专题05 离散型随机变量的分布列与数字特征6大考点（期末真题汇编，广东专用）高二数学下学期人教A版

**基本信息** 聚焦离散型随机变量核心考点，精选广东各地期末真题，覆盖分布列、均值、方差及决策应用，注重实际情境与能力梯度设计。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |选择|14|分布列性质、均值方差计算|以运动员射击环数、产品质量等基础情境设题，巩固概念| |填空|3|由均值求参数|结合学生发球模型，考查方程思想| |解答|28|分布列构建、均值方差应用|以人工智能研发、轻食消费、医疗设备延保等真实场景设计综合题，体现数学建模与决策分析|

专题05 离散型随机变量的分布列与数字特征 高频考点概览 考点 01 求离散型随机变量的分布列 考点 02 离散型随机变量分布列的性质及其应用 考点 03 求离散型随机变量的均值 考点 04 由离散型随机变量的均值求参数 考点 05 求离散型随机变量的方差 考点 06 离散型随机变量均值与方差在决策中的应用 ( 考点01 求离散型随机变量的分布列 ) 1．（2024春•中山市校级期末）某种水果按照果径大小可分为四类：标准果、优质果、精品果、礼品果，某采购商从采购的一批水果中随机抽取100个，利用水果的等级分类标准得到的数据如下： 等级 标准果 优质果 精品果 礼品果 个数 10 30 40 20 （1）若将频率视为概率，从这100个水果中放回地随机抽取4个，求恰好有2个水果是礼品果的概率；（结果用分数表示） （2）用分层抽样的方法从这100个水果中抽取10个，再从抽取的10个水果中随机抽取3个，若表示抽到的精品果的数量，求的分布列． 【解答】解：（1）设从100个水果中随机抽取一个，抽到礼品果的事件为，则， 现有放回地随机抽取4个，设抽到礼品果的个数为，则， 所以恰好抽到2个礼品果的概率为． （2）用分层抽样的方法从100个水果中抽取10个，则其中精品果4个，非精品果6个， 现从中抽取3个，则精品果的数量服从超几何分布，所有可能的取值为0，1，2，3， 则；；；， 所以的分布列如下： 0 1 2 3 2．（2024秋•兴宁市期末）在一次购物抽奖活动中，假设某10张奖券中有一等奖奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖．某顾客从这10张中任抽2张．求： （1）该顾客中奖的概率； （2）该顾客获得的奖品总价值（元的分布列． 【解答】解：（1）根据题意可得该顾客中奖的概率为； （2）根据题意可得可能取的为0，10，20，50，60， 又， ， ， ， ， 的分布列为： 0 10 20 50 60 3．（2024春•广州期末）现有枚游戏币，，，，游戏币，2，，是有偏向的，向上抛出后，它落下时正面朝上的概率为．甲、乙利用这枚游戏币玩游戏． （1）将，，这3枚游戏币向上抛出，记落下时正面朝上的个数为，求的分布列； （2）将这枚游戏币向上抛出，规定若落下时正面朝上的个数为奇数，则甲获胜，否则乙获胜，请判断这个游戏规则是否公平，并说明理由． 【解答】解：记事件为“第枚游戏币向上抛出后，正面朝上”． 则，，2，，． （1）可取0，1，2，3． 由事件相互独立， 则． ． ． ． 故分布列为： 0 1 2 3 （2）因为正面朝上个数为奇数，则甲胜． 现在考虑依次抛这枚游戏币，即按照，，，的顺序抛这枚游戏币． 记抛第枚游戏币后，正面朝上的游戏币个数为奇数的概率为，，2，，． 举两个例子：表示抛后，正面朝上的游戏币个数为奇数的概率， 故只能正面朝上，； 表示抛后，正面朝上的游戏币个数为奇数的概率， 此时有两种情况： ①前面抛出游戏币正面朝上个数为奇数，反面朝上； ②前面抛出正面朝上个数为偶数，正面朝上． 故 ． 故当时，有，（第一项“”表示前次正面朝上游戏币个数为奇数，从而加上0仍为奇数；第二项“”表示前次正面朝上游戏币为偶数，从而加上1为奇数）． 故 ． 即． 即，． 记，则，， 故数列为首项是，公差为的等差数列． 故， 则， 故，，2，3，，． 则． 故公平． 4．（2023春•湛江期末）甲乙两人进行乒乓球比赛，经过以往的比赛分析，甲乙对阵时，若甲发球，则甲得分的概率为，若乙发球，则甲得分的概率为．该局比赛甲乙依次轮换发球权（甲先发球），每人发两球后轮到对方进行发球． （1）求在前4球中，甲领先的概率； （2）12球过后，双方战平，已知继续对战奇数球后，甲率先取得11分获得胜利（获胜要求净胜2分及以上）．设净胜分为（甲，乙的得分之差），求的分布列． 【解答】解：（1）甲与乙的比分是的概率为， 比分是的概率为， 故前4球中，甲领先的概率； （2）依题意，接下来由甲先发球．继续对战奇数球后，甲获得11分胜利，即甲或获胜， 即在接下来的比赛中，甲乙的比分为或，且最后一球均为甲获胜， 记比分为为事件，则， 记比分为为事件，即前6场比赛中，乙获胜两场，期间甲发球4次，乙发球两次，， 故甲依题意获胜的概率为， 的所有可能取值为3，5， 由条件概率有，， 故的分布列为： 3 5 5．（2023春•香洲区校级期末）甲、乙、丙三人进行乒乓球单打比赛，约定：随机选择两人打第一局，获胜者与第三人进行下一局的比赛，先获胜两局者为优胜者，比赛结束．已知每局比赛均无平局，且甲赢乙的概率为，甲赢丙的概率为，乙赢丙的概率为． （1）若甲、乙两人打第一局，求比赛局数的概率分布列； （2）求甲成为优胜者的概率； （3）为保护甲的比赛热情，由甲确定第一局的比赛双方，请你以甲成为优胜者的概率大为依据，帮助甲进行决策． 【解答】解：（1）比赛局数的可能取值为2，3，4， 比赛两局结束，则甲连胜两局或乙连胜两局，所以， 比赛三局结束，则第二局、第三局丙连胜，所以， 比赛四局结束，所以， 所以的分布列为： 2 3 4 （2）记甲、乙比赛第一局为事件，甲、丙比赛第一局为事件，乙、丙比赛第一局为事件，甲成为优胜者为事件， 第一局比赛双方可能是甲乙、甲丙、乙丙共三种情况，则（A）（B）（C）， 所以， ， ， 所以（D） （A）（B）（C） ， 所以甲成为优胜者的概率为； （3）由（2）知，， 所以甲参加第一局比赛成为优胜者的概率大． 6．（2021春•天河区期末）某学校为了解学生课后进行体育运动的情况，对该校学生进行简单随机抽样，获得20名学生一周进行体育运动的时间数据如表，其中运动时间在，的学生称为运动达人． 分组区间（单位：小时） ， ， ， ， ， 人数 1 3 4 7 5 （1）从上述抽取的学生中任取2人，设为运动达人的人数，求的分布列； （2）以频率估计概率，从该校学生中任取2人，设为运动达人的人数，求的分布列． 【解答】解：（1）的可能取值为0，1，2， ， ， ， 的分布列为： 0 1 2 （2）由表中数据可得，抽到运动达人的频率为， 将频率视为概率，则随机变， ， ， ， 的分布列为： 0 1 2 7．（2020春•越秀区期末）在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为2000元，此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如表： 作物产量 400 500 概率 0.6 0.4 作物市场价格（元 8 10 概率 0.5 0.5 （1）设表示在这块地上种植1季此作物的利润，求的分布列； （2）若在这块地上连续4季种植此作物，求这4季中至少有2季利润不少于2000的概率． 【解答】解：（1）的可能取值有1200，2000，3000， 且，， ． 故的分布列为： 1200 2000 3000 0.3 0.5 0.2 （2）由（1）可知种植1季作物，利润不少于2000的概率为， 这4季中至少有2季利润不少于2000的概率为：． ( 考点02 离散型随机变量分布列的性质及其应用 ) 8．（2025春•清远期末）如表所示，则（　　） 0 1 2 A． B． C． D． 【解答】解：由题意可得， 解得． 故选：． 9．（2020春•越秀区期末）若随机变量的分布列为 1 2 3 0.2 则的值为（　　） A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4 【解答】解：， ． 故选：． 10．（2022春•珠海期末）已知某离散型随机变量的分布列为： 0 1 则（　　） A．和 B． C． D． 【解答】解：由题意可得，且，， 即，且，，解得， 故选：． 11．（2023春•江门期末）某运动员射击一次所得环数的分布列如表所示，则（　　） 8 9 10 0.36 0.33 A．0.69 B．0.67 C．0.66 D．0.64 【解答】解：． 故选：． 12．（2022春•越秀区期末）若离散型随机变量的分布列为，，，则的值为（　　） A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4 【解答】解：由分布列的性质可得，，解得． 故选：． 13．（2024春•中山市期末）已知随机变量的分布列为，2，3，，则（　　） A． B． C． D． 【解答】解：随机变量的分布列为，2，3，， ，解得， ． 故选：． 14．（2020春•高州市期末）随机变量的分布列如表：其中，，成等差数列，则（　　） 0 1 A． B． C． D． 【解答】解：由题意得： ，解得， ． 故选：． ( 考点0 3 求离散型随机变量的均值 ) 15．（2024春•越秀区期末）已知随机变量取所有的值1，2，3，，是等可能的，且，则（　　） A．29 B．19 C．6 D．5 【解答】解：因为随机变量取可能的值1，2，，是等可能的， 所以，．，， 所以， 所以，解得． 故选：． 16．（2024春•潮州期末）已知随机变量的分布列为： 1 2 3 4 5 0.1 0.3 0.1 0.1 则（　　） A．0.4 B．1.2 C．1.6 D．2.8 【解答】解：依题意可得， 解得：， 所以． 故选：． 17．（2024春•广东期末）已知随机变量的分布列如下表： 1 2 3 则（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【解答】解：易知， 解得， 则． 故选：． 18．（2023春•珠海期末）已知离散型随机变量的分布列如下表，则其数学期望（　　） 1 2 4 0.2 0.6 A．1 B．0.2 C．2.8 D．3 【解答】解：由题意得，，解得， ． 故选：． 19．（2020春•广东期末）设随机变量的分布列为，2，3，，为常数，则（　　） A． B． C． D． 【解答】解：由题意可得：，解得． 所以． ． ． 故选：． 20．（2022春•江门期末）从一批含有13件正品，2件次品的产品中不放回地抽3次，每次抽取1件，设抽取的次品数为，则（　　） A．2 B．1 C．3 D．4 【解答】解：由题意可知的取值分别为：0，1，2， ； ； ； ． ． 故选：． 21．（2023春•潮安区校级期末）设离散型随机变量的分布列为，，，则（　　） A．2 B．1 C． D． 【解答】解：由题意可得，， 则． 故选：． 22．（2025秋•荔湾区校级期末）人工智能，是引领新一轮科技革命与产业变革的战略技术，其研发过程融合了算法创新与工程实践的深度智慧．某科技公司计划开发三款不同的大语言模型，，．每款模型的研发分为两个主要阶段：算法设计评审和工程部署验收．只有算法设计评审通过后，才能进入工程部署验收，两个阶段相互独立．只有同时通过这两个阶段，模型才能正式上线发布．已知，，三款模型通过算法设计评审的概率依次为，，，通过工程部署验收的概率依次为，，． （1）求，，三款中恰有一款通过算法设计评审的概率； （2）若已知，，三款中恰有一款通过算法设计评审，求通过的模型为的概率； （3）经过算法设计评审和工程部署验收两个阶段后，，，三款模型能成功上线的数量为随机变量，求的分布列及数学期望． 【解答】解：（1）设，，三款模型通过算法设计评审为事件，，，且恰有一款通过算法设计评审为事件， 则根据全概率公式可得 ； （2）； （3）设模型能成功上线为事件，模型能成功上线为事件，模型能成功上线为事件， 则，，， 由题易知离散型随机变量的所有可能取值为0，1，2，3， 则， ， ， ， 离散型随机变量的分布列如下： 0 1 2 3 将表格数据代入期望公式可得． 23．（2025秋•广州校级期末）某会员店因为商品品控出色，所以吸纳了大量会员，只有成为该会员店的会员才能在该店进行消费．根据统计数据，该店的本地会员占，外地会员占．现对该店会员开展商品质量满意度调查，已知本地会员对该店商品质量满意的概率为，外地会员对该店商品质量满意的概率为．每个会员对该店商品质量满意与否相互独立． （1）从该店所有会员中随机抽取1名会员，求其对该店商品质量满意的概率； （2）从该店所有会员中随机抽取2名会员，记这2名会员中对该店商品质量满意的人数为，求的分布列与数学期望． 【解答】解：（1）设事件：抽取的是本地会员，事件：抽取的是外地会员，事件：对该店质量满意， 则由题意可知：， 所以； （2）从该店所有会员中随机抽取2名会员，记这2名会员中对该店商品质量满意的人数为， 易知可能取值0，1，2， 则， ， ， 的分布列如下： 0 1 2 期望为． 24．（2025秋•梅州期末）甲同学参加一项抽奖活动，在一个盒子中，有大小形状完全相同的5个球，其中3个白球，2个红球． （1）若不放回地从盒中连续取两次球，每次取一个球，求在第一次取到红球的条件下，第二次也取到红球的概率； （2）一次随机抽取两个球，若取到的两个球颜色相同则中奖，颜色不同则不中奖，抽完奖之后把球再放回盒子里以便于再次抽奖． 求甲抽取一次，中奖的概率； 甲一共抽取了三次，中奖次数为，求的分布列及数学期望． 【解答】解：（1）设事件表示“第次取球时，取到红球”， 则，， 则， 即在第一次取到红球的条件下，第二次也取到红球的概率为； （2）； 的可能取值为0，1，2，3， 则，， ，， 则的分布列为： 0 1 2 3 则其数学期望． 25．（2025秋•潮州期末）一个口袋中有3个红球，4个白球，这7个小球除颜色外均相同． （1）从中不放回地摸球，每次摸2个球，摸到的2个球中至少有1个红球则中奖，求摸2次恰好第2次中奖的概率； （2）每次同时摸2个球，并放回，摸到的2个球中至少有1个红球则中奖，连续摸4次，求中奖次数的数学期望． 【解答】解：一个口袋中有3个红球，4个白球，这7个小球除颜色外均相同． （1）从中不放回地摸球，每次摸2个球，摸到的2个球中至少有1个红球则中奖， 设“摸2次恰好第2次中奖”为事件， 则， 所以摸2次恰好第2次中奖的概率为； （2）每次同时摸2个球，并放回，摸到的2个球中至少有1个红球则中奖，连续摸4次， 设“每次同时摸2个球，恰好中奖”为事件， 则， 随机变量的所有可能的取值为0，1，2，3，4， 可得， ， ， ， ， 所以随机变量的分布列是： 0 1 2 3 4 随机变量的数学期望． 26．（2024春•肇庆校级期末）某校为了解高三年级1200名学生对成语的掌握情况，举行了一次“成语测试”比赛．从中随机抽取120名学生，统计结果如下：获奖人数与不获奖人数之比为，其中获奖人数中，女生占，不获奖人数中，女生占． （1）现从这120名学生中随机抽取1名学生，求恰好是女生的概率； （2）对获奖学生采用按性别分层随机抽样的方法选取8人，参加赛后经验交流活动．若从这8人中随机选取2人． ①求在2人中有女生入选的条件下，恰好选到1名男生和1名女生的概率； ②记为入选的2人中的女生人数，求随机变量的分布列及数学期望． 【解答】解：（1）记事件，分别为抽取的1名学生获奖与不获奖， 事件为抽取的1名学生是女生， 则，且，互斥，， 由题意可知，， 且， 由全概率公式可知， 即从120名学生中随机抽取1名学生，恰好是女生的概率为； （2）由题意得120名学生的获奖情况如下： 男生获奖60人，不获奖20人， 女生获奖20人，不获奖20人， ①根据分层随机抽样方法得，选取的8人中，男生有（人，女生有（人， 记事件为“选出的2人中有女生”，共有（种不同的选法， 事件为“选出的2人为1名男生、1名女生”，共有（种不同的选法， 则； ②根据题意，的所有可能取值为0，1，2， 则，，， 所以的分布列为： 0 1 2 则． 27．（2025春•东莞市期末）近年来，轻食作为餐饮的一种创新形态，广受消费者青睐．某公司为了获得轻食消费者行为数据，对一地区消费者进行抽样调查．统计其中300名消费者（表中3个年龄段的人数各100人）食用轻食的频数与年龄得到如下的频数分布表． 年龄 食用频数 25岁以下 25岁到50岁， 50岁及以上 轻食低频消费者（每周次） 15 35 50 轻食中频消费者（每周次） 55 45 40 轻食高频消费者（每周次及以上） 30 20 10 （1）已知该地区25岁以下、25岁到50岁、50岁及以上三个年龄段的人数比例为，用频率估计概率，求从该地区随机抽取一人，其为高频消费者的概率． （2）从以上样本的轻食高频消费者（每周次及以上）中，采用按比例分配的分层随机抽样抽取6人，再从这6人中随机抽取3人，记这3人中年龄在25岁以下与25岁到50岁的人数分别为，，记，求的分布列与期望． 【解答】解：（1）记从该地区中任抽一人，其年龄在25岁以下、25岁到50岁、50岁及以上分别为事件，，，其为高频消费者为事件， 则，，， 所以，，， ； （2）若利用分层抽样的方法抽取的6人中， 其中年龄在25岁以下与25岁到50岁的人数分别为3和2， 易得的所有可能取值分别为0，1，2，3， 所以， ， ， ， 则的分布列为： 0 1 2 3 故． ( 考点0 4 由离散型随机变量的均值求参数 ) 28．（2023春•肇庆期末）已知随机变量的分布列如下表所示，若，则　　． 1 2 3 【解答】解：由分布列的性质和期望公式可得， 解得， 因此，． 故答案为：． 29．（2022春•佛山期末）某学校进行排球测试的规则是：每名学生最多发4次球，一旦发球成功，则停止发球，否则直发到4次为止．设学生一次发球成功的概率为，且，发球次数为，则的最大值为 　　；若，则的取值范围是 　　． 【解答】解：由题意可得，所有取值为1，2，3，4， ， ， ， ， 令，， 则， 当时，，当时，， 故在，上单调递增，在上单调递减， ，即， ，即， 设，， 则， 则在上单调递减，又， 所以当时，， 故当时，． 故答案为：；． 30．（2020春•广东期末）已知随机变量的分布列为： 1 随机变量的数学期望为，则满足的最大正整数的值是　　． （参考数据：，， 【解答】解：由随机变量的分布列知： ， ，， 整理，得， 两边取自然对数得：，即， 设，，则， 在，上，函数单调递增，在，上，函数单调递减， （3），（4）， （5）， 在，上，函数单调递减， 满足的最大整数是4． 故答案为：4． ( 考点0 5 求离散型随机变量的方差 ) 31．（2025春•广州期末）已知离散型随机变量的方差为1，则（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【解答】解：根据题目，所以． 故选：． 32．（2025春•肇庆期末）已知离散型随机变量的分布列如表： 0 1 2 0.3 若离散型随机变量，则的方差（　　） A．0.6 B．5.4 C．1 D．3.4 【解答】解：根据分布列的性质可得，解得， 所以， 所以． 所以． 故选：． 33．（2023春•中山市期末）已知离散型随机变量服从两点分布，且，则随机变量的方差为 　　． 【解答】解：因为离散型随机变量服从两点分布，设，则， ，则， 解得：，， 又离散型随机变量服从两点分布，则． 故答案为：． 34．（2022秋•天河区校级期末）（多选）若随机变量服从两点分布，其中分别为随机变量的均值和方差，则　　 A． B． C． D． 【解答】解：对于选项：随机变量服从两点分布，因为 故，故选项正确； 对于选项，故选项错误； 对于选项，故选项正确； 对于选项，故正确． 故选：． 35．（2022秋•天河区校级期末）从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量表示所选3人中女生的人数．求： （1）的分布； （2）的期望与方差． 【解答】解：（1）所选女生人数的所有可能取值为0，1，2， ， ， ， 所以选3个人中女生人数的概率分布为： 0 1 2 （2）由（1）知，， ． 36．（2024秋•广东校级期末）一个袋中装有5个形状大小完全相同的小球，其中红球有2个，白球有3个，一次从中摸出2个球． （1）求“红球甲”没有被摸出的概率； （2）设表示摸出的红球的个数，求的分布列、均值和方差． 【解答】解：（1）记红球甲没有被摸出为事件，则； （2）依题意，表示摸出的2个球中的红球的个数，则的可能取值为0、1、2， 则，，， 则的分布列为： 0 1 2 所以， ． 37．（2024春•清远期末）在数学试卷的单项选择题中，共有8道题，每道题有4个选项，其中有且仅有一个选项正确，选对得5分，选错得0分，如果从四个选项中随机选一个，选对的概率是0.25．某同学8道单选题都不会做，只能在每道单选题的选项中随机选择一个作为答案，设他的总得分为，则的方差（　　） A．1.5 B．7.5 C．20.5 D．37.5 【解答】解：设答对题目个数为，根据题目可知，， 从而得到方差， 又，所以的方差． 故选：． 38．（2023春•荔湾区期末）某流水线生产一批产品，按质量标准分为一等品、二等品、三等品，共三个等级．现从该批产品中随机抽取100件，其中一等品有80件，二等品有10件，三等品有10件． （1）若根据产品等级，按分层抽样的方法从这100件产品中抽取10件，再从这10件产品中随机抽取3件，记这3件产品中一等品的数量为，求的分布列与数学期望； （2）若将100件产品中各等级的频率视为概率，从流水线上任取5件产品，记这5件产品中一等品的数量为，求的数学期望与方差． 【解答】解：（1）若采用分层抽样的方法从100件产品中抽取10件， 其中一等品有件，二等品有件，三等品有件， 则的所有取值为1，2，3， 此时，，， 则的分布列为： 1 2 3 此时； （2）若将100件产品中各等级的频率视为概率， 则从这100件产品中取出1件是一等品的概率为， 此时， 则，． 39．（2023春•香洲区校级期末）据调查，目前对于已经近视的小学生，有两种配戴眼镜的选择，一种是佩戴传统的框架眼镜；另一种是佩戴角膜塑形镜，这种眼镜是晚上睡觉时佩戴的一种特殊的隐形眼镜（因其在一定程度上可以减缓近视的发展速度，所以越来越多的小学生家长选择角膜塑形镜控制孩子的近视发展），市从该地区小学生中随机抽取容量为100的样本，其中因近视佩戴眼镜的有24人（其中佩戴角膜塑形镜的有8人，其中2名是男生，6名是女生） （1）若从样本中选一位学生，已知这位小学生戴眼镜，那么，他戴的是角膜塑形镜的概率是多大？ （2）从这8名戴角膜塑形镜的学生中，选出3个人，求其中男生人数的期望与方差； （3）若将样本的频率当做估计总体的概率，请问，从市的小学生中，随机选出20位小学生，求佩戴角膜塑形镜的人数的期望和方差． 【解答】解：（1）根据题中样本数据，设“这位小学生佩戴眼镜”为事件，则， “这位小学生佩戴的眼镜是角膜塑形镜”为事件， 则“这位小学生佩戴眼镜，且眼镜是角膜塑形镜”为事件，则， 故所求的概率为：， 所以从样本中选一位学生，已知这位小学生戴眼镜，则他戴的是角膜塑形镜的概率是； （2）依题意，佩戴角膜塑形滰的有8人，其中2名是男生，6名是女生， 故从中抽3人，男生人数的所有可能取值分别为0，1，2， 其中：， ， ， 所以男生人数的分布列为： 0 1 2 所以， ； （3）由已知可得：， 则：，， 所以佩戴角膜塑形镜的人数的期望是1.6，方差是1.472． ( 考点0 6 离散型随机变量均值与方差在决策中的应用 ) 40．（2023春•阳江期末）新高考数学试卷中的多项选择题，给出的4个选项中有2个以上选项是正确的，每一道题考生全部选对得5分．对而不全得2分，选项中有错误得0分．设一套数学试卷的多选题中有2个选项正确的概率为，有3个选项正确的概率为，没有4个选项都正确的（在本问题中认为其概率为．在一次模拟考试中： （1）小明可以确认一道多选题的选项是错误的，从其余的三个选项中随机选择2个作为答案，若小明该题得5分的概率为，求； （2）小明可以确认另一道多选题的选项是正确的，其余的选项只能随机选择．小明有三种方案：①只选不再选择其他答案；②从另外三个选项中再随机选择1个，共选2个；③从另外三个选项中再随机选择2个，共选3个．若，以最后得分的数学期望为决策依据，小明应该选择哪个方案？ 【解答】解：（1）根据题意可知， 不妨记一道多选题“有2个选项正确”为事件，“有3个选项正确”为事件，“小明该题得（5分）”为事件， 则，解得； （2）若小明选择方案①，则小明的得分为（2分）， 若小明选择方案②，记小明该题得分为， 则的可能取值为0，2，5，对应概率为： ， ， ， 故， 若小明选择方案③，记小明该题得分为， 则的可能取值为0，5，对应概率为： ， ， 故， ， 故以最后得分的数学期望为决策依据，小明应该选择方案①． 41．（2022秋•河源期末）疫情期间某大型快餐店严格遵守禁止堂食的要求，在做好自身防护的同时，为了实现收益，也为了满足人们餐饮需求，增加打包和外卖配送服务，不仅如此，还提供了一款新套餐，丰富产品种类，该款新套餐每份成本20元，售价30元，保质期为两天，如果两天内无法售出，则过期作废，且两天内的销售情况互不影响，现统计并整理连续30天的日销量（单位：百份），得到统计数据如下表： 日销量（单位：百份） 12 13 14 15 天数 3 9 12 6 （1）记两天中销售该款新套餐的总份数为（单位：百份），求的分布列和数学期望； （2）以该款新套餐两天内获得利润较大为决策依据，在每两天备餐27百份、28百份两种方案中应选择哪种？ 【解答】解：（1）根据题意可得：的所有可能取值为24，25，26，27，28，29，30， ，，， ，，，， 故的分布列为： 24 25 26 27 28 29 30 ； （2）当每两天生产配送27百份时，利润为： （百元）， 当每两天生产配送28百份时，利润为： （百元）， ， 选择每天生产配送27百份． 42．（2019春•福田区校级期末）某种大型医疗检查机器生产商，对一次性购买2台机器的客户，推出两种超过质保期后两年内的延保维修优惠方案： 方案一：交纳延保金7000元，在延保的两年内可免费维修2次，超过2次每次收取维修费2000元； 方案二：交纳延保金10000元，在延保的两年内可免费维修4次，超过4次每次收取维修费1000元． 某医院准备一次性购买2台这种机器．现需决策在购买机器时应购买哪种延保方案，为此搜集并整理了50台这种机器超过质保期后延保两年内维修的次数，得下表： 维修次数 0 1 2 3 台数 5 10 20 15 以这50台机器维修次数的频率代替1台机器维修次数发生的概率．记表示这2台机器超过质保期后延保的两年内共需维修的次数． （Ⅰ）求的分布列； （Ⅱ）以所需延保金及维修费用的期望值为决策依据，医院选择哪种延保方案更合算？ 【解答】（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）所有可能的取值为0，1，2，3，4，5，6． ， ， ， ， ， ， ， 的分布列为 0 1 2 3 4 5 6 （Ⅱ）选择延保方案一，所需费用元的分布列为： 7000 9000 11000 13000 15000 （元． 选择延保方案二，所需费用元的分布列为： 10000 11000 12000 （元． ，该医院选择延保方案二较合算． 43．（2022春•广州期末）某网购平台为提高销售额，组织该平台的网店开展“优惠券”抽奖活动，网店只提供“10元优惠券”，每位顾客有三次抽奖机会，每次抽中的概率为；网店提供“10元优惠券”和“5元优惠券”两种优惠券，每位顾客有两次抽奖机会，每次抽奖获得“10元优惠券”，“5元优惠券”的概率分别为，． （1）若小李参与网店的“优惠券”抽奖活动，求三次抽奖至少获得一张“10元优惠券”的概率． （2）以获得优惠金额的期望值作为决策依据，网店，哪家的优惠力度更大？请说明理由． 【解答】解：（1）设小李获得网电的“10元优惠券”的张数为，则， 三次抽奖至少获得一张“10元优惠券”的事件为“”， ， 所以小李至少获得一张“10元优惠券”的概率为． （2）思路一：设网店的优惠金额为，则， 因为， 所以，． 思路二：设网店的优惠金额为，则的可能值为0，10，20，30， ，， ，， 所以， 设 “第次抽奖获得网店的10元优惠券“，则， “第次抽奖获得网店的5元优惠券“，则， 设网店的优惠金额为，则的可能取值为10，15，20， ， ， ， 所以， 因为， 所以获得优惠金额的期望值作为决策依据，网店优惠力度更大． 44．（2021春•汕尾期末）汕尾市陆河县因盛产青梅，被誉为“中国青梅之乡”．该县某企业旗下的青梅产品深受广大消费者的青睐．该企业产品分正品和次品两种，每箱产品有200件，每件产品为次品的概率为0.1，且是否为次品相互独立．近期该企业举办了“青梅节”抽奖活动和促销活动． （1）“青梅节”抽奖活动，共有10张奖券，其中一等奖1张，每张价值500元；二等奖3张，每张价值100元；其余6张没有奖励、顾客从10张奖券中随机抽出2张．求顾客获奖的总价值（单位：元）的分布列； （2）“青梅节”促销活动，每箱产品交付给顾客前都要进行检验，每件产品的检验费为2元．若检验出次品，则要更换为正品（更换的产品无需再付检验费）．若因没有检验导致次品流入顾客手中，每件流入顾客手中的次品，企业要向顾客支付25元的赔偿费．现有以下两种方案，请你以检验费与赔偿费之和的期望值为决策依据，帮助企业决定应该选择哪种方案？ 方案一：从每箱200件产品中随机抽查检验20件产品； 方案二：对每箱200件产品进行逐一检验． 【解答】解：（1）的所有可能值为0，100，200，500，600， ，， ，， ， 奖品总价值的分布列为 0 100 200 500 600 （2）设检验费用与赔偿费用之和为， 当选择方案一时，设剩下的180件产品中，次品数为， 由题意可得，， ， ， 当选项方案二时，， 由于，故选方案二． 45．（2019春•佛山期末）随着国内电商的不断发展，快递业也进入了高速发展时期，按照国务院的发展战略布局，以及国家邮政管理总局对快递业的宏观调控，快递收取快递费的标准是：重量不超过的包裹收费10元；重量超过的包裹，在收费10元的基础上，每超过（不足，按计算）需再收5元．某县分代办点将最近承揽的100件包裹的重量统计如下： 重量（单位： ， ， ， ， ， 件数 43 30 15 8 4 对近60天，每天揽件数量统计如表： 件数范围 件数 50 150 250 350 450 天数 6 6 30 12 6 以上数据已做近似处理，将频率视为概率． （1）计算该代办点未来5天内不少于2天揽件数在之间的概率； （2）①估计该代办点对每件包裹收取的快递费的平均值； ②根据以往的经验，该代办点将快递费的三分之一作为前台工作人员的工资和公司利润，其余的用作其他费用．目前该代办点前台有工作人员3人，每人每天揽件不超过150件，日工资110元．代办点正在考虑是否将前台工作人员裁减1人，试计算裁员前后代办点每日利润的数学期望，若你是决策者，是否裁减工作人员1人？ 【解答】解：（1）样本中包裹件数在之间的天数为36，频率， 故可估计概率为， 显然未来5天中，包裹件数在之间的天数服从二项分布，即， 故所求概率为． （2）①样本中快递费用及包裹件数如下表： 包裹重量（单位： 1 2 3 4 5 快递费（单位：元） 10 15 20 25 30 包裹件数 43 30 15 8 4 故样本中每件快递收取的费用的平均值为， 故估计该代办点对每件快递收取的费用的平均值为15元． ②代办点不应将前台工作人员裁员1人，理由如下： 根据题意及（2）①，搅件数每增加1，代办点快递收入增加15（元， 若不裁员，则每天可揽件的上限为450件，代办点每日揽件数情况如下： 包裹件数范围 包裹件数（近似处理） 50 150 250 350 450 实际揽件数 50 150 250 350 450 频率 0.1 0.1 0.5 0.2 0.1 故代办点平均每日利润的期望值为（元； 若裁员1人，则每天可揽件的上限为300件，代办点每日揽件数情况如下： 包裹件数范围 包裹件数（近似处理） 50 150 250 350 450 实际揽件数 50 150 250 300 300 频率 0.1 0.1 0.5 0.2 0.1 则代办点平均每日利润的期望值为（元， 故代办点不应将前台工作人员裁员1人 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 离散型随机变量的分布列与数字特征 高频考点概览 考点 01 求离散型随机变量的分布列 考点 02 离散型随机变量分布列的性质及其应用 考点 03 求离散型随机变量的均值 考点 04 由离散型随机变量的均值求参数 考点 05 求离散型随机变量的方差 考点 06 离散型随机变量均值与方差在决策中的应用 考点01 求离散型随机变量的分布列 1．（2024春•中山市校级期末）某种水果按照果径大小可分为四类：标准果、优质果、精品果、礼品果，某采购商从采购的一批水果中随机抽取100个，利用水果的等级分类标准得到的数据如下： 等级 标准果 优质果 精品果 礼品果 个数 10 30 40 20 （1）若将频率视为概率，从这100个水果中放回地随机抽取4个，求恰好有2个水果是礼品果的概率；（结果用分数表示） （2）用分层抽样的方法从这100个水果中抽取10个，再从抽取的10个水果中随机抽取3个，若表示抽到的精品果的数量，求的分布列． 2．（2024秋•兴宁市期末）在一次购物抽奖活动中，假设某10张奖券中有一等奖奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖．某顾客从这10张中任抽2张．求： （1）该顾客中奖的概率； （2）该顾客获得的奖品总价值（元的分布列． 3．（2024春•广州期末）现有枚游戏币，，，，游戏币，2，，是有偏向的，向上抛出后，它落下时正面朝上的概率为．甲、乙利用这枚游戏币玩游戏． （1）将，，这3枚游戏币向上抛出，记落下时正面朝上的个数为，求的分布列； （2）将这枚游戏币向上抛出，规定若落下时正面朝上的个数为奇数，则甲获胜，否则乙获胜，请判断这个游戏规则是否公平，并说明理由． 4．（2023春•湛江期末）甲乙两人进行乒乓球比赛，经过以往的比赛分析，甲乙对阵时，若甲发球，则甲得分的概率为，若乙发球，则甲得分的概率为．该局比赛甲乙依次轮换发球权（甲先发球），每人发两球后轮到对方进行发球． （1）求在前4球中，甲领先的概率； （2）12球过后，双方战平，已知继续对战奇数球后，甲率先取得11分获得胜利（获胜要求净胜2分及以上）．设净胜分为（甲，乙的得分之差），求的分布列． 5．（2023春•香洲区校级期末）甲、乙、丙三人进行乒乓球单打比赛，约定：随机选择两人打第一局，获胜者与第三人进行下一局的比赛，先获胜两局者为优胜者，比赛结束．已知每局比赛均无平局，且甲赢乙的概率为，甲赢丙的概率为，乙赢丙的概率为． （1）若甲、乙两人打第一局，求比赛局数的概率分布列； （2）求甲成为优胜者的概率； （3）为保护甲的比赛热情，由甲确定第一局的比赛双方，请你以甲成为优胜者的概率大为依据，帮助甲进行决策． 6．（2021春•天河区期末）某学校为了解学生课后进行体育运动的情况，对该校学生进行简单随机抽样，获得20名学生一周进行体育运动的时间数据如表，其中运动时间在，的学生称为运动达人． 分组区间（单位：小时） ， ， ， ， ， 人数 1 3 4 7 5 （1）从上述抽取的学生中任取2人，设为运动达人的人数，求的分布列； （2）以频率估计概率，从该校学生中任取2人，设为运动达人的人数，求的分布列． 7．（2020春•越秀区期末）在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为2000元，此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如表： 作物产量 400 500 概率 0.6 0.4 作物市场价格（元 8 10 概率 0.5 0.5 （1）设表示在这块地上种植1季此作物的利润，求的分布列； （2）若在这块地上连续4季种植此作物，求这4季中至少有2季利润不少于2000的概率． 8．（2025春•清远期末）如表所示，则（　　） 考点02 离散型随机变量分布列的性质及其应用 0 1 2 A． B． C． D． 9．（2020春•越秀区期末）若随机变量的分布列为 1 2 3 0.2 则的值为（　　） A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4 10．（2022春•珠海期末）已知某离散型随机变量的分布列为： 0 1 则（　　） A．和 B． C． D． 11．（2023春•江门期末）某运动员射击一次所得环数的分布列如表所示，则（　　） 8 9 10 0.36 0.33 A．0.69 B．0.67 C．0.66 D．0.64 12．（2022春•越秀区期末）若离散型随机变量的分布列为，，，则的值为（　　） A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4 13．（2024春•中山市期末）已知随机变量的分布列为，2，3，，则（　　） A． B． C． D． 14．（2020春•高州市期末）随机变量的分布列如表：其中，，成等差数列，则（　　） 0 1 A． B． C． D． 考点03 求离散型随机变量的均值 15．（2024春•越秀区期末）已知随机变量取所有的值1，2，3，，是等可能的，且，则（　　） A．29 B．19 C．6 D．5 16．（2024春•潮州期末）已知随机变量的分布列为： 1 2 3 4 5 0.1 0.3 0.1 0.1 则（　　） A．0.4 B．1.2 C．1.6 D．2.8 17．（2024春•广东期末）已知随机变量的分布列如下表： 1 2 3 则（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 18．（2023春•珠海期末）已知离散型随机变量的分布列如下表，则其数学期望（　　） 1 2 4 0.2 0.6 A．1 B．0.2 C．2.8 D．3 19．（2020春•广东期末）设随机变量的分布列为，2，3，，为常数，则（　　） A． B． C． D． 20．（2022春•江门期末）从一批含有13件正品，2件次品的产品中不放回地抽3次，每次抽取1件，设抽取的次品数为，则（　　） A．2 B．1 C．3 D．4 21．（2023春•潮安区校级期末）设离散型随机变量的分布列为，，，则（　　） A．2 B．1 C． D． 22．（2025秋•荔湾区校级期末）人工智能，是引领新一轮科技革命与产业变革的战略技术，其研发过程融合了算法创新与工程实践的深度智慧．某科技公司计划开发三款不同的大语言模型，，．每款模型的研发分为两个主要阶段：算法设计评审和工程部署验收．只有算法设计评审通过后，才能进入工程部署验收，两个阶段相互独立．只有同时通过这两个阶段，模型才能正式上线发布．已知，，三款模型通过算法设计评审的概率依次为，，，通过工程部署验收的概率依次为，，． （1）求，，三款中恰有一款通过算法设计评审的概率； （2）若已知，，三款中恰有一款通过算法设计评审，求通过的模型为的概率； （3）经过算法设计评审和工程部署验收两个阶段后，，，三款模型能成功上线的数量为随机变量，求的分布列及数学期望． 23．（2025秋•广州校级期末）某会员店因为商品品控出色，所以吸纳了大量会员，只有成为该会员店的会员才能在该店进行消费．根据统计数据，该店的本地会员占，外地会员占．现对该店会员开展商品质量满意度调查，已知本地会员对该店商品质量满意的概率为，外地会员对该店商品质量满意的概率为．每个会员对该店商品质量满意与否相互独立． （1）从该店所有会员中随机抽取1名会员，求其对该店商品质量满意的概率； （2）从该店所有会员中随机抽取2名会员，记这2名会员中对该店商品质量满意的人数为，求的分布列与数学期望． 24．（2025秋•梅州期末）甲同学参加一项抽奖活动，在一个盒子中，有大小形状完全相同的5个球，其中3个白球，2个红球． （1）若不放回地从盒中连续取两次球，每次取一个球，求在第一次取到红球的条件下，第二次也取到红球的概率； （2）一次随机抽取两个球，若取到的两个球颜色相同则中奖，颜色不同则不中奖，抽完奖之后把球再放回盒子里以便于再次抽奖． 求甲抽取一次，中奖的概率； 甲一共抽取了三次，中奖次数为，求的分布列及数学期望． 25．（2025秋•潮州期末）一个口袋中有3个红球，4个白球，这7个小球除颜色外均相同． （1）从中不放回地摸球，每次摸2个球，摸到的2个球中至少有1个红球则中奖，求摸2次恰好第2次中奖的概率； （2）每次同时摸2个球，并放回，摸到的2个球中至少有1个红球则中奖，连续摸4次，求中奖次数的数学期望． 26．（2024春•肇庆校级期末）某校为了解高三年级1200名学生对成语的掌握情况，举行了一次“成语测试”比赛．从中随机抽取120名学生，统计结果如下：获奖人数与不获奖人数之比为，其中获奖人数中，女生占，不获奖人数中，女生占． （1）现从这120名学生中随机抽取1名学生，求恰好是女生的概率； （2）对获奖学生采用按性别分层随机抽样的方法选取8人，参加赛后经验交流活动．若从这8人中随机选取2人． ①求在2人中有女生入选的条件下，恰好选到1名男生和1名女生的概率； ②记为入选的2人中的女生人数，求随机变量的分布列及数学期望． 27．（2025春•东莞市期末）近年来，轻食作为餐饮的一种创新形态，广受消费者青睐．某公司为了获得轻食消费者行为数据，对一地区消费者进行抽样调查．统计其中300名消费者（表中3个年龄段的人数各100人）食用轻食的频数与年龄得到如下的频数分布表． 年龄 食用频数 25岁以下 25岁到50岁， 50岁及以上 轻食低频消费者（每周次） 15 35 50 轻食中频消费者（每周次） 55 45 40 轻食高频消费者（每周次及以上） 30 20 10 （1）已知该地区25岁以下、25岁到50岁、50岁及以上三个年龄段的人数比例为，用频率估计概率，求从该地区随机抽取一人，其为高频消费者的概率． （2）从以上样本的轻食高频消费者（每周次及以上）中，采用按比例分配的分层随机抽样抽取6人，再从这6人中随机抽取3人，记这3人中年龄在25岁以下与25岁到50岁的人数分别为，，记，求的分布列与期望． 考点04 由离散型随机变量的均值求参数 28．（2023春•肇庆期末）已知随机变量的分布列如下表所示，若，则　　． 1 2 3 29．（2022春•佛山期末）某学校进行排球测试的规则是：每名学生最多发4次球，一旦发球成功，则停止发球，否则直发到4次为止．设学生一次发球成功的概率为，且，发球次数为，则的最大值为 　　；若，则的取值范围是 　　． 30．（2020春•广东期末）已知随机变量的分布列为： 1 随机变量的数学期望为，则满足的最大正整数的值是　　． （参考数据：，， 考点05 求离散型随机变量的方差 31．（2025春•广州期末）已知离散型随机变量的方差为1，则（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 32．（2025春•肇庆期末）已知离散型随机变量的分布列如表： 0 1 2 0.3 若离散型随机变量，则的方差（　　） A．0.6 B．5.4 C．1 D．3.4 33．（2023春•中山市期末）已知离散型随机变量服从两点分布，且，则随机变量的方差为 　　． 34．（2022秋•天河区校级期末）（多选）若随机变量服从两点分布，其中分别为随机变量的均值和方差，则　　 A． B． C． D． 35．（2022秋•天河区校级期末）从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量表示所选3人中女生的人数．求： （1）的分布； （2）的期望与方差． 36．（2024秋•广东校级期末）一个袋中装有5个形状大小完全相同的小球，其中红球有2个，白球有3个，一次从中摸出2个球． （1）求“红球甲”没有被摸出的概率； （2）设表示摸出的红球的个数，求的分布列、均值和方差． 37．（2024春•清远期末）在数学试卷的单项选择题中，共有8道题，每道题有4个选项，其中有且仅有一个选项正确，选对得5分，选错得0分，如果从四个选项中随机选一个，选对的概率是0.25．某同学8道单选题都不会做，只能在每道单选题的选项中随机选择一个作为答案，设他的总得分为，则的方差（　　） A．1.5 B．7.5 C．20.5 D．37.5 38．（2023春•荔湾区期末）某流水线生产一批产品，按质量标准分为一等品、二等品、三等品，共三个等级．现从该批产品中随机抽取100件，其中一等品有80件，二等品有10件，三等品有10件． （1）若根据产品等级，按分层抽样的方法从这100件产品中抽取10件，再从这10件产品中随机抽取3件，记这3件产品中一等品的数量为，求的分布列与数学期望； （2）若将100件产品中各等级的频率视为概率，从流水线上任取5件产品，记这5件产品中一等品的数量为，求的数学期望与方差． 39．（2023春•香洲区校级期末）据调查，目前对于已经近视的小学生，有两种配戴眼镜的选择，一种是佩戴传统的框架眼镜；另一种是佩戴角膜塑形镜，这种眼镜是晚上睡觉时佩戴的一种特殊的隐形眼镜（因其在一定程度上可以减缓近视的发展速度，所以越来越多的小学生家长选择角膜塑形镜控制孩子的近视发展），市从该地区小学生中随机抽取容量为100的样本，其中因近视佩戴眼镜的有24人（其中佩戴角膜塑形镜的有8人，其中2名是男生，6名是女生） （1）若从样本中选一位学生，已知这位小学生戴眼镜，那么，他戴的是角膜塑形镜的概率是多大？ （2）从这8名戴角膜塑形镜的学生中，选出3个人，求其中男生人数的期望与方差； （3）若将样本的频率当做估计总体的概率，请问，从市的小学生中，随机选出20位小学生，求佩戴角膜塑形镜的人数的期望和方差． 考点06 离散型随机变量均值与方差在决策中的应用 40．（2023春•阳江期末）新高考数学试卷中的多项选择题，给出的4个选项中有2个以上选项是正确的，每一道题考生全部选对得5分．对而不全得2分，选项中有错误得0分．设一套数学试卷的多选题中有2个选项正确的概率为，有3个选项正确的概率为，没有4个选项都正确的（在本问题中认为其概率为．在一次模拟考试中： （1）小明可以确认一道多选题的选项是错误的，从其余的三个选项中随机选择2个作为答案，若小明该题得5分的概率为，求； （2）小明可以确认另一道多选题的选项是正确的，其余的选项只能随机选择．小明有三种方案：①只选不再选择其他答案；②从另外三个选项中再随机选择1个，共选2个；③从另外三个选项中再随机选择2个，共选3个．若，以最后得分的数学期望为决策依据，小明应该选择哪个方案？ 41．（2022秋•河源期末）疫情期间某大型快餐店严格遵守禁止堂食的要求，在做好自身防护的同时，为了实现收益，也为了满足人们餐饮需求，增加打包和外卖配送服务，不仅如此，还提供了一款新套餐，丰富产品种类，该款新套餐每份成本20元，售价30元，保质期为两天，如果两天内无法售出，则过期作废，且两天内的销售情况互不影响，现统计并整理连续30天的日销量（单位：百份），得到统计数据如下表： 日销量（单位：百份） 12 13 14 15 天数 3 9 12 6 （1）记两天中销售该款新套餐的总份数为（单位：百份），求的分布列和数学期望； （2）以该款新套餐两天内获得利润较大为决策依据，在每两天备餐27百份、28百份两种方案中应选择哪种？ 42．（2019春•福田区校级期末）某种大型医疗检查机器生产商，对一次性购买2台机器的客户，推出两种超过质保期后两年内的延保维修优惠方案： 方案一：交纳延保金7000元，在延保的两年内可免费维修2次，超过2次每次收取维修费2000元； 方案二：交纳延保金10000元，在延保的两年内可免费维修4次，超过4次每次收取维修费1000元． 某医院准备一次性购买2台这种机器．现需决策在购买机器时应购买哪种延保方案，为此搜集并整理了50台这种机器超过质保期后延保两年内维修的次数，得下表： 维修次数 0 1 2 3 台数 5 10 20 15 以这50台机器维修次数的频率代替1台机器维修次数发生的概率．记表示这2台机器超过质保期后延保的两年内共需维修的次数． （Ⅰ）求的分布列； （Ⅱ）以所需延保金及维修费用的期望值为决策依据，医院选择哪种延保方案更合算？ 43．（2022春•广州期末）某网购平台为提高销售额，组织该平台的网店开展“优惠券”抽奖活动，网店只提供“10元优惠券”，每位顾客有三次抽奖机会，每次抽中的概率为；网店提供“10元优惠券”和“5元优惠券”两种优惠券，每位顾客有两次抽奖机会，每次抽奖获得“10元优惠券”，“5元优惠券”的概率分别为，． （1）若小李参与网店的“优惠券”抽奖活动，求三次抽奖至少获得一张“10元优惠券”的概率． （2）以获得优惠金额的期望值作为决策依据，网店，哪家的优惠力度更大？请说明理由． 44．（2021春•汕尾期末）汕尾市陆河县因盛产青梅，被誉为“中国青梅之乡”．该县某企业旗下的青梅产品深受广大消费者的青睐．该企业产品分正品和次品两种，每箱产品有200件，每件产品为次品的概率为0.1，且是否为次品相互独立．近期该企业举办了“青梅节”抽奖活动和促销活动． （1）“青梅节”抽奖活动，共有10张奖券，其中一等奖1张，每张价值500元；二等奖3张，每张价值100元；其余6张没有奖励、顾客从10张奖券中随机抽出2张．求顾客获奖的总价值（单位：元）的分布列； （2）“青梅节”促销活动，每箱产品交付给顾客前都要进行检验，每件产品的检验费为2元．若检验出次品，则要更换为正品（更换的产品无需再付检验费）．若因没有检验导致次品流入顾客手中，每件流入顾客手中的次品，企业要向顾客支付25元的赔偿费．现有以下两种方案，请你以检验费与赔偿费之和的期望值为决策依据，帮助企业决定应该选择哪种方案？ 方案一：从每箱200件产品中随机抽查检验20件产品； 方案二：对每箱200件产品进行逐一检验． 45．（2019春•佛山期末）随着国内电商的不断发展，快递业也进入了高速发展时期，按照国务院的发展战略布局，以及国家邮政管理总局对快递业的宏观调控，快递收取快递费的标准是：重量不超过的包裹收费10元；重量超过的包裹，在收费10元的基础上，每超过（不足，按计算）需再收5元．某县分代办点将最近承揽的100件包裹的重量统计如下： 重量（单位： ， ， ， ， ， 件数 43 30 15 8 4 对近60天，每天揽件数量统计如表： 件数范围 件数 50 150 250 350 450 天数 6 6 30 12 6 以上数据已做近似处理，将频率视为概率． （1）计算该代办点未来5天内不少于2天揽件数在之间的概率； （2）①估计该代办点对每件包裹收取的快递费的平均值； ②根据以往的经验，该代办点将快递费的三分之一作为前台工作人员的工资和公司利润，其余的用作其他费用．目前该代办点前台有工作人员3人，每人每天揽件不超过150件，日工资110元．代办点正在考虑是否将前台工作人员裁减1人，试计算裁员前后代办点每日利润的数学期望，若你是决策者，是否裁减工作人员1人？ 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $