专题03 二项式定理及其应用10大考点（期末真题汇编，广东专用）高二数学下学期人教A版

**基本信息** 专题聚焦二项式定理，覆盖10个高频考点，汇编60余道各地期末真题，梯度设计基础巩固与能力提升题，融入杨辉三角文化素材。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |填空/单选|约45题|求特定项系数（考点01）、参数（考点02）、二项式系数和（考点05）|基础题为主，直接应用二项式定理公式| |多选/解答|约15题|三项展开式系数（考点04）、系数最值（考点09）、杨辉三角（考点10）|综合题结合数学文化，如杨辉三角历史背景，体现能力梯度|

专题03 二项式定理及其应用 高频考点概览 考点 01 求二项展开式中的特定项及其系数 考点 02 求二项展开式中的参数 考点 03 求两项相乘的展开式特定项的系数 考点 04 求三项展开式特定项的系数 考点 05 求二项展开式中的二项式系数和 考点 06 求二项展开式中的各项系数和 考点 07 求奇数项或偶数项系数和 考点 08 二项式系数的最值问题 考点 09 项的系数的最值问题 考点 10 杨辉三角 考点01 求二项展开式中的特定项及其系数 1．（2023春•龙岗区校级期末）的展开式中项的系数为 　　． 2．（2022春•汕尾期末）的展开式中含项的系数是 　　． 3．（2023春•江门期末）在的展开式中，含的系数为 　　 ． 4．（2025秋•深圳期末）展开式中的常数项为 　　． 5．（2025秋•深圳期末）的展开式中的系数为　　． 6．（2025春•龙岗区校级期末）的展开式中的系数为（　　） A．6 B． C．12 D． 7．（2025春•云浮期末）在的展开式中，含的项的系数为（　　） A．84 B．42 C．21 D．7 8．（2025秋•汕头期末）的展开式的中间一项是（　　） A．20 B． C． D． 9．（2021春•天河区期末）二项式的展开式中常数项为，则含项的系数为 　　． 考点02 求二项展开式中的参数 10．（2024春•东莞市期末）若的展开式中的系数是，则实数　　． 11．（2023秋•汕头期末）的展开式中项的系数为15，则　　． 12．（2025秋•广州期末）已知的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则展开式中常数项为 　　 ． 考点03 求两项相乘的展开式特定项的系数 13．（2025春•广州期末）的展开式中的系数为（　　） A． B．14 C． D．9 14．（2025春•广州期末）的展开式中的系数为（　　） A．0 B．10 C． D．20 故选：． 15．（2023春•越秀区期末）的展开式中的系数是 　　（用数字作答）． 16．（2025春•东莞市期末）的展开式中的系数为（　　） A．495 B．375 C．135 D．15 17．（2025春•深圳期末）的展开式中的系数为（　　） A． B．5 C． D．25 18．（2025春•广州期末）的展开式中的系数是（　　） A． B． C．5 D．15 19．（2025春•深圳期末）在的展开式中，项的系数为 　　 ． 20．（2024春•阳江期末）展开式中的系数为（　　） A．17 B．20 C．75 D．100 21．（2023春•茂名期末）的展开式中含的项的系数为150，则　　． 22．（2022秋•河源期末）的展开式中含的项的系数为（　　） 考点04 求三项展开式特定项的系数 A． B．60 C． D．30 23．（2023春•揭阳期末）的展开式中的系数为（　　） A．200 B．210 C．220 D．240 24．（2023秋•梅县区校级期末）在的展开式中常数项为（　　） A．721 B． C．181 D． 25．（2025秋•番禺区校级期末）的展开式中项的系数是　　 ． 考点05 求二项展开式中的二项式系数和 26．（2023春•天河区期末）（多选）已知，则　　 A． B． C． D．展开式中所有项的二项式系数的和为 27．（2023春•越秀区校级期末）的展开式的二项式系数之和为64，则展开式中常数项为　　． 28．（2024秋•广东校级期末）已知的展开式中所有项的二项式系数之和为32，则的展开式中的系数为（　　） A． B． C．10 D．20 考点06 求二项展开式中的各项系数和 29．（2019秋•珠海期末）已知的展开式中所有项的系数和为64，则其展开式中的常数项为 　　． 30．（2025秋•宝安区校级期末）（多选）已知展开式中各项的二项式系数之和为64，则（　　） A． B．展开式中所有项的系数之和为64 C．展开式中的常数项是 D．展开式中含的项是 31．（2025春•东莞市期末）若，则（　　） A．1 B． C．129 D． 32．（2025春•潮州期末）（多选）对于的展开式，下列说法正确的是　　 A．展开式共有6项 B．展开式的各项系数之和为 C．展开式的第2项是 D．展开式的各二项式系数之和为32 33．（2023秋•龙岗区期末）（多选）关于二项式的展开式，下列结论正确的是　　 A．展开式所有项的系数和为 B．展开式二项式系数和为256 C．展开式中第5项为 D．展开式中不含常数项 34．（2024春•黄埔区校级期末）若的展开式中各项系数之和为，则展开式中的系数为（　　） A． B．945 C．2835 D． 35．（2024春•中山市校级期末）若，则的值为（　　） A． B．0 C．1 D． 36．（2024春•海珠区校级期末）若，则　　． 37．（2023秋•深圳期末）已知，则　　（用数字作答） 考点07 求奇数项或偶数项系数和 38．（2024春•肇庆期末）若，则（　　） A．4048 B． C．1 D． 39．（2025春•中山市校级期末）（多选）设，则下列结论正确的是（　　） A．首项系数为2 B．第4项系数为 C．奇数次系数和为32 D．当时，该式的和为2916 40．（2025春•南山区校级期末）（多选）若，则下列结论中正确的是　　 A． B． C． D． 41．（2025春•清远期末）（多选）已知，则下列说法正确的是　　 A． B． C． D． 42．（2025春•广东期末）（多选）已知，若，则　　 A． B． C． D． 考点08 二项式系数的最值问题 43．（2025春•广东校级期末）（多选）已知的展开式中，各项的二项式系数之和为128，则（　　） A． B．各项系数之和为 C．只有第4项的二项式系数最大 D．第二项的系数为 44．（2025春•龙岗区校级期末）在下列三个条件中任选一个合适的条件，补充在问题中的横线上，并解答． 条件①：展开式中所有偶数项的二项式系数之和等于50； 条件②：展开式中第3项的二项式系数是21； 条件③：展开式中第2项与第7项的二项式系数相等． 【选择多个条件解答，则按第一个条件计分】 问题：已知二项式，若_____，求： （1）求和展开式中二项式系数最大的项； （2）求的展开式中含的项的系数． 45．（2024春•广州期末）若二项展开式中的各项的二项式系数只有第4项最大，则展开式的常数项的值为（　　） A． B． C．1120 D．160 46．（2024春•越秀区期末）在的展开式中含项的系数为15，则展开式中二项式系数最大项是第（　　） A．4项 B．5项 C．6项 D．3项 47．（2023秋•香洲区校级期末） 　　． 考点09 项的系数的最值问题 48．（2019春•潮州期末）在的二项展开式中，若只有系数最大，则　　． 49．（2025春•广东校级期末）（多选）关于的二项展开式，下列说法正确的是　　 A．展开式在合并同类项之后共有7项 B．展开式中常数项为15 C．展开式的系数之和为1 D．展开式的最后一项的系数最大 50．（2024春•汕头期末）写出的展开式中系数最大的项：　　． 51．（2024春•中山市校级期末）已知的展开式中，第5项与第3项的二项式系数之比为． （1）求的值及展开式中的常数项； （2）求展开式中系数最大项． 52．（2023春•香洲区校级期末）已知，二项式． （1）若该二项展开式的第4项与第8项的二项式系数相等，求展开式中的系数； （2）若展开式的前三项的系数成等差数列，求展开式中系数最大的项． 53．（2022春•广州期末）（多选）在二项式的展开式中，以下说法正确的是　　 A．二项式系数最大的项是第项 B．各项系数之和为0 C．当时，展开式系数最大的项是第6项 D．展开式共有项 考点10 杨辉三角 54．（2025春•广州期末）（多选）我国南宋数学家杨辉在1261年所著的《详解九章算法》就给出了著名的杨辉三角，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的．以下关于杨辉三角的说法正确的是　　 A．第6行从左到右第4个数是20 B．第2022行的第1011个数最大 C．210在杨辉三角中共出现了6次 D．记第行的第个数为，则 55．（2025春•中山市校级期末）杨辉是我国古代数学史上一位著述丰富的数学家，著有《详解九章算法》、《日用算法》和《杨辉算法》，杨辉在1261年所著的《解答九章算法》给出了如下图1所示的表，我们称这个表为杨辉三角，图2是杨辉三角的数字表示，杨辉三角的发现要比欧洲早500年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的． 杨辉三角本身包含了很多有趣的性质，利用这些性质，可以解决很多数学问题． 性质1：杨辉三角的第行就是的展开式的二项式系数；性质2（对称性）：每行中与首末两端“等距离”之数相等，即； 性质3（递归性）：除1以外的数都等于肩上两数之和，即； 性质4：自腰上的某个1开始平行于腰的一条线上的连续个数的和等于最后一个数斜右下方的那个数，比如：，； 请回答以下问题： （1）求杨辉三角中第8行的各数之和； （2）在的展开式中，求含项的系数． 56．（2024春•广东期末）“杨辉三角”是我国数学史上的一个伟大成就，是二项式系数在三角形中的一种几何排列．如图所示，去除所有为1的项，依此构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，，则此数列的前46项和为　　． 57．（2023春•荔湾区期末）“杨辉三角”是我国数学史上的一个伟大成就，是二项式系数在三角形中的一种几何排列．如图所示，去除所有为1的项，依此构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，，则此数列的前45项的和为（　　） A．2026 B．2025 C．2024 D．2023 58．（2024春•中山市期末）在我国古代，杨辉三角（如图是解决很多数学问题的有力工具，从图1中可以归纳出等式：、类比上述结论，借助杨辉三角解决下述问题：如图2，该“刍童垛”共2021层，底层如图3，一边2023个圆球，另一边2022个圆球，向上逐层每边减少1个圆球，顶层堆6个圆球，则此“刍童垛”中圆球的总数为（　　） A． B． C． D． 59．（2023春•珠海期末）在杨辉三角中，每一个数值是它肩上面两个数值之和．这个三角形开头几行如图，若第行从左到右第12个数与第13个数的比值为2，则（　　） A．15 B．16 C．17 D．18 60．（2023春•中山市期末）杨辉三角在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中被记载，它的开头几行如图所示，它包含了很多有趣的组合数性质，如果将杨辉三角从第1行开始的每一个数都换成分数，得到的三角形称为“菜布尼茨三角形”，菜布尼茨由它得到了很多定理，甚至影响到了微积分的创立，则“莱布尼茨三角形”第8行第5个数是 　　；若，则　　（用含的代数式作答）． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 二项式定理及其应用 高频考点概览 考点 01 求二项展开式中的特定项及其系数 考点 02 求二项展开式中的参数 考点 03 求两项相乘的展开式特定项的系数 考点 04 求三项展开式特定项的系数 考点 05 求二项展开式中的二项式系数和 考点 06 求二项展开式中的各项系数和 考点 07 求奇数项或偶数项系数和 考点 08 二项式系数的最值问题 考点 09 项的系数的最值问题 考点 10 杨辉三角 ( 考点01 求二项展开式中的特定项及其系数 ) 1．（2023春•龙岗区校级期末）的展开式中项的系数为 　　． 【解答】解：通项公式，令， 可得：展开式中项的系数为． 故答案为：80． 2．（2022春•汕尾期末）的展开式中含项的系数是 　　． 【解答】解：二项式是展开式中的通项公式为， 令，得， 则展开式的第3项为， 所以的系数为60， 故答案为：60． 3．（2023春•江门期末）在的展开式中，含的系数为 　　 ． 【解答】解：展开式中含的项为， 所以的系数为5， 故答案为：5． 4．（2025秋•深圳期末）展开式中的常数项为 　　． 【解答】解：展开式的通项公式为，，1，2，，6． 令，解得，． 故答案为：240． 5．（2025秋•深圳期末）的展开式中的系数为　　． 【解答】解：的展开式的通项公式为， 令，求得，可得展开式中的系数为， 故答案为：． 6．（2025春•龙岗区校级期末）的展开式中的系数为（　　） A．6 B． C．12 D． 【解答】解：的展开式中的系数为． 故选：． 7．（2025春•云浮期末）在的展开式中，含的项的系数为（　　） A．84 B．42 C．21 D．7 【解答】解：由二项式定理可得：的展开式的通项为：， 则含的项的系数为． 故选：． 8．（2025秋•汕头期末）的展开式的中间一项是（　　） A．20 B． C． D． 【解答】解：由可得展开式共有7项，故中间一项是第4项， 即． 故选：． ( 考点02 求二项展开式中的参数 ) 9．（2021春•天河区期末）二项式的展开式中常数项为，则含项的系数为 　　． 【解答】解：二项式的展开式的通项公式为，令，求得， 可得展开式中常数项为，． 则令，求得，可得含项的系数为， 故答案为：15． 10．（2024春•东莞市期末）若的展开式中的系数是，则实数　　． 【解答】解：若的展开式的通项公式为：， 令，解得， 的展开式中的系数是， 则，解得． 故答案为：． 11．（2023秋•汕头期末）的展开式中项的系数为15，则　　． 【解答】解：展开式中含的项为， 则，解得， 故答案为：6． 12．（2025秋•广州期末）已知的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则展开式中常数项为 　　 ． 【解答】解：由的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等， 得，解得，则展开式中的常数项为． 故答案为：252． ( 考点0 3 求两项相乘的展开式特定项的系数 ) 13．（2025春•广州期末）的展开式中的系数为（　　） A． B．14 C． D．9 【解答】解：因为中展开式的通项为，，1，2，3，4， 的系数是． 故选：． 14．（2025春•广州期末）的展开式中的系数为（　　） A．0 B．10 C． D．20 【解答】解：由题意得展开式的通项公式为， 令，， 令，， 所以的系数为， 即的展开式中的系数为0． 故选：． 15．（2023春•越秀区期末）的展开式中的系数是 　　（用数字作答）． 【解答】解：展开式的通项为， 令，则，令，则， 所以的展开式中的系数是． 故答案为：． 16．（2025春•东莞市期末）的展开式中的系数为（　　） A．495 B．375 C．135 D．15 【解答】解：的展开式中的系数为． 故选：． 17．（2025春•深圳期末）的展开式中的系数为（　　） A． B．5 C． D．25 【解答】解：的展开式中含的项为， 所以的系数为， 故选：． 18．（2025春•广州期末）的展开式中的系数是（　　） A． B． C．5 D．15 【解答】解：， 的展开式的通项为， ，1，2，3，4，， 令可得的系数是， 令可得的系数是， 所以的展开式中的系数是． 故选：． 19．（2025春•深圳期末）在的展开式中，项的系数为 　　 ． 【解答】解：已知的展开式通项， 所以所求项的系数为． 故答案为：． 20．（2024春•阳江期末）展开式中的系数为（　　） A．17 B．20 C．75 D．100 【解答】解：， 故它的展开式中项的系数为． 故选：． 21．（2023春•茂名期末）的展开式中含的项的系数为150，则　　． 【解答】解：展开式的通项为：， 展开式中的系数为，． 故答案为：． ( 考点0 4 求三项展开式特定项的系数 ) 22．（2022秋•河源期末）的展开式中含的项的系数为（　　） A． B．60 C． D．30 【解答】解：由题意可知，的展开式中含的项为， 所以含的项的系数为． 故选：． 23．（2023春•揭阳期末）的展开式中的系数为（　　） A．200 B．210 C．220 D．240 【解答】解：依题意，， 而展开式中的系数为， 所以的展开式中的系数为210． 故选：． 24．（2023秋•梅县区校级期末）在的展开式中常数项为（　　） A．721 B． C．181 D． 【解答】解：的展开式的通项公式为 ， 其中的展开式的通项公式为， 当时，， ， 常数项为； 当时，， ， 常数项为； 当时，， ， 常数项为； 故常数项为． 故选：． 25．（2025秋•番禺区校级期末）的展开式中项的系数是　　 ． 【解答】解：由题意，二项式展开式中项为， 即系数为60． 故答案为：60． ( 考点0 5 求二项展开式中的二项式系数和 ) 26．（2023春•天河区期末）（多选）已知，则　　 A． B． C． D．展开式中所有项的二项式系数的和为 【解答】解：， 令，则，故正确； 的展开式的通项公式为， 令，则，故错误； 令，则， 所以，故错误； 展开式中所有项的二项式系数的和为，故正确． 故选：． 27．（2023春•越秀区校级期末）的展开式的二项式系数之和为64，则展开式中常数项为　　． 【解答】解：由二项式系数的性质，可得，解可得，； 的展开式为， 令，可得， 则展开式中常数项为． 故答案为：． 28．（2024秋•广东校级期末）已知的展开式中所有项的二项式系数之和为32，则的展开式中的系数为（　　） A． B． C．10 D．20 【解答】解：由题意，，解得， 则的通项公式为，，1，2，3，4，5， 当时，展开式中的系数为． 故选：． ( 考点0 6 求二项展开式中的各项系数和 ) 29．（2019秋•珠海期末）已知的展开式中所有项的系数和为64，则其展开式中的常数项为 　　． 【解答】解：令，则， 所以， 则的展开式的通项为， 令，解得， 即其展开式中的常数项为， 故答案为：15． 30．（2025秋•宝安区校级期末）（多选）已知展开式中各项的二项式系数之和为64，则（　　） A． B．展开式中所有项的系数之和为64 C．展开式中的常数项是 D．展开式中含的项是 【解答】解：由题意可得，解得，正确． 令，得展开式中所有项的系数和为，正确． 展开式的通项，，1，2，3，4，5，6， 令，得，则，错误． 令，得，则，正确． 故选：． 31．（2025春•东莞市期末）若，则（　　） A．1 B． C．129 D． 【解答】解：已知， 令可得， 令可得， 即． 故选：． 32．（2025春•潮州期末）（多选）对于的展开式，下列说法正确的是　　 A．展开式共有6项 B．展开式的各项系数之和为 C．展开式的第2项是 D．展开式的各二项式系数之和为32 【解答】解：可知的展开式共有6项，故选项正确； 令，则，即展开式各项系数和为，故选项正确；， ，故选项错误； 展开式的二项式系数和为，故选项正确． 故选：． 33．（2023秋•龙岗区期末）（多选）关于二项式的展开式，下列结论正确的是　　 A．展开式所有项的系数和为 B．展开式二项式系数和为256 C．展开式中第5项为 D．展开式中不含常数项 【解答】解：选项：取．得所有项的系数和为，项错误； 选项：展开式二项式系数和为，项正确； 选项：由，当时，可知第5项为，正确； 选项：由选项的结论，可知恒成立，故正确． 故选：． 34．（2024春•黄埔区校级期末）若的展开式中各项系数之和为，则展开式中的系数为（　　） A． B．945 C．2835 D． 【解答】解：令，得，得， 则的展开式的通项， 令，得，则，故展开式中的系数为． 故选：． 35．（2024春•中山市校级期末）若，则的值为（　　） A． B．0 C．1 D． 【解答】解：在中， 令可得，，即， 令，则， 所以， 故选：． 36．（2024春•海珠区校级期末）若，则　　． 【解答】解：令，可得， 令，可得， 则． 故答案为：2555． 37．（2023秋•深圳期末）已知，则　　（用数字作答） 【解答】解：将已知关系式两边求导得：， 令，可得． 故答案为：405． ( 考点0 7 求奇数项或偶数项系数和 ) 38．（2024春•肇庆期末）若，则（　　） A．4048 B． C．1 D． 【解答】解：， ． 故选：． 39．（2025春•中山市校级期末）（多选）设，则下列结论正确的是（　　） A．首项系数为2 B．第4项系数为 C．奇数次系数和为32 D．当时，该式的和为2916 【解答】解： 的展开式的通项为，，1，2，，，故，故选项错误； 又，，从而 的展开式中的系数为，故选项错误； 令，得， 令，得． 两式相减得，所以，故选项正确； 时，整个式子和为：，故选项正确． 故选：． 40．（2025春•南山区校级期末）（多选）若，则下列结论中正确的是　　 A． B． C． D． 【解答】解：对于，根据二项式定理，可知展开式中的系数为，故正确； 对于，令，可得， 令，可得，所以，可知错误； 对于，令，可得， 结合选项的结论，可得，故正确； 对于，对已知等式两边都乘以，， 两边求导数，可得， 令代入，可得， 化简得，可知正确． 故选：． 41．（2025春•清远期末）（多选）已知，则下列说法正确的是　　 A． B． C． D． 【解答】解：：令，则，故正确； ：二项式的展开式中含的项为，所以，故错误； ：令，则，所以，故正确； ：令，则，结合选项可得：，故正确． 故选：． 42．（2025春•广东期末）（多选）已知，若，则　　 A． B． C． D． 【解答】解：在中， 令，得，解得，故正确； 则， 令，得， 令，得， 可得，故正确； 由， 得，可得，故错误； 令，则， 设， 则， 令，得， 又， 所以 ，故正确． 故选：． ( 考点0 8 二项式系数的最值问题 ) 43．（2025春•广东校级期末）（多选）已知的展开式中，各项的二项式系数之和为128，则（　　） A． B．各项系数之和为 C．只有第4项的二项式系数最大 D．第二项的系数为 【解答】解：根据的展开式中，各项的二项式系数之和为128， 可得，解得，故项正确； 所以， 令，可得各项系数之和为，故项正确； 因为，所以第4项和第5项的二项式系数最大，可知不正确； 根据，可得第2项的系数为，故项正确． 故选：． 44．（2025春•龙岗区校级期末）在下列三个条件中任选一个合适的条件，补充在问题中的横线上，并解答． 条件①：展开式中所有偶数项的二项式系数之和等于50； 条件②：展开式中第3项的二项式系数是21； 条件③：展开式中第2项与第7项的二项式系数相等． 【选择多个条件解答，则按第一个条件计分】 问题：已知二项式，若_____，求： （1）求和展开式中二项式系数最大的项； （2）求的展开式中含的项的系数． 【解答】解：（1）条件①：已知展开式中所有偶数项的二项式系数之和等于50， 展开式中所有偶数项的二项式系数之和为，令，无整数解，条件一不符合题意， 条件②：展开式中第3项的二项式系数是21，即，解得； 条件③：展开式中第2项与第7项的二项式系数相等，即，解得； 当时，二项式为，二项式系数最大的项为第4项和第5项， 根据二项式展开式可知，第项为， 当时，，当时，， 所以二项式系数最大的项为第4项和第5项． （2）已知，展开式通项为， 当，即时，， 当，即时，， 所以含的项为，可得含的项的系数为． 45．（2024春•广州期末）若二项展开式中的各项的二项式系数只有第4项最大，则展开式的常数项的值为（　　） A． B． C．1120 D．160 【解答】解：因为二项展开式中的各项的二项式系数只有第4项最大，所以， 则展开式的通项为， 令，解得， 所以，即展开式中常数项为． 故选：． 46．（2024春•越秀区期末）在的展开式中含项的系数为15，则展开式中二项式系数最大项是第（　　） A．4项 B．5项 C．6项 D．3项 【解答】解：易知， 当，，则， 其展开式的通项为， 令，得， 解得，； 当，则， 其展开式的通项为， 令，得， 解得，． 综上所述：， 所以展开式共有7项，则展开式中二项式系数最大的项为第4项． 故选：． 47．（2023秋•香洲区校级期末） 　　． 【解答】解：根据的展开式，1，2，3，4，5，； 当时，． 故答案为：． ( 考点 09 项的系数的最值问题 ) 48．（2019春•潮州期末）在的二项展开式中，若只有系数最大，则　　． 【解答】解：的展开式通项为 当时，值最大 所以是展开式中最大的二项式系数 所以 故答案为10 49．（2025春•广东校级期末）（多选）关于的二项展开式，下列说法正确的是　　 A．展开式在合并同类项之后共有7项 B．展开式中常数项为15 C．展开式的系数之和为1 D．展开式的最后一项的系数最大 【解答】解：对于，由于，故展开式共有7项，正确； 对于，二项式的展开式的通项为， 令，则，故常数项为，故错误； 对于，令，则系数和为，故正确； 对于，展开式的最后一项的系数为，因此最后一项的系数并不是最大的，故错误． 故选：． 50．（2024春•汕头期末）写出的展开式中系数最大的项：　　． 【解答】解： 的展开式中系数最大的项也即是二项式系数最大的项，即． 故答案为：． 51．（2024春•中山市校级期末）已知的展开式中，第5项与第3项的二项式系数之比为． （1）求的值及展开式中的常数项； （2）求展开式中系数最大项． 【解答】解：（1）由题意，可得二项式展开式的通项为：，，1，2，，． 因为第5项与第3项的二项式系数之比为，可得，即， 解得， 所以，令，得， 所以展开式的常数项为． （2）设展开式中第项的系数最大， 则，可得，解得， 因为，所以， 所以系数最大的项为． 52．（2023春•香洲区校级期末）已知，二项式． （1）若该二项展开式的第4项与第8项的二项式系数相等，求展开式中的系数； （2）若展开式的前三项的系数成等差数列，求展开式中系数最大的项． 【解答】解：（1）二项式的第4项与第8项的二项式系数相等， 故，故； 所以的二项式展开式， 令，解得， 故展开式中的系数为． （2）二项式展开式的前三项的系数为，，， 故，解得或1（舍去）； 故， 设第项的系数最大，故，解得， 故系数的最大项为，． 53．（2022春•广州期末）（多选）在二项式的展开式中，以下说法正确的是　　 A．二项式系数最大的项是第项 B．各项系数之和为0 C．当时，展开式系数最大的项是第6项 D．展开式共有项 【解答】解：二项式的展开式中，共有项，故正确； 展开式中中间项有1项，即第项，二项式系数最大的项是第项，故错误； 令，得，各项系数和为0，故正确； 当时，，其通项公式为，，1，，10， 第6项，二项式系数最大，这一项系数为负， 根据二项式系数的性质可知展开式系数最大的项应是第5项和第7项，即最大，故错误． 故选：． ( 考点 10 杨辉三角 ) 54．（2025春•广州期末）（多选）我国南宋数学家杨辉在1261年所著的《详解九章算法》就给出了著名的杨辉三角，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的．以下关于杨辉三角的说法正确的是　　 A．第6行从左到右第4个数是20 B．第2022行的第1011个数最大 C．210在杨辉三角中共出现了6次 D．记第行的第个数为，则 【解答】解：对于选项：由题目所给的杨辉三角可知，从第1行起，第行的第个数可表示为，故第6行从左到右第4个数是，故选项正确； 对于选项：第2022行的第个数可表示为，由组合数的性质可知，最大，因此，，故第2022行的第1012个数最大，选项错误； 对于选项在杨辉三角中出现的情况有（第10行的第5个数），（第10行的第7个数），（第210行的第2个数），（第210行的第210个数），（第21行的第3个数），（第21行的第20个数），共6次，故选项正确； 对于选项：第行的第个数，因此，令，则，故选项正确． 故选：． 55．（2025春•中山市校级期末）杨辉是我国古代数学史上一位著述丰富的数学家，著有《详解九章算法》、《日用算法》和《杨辉算法》，杨辉在1261年所著的《解答九章算法》给出了如下图1所示的表，我们称这个表为杨辉三角，图2是杨辉三角的数字表示，杨辉三角的发现要比欧洲早500年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的． 杨辉三角本身包含了很多有趣的性质，利用这些性质，可以解决很多数学问题． 性质1：杨辉三角的第行就是的展开式的二项式系数；性质2（对称性）：每行中与首末两端“等距离”之数相等，即； 性质3（递归性）：除1以外的数都等于肩上两数之和，即； 性质4：自腰上的某个1开始平行于腰的一条线上的连续个数的和等于最后一个数斜右下方的那个数，比如：，； 请回答以下问题： （1）求杨辉三角中第8行的各数之和； （2）在的展开式中，求含项的系数． 【解答】解：（1）由题：第8行就是的展开式的二项式系数， 第8行的各数之和为； （2）的二项展开式的通项为， 其中的系数为，是杨辉三角第行中从左到右的第三个数， 因此，，，中含项的系数， 分别为杨辉三角中第2，3，，行中从左到右的第三个数， 首项为，且每一项均在平行于腰的一条线上，满足杨辉三角的性质4， 其系数之和为最后一个数斜右下方的那个数， 因此，在的展开式中， 则含项的系数为． 56．（2024春•广东期末）“杨辉三角”是我国数学史上的一个伟大成就，是二项式系数在三角形中的一种几何排列．如图所示，去除所有为1的项，依此构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，，则此数列的前46项和为　　． 【解答】解：次二项式系数对应杨辉三角形的第行，例如：，系数分别为1，2，1，对应杨辉三角形的第三行； 令，就可以求出该行的系数和，第1行为，第2行为，第3行为，依此类推即每一行数字和为首项为1，公比为2的等比数列， 则杨辉三角形的前项和为． 若去除所有为1的项，则剩下的每一行的个数为1，2，3，，可以看成构成一个首项为1，公差为1的等差数列，则， 可得当即第11行，再加上第12行的前1个数（去除两边的，所有项的个数和为46，则杨辉三角形的前11项和为． 则此数列前46项的和为． 故答案为：1034． 57．（2023春•荔湾区期末）“杨辉三角”是我国数学史上的一个伟大成就，是二项式系数在三角形中的一种几何排列．如图所示，去除所有为1的项，依此构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，，则此数列的前45项的和为（　　） A．2026 B．2025 C．2024 D．2023 【解答】解：由于，所以数列的前45项包含了第二行到第十行的所有除去1的数， 第行所有数的和为， 所以所求和为． 故选：． 58．（2024春•中山市期末）在我国古代，杨辉三角（如图是解决很多数学问题的有力工具，从图1中可以归纳出等式：、类比上述结论，借助杨辉三角解决下述问题：如图2，该“刍童垛”共2021层，底层如图3，一边2023个圆球，另一边2022个圆球，向上逐层每边减少1个圆球，顶层堆6个圆球，则此“刍童垛”中圆球的总数为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：由杨辉三角中观察得可得， 推广，得到， 即， 由题意，2021层“刍童垛”小球的总个数为． 故选：． 59．（2023春•珠海期末）在杨辉三角中，每一个数值是它肩上面两个数值之和．这个三角形开头几行如图，若第行从左到右第12个数与第13个数的比值为2，则（　　） A．15 B．16 C．17 D．18 【解答】解：根据题意，分析可得，在数表中，第行的第个数为， 若第行从左到右第12个数与第13个数的比值为2， 则有，即，解可得． 故选：． 60．（2023春•中山市期末）杨辉三角在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中被记载，它的开头几行如图所示，它包含了很多有趣的组合数性质，如果将杨辉三角从第1行开始的每一个数都换成分数，得到的三角形称为“菜布尼茨三角形”，菜布尼茨由它得到了很多定理，甚至影响到了微积分的创立，则“莱布尼茨三角形”第8行第5个数是 　　；若，则　　（用含的代数式作答）． 【解答】解：由题意知，将杨辉三角从第1行开始的每一个数都换成分数， 得到的三角形为“菜布尼茨三角形”，观察表中数字，题中要求第8行第5个数，所以，， 所以第8行第5个数为， 由莱布尼茨三角形的特点可知，每个数均等于其“脚下”两个数之和， ，，，，，， 将上述各式相加，得， ，． 故答案为：；． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $