专题01 导数及其应用19大考点（期末真题汇编，广东专用）高二数学下学期人教A版

**基本信息** 导数专题汇编，覆盖19个考点，含选择、填空、解答题，梯度设计从基础（如平均变化率计算）到综合应用（如极值偏移证明），精选广东各地期末真题，适配高中数学导数教学。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择/填空|约80题|导数定义、几何意义、单调性、极值等|基础题占比60%，如切线方程求解；综合题结合实际情境，如高台跳水瞬时速度计算| |解答题|约40题|含参单调性讨论、不等式证明、双变量问题等|分层设计，如“求极值+已知极值求参+证明不等式”递进，适配期末复习需求|

专题01 导数及其应用 高频考点概览 考点01 平均变化率和瞬时变化率 考点02 导数定义的计算 考点03 导数的几何意义 考点04 导数的运算 考点05 原函数与导函数的图象 考点06 不含参函数的单调性 考点07 含参函数的单调性 考点08 单调性的应用 考点09 由图象确定函数的极值 考点10 求函数的极值 考点11 已知极值或极值点求参 考点12 求函数的最值 考点13 已知函数的最值求参 考点14 函数性质综合 考点15 利用导数证明不等式 考点16 利用导数研究不等式恒成立问题 考点17 利用导数研究函数的零点 考点18 利用导数研究双变量问题 考点19 导数中的极值偏移问题 ( 考点01 平均变化率和瞬时变化率 ) 1．（2021春•清远期末）已知函数，则在，上的平均变化率为（　　） A．4 B．3 C．2 D． 【解答】解：根据题意，函数， 则在，上的平均变化率； 故选：． 2．（2021春•珠海期末）若函数在区间，上的平均变化率为3，则　　． 【解答】解：根据题意，函数在区间，上的平均变化率为， 解可得：， 故答案为：2． 3．（2025春•中山市校级期末）若函数在，上的平均变化率与它在处的瞬时变化率相等，则（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【解答】解：因为在，上的平均变化率为， 所以，解得． 故选：． 4．（2025秋•天河区校级期末）已知车轮旋转的角度（单位：与时间（单位：之间的关系为，则车轮转动开始后第时的瞬时角速度大小为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：根据题意，，则，则． 即车轮第时的瞬时角速度大小为． 故选：． 5．（2025春•佛山期末）某海湾一固定点处大海水深与时间之间的关系为，则该处水位变化速度的最大值是（　　） A． B． C． D．4 【解答】解：由， 得， 则该处水位变化速度的最大值是． 故选：． 6．（2023春•香洲区校级期末）一质点沿直线运动，位移（单位：与时间（单位：之间的关系为，则这段时间内的平均速度为 　　；时的瞬时速度为 　　． 【解答】解：△，△， 物体在这段时间内的平均速度， ，则， 当时，（2），即质点在时的瞬时速度为， 故答案为：6；8． 7．（2022春•荔湾区期末）在一次高台跳水运动中，某运动员在运动过程中的中心相对于水面的高度（单位：与起跳后的时间（单位：存在函数关系，则运动员在时瞬时速度为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：， ， 则运动员在时瞬时速度为， 故选：． ( 考点0 2 导数定义的计算 ) 8．（2025秋•源城区校级期末）已知是定义在上的可导函数，若，则（2） ． 【解答】解：因为， 即， 即， 则（2）． 故答案为：． 9．（2025秋•深圳期末）已知函数的导函数为，且，则（2）（　　） A．2 B． C．4 D． 【解答】解：由函数的导函数为，且， 可得：． 故选：． 10．（2025春•清远期末）已知，则的值为（　　） A． B． C．0 D．2 【解答】解：因为， 所以， 所以． 故选：． 11．（2024秋•深圳校级期末）若函数在处的导数等于，则的值为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：由题意可得， 则． 故选：． 12．（2023春•香洲区校级期末）若，则可导函数在处的导数为（　　） A． B． C．1 D．2 【解答】解：， 则（1），解得（1）． 故选：． ( 考点0 3 导数的几何意义 ) 13．（2024春•潮州期末）函数在处的切线斜率为（　　） A．1 B． C． D． 【解答】解：， 则，（1）， 所以函数在处的切线斜率为． 故选：． 14．（2023秋•高州市期末）曲线在点处的切线的倾斜角为 　　． 【解答】解：， 则， 故， 故该切线的倾斜角为． 故答案为：． 15．（2025秋•潮阳区校级期末）曲线在点，（1）处的切线方程为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：因为，（1）， 所以，（1） 所以曲线在点处的切线的斜率为． 此处的切线方程为； 故选：． 16．（2025秋•龙岗区校级期末）已知曲线在点处的切线与直线垂直，则的值为（　　） A．3 B． C． D． 【解答】解：的导数为，可得曲线在点的处的切线的斜率为， 由切线与直线垂直， 可得， 解得． 故选：． 17．（2025秋•汕头校级期末）函数过点的切线斜率为（　　） A．1 B．9 C．0或9 D．0或 【解答】解：由题意函数， 可设切点为，， 对函数求导可得，则切线方程为， 整理得， 又切线过点， 所以，即， 解得或， 所以切线方程为或，斜率为0或9． 故选：． 18．（2025春•云浮期末）曲线在处的切线斜率为2，则（　　） A． B．1 C．0 D． 【解答】解：由在处的切线斜率为2， 可得，且，可得． 故选：． 19．（2025春•湛江期末）函数在处的切线与直线平行，则实数（　　） A． B．1 C． D． 【解答】解：由题可得：， 函数在处的切线的导数即为切线的斜率为， 函数在处的切线与直线平行， 则有，可得． 故选：． 20．（2025春•深圳期末）设曲线，在处的切线与垂直，则（　　） A． B．2 C． D． 【解答】解：根据题意可知，，，所以， 所以曲线在处的切线斜率为：， 由直线的斜率为：， 又因为曲线在处的切线与垂直， 所以， 所以． 故选：． 21．（2025春•广州期末）已知函数，是的导函数，则（　　） A．（2）（3）（2）（3） B．（3）（2）（3）（2） C．（3）（3）（2）（2） D．（2）（3）（3）（2） 【解答】解：函数， 则，而在上单调递减， 所以， 即（2）（3）（2）（3）． 故选：． 22．（2025秋•惠州校级期末）曲线上的点到直线的最短距离是 ． 【解答】解：如图所示，将直线平移， 当直线与相切时，切点到直线的最短距离， 设曲线在点，处的切线与直线平行， ，则，解得， ，则切点坐标为， 切点到直线的距离， 即曲线上的点到直线的最短距离是． 故答案为：． 23．（2024春•中山市校级期末）若点在曲线上移动，经过点的切线的倾斜角为，则角的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：设，，，则， 所以过点切线斜率， 所以，所以得． 故选：． 24．（2025春•新会区校级期末）设函数，则曲线在点，处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：因为，所以， 所以；， 所以切线方程为， 令，可得；令，可得， 所以所求面积为． 故选：． 25．（2024秋•河源期末）已知曲线和存在一条过坐标原点的公切线，则实数　　 ． 【解答】解：由曲线和存在一条过坐标原点的公切线， 设直线与曲线相切于点，， 由的导数为， 得，因为与曲线相切， 则，解得，所以， 设与曲线相切于点，， 由，得，解得， 因为，是与曲线的公共点， 所以，消去，得，即，解得． 故答案为：3． 26．（2023春•汕头期末）已知直线是曲线与曲线的公切线，则的值为 　　． 【解答】解：设是图像上的一点，， 所以在点处的切线方程为，①， 令，解得， ，所以， ，所以或（此时①为，，不符合题意，舍去）， 所以，此时①可化为，， 所以． 故答案为：2． ( 考点0 4 导数的运算 ) 27．（2025秋•源城区校级期末）已知函数，则（4）（　　） A．0 B．64 C． D．128 【解答】解：令，其中， 则， 代入：可得（4）（4）． 故选：． 28．（2025秋•南山区期末）记函数的导函数为，若（1），则（　　） A． B． C．1 D．2 【解答】解：， 所以（1）． 故选：． 29．（2024秋•深圳校级期末）函数的导数为（　　） A． B． C． D． 【解答】解： ． 故选：． 30．（2024春•越秀区期末）已知，则（　　） A． B． C． D． 【解答】解：因为， 所以， 则． 故选：． 31．（2025秋•深圳期末）函数的导数是 ． 【解答】解：由题意函数， 对函数求导可得 ， 故答案为：． 32．（2024春•肇庆校级期末）已知函数，则（1）（　　） A．1 B．2 C． D． 【解答】解：对于，求导数得， 当时，，解得． 故选：． ( 考点0 5 原函数与导函数的图象 ) 33．（2024秋•龙岗区校级期末）已知函数的图象是下列四个图象之一．且其导函数的图象如图所示，则该函数的图象是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：由图象可知，（1）， 故函数在，处，切线的斜率为0， 只有选项满足条件． 故选：． 34．（2023春•越秀区期末）设函数在上可导，其导函数为，且函数在处取得极大值，则函数的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：函数在上可导，其导函数， 且函数在处取得极大值， 当时，； 当时，； 当时，． 当时，；时，； 当时，； 当时，． 故选：． 35．（2022春•南沙区期末）已知函数的导函数的图象如图所示，则的图象可能是　　 A． B． C． D． 【解答】解：由已知图象可得在和时，，递增； 在时，，递减， 所以选项正确，其它均错． 故选：． 36．（2020春•东莞市期末）设函数的导函数图象如图，则函数的图象可能为　　 A． B． C． D． 【解答】解：设的两个零点为，，，，且， 由导数图象知当时，，函数为减函数，当，，函数为增函数，当时，，为减函数， 即当时，取得极小值，当时，函数取得极大值， 则对应的图象为， 故选：． ( 考点0 6 不含参函数的单调性 ) 37．（2025秋•潮阳区校级期末）函数的单调递减区间为（　　） A．，， B．， C．，， D．， 【解答】解：由题意，， 令，即，解得， 所以的单调递减区间为，． 故选：． 38．（2025秋•天河区校级期末）（多选）已知函数，则（　　） A． B．在上单调递减 C．当时， D．的最小值为 【解答】解：对于选项，由函数，可得，，则，故选项错误； 对于选项、选项，当时，，在上单调递减，故选项正确； 当时，，在上单调递增， 所以当时，函数取得极小值，且极小值为，也为最小值，所以选项正确； 对于选项，当时，，，则，故选项正确． 故选：． 39．（2025春•深圳期末）函数的单调递增区间为（　　） A．与 B．，， C． D． 【解答】解：， 函数的定义域为， ， 当时，解得时，函数单调递增， 函数的单调递增区间为． 故选：． 40．（2025春•东莞市期末）函数的单调递减区间为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：由题意得的定义域为， ， 由得， 故的单调递减区间为． 故选：． ( 考点0 7 含参函数的单调性 ) 41．（2025秋•潮州期末）已知函数，． （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）讨论函数的单调性； （3）已知曲线与曲线有两个不同的交点，求实数的取值范围． 【解答】解：（1）已知函数， 当时，， 且（1），即切点坐标，切线斜率（1）， 故所求切线方程，即； （2）， 当，即时，，在上单调递减， 当，即时，在上，，在上， 在上单调递减，在上单调递增， 综上所述，时，在上单调递减； 时，在上单调递减，在上单调递增； （3）因为曲线与曲线有两个不同的交点， 因此方程有两个不同实根， 等价于方程有两个不同实根， 设， 则且（1）， 当时，时，，时，， 此时函数只有一个零点，方程只有一个根，不符合题意； 当时，在上单调递增， 当时，（1），（a）， 因此存在使，因此在上，在，上， 因此在上单调递减，在，上单调递增， 因此（1）， 又（a）， 设，则在单调递增， 因此（1），即在单调递减， 又（1），，因此（a）（1）因此（a），又（1）， 因此在上和，上各有一个零点，符合题意； 当时，（1），因此在上，在上， 因此在上单调递减，在上单调递增，因此（1）， 因此只有一个零点，不符合题意； 当时，（1），（a）， 因此存在使得， 因此在上，单调递减，在，上，单调递增，因此（1）， 又（a），当时，单调递增， 又（1），，因此（a），因此在，上存在一个零点 又（1），因此时有两个零点，符合题意； 综上所述，曲线与曲线有两个不同的交点时，或， 因此实数的取值范围为，，． 42．（2025春•中山市校级期末）已知函数． （1）当时，求函数的图象在处的切线方程； （2）讨论函数的单调性； （3）当时，若方程有两个不相等的实数根，，求证：． 【解答】解：（1）由题意函数， 当时，， 所以，，， 所以函数的图象在处的切线方程为，即； （2）由题意函数， 可得， ，令，得， 所以当时，，当时，， 所以在上是增函数，在上是减函数； （3）证明：当时，，，由（2）得在上单调递减，在单调递增， 所以，且时，，当时，，（1）， 所以当方程有两个不相等的实数根，，不妨设，且有，， 构造函数， 则， 当时，，所以， 在上单调递减，且， ， 由，， ， 在上单调递增， ， ． 即得证． 43．（2025春•东莞市期末）已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若方程有两根，求的取值范围； （3）证明：当时，． 【解答】解：（1）由题意有． 当时，，在单调递减； 当时，令，得，单调递增； 令，得，单调递减． 综上所述，当时，在单调递减； 当时，在单调递减，在单调递增． （2）由（1）知，当时，在单调递减，所以方程最多一根，故． 因为当时，在单调递减，在单调递增， 又因为，，且，， 故要使方程有两根，则， 即，得，故的取值范围为． （3）证明：要证， 即， 令， 则只需证， 当时，，上式显然成立； 现证当时上式成立： 由（1）知，， 取， 即得， 取， 即可得， 即得证． 44．（2025春•梅州期末）已知函数． （1）讨论函数的单调区间； （2）若不等式在，上恒成立，求实数的取值范围． 【解答】解：（1）， ①当时，导函数，因此函数在单调递增； ②当时， 根据导函数，可得：，根据导函数，可得：， 因此函数在单调递增，在单调递减， 综上所述，当时，在单调递减，在单调递增； 当时，在单调递增． （2）令函数， 导函数，，， 令函数， 由于，，根据导函数， 可得（即在，上单调递增， 当时，在，上恒成立， 因此得在，上单调递增，那么， 即有，符合题意； 当时，， 令函数，那么导函数， 当时，；当时，， 那么函数在上单调递增，在上单调递减， 因此， 因此（a），又因为导函数在，上单调递增，且， 故，使得， 则当时，，当，时，， 即在上单调递减，在，上单调递增， 故，不符合题意； 综上所述，实数的取值范围是，． 45．（2025春•揭阳期末）已知函数，． （1）求的极小值； （2）若，． 讨论的单调性； 当时，设的极大值是（a），求证：． 【解答】解：（1）的定义域为，， 令得，令得，令得，故的极小值为； （2），定义域为， ， 若，则，令得， 令得，故在上单调递增，在上单调递减， 若，令得或， 当时，，此时恒成立， 故在上单调递增， 当时，， 令得或， 令得， 故在上单调递减，在，上单调递增； 当时，，令得或，令得， 故在上单调递减，在，上单调递增， 综上，当时，在上单调递增，在上单调递减， 当时，在上单调递增， 当时，在上单调递减，在，上单调递增， 当时，在上单调递减，在，上单调递增； 证明：由可得当时，在上单调递减，在，上单调递增； 故时，取得极大值，故， ， 因为，所以，令（a）得，解得， 即，令（a）得，， 所以（a）在上单调递减，在，上单调递增， 故． ( 考点0 8 单调性的应用 ) 46．（2024秋•龙岗区期末）已知函数在区间，上单调递减，则实数的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：因为，所以， 因为在区间，上单调递减， 所以，即，则在，上恒成立， 因为在，上单调递减，所以，故． 故选：． 47．（2024秋•深圳期末）若函数在，上单调递减，则的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：依题意可得对，恒成立， 则对，恒成立． 当，时，函数为减函数， 所以， 所以． 故选：． 48．（2025春•深圳校级期末）若、，都有，则实数的取值范围是（　　） A．， B．， C．， D．， 【解答】解：根据题意，若、，都有， 不妨设，则， 故原不等式变形可得：， 整理可得：， 设函数，易得在上单调递增， 求导可得：在上恒成立， 即在上恒成立． 令，则， 由可得，由可得， 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为， 故（1），所以，即实数的取值范围是，． 故选：． 49．（2025春•福田区校级期末）已知函数在上单调递增，则的最大值为 　　 ． 【解答】解：因为， 则， 若，则对任意恒成立， 由可得，由可得， 此时函数的减区间为，增区间为，不合题意； 若，令，得或， ①若，由可得或， 由可得， 此时函数的增区间为，，减区间为，不合题意； ②若，由可得或， 由可得， 此时函数的增区间为，，减区间为，不合题意； ③当时，对任意的，恒成立， 当且仅当时，等号成立， 此时函数在上为增函数，符合题意，所以，故， 所以， 令，，则， 由可得，由可得， 所以函数的增区间为，减区间为， 故（1）， 综上所述，的最大值为1． 故答案为：1． 50．（2024秋•深圳校级期末）已知函数在内不是单调函数，则实数的取值范围是（　　） A． B．， C．，， D．， 【解答】解：因为，， 当时，恒成立，故函数在内单调递增，不符合题意； 当时，可得，，可得， 因为在内不是单调函数， 所以，解可得，． 故选：． 51．（2025春•中山市校级期末）定义在上的函数满足，且（5），则不等式的解集为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：令，， 因为定义在上的函数满足， 则， 所以在上单调递增， 因为（5）， 所以（5）（5）， 不等式可化为，即， 所以，即． 故选：． 52．（2025春•潮州期末）已知是函数的导数，且，，（2），则不等式的解集为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：设，因为（2）， 所以（2）（2）， ，因为，所以， 所以函数是实数集上的增函数， 因此由（2）． 故选：． 53．（2025春•东莞市期末）（多选）已知为上的偶函数，（1），为的导函数，且当时，，则　　 A．当时， B．（1） C．（2）（4） D． 【解答】解：设函数，那么导函数， 当时，，，因此， 因此函数在上单调递减， 又因为函数为上的偶函数，因此函数为上的奇函数， 因此函数在上也是单调递减， 又因为（1），因此（1），（1）（1）， 对于选项：当时，， 由于，因此函数，故正确； 对于选项：由于函数在上单调递减，所以（1）， 即（1）（1）（1），因此选项错误； 对于选项：由于函数在上单调递减， 因此（2）（4）（2）（4）（2）（4），因此选项正确； 对：因为在上单调递减，所以， 即， 又，所以，所以，故正确． 故选：． 54．（2024秋•梅州期末）已知，则（　　） A． B． C． D． 【解答】解：对于函数，在上是单调递增的， 对于函数，在上也是单调递增的． 由于，且（1），（2），因此． 由于，且，（1），因此． 由于和都是单调递增的，且，可以推断出． 结合上述分析，可以得出． 故选：． ( 考点0 9 由图象确定函数的极值 ) 55．（2025春•梅州期末）已知为函数的导函数，导函数的图象的大致形状如图所示，则下列关于函数的信息，正确的是（　　） A．（3） B．（3） C．在处取得最小值 D．在处取得极大值 【解答】解：根据图象可知：当或时，导函数， ，导函数， 因此函数在处取得极小值，在处取得极大值， 所以（3），因此错误， 因为在单调递减，故（3），所以选项正确． 故选：． 56．（2025春•东莞市期末）如图，直线与曲线相切于点，则函数在上的极值点的个数为（　　） A．3 B．2 C．1 D．0 【解答】解：根据函数有导函数，根据与平行， 作出与的交点，设横坐标为，且，由导函数，解得或， 由图可知：函数在，单调递增，在，单调递减， 所以在的极值点个数为2． 故选：． 57．（2025春•广东校级期末）（多选）已知函数的定义域为，的导函数的图象大致如图所示，则下列结论中正确的是（　　） A．在上单调递减 B．是的极小值点 C．是的极大值点 D．曲线在处的切线斜率为2 【解答】解：由题意函数的定义域为，的导函数的图像可知， 时，，在，上单调递增， 当时，，在上单调递减， 则在上单调递增，故错误； 不是的极小值点，故错误； 是的极大值点，故正确； 由导函数的图像可知（2）， 所以曲线在处的切线斜率为2，故正确． 故选：． 58．（2024春•广州期末）（多选）函数的定义域为，导函数在内的图象如图所示，则　　 A．函数在内一定不存在最小值 B．函数在内只有一个极小值点 C．函数在内有两个极大值点 D．函数在内可能没有零点 【解答】解：由题意可知，函数的单调性是增函数减函数增函数减函数， 即，时，函数取得极大值，在处取得极小值，所以、正确； 极大值是函数的最大值时，函数能取得最大值；所以不正确； 函数可能没有零点，所以正确． 故选：． 59．（2023秋•盐田区校级期末）（多选）已知定义域为，的函数的导函数为，且的图象如图所示，则　　 A．在上单调递减 B．有极小值（2） C．有2个极值点 D．在处取得最大值 【解答】解：由的图象可知或时，，则单调递减，故正确； 又或时，，则单调递增， 所以当时，有极小值（2），故正确； 由的图象结合单调性可知，2，4时，有极值，所以有3个极值点，故错误； 当时，，则单调递增， 所以，在处不能取得最大值，故错误． 故选：． 60．（2022秋•盐田区校级期末）（多选）函数，，的导函数图象如图所示，下列结论中一定正确的是　　 A．的减区间是， B．的增区间是，，， C．有一个极大值点，两个极小值点 D．有三个零点 【解答】解：结合导函数图象可知，当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以，函数的单调递减区间为，，，，单调递增区间为，，，，错误，正确， 所以函数在，时取得极小值，在时，函数取得极大值，正确； 因为无法确定，（4）的正负，从而无法确定函数的零点个数，错误． 故选：． ( 考点 10 求函数的极值 ) 61．（2023春•江门期末）函数的极大值为　　． 【解答】解：，， ， 令，解得， 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 当时为极大值点，故极大值为． 故答案为：． 62．（2025春•广东期末）函数的极小值点是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：根据题意可得， 令，则或， 所以在上，，单调递增， 在上，，单调递减， 在上，，单调递增， 所以函数的极小值点是． 故选：． 63．（2025春•深圳期末）已知函数． （1）求函数在，处的切线方程； （2）当，时，求函数的极值． 【解答】解：（1）由于函数，因此，切点为， 由于导函数，因此， 根据直线的点斜式方程，得切线为，即． （2）根据第一问可知，有导函数， 当，时，令导函数，得， 当变化时，导函数和函数的变化情况如下表： 0 单调递减 极小值 单调递增 因此当，时，函数无极大值，有极小值． 64．（2023秋•盐田区校级期末）已知函数． （1）求曲线在点，（2）处的切线方程； （2）求函数的极值． 【解答】解：（1）因为，且， 则（2）， 所以曲线在点，（2）处的切线方程为，即． （2）因为， 令，解得或， 当时，，则函数单调递增； 当时，，则函数单调递减； 当时，，则函数单调递增； 故当时，有极大值为，当 时，有极小值为． 综上所述，极大值为，极小值为． 65．（2024春•梅州期末）已知函数，， （1）当时，求函数的极值； （2）函数在区间，上为单调函数，求的取值范围． 【解答】解：（1）若，则， 可知的定义域为，且， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 所以函数有极小值（1），无极大值． （2）因为，且， 若函数在区间，上为单调函数，则有： 当函数在区间，上为单调递增函数，则，可得， 原题意等价于对任意，恒成立， 可知在区间，上为单调递增函数， 当时，取到最小值1，可得； 当函数在区间，上为单调递减函数，则，可得， 原题意等价于对任意，恒成立， 可知在区间，上为单调递增函数， 当时，取到最大值6，可得； 综上所述：或，所以的取值范围为，，． 66．（2022春•广州期末）已知函数，． （1）若，求函数的极大值； （2）若曲线在处的切线与曲线相切，求的值． 【解答】解：（1）时，， ， 令，解得：或，令，解得：， 故在递增，在递减，在递增， 故在处取得极大值； （2）由得，，， 故曲线在处的切线方程是：， 设直线与曲线相切于点，，， 故，，解得：，． ( 考点 11 已知极值或极值点求参 ) 67．（2024秋•潮州期末）已知函数在处取得极大值，则实数的取值范围为（　　） A．， B． C． D．， 【解答】解：已知，函数定义域为， 可得， 当时， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以函数在处取得极大值； 当时，恒成立，函数不存在极值； 当时， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以函数在处取得极小值， 综上，要使函数在处取得极大值， 则实数的取值范围为． 故选：． 68．（2024春•肇庆期末）已知函数，且，为自然对数的底数）恰有两个极值点，，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：易知的定义域为， 可得， 因为函数恰有两个极值点，， 所以恰有两个变号零点， 即方程有两个不相等的实数根， 令， 此时的图象与直线有两个不同的交点， 因为， 设函数过原点的切线的切点为，， 则切线方程为， 此时， 所以， 即， 则切线斜率， 当时，， 此时， 解得； 当时，， 此时， 解得， 综上得，实数的取值范围为． 故选：． 69．（2025秋•潮阳区校级期末）函数有两个极值点，则实数的取值范围为 ． 【解答】解：，函数有两个极值点，则有两个零点， 即函数与函数的图象有两个交点， 当两函数图象相切时，设切点为，，对函数求导， 则有，解得， 所以要使函数图象有两个交点，则，即． 故答案为：． 70． （2025秋•龙岗区期末）函数有两个不同的极值点，则的取值范围为 . 【解答】解：由有两个不同的极值点， 可得有两个不同的实数根， 因为，所以，则转化为有两个不同的实数解， 设，则， 当时，令得，解得， 则得在上单调递增，在，上单调递减， 所以在处取得极大值， 而当时，，当从负方向趋近于0时，， 当从正方向趋近于0时，，当时，从正方向趋近于0， 由有两个不同的实数解， 可得，解得，满足条件； 当时，令得，解得， 则得在上单调递增，在，上单调递减， 所以在处取得极小值， 而当时，从负方向趋近于0，当从负方向趋近于0时，， 当从正方向趋近于0时，，当时，， 由有两个不同的实数解，可得，解得，满足条件； 综上所述，的取值范围为． 故答案为：． 71．（2015秋•东莞市期末）已知函数在处有极小值，则实数的值为（　　） A．2 B．2或6 C．6 D．4或6 【解答】解：函数， ， 又在处有极值， （2）， 解得或6， 又由函数在处有极小值，故， 时，函数在处有极大值， 故选：． 72．（2025春•江门校级期末）已知在处的极大值为5，则（　　） A． B．6 C．或6 D．或2 【解答】解：，， 又在处的极大值为5， （1），（1）， 解得或， 经检验可知当，时，在处取得极小值，不满足题意， ，， ． 故选：． 73．（2025春•东莞市期末）已知是函数的极小值点，那么函数的极大值为（　　） A．0 B．1 C．2 D．4 【解答】解：因为，， 所以， 又因为是函数的极小值点， 所以（1）， 解得， 所以，， 令，得，， 所以当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 所以在处取极大值，在处取极小值， 所以的取极大值为． 故选：． 74．（2025春•越秀区期末）（多选）已知是函数的极大值点，则　　 A．函数的极小值为0 B．若，则 C．若，则有3个相异的零点 D．若（其中，则 【解答】解：是函数的极大值点， 对于中，由函数，可得， 所以，解得，，可得， 当时，，单调递增；当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以函数的极大值点为，极小值为0，正确； 对于中，当时，， 因为在区间上单调递减，所以，错误； 对于中，由，且当时，，当时，， 可得的图象， 当时，有3个相异零点，正确； 对于中，因为，要证，只需证明， 由在上单调递增，需证明， 即当时，证明， 令，， 则， 当时，，单调递增， 所以，即， 所以，所以，，所以正确． 故选：． ( 考点 12 求函数的最值 ) 75．（2025春•江门校级期末）函数在区间，上的最大值是（　　） A． B． C．16 D．9 【解答】解：因为，令，解得， 当时，，即单调递增， 当时，，即单调递减， 所以在时取得极大值，即最大值， 所以在区间，上的最大值是16． 故选：． 76．（2025春•广州期末）将一个边长为的正方形铁片的四角截去四个边长相等的小正方形，做成一个无盖方盒，则方盒的容积的最大值为 　　 ． 【解答】解：设截去的小正方形边长为，该无盖方盒的底面边长为， 则，即，所以， 则该方盒容积为， ， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，取得最大值， 所以方盒的容积的最大值为． 故答案为：2． 77．（2020秋•福田区校级期末）已知函数． （1）求函数的单调区间； （2）当，时，求函数的最大值与最小值． 【解答】解：（1）， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 所以的递增区间是、；递减区间是． （2）由（1）知，在区间，，，上单调递增，在区间，上单调递减， 所以，（1）， 又因为，（4）， 所以的最大值是77，最小值是． 78．（2024春•佛山期末）函数，，的最小值为（　　） A． B． C．9 D．16 【解答】解：由可得， 由， 解得或， 因，，当时，，单调递减； 当时，，单调递增． 故时，（4）． 故选：． 79．（2024春•广东期末）当，时，函数的最小值为 　　． 【解答】解：由题意可知，， 令，有或（舍， 当，时，，单调递减， 当，时，，单调递增， 所以当时，函数取得最小值． 故答案为：． 80．（2024春•越秀区期末）已知函数的图象在点，（2）处的切线方程为． （1）求，的值； （2）求在区间，上的最大值与最小值． 【解答】解：（1）， 所以函数在，（2）处的切线的斜率为（2）， 又在，（2）处的切线方程为， 所以，① 又（2）， 因为在，（2）处的切线方程为， 所以（2）， 所以，② 由①②，解得，． （2）由（1）知，，，， 所以， 令，得， 所以在上，，单调递减， 在上，，单调递增， 在上，，单调递减， 又，（1），（3），， 所以的最大值为10，最小值为， 所以函数在，上的值域为，． ( 考点 13 已知函数的最值求参 ) 81．（2025春•顺德区校级期末）已知函数在内有最小值，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：函数在内有最小值，所以，并且，可得， ， 由，得或（舍去）， 时，；时，； 的增区间是，减区间是， 的极小值点也是最小值点为． ， 解得，， ， 即实数的取值范围是． 故选：． 82．（2021秋•海珠区校级期末）已知函数在区间上有最小值，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：因为在区间上单调递增， 由题意只需，解得， 这时存在，使得在上单调递减，在，上单调递增， 即函数在上有极小值也即最小值， 所以的取值范围是． 故选：． 83．（2025秋•深圳期末）若函数在区间存在最大值，则可以取的值为（　　） A． B．1 C． D． 【解答】解：由题， 因此当或时，，因此在，上单调递增， 当时，，因此在上单调递减， 因此当时取得极大值， 因此要使函数在区间存在最大值， 则可得：，即， 解得的取值范围为． 故选：． 84．（2023秋•深圳校级期末）函数在区间，，上的最大值与最小值之和为，则的最小值为 　　． 【解答】解：， 令，，，， 因为定义域关于原点对称，且， 所以为奇函数， 所以在区间，，上的最大值与最小值之和为0， 则函数在区间，，上的最大值与最小值之和为2，即， 又，， 所以， 当且仅当，，即，，等号成立． 故答案为：． ( 考点 14 函数性质综合 ) 85．（2025春•顺德区校级期末）（多选）已知函数，则　　 A．的定义域为 B．的图象在点，（2）处的切线斜率为 C． D．有两个零点，，且 【解答】解：函数， 则，可得且，即函数的定义域为，，，故错误； ， 则，即的图象在点，（2）处的切线斜率为，故正确； ，故正确； 由，可得在和上单调递增， 又， ， 所以函数在存在，使， 由可得， 所以在定义域内有两个零点，，，所以，故正确． 故选：． 86．（2024春•赤坎区校级期末）（多选）已知函数，则　　 A．当 时，函数的最小值为 B．当时，函数的极大值点为 C．存在实数使得函数在定义域上单调递增 D．若恒成立，则实数的取值范围为 【解答】解：已知，函数定义域为， 可得， 对于选项：当时，， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以当时，函数取得极小值也是最小值，最小值，故选项正确； 当时，， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以当时，函数取得极小值， 则为极小值点，故选项错误； 对于选项：假设存在实数使得函数在定义域上单调递增， 此时在上恒成立， 即在上恒成立， 所以在上恒成立， 易知函数在上单调递增且值域为， 所以函数无最小值， 则不存在实数使得函数在定义域上单调递增，故选项错误； 对于选项：若恒成立， 即在上恒成立， 不妨设，函数定义域为， 可得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以当时，函数取得极小值也是最小值，最小值（1）， 所以，故选项正确． 故选：． 87．（2024春•东莞市期末）（多选）已知函数，下列选项正确的是　　 A．有最大值 B． C．若时，恒成立，则 D．设，为两个不相等的正数，且，则 【解答】解：对于选项：已知，函数定义域为， 可得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以当时，函数取得极大值也是最大值，最大值（1），故选项正确； 对于选项：因为，， 所以， 则，故选项错误； 对于选项：不妨设，函数定义域为，， 可得， 因为（e）， 若时，恒成立， 可得当时，恒成立， 此时（e）， 解得， 若， 此时恒成立， 所以在，上单调递减， 则（e），符合题意， 综上，满足条件的的取值范围为，，故选项正确； 对于选项：因为，为两个不相等的正数，且， 所以， 即， 因为函数在上单调递增，在上单调递减， 当时，， 当时，， 不妨设， 不妨设，函数定义域为， 可得恒成立， 所以函数在上单调递增， 此时， 所以当时，， 即当时，， 整理得， 因为函数在上单调递增，且，， 所以， 即，故选项正确． 故选：． 88．（2025春•云浮期末）（多选）已知函数，则下列说法正确的是　　 A．存在实数，使得的图象关于轴对称 B．存在实数，，使得有零点 C．当时，在上的最小值小于 D．当时，， 【解答】解：对于选项：当时，函数，，此时的图象关于轴对称，故正确； 对于选项：令，则， 当，时， ，，，又，当且仅当时，等号成立， 关于的方程无解，即函数无零点，故错误； 对于选项，：当时，，其中，则． 函数，在上均为增函数， 函数在上为增函数． ，， 存在，使得，则． 当时，， 当时，， 在，上单调递减，在上单调递增， ． ，，则， ， ，且，故，正确． 故选：． 89．（2024春•中山市校级期末）（多选）已知函数，下列选项正确的有　　 A．函数在上单调递减，在上单调递增 B．对任意， C．当时， D．且 【解答】解：对于选项，，，， 则， 令，，，， 则， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 所以对任意，，，，即， 所以在，上都是减函数，故不正确； 对于选项：令，， ， 所以在上单调递减， 所以，即，即，故正确； 对于选项：令，，， 当时，，单调递增， 所以当时，，即， 所以，故正确； 对于选项：由知，在，上单调递减， 则对任意，，， 即，所以当时，， 即． 所以，，，，， 即当时，等号成立），故正确． 故选：． 90．（2022春•江门期末）（多选）给定函数，则下列结论正确的是　　 A．函数有两个零点 B．函数在上单调递增 C．函数的最小值是 D．当或时，方程有1个解 【解答】解：因为，所以， 由，得，所以在单调递增， 由，得，所以在单调递减， 又因为，恒成立，（1），，结合单调性可知，大致图象如下： 对于选项，由图象知，函数只有一个零点，故错误； 对于选项，函数的单调递增区间为，而，，，所以函数在上单调递增，故正确； 对于选项，函数的最小值是，故正确； 对于选项，由图象可知，当或时，方程有1个解，故正确． 故选：． 91．（2021春•云浮期末）（多选）已知函数，则　　 A．是偶函数 B．在上的最大值为1 C．在，上为减函数 D．在上有且仅有1个零点 【解答】解：对于：因为，， 所以（1）， 所以不是偶函数，故错误； 对于， 设， 则， 因为，所以， 当时，， 当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 因为，，，， 所以函数在上单调递增，最大值为，故正确； 对于：函数在，上先减后增，故错误； 对于：又，，所以在上为有且仅有1个零点，故正确． 故选：． 92．（2025春•云浮期末）（多选）已知函数，则　　 A．的图象关于点对称 B．的极大值点为 C．在区间，上的值域为 D．若关于的方程有两个不相等的实数根，则实数的值为 【解答】解：设，因为，所以函数为奇函数， 则其图象关于原点对称，将函数的图象向上平移4个单位长度得到的图象，所以的图象关于点对称，故正确； 因为，则， 令，解得或， 当或时，，当时，， 在和上单调递增，在上单调递减， 故的极大值点为，故错误； 由选项可知，在，上单调递减，在，上单调递增， 所以当属于，时， 又，（3）， 所以在区间，上的值域为，故正确； 画出函数的图象，如图所示， 由得， 若关于的方程有两个不相等的实数根， 则函数的图象与直线有两个交点， 由图象知或，所以的值为或，故错误． 故选：． 93．（2025秋•龙岗区期末）（多选）设函数，其中为实数，则（　　） A．是定义在上的奇函数 B．若在上单调递增，则的取值范围为 C．若为在上的极小值点，当时，的最小值为 D．当时，在上有且仅有2个零点 【解答】解：对于选项，因为的定义域为关于原点对称， 且， 所以是定义在上的奇函数，故正确； 对于选项，因为，若在上单调递增， 则需保证恒成立，所以，， 当时，的最小值为，故，解得，故，； 当时，的最小值为，故，解得，故，； 当时，，成立；所以，，故错误； 对于选项，因为为在上的极小值点， 所以，即，解得， 因为，，所以，所以， ，，， 所以， 因为，，所以，，故，最小值为，故正确； 对于选项，，的零点满足，即， 令， 当时，，，则与的图象无交点； 当时，，，与的图象可能有交点； 因为，，，， 所以在内有两个解，设为，，且， 则，， 所以在上，单调递增； 在，上，单调递减； 在，上，，单调递增． 故是极小值点，； 当时，，递减，，； 当时，，递增，，； 由零点存在定理可知，在和内各有一个零点，共2个，故正确． 故选：． ( 考点 15 利用导数证明不等式 ) 94．（2024春•东莞市期末）已知函数的图象在点处的切线方程是． （1）求实数的值； （2）若，求证：． 【解答】解：（1）易知， 此时， 因为函数的图象在点处的切线斜率为， 所以， 解得； （2）证明：设，函数定义域为， 可得， 此时在上恒成立， 所以函数在上单调递减， 则， 即， 因为， 所以． 95．（2025秋•潮阳区校级期末）已知函数． （1）求的单调区间； （2）若对恒成立，求的取值范围； （3）证明：对于任意正整数，都有． 【解答】解：（1）函数的定义域为， ， 当时，恒成立，所以在上单调递增； 当时，令，可得， 则当时，，单调递减，当时，，单调递增， 综上，当时，的递增区间为； 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为． （2）若对恒成立，则， 令，则，当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以的最大值为（1），故，即的取值范围是，． （3）证明：由（1）可得，当时，（1），即， 令，得， 则． 96．（2025春•东莞市期末）已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若方程有两根，求的取值范围； （3）证明：当时，． 【解答】解：（1）由题意有． 当时，，在单调递减； 当时，令，得，单调递增； 令，得，单调递减． 综上所述，当时，在单调递减； 当时，在单调递减，在单调递增． （2）由（1）知，当时，在单调递减，所以方程最多一根，故． 因为当时，在单调递减，在单调递增， 又因为，，且，， 故要使方程有两根，则， 即，得，故的取值范围为． （3）证明：要证， 即， 令， 则只需证， 当时，，上式显然成立； 现证当时上式成立： 由（1）知，， 取， 即得， 取， 即可得， 即得证． 97．（2025春•福田区校级期末）已知函数． （1）证明：当时，恒成立； （2）求函数的单调区间； （3）设数列，的前项和为，证明：． 【解答】解：（1）证明：由已知当时，，， ， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，上单调递增， 所以； （2）由题意可得，， 当时，，在上单调递减； 当时，令，解得，令，解得， 所以在上单调递减，在上单调递增； 综上，当时，函数的单调递减区间为； 当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为； （3）由（1）得，即在上恒成立，且当时，不等式取等号， 所以当时，， 即， 所以． 98．（2025春•肇庆期末）已知函数，． （1）若，求的极小值； （2）讨论的单调性； （3）当时，证明：． 【解答】解：（1）根据题意得，函数，因此函数的定义域为， 所以导函数，令导函数，即，解得， 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减； 当时，函数取得极小值． （2）根据题意得，的定义域为，，， 所以导函数， 因为，那么只需判断的符号． ①当时，，则在和上单调递减； ②当时，同理可求在和上单调递减，在上单调递增； ③当时，令，解得， 当或时，，在和上单调递减； 当时，，在上单调递增． 综上所述， 当时，在及上单调递减； 当时，在和上单调递减，在上单调递增； 当时，在和上单调递减，在上单调递增． （3）由题意需证，设，则的定义域为． 因为，所以，所以在上单调递增， 因为，，所以在上有零点，且， 易知当时，因此，当，时，， 所以当时，取得最小值． 由得，因此， 故， 所以，所以． 99．（2025春•揭阳期末）已知函数，． （1）求的极小值； （2）若，． 讨论的单调性； 当时，设的极大值是（a），求证：． 【解答】解：（1）的定义域为，， 令得，令得，令得，故的极小值为； （2），定义域为， ， 若，则，令得， 令得，故在上单调递增，在上单调递减， 若，令得或， 当时，，此时恒成立， 故在上单调递增， 当时，， 令得或， 令得， 故在上单调递减，在，上单调递增； 当时，，令得或，令得， 故在上单调递减，在，上单调递增， 综上，当时，在上单调递增，在上单调递减， 当时，在上单调递增， 当时，在上单调递减，在，上单调递增， 当时，在上单调递减，在，上单调递增； 证明：由可得当时，在上单调递减，在，上单调递增； 故时，取得极大值，故， ， 因为，所以，令（a）得，解得， 即，令（a）得，， 所以（a）在上单调递减，在，上单调递增， 故． ( 考点 16 利用导数研究不等式恒成立问题 ) 100．（2025春•广东校级期末）已知当时，函数恒成立，求实数的取值范围是（　　） A． B． C．， D．， 【解答】解：当时，函数（e），因此不符合题意； 当，根据函数，即， 令函数，导函数， 因此函数在上单调递增， 因为，即， 所以在上恒成立， 所以，令函数， 导函数， 因此时，，单调递减， 时，，单调递增， 即， 所以． 故选：． 101．（2025春•东莞市期末）已知函数，若恒成立，则正整数的最大值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【解答】解：原不等式等价于，如图， 由图可知，如果满足题意，你们只需小于与两个函数相切时的的值即可， 设公切点为，，由于导函数，， 因此，因此，因此， 令函数，因此导函数，因此函数单调递增， 由于，， 因此存在，使得， 因此，令，那么， 根据对勾函数的性质知单调递减， 所以，所以正整数的最大值为2． 故选：． 102．（2024秋•龙岗区校级期末）已知函数． （1）求函数的单调区间和极值． （2）若对，恒成立，求实数的取值范围． 【解答】解：（1）因为， 则， 合，可得或，列表如下： 3 0 0 增 极大值 减 极小值 增 所以，函数 的增区间为、，减区间为， 函数的极大值为，极小值为（3）． （2）由（1）可知，函数在区间，上单调递增，在，上单调递减，在，上单调递增， 且，故当，时，，（3）（3）， 因为，对，恒成立，则，解得， 因此，实数的取值范围是． 103．（2025春•梅州期末）已知函数． （1）讨论函数的单调区间； （2）若不等式在，上恒成立，求实数的取值范围． 【解答】解：（1）， ①当时，导函数，因此函数在单调递增； ②当时， 根据导函数，可得：，根据导函数，可得：， 因此函数在单调递增，在单调递减， 综上所述，当时，在单调递减，在单调递增； 当时，在单调递增． （2）令函数， 导函数，，， 令函数， 由于，，根据导函数， 可得（即在，上单调递增， 当时，在，上恒成立， 因此得在，上单调递增，那么， 即有，符合题意； 当时，， 令函数，那么导函数， 当时，；当时，， 那么函数在上单调递增，在上单调递减， 因此， 因此（a），又因为导函数在，上单调递增，且， 故，使得， 则当时，，当，时，， 即在上单调递减，在，上单调递增， 故，不符合题意； 综上所述，实数的取值范围是，． 104．（2025春•深圳校级期末）已知函数． （1）若，求函数在，（1）处的切线方程； （2）若对任意，恒成立，求实数的取值范围． 【解答】解：（1）时，，所以， 所以（1），， 所以函数在处的切线方程为，即； （2）因为对任意，恒成立， 所以对任意，恒成立，又，所以， 所以在上恒成立， 设，则， 令，则， 所以在上单调递增，又（1）， 所以当，时，（1），单调递减； 当，时，（1），单调递增， 所以（1）， 所以若， 故实数的取值范围是，． 105．（2024春•东莞市期末）已知函数，，． （1）求函数的单调区间； （2）若且恒成立，求的最小值． 【解答】解：（1）由题意可得的定义域为， ， 当时，由于，所以恒成立，从而在上递增； 当时，令，解得，令，解得， 从而在上递增，在，递减； （2）令，要使恒成立， 只需恒成立，则即可， ， 令，解得或（舍， 在上单调递增，在，上单调递减， 所以， 解得：，所以的最小值为． 106．（2024春•肇庆校级期末）已知，． （1）讨论函数的单调性． （2）设，，若在时恒成立，求实数的取值范围． 【解答】解：（1）由于， 当时，，在上单调递减； 当时，由得，由得，所以在上单调递减，上单调递增， 综上所述，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，上单调递增； （2）令，显然，时． 当时，． 所以在上单调递增． 又因为（3），所以时，；，时，． 综上，时，；，时，． 要使在上恒成立，只需在上恒成立即可． 又． 令，则． 由知在上单调递减； 由知在上单调递增． 所以，则， 即实数的取值范围为，． ( 考点 17 利用导数研究函数的零点 ) 107．（2025秋•广州期末）已知函数有两个零点，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：当时，函数为增函数，至多有一个零点，不满足题意； 当时，，令，得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以， 要使函数有两个零点，则， 解得，即的取值范围是． 故选：． 108．（2021秋•东莞市期末）已知且，函数． （1）若，求函数在处的切线方程； （2）若函数有两个零点，求实数的取值范围． 【解答】解：（1）当，，则， 故（1）， 时，（1），故切点为， 所以在处的切线方程为，即； （2）函数有两个零点等价于方程在上有两个解， 等价于方程在上有两个根， 等价于函数与的图象在上有两个交点， 设，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在，上单调递减， 由（1），， 当时，，当时，．作图如下， 由图得，即，设，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在，上单调递增， 因为时，且（1）， 所以当时，，当时，， 又因为，所以的解集为， 综上所述：实数的取值范围为，，． 109．（2025春•顺德区校级期末）已知，，函数，，． （1）当时，求的极值； （2）若存在零点． 当时，求的取值范围； 求证：． 【解答】解：（1）时，， 当时，，函数单调递增，既无极大值也无极小值． 当时，，，，函数单调递减，，，函数单调递增， 函数的极小值是，无极大值． （2）当时，因为函数存在零点，故有解， 若，此时无解，所以，有解，， ①若，单调递增，，此时不存在零点； ②若，令，，， 由零点存在定理可知存在，， 所以在上为减函数，在，上为增函数， 故，解得，故， 即的取值范围是，． 证明：因为函数存在零点，所以有解，其中， 若，则，该式不成立，故． 故，考虑直线， 表示原点与直线上的动点之间的距离， ，所以， 时，要证，只需证， 即证， 令，，则， 令，，故，在上为增函数，故， 即，在上为增函数， 故，故，即成立． 110．（2025秋•揭阳期末）已知函数． （1）判断函数的单调性； （2）当时，证明：曲线恒在曲线的上方； （3）当恰有四个零点，，，时，证明：． 【解答】解：（1）由得函数定义域为，，， 且，令，即，． 当时，，当或时，， 在上单调递增，在和上单调递减． （2）证明：． 令， ，故在上单调递增． （1），即． 由（1）可知在单调递增，，， 即，即曲线恒在曲线的上方． （3）证明：令，得或， 由题意得直线与两条曲线，共有四个交点． 对于且， 当时，，此时在上单调递增， 当时，，此时在上单调递减， 当时，，此时在上单调递减， 同（2）可证，当时，曲线恒在曲线的下方 如图所示，，且． 由，得． ，，且在上单调递减， ，即．． 同理：，得， ，，且在上单调递增， ，即，． 故，即，得证． 111．（2023秋•清远期末）已知函数． （1）若，求； （2）设函数，证明：在上有且仅有一个零点，且． 【解答】解：（1）由，得， ． （2）证明：由，得． ①当时，，单调递增． 又，由于，而， ，又， 由零点存在定理可知，在内有唯一零点，使得． 当时，， ，则在上无零点； 当时，， ，则在上无零点． 综上，在上有且仅有一个零点． ②由①，得，且， 则． 在上单调递增， 则，故． 112．（2025春•茂名期末）已知函数． （1）求的单调区间及最值； （2）设，讨论在区间，上的零点个数． 【解答】解：（1）导函数，令，解得． 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减， 因此当时，函数取最小值为，没有最大值． 因此函数单调递增区间为，单调递减区间为， 且没有最大值，最小值为． （2），由（1），可知在，上递增，而，（1）． 根据的不同取值，分情况讨论： ①当时，对于，，由于，则恒成立，故没有零点． ②当时，由（1），即恒成立，故没有零点； ③当时，由的单调性，可知存在唯一，，使（c）， 故有唯一零点． 综上，当时，在，上没有零点； 当时，在，上有1个零点． 113．（2025春•广州期末）已知函数． （1）讨论的单调性； （2）判断的零点个数，并说明理由． 【解答】解：（1）函数，， 当时，，当或时，， 所以在，上单调递减，在上单调递增； （2）令得，，根据（1）的单调性结合极小值点，可作出函数的图象， 当，即时，的零点个数为2个； 当或，即或时，的零点个数为1个； 当，即时，的零点个数为0个； 综上，当时，的零点个数为2个； 当时，的零点个数为0个； 当或时，的零点个数为1个． ( 考点 18 利用导数研究双变量问题 ) 114．（2025秋•梅州期末）已知函数，． （1）若是的极值点，求的值并说明是极大值点还是极小值点； （2）若时，，求的取值范围； （3）对的定义域内的任意，，证明：． 【解答】解：（1）的定义域为，， 因为是函数的极值点，所以，解得， 当时，， 因为，；时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以是的极大值点． （2）， 当时，，， 时，；时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以时，，不合题意． 当时，由，得， 当，即时，对成立， 所以在上单调递减，所以时，合题意； 当，即时，成立， 所以在上单调递增， 所以当时，，不合题意． 综上，的取值范围是． （3）证明：因为， 所以要证成立， 只要证成立， 因为，所以只要证成立， 因为，， 所以只要证成立． 记， 则，对成立， 所以在上单调递减， 当时，（1），所以， 取，由知，从而， 所以成立，故原不等式成立． 115．（2022秋•白云区校级期末）已知函数，． （Ⅰ）讨论函数的单调性； （Ⅱ）若，对任意，，当时，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【解答】解：由，得， 若，则恒成立，当且仅当时等号成立，故的增区间为，无减区间， 若，则当或时，，当时，，故的增区间为，，减区间为， 若，同理可得的增区间为，，减区间为； 若，则， 由可得增区间为，故即为， 故，设，故为上的减函数， 而， 所以在上恒成立， 故在上恒成立， 设，故， 当时，，当时，， 故在上为增函数，在上为减函数， 故（1），故，即， 故实数的取值范围为，． 116．（2025春•越秀区期末）已知函数有两个极值点． （1）求实数的取值范围； （2）记两个极值点分别为，，证明：． 【解答】解：（1）知函数有两个极值点， 由题意得，，有两个不等式正根， 因为有两个极值点，所以方程有两个不相等的正根， 所以，解得， 检验：当时，由得，， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 此时函数有两个极值点，满足题意． 所以实数的取值范围为． （2）证明：由（1）知，， 所以， 所以． 令，则， 令，则在时恒成立， 所以在上单调递增． 因为，（1） 所以函数存在唯一零点，即， 当时，，单调递减；当，时，，单调递增， 当时，存在最小值，即． 因为，所以，所以， 所以． ( 考点 19 导数中的极值偏移问题 ) 117．（2025秋•广州期末）已知函数． （1）若恒成立，求实数的取值范围； （2）若有两个极值点，，证明：． 【解答】（1）解：由题意可知， ， 令， 则， 故在单调递增，且， 所以当时，，当时，， 当时，在时，，； 在时，，． 故在单调递增，且，满足条件； 当时，存在和， 使得． 在，时，，单调递减， 且，但不满足恒成立， 综上，的取值范围为，． （2）证明：由得， 令，则． 由，知在单调递增． 不妨设，要证，只需证，即． 因为，所以只需证． 令，则， 求导：， 当时，，， 故，在单调递增，，即， 所以，即， 又单调递增，故，即． 118．（2025秋•汕头校级期末）已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若对所有成立，求的最小值； （3）设，若有两个零点，，求证：． 【解答】解：（1）函数的定义域为，， 当时，，即在上恒成立，所以在上单调递增． 当时，令，解得， ，即在上单调递增． ，即在上单调递减． 综上，当时，在上单调递增， 当时，在上单调递减，在上单调递增． （2）由，得对所有成立， 令，则， 令， 当时，，在上单调递增． 当时，，在上单调递减． 所以在处取得最大值，（1）． 因为恒成立， 所以，即的最小值为1． （3）证明：． ，且， 令，得， 由有两个零点，且有唯一的正根，此时， 当时，，在单调递减， 当时，，在，单调递增． 所以是的极小值点，且，两个零点满足． 因为，解得， 又因为（1），，且是的极小值点， 所以，将代入得到， 若，则，与矛盾， 所以，即，可以得到． 所以位于的递增区间，内． ， 将代入得，， 因为，所以， 又与都在的递增区间，内， 所以有，即． 119．（2025春•中山市校级期末）已知函数． （1）当时，求函数的图象在处的切线方程； （2）讨论函数的单调性； （3）当时，若方程有两个不相等的实数根，，求证：． 【解答】解：（1）由题意函数， 当时，， 所以，，， 所以函数的图象在处的切线方程为，即； （2）由题意函数， 可得， ，令，得， 所以当时，，当时，， 所以在上是增函数，在上是减函数； （3）证明：当时，，，由（2）得在上单调递减，在单调递增， 所以，且时，，当时，，（1）， 所以当方程有两个不相等的实数根，，不妨设，且有，， 构造函数， 则， 当时，，所以， 在上单调递减，且， ， 由，， ， 在上单调递增， ， ． 即得证． 120．（2025春•深圳期末）已知函数． （1）令，对恒成立，求的最大值． （2）若有两个零点，，求的范围，并证明：． 【解答】解：（1）， 则， 由，可得对恒成立， 因此对恒成立， 因此对恒成立， 得对恒成立， 记函数，，则， 当，，，在，单调递减， 当，，，在单调递增， 因此， 因为，， 因此， 所以，即，因此的最大值为1， （2）证明：因为导函数， 由于， 当时，那么，此时导函数， 函数在定义域内单调递减，此时不满足有两个零点， 当时，令导函数，那么， 此时在单调递减，导函数，那么， 此时在单调递增， 且当，，，， 要使函数有两个零点，，则， 那么， 记，则在单调递增，因为， 所以时，， 因此， 记，， 则 ， 由于，，所以， 因此函数在单调递增， 故， 进而可得，即可， 由于，则， 由于，所以，又，在单调递减， 故， 即． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 导数及其应用 高频考点概览 考点01 平均变化率和瞬时变化率 考点02 导数定义的计算 考点03 导数的几何意义 考点04 导数的运算 考点05 原函数与导函数的图象 考点06 不含参函数的单调性 考点07 含参函数的单调性 考点08 单调性的应用 考点09 由图象确定函数的极值 考点10 求函数的极值 考点11 已知极值或极值点求参 考点12 求函数的最值 考点13 已知函数的最值求参 考点14 函数性质综合 考点15 利用导数证明不等式 考点16 利用导数研究不等式恒成立问题 考点17 利用导数研究函数的零点 考点18 利用导数研究双变量问题 考点19 导数中的极值偏移问题 考点01 平均变化率和瞬时变化率 1．（2021春•清远期末）已知函数，则在，上的平均变化率为（　　） A．4 B．3 C．2 D． 2．（2021春•珠海期末）若函数在区间，上的平均变化率为3，则　　． 3．（2025春•中山市校级期末）若函数在，上的平均变化率与它在处的瞬时变化率相等，则（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（2025秋•天河区校级期末）已知车轮旋转的角度（单位：与时间（单位：之间的关系为，则车轮转动开始后第时的瞬时角速度大小为（　　） A． B． C． D． 5．（2025春•佛山期末）某海湾一固定点处大海水深与时间之间的关系为，则该处水位变化速度的最大值是（　　） A． B． C． D．4 6．（2023春•香洲区校级期末）一质点沿直线运动，位移（单位：与时间（单位：之间的关系为，则这段时间内的平均速度为 　　；时的瞬时速度为 　　． 7．（2022春•荔湾区期末）在一次高台跳水运动中，某运动员在运动过程中的中心相对于水面的高度（单位：与起跳后的时间（单位：存在函数关系，则运动员在时瞬时速度为（　　） A． B． C． D． 考点02 导数定义的计算 8．（2025秋•源城区校级期末）已知是定义在上的可导函数，若，则（2） ． 9．（2025秋•深圳期末）已知函数的导函数为，且，则（2）（　　） A．2 B． C．4 D． 10．（2025春•清远期末）已知，则的值为（　　） A． B． C．0 D．2 11．（2024秋•深圳校级期末）若函数在处的导数等于，则的值为（　　） A． B． C． D． 12．（2023春•香洲区校级期末）若，则可导函数在处的导数为（　　） A． B． C．1 D．2 13．（2024春•潮州期末）函数在处的切线斜率为（　　） 考点03 导数的几何意义 A．1 B． C． D． 14．（2023秋•高州市期末）曲线在点处的切线的倾斜角为 　　． 15．（2025秋•潮阳区校级期末）曲线在点，（1）处的切线方程为（　　） A． B． C． D． 16．（2025秋•龙岗区校级期末）已知曲线在点处的切线与直线垂直，则的值为（　　） A．3 B． C． D． 17．（2025秋•汕头校级期末）函数过点的切线斜率为（　　） A．1 B．9 C．0或9 D．0或 18．（2025春•云浮期末）曲线在处的切线斜率为2，则（　　） A． B．1 C．0 D． 19．（2025春•湛江期末）函数在处的切线与直线平行，则实数（　　） A． B．1 C． D． 20．（2025春•深圳期末）设曲线，在处的切线与垂直，则（　　） A． B．2 C． D． 21．（2025春•广州期末）已知函数，是的导函数，则（　　） A．（2）（3）（2）（3） B．（3）（2）（3）（2） C．（3）（3）（2）（2） D．（2）（3）（3）（2） 22．（2025秋•惠州校级期末）曲线上的点到直线的最短距离是 ． 23．（2024春•中山市校级期末）若点在曲线上移动，经过点的切线的倾斜角为，则角的取值范围是（　　） A． B． C． D． 24．（2025春•新会区校级期末）设函数，则曲线在点，处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（　　） A． B． C． D． 25．（2024秋•河源期末）已知曲线和存在一条过坐标原点的公切线，则实数　　 ． 26．（2023春•汕头期末）已知直线是曲线与曲线的公切线，则的值为 　　． 考点04 导数的运算 27．（2025秋•源城区校级期末）已知函数，则（4）（　　） A．0 B．64 C． D．128 28．（2025秋•南山区期末）记函数的导函数为，若（1），则（　　） A． B． C．1 D．2 29．（2024秋•深圳校级期末）函数的导数为（　　） A． B． C． D． 30．（2024春•越秀区期末）已知，则（　　） A． B． C． D． 31．（2025秋•深圳期末）函数的导数是 ． 32．（2024春•肇庆校级期末）已知函数，则（1）（　　） A．1 B．2 C． D． 考点05 原函数与导函数的图象 33．（2024秋•龙岗区校级期末）已知函数的图象是下列四个图象之一．且其导函数的图象如图所示，则该函数的图象是（　　） A． B． C． D． 34．（2023春•越秀区期末）设函数在上可导，其导函数为，且函数在处取得极大值，则函数的图象可能是（　　） A． B． C． D． 35．（2022春•南沙区期末）已知函数的导函数的图象如图所示，则的图象可能是　　 A． B． C． D． 36．（2020春•东莞市期末）设函数的导函数图象如图，则函数的图象可能为　　 A． B． C． D． 考点06 不含参函数的单调性 37．（2025秋•潮阳区校级期末）函数的单调递减区间为（　　） A．，， B．， C．，， D．， 38．（2025秋•天河区校级期末）（多选）已知函数，则（　　） A． B．在上单调递减 C．当时， D．的最小值为 39．（2025春•深圳期末）函数的单调递增区间为（　　） A．与 B．，， C． D． 40．（2025春•东莞市期末）函数的单调递减区间为（　　） A． B． C． D． 考点07 含参函数的单调性 41．（2025秋•潮州期末）已知函数，． （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）讨论函数的单调性； （3）已知曲线与曲线有两个不同的交点，求实数的取值范围． 42．（2025春•中山市校级期末）已知函数． （1）当时，求函数的图象在处的切线方程； （2）讨论函数的单调性； （3）当时，若方程有两个不相等的实数根，，求证：． 43．（2025春•东莞市期末）已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若方程有两根，求的取值范围； （3）证明：当时，． 44．（2025春•梅州期末）已知函数． （1）讨论函数的单调区间； （2）若不等式在，上恒成立，求实数的取值范围． 45．（2025春•揭阳期末）已知函数，． （1）求的极小值； （2）若，． 讨论的单调性； 当时，设的极大值是（a），求证：． 考点08 单调性的应用 46．（2024秋•龙岗区期末）已知函数在区间，上单调递减，则实数的取值范围为（　　） A． B． C． D． 47．（2024秋•深圳期末）若函数在，上单调递减，则的取值范围为（　　） A． B． C． D． 48．（2025春•深圳校级期末）若、，都有，则实数的取值范围是（　　） A．， B．， C．， D．， 49．（2025春•福田区校级期末）已知函数在上单调递增，则的最大值为 　　 ． 50．（2024秋•深圳校级期末）已知函数在内不是单调函数，则实数的取值范围是（　　） A． B．， C．，， D．， 51．（2025春•中山市校级期末）定义在上的函数满足，且（5），则不等式的解集为（　　） A． B． C． D． 52．（2025春•潮州期末）已知是函数的导数，且，，（2），则不等式的解集为（　　） A． B． C． D． 53．（2025春•东莞市期末）（多选）已知为上的偶函数，（1），为的导函数，且当时，，则　　 A．当时， B．（1） C．（2）（4） D． 54．（2024秋•梅州期末）已知，则（　　） A． B． C． D． 考点09 由图象确定函数的极值 55．（2025春•梅州期末）已知为函数的导函数，导函数的图象的大致形状如图所示，则下列关于函数的信息，正确的是（　　） A．（3） B．（3） C．在处取得最小值 D．在处取得极大值 56．（2025春•东莞市期末）如图，直线与曲线相切于点，则函数在上的极值点的个数为（　　） A．3 B．2 C．1 D．0 57．（2025春•广东校级期末）（多选）已知函数的定义域为，的导函数的图象大致如图所示，则下列结论中正确的是（　　） A．在上单调递减 B．是的极小值点 C．是的极大值点 D．曲线在处的切线斜率为2 58．（2024春•广州期末）（多选）函数的定义域为，导函数在内的图象如图所示，则　　 A．函数在内一定不存在最小值 B．函数在内只有一个极小值点 C．函数在内有两个极大值点 D．函数在内可能没有零点 59．（2023秋•盐田区校级期末）（多选）已知定义域为，的函数的导函数为，且的图象如图所示，则　　 A．在上单调递减 B．有极小值（2） C．有2个极值点 D．在处取得最大值 60．（2022秋•盐田区校级期末）（多选）函数，，的导函数图象如图所示，下列结论中一定正确的是　　 A．的减区间是， B．的增区间是，，， C．有一个极大值点，两个极小值点 D．有三个零点 考点10 求函数的极值 61．（2023春•江门期末）函数的极大值为　　． 62．（2025春•广东期末）函数的极小值点是（　　） A． B． C． D． 63．（2025春•深圳期末）已知函数． （1）求函数在，处的切线方程； （2）当，时，求函数的极值． 64．（2023秋•盐田区校级期末）已知函数． （1）求曲线在点，（2）处的切线方程； （2）求函数的极值． 65．（2024春•梅州期末）已知函数，， （1）当时，求函数的极值； （2）函数在区间，上为单调函数，求的取值范围． 66．（2022春•广州期末）已知函数，． （1）若，求函数的极大值； （2）若曲线在处的切线与曲线相切，求的值． 考点11 已知极值或极值点求参 67．（2024秋•潮州期末）已知函数在处取得极大值，则实数的取值范围为（　　） A．， B． C． D．， 68．（2024春•肇庆期末）已知函数，且，为自然对数的底数）恰有两个极值点，，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 69．（2025秋•潮阳区校级期末）函数有两个极值点，则实数的取值范围为 ． 70． （2025秋•龙岗区期末）函数有两个不同的极值点，则的取值范围为 . 71．（2015秋•东莞市期末）已知函数在处有极小值，则实数的值为（　　） A．2 B．2或6 C．6 D．4或6 72．（2025春•江门校级期末）已知在处的极大值为5，则（　　） A． B．6 C．或6 D．或2 73．（2025春•东莞市期末）已知是函数的极小值点，那么函数的极大值为（　　） A．0 B．1 C．2 D．4 74．（2025春•越秀区期末）（多选）已知是函数的极大值点，则　　 A．函数的极小值为0 B．若，则 C．若，则有3个相异的零点 D．若（其中，则 考点12 求函数的最值 75．（2025春•江门校级期末）函数在区间，上的最大值是（　　） A． B． C．16 D．9 故选：． 76．（2025春•广州期末）将一个边长为的正方形铁片的四角截去四个边长相等的小正方形，做成一个无盖方盒，则方盒的容积的最大值为 　　 ． 77．（2020秋•福田区校级期末）已知函数． （1）求函数的单调区间； （2）当，时，求函数的最大值与最小值． 78．（2024春•佛山期末）函数，，的最小值为（　　） A． B． C．9 D．16 79．（2024春•广东期末）当，时，函数的最小值为 　　． 80．（2024春•越秀区期末）已知函数的图象在点，（2）处的切线方程为． （1）求，的值； （2）求在区间，上的最大值与最小值． 考点13 已知函数的最值求参 81．（2025春•顺德区校级期末）已知函数在内有最小值，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 82．（2021秋•海珠区校级期末）已知函数在区间上有最小值，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 83．（2025秋•深圳期末）若函数在区间存在最大值，则可以取的值为（　　） A． B．1 C． D． 84．（2023秋•深圳校级期末）函数在区间，，上的最大值与最小值之和为，则的最小值为 　　． 考点14 函数性质综合 85．（2025春•顺德区校级期末）（多选）已知函数，则　　 A．的定义域为 B．的图象在点，（2）处的切线斜率为 C． D．有两个零点，，且 86．（2024春•赤坎区校级期末）（多选）已知函数，则　　 A．当 时，函数的最小值为 B．当时，函数的极大值点为 C．存在实数使得函数在定义域上单调递增 D．若恒成立，则实数的取值范围为 87．（2024春•东莞市期末）（多选）已知函数，下列选项正确的是　　 A．有最大值 B． C．若时，恒成立，则 D．设，为两个不相等的正数，且，则 88．（2025春•云浮期末）（多选）已知函数，则下列说法正确的是　　 A．存在实数，使得的图象关于轴对称 B．存在实数，，使得有零点 C．当时，在上的最小值小于 D．当时，， 89．（2024春•中山市校级期末）（多选）已知函数，下列选项正确的有　　 A．函数在上单调递减，在上单调递增 B．对任意， C．当时， D．且 90．（2022春•江门期末）（多选）给定函数，则下列结论正确的是　　 A．函数有两个零点 B．函数在上单调递增 C．函数的最小值是 D．当或时，方程有1个解 91．（2021春•云浮期末）（多选）已知函数，则　　 A．是偶函数 B．在上的最大值为1 C．在，上为减函数 D．在上有且仅有1个零点 92．（2025春•云浮期末）（多选）已知函数，则　　 A．的图象关于点对称 B．的极大值点为 C．在区间，上的值域为 D．若关于的方程有两个不相等的实数根，则实数的值为 93．（2025秋•龙岗区期末）（多选）设函数，其中为实数，则（　　） A．是定义在上的奇函数 B．若在上单调递增，则的取值范围为 C．若为在上的极小值点，当时，的最小值为 D．当时，在上有且仅有2个零点 考点15 利用导数证明不等式 94．（2024春•东莞市期末）已知函数的图象在点处的切线方程是． （1）求实数的值； （2）若，求证：． 95．（2025秋•潮阳区校级期末）已知函数． （1）求的单调区间； （2）若对恒成立，求的取值范围； （3）证明：对于任意正整数，都有． 96．（2025春•东莞市期末）已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若方程有两根，求的取值范围； （3）证明：当时，． 97．（2025春•福田区校级期末）已知函数． （1）证明：当时，恒成立； （2）求函数的单调区间； （3）设数列，的前项和为，证明：． 98．（2025春•肇庆期末）已知函数，． （1）若，求的极小值； （2）讨论的单调性； （3）当时，证明：． 99．（2025春•揭阳期末）已知函数，． （1）求的极小值； （2）若，． 讨论的单调性； 当时，设的极大值是（a），求证：． 考点16 利用导数研究不等式恒成立问题 100．（2025春•广东校级期末）已知当时，函数恒成立，求实数的取值范围是（　　） A． B． C．， D．， 101．（2025春•东莞市期末）已知函数，若恒成立，则正整数的最大值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 故选：． 102．（2024秋•龙岗区校级期末）已知函数． （1）求函数的单调区间和极值． （2）若对，恒成立，求实数的取值范围． 103．（2025春•梅州期末）已知函数． （1）讨论函数的单调区间； （2）若不等式在，上恒成立，求实数的取值范围． 104．（2025春•深圳校级期末）已知函数． （1）若，求函数在，（1）处的切线方程； （2）若对任意，恒成立，求实数的取值范围． 105．（2024春•东莞市期末）已知函数，，． （1）求函数的单调区间； （2）若且恒成立，求的最小值． 106．（2024春•肇庆校级期末）已知，． （1）讨论函数的单调性． （2）设，，若在时恒成立，求实数的取值范围． 考点17 利用导数研究函数的零点 107．（2025秋•广州期末）已知函数有两个零点，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 108．（2021秋•东莞市期末）已知且，函数． （1）若，求函数在处的切线方程； （2）若函数有两个零点，求实数的取值范围． 109．（2025春•顺德区校级期末）已知，，函数，，． （1）当时，求的极值； （2）若存在零点． 当时，求的取值范围； 求证：． 110．（2025秋•揭阳期末）已知函数． （1）判断函数的单调性； （2）当时，证明：曲线恒在曲线的上方； （3）当恰有四个零点，，，时，证明：． 111．（2023秋•清远期末）已知函数． （1）若，求； （2）设函数，证明：在上有且仅有一个零点，且． 112．（2025春•茂名期末）已知函数． （1）求的单调区间及最值； （2）设，讨论在区间，上的零点个数． 113．（2025春•广州期末）已知函数． （1）讨论的单调性； （2）判断的零点个数，并说明理由． 考点18 利用导数研究双变量问题 114．（2025秋•梅州期末）已知函数，． （1）若是的极值点，求的值并说明是极大值点还是极小值点； （2）若时，，求的取值范围； （3）对的定义域内的任意，，证明：． 115．（2022秋•白云区校级期末）已知函数，． （Ⅰ）讨论函数的单调性； （Ⅱ）若，对任意，，当时，不等式恒成立，求实数的取值范围． 116．（2025春•越秀区期末）已知函数有两个极值点． （1）求实数的取值范围； （2）记两个极值点分别为，，证明：． 考点19 导数中的极值偏移问题 117．（2025秋•广州期末）已知函数． （1）若恒成立，求实数的取值范围； （2）若有两个极值点，，证明：． 118．（2025秋•汕头校级期末）已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若对所有成立，求的最小值； （3）设，若有两个零点，，求证：． 119．（2025春•中山市校级期末）已知函数． （1）当时，求函数的图象在处的切线方程； （2）讨论函数的单调性； （3）当时，若方程有两个不相等的实数根，，求证：． 120．（2025春•深圳期末）已知函数． （1）令，对恒成立，求的最大值． （2）若有两个零点，，求的范围，并证明：． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $