专题01 平行四边形的判定与性质（专项训练）数学新教材浙教版八年级下册

**基本信息** 以平行四边形性质与判定为核心，通过题型分类构建从性质应用到判定方法再到中位线拓展的逻辑体系，强化几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |性质求角|4题|结合折叠、翻折考查角的计算|从平行四边形对角相等、邻角互补性质出发，延伸图形变换中的角关系| |性质求边|5题|涉及角平分线、周长计算及折叠|通过对边相等性质解决线段长度问题，渗透方程思想| |判定（对边平行）|3题|以梯形、角度关系为背景的证明|基于定义判定，连接平行线性质与平行四边形判定| |判定（对边相等）|4题|中点、全等三角形辅助证明|利用全等推导对边相等，强化等量代换推理| |判定（对角线平分）|6题|多条件组合、动点问题|围绕对角线互相平分定理，拓展动态几何情境| |中位线性质|5题|中点连线、图形变换应用|衔接三角形中位线与平行四边形性质，构建知识网络|

专题01 平行四边形的性质与判定 目录 A题型建模・专项突破 题型一、平行四边形的性质求角问题（常考点） 1 题型二、平行四边形的性质求边问题（常考点） 3 题型三、证明对边平行来证明四边形是平行四边形（重点） 8 题型四、证明对边相等来证明四边形是平行四边形（重点） 10 题型五、证明对角线互相平分来证明四边形是平行四边形（重点） 13 题型六、中位线及其性质 18 B综合攻坚・能力跃升 题型一、平行四边形的性质求角问题 1．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）在平行四边形中，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴. 2．（25-26八年级下·山西大同·期中）如图，在平行四边形中，平分交于点．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行四边形的性质得到，，进而得到，根据角平分线的定义得到，即可求出的度数． 【详解】解：∵平行四边形， ∴，， ∴， ∵平分交于点， ∴， ∴． 3．（25-26八年级下·浙江绍兴·期中）如图，在中，是边上一点（不与、重合），且为上的点，将沿折叠，点的对应点恰好落在点处，连接交于点，若，则_____． 【答案】 【分析】连接，先证明，然后证明，则，再由三角形的外角定理得到． 【详解】解：连接， 由折叠可得， ∵平行四边形， ∴， ∴ ∵ ∴， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴． 4．（2026·四川南充·一模）如图，在中，将沿对角线BD翻折得到，与交于点E． (1)求证：； (2)点为中点，连接，．求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据平行四边形和折叠的性质得，，利用证明； （2）由（1）得，得，结合点O为中点，根据等腰三角形三线合一得，进而计算即可得的度数． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， 由折叠可得：，， ∴，， 在和中， ， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵点O为中点， ∴， ∴， ∴． 题型二、平行四边形的性质求边问题 1．（25-26八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，在平行四边形中中，，平分，交边于点，且，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【分析】根据平行四边形的性质可得，利用平行线的性质和角平分线的定义推出，从而得到，结合已知线段长度即可求解. 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴. 2．（2026·广东云浮·一模）如图，平行四边形的周长为，则________． 【答案】6 【分析】根据平行四边形对边相等的性质，可知平行四边形的周长等于邻边之和的倍，由此建立等式求解即可． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，． 平行四边形的周长． 平行四边形的周长为， ， ． 3．（2026·河北唐山·二模）将一个平行四边形纸片进行折叠，第一次折叠经过点A，使边和重合，折痕交边于点E，展开后进行第二次折叠，第二次折叠经过点B，使边和重合，折痕交边于点F，展开后如图所示．当时，若，则的长是_______． 【答案】6 【分析】由题意易得，，则有，然后通过折叠的性质可得，则有，进而问题可求解． 【详解】解：在平行四边形中，， ∴． 由第一次折叠可得， ∴， ∴． 由第二次折叠可得， ∴， ∴． ， ∴， ∴． ， ∴． ， ∴， ∴． 4．（25-26八年级下·广西南宁·期中）如图，在中，平分，交边于点E，，垂足为点F，交于点G，已知． (1)求的度数； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）由角平分线的定义和垂线的定义求出的度数，再由直角三角形两锐角互余求出的度数即可得到答案； （2）求出，，，则可推出；由平行四边形的性质得到，，再证明，得到，则． 【详解】（1）解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴； ∵， ∴， ∵平分， ∴，， ∴， ∴； ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 5．（25-26八年级下·广东江门·期中）已知中，为的中点，于，连接． (1)如图1，若，求证：； (2)如图2，若，写出，，之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)证明过程见解析； (2)，证明过程见解析． 【分析】（1）延长、交于点，证明，可得，由直角三角形的两个锐角互余，结合等角对等边，可得，即可证得结论； （2）延长、交于点，证明，可得，由角所对的直角边与斜边的关系，结合勾股定理可得，即可得，，之间的数量关系． 【详解】（1）证明：延长、交于点， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵于， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：， 证明：延长、交于点， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵于， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型三、证明对边平行来证明四边形是平行四边形 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，已知，要使四边形为平行四边形，则四边形的各内角度数依次为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行线的判定得到，再由平行四边形的判定即可得出结论． 【详解】解：要使四边形为平行四边形，则四边形的各内角度数依次为，理由如下： ∵， ∴， ∴ ∴四边形为平行四边形． 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）下列条件中，能判定四边形是平行四边形的是____________（填序号）． ①，； ②，； ③，； ④，． 【答案】②③④ 【分析】本题考查了平行四边形的判定方法、熟练掌握平行四边形的判定方法是解决问题的关键． 根据平行四边形的判定定理，一组对边平行且相等可以判定平行四边形． 【详解】解：对于①，，，不能保证另一组对边平行或相等，故不能判定； 对于②，，，满足一组对边平行且相等，故能判定； 对于③，，，满足一组对边平行且相等，故能判定； 对于④，， 又 ∴四边形是平行四边形，故能判定． 故答案为：②③④． 3．（25-26八年级下·广西钦州·期中）如图，在梯形中，，，．，，点是边上一点，且． (1)证明：四边形是平行四边形； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据，可得，即可求证； （2）根据平行四边形的性质可得，，从而得到，再由勾股定理解答即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵，即， ∴四边形是平行四边形； （2）∵四边形是平行四边形，， ． ， ． ， 是直角三角形． 根据勾股定理，得 ． 题型四、证明对边相等来证明四边形是平行四边形 1．（25-26八年级下·江苏南京·期中）已知四边形的对角线，相交于点．下列条件：①，；②，；③，；④，；⑤，．其中，能判定四边形是平行四边形的是（   ） A．①③④ B．①③⑤ C．①②③⑤ D．①③④⑤ 【答案】B 【分析】根据平行四边形的判定定理逐个分析判断即可求解． 【详解】解：①，，符合“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”的判定定理，故①可判定四边形是平行四边形； ②，，四边形可能为等腰梯形，无法判定是平行四边形，故②不能判定四边形是平行四边形； ③ ，， 符合“两组对角分别相等的四边形是平行四边形”的判定定理，故③可判定四边形是平行四边形； ④仅，，无法证明对边平行或相等，也无法证明对角线互相平分，故④不能判定四边形是平行四边形； ⑤因为，所以，又因为，，所以 ，得，符合“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”的判定定理，故 ⑤可判定四边形是平行四边形； 综上，可判定的条件是①③⑤． 2．（25-26八年级下·云南玉溪·期中）如图，中，E、F分别是，的中点，求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ，， ，F分别是，的中点， ，， ， 又， ∴四边形是平行四边形． 3．（25-26八年级下·重庆·期中）如图，在四边形中，点E、F在上，且，，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）证明 ，得，根据一边平行且相等的四边形为平行四边形得出结论； （2）由平行四边形的性质得，，证明出，然后由三角形面积求出的长即可． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， 在和中， ， ， 四边形是平行四边形； （2）解：由（1）可知，四边形是平行四边形， ，， ∵， ∴， ， ， ． 的长为． 4．（25-26八年级下·重庆·期中）如图，在平行四边形中，点，分别是边，的中点，分别连接，交对角线于点，，连接，． (1)求证：； (2)求证：四边形是平行四边形． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）先利用平行四边形对边平行且相等的性质，结合中点定义得，，证得为平行四边形，即可得对边； （2）先由平行四边形对边平行得出，结合中点定义证得；再由(1)中已证的四边形是平行四边形得出，可得，结合对顶角相等推出；然后利用判定，得到对应边；最后结合即可判定四边形为平行四边形． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵点，分别是，的中点， ∴，， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵点，分别是，的中点， ∴，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 又， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵，即， ∴四边形是平行四边形． 题型五、证明对角线互相平分来证明四边形是平行四边形 1．（2026·江苏无锡·一模）四边形中，对角线相交于点O，给出下列四个条件：①；②；③；④；从中任选两个条件，能使四边形为平行四边形的选法有（   ） A．3种 B．4种 C．5种 D．6种 【答案】A 【分析】根据平行四边形的判定定理，逐个分析所有任选两个条件的组合，判断能否判定四边形为平行四边形，统计符合要求的选法数量即可． 【详解】解：从四个条件中任选两个，有①②，①③，①④，②③，②④，③④共6种组合，逐个分析如下： 选①②：，，四边形可以是等腰梯形，不能判定为平行四边形，不符合； 选①③： ∵， ∴， 又∵，， ∴ ， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形，符合； 选①④： ∵， ∴， 又∵，， ∴ ， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形，符合； 选②③：，，无法满足平行四边形的判定条件，不能判定为平行四边形，不符合； 选②④：，，无法满足平行四边形的判定条件，不能判定为平行四边形，不符合； 选③④： ∵，，即对角线互相平分， ∴四边形是平行四边形，符合； 综上，能使四边形为平行四边形的选法共3种． 2．（25-26九年级下·河北衡水·期中）如图，在一个对边平行的纸条上有两点A，B，连接并取的中点O． 方案Ⅰ：过点O作任意直线（不与重合，且不与纸条的边平行）交纸条两边于C，D两点（点C在点A所在的边上），连接，； 方案Ⅱ：在点A所在边上取一点D，点D在点A右侧，在点B所在边上取一点C，点C在点B左侧，且满足． 按上述两种方案操作，得到的四边形一定是平行四边形的方案（   ） A．Ⅰ，Ⅱ都是 B．Ⅰ，Ⅱ都不是 C．只有Ⅰ是 D．只有Ⅱ是 【答案】C 【分析】先根据题意画出图形，再根据平行四边形的判定定理进行判断即可． 【详解】解：方案Ⅰ： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形一定是平行四边形； 方案Ⅱ： 如图，在点A所在边上取一点D，点D在点A右侧，在点B所在边上取一点C，点C在点B左侧，且满足， 根据，，不能判定四边形是平行四边形，即方案Ⅱ得到的四边形不一定是平行四边形． 综上，只有方案Ⅰ得到的四边形一定是平行四边形． 3．（25-26八年级下·北京顺义·期中）如图，是对角线上的两点，请你加一个适当的条件：__________，使四边形是平行四边形．（只需填一个你认为正确的条件即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】可添加，使得，得到，，可证，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可得证，同理，可添加，，，等，答案不唯一． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴，，，， ∴，， 添加， ∵在和中， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴； ∴四边形是平行四边形； 添加， （答案不唯一）． 4．（25-26八年级下·吉林·期中）如图，在中，对角线和相交于点，点是边的中点，，，则的周长为__________． 【答案】10 【分析】由平行四边形的性质得点是的中点，得出是的中位线，由中位线的性质得，进而即可求解． 【详解】解：在中，对角线和相交于点， 点是的中点， 点是边的中点，， 是的中位线， ， ， 的周长为． 5．（25-26八年级下·河北沧州·阶段检测）如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，直线经过点与，的延长线相交于点，． (1)求证：； (2)为了判定“以B，E，D，F为顶点的四边形为平行四边形”，嘉琪和珍珍分别给出了下面两个思路： 嘉琪：对角线互相平分的四边形是平行四边形． 珍珍：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 请你任选一个人的思路进行解答． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）证明，然后根据全等三角形的性质即可得证； （2）分别按照嘉琪、珍珍的思路，结合（1）的结论即可判断. 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ； （2）解：选择珍珍的思路： 由（1）可知， ， 又由（1）知， ， 四边形是平行四边形； 选择嘉琪的思路： 由（1）可知，， 四边形是平行四边形. 6．（25-26八年级下·浙江温州·期中）如图，在中，对角线，相交于点，，，为直线上的两个动点（点，始终在的外面），连接，，，．，． (1)求证：四边形为平行四边形． (2)若，，求四边形的周长． 【答案】(1)见解析 (2)20 【分析】（1）由平行四边形的性质，得对角线互相平分：，．根据、，推出，，结合，得．四边形的对角线、互相平分，故为平行四边形． （2）由，得平行四边形的对角线互相垂直，故为菱形（）．在中，且，故为等边三角形，得．菱形周长边长． 【详解】（1）证明：在中 ， ， ， ， 四边形为平行四边形 （2）解：， 为的垂直平分线， 题型六、根据中点作三角形的中位线进行作答 1．（25-26八年级下·河北沧州·阶段检测）如图，在中，，分别是边，的中点．若，则的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．8 【答案】A 【分析】根据三角形的中位线等于第三边的一半进行计算即可． 【详解】解：∵，分别是边，的中点．， ∴. 2．（25-26八年级下·河北廊坊·期中）对进行下列操作： 操作1：如图1，是的中位线，将沿中线方向平移到△的位置，使与边重合； 操作2：作的高，将按图2所示的方式折叠，使点A与点D重合，折痕为． 对操作1，2中阴影部分面积，下列说法正确的是（） A．操作2中阴影部分面积大 B．面积均为面积的一半 C．面积与的面积相等 D．操作1中阴影部分面积大 【答案】B 【分析】利用中位线、平移和折叠的性质，先求出空白三角形的面积，再用梯形面积减去空白面积，得到阴影部分的面积．两次操作的阴影面积都等于原三角形面积的一半． 【详解】解：设的面积为S． ∵是的中位线， ∴，且，点E、F分别是、的中点， ∴ 点A到的距离等于点A到距离的一半． ∴． ∴ ． 由平移的性质可知，与的形状、大小完全相同， ∴ ． 又∵ 落在上，与重合， ∴ 操作1中阴影部分面积． ∵是的高，折叠后点与点重合，折痕为， ∴垂直平分． 又∵， ∴，且平分， ∴是的中位线， ∴ ，． 由折叠的性质可知，与的形状、大小完全相同， ∴ ． ∴ 操作2中阴影部分面积： ∵ ，故选项A不正确，不符合题意， ∴ 两个操作中阴影部分的面积均为面积的一半． 综上所述：只有选项B正确，符合题意． 3．（25-26八年级下·山东聊城·期中）如图，在中，D是边的中点，是的平分线，于点E，连接．若，则等于_____． 【答案】 【分析】延长交于点F，证明，再利用三角形中位线求解即可； 【详解】解：延长交于点F， ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵D是中点， ∴， ∴, ∵， ， 故； 4．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在中，平分，于点E，点F是的中点，若，，则的长为__________． 【答案】3 【分析】延长交于点M，构造等腰三角形，利用中位线定理得出线段长度． 【详解】解：如图，延长交于点M， ∵平分，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点F是的中点， ∴为的中位线， ∴． 5．（2026·江苏徐州·二模）如图1，在中，，，点D，E分别在边上，，连接，点M，N，P分别为的中点，连接． (1)图1中，线段的数量关系是______，_______°； (2)把绕点A顺时针旋转到图2所示的位置，连接，求证：是等腰直角三角形； (3)把绕点A在平面内旋转，若，，请直接写出面积的最大值． 【答案】(1)，； (2)见解析； (3)8． 【分析】（1）根据点M，N，P分别为，，的中点，得，，，可知，而，即可求出； （2）先证，得，，然后由（1）同理可得，； （3）先求出的最大值，由（2）知为等腰直角三角形可知，最大时，面积的最大，求出此时的面积即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵点M，N，P分别为，，的中点， ∴，，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：，； （2）由旋转得：， 又∵，， ∴， ∴， ∵点M，N，P分别为，，的中点， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴ ， ∴是等腰直角三角形； （3）由题意知， 即， ∴， 由（2）知是等腰直角三角形， ∴时，S△MNP最大， ∴最大为． 1．（25-26八年级下·广东广州·期中）如图，平行四边形中，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴． 2．（25-26八年级下·云南·期中）在四边形中，对角线、交于点O，下列条件能判定四边形是平行四边形的是（     ） A． ， B．， C．， D．， 【答案】D 【详解】解：A选项，，，该四边形可以是等腰梯形，不能判定为平行四边形，故A不符合题意； B选项，，，不能推出对角线互相平分，四边形不是平行四边形，故B不符合题意； C选项，，，该四边形可以是等腰梯形，不能判定为平行四边形，故C不符合题意； D选项，， ， ， ， ，两组对边分别平行的四边形是平行四边形， 因此四边形是平行四边形，故D符合题意． 3．（25-26八年级下·云南昭通·阶段检测）如图，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，转动其中一张纸条，重合的部分构成了一个四边形，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可知，，，推出四边形为平行四边形，根据平行四边形的性质即可求解． 【详解】解：由题意可知，，， 四边形为平行四边形， ，，，不能得到， 故选：C． 4．（25-26八年级下·宁夏吴忠·期中）如图，在平行四边形中，、分别是、的中点，若，则的长为（    ） A．12 B．13 C．10 D．15 【答案】C 【分析】根据三角形中位线定理求解． 【详解】解： 、分别是、的中点， 是的中位线， ． 5．（25-26八年级下·广东深圳·期中）如图，把放在直角坐标系内，其中，，点、的坐标分别为，．将沿轴向右平移，当点落在直线上时，线段扫过的面积为（   ） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】C 【分析】根据勾股定理可得的长，利用平移的性质结合一次函数图象上点的坐标特征，可得的长，进而可得的长，再利用平行四边形的面积公式，即可求出线段扫过的面积． 【详解】解：如图所示，线段扫过的面积为平行四边形的面积， 点、的坐标分别为，． ， ，， ， ， 点的纵坐标为， 点在直线上， ，解得， 即， ， ， 即线段扫过的面积为． 6．（25-26八年级下·云南昭通·阶段检测）如图，平行四边形中，对角线，相交于，过点作交于点，若．，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，利用平行四边形对角线互相平分的性质得到是的中点，结合垂直，得出是的垂直平分线，根据垂直平分线上的点到线段两端距离相等得，再根据和，计算出、和的长度，然后在中，利用勾股定理的逆定理判定其为直角三角形，得到，进而推出邻补角，最后在等腰直角三角形中，利用勾股定理求出的长度即可． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是平行四边形， ∴是的中点，， ∵， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 在中，，，， ∵，即， ∴是直角三角形，， ∴， 在中，， ∴． 7．（25-26八年级下·福建泉州·期中）如图，平行四边形对角线交于点O，点M，N，P，Q分别在平行四边形的四条边上（且不与顶点重合）．现有甲、乙、丙三种方案，则能判定四边形是平行四边形的是（   ） 甲：使 ； 乙：使 ； 丙：使均经过点O． A．只有甲、乙 B．只有乙、丙 C．只有甲、丙 D．甲、乙、丙 【答案】D 【分析】根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形可判断甲方案；由平行四边形的性质得到，证明，得到，再证明，得到，据此可判断乙方案；证明，得到，同理可证明，据此可判断丙方案． 【详解】解：当时，可以根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形证明四边形是平行四边形，故甲方案符合题意； ∵四边形是平行四边形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形，故乙方案符合题意； ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴当使经过点O时，， ∴， ∴， 同理可证明， ∴四边形是平行四边形，故丙方案符合题意； 8．（25-26八年级下·四川绵阳·阶段检测）如图，平行四边形的对角线与相交于点O，，垂足为E，，，，则的长为______． 【答案】 【分析】先利用方程思想将线段设出来，再将表示出来，利用勾股定理和两个直角三角形有公共边求出设的未知数的值，再将值代入到直角三角形中求解． 【详解】解：∵, ∴设，则， ∵， ∴， 在中，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 在中， ， ∴， 解得， 将代入中， 解得． 9．（25-26八年级下·江苏苏州·期中）如图，在中，四个内角的角平分线，，，交于E，F两点，，，，则的长为______． 【答案】 【分析】先利用平行四边形性质与角平分线证明为直角三角形，求出的长度；再证明、，通过证明得，证明四边形是平行四边形，从而求出的长度． 【详解】解：如图，延长交于， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，，， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴． ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴ ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵平分，平分，， ∴， ∴， 同理可得， 又∵ ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴． 10．（25-26八年级下·四川绵阳·阶段检测）如图，平行四边形的对角线相交于点O，且，若，，点B的坐标为，则点D的坐标为______． 【答案】 【分析】先利用勾股定理求出的长度，构造直角三角形，利用已知点的坐标点和勾股定理求出点的坐标，再利用平行四边形的性质证三角形全等，从而求出点的坐标． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，且， ∴四边形是菱形，， 在中，， 如图所示，分别过点向作垂线，垂足分别为， 则， ， ∵点B的坐标为， ∴， 在中，， 在和中，， ∴，， 又∵点D在第二象限， ∴点D的坐标为． 11．（25-26八年级下·上海奉贤·期中）如图，在中，点分别是的中点，于且交于点，若，则的长是___________． 【答案】 【分析】取的中点，连接、，则、是的中位线，可证四边形是平行四边形，再证明出，得到，进而得出，即可得解． 【详解】解：如图，取的中点，连接、， 点分别是的中点， 、是的中位线， ，，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ． 12．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）在中，点是边上一点，将沿折叠后，点的对应点为点． （1）如图1，若，当点恰好落在上时，的值为_____． （2）当，，时，连结， ①如图2，当时，的长为_____． ②当时，的长为_____． 【答案】 【分析】（1）由折叠可知，得到，结合平行四边形的性质可证，进而得到； （2）①先得到，同理得到，再求即可；②延长交于，过作的延长线于，先求出，利用勾股定理求出，再结合进行求解． 【详解】解：（1）由折叠得 ， ， ， ， ， ； （2）①由折叠可知， 又，则为等腰直角三角形， ，即，解得， ，则， ； ②如图，延长交于，过作的延长线于， 由翻折可知， 在中，，，， ， ， ， 又∵， ， ，， ， 又， 四边形为平行四边形， ， ， ． 13．（2026年吉林省长春市2025-2026学年第二学期九年级（数学）学科模考大练习试题）将一把刻度尺如图放置，刻度尺有一边分别与的顶点，重合，另一边分别交于点．连接分别与相交于点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据平行四边形的判定和性质解答即可； （2）根据平行四边形的判定和性质解答即可． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ． 又， 四边形是平行四边形． （2）证明：由（1）得四边形是平行四边形， ∴， ∵在平行四边形中，， ，即． 又， 四边形是平行四边形， ． 14．（25-26八年级下·四川南充·期中）如图，的对角线、相交于点O，E，F在上，且． (1)求证：； (2)求证：四边形是平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 【分析】（1）根据平行四边形的性质得到，，推出，然后利用证明全等即可； （2）根据平行四边形的性质得到，，然后推出，即可证明四边形是平行四边形． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ∴， ∵， ∴； （2）证明：四边形是平行四边形， ，， ∵， ∴， ∴四边形为平行四边形． 15．（2026·北京通州·一模）如图，在中，，点，点分别是，的中点，延长到点，使，连接，，，，与交于点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据三角形中位线定理可得，，进而证明，，则可证明四边形是平行四边形； （2）先利用勾股定理求出，再由平行四边形的性质求出的长，进而利用勾股定理求出的长即可． 【详解】（1）证明：∵点，点分别是，的中点， ∴，， ∵， ∴，， ∴四边形是平行四边形． （2）解：∵，，， ∴在中，， ∵点是的中点，， ∴ ， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴在中，， ∴． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 平行四边形的性质与判定 目录 A题型建模・专项突破 题型一、平行四边形的性质求角问题（常考点） 1 题型二、平行四边形的性质求边问题（常考点） 2 题型三、证明对边平行来证明四边形是平行四边形（重点） 3 题型四、证明对边相等来证明四边形是平行四边形（重点） 4 题型五、证明对角线互相平分来证明四边形是平行四边形（重点） 5 题型六、中位线及其性质 6 B综合攻坚・能力跃升 题型一、平行四边形的性质求角问题 1．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）在平行四边形中，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·山西大同·期中）如图，在平行四边形中，平分交于点．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·浙江绍兴·期中）如图，在中，是边上一点（不与、重合），且为上的点，将沿折叠，点的对应点恰好落在点处，连接交于点，若，则_____． 4．（2026·四川南充·一模）如图，在中，将沿对角线BD翻折得到，与交于点E． (1)求证：； (2)点为中点，连接，．求的度数． 题型二、平行四边形的性质求边问题 1．（25-26八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，在平行四边形中中，，平分，交边于点，且，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 2．（2026·广东云浮·一模）如图，平行四边形的周长为，则________． 3．（2026·河北唐山·二模）将一个平行四边形纸片进行折叠，第一次折叠经过点A，使边和重合，折痕交边于点E，展开后进行第二次折叠，第二次折叠经过点B，使边和重合，折痕交边于点F，展开后如图所示．当时，若，则的长是_______． 4．（25-26八年级下·广西南宁·期中）如图，在中，平分，交边于点E，，垂足为点F，交于点G，已知． (1)求的度数； (2)若，求的长． 5．（25-26八年级下·广东江门·期中）已知中，为的中点，于，连接． (1)如图1，若，求证：； (2)如图2，若，写出，，之间的数量关系，并证明． 题型三、证明对边平行来证明四边形是平行四边形 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，已知，要使四边形为平行四边形，则四边形的各内角度数依次为（　　） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）下列条件中，能判定四边形是平行四边形的是____________（填序号）． ①，； ②，； ③，； ④，． 3．（25-26八年级下·广西钦州·期中）如图，在梯形中，，，．，，点是边上一点，且． (1)证明：四边形是平行四边形； (2)求的长． 题型四、证明对边相等来证明四边形是平行四边形 1．（25-26八年级下·江苏南京·期中）已知四边形的对角线，相交于点．下列条件：①，；②，；③，；④，；⑤，．其中，能判定四边形是平行四边形的是（   ） A．①③④ B．①③⑤ C．①②③⑤ D．①③④⑤ 2．（25-26八年级下·云南玉溪·期中）如图，中，E、F分别是，的中点，求证：四边形是平行四边形． 3．（25-26八年级下·重庆·期中）如图，在四边形中，点E、F在上，且，，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，，求的长． 4．（25-26八年级下·重庆·期中）如图，在平行四边形中，点，分别是边，的中点，分别连接，交对角线于点，，连接，． (1)求证：； (2)求证：四边形是平行四边形． 题型五、证明对角线互相平分来证明四边形是平行四边形 1．（2026·江苏无锡·一模）四边形中，对角线相交于点O，给出下列四个条件：①；②；③；④；从中任选两个条件，能使四边形为平行四边形的选法有（   ） A．3种 B．4种 C．5种 D．6种 2．（25-26九年级下·河北衡水·期中）如图，在一个对边平行的纸条上有两点A，B，连接并取的中点O． 方案Ⅰ：过点O作任意直线（不与重合，且不与纸条的边平行）交纸条两边于C，D两点（点C在点A所在的边上），连接，； 方案Ⅱ：在点A所在边上取一点D，点D在点A右侧，在点B所在边上取一点C，点C在点B左侧，且满足． 按上述两种方案操作，得到的四边形一定是平行四边形的方案（   ） A．Ⅰ，Ⅱ都是 B．Ⅰ，Ⅱ都不是 C．只有Ⅰ是 D．只有Ⅱ是 3．（25-26八年级下·北京顺义·期中）如图，是对角线上的两点，请你加一个适当的条件：__________，使四边形是平行四边形．（只需填一个你认为正确的条件即可） 4．（25-26八年级下·吉林·期中）如图，在中，对角线和相交于点，点是边的中点，，，则的周长为__________． 5．（25-26八年级下·河北沧州·阶段检测）如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，直线经过点与，的延长线相交于点，． (1)求证：； (2)为了判定“以B，E，D，F为顶点的四边形为平行四边形”，嘉琪和珍珍分别给出了下面两个思路： 嘉琪：对角线互相平分的四边形是平行四边形． 珍珍：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 请你任选一个人的思路进行解答． 6．（25-26八年级下·浙江温州·期中）如图，在中，对角线，相交于点，，，为直线上的两个动点（点，始终在的外面），连接，，，．，． (1)求证：四边形为平行四边形． (2)若，，求四边形的周长． 题型六、根据中点作三角形的中位线进行作答 1．（25-26八年级下·河北沧州·阶段检测）如图，在中，，分别是边，的中点．若，则的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．8 2．（25-26八年级下·河北廊坊·期中）对进行下列操作： 操作1：如图1，是的中位线，将沿中线方向平移到△的位置，使与边重合； 操作2：作的高，将按图2所示的方式折叠，使点A与点D重合，折痕为． 对操作1，2中阴影部分面积，下列说法正确的是（） A．操作2中阴影部分面积大 B．面积均为面积的一半 C．面积与的面积相等 D．操作1中阴影部分面积大 3．（25-26八年级下·山东聊城·期中）如图，在中，D是边的中点，是的平分线，于点E，连接．若，则等于_____． 4．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在中，平分，于点E，点F是的中点，若，，则的长为__________． 5．（2026·江苏徐州·二模）如图1，在中，，，点D，E分别在边上，，连接，点M，N，P分别为的中点，连接． (1)图1中，线段的数量关系是______，_______°； (2)把绕点A顺时针旋转到图2所示的位置，连接，求证：是等腰直角三角形； (3)把绕点A在平面内旋转，若，，请直接写出面积的最大值． 1．（25-26八年级下·广东广州·期中）如图，平行四边形中，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·云南·期中）在四边形中，对角线、交于点O，下列条件能判定四边形是平行四边形的是（     ） A． ， B．， C．， D．， 3．（25-26八年级下·云南昭通·阶段检测）如图，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，转动其中一张纸条，重合的部分构成了一个四边形，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·宁夏吴忠·期中）如图，在平行四边形中，、分别是、的中点，若，则的长为（    ） A．12 B．13 C．10 D．15 5．（25-26八年级下·广东深圳·期中）如图，把放在直角坐标系内，其中，，点、的坐标分别为，．将沿轴向右平移，当点落在直线上时，线段扫过的面积为（   ） A．4 B．8 C．12 D．16 6．（25-26八年级下·云南昭通·阶段检测）如图，平行四边形中，对角线，相交于，过点作交于点，若．，，则的长为（   ） A． B． C． D． 7．（25-26八年级下·福建泉州·期中）如图，平行四边形对角线交于点O，点M，N，P，Q分别在平行四边形的四条边上（且不与顶点重合）．现有甲、乙、丙三种方案，则能判定四边形是平行四边形的是（   ） 甲：使 ； 乙：使 ； 丙：使均经过点O． A．只有甲、乙 B．只有乙、丙 C．只有甲、丙 D．甲、乙、丙 8．（25-26八年级下·四川绵阳·阶段检测）如图，平行四边形的对角线与相交于点O，，垂足为E，，，，则的长为______． 9．（25-26八年级下·江苏苏州·期中）如图，在中，四个内角的角平分线，，，交于E，F两点，，，，则的长为______． 10．（25-26八年级下·四川绵阳·阶段检测）如图，平行四边形的对角线相交于点O，且，若，，点B的坐标为，则点D的坐标为______． 11．（25-26八年级下·上海奉贤·期中）如图，在中，点分别是的中点，于且交于点，若，则的长是___________． 12．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）在中，点是边上一点，将沿折叠后，点的对应点为点． （1）如图1，若，当点恰好落在上时，的值为_____． （2）当，，时，连结， ①如图2，当时，的长为_____． ②当时，的长为_____． 13．（2026年吉林省长春市2025-2026学年第二学期九年级（数学）学科模考大练习试题）将一把刻度尺如图放置，刻度尺有一边分别与的顶点，重合，另一边分别交于点．连接分别与相交于点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)求证：． 14．（25-26八年级下·四川南充·期中）如图，的对角线、相交于点O，E，F在上，且． (1)求证：； (2)求证：四边形是平行四边形． 15．（2026·北京通州·一模）如图，在中，，点，点分别是，的中点，延长到点，使，连接，，，，与交于点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求的长． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $