的速度为每秒，到达的时间为（秒）， 当在点以及点的左边时，即时，， 当在的右边时，即时，， 以点、、、为顶点的四边形是平行四边形， ①当四边形为平行四边形时，，， ∴， 解得：； ②当四边形为平行四边形时，，， ∴， 解得， 综合上述，当或时，以点、、、为顶点的四边形是平行四边形． 故答案为：或． 4．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，等边的边长为，动点M从点B出发，沿B→A→C→B的方向以的速度运动，动点N从点C出发，沿C→A→B→C方向以的速度运动． (1)若动点M、N同时出发，经过几秒钟两点第一次相遇？ (2)若动点M、N同时出发，且其中一点到达终点时，另一点即停止运动．那么运动到第几秒钟时，点A、M、N以及的边上一点D恰能构成一个平行四边形？求出时间t并请指出此时点D的具体位置． 【答案】(1)秒 (2)当时间， ；当时间， 【分析】（1）设经过t秒钟两点第一次相遇，然后根据点M运动的路程+点N运动的路程列方程求解即可； （2）分类讨论：当点M在线段上，点N在上时；当点M在线段上，点N在上时；当点M在线段上，点N在上时，利用等边三角形的性质和点M、N的运动规律列出关于t的方程，借助于方程解答即可． 【详解】（1）解： 第一次相遇时间（秒）； 答：若动点M、N同时出发，经过秒钟两点第一次相遇； （2）如图2，当点M在线段上，点N在上时： ∵四边形为平行四边形， ∴， ∵为等边三角形， ∵和是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 此时； 如图3，当点M在线段上，点N在上时： 同理和是等边三角形， ， ， ∴， ， ， 此时， 如图4，当点M在线段上，点N在上时， 同理和是等边三角形， ， ， ∴， ， （不合题意，舍去）． 综上所述：当时间， ；当时间，． 5．（25-26八年级下·江苏南京·期中）如图，在四边形中，，，，动点P、Q分别从A、C同时出发，点P以的速度由A向D运动，点Q以的速度由C向B运动，其中一动点到达终点时，另一动点随之停止运动，设运动时间为t秒． (1) ______，______；（分别用含有t的式子表示） (2)当点P、Q与四边形的任意两个顶点所形成的四边形是平行四边形时，求t的值． 【答案】(1) (2)或2或4 【分析】（1）根据速度、路程、时间的关系即可列代数式； （2）分类讨论，根据平行四边形的对边相等列方程求解． 【详解】（1）解：由题意得，， （2）解：∵， ∴， ∵， ∴当时，四边形是平行四边形， ∴， 解得； ∵， ∴当时，四边形是平行四边形， ∴， 解得； ∵， 当时，， 解得， ∴综上点P、Q与四边形的任意两个顶点所形成的四边形是平行四边形时，t的值为或2或4． 题型二、平行四边形对角线上的动点问题 1．（25-26九年级上·甘肃白银·期中）如图，在矩形中，为对角线的中点，．动点在线段上，动点在线段上，点，同时从点出发，以相同的速度分别向终点，（包括端点）运动．点关于，的对称点为，；点关于，的对称点为，．在整个过程中，四边形形状的变化依次是（    ） A．平行四边形矩形平行四边形菱形 B．平行四边形菱形平行四边形菱形 C．菱形矩形平行四边形菱形 D．菱形平行四边形矩形平行四边形 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，矩形的性质与判定，轴对称的性质．根据题意，分几个运动过程分别证明四边形是菱形，平行四边形，矩形，即可求解． 【详解】解：分几个运动过程分别讨论： ①当点E，F在点O准备出发时，如图，连接，    ∵四边形是矩形， ∴， 由轴对称可得，，，， ，，，， ∴， ， ， ， ∴， ∴四边形是菱形； ②点E，F离开点O运动时， ∵当点，同时从点出发，以相同的速度分别向终点，（包括端点）运动， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴，， ∵，， ∴， 由对称可得，， ∴， ∴ 由对称可得， ∴， 同理， ∴，即 ∴四边形是平行四边形， ③连接，，当时， ∵由对称可得，， 又， ∴， ∴， 由②可知四边形是平行四边形， ∴此时四边形是矩形； ④点E，F继续运动，则四边形是平行四边形； ⑤当运动结束，即分别与重合时，如图    此时点E，，B三点重合，点F，，D三点重合， 由对称有，， ∴，即， 由对称有，， ∴，， ∵在矩形中，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 综上所述，在整个过程中，四边形形状的变化依次是菱形→平行四边形→矩形→平行四边形， 故选：D 2．（24-25八年级下·安徽六安·期末）如图，在平行四边形中，，，是对角线上的动点，且，分别是边，边上的动点． 下列四种说法中正确的是（    ） ①存在无数个平行四边形；    ②存在无数个矩形； ③存在无数个菱形；            ④存在无数个正方形． A．①③④ B．①②③ C．②③④ D．①②④ 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，矩形、菱形以及正方形的判定，掌握特殊四边形的判定是解题关键．连接、，、、交于点，由平行四边形的性质可得，再根据平行四边形、矩形。菱形、正方形的判定条件逐一判断即可． 【详解】解：如图，连接、，、、交于点， 四边形是 平行四边形， ，， ， ， 只需，四边形是平行四边形， 即存在无数个平行四边形，①正确； 只需，，四边形是矩形， 而是对角线上的动点，即存在无数个矩形，②正确； 只需，，四边形是菱形， 而是对角线上的动点，即存在无数个菱形，③正确 只需，，，四边形是正方形， 此时符合要求的正方形只有一个，不存在无数个，④错误， 故选：B 3．（24-25八年级下·浙江·阶段检测）如图，在平行四边形中，，，作的平分线交边于点，且有，是边上的动点，且满足，是边上的动点，连接．当时，的值为______． 【答案】 【分析】过作于点，作关于对称点，连接，与交于点，则，又平分，点在上，即垂直平分，，所以，则有，通过平行四边形性质可得，则，从而有，所以，由面积公式可得，通过勾股定理得，由，则应点与重合，点与重合，点与重合，最后通过全等三角形的判定与性质即可求解． 【详解】解：如图，过作于点，作关于对称点，连接，与交于点，则， ∵平分， ∴点在上，即垂直平分，， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴点与重合，点与重合，点与重合，如图， 此时， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 题型三、根据中点作三角形的中位线进行作答 1．（25-26八年级下·河南南阳·阶段检测）如图，在平行四边形中，对角线、相交于点，点为的中点，交于点．若，则的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【分析】取的中点，连接，根据三角形的中位线解题即可． 【详解】解：如图，取的中点，连接， ∵点为的中点，为的中点，点为的中点， ∴为的中位线， ∴，且， ∵， ∴； 取的中点，则为的中位线， ∴， ∵，且过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行， ∴点与点重合， 即点为的中点， ∴为的中位线， ∴， ∴． 2．（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，在四边形中，，分别为，的中点，，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由三角形中位线定理和两直线平行的性质，可以证得是等腰直角三角形,即可求解的值． 【详解】解：设为的中点，连接，， 因为，分别为，的中点， 所以，，且，， 所以，， 所以， 所以． 3．（25-26八年级下·上海杨浦·期中）如图，在平行四边形中，E是的中点，连接、F是的中点，连接交于点G，若，则 的长为_______． 【答案】2 【分析】取的中点，连接，，利用三角形的中位线定理和平行四边形的判定定理证明四边形为平行四边形即可得出结论． 【详解】解：如图所示，取的中点，连接，， ∵是的中点，是的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴． 4．（2026·湖北襄阳·一模）如图，在中，，点、分别为线段、上一点，，将沿折叠，使得点落在点F处，且．若，则的长为___________． 【答案】 【分析】这是一个几何折叠问题，涉及到三角形的折叠、平行线性质以及直角三角形的相关知识．根据折叠可知 ，进而可得，结合可得四边形 为平行四边形，由此得出，再证明得出，由此即可求解． 【详解】解∶如图，延长 、 交于点 ，延长 交于点 ， 将 沿 折叠至 ，则； 是 的垂直平分线 ∴ 又∵ ，即 ∴， 又∵， ∴四边形 为平行四边形，， ∴ ， ∵，由折叠可知：， ∴， ∴ ∵ ， ∴． 5．（25-26八年级下·黑龙江牡丹江·期中）定义：至少有一组对边相等的四边形为“等对边四边形”．四边形是“等对边四边形”，其中，边与的延长线交于点M，点E、F是对角线、的中点，若，求证：． 【答案】见解析 【分析】取的中点N，连接，，利用三角形中位线的性质得到，，，，得到，利用三角形内角和定理求出，证明为等边三角形，即可得到． 【详解】证明：取的中点N，连接，， ∵点E、N是、的中点， ，， 同理可得，，， ∵， ， ， ． ∵，， ， ∴， ， 为等边三角形， ∴． 题型四、平行四边形综合问题探究 1．（25-26八年级下·四川南充·期中）如图，在平行四边形中，点E是的中点，作交于F，若，，下列结论中：①，②，③，④，正确的有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】延长、交于点M，结合平行线的性质和中点利用可证，得到，，再结合根据垂直平分线的性质可得，进一步可得，，即可判断①②④正确；③缺少条件证明． 【详解】解：如图，延长、交于点M， 在中，， ∴，， ∵点E是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，，故②正确； ∵， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∴， ∴， ∴，故④正确； 由现有条件无法证明，故③不一定正确， 综上所述，正确的结论有①②④，共3个． 2．（2026·河南平顶山·二模）如图（1），在中，是的中点，，点是上的动点， ，图（2）是点从点运动到点时随的变化关系的图象，则的面积为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】如图，连接DE．由是AB的中点，知．当点与点重合时，．求出利用平行四边形的面积公式即可求出答案． 【详解】解：由题图（2）知，时，． 由题图（1）知，时，点与点重合， ∴ 此时 ． 如图，连接．由是的中点，知． 当点与点重合时，， 由图象的对称性可知，此时 ． 在中，， 由勾股定理得， 即， 解得 的面积为． 3．（25-26八年级下·山东济南·期中）如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，A，C两点的坐标分别为，．将平行四边形先向右平移4个单位后，再向下平移1个单位，得到平行四边形． (1)请求出直线的解析式； (2)平行四边形与平行四边形的重叠部分的形状是___________，重叠部分的面积是__________________； (3)点E是x轴上一动点，在直线上是否存在点D，使得以O，N，D，E为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出满足条件的所有点D、点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)平行四边形， (3)当或或时，以O，N，D，E为顶点的四边形为平行四边形． 【分析】（1）由平移的性质可得，进一步求解即可； （2）先根据平行四边形的性质和平移的性质可证明，由此即可证明四边形是平行四边形，即平行四边形与平行四边形的重叠部分的形状是平行四边形；再求出直线的解析式为，进而求出，则，则，即平行四边形与平行四边形的重叠部分的面积为； （3）分为边和为对角线两种情况利用平行四边形的性质进行求解即可． 【详解】（1）解：∵将平行四边形先向右平移4个单位后，再向下平移1个单位，得到平行四边形， ∴点C、点O分别向右平移4个单位后，再向下平移1个单位，得到点M、点N， ∵， ∴； 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为． （2）解：如图所示，设与x轴交于E，与交于F，过点M作轴于G， ∵四边形是平行四边形， ∴， 由平移的性质可得， ∴，即， ∴四边形是平行四边形， ∴平行四边形与平行四边形的重叠部分的形状是平行四边形； 在中，当，， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形与平行四边形的重叠部分的面积为． （3）解：∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 同理可得直线的解析式为， 设， 当为对角线时，由平行四边形对角线中点坐标相同可得： ， 解得， ∴； 当为边时，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或； 综上所述，当或或时，以O，N，D，E为顶点的四边形为平行四边形． 4．（25-26八年级下·山东济南·期中）【问题情境】在综合实践活动课上，同学们以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展数学活动．在平行四边形纸片中，点E为边上任意一点，将沿折叠，点D的对应点为．          (1)如图1，当，点恰好落在边上时，的度数是________度． 【问题解决】 (2)如图2，当点E、F为边的三等分点时，连接并延长，交边于点G．试判断线段与的数量关系，并说明理由． (3)如图3，当，时，连接并延长，交边于点H．若平行四边形的面积为24，，请直接写出线段的长． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）由平行四边形的性质得到，，由折叠的性质可得，，再由平行线的性质求出的度数即可得到答案； （2）由平行四边形的性质得到，，由三等分点的性质得到，由折叠可知：，，则可证明，得到，再证明，进而可证明四边形是平行四边形，得到，据此可得结论； （3）可证明为等腰直角三角形，得到；延长交于点，则，可证明，根据平行四边形的面积公式可推出，则，． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴，， 由折叠的性质可得，， ∵， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵E，F为边的三等分点， ∴， 由折叠可知：，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴，则， ∴； （3）解：由折叠可知：，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴； 如图所示，延长交于点，则 ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，，即， ∴ ∵的面积为24，， ∴， ∴， ∴， ∴． 1．（25-26八年级下·陕西榆林·期中）如图，要测量池塘的两端点之间的距离，在外选一点，连接，并分别确定它们的中点，连接，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵分别为中点， ∴是的中位线， ∴． 2．（23-24八年级下·安徽六安·期末）在矩形中，，，是对角线上的动点，且，，分别是边，边上的动点，下列说法错误的是（    ） A．存在无数个平行四边形 B．当，且四边形是矩形，的长为 C．当四边形是菱形时，的长度为 D．当四边形是正方形时，的长度为 【答案】B 【分析】由矩形的性质证明，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，只要满足 ，那么四边形就是平行四边形，据此可判断A；连接，过作于，由矩形性质及勾股定理求出，从而得到，再由等腰三角形的性质得到，结合勾股定理求得、，由线段的和差即可判断B；连接，过作于，由矩形性质及勾股定理求出，从而得到，再由等腰三角形的性质得到，结合勾股定理求得，设，，由等积法得，再由菱形的性质结合勾股定理解一元二次方程求出，最后由线段的差即可判断C；连接，过作于，由矩形性质及勾股定理求出，从而得到，再由等腰三角形的性质得到，结合勾股定理求得，设，，由等积法得，再由正方形的性质结合勾股定理解一元二次方程求出，即可得到即可判断D． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵ ∴， ∴只要满足 ，那么四边形就是平行四边形， ∵点，是上的动点， ∴存在无数个平行四边形，故A说法正确，但不符合题意； 如图所示，连接，过作于， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理：， ∴， 综上：的长为或，故B说法错误，符合题意； ∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 如图所示，连接，过作于， ∵，， ∴， ∴， 设，， ∵ ∴，即， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， 即， 解得：，（舍去）， ∴， ∴，故C说法正确，但不符合题意； ∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 如图所示，连接，过作于， ∵，， ∴， ∴， 设，， ∵， ∴，即， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， 即， 解得：，（舍去）， ∴，故D说法正确，但不符合题意． 故选：B． 3．（25-26八年级下·江西赣州·期中）如图，在四边形中，，分别以为边向外作正方形，其面积分别是，且，则的长度为（   ） A． B．14 C．15 D． 【答案】D 【分析】在上截取，连接，得出平行四边形和相等的角，假设，表示出面积，然后利用勾股定理求解． 【详解】解：如图所示，在上截取，连接， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 假设， ∴，，， ∴， 由勾股定理得， ∴． 4．（24-25八年级下·河南三门峡·期中）如图，在四边形中，，，，，．动点从点出发，沿边以的速度向点匀速运动，同时动点从点出发，沿边以的速度向点匀速运动，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为，下列说法错误的是（   ） A．当时，四边形ABQP是矩形 B．当时，四边形PQCD是平行四边形 C． D．当时，四边形PQCD是菱形 【答案】D 【分析】此题考查了平行四边形的判定与性质以及矩形的判定与性质，勾股定理．根据的值，分别计算出相关线段的长度，进而根据平行四边形，矩形，以及菱形的性质进行判断A,B,D，C选项，过点作于点，先求得，再根据勾股定理计算即可求解． 【详解】根据题意得：，， ，，， ，， 在四边形中，，， A. 当时，, ∴ ∴四边形是平行四边形 ∵ ∴四边形是矩形，故A正确，不符合题意； B. 当时，， ∴ 又，则 ∴四边形是平行四边形，故B正确，不符合题意； C. 如图，过点作于点 ∵， ∴ ∴四边形是矩形， ∴， ∴ 在中，，故C正确，不符合题意 D. 当时，,, ∴则四边形不是菱形，故D选项错误，符合题意， 故选：D． 5．（25-26八年级下·江苏镇江·期中）如图，在中，平分，是的中点，，，，则的长为______． 【答案】2 【分析】延长交于点F，可证明，得到，则；再证明是的中位线，即可得到． 【详解】解；如图所示，延长交于点F， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； ∵是的中点， ∴是的中位线， ∴． 6．（25-26八年级上·山东潍坊·期末）如图，在梯形中，，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿运动，同时点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿往复运动，当点到达端点时，点随之停止运动．设点，的运动时间为，在此运动过程中当四边形为平行四边形时，的值为___________． 【答案】或或 【分析】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握判定是解题的关键．设点，的运动时间为，根据题意，得，，，然后分类计算即可． 【详解】解：设点，的运动时间为，根据题意，得，，， 当点P到达点D时所用时间为， 根据题意，得， 当时，四边形为平行四边形，此时， 解得； 当Q第一次越过点B返回向点C运动时，此时， 根据四边形为平行四边形，此时， 解得； 当Q第一次越过点C返回向点B运动时，此时， 根据四边形为平行四边形，此时， 解得； 当Q第二次越过点B返回向点C运动时，此时， 根据四边形为平行四边形，此时， 解得，大于，舍去， 故答案为：或或． 7．（25-26八年级上·北京大兴·期末）如图，在中，，D是边的中点，P是直线上的一个动点（点P与点A不重合）．给出下面三个结论： ①的面积与的面积相等； ②若，则； ③若的面积是的面积的一半，则点P在线段上． 上述结论中，所有正确结论的序号是 _______ ． 【答案】①② 【分析】本题主要考查了三角形的中线、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识以及分类讨论思想是解题的关键． ①分三种情况讨论如下：当点P在线段上时，依题意得，由此得；当点P在的延长线上时，依题意得，由此得；当点P在的延长线上时，依题意得，由此得，综上即可对该结论进行判断；②当时，则B，可依据“”判定和全等得，进而得四边形是平行四边形，然后根据平行四边形的性质即可对该结论进行判断；③依题意分以下两种情况：当点P在线段上，且时，则；当点P在的延长线上，且时，则，据此即可解答． 【详解】解：①∵P是直线上的一个动点（点P与点A不重合）， ∴有以下三种情况： 当点P在线段上时，如图①1所示： ∵点D是边的中点， ∴， ∴， ∴， 此时的面积与的面积相等； 当点P在的延长线上时，如图①2所示： ∵点D是边的中点， ∴， ∴， ∴， 此时的面积与的面积相等； 当点P在的延长线上时，如图①3所示： ∵点D是边的中点， ∴， ∴， ∴， 此时的面积与的面积相等， 综上所述：当点P是直线上的一个动点时，的面积与的面积相等，故结论①正确． ②当时，如图②所示： ∴， ∵点D是边的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，故结论②正确： ③由结论①正确可知：， ∴当的面积是的面积的一半时，则． 此时有以下两种情况： 当点P在线段上，且时，则，如图③1所示： 理由如下： ∵的边上的高与的边上的高相同， ∴， ∴， ∴， 即当点P在线段上，且时，的面积是的面积的一半； 当点P在的延长线上，且时，则，如图③2所示： 理由如下： ∵， ∴， 同理得：， ∴， ∴， 即当点P在的延长线上，且时，的面积是的面积的一半， 综上：的面积是的面积的一半，则点P在线段上或在的延长线上， 故结论③不正确， 综上所述：正确结论的序号是①②． 故答案为：①②． 8．（25-26八年级下·河南郑州·期中）如图，在平面直角坐标系中，长方形的顶点O在原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，，，D为的中点，E、F是边上的两个动点，且，则的最小值为_______． 【答案】2 【分析】在上截取点G，使得，作点D关于y轴的对称点，连接，，，根据长方形得到，，，即可证明四边形是平行四边形，因此，根据点D与点关于y轴对称得到，，因此，根据勾股定理求出，即可解答． 【详解】解：在上截取点G，使得，作点D关于y轴的对称点，连接，，， ∵四边形是长方形， ∴，，， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∵点D与点关于y轴对称，且点D在x轴上， ∴点在x轴上，，， ∴， ∵，， ∴在中，， ∴， 即的最小值为． 9．（2026·浙江台州·二模）如图，在中，是一条中位线，连接，过点作交的延长线于点． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由三角形中位线定理可得，再由即可证明结论； （2）由平行四边形对边相等得到，再由三角形中位线定理即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵是的中位线， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵四边形是平行四边形，， ∴， ∵是的中位线， ∴． 10．（25-26八年级下·湖南岳阳·期中）如图，已知平行四边形，点分别在上，连接． (1)请选择下面的条件或条件，求证：四边形是平行四边形． 条件：分别是的中点； 条件：． (2)若平分，且，求平行四边形的周长． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】（）由平行四边形的判定与性质可得结论； （）由平行四边形的性质和角平分线的定义可求，然后通过周长公式即可求解． 【详解】（1）当选择时， 证明：四边形是平行四边形， ，， 分别是的中点， ，， ， 四边形是平行四边形； 当选择时， 证明：， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是平行四边形； （2）解： 平分， ， ， ， ， ， ， ，， 平行四边形的周长． 11．（25-26八年级下·四川泸州·阶段检测）如图，在四边形中，，，，，．动点从点出发，沿射线的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点同时从点出发，在线段上以每秒1个单位长的速度向点运动，当其中一个动点到达端点时另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为（秒）． (1)设的面积为，请用含的式子表示； (2)当为何值时，四边形是平行四边形？ (3)当为何值时，的长度为？ 【答案】(1) (2)当时，四边形是平行四边形 (3)当或时，的长度为 【分析】（1）由题可知：，，则，可得点到的距离等于的长，再由求解即可； （2）若要使四边形为平行四边形，只需，得到，即可求解； （3）过点作于点，可得四边形为平行四边形，则，，，然后对运用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，点运动到点需要：（秒），点运动到点需要：（秒）， ∵其中一个动点到达端点时运动停止， ∴的取值范围是， 由题可知：，，则， ∵， ∴ ∵， ∴点到的距离等于的长， ∴； （2）解：∵，点在上，点在上， ∴， 若要使四边形为平行四边形，只需， 即： 解得： 经检验，在范围内，符合题意， ∴当时，四边形是平行四边形； （3）解：过点作于点，则 ∵， ∴， ∴ 又 ∴四边形为平行四边形， ∴，， 在中，由勾股定理得： 其中，，， ∴ ∴ 由此可得两种情况： ①当时，解得 ②当时：解得 经检验，和均在范围内，均符合题意， ∴当或时，的长度为． 12．（24-25七年级下·辽宁大连·阶段检测）综合与实践 【问题背景】如图，在平面直角坐标系中，点在轴正半轴上，点在轴正半轴上，，点是线段上一动点，从点向点移动，速度为每秒个单位长度，点是线段上一动点，从点向点移动，速度为每秒1个单位长度．轴交轴于点，连结．设点，两点移动的时间是秒． 移动规则：当一个动点到达终点停止运动时，另一个动点也要随之停止运动． 【解决问题】（1）填空：、之间的数量关系为______； （2）判断四边形的形状并说明理由； 【深入研究】（3）若． 当四边形为菱形时，则的值为______； 连接，若为直角三角形，求的值； 【能力拓展】（4）在（）的条件下，点，，，连接、、，若为等边三角形， ，求点的坐标．（直接写出答案即可） 【答案】（）；（）四边形是平行四边形，理由见解析；（） ； 的值为或；（）点的坐标为． 【分析】（）利用含角的直角三角形性质和勾股定理即可求得答案； （）利用含角的直角三角形性质和平行四边形的判定即可得出答案； （）利用菱形性质即可求得答案； 分三种情况：当时，当时，当时，分别建立方程求解即可； （）过点作轴于点，先证得是等腰直角三角形，得出，再证得，得出，以此建立方程求解求得的值，即可求得点的坐标． 【详解】解：（），理由如下： ∵，， ∴，， ∵，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：； （）四边形是平行四边形，理由如下： 在中，，， ∴ ∵， ∴，且， ∴四边形是平行四边形； （）∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵四边形为菱形， ∴，即， 解得:， 故答案为：； 当时，如图，连接， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴ 即， 解得：； 当时，如图，连接， ∵， ∴ ， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， 解得：； 当时，点与点重合，此时，，点与点重合，点与点重合，不存在； 综上，的值为或； （）如图，过点作轴于点， ∵为等边三角形， ∴，， ∵， ∴，， ， 由（） 知：，则， ， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， 解得：， ∴，， ∴， ∴点的坐标为． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 动点问题与辅助线问题 目录 A题型建模・专项突破 题型一、平行四边形边上的动点问题（常考点） 1 题型二、平行四边形对角线上的动点问题（常考点） 3 题型三、根据中点作三角形的中位线进行作答 3 题型四、平行四边形综合问题探究（难点） 5 B综合攻坚・能力跃升 题型一、平行四边形边上的动点问题 1．（25-26八年级下·北京·期中）如图，在中，是中点，动点从点出发，沿运动到点时停止，以为边作，且点、分别在、上．在动点运动的过程中，的面积（   ） A．先减小，再增大 B．先增大，再减小 C．逐渐减小 D．不变 2．（2023·河北·二模）如图，在四边形中，，，，点从点出发，以的速度向点运动，点从点同时出发，以相同的速度向点运动，当其中一个动点到达端点时，两个动点同时停止运动．设点的运动时间为（单位：），下列结论正确的是（    ） A．当时，四边形为矩形 B．当时，四边形为平行四边形 C．当时， D．当时，或 3．（24-25八年级下·河南南阳·期中）如图，在四边形中，，，，，．动点从点出发，沿射线以每秒的速度运动．动点同时从点出发，在线段上以每秒的速度向点运动；当动点到达点时，动点也同时停止运动．设点的运动时间为秒，当以点、、、为顶点的四边形是平行四边形时，的值为__________． 4．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，等边的边长为，动点M从点B出发，沿B→A→C→B的方向以的速度运动，动点N从点C出发，沿C→A→B→C方向以的速度运动． (1)若动点M、N同时出发，经过几秒钟两点第一次相遇？ (2)若动点M、N同时出发，且其中一点到达终点时，另一点即停止运动．那么运动到第几秒钟时，点A、M、N以及的边上一点D恰能构成一个平行四边形？求出时间t并请指出此时点D的具体位置． 5．（25-26八年级下·江苏南京·期中）如图，在四边形中，，，，动点P、Q分别从A、C同时出发，点P以的速度由A向D运动，点Q以的速度由C向B运动，其中一动点到达终点时，另一动点随之停止运动，设运动时间为t秒． (1) ______，______；（分别用含有t的式子表示） (2)当点P、Q与四边形的任意两个顶点所形成的四边形是平行四边形时，求t的值． 题型二、平行四边形对角线上的动点问题 1．（25-26九年级上·甘肃白银·期中）如图，在矩形中，为对角线的中点，．动点在线段上，动点在线段上，点，同时从点出发，以相同的速度分别向终点，（包括端点）运动．点关于，的对称点为，；点关于，的对称点为，．在整个过程中，四边形形状的变化依次是（    ） A．平行四边形矩形平行四边形菱形 B．平行四边形菱形平行四边形菱形 C．菱形矩形平行四边形菱形 D．菱形平行四边形矩形平行四边形 2．（24-25八年级下·安徽六安·期末）如图，在平行四边形中，，，是对角线上的动点，且，分别是边，边上的动点． 下列四种说法中正确的是（    ） ①存在无数个平行四边形；    ②存在无数个矩形； ③存在无数个菱形；            ④存在无数个正方形． A．①③④ B．①②③ C．②③④ D．①②④ 3．（24-25八年级下·浙江·阶段检测）如图，在平行四边形中，，，作的平分线交边于点，且有，是边上的动点，且满足，是边上的动点，连接．当时，的值为______． 题型三、根据中点作三角形的中位线进行作答 1．（25-26八年级下·河南南阳·阶段检测）如图，在平行四边形中，对角线、相交于点，点为的中点，交于点．若，则的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 2．（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，在四边形中，，分别为，的中点，，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·上海杨浦·期中）如图，在平行四边形中，E是的中点，连接、F是的中点，连接交于点G，若，则 的长为_______． 4．（2026·湖北襄阳·一模）如图，在中，，点、分别为线段、上一点，，将沿折叠，使得点落在点F处，且．若，则的长为___________． 5．（25-26八年级下·黑龙江牡丹江·期中）定义：至少有一组对边相等的四边形为“等对边四边形”．四边形是“等对边四边形”，其中，边与的延长线交于点M，点E、F是对角线、的中点，若，求证：． 题型四、平行四边形综合问题探究 1．（25-26八年级下·四川南充·期中）如图，在平行四边形中，点E是的中点，作交于F，若，，下列结论中：①，②，③，④，正确的有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2026·河南平顶山·二模）如图（1），在中，是的中点，，点是上的动点， ，图（2）是点从点运动到点时随的变化关系的图象，则的面积为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 3．（25-26八年级下·山东济南·期中）如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，A，C两点的坐标分别为，．将平行四边形先向右平移4个单位后，再向下平移1个单位，得到平行四边形． (1)请求出直线的解析式； (2)平行四边形与平行四边形的重叠部分的形状是___________，重叠部分的面积是__________________； (3)点E是x轴上一动点，在直线上是否存在点D，使得以O，N，D，E为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出满足条件的所有点D、点E的坐标；若不存在，请说明理由． 4．（25-26八年级下·山东济南·期中）【问题情境】在综合实践活动课上，同学们以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展数学活动．在平行四边形纸片中，点E为边上任意一点，将沿折叠，点D的对应点为．          (1)如图1，当，点恰好落在边上时，的度数是________度． 【问题解决】 (2)如图2，当点E、F为边的三等分点时，连接并延长，交边于点G．试判断线段与的数量关系，并说明理由． (3)如图3，当，时，连接并延长，交边于点H．若平行四边形的面积为24，，请直接写出线段的长． 1．（25-26八年级下·陕西榆林·期中）如图，要测量池塘的两端点之间的距离，在外选一点，连接，并分别确定它们的中点，连接，若，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·安徽六安·期末）在矩形中，，，是对角线上的动点，且，，分别是边，边上的动点，下列说法错误的是（    ） A．存在无数个平行四边形 B．当，且四边形是矩形，的长为 C．当四边形是菱形时，的长度为 D．当四边形是正方形时，的长度为 3．（25-26八年级下·江西赣州·期中）如图，在四边形中，，分别以为边向外作正方形，其面积分别是，且，则的长度为（   ） A． B．14 C．15 D． 4．（24-25八年级下·河南三门峡·期中）如图，在四边形中，，，，，．动点从点出发，沿边以的速度向点匀速运动，同时动点从点出发，沿边以的速度向点匀速运动，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为，下列说法错误的是（   ） A．当时，四边形ABQP是矩形 B．当时，四边形PQCD是平行四边形 C． D．当时，四边形PQCD是菱形 5．（25-26八年级下·江苏镇江·期中）如图，在中，平分，是的中点，，，，则的长为______． 6．（25-26八年级上·山东潍坊·期末）如图，在梯形中，，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿运动，同时点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿往复运动，当点到达端点时，点随之停止运动．设点，的运动时间为，在此运动过程中当四边形为平行四边形时，的值为___________． 7．（25-26八年级上·北京大兴·期末）如图，在中，，D是边的中点，P是直线上的一个动点（点P与点A不重合）．给出下面三个结论： ①的面积与的面积相等； ②若，则； ③若的面积是的面积的一半，则点P在线段上． 上述结论中，所有正确结论的序号是 _______ ． 8．（25-26八年级下·河南郑州·期中）如图，在平面直角坐标系中，长方形的顶点O在原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，，，D为的中点，E、F是边上的两个动点，且，则的最小值为_______． 9．（2026·浙江台州·二模）如图，在中，是一条中位线，连接，过点作交的延长线于点． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，求的长． 10．（25-26八年级下·湖南岳阳·期中）如图，已知平行四边形，点分别在上，连接． (1)请选择下面的条件或条件，求证：四边形是平行四边形． 条件：分别是的中点； 条件：． (2)若平分，且，求平行四边形的周长． 11．（25-26八年级下·四川泸州·阶段检测）如图，在四边形中，，，，，．动点从点出发，沿射线的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点同时从点出发，在线段上以每秒1个单位长的速度向点运动，当其中一个动点到达端点时另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为（秒）． (1)设的面积为，请用含的式子表示； (2)当为何值时，四边形是平行四边形？ (3)当为何值时，的长度为？ 12．（24-25七年级下·辽宁大连·阶段检测）综合与实践 【问题背景】如图，在平面直角坐标系中，点在轴正半轴上，点在轴正半轴上，，点是线段上一动点，从点向点移动，速度为每秒个单位长度，点是线段上一动点，从点向点移动，速度为每秒1个单位长度．轴交轴于点，连结．设点，两点移动的时间是秒． 移动规则：当一个动点到达终点停止运动时，另一个动点也要随之停止运动． 【解决问题】（1）填空：、之间的数量关系为______； （2）判断四边形的形状并说明理由； 【深入研究】（3）若． 当四边形为菱形时，则的值为______； 连接，若为直角三角形，求的值； 【能力拓展】（4）在（）的条件下，点，，，连接、、，若为等边三角形， ，求点的坐标．（直接写出答案即可） 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $