专题07 与全等三角形相关的高分突破题型（高效培优期末专项训练）数学新教材沪教教版五四制七年级下册

**基本信息** 以五大核心方法为框架，通过8题/模块的期末真题构建"判定-模型-应用"的全等三角形突破体系，强化逻辑推理与几何直观。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |全等判定|8题/上海期末|SSS/SAS/ASA/AAS判定综合应用|从基础判定到多结论推理，构建全等证明逻辑链| |倍长中线|8题/上海+全国|延长中线构造全等三角形|通过中线性质实现线段转移，培养空间观念| |截长补短|8题/上海+河南|线段截取/延长转化不等关系|结合角平分线性质，强化转化思想| |一线三等角|8题/上海+黑龙江|利用等角构造全等模型|从静态到动态问题，提升几何直观能力| |手拉手模型|8题/多地区|旋转全等与模型识别|结合等边/等腰直角三角形，培养模型思想|

专题07《全等三角形》高分突破题型 知识点01：全等三角形的判定 知识点02：倍长中线 知识点03：截长补短 知识点04：一线三等角 知识点05：手拉手模型 知识点01：全等三角形的判定 1．（24-25七年级下·上海·期末）根据下列已知条件，能画出唯一的的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定以及三角形三边关系，根据相关知识逐个选项判断即可． 【详解】解：A、，不满足三角形的三边关系，本选项不符合题意． B、边边角，三角形不能唯一确定，本选项不符合题意． C、角角边，三角形唯一确定，本选项符合题意． D、一边一角无法确定三角形，本选项不符合题意， 故选：C． 2．（24-25七年级下·上海·期末）如图，在中，，的角平分线、相交于点P，过P作交的延长线于点F，交于点H．有下列结论：①；②；③；④；其中正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，根据三角形内角和以及角平分线的定义得，继而得出的度数，即可判断①；推出，根据证明即可，即可判断②；证明，得，，根据外角的性质可判断③；通过等量代换可判断④．证明三角形全等是解题的关键． 【详解】解：在中，， ∴， ∵分别平分， ∴，， ∴， ∴，故结论①正确； ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴，故结论②正确； ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴，故结论③错误； 又∵， ∴， 即，故结论④正确， ∴正确的个数是3个． 故选：C． 3．（24-25七年级下·上海·期末）如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则______． 【答案】/105度 【分析】利用“边角边”证明，根据全等三角形对应角相等可得，然后求出，再判断出，然后计算即可得解．本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的性质． 【详解】解：个边长相等的正方形的组合图形，如图， 在和中， ， ∴（）， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：． 4．（22-23七年级下·上海浦东新·期末）如图，在中，D是延长线上的一点，，过点C作且，连接并延长，分别交，于点F，G． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定定理及性质定理，平行线的性质定理，外角的性质等，熟记定理是解答此题的关键． （1）根据可得，由定理可得结论； （2）利用全等三角形的性质定理可得，由三角形的内角和定理和外角的性质可得结果． 【详解】（1）证明：， ． 在和中， ； （2）解：， ． ，， ． ． 5．（24-25七年级下·上海静安·期末）如图，已知是等边三角形，，点P从点A出发，沿射线以的速度运动，过点P作交射线于点E，同时点Q从点C出发沿的延长线以的速度运动，连接、，设点P的运动时间为． (1)当点P在边上，且不与点、重合时，求证：； (2)直接写出的长（用含t的代数式表示）； (3)在不添加字母和连接其它线段的条件下，当图中等腰三角形的个数大于3时，直接写出t的值和对应的等腰三角形的个数．（请写出所有的可能性） 【答案】(1)证明过程见解析； (2)当时，的长为；当时，的长为； (3)当时，等腰三角形有5个；当时，等腰三角形有4个． 【分析】本题考查等边三角形，等腰三角形，全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确理解图形的运动过程． （1）由等边三角形的性质和平行线的性质，可得角之间的关系和线段长度之间的关系，利用“”即可证得结论； （2）根据运动时间进行分类讨论，写出每种情况对应的线段长度即可； （3）根据题意可知，当或时，等腰三角形的个数大于3，写出对应的等腰三角形即可． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴是等边三角形，， ∴， ∴， 根据点的运动过程可知，， ∴， 在和中， ， ∴ （2）解：根据题意可知，点从点到点所需时间为， 当时，， 当时，， 答：当时，的长为；当时，的长为． （3）解：当时，如图，有5个等腰三角形：、、、、， 当时，如图，有4个等腰三角形：、、、， 答：当时，等腰三角形有5个；当时，等腰三角形有4个． 6．（24-25七年级下·上海普陀·期末）如图，已知：在中，点分别在边上，．． (1)求证：； (2)连接，如果平分，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定与性质等知识，证明是解题的关键． （1）由，得，而，所以，则，而，，即可根据“”证明，得，所以； （2）由平分，得，而，，即可根据“”证明，得，即可由，平分，根据等腰三角形的“三线合一”证明． 【详解】（1）证明： ， （三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和）， 且， ． 在和中， ． （全等三角形的对应角相等）． （等角对等边）． （2）证明：平分， ． 在和中， ． （全等三角形的对应角相等）． 又 （等腰三角形三线合一）． 7．（24-25七年级下·上海金山·期末）如图，已知：在中，点、分别在边、上，与相交于点，，． (1)求证：； (2)连接并延长交于点，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键； （1）证明得出，，根据等边对等角可得，进而得出，根据等角对等边，即可得证； （2）证明得出平分，根据三线合一的性质，即可得证． 【详解】（1）证明：∵，，， ∴ ∴， ∴ ∴，即 ∴； （2）∵，， ∴ ∴，即平分 ∴ 8．（24-25七年级下·上海金山·期末）如图，点、、、在网一条直线上，，，． (1)求证： (2)若，，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边对等角，三角形内角和定理的应用，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． （1）先根据得，进而证明； （2）由（1）得，进而根据三角形内角和定理可得，，进而根据等角对等边，即可得证． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴； （2）证明：∵，， 由（1）可知：， ∴， ∴， ∴， ∴ 知识点02 倍长中线 1．（24-25七年级下·上海普陀·期末）小普在学习了三角形相关知识后，得出如下两个结论：①三角形一边上高的长度必定小于这条边上中线的长度；②三角形一边上的中线小于另两边和的一半．对于结论①和②，下列说法正确的是(   ) A．①、②都正确 B．①、②都错误 C．①正确，②错误 D．①错误，②正确 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质以及三角形三边关系，①等腰三角形底边上高的长度等于这条边上中线的长度，②倍长中线后利用三角形全等，可得到三角形中线的2倍小于其它两边和，即其一边上的中线小于其他两边和的一半，即可． 【详解】解：①等腰三角形底边上高的长度等于这条边上中线的长度，故①不正确； ②如图，是的中线，且，延长至点，使，连接， 是的中线， ， 在和中， ， ， ， ， 即， 结论②正确； 故选：D． 2．（24-25七年级下·上海青浦·期末）把的中线延长到点E，使，连接．如果，的周长比的周长大2，那么___． 【答案】5 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，根据中线性质得，根据周长差可得，结合求出，再通过证明得出，进而可求解． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∵的周长比的周长大2， ∴， 即， ∵， ∴， 在和中， ∵，，（对顶角相等）， ∴， ∴． 故答案为：5． 3．（21-22八年级上·辽宁大连·阶段检测）如图，在中，是边上的中线，，，则的取值范围是 ____________ ． 【答案】 【分析】此题考查了三角形的三边关系以及全等三角形的判定与性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键．延长至E，使，连接，易证得，可求得的长，证得，然后由三角形三边关系，求得答案． 【详解】解：如图，延长至E，使，连接， 为边上的中线， ， 在和中， ， ， ， ∵，， ∵， ∴ ∴， 的取值范围是：． 故答案为：． 4．（24-25七年级下·上海松江·期末）如图，在中，是边上的中线，如果，求证：． 证明：延长至点，使，连接（请完成后续证明） 【答案】见解析 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，理解三角形中线的定义，大边对大角，延长至点E，使，连接，根据三角形中线定义得，进而依据判定得，，再由得，继而根据“大边对大角”得，由此即可得出结论． 【详解】解：延长至点E，使，连接，如图所示： ∵是边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 5．（24-25七年级下·全国·期末）八年级一班数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你和他们一起活动吧． 【探究与发现】    （1）如图1，是的中线，延长至点E，使，连接，写出图中全等的两个三角形______； 【理解与应用】 （2）填空：如图2，是的中线，若，，设，则x的取值范围是_________； （3）已知：如图3，是的中线，，点Q在的延长线上，，求证：． 【答案】（1）；（2）；（3）见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的三边关系，构造全等三角形是解题的关键． （1）根据全等三角形的判定证明即可； （2）参照（1）的证明过程可添加辅助线，延长至点Q，使，连接，证明，得到，再根据三角形三边关系求解即可； （3）参照（1）的证明过程可添加辅助线，延长到点M，使，连接，证明，得到 ，，再证明，得到，即可证明结论． 【详解】解：（1）是的中线， ， ，， ， 故答案为：； （2）延长至点Q，使，连接， ， 是的中线， ， ， ， ， ， ， 解得． 故答案为：．    （3）证明：如图，延长到点M，使，连接， ，   是的中线， ， ， ， ，， ， ，， ， ， 即， ， ， ， ， ， ， ， ． 6．（24-25七年级下·全国·期末）【阅读材料】中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法． 【初步探索】 （1）小明遇到这样一个问题：如图1，中，，，点D为的中点，求的取值范围．小明发现“倍长中线法”可以解决这个问题，他的做法是：延长到E，使，连接，则得到，用到的判定定理是： （用字母表示）；边上的中线的取值范围是 ． 【灵活运用】 （2）如图2，以的边为边向外作和，使，，，M是的中点，连接．求证：； 【答案】（1），；（2）见解析；【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形三边的关系，三角形内角和定理，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）由三角形中线的性质可得，再利用即可证明，从而得解； （2）延长，使得，连接，延长交于，由（1）可得：，得出，，证明，得出，再求出，即可得证； 【详解】（1）解：延长到点E，使，连接， ∵为边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：，； （2）证明：如图：延长，使得，连接， 由（1）可得：， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； 7．（24-25七年级下·全国·阶段检测）综合与实践：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：在中，，，求边上的中线的取值范围． (1)几何模型：小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）： ①延长到Q使得； ②再连接，把、、集中在中； ③利用三角形的三边关系可得，则的取值范围是________（直接写出其取值范围） 感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”等条件，可以考虑倍长中线，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中． (2)初步运用：如图2，是的中线，延长到点E，连接，使，求证：； (3)拓展提升：如图3，是的中线，，，，试探究线段与的数量关系，并给予证明． 【答案】(1) (2)见解析 (3)；理由见解析 【分析】（1）证明，得出，根据三角形三边关系得出，即，求出结果即可； （2）延长，取点F，使，连接，证明，得出，，根据等腰三角形的性质得出，即可证明结论； （3）延长，取点Q，使，连接，证明，得出，，证明，得出即可． 【详解】（1）解：∵是边上的中线， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵，即， ∴， 故答案为：； （2）解：延长，取点F，使，连接，如图所示： ∵是边上的中线， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：；理由如下： 延长，取点Q，使，连接，如图所示： ∵是的中线， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定和性质，三角形的三边关系，等腰三角形的判定和性质，作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 8．（25-26七年级下·上海·阶段测试）如图1，已知是等边三角形，点在内部，连接，，在的右侧构造等边三角形，连接． (1)求证：； (2)如图2，当，，三点共线时，求的度数； (3)如图3，在（2）的条件下，取中点，连接，，试判断与之间的数量关系并证明． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)，证明见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，找出等量条件证明三角形全等以及准确添加辅助线是解题的关键． （1）根据等边三角形的性质，求证即可； （2）由（1）中全等，得出，结合角度计算即可； （3）首先根据中点的性质，准确添加辅助线，属于倍长中线模型，即可得，结合前两问中的等量关系，证明出，故可得，即可证出． 【详解】（1）解：∵与均为等边三角形， ∴，，且， ∵，， ∴，结合，， ∴， ∴． （2）解：若，，三点共线， 则 由（1）中， ∴， ∵，， ∴． （3）解，延长至点，使得，连接，如下图所示： ∵点为中点， ∴，又∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∵为等边三角形， ∴， 由（1）中， ∴，结合，， ∴， ∴，∵， ∴． 题型03 截长补短 1．（24-25八年级上·上海·期末）如图在等腰三角形中，，动点D在线段上，动点E在线段的延长线上，线段交于点F，当时，下列等式总是成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形的外角的性质等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 作交于点H，则，，由，得，则，所以，而，，即可根据“”证明，得，，由，得，可判断A选项；可推导出可判断B选项；假设成立，则，因为D、E都是动点，所以不总是成立的，可知不总是成立的，可判断C选项；因为，，所以，可判断D选项． 【详解】解：作交于点H，则，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴，故A结论不成立． ∵，， ∴，故B结论成立． 假设成立， ∵， ∴， ∵D、E分别是线段、线段延长线上的动点， ∴不总是成立的， ∴不总是成立的，即C结论不成立； ∵，， ∴，故D结论不成立． 故选：B． 2．（24-25七年级下·上海普陀·期末）如图，在中，，、分别是、的平分线，、交于点，过点作交的延长线于点、交于点． (1)求证：； (2)、、之间有怎样的数量关系，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的定义，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键。 （1）由角平分线的定义得到，由垂线的性质可得．导角证明，则可利用证明． （2）由全等三角形的性质得到，证明，得到，再由线段的和差关系可得结论． 【详解】（1）证明：分别是的平分线， ． ， ． 又， ． 同理，． ． 在和中， ． （2）解：，理由如下： 由（1）得， ∴， 在和中， ， ． ． ， ． 3．（24-25八年级上·河南漯河·阶段检测）如图，在中，，，与的平分线，交于点． (1)求的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查角平分线的定义、三角形的外角，全等三角形的判定和性质，证明线段的和差常用“截长或补短”的方法． （1）利用三角形的内角和求出的度数，再利用角平分线得到、的大小，最后求出外角的度数； （2）在上，构造，再利用条件证明，从而得到解题． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵与的平分线，交于点 ∴,， ∵是的外角， ∴； （2）证明：在上截取，连接， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 在和中 ，     ∴ ， ∴， ∵， ∴． 4．（24-25七年级下·上海·期末）如图，和是等腰直角三角形，，，垂足为F． (1)求证：； (2)判断和的位置关系，并说明理由； (3)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 (3)见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、等角的余角相等、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、线段的和差等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质，添加辅助线构造全等三角形求解线段问题是解答的关键． （1）先根据等角的余角相等证得，再根据全等三角形的判定证明即可得出，根据邻补角的定义，即可得证； （2）根据等腰直角三角形的性质和全等三角形的性质求得，再根据直角三角形的两锐角互余求得即可得出，进而证明，即可得出结论； （3）延长到，使得，根据全等三角形的判定与性质证明，得到即可证得结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴，， ∴， 在和中， ∵， ∴； ∴， ∴； （2）解：，理由如下， ∵，， ∴， 由（1）知， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 又∵， ∴， ∴， （3）证明：延长到，使得， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴，， ∵，   ∴，，， ∴，， ∴， ∵， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 5．（24-25七年级下·上海虹口·期末）费马是17世纪的法国数学家，他曾研究过一种特殊的点，它满足“在一个三角形所在平面上，到该三角形的三个顶点距离之和最短”，这样的点被称为“该三角形的费马点”． (1)如图，中，，，点D在线段上且线段，请判断：点D是否为的费马点，并说明理由． (2)现有真命题：在中，三个内角都小于，在其内部存在一点P，满足，则点P称为的费马点． 小明利用该真命题，尝试用尺规作费马点，他的作法如下： 如图，对一个所有内角都小于的，分别以线段为边向外侧作等边三角形和等边三角形，连接交于点P．请完成证明： ①求证：； ②在线段上取点F使，连接， 求证：点P是的费马点． 【答案】(1)点D不是的费马点，理由见解析 (2)①见解析；②见解析 【分析】（1）作于点E，连接，由等腰三角形的性质可知，结合可知E、D不重合．再根据在三角形中大角对大边，即得出，即，从而得出点D不是的费马点； （2）①由等边三角形的性质易证，即得出； ②连接．由①知，，结合三角形外角的性质即得出，从而可求．易证为等边三角形，得出，，即可证，从而可证，得出，即点P是的费马点． 【详解】（1）结论：点D不是的费马点． 理由：如图，作于点E，连接， ∴． ∵， ∴E、D不重合． 在中，， ∴， ∴点E到各顶点的距离之和点D到各顶点的距离之和， ∴点D不是的费马点； （2）①证明：∵和都为等边三角形， ∴，，， ∴，即， ∴， ∴； ②证明：如图，连接． 由①知，， ∴， ∴． 又∵， ∴为等边三角形， ∴，， ∴，即， ∴， ∴． 由，得， ∴点P是的费马点． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，三角形全等的判定和性质，等边三角形的判定和性质，三角形外角的性质等知识，理解“费马点”的定义是解题关键． 6．（24-25七年级下·上海·期末）已知为等边三角形，点为的垂直平分线上一点，连接、，点、分别在、所在的直线上，连接、． (1)如图①，若，点、在边、上，，则、、之间的数量关系是_______；若，则的周长为______； (2)如图②，点在上，，求证：； (3)如图③，点在边上，点在的延长线上，在（2）的条件下，若，证明：． 【答案】(1)，2 (2)见详解 (3)见详解 【分析】（1）延长至点，使，结合等边三角形以及垂直平分线性质，证明，然后证明，进行边的等量代换，即可作答．结合的周长，且，即可作答． （2）过点作，因为为等边三角形，点为的垂直平分线上一点，得到为中位线，从而证明，； （3）设，如图：过点作，同理证明，则，故，即可作答． 【详解】（1）解：如图：延长至点，使 ∵点为的垂直平分线上一点， ∴, ∵为等边三角形， ∴ ∴ 故 ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ 则； ∵的周长，且 ∴ （2）解：如图：过点作， ∵为等边三角形，点为的垂直平分线上一点， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴； （3）解：设，如图：过点作， 同理可证 ∴ ∵ ∴ ∴ 则 【点睛】本题考查了全等三角形的综合，涉及判定三角形全等以及全等三角形的性质、四边形内角和，垂直平分线的性质，辅助线等内容，综合性强，难度大，解题的关键是正确作出辅助线证明三角形全等． 7．（24-25七年级下·上海·期末）（23-24八年级上·江西南昌·期中）综合与实践 问题提出 如图1，在中，平分，交于点D，且，则，，之间存在怎样的数量关系？并说明理由． 方法运用    （1）我们可以通过作辅助线，构造全等三角形来解题．如图2，延长至点E，使得，连接，……，请判断，，之间的数量关系并补充完整解题过程． （2）以上方法叫做“补短法”．我们还可以采用“截长法”，即通过在上截取线段构造全等三角形来解题．如图3，在线段上截取，使得①______，连接②______．请补全空格，并在图3中画出辅助线． 延伸探究 （3）小明发现“补短法”或“截长法”还可以帮助我们解决其他多边形中的问题．如图4，在五边形中，，，，若，求的度数． 【答案】（1），见解析 （2）①AC   ②DF，见解析 （3） 【分析】（1）利用证明，得出，从而证得，所以，即可得出结论； （2）根据语言描述作出图形即可； （3）延长至点G，使，连接，利用证明，得出，，从而可证得．即可利用证明，得出，即可由求解． 【详解】（1）． 理由：∵平分， ∴． 又∵，， ∴， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴． ∵， ∴． （2）①AC   ②DF． 辅助线如图1所示．    （3）如图2，延长至点G，使，连接，．    ∵，， ∴． ∵，，， ∴， ∴，． ∵， ∴． 又∵，， ∴， ∴． 又∵， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，通过作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 8．（24-25七年级下·上海·期末）已知，在四边形中，，，、分别是边、上的点，且． (1)为探究上述问题，小王同学先画出了其中一种特殊情况，即如图1，当时． 小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接． 请你在图1中添加上述辅助线，并补全下面的思路． 小明的解题思路：先证明_____；再证明了_____，即可得出，，之间的数量关系为_____． (2)请你借鉴小王的方法探究图2，当时，上述结论是否依然成立，如果成立，请证明你的结论，如果不成立，请说明理由． (3)如图3，若、分别是边、延长线上的点，其他已知条件不变，此时线段，，之间的数量关系为_____．（不用证明） 【答案】(1)图见解析，，， (2)成立，证明见解析 (3) 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是利用截长补短法，构造全等三角形． （1）根据题意，画出图形，先证明，再证明，即可得出结论； （2）延长到点，使，连接，先证明，再证明，即可得出结论； （3）在上取一点，使，先证明，再证明，即可得出结论． 【详解】（1）解：补全图形，如图： 解题思路为：先证明，再证明，即可得出之间的数量关系为； 故答案为：，，； （2）解：成立，证明如下： 延长到点，使，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，即：， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：在上取一点，使， ∵，， ∴， 又， ∴， ∴，， ∴， ∴， 又， ∴， ∴． 故答案为：． 知识点04 一线三等角 1．（24-25七年级下·上海·期末）如图所示，线段，射线于点A，点C是射线上一动点，分别以为直角边作等腰直角三角形，得与中，连接交射线于点M，则的长为________． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形： 如图作于H，由得，再证明得，即可解决问题． 【详解】解：如图作于H， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵和都是等腰三角形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 2．（24-25七年级下·上海·期末）已知：中，，点为直线上一点，过点作直线于点，过点作直线于点． （1）如图1，若，则___________； （2）当点在直线上运动时，，，则___________． 【答案】 5 16或4/4或16 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形“三垂直模型”． （1）证明，则，可得； （2）分三种情况讨论，证明，再根据线段和差求解即可． 【详解】解：（1）∵直线，直线， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）当点线段延长线上时， ∵直线，直线， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴，； 当点线段上时， ∵直线，直线， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴，； 当点线段延长线上时， ∵直线，直线， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴，， 过点作平行线，再过点作平行线的垂线，垂足为， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故点线段延长线上不成立，舍， 综上：或， 故答案为：16或4． 3．（24-25七年级下·上海·期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝40°，点D在线段BC上运动（D不与B，C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于E． （1）当∠BDE＝115°时，∠BAD＝ °，点D从B向C运动时，∠BAD逐渐变 （填“大”或“小”）； （2）当DC等于多少时，△ABD≌△DCE，请说明理由； （3）在点D的运动过程中，△ADE的形状也在改变，判断当∠BAD等于多少时，△ADE是等腰三角形． 【答案】（1），大；（2）；（3）或． 【分析】（1）利用三角形内角和计算即可求出∠BAD，由点的运动方式即可得出∠BAD逐渐变大； （2）先求出，再由，，即可得出； （3）分两种情况或讨论即可． 【详解】解：（1），∠ADE＝40°, ， ， 当点D从B向C运动时，∠BAD逐渐变大． 故答案为：，大； （2）当时，≌， 理由如下： ∵AB＝AC＝2，∠B＝40° ， ， 又=， ， 在和中， ， ； （3）当得度数为或时，是等腰三角形． 理由如下： ∵， ∴， ，， 为等腰三角形时，只能是或， 当时，， ， 当时，， ， ， 综上所述，当得度数为或时，是等腰三角形． 【点睛】此题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质等知识点，此题涉及到的知识点较多，综合性较强． 4．（24-25七年级下·上海·期末）如图①，在中，，过点在外作直线，于点，于点． (1)试说明：； (2)如图②，将（1）中条件改为，，请问（1）中的结论是否还成立？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)成立，理由见解析 【分析】（1）利用“”，可得，从而，，根据，等量代换即可说明； （2）利用“”，可得，从而，，再根据，等量代换即可． 【详解】（1）解：， ， ，， ， ， ， 在和中， ， （） ，， ， ； （2）解：成立，理由如下， ， ， ， ， ， 在和中， ， （） ，， ， ． 【点睛】注意识别题中的“一线三等角”模型和类比的数学思想． 5．（24-25七年级下·上海·期末）如图，，，垂足分别是点B、C，点E是线段上一点，且，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)4． 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，同角的余角相等． （1）利用同角的余角相等求出，，根据证即可； （2）推出，求出，把代入求出即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴. ∴； （2）解：∵， 由（1）得：， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 6．（24-25七年级下·黑龙江·期末）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】 某兴趣小组在从汉代数学家赵爽的弦图（如图1，由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图（如图2、图3），即“一线三等角”模型和“K字”模型． 【问题发现】（1）如图2，已知中，，，一直线过顶点C，过A，B分别作其垂线，垂足分别为E，F，求证：； （2）如图3，若改变直线的位置，其余条件与（1）相同，请写出，，之间的数量关系，并说明理由； 【问题提出】 （3）在（2）的条件下，若，，求的面积． 【答案】（1）见解析；（2），见解析；（3） 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的面积，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． （1）根据垂直的定义和余角的性质得到，根据全等三角形的性质推出； （2）根据余角的性质得到根据全等三角形的性质得到，，等量代换得到结论； （3）由（2）得且，得到，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】（1）证明：， ， 又，， ， ， ， 在和中， ， ∴， （2）解：，理由如下： ，， ， 又， ∴， ，， ， 即； （3）解：由（2）得且，， ∴， ∴ ， ∴，则， ∴． 7．（24-25七年级下·上海黄浦·期末）（1）观察理解：如图1，中，，，直线过点，点，在直线同侧，，，垂足分别为，，由此可得：，所以，又因为，所以，所以，又因为，所以___________；（请填写全等判定的方法） （2）理解应用：如图2，，且，，且，利用（1）中的结论，请按照图中所标的数据计算图中的面积是___________； （3）拓展提升：如图3，等边中，，点在上，且，动点在射线上，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段． ①当时，的长是___________． ②当点恰好落在射线上时，请直接写出的长． 【答案】（1）；（2）8；（3）①；② 【分析】（1）根据证明过程，不难发现其判定的依据是，解答即可． （2）利用（1）的全等三角形结论，解答即可． （3）①当时，证明是等边三角形，解答即可． ②证明解答即可． 【详解】（1）解：如图1，中，，，直线过点，点，在直线同侧，，，垂足分别为，，由此可得：，所以，又因为，所以，所以，又因为，所以（）， 故答案为：； （2）解：由（1）同理可证，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴的面积是， 故答案为：8． （3）①如图，当时， 则， ∵等边中，，且， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 故答案为：． ②如图所示，当点恰好落在射线上时， ∵等边中，，且， ∴，，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，平行线的性质，三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 8．（24-25七年级下·上海·期末）（1）课本习题回放：“如图①，，，，，垂足分别为，，，．求的长”，请直接写出此题答案：的长为________． （2）探索证明：如图②，点，在的边、上，，点，在内部的射线上，且．求证：． （3）拓展应用：如图③，在中，，．点在边上，，点、在线段上，．若的面积为15，则与的面积之和为________．（直接填写结果，不需要写解答过程） 【答案】（1）0.8cm；（2）见解析（3）5 【分析】（1）利用AAS定理证明△CEB≌△ADC，根据全等三角形的性质解答即可； （2）由条件可得∠BEA＝∠AFC，∠4＝∠ABE，根据AAS可证明△ABE≌△CAF； （3）先证明△ABE≌△CAF，得到与的面积之和为△ABD的面积，再根据故可求解． 【详解】解：（1）∵BE⊥CE，AD⊥CE， ∴∠E＝∠ADC＝90°， ∴∠EBC＋∠BCE＝90°． ∵∠BCE＋∠ACD＝90°， ∴∠EBC＝∠DCA． 在△CEB和△ADC中， ∴△CEB≌△ADC（AAS）， ∴BE＝DC，CE＝AD＝2.5cm． ∵DC＝CE−DE，DE＝1.7cm， ∴DC＝2.5−1.7＝0.8cm， ∴BE＝0.8cm 故答案为：0.8cm； （2）证明：∵∠1＝∠2， ∴∠BEA＝∠AFC． ∵∠1＝∠ABE＋∠3，∠3＋∠4＝∠BAC，∠1＝∠BAC， ∴∠BAC＝∠ABE＋∠3， ∴∠4＝∠ABE． ∵∠AEB＝∠AFC，∠ABE＝∠4，AB＝AC， ∴△ABE≌△CAF（AAS）． （3）∵ ∴∠ABE+∠BAE=∠FAC+∠BAE=∠FAC+∠ACF ∴∠ABE=∠CAF，∠BAE=∠ACF 又 ∴△ABE≌△CAF， ∴ ∴与的面积之和等于与的面积之和，即为△ABD的面积， ∵，△ABD与△ACD的高相同 则=5 故与的面积之和为5 故答案为：5． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 知识点05 手拉手模型 1．（24-25七年级下·上海·期末）如图，C为线段上一动点（不与点A，E重合），在同侧分别作等边和等边，与交于点O，与交于点P，与交于点Q，连接．以下结论不正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过证明，得到可判断A正确，通过证明，得到，可判断B错误；证明，得到，故判定结论C正确；利用可判断D正确． 【详解】解：由于和是等边三角形， 可知，，， ∴，， ∴， ∴，， 可判断A正确； ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，可判断B错误； ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，故结论C正确； ∵可判断D正确． 故选： B． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形外角的定义和性质，平角的定义等知识点．熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 2．（24-25七年级下·上海宝山·期末）如图，和是等边三角形且，则_______°． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，三角形内角和定理，等边三角形的性质的应用，能求出是解此题的关键，难度适中．根据等边三角形性质得出求出，证，根据全等三角形的性质得出，求出，根据三角形内角和定理求出即可 【详解】解：和都是等边三角形， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ∴， ． 故答案为：． 3．（24-25七年级下·上海闵行·期末）已知：如图，点D在线段上，，，平分．求证： (1)是等腰三角形． (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，熟知全等三角形的性质与判定定理，等腰三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）由等边对等角和角平分线的定义可证明，再证明，即可证明，得到，据此可证明结论； （2）根据三角形内角和定理和可推出，再由平角的定义可得，则，据此可证明结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴． 4．（24-25七年级下·上海崇明·期末）如图，与的顶点重合，，，，连接、，将绕点旋转． (1)如图，和的关系为___________． (2)如图，将绕点转动至如图所示示位置时，探究（）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程：若不成立，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)结论仍然成立，理由见解析． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，掌握知识点的应用是解题的关键． （）利用证明可得，，延长交于， 由，即可得出，进而得出结论； （）与 （）同理可证明结论成立． 【详解】（1）解：∵和是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴，， 延长交于，如图， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：，； （2）解：结论仍然成立，理由如下： 如图，设相交于， ∵和是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 5．（24-25七年级下·上海·期末）如图，和是等腰直角三角形，，，垂足为F． (1)求证：； (2)判断和的位置关系，并说明理由； (3)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 (3)见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、等角的余角相等、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、线段的和差等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质，添加辅助线构造全等三角形求解线段问题是解答的关键． （1）先根据等角的余角相等证得，再根据全等三角形的判定证明即可得出，根据邻补角的定义，即可得证； （2）根据等腰直角三角形的性质和全等三角形的性质求得，再根据直角三角形的两锐角互余求得即可得出，进而证明，即可得出结论； （3）延长到，使得，根据全等三角形的判定与性质证明，得到即可证得结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴，， ∴， 在和中， ∵， ∴； ∴， ∴； （2）解：，理由如下， ∵，， ∴， 由（1）知， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 又∵， ∴， ∴， （3）证明：延长到，使得， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴，， ∵，   ∴，，， ∴，， ∴， ∵， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 6．（24-25七年级下·上海长宁·期末）如图，已知在中，射线 点P为射线上的动点（点P不与点A重合），连接，将线段绕点B顺时针旋转角度α后，得到线段，连接、． (1)与全等吗？ 试说明理由； (2)延长交射线于点D，在点P的移动过程中，的大小是否发生变化？若改变请说明理由，若不改变，请求出的大小（用含α的代数式表示）； (3)当时，过点Q作垂直射线，垂足为E，那么 ________（用m、 n的代数式表示） ． 【答案】(1)，理由见解析 (2)大小不改变， (3) 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、三角形外角定理，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定定理． （1）先证明，再根据两条边相等，即可证得两个三角形全等； （2）先证明，得到，，，根据，推出，再利用三角形内角和定理求出，结合，推出，利用三角形外角的性质即可解答； （3）证明，得到，，再根据，，即可得到和，根据三角形面积公式进行计算即可． 【详解】（1）解：，理由如下： 根据旋转的性质得到，， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：如下图所示，连接， ∵， ∴, ∴， ∵， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴大小不改变，且； （3）解：如下图所示， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 由（1）知， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， 故答案为：． 7．（24-25七年级下·上海宝山·期末）已知，分别以、为边作和，且，，，连接与，、分别是与的中点． (1)如图，若，则______； (2)如图，若，则______； (3)如图，若，试探究与的数量关系，并给予证明． 【答案】(1)； (2)； (3)，证明见解析． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）连接，证明≌，可得，，，根据、分别是与的中点，可得，即可证明，可得，，即可求得，即可解题． （）根据（）中结论即可求得的值，即可解题； （）根据（）中结论即可求得的值，即可解题． 【详解】（1）解：连接， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵、分别是与的中点， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）解：同（1）可证，， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （3）解：同（1）可证，， ∵， ∴， ∵， ∴． 8．（24-25七年级下·上海金山·期末）设平面上的三个点A、B、C．需确定点P的位置，使最小．当点A、B、C共线时，点P应取三点中居中的点．当点A、B、C不共线时，分成两类；有一个内角大于或等于和的三个内角均小于．约1640年，法国数学家费马（PierredeFermat，1601﹣1665）提出了这个问题，此问题中求得的点P也称为费马点，并由意大利数学家托里拆利首次证明． 下面来探究当点A、B、C不共线时的情况： (1)如图1，已知：在中，时，　　　为所求费马点． (2)如图2，已知：在中，最大角时，我们可以快速找到这类三角形的费马点，作法如下：分别以的边为边向外作等边三角形和等边三角形，此时和交于一点P，点P就是所求的费马点． ①请找出图中与相等的线段，并说明理由； ②为了验证作图中找到的点P就是费马点，连接，求证：． 【答案】(1)A (2)①，理由见解析；②见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． （1）将绕点C顺时针旋转得到，得到，根据等边三角形的性质得到，推出点B，A，三点共线，于是得到结论； （2）①根据等边三角形的性质得到，根据全等三角形的性质得到； ②设与交于G，根据全等三角形的性质得到，求得，在上截取，得到是等边三角形，根据全等三角形的性质得到，于是得到． 【详解】（1）解：将绕点C顺时针旋转得到，连接 ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴点三点共线， ∴最短， ∴点A为所求费马点； 故答案为：A； （2）①解：， 理由：∵与是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴； ②证明：设与交于G， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在上截取， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 《全等三角形》高分突破题型 知识点01：全等三角形的判定 知识点02：倍长中线 知识点03：截长补短 知识点04：一线三等角 知识点05：手拉手模型 知识点01：全等三角形的判定 1．（24-25七年级下·上海·期末）根据下列已知条件，能画出唯一的的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·上海·期末）如图，在中，，的角平分线、相交于点P，过P作交的延长线于点F，交于点H．有下列结论：①；②；③；④；其中正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（24-25七年级下·上海·期末）如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则______． 4．（22-23七年级下·上海浦东新·期末）如图，在中，D是延长线上的一点，，过点C作且，连接并延长，分别交，于点F，G． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 5．（24-25七年级下·上海静安·期末）如图，已知是等边三角形，，点P从点A出发，沿射线以的速度运动，过点P作交射线于点E，同时点Q从点C出发沿的延长线以的速度运动，连接、，设点P的运动时间为． (1)当点P在边上，且不与点、重合时，求证：； (2)直接写出的长（用含t的代数式表示）； (3)在不添加字母和连接其它线段的条件下，当图中等腰三角形的个数大于3时，直接写出t的值和对应的等腰三角形的个数．（请写出所有的可能性） 6．（24-25七年级下·上海普陀·期末）如图，已知：在中，点分别在边上，．． (1)求证：； (2)连接，如果平分，求证：． 7．（24-25七年级下·上海金山·期末）如图，已知：在中，点、分别在边、上，与相交于点，，． (1)求证：； (2)连接并延长交于点，求证：． 8．（24-25七年级下·上海金山·期末）如图，点、、、在网一条直线上，，，． (1)求证： (2)若，，求证：． 知识点02 倍长中线 1．（24-25七年级下·上海普陀·期末）小普在学习了三角形相关知识后，得出如下两个结论：①三角形一边上高的长度必定小于这条边上中线的长度；②三角形一边上的中线小于另两边和的一半．对于结论①和②，下列说法正确的是(   ) A．①、②都正确 B．①、②都错误 C．①正确，②错误 D．①错误，②正确 2．（24-25七年级下·上海青浦·期末）把的中线延长到点E，使，连接．如果，的周长比的周长大2，那么___． 3．（21-22八年级上·辽宁大连·阶段检测）如图，在中，是边上的中线，，，则的取值范围是 ____________ ． 4．（24-25七年级下·上海松江·期末）如图，在中，是边上的中线，如果，求证：． 证明：延长至点，使，连接（请完成后续证明） 5．（24-25七年级下·全国·期末）八年级一班数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你和他们一起活动吧． 【探究与发现】    （1）如图1，是的中线，延长至点E，使，连接，写出图中全等的两个三角形______； 【理解与应用】 （2）填空：如图2，是的中线，若，，设，则x的取值范围是_________； （3）已知：如图3，是的中线，，点Q在的延长线上，，求证：． 6．（24-25七年级下·全国·期末） 【阅读材料】中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法． 【初步探索】 （1）小明遇到这样一个问题：如图1，中，，，点D为的中点，求的取值范围．小明发现“倍长中线法”可以解决这个问题，他的做法是：延长到E，使，连接，则得到，用到的判定定理是： （用字母表示）；边上的中线的取值范围是 ． 【灵活运用】 （2）如图2，以的边为边向外作和，使，，，M是的中点，连接．求证：； 7．（24-25七年级下·全国·阶段检测） 综合与实践：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：在中，，，求边上的中线的取值范围． (1)几何模型：小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）： ①延长到Q使得； ②再连接，把、、集中在中； ③利用三角形的三边关系可得，则的取值范围是________（直接写出其取值范围） 感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”等条件，可以考虑倍长中线，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中． (2)初步运用：如图2，是的中线，延长到点E，连接，使，求证：； (3)拓展提升：如图3，是的中线，，，，试探究线段与的数量关系，并给予证明． 8．（25-26七年级下·上海·阶段测试） 如图1，已知是等边三角形，点在内部，连接，，在的右侧构造等边三角形，连接． (1)求证：； (2)如图2，当，，三点共线时，求的度数； (3)如图3，在（2）的条件下，取中点，连接，，试判断与之间的数量关系并证明． 题型03 截长补短 1．（24-25八年级上·上海·期末）如图在等腰三角形中，，动点D在线段上，动点E在线段的延长线上，线段交于点F，当时，下列等式总是成立的是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·上海普陀·期末）如图，在中，，、分别是、的平分线，、交于点，过点作交的延长线于点、交于点． (1)求证：； (2)、、之间有怎样的数量关系，请说明理由． 3．（24-25八年级上·河南漯河·阶段检测）如图，在中，，，与的平分线，交于点． (1)求的度数； (2)求证：． 4．（24-25七年级下·上海·期末）如图，和是等腰直角三角形，，，垂足为F． (1)求证：； (2)判断和的位置关系，并说明理由； (3)求证：． 5．（24-25七年级下·上海虹口·期末）费马是17世纪的法国数学家，他曾研究过一种特殊的点，它满足“在一个三角形所在平面上，到该三角形的三个顶点距离之和最短”，这样的点被称为“该三角形的费马点”． (1)如图，中，，，点D在线段上且线段，请判断：点D是否为的费马点，并说明理由． (2)现有真命题：在中，三个内角都小于，在其内部存在一点P，满足，则点P称为的费马点． 小明利用该真命题，尝试用尺规作费马点，他的作法如下： 如图，对一个所有内角都小于的，分别以线段为边向外侧作等边三角形和等边三角形，连接交于点P．请完成证明： ①求证：； ②在线段上取点F使，连接， 求证：点P是的费马点． 6．（24-25七年级下·上海·期末）已知为等边三角形，点为的垂直平分线上一点，连接、，点、分别在、所在的直线上，连接、． (1)如图①，若，点、在边、上，，则、、之间的数量关系是_______；若，则的周长为______； (2)如图②，点在上，，求证：； (3)如图③，点在边上，点在的延长线上，在（2）的条件下，若，证明：． 7．（24-25七年级下·上海·期末）（23-24八年级上·江西南昌·期中）综合与实践 问题提出 如图1，在中，平分，交于点D，且，则，，之间存在怎样的数量关系？并说明理由． 方法运用    （1）我们可以通过作辅助线，构造全等三角形来解题．如图2，延长至点E，使得，连接，……，请判断，，之间的数量关系并补充完整解题过程． （2）以上方法叫做“补短法”．我们还可以采用“截长法”，即通过在上截取线段构造全等三角形来解题．如图3，在线段上截取，使得①______，连接②______．请补全空格，并在图3中画出辅助线． 延伸探究 （3）小明发现“补短法”或“截长法”还可以帮助我们解决其他多边形中的问题．如图4，在五边形中，，，，若，求的度数． 8．（24-25七年级下·上海·期末）已知，在四边形中，，，、分别是边、上的点，且． (1)为探究上述问题，小王同学先画出了其中一种特殊情况，即如图1，当时． 小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接． 请你在图1中添加上述辅助线，并补全下面的思路． 小明的解题思路：先证明_____；再证明了_____，即可得出，，之间的数量关系为_____． (2)请你借鉴小王的方法探究图2，当时，上述结论是否依然成立，如果成立，请证明你的结论，如果不成立，请说明理由． (3)如图3，若、分别是边、延长线上的点，其他已知条件不变，此时线段，，之间的数量关系为_____．（不用证明） 知识点04 一线三等角 1．（24-25七年级下·上海·期末）如图所示，线段，射线于点A，点C是射线上一动点，分别以为直角边作等腰直角三角形，得与中，连接交射线于点M，则的长为________． 2．（24-25七年级下·上海·期末）已知：中，，点为直线上一点，过点作直线于点，过点作直线于点． （1）如图1，若，则___________； （2）当点在直线上运动时，，，则___________． 3．（24-25七年级下·上海·期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝40°，点D在线段BC上运动（D不与B，C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于E． （1）当∠BDE＝115°时，∠BAD＝ °，点D从B向C运动时，∠BAD逐渐变 （填“大”或“小”）； （2）当DC等于多少时，△ABD≌△DCE，请说明理由； （3）在点D的运动过程中，△ADE的形状也在改变，判断当∠BAD等于多少时，△ADE是等腰三角形． 4．（24-25七年级下·上海·期末）如图①，在中，，过点在外作直线，于点，于点． (1)试说明：； (2)如图②，将（1）中条件改为，，请问（1）中的结论是否还成立？请说明理由． 5．（24-25七年级下·上海·期末）如图，，，垂足分别是点B、C，点E是线段上一点，且，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 6．（24-25七年级下·黑龙江·期末）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】 某兴趣小组在从汉代数学家赵爽的弦图（如图1，由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图（如图2、图3），即“一线三等角”模型和“K字”模型． 【问题发现】（1）如图2，已知中，，，一直线过顶点C，过A，B分别作其垂线，垂足分别为E，F，求证：； （2）如图3，若改变直线的位置，其余条件与（1）相同，请写出，，之间的数量关系，并说明理由； 【问题提出】 （3）在（2）的条件下，若，，求的面积． 7．（24-25七年级下·上海黄浦·期末）（1）观察理解：如图1，中，，，直线过点，点，在直线同侧，，，垂足分别为，，由此可得：，所以，又因为，所以，所以，又因为，所以___________；（请填写全等判定的方法） （2）理解应用：如图2，，且，，且，利用（1）中的结论，请按照图中所标的数据计算图中的面积是___________； （3）拓展提升：如图3，等边中，，点在上，且，动点在射线上，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段． ①当时，的长是___________． ②当点恰好落在射线上时，请直接写出的长． 8．（24-25七年级下·上海·期末）（1）课本习题回放：“如图①，，，，，垂足分别为，，，．求的长”，请直接写出此题答案：的长为________． （2）探索证明：如图②，点，在的边、上，，点，在内部的射线上，且．求证：． （3）拓展应用：如图③，在中，，．点在边上，，点、在线段上，．若的面积为15，则与的面积之和为________．（直接填写结果，不需要写解答过程） 知识点05 手拉手模型 1．如图，C为线段上一动点（不与点A，E重合），在同侧分别作等边和等边，与交于点O，与交于点P，与交于点Q，连接．以下结论不正确的是（    ）    A． B． C． D． 2．如图，和是等边三角形且，则_______°． 3．已知：如图，点D在线段上，，，平分．求证： (1)是等腰三角形． (2)． 4．如图，与的顶点重合，，，，连接、，将绕点旋转． (1)如图，和的关系为___________． (2)如图，将绕点转动至如图所示示位置时，探究（）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程：若不成立，请说明理由． 5．如图，和是等腰直角三角形，，，垂足为F． (1)求证：； (2)判断和的位置关系，并说明理由； (3)求证：． 6．如图，已知在中，射线 点P为射线上的动点（点P不与点A重合），连接，将线段绕点B顺时针旋转角度α后，得到线段，连接、． (1)与全等吗？ 试说明理由； (2)延长交射线于点D，在点P的移动过程中，的大小是否发生变化？若改变请说明理由，若不改变，请求出的大小（用含α的代数式表示）； (3)当时，过点Q作垂直射线，垂足为E，那么 ________（用m、 n的代数式表示） ． 7．已知，分别以、为边作和，且，，，连接与，、分别是与的中点． (1)如图，若，则______； (2)如图，若，则______； (3)如图，若，试探究与的数量关系，并给予证明． 8．设平面上的三个点A、B、C．需确定点P的位置，使最小．当点A、B、C共线时，点P应取三点中居中的点．当点A、B、C不共线时，分成两类；有一个内角大于或等于和的三个内角均小于．约1640年，法国数学家费马（PierredeFermat，1601﹣1665）提出了这个问题，此问题中求得的点P也称为费马点，并由意大利数学家托里拆利首次证明． 下面来探究当点A、B、C不共线时的情况： (1)如图1，已知：在中，时，　　　为所求费马点． (2)如图2，已知：在中，最大角时，我们可以快速找到这类三角形的费马点，作法如下：分别以的边为边向外作等边三角形和等边三角形，此时和交于一点P，点P就是所求的费马点． ①请找出图中与相等的线段，并说明理由； ②为了验证作图中找到的点P就是费马点，连接，求证：． 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $