专题02 两个计数原理和排列组合9大考点（期末真题汇编，广东专用）高二数学下学期人教A版

**基本信息** 聚焦两个计数原理与排列组合，精选广东各地期末真题，覆盖9大高频考点，注重文化传承与现实应用情境。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择/填空|53道|两个计数原理、数字排列、涂色问题、排列组合计算、有限制排列、相邻/不相邻排列、组合问题、分组分配|赵爽弦图涂色（文化传承）、暴雨排水施工队分配（现实应用）、六艺讲座排序（传统融合）|

专题02 两个计数原理和排列组合 高频考点概览 考点 01 两个计数原理 考点 02 数字排列问题 考点 03 涂色问题 考点 04 排列数和组合数的计算 考点 05 部分位置元素有限制的排列问题 考点 06 部分元素相邻的排列问题 考点 07 部分元素不相邻的排列问题 考点 08 简单的组合问题 考点 09 分组分配问题 ( 考点01 两个计数原理 ) 1．（2025春•清远期末）如图，要让电路从处到处只有一条支路接通，则不同的路径有（　　） A．5种 B．6种 C．7种 D．9种 【解答】解：由题意，电路从处到处只有一条支路接通，则不同的路径有种． 故选：． 2．（2025春•广东期末）如图所示是一段灌溉用的水渠，上游和下游之间建有，，，，五个水闸，若上游有充足水源但下游没有水，则这五个水闸打开或关闭的情况有　　 A．7种 B．15种 C．23种 D．26种 【解答】解：每个水闸有打开或关闭两种情况，五个水闸的打开或关闭不同结果有种， 水闸打开，水闸，至少打开一个，水闸，至少打开一个，下游有水， 水闸，至少打开一个有种，水闸，至少打开一个种， 由分步乘法计数原理得下游有水的不同结果有种， 所以所求五个水闸打开或关闭的情况有种． 故选：． 3．（2024春•越秀区期末）学校食堂的一个窗口共卖5种菜，甲、乙、丙3名同学每人从中选一种，不同的选法种数为（　　） A．10 B．15 C．60 D．125 【解答】解：由题意可分三步：甲同学有5种选法，乙同学有5种选法，丙同学有5种选法，共种． 故选：． 4．（2021春•云浮期末）三个班分别从六个风景点中选择一处游览，不同选法的种数是（　　） A．729 B．18 C．216 D．81 【解答】解：每个班级都有6种选法，由分步乘法计数原理，得不同选法的种数是． 故选：． ( 考点02 数字排列问题 ) 5．（2019春•广东期末）用数字0，1，2，3，4组成没有重复数字且大于3000的四位数，这样的四位数有（　　） A．250个 B．249个 C．48个 D．24个 【解答】解：①当千位数字为3时，由数字0，1，2，3，4组成没有重复数字的四位数有个， ②当千位数字为4时，由数字0，1，2，3，4组成没有重复数字的四位数有个， 综合①②得： 用数字0，1，2，3，4组成没有重复数字且大于3000的四位数，这样的四位数有个， 故选：． 6．（2022春•荔湾区期末）由0，1，2，3，4组成没有重复数字的三位数的个数是 　　． 【解答】解：由0，1，2，3，4组成没有重复数字的三位数， 则共有个， 故答案为：48． 7．（2016春•江门期末）用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位数的个数是（　　） A．720 B．648 C． D． 【解答】解：间接法：在0到9这10个数字中，任取3个数字，按从左到右的顺序排列，有种排法， 其中不能组成三位数的即第一个数字为0的有种排法； 故可以组成没有重复数字的三位数一共有个； 直接法：选一个数字为百位数字，十位和个位任意排，故有种， 故选：． 8．（2025春•福田区校级期末）将分别写有2，0，2，6的四张卡片，按一定次序排成一行组成一个四位数（首位不为，则组成的不同四位数的个数有 　　 ．（用数字作答） 【解答】解：依题意，排数字0有种方法，排数字2有种方法，排数字6有1种方法， 组成的不同四位数的个数是． 故答案为：9． 9．（2024春•海珠区校级期末）若一个四位数的各个数位上的数字之和为3，则这样的四位数个数为（　　） A．10 B．12 C．15 D．20 【解答】解：根据题意，数字之和为3有：0，1，1，1或0，0，1，2或0，0，0，3， 若0，1，1，1，这样的四位数共有个； 若0，0，1，2，这样的四位数共有个； 若0，0，0，3，这样的四位数共有1个； 综上所述：共有个． 故选：． 10．（2024春•广州期末）2025有　　个不同的正因数． A．8 B．10 C．12 D．15 【解答】解：， 故2025有个不同的正因数． 故选：． 11．（2022秋•天河区校级期末）从0，1，2，3，4，5这6个数中任选2个偶数和1个奇数，组成没有重复数字的三位数的个数为（　　） A．36 B．42 C．45 D．54 【解答】解：当任选2个偶数中含有0时，0可以放在个位或十位，共2种情况， 再从3个奇数中选一个，2个偶数中选一个，放在剩余的数位上，共种选择， 此时共种情况， 当任选2个偶数中不含有0时，从3个奇数中选一个，并和2，4进行全排列，共种情况， 综上，组成没有重复数字的三位数个数为． 故选：． 12．（2023春•梅州期末）用0到6这7个数字，可以组成没有重复数字的且被5整除的四位数的个数为（　　） A．200 B．210 C．220 D．240 【解答】解：若四位数被5整除，则末位为0或5， 若末位为0，有； 若末位为5，首位从1，2，3，4，6中选一个，有种方法，中间两位有种方法， 则由分步乘法计数原理得， 故共有220个． 故选：． 13．（2023春•荔湾区期末）从2，4，6，8中任取3个数字，从1，3，5中任取2个数字，则一共可以组成五位数（没有重复数字）的个数是（　　） A．720 B．1200 C．1440 D．1728 【解答】解：2，4，6，8中任取3个数字有种，从1，3，5中任取2个数字有， 则共组成五位数的个数为个． 故选：． ( 考点0 3 涂色问题 ) 14．（2024春•清远期末）现要对三棱柱的6个顶点进行涂色，有4种颜色可供选择，要求同一条棱的两个顶点颜色不一样，则不同的涂色方案有（　　） A．264种 B．216种 C．192种 D．144种 【解答】解：根据题意，设该三棱柱为，4种颜色分别为、、、； 由三棱柱的特点可知、、颜色互不相同，、、颜色也互不相同；与、与、与颜色不同； 先为、、涂颜色有涂法种，比如选择、、三个颜色． 对于、、的涂法可分为两种情况： ①是选颜色，再选择两个颜色有种，颜色涂一个点后另两个颜色涂法就确定了，故共有涂色方法种； ②是没选颜色，易知涂色方法有2种． 于是共有涂色方法种． 故选：． 15．（2023春•广州期末）如图，湖北省分别与湖南、安徽、陕西、江西四省交界，且湘、皖、陕互不交界，在地图上分别给各省地域涂色，要求相邻省涂不同色，现有5种不同颜色可供选用，则不同的涂色方案数为　　 A．480 B．600 C．720 D．840 【解答】解：由题意知本题是一个分步计数问题， 首先涂一个陕西，有5种结果，再涂湖北省，有4种结果， 第二步涂安徽，分类若安徽与陕西同色，此时江西有三种，再涂湖南有三种，即， 若安徽与陕西不同，则安徽有三种涂法，江西，湖南也各有三种涂法，即， 共有． 故选：． 16．（2020春•珠海期末）汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝．如图所示的弦图中，由四个全等的直角三角形和一个正方形构成．现有五种不同的颜色可供涂色，要求相邻的区域不能用同一种颜色，则不同的涂色方案有　　 A．180 B．192 C．480 D．420 【解答】解：根据题意，如图，假设5个区域依次为①②③④⑤， 分2步进行分析： 首先：对于区域①②③，三个区域两两相邻，有种情况， 再者：对于区域④⑤，若④与②的颜色相同，则⑤有3种情况， 若④与②的颜色不同，则④有2种情况，⑤有2种情况，此时区域④⑤的情况有种， 则区域④⑤有种情况， 则一共有种涂色方案； 故选：． 17．（2022秋•江海区校级期末）如图，从左到右共有5个空格． （1）向5个空格中分别放入0，1，2，3，4这5个数字，一共可组成多少个不同的五位数的奇数？ （2）用红、黄、蓝这3种颜色给5个空格涂色，要求相邻空格用不同的颜色涂色，一共有多少种涂色方案？ 【解答】解：（1）由题意，选一个奇数放在个位有2种放法，从余下的数中选一个数放在万位有3种放法，再放余下的第二、三、四位，共有种， 根据分步乘法原理，这样的五位数的奇数共有（个． （2）从左数第1个格子有3种涂色方案，则剩下的每个格子均有2种涂色方案，故涂色方案共有（种． 18．（2020春•天津期末）如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色．要求最多使用3种颜色且相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有 　　 种（用数字作答）． 【解答】解：用2色涂格子有种方法， 用3色涂格子，第一步选色有，第二步涂色，从左至右，第一空3种，第二空2种， 第三空分两种情况，一是与第一空相同，一是不相同，共有种， 所以涂色方法种方法， 故总共有390种方法． 故答案为：390 ( 考点0 4 排列数和组合数的计算 ) 19．（2025春•广州期末）计算： 　　 ． 【解答】解：由题意，． 故答案为：48． 20．（2024春•中山市期末）若，则的值为（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 【解答】解：由，得， ， 解得． 故选：． 21．（2022春•珠海期末）计算　　． 【解答】解：． 故答案为：． 22．（2025春•新会区校级期末）计算的值是（　　） A．41 B．61 C．62 D．82 【解答】解：． 故选：． 23．（2025春•肇庆期末）若，则（　　） A．8 B．7 C．6 D．9 【解答】解：由可得：且，， 则，所以． 故选：． ( 考点0 5 部分位置的元素有限制的排列问题 ) 24．（2025春•东莞市期末）三亚某校举办“海洋环保”主题活动，邀请1位教师与3位学生代表站成一排合影留念，为体现“教师引领、学生主体”的理念，要求教师不站在两侧，则不同的站法有（　　） A．10 B．12 C．16 D．24 【解答】解：先在中间的两个位置中选一个位置站老师，其余的3个位置站3位学生， 则不同的站法有种． 故选：． 25．（2021春•东莞市期末），，，，等5名学生进入学校劳动技能大赛决赛，并决出第一至第五名的名次（无并列名次）．已知学生和都不是第一名也都不是最后一名，则这5人最终名次的不同排列有（　　） A．18种 B．36种 C．48种 D．54种 【解答】解：由题意，、都不是第一名且不是最后一名； 故先排，有3种情况； 再排，有2种情况； 余下3人有种排法． 故共有种不同的情况． 故选：． 26．（2021春•梅州期末）某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位，节目乙必须排在最后一位，该台晚会节目演出顺序的编排方案共有（　　） A．36种 B．42种 C．48种 D．54种 【解答】解：根据题意，分3步进行分析： ①节目甲必须排在前两位，则节目甲有2种排法， ②节目乙必须排在最后一位，节目乙有1种排法， ③剩下的4个节目安排到其他4个位置，有种排法， 则有种编排方案； 故选：． 27．（2024春•潮州期末）有2名老师和3名学生站成一排照相，若这2名老师都不站在两端，则不同的站法共有种 　　．（用数字作答） 【解答】解：先排2名老师，2名老师都不站在两端，故有种站法， 剩下3个位置，站3名学生，有种站法， 故不同的站法共有种． 故答案为：36． 28．（2020春•珠海期末）甲、乙、丙、丁四位同学排成一排，要求甲不能站排头，乙不能站排尾，满足这种要求的排法有（　　） A．15种 B．14种 C．13种 D．12种 【解答】解：根据题意，甲不能站排头，乙不能站排尾排法．可分2种情况讨论： ①甲在末尾，剩下三人全排列即可，此时有种排法； ②甲不在末尾，先排甲，有种方法，再排乙有种方法，剩下的两人有种排法，故有种排法， 则有种不同的排法； 故选：． ( 考点0 6 部分元素相邻的排列问题 ) 29．（2025春•茂名期末）小明在注册某账号的密码时，想在1，2，3，，中组成无重复的五位字符的密码，要求与相邻，则可以设置不同的密码的个数为（　　） A．12 B．24 C．36 D．48 【解答】解：已知1，2，3，，中组成无重复的五位字符的密码，要求与相邻， 将“”和“”看成一个整体，与1，2，3进行全排列，再将“”和“”交换顺序， 所以不同的放置方式种数为． 故选：． 30．（2023春•东莞市期末）中国灯笼又统称为灯彩，是一种古老的传统工艺品，综合了绘画、剪纸、纸扎、刺缝等工艺．从种类上主要有宫灯、纱灯、吊灯等类型，现将红木宫灯、檀木宫灯、楠木纱灯、花梨木纱灯、恭喜发财吊灯各一个随机挂成一排，则有且仅有一种类型的灯笼相邻的灯笼挂法总数为（　　） A．24 B．36 C．48 D．72 【解答】解：能够相邻的可以是红木宫灯、檀木宫灯，也可以是楠木纱灯、花梨木纱灯、 若红木宫灯、檀木宫灯相邻，楠木纱灯、花梨木纱灯不相邻， 则把红木宫灯、檀木宫灯看成一个整体和恭喜发财吊灯进行排列，中间有3个空，选两个放楠木纱灯、花梨木纱灯， 则有种， 若红木宫灯、檀木宫灯不相邻，楠木纱灯、花梨木纱灯相邻， 则把楠木纱灯、花梨木纱灯看成一个整体和恭喜发财吊灯进行排列，中间有3个空，选两个放红木宫灯、檀木宫灯， 则有种， 则共有种． 故选：． 31．（2023春•天河区期末）有4名同学和2位老师排成一排合影，其中2位老师必须相邻，则不同的排法有 　　种．（用数字作答） 【解答】解：将2位老师看作是一个整体，与另外4个人全排列，即． 故答案为：240． 32．（2022春•江门期末）将3个1和2个0随机排成一行，则2个0相邻的排列方法有（　　） A．3种 B．4种 C．5种 D．6种 【解答】解：将2个0看成一个整体，插入到3个1所形成的4个空中的1个，故有4种插法， 从而有4种排列的方法． 故选：． 33．（2022春•肇庆期末）3名学生和2名老师站成一排合影，则3名学生相邻的排法共有（　　） A．48种 B．36种 C．20种 D．24种 【解答】解：根据题意，将3名学生看成一个整体，与2名老师全排列即可， 有种排法， 故选：． 34．（2022春•广州期末）某班一天上午有语文、数学、政治、英语、体育5节课，现要安排该班上午的课程表，要求体育课不排在第一节，语文课和数学课相邻，不同的排法总数是（　　） A．36 B．32 C．24 D．18 【解答】解：先考虑语文课和数学课相邻，则用捆绑法，将其看成一个整体与其余3节课进行全排列，共有即种， 再考虑体育课排第一节，语文课和数学课相邻的排法总数为种； 所以，体育课不排在第一节，语文课和数学课相邻的排法总数为． 故选：． 35．（2021春•荔湾区期末），，，，五人并排站成一排，如果，必须相邻且在的左边，那么不同的排法共有　　种 A．24 B．36 C．48 D．60 【解答】解：根据题意，分2步进行分析： ①，必须相邻且在的左边，将看成一个整体，有1种顺序， ②将整体与、、全排列，有种情况， 则有种排法； 故选：． ( 考点0 7 部分元素不相邻的排列问题 ) 36．（2022春•潮州期末）五人并排站成一排，甲乙不相邻的排法种数为（　　） A．30 B．54 C．63 D．72 【解答】解：剩余3人全排有种方法， 则3人产生4个空，利用插空法排甲乙，甲乙不相邻有种方法， 则五人并排站成一排，甲乙不相邻的排法种数为种． 故答案为：． 37．（2023春•南山区校级期末）4名男生和6名女生排成一排，要求男生不相邻，且不站在队伍的两端，则共有 　　种排法． 【解答】解：第一步，6名女生排成一排共种排法， 第二步，把4个男生放在6个女生中间的5个空位中，有种排法， 根据分步乘法计数原理可得满足要求的排法有种排法． 故答案为：86400． 38．（2021春•汕尾期末）某中学举行“唱响红色主旋律，不忘初心跟党走”的文艺活动．活动共有9个节目，其中高中部有4个参演节目，初中部有5个参演节目．根据节目内容，第一个节目一定是初中部的，且高中部的4个参演节目均不相邻演出，则共有 　　种不同的演出顺序．（用数字回答） 【解答】解：根据题意，分2步进行分析： ①将初中部的5个节目全排列，有种安排方法， ②排好后，除去前端空位不可用，有5个空位可用，在其中任选4个，安排高中部的4个节目，有种安排方法， 则有种安排方法， 故答案为：14400． 39．（2022春•茂名期末）中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”，合称“六艺”．“礼”主要指德育；“乐”主要指美育；“射”和“御”就是体育和劳动；“书”指各种历史文化知识；“数”指数学．某校国学社团开展“六艺”讲座活动，每次讲一艺．讲座次序要求“数”不在第一次也不在第六次，“礼”和“乐”不相邻，则“六艺”讲座不同的次序共有（　　） A．480种 B．336种 C．144种 D．96种 【解答】解：依题意，“数”不在第一次也不在第六次的不同次序数有：， “数”不在第一次也不在第六次时，“礼”和“乐”相邻的不同次序数有：， 所以“六艺”讲座不同的次序数共有：． 故选：． ( 考点0 8 简单的组合问题 ) 40．（2025春•东莞市期末）树人中学高二年级举办古诗词比赛，所有同学均可自愿报名参加．某学习小组有6名同学，其中甲、乙两位同学决定要么都去，要么都不去，则该学习小组不同的报名情况总数是（　　） A．64 B．32 C．31 D．16 【解答】解：已知某学习小组有6名同学自愿报名参加古诗词比赛，其中甲、乙两位同学决定要么都去，要么都不去， 若甲、乙都去， 则小组内另外4名同学报名参加的情况有：种； 若甲、乙都不去， 则小组内另外4名同学报名参加的情况有：种． 所以该学习小组不同的报名情况总数是：种． 故选：． 41．（2025春•汕头期末）以正方体的顶点为顶点的三棱锥的个数是（　　） A．70 B．64 C．60 D．58 【解答】解：首先从8个顶点中选4个，共有种结果， 在这些结果中，有四点共面的情况， 6个表面有6个四点共面，6个对角面有6个四点共面， 满足条件的结果有． 故选：． 42．（2025春•潮州期末）从4位男同学、5位女同学中选出3位同学，男女生都要有的选法有（　　） A．140种 B．44种 C．70种 D．252种 【解答】解：男女生都要有的选法有种． 故选：． ( 考点0 9 分组分配问题 ) 43．（2024春•中山市期末）将五本不同的书全部分给甲，乙，丙三人，要求每人至少分得一本，则不同的分法有（　　） A．90种 B．150种 C．180种 D．250种 【解答】解：， 将5本书分成1，1，3或者1，2，2，然后分给3人即可， 若分成，1，1，3，则有种不同的分法， 若分成1，2，2，则有种不同的分法， 则共有． 故选：． 44．（2019春•顺德区期末）把编号分别为1，2，3，4，5的五张电影票全部分给甲、乙、丙三个人，每人至少一张，若分得的电影票超过一张，则必须是连号，那么不同分法的种数为（　　） A．36 B．40 C．42 D．48 【解答】解：根据题意，分2步进行分析： ①，先将票分为符合条件的3份，由题意，3人分5张票，且每人至少一张，至多三张，若分得的卡片超过一张，则必须是连号， 相当于将1、2、3、4、5这4个数用2个板子隔开，在4个空位插2个板子，共有种情况， ②，再将分好的三份全排列，对应到3个人，有种情况， 则共有种不同分法； 故选：． 45．（2021春•珠海期末）现有4种不同类型的文具，分给甲、乙、丙三人，每人至少分得1种文具，则不同的分法种数为（　　） A．12 B．18 C．24 D．36 【解答】解：根据题意，分2步进行分析： ①在4种文具中选出2种，分给甲、乙、丙三人中的1人，有种方法， ②将剩下的2种文具分给其他2人，有种方法， 则有种分法； 故选：． 46．（2020春•汕头期末）将5本不同的书分给4人，每人至少1本，不同的分法种数有　　（用数字作答）． 【解答】解：根据题意，分2步进行分析： ①将5本书分成4组，其中1组2本，其他3组各1本，有种分组方法， ②将分好的4组全排列，安排给4人，有种情况， 则有种分法； 故答案为：240 47．（2024春•广东期末）将5名志愿者分配到四个社区协助开展活动，每名志愿者只能到1个社区，每个社区至少1名，则不同的分配方法数是 　　． 【解答】解：把5名志愿者分成4组，有种分法， 再把每一种分法的4组分配到4个社区有种方法， 所以不同的分配方法数是． 故答案为：240． 48．（2024秋•湛江校级期末）2024年1月1日，第五次全国经济普查正式启动．甲、乙、丙、丁、戊5名普查员分别去城东、城南、城西、城北四个小区进行数据采集，每个小区至少去一名普查员，若甲不去城东，则不同的安排方法共有（　　） A．36种 B．60种 C．96种 D．180种 【解答】解：①先安排甲，甲不去城东，有种， ②安排其它4名普查员， 分为两种情况：1、安排甲去的小区就甲一个人，那其它4人按2，1，（1分）配，有种， 2、安排甲去的小区有2人，则除甲以外4人全排即可，有种， 所以一共有种． 故选：． 49．（2025春•佛山期末）学校组织学生参加劳动基地实践活动，将4名学生分配到整地做畦、作物移栽和藤架搭建3个项目进行劳动技能训练，每名学生只分配到1个项目，每个项目至少分配1名学生，则不同的分配方案共有（　　） A．24种 B．36种 C．48种 D．72种 【解答】解：先从4名学生中选出两名作为一组，其余每人为一组，有种方法， 然后将3组志愿者分配到3个不同项目，有种， 所以总的分配方案为种． 故选：． 50．（2025春•东莞市期末）某公司将包括2名女员工在内的5名员工派往3个不同的地方学习，要求每人去一个地方，每个地方至少去一人，则2名女员工必须在一起学习的不同的分配方案有（　　） A．24 B．32 C．36 D．48 【解答】解：如果5人分成1，1，3三组，则分配方法有：种， 如果5人分成1，2，2三组，则分配方法有：种， 由加法原理可得：不同分配方法数为种． 故选：． 51．（2025春•肇庆期末）从7名工程师中选出4人去3个不同的工地执行任务，其中甲、乙两名工程师要么都去，要么都不去，每个工地要求至少有一名工程师，则不同分配方法的种数为（　　） A．540 B．180 C．360 D．1080 【解答】解：由题意先选人，甲乙都去有种选择，甲乙都不去有种选择， 又每个工地要求至少有一名工程师， 所以分配方案为2，2，1，有种方案， 所以不同分配方法的种数为． 故选：． 52．（2024秋•湛江期末）《九章算术》是我国古代数学名著之一，其中记载了关于粟米分配的问题．现将14斗粟米分给4个人，每人分到的粟米斗数均为整数，每人至少分到1斗粟米，则不同的分配方法有（　　） A．715种 B．572种 C．312种 D．286种 【解答】解：将14斗粟米分给4个人，每人分到的粟米斗数均为整数，每人至少分到1斗粟米，相当于将14个相同的小球放入4个不同的盒子中，每个盒子中至少放入1个小球， 根据隔板法可知，不同的分配方法有． 故选：． 53．（2022春•汕头期末）根据汕头市气象灾害风险提示，5月12日日我市进入持续性暴雨模式，城乡积涝和地质灾害风险极高，全市范围内降雨天气易涝点新增至36处．已知有包括甲乙在内的5个排水施工队前往3个指定易涝路口强排水（且每个易涝路口至少安排一个排水施工队），其中甲、乙施工队不在同个易涝路口，则不同的安排方法有（　　） A．86 B．100 C．114 D．136 【解答】解：若将5个施工队分成3组，则有如下两种情况， 第一种，按照3，1，1模式分组，则有种分组方法， 第二种，按照2，2，1模式分组，则有种分组方法， 所以将将5个施工队分成3组，共有种分组方法， 其中，如果甲、乙施工队和另外一个队构成一个组，则有种分组方法， 如果甲、乙施工队单独构成一个组，则有种分组方法， 所以将甲、乙两个施工队放在一个组，共有种分组方法， 所以将5个施工队分成3组，甲、乙两个施工队不在一个组的分组方法有种， 现将分好组的施工队派往3个不同的易涝路口，则有种安排方法， 所以符合题意的安排方法共有种． 故选：． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 两个计数原理和排列组合 高频考点概览 考点 01 两个计数原理 考点 02 数字排列问题 考点 03 涂色问题 考点 04 排列数和组合数的计算 考点 05 部分位置元素有限制的排列问题 考点 06 部分元素相邻的排列问题 考点 07 部分元素不相邻的排列问题 考点 08 简单的组合问题 考点 09 分组分配问题 考点01 两个计数原理 1．（2025春•清远期末）如图，要让电路从处到处只有一条支路接通，则不同的路径有（　　） A．5种 B．6种 C．7种 D．9种 2．（2025春•广东期末）如图所示是一段灌溉用的水渠，上游和下游之间建有，，，，五个水闸，若上游有充足水源但下游没有水，则这五个水闸打开或关闭的情况有　　 A．7种 B．15种 C．23种 D．26种 3．（2024春•越秀区期末）学校食堂的一个窗口共卖5种菜，甲、乙、丙3名同学每人从中选一种，不同的选法种数为（　　） A．10 B．15 C．60 D．125 4．（2021春•云浮期末）三个班分别从六个风景点中选择一处游览，不同选法的种数是（　　） A．729 B．18 C．216 D．81 5．（2019春•广东期末）用数字0，1，2，3，4组成没有重复数字且大于3000的四位数，这样的四位数有（　　） 考点02 数字排列问题 A．250个 B．249个 C．48个 D．24个 6．（2022春•荔湾区期末）由0，1，2，3，4组成没有重复数字的三位数的个数是 　　． 7．（2016春•江门期末）用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位数的个数是（　　） A．720 B．648 C． D． 8．（2025春•福田区校级期末）将分别写有2，0，2，6的四张卡片，按一定次序排成一行组成一个四位数（首位不为，则组成的不同四位数的个数有 　　 ．（用数字作答） 9．（2024春•海珠区校级期末）若一个四位数的各个数位上的数字之和为3，则这样的四位数个数为（　　） A．10 B．12 C．15 D．20 10．（2024春•广州期末）2025有　　个不同的正因数． A．8 B．10 C．12 D．15 11．（2022秋•天河区校级期末）从0，1，2，3，4，5这6个数中任选2个偶数和1个奇数，组成没有重复数字的三位数的个数为（　　） A．36 B．42 C．45 D．54 12．（2023春•梅州期末）用0到6这7个数字，可以组成没有重复数字的且被5整除的四位数的个数为（　　） A．200 B．210 C．220 D．240 13．（2023春•荔湾区期末）从2，4，6，8中任取3个数字，从1，3，5中任取2个数字，则一共可以组成五位数（没有重复数字）的个数是（　　） A．720 B．1200 C．1440 D．1728 14．（2024春•清远期末）现要对三棱柱的6个顶点进行涂色，有4种颜色可供选择，要求同一条棱的两个顶点颜色不一样，则不同的涂色方案有（　　） 考点03 涂色问题 A．264种 B．216种 C．192种 D．144种 15．（2023春•广州期末）如图，湖北省分别与湖南、安徽、陕西、江西四省交界，且湘、皖、陕互不交界，在地图上分别给各省地域涂色，要求相邻省涂不同色，现有5种不同颜色可供选用，则不同的涂色方案数为　　 A．480 B．600 C．720 D．840 16．（2020春•珠海期末）汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝．如图所示的弦图中，由四个全等的直角三角形和一个正方形构成．现有五种不同的颜色可供涂色，要求相邻的区域不能用同一种颜色，则不同的涂色方案有　　 A．180 B．192 C．480 D．420 17．（2022秋•江海区校级期末）如图，从左到右共有5个空格． （1）向5个空格中分别放入0，1，2，3，4这5个数字，一共可组成多少个不同的五位数的奇数？ （2）用红、黄、蓝这3种颜色给5个空格涂色，要求相邻空格用不同的颜色涂色，一共有多少种涂色方案？ 18．（2020春•天津期末）如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色．要求最多使用3种颜色且相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有 　　 种（用数字作答）． 考点04 排列数和组合数的计算 19．（2025春•广州期末）计算： 　　 ． 20．（2024春•中山市期末）若，则的值为（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 21．（2022春•珠海期末）计算　　． 22．（2025春•新会区校级期末）计算的值是（　　） A．41 B．61 C．62 D．82 23．（2025春•肇庆期末）若，则（　　） A．8 B．7 C．6 D．9 考点05 部分位置的元素有限制的排列问题 24．（2025春•东莞市期末）三亚某校举办“海洋环保”主题活动，邀请1位教师与3位学生代表站成一排合影留念，为体现“教师引领、学生主体”的理念，要求教师不站在两侧，则不同的站法有（　　） A．10 B．12 C．16 D．24 25．（2021春•东莞市期末），，，，等5名学生进入学校劳动技能大赛决赛，并决出第一至第五名的名次（无并列名次）．已知学生和都不是第一名也都不是最后一名，则这5人最终名次的不同排列有（　　） A．18种 B．36种 C．48种 D．54种 26．（2021春•梅州期末）某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位，节目乙必须排在最后一位，该台晚会节目演出顺序的编排方案共有（　　） A．36种 B．42种 C．48种 D．54种 27．（2024春•潮州期末）有2名老师和3名学生站成一排照相，若这2名老师都不站在两端，则不同的站法共有种 　　．（用数字作答） 28．（2020春•珠海期末）甲、乙、丙、丁四位同学排成一排，要求甲不能站排头，乙不能站排尾，满足这种要求的排法有（　　） A．15种 B．14种 C．13种 D．12种 考点06 部分元素相邻的排列问题 29．（2025春•茂名期末）小明在注册某账号的密码时，想在1，2，3，，中组成无重复的五位字符的密码，要求与相邻，则可以设置不同的密码的个数为（　　） A．12 B．24 C．36 D．48 30．（2023春•东莞市期末）中国灯笼又统称为灯彩，是一种古老的传统工艺品，综合了绘画、剪纸、纸扎、刺缝等工艺．从种类上主要有宫灯、纱灯、吊灯等类型，现将红木宫灯、檀木宫灯、楠木纱灯、花梨木纱灯、恭喜发财吊灯各一个随机挂成一排，则有且仅有一种类型的灯笼相邻的灯笼挂法总数为（　　） A．24 B．36 C．48 D．72 31．（2023春•天河区期末）有4名同学和2位老师排成一排合影，其中2位老师必须相邻，则不同的排法有 　　种．（用数字作答） 32．（2022春•江门期末）将3个1和2个0随机排成一行，则2个0相邻的排列方法有（　　） A．3种 B．4种 C．5种 D．6种 33．（2022春•肇庆期末）3名学生和2名老师站成一排合影，则3名学生相邻的排法共有（　　） A．48种 B．36种 C．20种 D．24种 34．（2022春•广州期末）某班一天上午有语文、数学、政治、英语、体育5节课，现要安排该班上午的课程表，要求体育课不排在第一节，语文课和数学课相邻，不同的排法总数是（　　） A．36 B．32 C．24 D．18 35．（2021春•荔湾区期末），，，，五人并排站成一排，如果，必须相邻且在的左边，那么不同的排法共有　　种 A．24 B．36 C．48 D．60 考点07 部分元素不相邻的排列问题 36．（2022春•潮州期末）五人并排站成一排，甲乙不相邻的排法种数为（　　） A．30 B．54 C．63 D．72 37．（2023春•南山区校级期末）4名男生和6名女生排成一排，要求男生不相邻，且不站在队伍的两端，则共有 　　种排法． 38．（2021春•汕尾期末）某中学举行“唱响红色主旋律，不忘初心跟党走”的文艺活动．活动共有9个节目，其中高中部有4个参演节目，初中部有5个参演节目．根据节目内容，第一个节目一定是初中部的，且高中部的4个参演节目均不相邻演出，则共有 　　种不同的演出顺序．（用数字回答） 39．（2022春•茂名期末）中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”，合称“六艺”．“礼”主要指德育；“乐”主要指美育；“射”和“御”就是体育和劳动；“书”指各种历史文化知识；“数”指数学．某校国学社团开展“六艺”讲座活动，每次讲一艺．讲座次序要求“数”不在第一次也不在第六次，“礼”和“乐”不相邻，则“六艺”讲座不同的次序共有（　　） A．480种 B．336种 C．144种 D．96种 考点08 简单的组合问题 40．（2025春•东莞市期末）树人中学高二年级举办古诗词比赛，所有同学均可自愿报名参加．某学习小组有6名同学，其中甲、乙两位同学决定要么都去，要么都不去，则该学习小组不同的报名情况总数是（　　） A．64 B．32 C．31 D．16 41．（2025春•汕头期末）以正方体的顶点为顶点的三棱锥的个数是（　　） A．70 B．64 C．60 D．58 42．（2025春•潮州期末）从4位男同学、5位女同学中选出3位同学，男女生都要有的选法有（　　） A．140种 B．44种 C．70种 D．252种 考点09 分组分配问题 43．（2024春•中山市期末）将五本不同的书全部分给甲，乙，丙三人，要求每人至少分得一本，则不同的分法有（　　） A．90种 B．150种 C．180种 D．250种 44．（2019春•顺德区期末）把编号分别为1，2，3，4，5的五张电影票全部分给甲、乙、丙三个人，每人至少一张，若分得的电影票超过一张，则必须是连号，那么不同分法的种数为（　　） A．36 B．40 C．42 D．48 45．（2021春•珠海期末）现有4种不同类型的文具，分给甲、乙、丙三人，每人至少分得1种文具，则不同的分法种数为（　　） A．12 B．18 C．24 D．36 46．（2020春•汕头期末）将5本不同的书分给4人，每人至少1本，不同的分法种数有　　（用数字作答）． 47．（2024春•广东期末）将5名志愿者分配到四个社区协助开展活动，每名志愿者只能到1个社区，每个社区至少1名，则不同的分配方法数是 　　． 48．（2024秋•湛江校级期末）2024年1月1日，第五次全国经济普查正式启动．甲、乙、丙、丁、戊5名普查员分别去城东、城南、城西、城北四个小区进行数据采集，每个小区至少去一名普查员，若甲不去城东，则不同的安排方法共有（　　） A．36种 B．60种 C．96种 D．180种 49．（2025春•佛山期末）学校组织学生参加劳动基地实践活动，将4名学生分配到整地做畦、作物移栽和藤架搭建3个项目进行劳动技能训练，每名学生只分配到1个项目，每个项目至少分配1名学生，则不同的分配方案共有（　　） A．24种 B．36种 C．48种 D．72种 50．（2025春•东莞市期末）某公司将包括2名女员工在内的5名员工派往3个不同的地方学习，要求每人去一个地方，每个地方至少去一人，则2名女员工必须在一起学习的不同的分配方案有（　　） A．24 B．32 C．36 D．48 51．（2025春•肇庆期末）从7名工程师中选出4人去3个不同的工地执行任务，其中甲、乙两名工程师要么都去，要么都不去，每个工地要求至少有一名工程师，则不同分配方法的种数为（　　） A．540 B．180 C．360 D．1080 52．（2024秋•湛江期末）《九章算术》是我国古代数学名著之一，其中记载了关于粟米分配的问题．现将14斗粟米分给4个人，每人分到的粟米斗数均为整数，每人至少分到1斗粟米，则不同的分配方法有（　　） A．715种 B．572种 C．312种 D．286种 53．（2022春•汕头期末）根据汕头市气象灾害风险提示，5月12日日我市进入持续性暴雨模式，城乡积涝和地质灾害风险极高，全市范围内降雨天气易涝点新增至36处．已知有包括甲乙在内的5个排水施工队前往3个指定易涝路口强排水（且每个易涝路口至少安排一个排水施工队），其中甲、乙施工队不在同个易涝路口，则不同的安排方法有（　　） A．86 B．100 C．114 D．136 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $