第13讲 双曲线定比点差法，极点极线，切线切点弦方程，光学性质讲义-2026年高考数学二轮复习双曲线专题（新高考通用）

该高中数学高考复习讲义聚焦双曲线定比点差法、极点极线、切线与切点弦方程、光学性质四大核心考点，按知识点内在逻辑分层梳理，通过考点精讲、方法归纳、真题演练的教学流程，帮助学生构建知识网络，突破解析几何综合题难点。 资料以数学思维培养为核心，如通过极点极线几何性质推导渗透逻辑推理，结合光学性质设计跨情境综合题训练数学建模，设置基础巩固、能力提升、综合应用分层练习，确保高效复习，助力学生提升解题能力，为教师把控复习节奏提供清晰路径。

第12讲 双曲线定比点差法，极点极线，切线切点弦方程，光学性质 目 录 1 一：极点极线 1 二：极点极线 5 三：切线方程和切点线方程 15 四：圆锥曲线的光学性. 16 17 题型01：双曲线定比点差法 17 题型02：双曲线极点极线 18 题型03：双曲线中的切线方程和切点弦方程 20 题型04：双曲线中的光学性质 25 一：极点极线 定比点差法是一种在解析几何有应用的方法。在解析几何中，它主要用于处理非中点弦问题，通过设定线段上的定比分点，利用圆锥曲线上两点坐标之间的联系与差异，通过代点、扩乘、作差等步骤，解决相应的圆锥曲线问题。定比点差法的核心思想是“设而不求”，即设定未知数但不直接求解，而是通过代数运算消去未知数，得到所需的结果。这种方法在处理三点共线、相交弦、定点定值、比例问题、调和点列等复杂问题时具有独特的优势，能够简化计算过程，提高解题效率。 定比点差法适用题型： 1、当定比分点的纵坐标（或横坐标）为0时，可求弦的端点的横坐标（或纵坐标）或求坐标之间的关系式； 2、同一直线上的线段的长度比． 注意：定比点差法采用的参数λ在解析几何问题中并不通用，在求解具体的斜率、弦长与面积时往往会引起运算上的麻烦（当然，求坐标还是很简便的），所以并不是所有的共线问题都适用用定比点差法解决． 知识点一：定比分点坐标公式 1.定比分点：若，则称点为点，的定比分点． 当时，点为点，的内分点，点在线段上； 当时，点在线段的延长线上； 当，时，点为点，的外分点， 当时，点在线段的反向延长线上； 当时，点在线段的延长线上． 2.定比分点坐标公式： 已知，若点)满足，求点的坐标． 知识点二：定比点差法 当为椭圆上的两点，为弦上任意一点时，设点满足若在椭圆则; 点满足，可得到 ， ①－②得： ， 联立消元后即可用与定分比表示. 性质：当直线与轴交点为，即时，，于是有 1. ，； 2. ； 3. ； 4. （1）若为左焦点，则，； 注：利用定理“过点的直线交椭圆：于，两点，则有．”求点横坐标也可求得． （2）若为右焦点，则，． （3）若A,B为椭圆上的两点，直线AB与x轴交于点P，与y轴交于点Q，且，. 结论： ①)P为左（右）焦点； ②。 且①②互为充要条件. 证明（充分性）： 将A,B两点代入椭圆得： (1)-(2)得： 因为，所以 证明（必要性）： 令P(m,0)，则 将A,B两点代入椭圆得： (1)-(2)得： 因为，且，所以，所以，所以. 结论拓展 1.在抛物线中，A,B为抛物线上两点，P,Q分别在x轴、y轴上，，. ①P为焦点；②.则①②互为充要条件. 2.双曲线一定有：①P为焦点；②. 综合拓展：①（t为定值）；②P为x轴一定点(m,0)。则两者互为充要条件：. 应用一：利用定比分点证明特征直线的方程 在椭圆或双曲线中，设A,B为曲线上两点，若存在P,Q满足，，则一定有： 证明：若，，且，则。 若，则。 代入椭圆方程： (1)-(2)可得： 即： 故： 应用二：抛物线中的调和分点性质 在抛物线中，设A,B为抛物线上两点，若存在P,Q满足，，则一定有： 证明： 设，，，则。 ， 则. 代入抛物线方程： (1)-(2)得： 即： 化简得： 故： 核心原理：定比点差的本质是两个互为调和的定比分点坐标满足圆锥曲线的特征方程. 二：极点极线 极点极线是数学中的重要概念，尤其在圆锥曲线研究中占据关键地位。极点通常指圆锥曲线上的特殊点，其切线方程与曲线方程相同；对于不在曲线上的点，其关于曲线的调和共轭点轨迹形成的直线也被称为极线。极线则是与极点紧密相关的一条直线，对于曲线上的极点，其极线即为该点处的切线；对于曲线外的点，其极线则是通过该点作曲线的两条切线所得的切点弦. 知识点一：极点极线的代数定义　 对于二次曲线，我们称点（非二次曲线的中心）与直线是关于曲线的一对极点极线，也称点P为直线l关于曲线的极点，直线l为点P关于曲线的极线． 二次曲线的替换法则　 对于一般式的二次曲线，用代，用代，用代xy，用代x，用代y，常数项不变，可得方程： ． 知识点二：圆锥曲线中的极点极线（以椭圆为例） 设椭圆方程为，点为平面内任意一点，则： （1）极线：对应点的极线方程为； （2）极点：若直线是某点的极线，则该点（极点）坐标可通过极线方程反推：将直线方程化为，对比极线标准形式，得极点为（时极线过原点，极点在无穷远）. 2.极点与极线的几何性质（核心） （1）位置关系：极点位置决定极线位置 ①若极点在曲线上，则极线为曲线在点的切线（验证：代入满足椭圆方程，极线方程即为切线方程）； ②若极点在曲线外，则极线为过作曲线两条切线的切点连线（切点弦）； ③若极点在曲线内，则极线为曲线的一条弦的极点轨迹（过的弦的两端点切线交点轨迹即为极线）. （2）圆锥曲线的极点极线（以椭圆为例）： 椭圆方程，极点，则 ①极点在椭圆外，为椭圆的切线，切点为，则极线为切点弦； ②极点在椭圆上，过点作椭圆的切线，则极线为切线； ③极点在椭圆内，过点作椭圆的弦，分别过作椭圆切线，则切线交点轨迹为极线； 注：极点极线的相关结论在高考中不能直接使用，需要在解题过程中利用常规方法进行推导和证明．在运用极点极线解题时，要确保对基本概念和性质的准确理解和运用，避免因概念不清或错误运用性质导致解题错误． 高中阶段，常见的二次曲线的极点极线的方程如下 (1) 圆　①极点关于圆的极线方程是：； ②极点关于圆的极线方程是： ； ③极点关于圆的极线方程是： ． (2) 椭圆　极点关于椭圆的极线方程是：． (3) 双曲线　极点关于双曲线的极线方程是：． (4) 抛物线　极点关于抛物线的极线方程是：． 知识点三：极点极线的几何意义　 (1)  若极点P在二次曲线上，则极线是过点P的切线方程． (2) 若极点P在二次曲线外部，极线在二次曲线内的部分是点P对二次曲线的切点弦AB； (3) 若极点P在二次曲线内部，则极线是过点P的弦两端端点的切线交点的轨迹．如图所示，过点P的弦AB、CD的两端端点作切线，得到的直线MN即为点P对应的极线． 知识点四：自极三角形　 如下图，设是不在圆锥曲线上的一点，过点引两条割线依次交圆锥曲线于四点，连接交于，连接交于，则直线为点对应的极线。同理可知，为点对应的极线，为点所对应的极线，因而将称为自极三角形。 如何找自极三角形：先找到形成第一个极点P（或M或N）的曲线上的四个点，如A，B，C，D，再两两相连可以得到另外两个极点。 结论： ①点关于圆锥曲线的极线过点点关于的极线经过点; ②三个极点的坐标两两可以带入曲线的极线方程中，例如：成立。 知识点五：中点弦公式 若极点P在二次曲线内部，以圆为例：极点关于圆的中点弦方程是： (1) 圆 （和极线方程相比，不光等号坐标要替换，等号右边也要全部替换） (2) 椭圆　极点关于椭圆的中点弦方程是：． (3) 双曲线 极点关于双曲线的中点弦方程是：． 应用极点极线解决圆锥曲线问题的解法策略： 1、判断极点与极线的对应关系 在题目中，首先需要判断所给的点和直线是否构成极点与极线的关系．例如，已知圆锥曲线方程和一个点的坐标，可以通过相应公式求出该点对应的极线方程；反之，已知一条直线方程和圆锥曲线方程，可以求出该直线对应的极点坐标． 2、利用极点极线性质简化计算 在证明与圆锥曲线相关的定点、定值问题时，若能发现极点与极线的关系，可以利用极点极线的性质将问题转化，简化计算过程． 例如：过圆锥曲线外一点P作圆锥曲线的两条切线，切点分别为M、N，则直线MN为点P的极线；反之，若直线与圆锥曲线相交于M、N两点，点P在直线MN上，且MP：PN = λ（λ为非零常数），则点P的轨迹直线为点P关于圆锥曲线的极线． 对于共线点问题，若能找到极点极线关系，利用配极原则往往能快速得到结论． 例如：点A、B关于圆锥曲线的极线分别为，若点P在直线上，则点P的极线经过点A；若直线与相交于点Q，则点Q的极线为直线AB． 3、极点极线与几何性质的综合运用 结合圆锥曲线的几何性质（如离心率、焦点、准线、对称轴等）以及极点极线的性质，解决相关的位置关系、距离、面积等问题 （1）对偶性（核心思想） ①点在点的极线上点在点的极线上（互极原理）； ②直线过极点极点对应的极线过直线的极点； ③推论：共线点的极线共点，共点线的极点共线。 （2）特殊极点与极线 ①椭圆的焦点对应的极线为准线（双曲线、抛物线同理：焦点极线为准线）； ②原点对应的极线为 “无穷远直线”（无实际几何意义，仅用于射影几何）； ③对称轴上的点对应的极线垂直于对称轴（椭圆 / 双曲线中为垂直于轴的直线）. 4.极点极线的解题应用（高考高频场景） 场景 1：切点弦问题（极点在曲线外） 场景 2：切线交点问题（极点在曲线内） 场景 3：焦点弦相关问题（利用焦点极线为准线） 场景 4：共线 / 共点问题（利用对偶性） 5.解题技巧总结 （1）公式优先：遇到切点弦、切线交点、焦点弦切线交点问题，直接套用极线公式，避免联立方程的复杂计算； （2）对偶转化：将 “点在直线上” 转化为 “直线过点的极点”，将共线 / 共点问题转化为极线的共点 / 共线问题； （3）特殊点验证：焦点、准线、原点等特殊点的极线性质可快速验证结论是否正确； 6.易错点提醒 （1）极线公式中，点坐标与曲线方程的对应关系：椭圆 / 双曲线的分母是，抛物线是，切勿混淆； （2）极点在曲线内时，极线无实际切点，但仍可作为切线交点的轨迹； （3）双曲线的极线公式中有负号，需与椭圆区分. “极点极线”是射影几何中的内容，不属于高考考查的范围，但极点极线是圆锥曲线的一种基本特征，蕴含了很多圆锥曲线的重要性质，自然成为命题人命题的背景知识和方向，可以肯定的说“极点极线”为背景的考题是出题人思维中的定势方向． 学生掌握了极点极线的相关知识，就可以从“高观点下”看待高中圆锥曲线的相关内容，更容易抓住问题的本质，虽然高考解答题不能用相关结论，但是我们可以将它作为辅助手段，快速的找到正确答案，然后再用初等方法写过程解题． 常用模型 1.焦点准线模型（乘积为模型） 【结论1】从直线上任意一点向椭圆的左右顶点引两条割线与椭圆交于两点，则直线恒过定点． 【推论】椭圆左右顶点为，椭圆外一点（且），交椭圆于另一点交椭圆于另一点，则直线过定点，且满足． 【证明】（1）当直线斜率不为时，设为，点，由于，则直线分别为 分别在上，则① 在上，即② ①②得， ③ 联立直线与椭圆消去得，由韦达定理得 将此式代入③得：， 因式分解得：， 化简得，当时，如下图，直线过点，即此时共点，不符合题意，，再通分化简得：，即，即直线也过定点． （2）当直线斜率为时，经验证直线也过定点． 2.斜率与斜率成等差模型 【结论2】如图1，已知椭圆椭圆，点，不与轴垂直的直线与椭圆交于两点，则直线过定点等价于轴平分，即，双曲线类似． 图1 【结论3】如图2，已知椭圆，点，直线过点且与椭圆交于不同的两点，与直线交于，且点为直线上任意一点，直线的斜率分别为,,，则． 图2 3.调和点列模型 (1)调和点列 直线上依次四点，若满足，则称成调和点列（为内分点，为外分点），特别地，若在无穷远处，则，即此时为中点． (2)调和点列与极点极线 P Q A B l 图2 如图2，设点关于圆锥曲线的极线为，过点任作一割线交于，交于，则 ①；反之，若有①成立，则称点调和分割线段，或称点与关于调和共轭，或称点(或点)关于圆锥曲线的调和共轭点为点(或点).点关于圆锥曲线的调和共轭点是一条直线，这条直线就是点的极线，即点Q在的极线上。 极点极线垂直定理：如图3，设圆锥曲线的一个焦点为，与相应的准线为． 图3 ①若过点的直线与圆锥曲线相交于两点，则在两点处的切线的交点在准线上，且; ②若过准线上一点作圆锥曲线的两条切线，切点分别为，则直线过焦点，且； ③若过焦点的直线与圆锥曲线相交于两点，过作交准线于，则连线是圆锥曲线的两条切线． 极点极线推论1：如图4，设点关于圆锥曲线的调和共轭点为，则有B Q A P l 图4 ，反之也成立．即． 证明： 极点极线推论2：如图5，设点关于有心圆锥曲线（设其中心为）的调和共轭点为，直线经过圆锥曲线的中心，则有，反之，若有成立，则点与关于调和共轭． Q R P l 图5 O 证明：设直线与的另一交点为 若 化简即得；反之也成立． 4.线段比模型 【结论4】已知调和线束，若有一条直线分别与调和线束交于四点，那么也成调和点列． 【结论5】己知调和线束，若有一条直线平行于调和线束中的一条，且与剩余三条分别交于三点，那么这三点中的内点平分该线段． 5.切线模型 1．圆锥曲线的切线方程 （1）设是椭圆上一点，则过的椭圆的切线方程为：； （2）设是双曲线上一点，则过的双曲线的切线方程为：； （3）设是抛物线上一点，则过的抛物线的切线方程为：． 6.定点与定值模型 【结论6】已知椭圆，为过定点的动弦，为椭圆上任意一点，交直线于两点，则以为直径的圆恒过定点，特别地，当为椭圆的焦点时，以为直径的圆恒过焦点以及它关于准线的对称点． 【结论7】已知椭圆，过椭圆外一点向引两条切线，切点记为，再过作直线交于两点，过且平行于的直线与线段交于，点满足，则直线过定点． 【结论8】已知抛物线，过抛物线外一点向引两条切线，切点记为，再过作直线交于两点，过且平行于的直线与线段交于，点满足，则直线过定点． 三：切线方程和切点线方程 知识点：圆锥曲线的切线及切点弦方程 1 过圆 上一点 的切线方程: 2. 设 为椭圆 1上的点, 则过该点的切线方程为: 3. 设 为双曲线 上的点, 则过该点的切线方程为: 4. 设 为抛物 线 上的点, 则过该点的切线方程为 5. 设 为圆 外一点, 则切点弦的方程为: 6. 设 为椭圆 外一点, 过该点作椭圆的两条切线,切点为 , 则弦 的方程为: 7. 过 为双曲线 的两支作两条切线, 则切点弦方程为 8. 设 为抛物线 开口外一点, 则切点弦的方程为: 四：圆锥曲线的光学性. 1.椭圆的光学性质 如图 所示, 从椭圆的一个焦点发出的光线, 被椭圆反射后,必定经过另一个焦点; 如图 所示, 椭圆在点 处的切线为 , 直线 交直线 于点 , 则 平分 , 由角平分线性质定理, . 2. 双曲线的光学性质 如图 所示, 从双曲线一个焦点发出的光线, 被双曲线反射后, 反射光线的反向延长线交于另一个焦点; 如图 所示, 双曲线在点 处的切线 与直线 相交于点 , 则 平分 , 由角平分线性质定理, 3. 抛物线的光学性质 如图 所示, 从抛物线的焦点 发出的光线, 被抛物线反射后, 得到的是一系列的与抛物线对称轴平行 (或重合) 的光线; 如图 所示, 设抛物线在 处的切线 l交对称轴于点 上切线 l交对称轴于点 , 则焦点 是 的中点. 题型01：双曲线定比点差法 【典型例题】已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过点且垂直于x轴的直线与C交于点M，与C交于点N，设，若，则C的离心率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 由题可得，，根据对称性设点M在第一象限，可得， 设，由，得，所以， 解得，即， 因为点N在双曲线C上，所以， 所以，解得. 因为，所以，则， 所以，又.所以. 故选：B 【变式训练1-1】已知点，，动点使直线，的斜率之积为，其轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)已知点，点在曲线上，直线与轴交于点，满足，求直线的方程. 【变式训练1-2】已知双曲线的中心在原点，离心率为2，一个焦点为． (1)求双曲线的标准方程； (2)设是双曲线上一点，且过点，的直线与轴交于点，若，求直线的方程． 题型02：双曲线极点极线 【典型例题】若双曲线与椭圆共顶点，且它们的离心率之积为． （1）求椭圆C的标准方程； （2）若椭圆C的左、右顶点分别为，，直线l与椭圆C交于P、Q两点，设直线与的斜率分别为，，且．试问，直线l是否过定点？若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由． 【答案】（1）；（2）直线l恒过定点．. 【分析】 （1）待定系数法椭圆的标准方程； （2）用“设而不求法”把直线和椭圆联立方程组，，表示出，整理出直线过定点. 【详解】 （1）由已知得双曲线的离心率为，又两曲线离心率之积为，所以椭圆的离心率为； 由题意知，所以，． 所以椭圆的标准万程为． （2）当直线l的斜率为零时，由对称性可知： ，不满足， 故直线l的斜率不为零．设直线l的方程为， 由，得：， 因为直线l与椭圆C交于P、Q两点， 所以， 整理得：， 设、，则 ，，，． 因为， 所以， 整理得：， ， 将，代入整理得： 要使上式恒成立，只需，此时满足， 因此，直线l恒过定点． 【点睛】 （1）待定系数法可以求二次曲线的标准方程； （2）"设而不求"是一种在解析几何中常见的解题方法，可以解决直线与二次曲线相交的问题； （3）证明直线过定点，通常有两类：①直线方程整理为斜截式y=kx+b，过定点(0,b)； ②直线方程整理为点斜式y - yo=k(x- x0)，过定点(x0,y0) ． 【变式训练2-1】已知双曲线C：的中心为坐标原点，记C的左、右顶点分别为，，过点的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线与交于点P．证明:点在定直线上. 【变式训练2-2】已知双曲线：，过右焦点F且斜率为的直线与相交于、两点. 点关于轴的对称点为点.当时，求面积的最大值. 【变式训练2-3】曲线C：已知点，，直线与曲线C交于M，N两点（点M在第一象限，点N在第四象限），记直线，的斜率为，直线的斜率为，若，求证：直线过定点． 【变式训练2-4】若双曲线与椭圆共顶点，且它们的离心率之积为． （1）求椭圆C的标准方程； （2）若椭圆C的左、右顶点分别为，，直线l与椭圆C交于P、Q两点，设直线与的斜率分别为，，且．试问，直线l是否过定点？若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由． 【变式训练2-5】 已知双曲线C的方程为，设Q（1，0），直线（）不经过P点且与C相交于A，B两点，若直线BQ与C交于另一点D，过Q点作QN⊥AD于N，求点N的轨迹围成的面积。 题型03：双曲线中的切线方程和切点弦方程 【典型例题1】过点作双曲线： 的两条切线，切点分别为，求直线的方程 ． 【答案】 【分析】设的斜率为，得到，联立方程组，根据和双曲线的方程，求得，得到的方程为，同理的方程为，进而得到，进而求得过的直线方程. 【详解】设，易得两条切线的斜率存在，设的斜率为， 则，联立方程， 消去得， 因为与双曲线相切，所以， 即，即， 即， 因为，所以， 代入可得，即，所以， 所以，即， 同理可得的方程为， 因为在切线上，所以， 所以满足方程， 又由两点确定一条直线，所以满足直线方程， 所以过的直线方程为. 故答案为：. 【典型例题2】求双曲线在点处的切线方程． 【答案】 【分析】根据仿射变换可解. 【详解】设变换，则， 可将双曲线变换为圆， 于是点可化为， 显然在圆上， 易得切线方程为，即， 双曲线在点处的切线方程为. 【典型例题3】已知双曲线的两个焦点为、，一条渐近线方程为，且双曲线经过点，． (1)求双曲线C的方程； (2)设点在直线，，且为常数)上，过点作双曲线的两条切线、，切点为、，求证：直线过某一个定点． 【答案】(1)x2﹣y2＝1； (2)证明见解析. 【分析】(1)依题意，建立关于、的方程组，解出、的值，即可求得双曲线的方程； (2)设，，，，直线，将其与双曲线方程联立，由相切可得，化简可得，由此表示直线方程，同理可得直线方程，进而得到直线方程，由此可得证． 【详解】（1）依题意，，解得， ：； （2）设，，，，直线， 由得，， 直线与双曲线相切， 且， ， ，即， 又， ， ， ，则， 直线，即， 同理，切线的方程为， 在切线、上， ， 、满足直线方程，而两点确定唯一一条直线， 直线，则当时，无论取何值，等式均成立， 点恒在直线上，故无论点在何处，直线恒过定点． 【变式训练3-1】过双曲线右支上的点作的切线，，为双曲线的左右焦点，为切线上的一点，且若，则双曲线的离心率为 . 【变式训练3-2】已知是双曲线外一点，过P引双曲线的两条切线，为切点，求直线的方程． 【变式训练3-3】（1）求双曲线在点处的切线方程； （2）已知是双曲线外一点，过P引双曲线的两条切线，A，B为切点，求直线AB的方程． 【变式训练3-4】已知：若点是双曲线上一点，则双曲线在点处的切线方程为．如图，过点分别作双曲线两支的切线，切点分别为P，Q，连结P，Q两点，并过线段的中点F分别再作双曲线两支的切线，切点分别为D，E，记与的面积分别为，． (1)求直线的方程（含m）； (2)证明直线过点C，并比较与的大小． 【变式训练3-5】如图，双曲线的左右焦点分别为，，双曲线与有相同的渐近线和焦距．过上一点作的两条切线，切点分别为A，B，A在轴上方，连接AB交于点M． （注：过曲线外一点作曲线的两条切线，则两切点所在直线方程为）    (1)求双曲线的方程； (2)证明：直线AB与切于点M，且； (3)当点在第三象限，且时，求的值． 【变式训练3-6】已知抛物线的焦点F与双曲线的一个焦点重合，D为直线上的动点，过点D作抛物线C的两条切线，切点分别为A，B． （1）求抛物线C的方程； （2）证明直线过定点 【变式训练3-7】已知动点满足关系式. (1)求动点的轨迹方程； (2)设动点的轨迹为曲线，抛物线的焦点为，过上一点作的两条切线，切点分别为，弦的中点为，平行于的直线与相切于点. ①证明：三点共线； ②当直线与有两个交点时，求的取值范围. 【变式训练3-8】已知双曲线过点分别为圆：的两条切线，且分别交双曲线于点． (1)求双曲线的离心率； (2)证明：直线的斜率为定值． 题型04：双曲线中的光学性质 【典型例题1】在节目表演中为了增强舞台的亮度，且为了减弱演员面对强光的不适感，灯光设计人员巧妙地通过双曲线的光学性质，发散光线以保护演员的视力，如图，从双曲线右焦点发出的光线，其经过双曲线的反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.已知双曲线的离心率为，则当入射光线和反射光线互相垂直时，（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据离心率为得到，，利用特殊值的思路，设双曲线的标准方程为，，，然后利用勾股定理列方程解得，最后求的余弦值即可. 【详解】因为，所以，，不妨设双曲线的标准方程为，设，则，所以，解得（已舍去），所以. 故选：A. 【典型例题2】智慧的人们在进行工业设计时，巧妙地利用了圆锥曲线的光学性质，比如电影放映机利用椭圆镜面反射出聚焦光线，探照灯利用抛物线镜面反射出平行光线.如右图所示，从双曲线右焦点F2发出的光线通过双曲线镜面反射出发散光线，且反射光线的反向延长线交于左焦点F1.已知双曲线的离心率为，则当入射光线F2P和反射光线PE互相垂直时（其中P为入射点），∠F1F2P的大小为（ ） A. B. C. D. 【解析】如图，因为双曲线的离心率为，所以不妨设其方程为，则， 由题意，，所以点P在圆上，不妨设P在第一象限，联立解得：，，所以，设， 则直线的斜率， 所以，故. 【答案】D 【典型例题3】智慧的人们在进行工业设计时，巧妙地利用了圆锥曲线的光学性质，比如电影放映机利用椭圆镜面反射出聚焦光线，探照灯利用抛物线镜面反射出平行光线．如图，从双曲线右焦点F2发出的光线通过双曲线镜面反射，且反射光线的反向延长线经过左焦点F1．已知入射光线F2P斜率为，且F2P和反射光线PE互相垂直（其中P为入射点），则双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2+ D． 【答案】D 【分析】由入射光线的斜率得出，进而得出，再由双曲线的定义得出双曲线的离心率. 【详解】因为入射光线斜率为，所以，又，， 所以，又， 所以. 故选：D 【典型例题4】双曲线的光学性质为：从双曲线的一个焦点发出的光线经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线过双曲线的另一个焦点．如图：为双曲线的左，右焦点，从右焦点发出的光线在双曲线上的点、处反射后射出共线），若，则（   ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】由对称性以及几何关系得出，，再由求出的离心率，即可得. 【详解】连接， 因为，则，即为等边三角形， 由对称性可知，则， 又因为，即， 整理得，解得或（舍）， 所以. 故选：A. 【变式训练4-1】根据圆锥曲线的光学性质，从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线过双曲线的另一个焦点.由此可得，连双曲线上任意一点的切线，平分该点与两焦点连线的夹角．请解决下列问题：已知分别是双曲线C：的左.右焦点，若从发出的光线经双曲线右支上的点反射后，反射光线为射线AM，则的角平分线所在的直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【变式训练4-2】如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线的左、右焦点分别为，，从发出的光线经过图2中的A，B两点反射后，分别经过点C和且，，则E的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式训练4-3】 “双曲线电瓶新闻灯”是记者常用的一种电瓶新闻灯，具有体积小，光线柔和等特点．这种灯利用了双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点（如图1），并且过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点连线的夹角（如图2）． 已知左、右焦点分别为的双曲线的离心率为，并且过点，坐标原点为双曲线的对称中心，点的坐标为（1，0），则下列结论不正确的是（    ） A．双曲线的方程为 B．若从射出一道光线，经双曲线反射，则其反射光线所在直线的斜率的取值范围为 C． D．过点作垂直的延长线于点，则 【变式训练4-4】圆锥曲线有良好的光学性质，光线从椭圆的一个焦点发出，被椭圆反射后会经过椭圆的另一个焦点（如左图）；光线从双曲线的一个焦点发出，被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点射出（如中图）.封闭曲线（如右图）是由椭圆和双曲线在轴右侧的一部分（实线）围成.光线从椭圆上一点出发，经过双曲线的右焦点，然后在曲线内多次反射，反射点依次为若与重合，则光线从到所经过的路程为（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 【变式训练4-5】阿波罗尼斯（约公元前262年～约公元前190年）提出了许多新的性质．其中也包括圆锥曲线的光学性质，光线从双曲线的一个焦点发出，通过双曲线的反射，反射光线的反向延长线经过其另一个焦点．已知曲线的方程为，，从点发出的光线，沿与的渐近线垂直的方向射出后被反射，反射光线所在直线恰与渐近线平行，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式训练4-6】如图，双曲线具有光学性质，从双曲线一个焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.若双曲线的左、右焦点分别为，，从发出的光线经过图中的，两点反射后，分别经过点和，且，，则的离心率为（   ）.    A． B． C． D． 【变式训练4-7】阿波罗尼斯（约公元前262年～约公元前190年）提出了许多新的性质．其中也包括圆锥曲线的光学性质，光线从双曲线的一个焦点发出，通过双曲线的反射，反射光线的反向延长线经过其另一个焦点．已知双曲线C：的左、右焦点分别为，．其离心率，从发出的光线经过双曲线C的右支上一点E的反射，反射光线为EP，若反射光线与入射光线垂直，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练4-8】如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线的左、右焦点分别为，，从发出的光线经过图2中的，两点反射后，分别经过点和，且，，则的离心率为（   ）    A． B． C． D． 【变式训练4-9】双曲线的光学性质如下：从双曲线右焦点发出的光线经双曲线镜面反射，反射光线的反向延长线经过左焦点．已知双曲线的方程为，，分别为其左、右焦点，若从右焦点发出的光线经双曲线上的点和点反射后（三点共线），满足，，则 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第12讲 双曲线定比点差法，极点极线，切线切点弦方程，光学性质 目 录 1 一：极点极线 1 二：极点极线 5 三：切线方程和切点线方程 15 四：圆锥曲线的光学性. 15 17 题型01：双曲线定比点差法 17 题型02：双曲线极点极线 19 题型03：双曲线中的切线方程和切点弦方程 25 题型04：双曲线中的光学性质 38 一：极点极线 定比点差法是一种在解析几何有应用的方法。在解析几何中，它主要用于处理非中点弦问题，通过设定线段上的定比分点，利用圆锥曲线上两点坐标之间的联系与差异，通过代点、扩乘、作差等步骤，解决相应的圆锥曲线问题。定比点差法的核心思想是“设而不求”，即设定未知数但不直接求解，而是通过代数运算消去未知数，得到所需的结果。这种方法在处理三点共线、相交弦、定点定值、比例问题、调和点列等复杂问题时具有独特的优势，能够简化计算过程，提高解题效率。 定比点差法适用题型： 1、当定比分点的纵坐标（或横坐标）为0时，可求弦的端点的横坐标（或纵坐标）或求坐标之间的关系式； 2、同一直线上的线段的长度比． 注意：定比点差法采用的参数λ在解析几何问题中并不通用，在求解具体的斜率、弦长与面积时往往会引起运算上的麻烦（当然，求坐标还是很简便的），所以并不是所有的共线问题都适用用定比点差法解决． 知识点一：定比分点坐标公式 1.定比分点：若，则称点为点，的定比分点． 当时，点为点，的内分点，点在线段上； 当时，点在线段的延长线上； 当，时，点为点，的外分点， 当时，点在线段的反向延长线上； 当时，点在线段的延长线上． 2.定比分点坐标公式： 已知，若点)满足，求点的坐标． 知识点二：定比点差法 当为椭圆上的两点，为弦上任意一点时，设点满足若在椭圆则; 点满足，可得到 ， ①－②得： ， 联立消元后即可用与定分比表示. 性质：当直线与轴交点为，即时，，于是有 1. ，； 2. ； 3. ； 4. （1）若为左焦点，则，； 注：利用定理“过点的直线交椭圆：于，两点，则有．”求点横坐标也可求得． （2）若为右焦点，则，． （3）若A,B为椭圆上的两点，直线AB与x轴交于点P，与y轴交于点Q，且，. 结论： ①)P为左（右）焦点； ②。 且①②互为充要条件. 证明（充分性）： 将A,B两点代入椭圆得： (1)-(2)得： 因为，所以 证明（必要性）： 令P(m,0)，则 将A,B两点代入椭圆得： (1)-(2)得： 因为，且，所以，所以，所以. 结论拓展 1.在抛物线中，A,B为抛物线上两点，P,Q分别在x轴、y轴上，，. ①P为焦点；②.则①②互为充要条件. 2.双曲线一定有：①P为焦点；②. 综合拓展：①（t为定值）；②P为x轴一定点(m,0)。则两者互为充要条件：. 应用一：利用定比分点证明特征直线的方程 在椭圆或双曲线中，设A,B为曲线上两点，若存在P,Q满足，，则一定有： 证明：若，，且，则。 若，则。 代入椭圆方程： (1)-(2)可得： 即： 故： 应用二：抛物线中的调和分点性质 在抛物线中，设A,B为抛物线上两点，若存在P,Q满足，，则一定有： 证明： 设，，，则。 ， 则. 代入抛物线方程： (1)-(2)得： 即： 化简得： 故： 核心原理：定比点差的本质是两个互为调和的定比分点坐标满足圆锥曲线的特征方程. 二：极点极线 极点极线是数学中的重要概念，尤其在圆锥曲线研究中占据关键地位。极点通常指圆锥曲线上的特殊点，其切线方程与曲线方程相同；对于不在曲线上的点，其关于曲线的调和共轭点轨迹形成的直线也被称为极线。极线则是与极点紧密相关的一条直线，对于曲线上的极点，其极线即为该点处的切线；对于曲线外的点，其极线则是通过该点作曲线的两条切线所得的切点弦. 知识点一：极点极线的代数定义　 对于二次曲线，我们称点（非二次曲线的中心）与直线是关于曲线的一对极点极线，也称点P为直线l关于曲线的极点，直线l为点P关于曲线的极线． 二次曲线的替换法则　 对于一般式的二次曲线，用代，用代，用代xy，用代x，用代y，常数项不变，可得方程： ． 知识点二：圆锥曲线中的极点极线（以椭圆为例） 设椭圆方程为，点为平面内任意一点，则： （1）极线：对应点的极线方程为； （2）极点：若直线是某点的极线，则该点（极点）坐标可通过极线方程反推：将直线方程化为，对比极线标准形式，得极点为（时极线过原点，极点在无穷远）. 2.极点与极线的几何性质（核心） （1）位置关系：极点位置决定极线位置 ①若极点在曲线上，则极线为曲线在点的切线（验证：代入满足椭圆方程，极线方程即为切线方程）； ②若极点在曲线外，则极线为过作曲线两条切线的切点连线（切点弦）； ③若极点在曲线内，则极线为曲线的一条弦的极点轨迹（过的弦的两端点切线交点轨迹即为极线）. （2）圆锥曲线的极点极线（以椭圆为例）： 椭圆方程，极点，则 ①极点在椭圆外，为椭圆的切线，切点为，则极线为切点弦； ②极点在椭圆上，过点作椭圆的切线，则极线为切线； ③极点在椭圆内，过点作椭圆的弦，分别过作椭圆切线，则切线交点轨迹为极线； 注：极点极线的相关结论在高考中不能直接使用，需要在解题过程中利用常规方法进行推导和证明．在运用极点极线解题时，要确保对基本概念和性质的准确理解和运用，避免因概念不清或错误运用性质导致解题错误． 高中阶段，常见的二次曲线的极点极线的方程如下 (1) 圆　①极点关于圆的极线方程是：； ②极点关于圆的极线方程是： ； ③极点关于圆的极线方程是： ． (2) 椭圆　极点关于椭圆的极线方程是：． (3) 双曲线　极点关于双曲线的极线方程是：． (4) 抛物线　极点关于抛物线的极线方程是：． 知识点三：极点极线的几何意义　 (1)  若极点P在二次曲线上，则极线是过点P的切线方程． (2) 若极点P在二次曲线外部，极线在二次曲线内的部分是点P对二次曲线的切点弦AB； (3) 若极点P在二次曲线内部，则极线是过点P的弦两端端点的切线交点的轨迹．如图所示，过点P的弦AB、CD的两端端点作切线，得到的直线MN即为点P对应的极线． 知识点四：自极三角形　 如下图，设是不在圆锥曲线上的一点，过点引两条割线依次交圆锥曲线于四点，连接交于，连接交于，则直线为点对应的极线。同理可知，为点对应的极线，为点所对应的极线，因而将称为自极三角形。 如何找自极三角形：先找到形成第一个极点P（或M或N）的曲线上的四个点，如A，B，C，D，再两两相连可以得到另外两个极点。 结论： ①点关于圆锥曲线的极线过点点关于的极线经过点; ②三个极点的坐标两两可以带入曲线的极线方程中，例如：成立。 知识点五：中点弦公式 若极点P在二次曲线内部，以圆为例：极点关于圆的中点弦方程是： (1) 圆 （和极线方程相比，不光等号坐标要替换，等号右边也要全部替换） (2) 椭圆　极点关于椭圆的中点弦方程是：． (3) 双曲线 极点关于双曲线的中点弦方程是：． 应用极点极线解决圆锥曲线问题的解法策略： 1、判断极点与极线的对应关系 在题目中，首先需要判断所给的点和直线是否构成极点与极线的关系．例如，已知圆锥曲线方程和一个点的坐标，可以通过相应公式求出该点对应的极线方程；反之，已知一条直线方程和圆锥曲线方程，可以求出该直线对应的极点坐标． 2、利用极点极线性质简化计算 在证明与圆锥曲线相关的定点、定值问题时，若能发现极点与极线的关系，可以利用极点极线的性质将问题转化，简化计算过程． 例如：过圆锥曲线外一点P作圆锥曲线的两条切线，切点分别为M、N，则直线MN为点P的极线；反之，若直线与圆锥曲线相交于M、N两点，点P在直线MN上，且MP：PN = λ（λ为非零常数），则点P的轨迹直线为点P关于圆锥曲线的极线． 对于共线点问题，若能找到极点极线关系，利用配极原则往往能快速得到结论． 例如：点A、B关于圆锥曲线的极线分别为，若点P在直线上，则点P的极线经过点A；若直线与相交于点Q，则点Q的极线为直线AB． 3、极点极线与几何性质的综合运用 结合圆锥曲线的几何性质（如离心率、焦点、准线、对称轴等）以及极点极线的性质，解决相关的位置关系、距离、面积等问题 （1）对偶性（核心思想） ①点在点的极线上点在点的极线上（互极原理）； ②直线过极点极点对应的极线过直线的极点； ③推论：共线点的极线共点，共点线的极点共线。 （2）特殊极点与极线 ①椭圆的焦点对应的极线为准线（双曲线、抛物线同理：焦点极线为准线）； ②原点对应的极线为 “无穷远直线”（无实际几何意义，仅用于射影几何）； ③对称轴上的点对应的极线垂直于对称轴（椭圆 / 双曲线中为垂直于轴的直线）. 4.极点极线的解题应用（高考高频场景） 场景 1：切点弦问题（极点在曲线外） 场景 2：切线交点问题（极点在曲线内） 场景 3：焦点弦相关问题（利用焦点极线为准线） 场景 4：共线 / 共点问题（利用对偶性） 5.解题技巧总结 （1）公式优先：遇到切点弦、切线交点、焦点弦切线交点问题，直接套用极线公式，避免联立方程的复杂计算； （2）对偶转化：将 “点在直线上” 转化为 “直线过点的极点”，将共线 / 共点问题转化为极线的共点 / 共线问题； （3）特殊点验证：焦点、准线、原点等特殊点的极线性质可快速验证结论是否正确； 6.易错点提醒 （1）极线公式中，点坐标与曲线方程的对应关系：椭圆 / 双曲线的分母是，抛物线是，切勿混淆； （2）极点在曲线内时，极线无实际切点，但仍可作为切线交点的轨迹； （3）双曲线的极线公式中有负号，需与椭圆区分. “极点极线”是射影几何中的内容，不属于高考考查的范围，但极点极线是圆锥曲线的一种基本特征，蕴含了很多圆锥曲线的重要性质，自然成为命题人命题的背景知识和方向，可以肯定的说“极点极线”为背景的考题是出题人思维中的定势方向． 学生掌握了极点极线的相关知识，就可以从“高观点下”看待高中圆锥曲线的相关内容，更容易抓住问题的本质，虽然高考解答题不能用相关结论，但是我们可以将它作为辅助手段，快速的找到正确答案，然后再用初等方法写过程解题． 常用模型 1.焦点准线模型（乘积为模型） 【结论1】从直线上任意一点向椭圆的左右顶点引两条割线与椭圆交于两点，则直线恒过定点． 【推论】椭圆左右顶点为，椭圆外一点（且），交椭圆于另一点交椭圆于另一点，则直线过定点，且满足． 【证明】（1）当直线斜率不为时，设为，点，由于，则直线分别为 分别在上，则① 在上，即② ①②得， ③ 联立直线与椭圆消去得，由韦达定理得 将此式代入③得：， 因式分解得：， 化简得，当时，如下图，直线过点，即此时共点，不符合题意，，再通分化简得：，即，即直线也过定点． （2）当直线斜率为时，经验证直线也过定点． 2.斜率与斜率成等差模型 【结论2】如图1，已知椭圆椭圆，点，不与轴垂直的直线与椭圆交于两点，则直线过定点等价于轴平分，即，双曲线类似． 图1 【结论3】如图2，已知椭圆，点，直线过点且与椭圆交于不同的两点，与直线交于，且点为直线上任意一点，直线的斜率分别为,,，则． 图2 3.调和点列模型 (1)调和点列 直线上依次四点，若满足，则称成调和点列（为内分点，为外分点），特别地，若在无穷远处，则，即此时为中点． (2)调和点列与极点极线 P Q A B l 图2 如图2，设点关于圆锥曲线的极线为，过点任作一割线交于，交于，则 ①；反之，若有①成立，则称点调和分割线段，或称点与关于调和共轭，或称点(或点)关于圆锥曲线的调和共轭点为点(或点).点关于圆锥曲线的调和共轭点是一条直线，这条直线就是点的极线，即点Q在的极线上。 极点极线垂直定理：如图3，设圆锥曲线的一个焦点为，与相应的准线为． 图3 ①若过点的直线与圆锥曲线相交于两点，则在两点处的切线的交点在准线上，且; ②若过准线上一点作圆锥曲线的两条切线，切点分别为，则直线过焦点，且； ③若过焦点的直线与圆锥曲线相交于两点，过作交准线于，则连线是圆锥曲线的两条切线． 极点极线推论1：如图4，设点关于圆锥曲线的调和共轭点为，则有B Q A P l 图4 ，反之也成立．即． 证明： 极点极线推论2：如图5，设点关于有心圆锥曲线（设其中心为）的调和共轭点为，直线经过圆锥曲线的中心，则有，反之，若有成立，则点与关于调和共轭． Q R P l 图5 O 证明：设直线与的另一交点为 若 化简即得；反之也成立． 4.线段比模型 【结论4】已知调和线束，若有一条直线分别与调和线束交于四点，那么也成调和点列． 【结论5】己知调和线束，若有一条直线平行于调和线束中的一条，且与剩余三条分别交于三点，那么这三点中的内点平分该线段． 5.切线模型 1．圆锥曲线的切线方程 （1）设是椭圆上一点，则过的椭圆的切线方程为：； （2）设是双曲线上一点，则过的双曲线的切线方程为：； （3）设是抛物线上一点，则过的抛物线的切线方程为：． 6.定点与定值模型 【结论6】已知椭圆，为过定点的动弦，为椭圆上任意一点，交直线于两点，则以为直径的圆恒过定点，特别地，当为椭圆的焦点时，以为直径的圆恒过焦点以及它关于准线的对称点． 【结论7】已知椭圆，过椭圆外一点向引两条切线，切点记为，再过作直线交于两点，过且平行于的直线与线段交于，点满足，则直线过定点． 【结论8】已知抛物线，过抛物线外一点向引两条切线，切点记为，再过作直线交于两点，过且平行于的直线与线段交于，点满足，则直线过定点． 三：切线方程和切点线方程 知识点：圆锥曲线的切线及切点弦方程 1 过圆 上一点 的切线方程: 2. 设 为椭圆 1上的点, 则过该点的切线方程为: 3. 设 为双曲线 上的点, 则过该点的切线方程为: 4. 设 为抛物 线 上的点, 则过该点的切线方程为 5. 设 为圆 外一点, 则切点弦的方程为: 6. 设 为椭圆 外一点, 过该点作椭圆的两条切线,切点为 , 则弦 的方程为: 7. 过 为双曲线 的两支作两条切线, 则切点弦方程为 8. 设 为抛物线 开口外一点, 则切点弦的方程为: 四：圆锥曲线的光学性. 1.椭圆的光学性质 如图 所示, 从椭圆的一个焦点发出的光线, 被椭圆反射后,必定经过另一个焦点; 如图 所示, 椭圆在点 处的切线为 , 直线 交直线 于点 , 则 平分 , 由角平分线性质定理, . 2. 双曲线的光学性质 如图 所示, 从双曲线一个焦点发出的光线, 被双曲线反射后, 反射光线的反向延长线交于另一个焦点; 如图 所示, 双曲线在点 处的切线 与直线 相交于点 , 则 平分 , 由角平分线性质定理, 3. 抛物线的光学性质 如图 所示, 从抛物线的焦点 发出的光线, 被抛物线反射后, 得到的是一系列的与抛物线对称轴平行 (或重合) 的光线; 如图 所示, 设抛物线在 处的切线 l交对称轴于点 上切线 l交对称轴于点 , 则焦点 是 的中点. 题型01：双曲线定比点差法 【典型例题】已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过点且垂直于x轴的直线与C交于点M，与C交于点N，设，若，则C的离心率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 由题可得，，根据对称性设点M在第一象限，可得， 设，由，得，所以， 解得，即， 因为点N在双曲线C上，所以， 所以，解得. 因为，所以，则， 所以，又.所以. 故选：B 【变式训练1-1】已知点，，动点使直线，的斜率之积为，其轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)已知点，点在曲线上，直线与轴交于点，满足，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】(1)利用直线，斜率的关系即可列出等式，求出动点的轨迹方程； (2)点为曲线的右焦点，设出直线的方程，求出点的坐标，再利用向量关系即可求解. 【详解】（1）设，则，整理得：. （2）由题意可知直线斜率存在，设，， 令得， 由，得，， 即， 代入：，得，，， 直线：. 【变式训练1-2】已知双曲线的中心在原点，离心率为2，一个焦点为． (1)求双曲线的标准方程； (2)设是双曲线上一点，且过点，的直线与轴交于点，若，求直线的方程． 【答案】(1)； (2)或. 【分析】（1）根据给定条件，结合双曲线离心率公式求出标准方程. （2）设出直线的方程，求出点坐标，结合给定条件，利用向量坐标运算求出点的坐标，再代入双曲线方程求出直线的斜率得解. 【详解】（1）依题意，设所求双曲线的标准方程为， 由离心率为2，得，则， 由焦点，得，解得，， 所以双曲线的标准方程为. （2）依题意，直线的斜率存在，设， 令，则，即，由，且共线， 得或，设点， 当时，，解得，则， 又点在双曲线上，则，解得； 当时，，解得，则， 于是，解得， 所以所求直线的方程为或.    题型02：双曲线极点极线 【典型例题】若双曲线与椭圆共顶点，且它们的离心率之积为． （1）求椭圆C的标准方程； （2）若椭圆C的左、右顶点分别为，，直线l与椭圆C交于P、Q两点，设直线与的斜率分别为，，且．试问，直线l是否过定点？若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由． 【答案】（1）；（2）直线l恒过定点．. 【分析】 （1）待定系数法椭圆的标准方程； （2）用“设而不求法”把直线和椭圆联立方程组，，表示出，整理出直线过定点. 【详解】 （1）由已知得双曲线的离心率为，又两曲线离心率之积为，所以椭圆的离心率为； 由题意知，所以，． 所以椭圆的标准万程为． （2）当直线l的斜率为零时，由对称性可知： ，不满足， 故直线l的斜率不为零．设直线l的方程为， 由，得：， 因为直线l与椭圆C交于P、Q两点， 所以， 整理得：， 设、，则 ，，，． 因为， 所以， 整理得：， ， 将，代入整理得： 要使上式恒成立，只需，此时满足， 因此，直线l恒过定点． 【点睛】 （1）待定系数法可以求二次曲线的标准方程； （2）"设而不求"是一种在解析几何中常见的解题方法，可以解决直线与二次曲线相交的问题； （3）证明直线过定点，通常有两类：①直线方程整理为斜截式y=kx+b，过定点(0,b)； ②直线方程整理为点斜式y - yo=k(x- x0)，过定点(x0,y0) ． 【变式训练2-1】已知双曲线C：的中心为坐标原点，记C的左、右顶点分别为，，过点的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线与交于点P．证明:点在定直线上. 【详解】首先根据对称性可以判断定直线为。 半代换：由(1)可得，设， 显然直线的斜率不为0，所以设直线的方程为，且， 与联立可得，且， 则，   直线的方程为，直线的方程为， 联立直线与直线的方程可得： ， 由可得，即，据此可得点在定直线上运动. 【变式训练2-2】已知双曲线：，过右焦点F且斜率为的直线与相交于、两点. 点关于轴的对称点为点.当时，求面积的最大值. 【答案】 【详解】当时，此时，点、为双曲线的顶点，不合乎题意； 当时，设，则直线的方程为， 设点、，则点， 由对称性可知，直线过轴上的定点， 联立可得， 由题意可得，解得， 由韦达定理可得，， 则的斜率为，直线的方程为， 将点的坐标代入直线的方程可得， 可得， 此时，直线过定点.综上所述，直线过定点. 因为，则，且， ， 因为函数在上单调递减， 故当时，取最大值，且最大值为. 【变式训练2-3】曲线C：已知点，，直线与曲线C交于M，N两点（点M在第一象限，点N在第四象限），记直线，的斜率为，直线的斜率为，若，求证：直线过定点． 【答案】 【详解】由题意知，直线的斜率不为0，设直线， 与方程联立并化简，得， 设，， 则，， 点在曲线上，， ， 又，， ， ，即， ， ， 得， ，， ， 直线的方程为，直线过定点． 【变式训练2-4】若双曲线与椭圆共顶点，且它们的离心率之积为． （1）求椭圆C的标准方程； （2）若椭圆C的左、右顶点分别为，，直线l与椭圆C交于P、Q两点，设直线与的斜率分别为，，且．试问，直线l是否过定点？若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由． 【解析】（1）由已知得双曲线的离心率为，又两曲线离心率之积为，所以椭圆的离心率为； 由题意知，所以，． 所以椭圆的标准万程为． （2）当直线l的斜率为零时，由对称性可知： ，不满足， 故直线l的斜率不为零．设直线l的方程为， 由，得：， 因为直线l与椭圆C交于P、Q两点， 所以， 整理得：， 设、，则 ，，，． 因为， 所以， 整理得：， ， 将，代入整理得： 要使上式恒成立，只需，此时满足， 因此，直线l恒过定点． 【变式训练2-5】 已知双曲线C的方程为，设Q（1，0），直线（）不经过P点且与C相交于A，B两点，若直线BQ与C交于另一点D，过Q点作QN⊥AD于N，求点N的轨迹围成的面积。 【答案】 【详解】显然直线的斜率不为零， 设直线为，， 联立，消整理得， 依题意得且，即且， ， 直线的方程为， 令， 得.所以直线过定点. 过Q点作QN⊥AD于N，设的中点为R， 若N和M不重合，则△为直角三角形，所以， 若N和M重合，，所以点N在以QM为直径的圆上． 题型03：双曲线中的切线方程和切点弦方程 【典型例题1】过点作双曲线： 的两条切线，切点分别为，求直线的方程 ． 【答案】 【分析】设的斜率为，得到，联立方程组，根据和双曲线的方程，求得，得到的方程为，同理的方程为，进而得到，进而求得过的直线方程. 【详解】设，易得两条切线的斜率存在，设的斜率为， 则，联立方程， 消去得， 因为与双曲线相切，所以， 即，即， 即， 因为，所以， 代入可得，即，所以， 所以，即， 同理可得的方程为， 因为在切线上，所以， 所以满足方程， 又由两点确定一条直线，所以满足直线方程， 所以过的直线方程为. 故答案为：. 【典型例题2】求双曲线在点处的切线方程． 【答案】 【分析】根据仿射变换可解. 【详解】设变换，则， 可将双曲线变换为圆， 于是点可化为， 显然在圆上， 易得切线方程为，即， 双曲线在点处的切线方程为. 【典型例题3】已知双曲线的两个焦点为、，一条渐近线方程为，且双曲线经过点，． (1)求双曲线C的方程； (2)设点在直线，，且为常数)上，过点作双曲线的两条切线、，切点为、，求证：直线过某一个定点． 【答案】(1)x2﹣y2＝1； (2)证明见解析. 【分析】(1)依题意，建立关于、的方程组，解出、的值，即可求得双曲线的方程； (2)设，，，，直线，将其与双曲线方程联立，由相切可得，化简可得，由此表示直线方程，同理可得直线方程，进而得到直线方程，由此可得证． 【详解】（1）依题意，，解得， ：； （2）设，，，，直线， 由得，， 直线与双曲线相切， 且， ， ，即， 又， ， ， ，则， 直线，即， 同理，切线的方程为， 在切线、上， ， 、满足直线方程，而两点确定唯一一条直线， 直线，则当时，无论取何值，等式均成立， 点恒在直线上，故无论点在何处，直线恒过定点． 【变式训练3-1】过双曲线右支上的点作的切线，，为双曲线的左右焦点，为切线上的一点，且若，则双曲线的离心率为 . 【答案】/ 【分析】先设出的坐标写出切线方程从而得到切线与轴交点的横坐标，再利用双曲线第二定义表示出的值，再根据得到相似比即可求的值进而求离心率. 【详解】设，则切线的方程为， 设切线与轴交点为，令可得点的横坐标， 根据双曲线第二定义可得， 由，即， 也即，解得， 则，故. 故答案为： 【变式训练3-2】已知是双曲线外一点，过P引双曲线的两条切线，为切点，求直线的方程． 【答案】 【分析】根据双曲线的切线方程（或切点弦方程）的结论直接代入即可得直线的方程. 【详解】如下图所示： 方法一： 根据题意，设切点坐标为， 根据结论：若点在双曲线上，则过点的双曲线的切线方程是． 则可得切线的方程分别为，； 又因为在切线上，可得，； 因此在方程的两根， 可知直线的方程为，也即. 方法二： 可直接利用结论：若点在双曲线外，过点作双曲线的两条切线，切点为点，则切点弦的直线方程是； 可得直线的方程为，也即 【变式训练3-3】（1）求双曲线在点处的切线方程； （2）已知是双曲线外一点，过P引双曲线的两条切线，A，B为切点，求直线AB的方程． 【答案】（1）；（2）. 【分析】 （1）由双曲线上一点的切线方程，代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，分别表示出直线的方程，再将点的坐标代入计算，即可得到结果. 【详解】 （1）由双曲线上一点处的切线方程为， 所以双曲线在点处的切线方程为， 化简可得. （2）设切点，则，， 又点在直线上，代入可得，， 所以点均在直线上， 所以直线的方程为，即. 【变式训练3-4】已知：若点是双曲线上一点，则双曲线在点处的切线方程为．如图，过点分别作双曲线两支的切线，切点分别为P，Q，连结P，Q两点，并过线段的中点F分别再作双曲线两支的切线，切点分别为D，E，记与的面积分别为，． (1)求直线的方程（含m）； (2)证明直线过点C，并比较与的大小． 【答案】(1) (2)证明见解析， 【分析】（1）利用易知分别求出两点处的切线方程，将分别代入两切线方程即可得直线的方程为；（2）联立双曲线和直线方程，利用韦达定理可得的中点，同理根据（1）中结论可得直线的方程为，显然在直线上；联立双曲线和直线方程可得即为中点即可得. 【详解】（1）根据题意可设， 由已知可得双曲线在处的切线方程为， 同理，在处的切线方程为； 又两切线交点为，所以满足， 即同时满足方程， 所以直线的方程为. （2）联立整理可得， 所以, 即可得线段的中点， 设， 根据已知可得在两点处的切线方程分别为，； 两切线交点为，所以 可得直线的方程为，整理可得； 易知满足直线方程， 即直线过点C； 联立双曲线与直线方程， 整理可得， 所以，可得， 所以的中点坐标为，即为的中点，即； 易知的面积为， 的面积； 又，可得； 即与的大小关系为. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用题目提供的已知条件直接写出双曲线在某点处的切线方程，再根据两切线交点坐标得出两切点的直线方程，联立并利用韦达定理化简即可实现问题求解. 【变式训练3-5】如图，双曲线的左右焦点分别为，，双曲线与有相同的渐近线和焦距．过上一点作的两条切线，切点分别为A，B，A在轴上方，连接AB交于点M． （注：过曲线外一点作曲线的两条切线，则两切点所在直线方程为）    (1)求双曲线的方程； (2)证明：直线AB与切于点M，且； (3)当点在第三象限，且时，求的值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据双曲线的渐近线及焦距列方程求解即可； （2）联立直线与双曲线方程，根据相切求出切点横坐标，再联立直线与双曲线方程，利用根与系数关系可得出为中点得证； （3）法一可由直线，联立求出点坐标，代入双曲线方程求出，再由三角形面积公式得解，法二利用，，求出即可得解. 【详解】（1）的渐近线方程为，， 的渐近线方程为，， 所以，得，，所以双曲线的方程为． （2）已知，且满足， 设切点，，， 根据题意得，直线AB方程为． 直线AB与联立，得， 化简得，， 所以直线AB与切于点． 所以，． 直线AB与联立，得，即， 得， 所以，即为中点， 所以． （3）法一：因为，则， 直线与直线联立， 得，即， 将点代入， 得，化简得， 由得，， 所以． 法二：因为，，点与点关于原点对称，所以． 因为，所以， 因为，所以，所以， ， 所以． 【点睛】关键点点睛：第三问的关键在于直接算面积需要求出，或者利用三角形面积之间关系可转化为求，不论那种方法，都需要较强的运算能力. 【变式训练3-6】已知抛物线的焦点F与双曲线的一个焦点重合，D为直线上的动点，过点D作抛物线C的两条切线，切点分别为A，B． （1）求抛物线C的方程； （2）证明直线过定点 【答案】（1）；（2）证明见解析. 【分析】 （1）由双曲线，求得，根据题意，得到，进而求得抛物线的方程； （2）设切线方程为，联立方程组，结合（1）和根与系数的关系，求得，得到设，，进而得到直线的方程，即可求解． 【详解】 （1）由题意，双曲线，可得焦点， 因为抛物线的焦点F与双曲线的一个焦点重合， 可得，解得，所以抛物线的方程为. （2）设，切线方程为， 联立方程组，整理得……（1） 由，可得， 设两条切线的斜率分别为，，则，， 由（1）知等根为， 设，，则， 所以直线的方程为：， 化简得， 即，所以直线过定点． 【点睛】 本题主要考查抛物线的标准方程的求解、及直线与抛物线的位置关系的综合应用,解答此类题目，通常联立直线方程与抛物线方程，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等。 【变式训练3-7】已知动点满足关系式. (1)求动点的轨迹方程； (2)设动点的轨迹为曲线，抛物线的焦点为，过上一点作的两条切线，切点分别为，弦的中点为，平行于的直线与相切于点. ①证明：三点共线； ②当直线与有两个交点时，求的取值范围. 【答案】(1) (2)①证明见解析；②的取值范围为. 【分析】（1）由双曲线定义即可求解； （2）①由切线方程和导数几何意义依次求出和即可得证； ②求出直线的方程，与曲线联立，利用判别式结合焦半径公式即可求解. 【详解】（1）设， 则即 ， 所以由双曲线定义可知动点的轨迹是以为焦点的双曲线的下支，且 所以动点的轨迹方程为. （2）①证明：由（1）曲线:,，设， 对函数求导得， 所以两切线方程为：，即， 又切线过点P，所以， 即满足，即满足方程， 所以， 设， 则由， 所以，即三点在直线上，即三点共线； ②由上得，所以直线的方程为即， 联立， 因为直线与有两个交点，则由题意可知方程有两个不等负根， 所以， 所以. 所以的取值范围为. 【变式训练3-8】已知双曲线过点分别为圆：的两条切线，且分别交双曲线于点． (1)求双曲线的离心率； (2)证明：直线的斜率为定值． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据点在双曲线上，将点的坐标代入双曲线方程求出的值，再利用双曲线的离心率公式（对于双曲线）来计算离心率. （2）通过联立直线方程和双曲线方程，利用韦达定理求出交点坐标，再根据已知条件得出斜率关系，进而求出直线PQ的斜率. 【详解】（1）解：将的坐标代入，得， 所以双曲线的离心率． （2）证明：由题意知，直线的斜率都存在且不为0， 设直线的方程为，直线的方程为． 由消去，整理得． 由，得， 由，得． 由题意，解得，所以， 所以，同理． 由题意，，得． 因为，所以，故， 所以直线的斜率，即直线的斜率为定值． 题型04：双曲线中的光学性质 【典型例题1】在节目表演中为了增强舞台的亮度，且为了减弱演员面对强光的不适感，灯光设计人员巧妙地通过双曲线的光学性质，发散光线以保护演员的视力，如图，从双曲线右焦点发出的光线，其经过双曲线的反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.已知双曲线的离心率为，则当入射光线和反射光线互相垂直时，（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据离心率为得到，，利用特殊值的思路，设双曲线的标准方程为，，，然后利用勾股定理列方程解得，最后求的余弦值即可. 【详解】因为，所以，，不妨设双曲线的标准方程为，设，则，所以，解得（已舍去），所以. 故选：A. 【典型例题2】智慧的人们在进行工业设计时，巧妙地利用了圆锥曲线的光学性质，比如电影放映机利用椭圆镜面反射出聚焦光线，探照灯利用抛物线镜面反射出平行光线.如右图所示，从双曲线右焦点F2发出的光线通过双曲线镜面反射出发散光线，且反射光线的反向延长线交于左焦点F1.已知双曲线的离心率为，则当入射光线F2P和反射光线PE互相垂直时（其中P为入射点），∠F1F2P的大小为（ ） A. B. C. D. 【解析】如图，因为双曲线的离心率为，所以不妨设其方程为，则， 由题意，，所以点P在圆上，不妨设P在第一象限，联立解得：，，所以，设， 则直线的斜率， 所以，故. 【答案】D 【典型例题3】智慧的人们在进行工业设计时，巧妙地利用了圆锥曲线的光学性质，比如电影放映机利用椭圆镜面反射出聚焦光线，探照灯利用抛物线镜面反射出平行光线．如图，从双曲线右焦点F2发出的光线通过双曲线镜面反射，且反射光线的反向延长线经过左焦点F1．已知入射光线F2P斜率为，且F2P和反射光线PE互相垂直（其中P为入射点），则双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2+ D． 【答案】D 【分析】由入射光线的斜率得出，进而得出，再由双曲线的定义得出双曲线的离心率. 【详解】因为入射光线斜率为，所以，又，， 所以，又， 所以. 故选：D 【典型例题4】双曲线的光学性质为：从双曲线的一个焦点发出的光线经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线过双曲线的另一个焦点．如图：为双曲线的左，右焦点，从右焦点发出的光线在双曲线上的点、处反射后射出共线），若，则（   ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】由对称性以及几何关系得出，，再由求出的离心率，即可得. 【详解】连接， 因为，则，即为等边三角形， 由对称性可知，则， 又因为，即， 整理得，解得或（舍）， 所以. 故选：A. 【变式训练4-1】根据圆锥曲线的光学性质，从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线过双曲线的另一个焦点.由此可得，连双曲线上任意一点的切线，平分该点与两焦点连线的夹角．请解决下列问题：已知分别是双曲线C：的左.右焦点，若从发出的光线经双曲线右支上的点反射后，反射光线为射线AM，则的角平分线所在的直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】显然在第一象限，然后根据已知求出点的坐标，再求出点的坐标，由此可得轴，设角的角平分线为，求出直线的倾斜角，即可求解． 【详解】解：由已知可得在第一象限， 将点的坐标代入双曲线方程可得：，解得，所以， 又由双曲线的方程可得，，所以，则， 所以，且点，都在直线上，又， 设过点与双曲线相切的直线方程为，代入 所以， 设的角平分线为，则， 所以直线的倾斜角为， 所以直线的斜率为， 因为，解得 所以直线的斜率为 故选：D． 【变式训练4-2】如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线的左、右焦点分别为，，从发出的光线经过图2中的A，B两点反射后，分别经过点C和且，，则E的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作出辅助线，设，利用双曲线定义表达出其他边，在中，由余弦定理得到方程，求出，再在中，由余弦定理得到方程，求出，求出离心率. 【详解】由题意知延长 则必过点 ， ， 设， 则，， 由双曲线的定义可得 ，， 由可得， 在中，由余弦定理 可得， 在中，由余弦定理 可得 解得：， 则， 故选：D 【变式训练4-3】 “双曲线电瓶新闻灯”是记者常用的一种电瓶新闻灯，具有体积小，光线柔和等特点．这种灯利用了双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点（如图1），并且过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点连线的夹角（如图2）． 已知左、右焦点分别为的双曲线的离心率为，并且过点，坐标原点为双曲线的对称中心，点的坐标为（1，0），则下列结论不正确的是（    ） A．双曲线的方程为 B．若从射出一道光线，经双曲线反射，则其反射光线所在直线的斜率的取值范围为 C． D．过点作垂直的延长线于点，则 【答案】B 【分析】A选项根据离心率找到关系，代点求方程即可；B选项可由双曲线渐近线的斜率得到；C选项判断直线为切线，再由题中所给定义得到结论；D选项联立两条直线方程求出点坐标，求出. 【详解】设双曲线的方程为． 对于A，由离心率，可得， 于是双曲线的方程为， 将代入，得， 所以双曲线的方程为，故A正确； 对于B，根据题中条件分析可知，反射光线所在直线与双曲线有两个交点，且过点， 则其斜率介于双曲线的两条渐近线斜率之间， 而双曲线渐近线斜率， 则其反射光线所在直线的斜率的取值范围为，故B错误； 对于C，因为，所以， 与双曲线方程联立，得到， 可知该直线与双曲线只有一个交点， 即直线为双曲线在点处的切线， 根据题中条件“过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点连线的夹角”可知， ，故C正确； 对于D，由C选项知， 因为直线垂直于直线，所以， 又，所以， 由，得，因此，故D正确； 故选：B. 【点睛】关键点点睛：解题的关键点是利用双曲线的光学性质判断选项. 【变式训练4-4】圆锥曲线有良好的光学性质，光线从椭圆的一个焦点发出，被椭圆反射后会经过椭圆的另一个焦点（如左图）；光线从双曲线的一个焦点发出，被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点射出（如中图）.封闭曲线（如右图）是由椭圆和双曲线在轴右侧的一部分（实线）围成.光线从椭圆上一点出发，经过双曲线的右焦点，然后在曲线内多次反射，反射点依次为若与重合，则光线从到所经过的路程为（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】B 【分析】结合椭圆、双曲线的定义以及它们的光学性质求得正确答案. 【详解】椭圆；双曲线则双曲线和椭圆的焦点重合. 根据双曲线的定义有 所以 根据椭圆的定义由 所以路程 故选：B. 【变式训练4-5】阿波罗尼斯（约公元前262年～约公元前190年）提出了许多新的性质．其中也包括圆锥曲线的光学性质，光线从双曲线的一个焦点发出，通过双曲线的反射，反射光线的反向延长线经过其另一个焦点．已知曲线的方程为，，从点发出的光线，沿与的渐近线垂直的方向射出后被反射，反射光线所在直线恰与渐近线平行，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据双曲线的光学性质可得焦点三角形的性质，从而可得基本量的关系，故可求离心率. 【详解】 由题意知，表示的曲线为双曲线的右支， 点为双曲线的左焦点，光线射向双曲线上的点， 由双曲线的光学性质可知，反射光线所在直线过右焦点， 由已知，，所以， 点到直线：的距离，即， 所以， 所以，，且， 所以，,又，得， 所以，得， 故选：B. 【变式训练4-6】如图，双曲线具有光学性质，从双曲线一个焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.若双曲线的左、右焦点分别为，，从发出的光线经过图中的，两点反射后，分别经过点和，且，，则的离心率为（   ）.    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】使用题设条件得到.也就是，然后引入参数并得到等量关系故，最后使用余弦定理即可得到齐次方程并求解. 【详解】连接，，根据题意，，，三点共线，，，三点共线.，且由知，故. 所以. 可设，，. 由于 ，故. 从而，，故，. 在中，由余弦定理得， ，解得， 所以. 故选：C.    【变式训练4-7】阿波罗尼斯（约公元前262年～约公元前190年）提出了许多新的性质．其中也包括圆锥曲线的光学性质，光线从双曲线的一个焦点发出，通过双曲线的反射，反射光线的反向延长线经过其另一个焦点．已知双曲线C：的左、右焦点分别为，．其离心率，从发出的光线经过双曲线C的右支上一点E的反射，反射光线为EP，若反射光线与入射光线垂直，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，，利用双曲线的定义、勾股定理可得方程，解得，进而得出结论． 【详解】设，，，由题意知，，， 所以，，， 所以， 又，所以，解得或（舍去）， 所以，则， 则. 故选：C. 【变式训练4-8】如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线的左、右焦点分别为，，从发出的光线经过图2中的，两点反射后，分别经过点和，且，，则的离心率为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用双曲线的光学性质及双曲线定义，用表示，再在两个直角三角形中借助勾股定理求解作答. 【详解】依题意，直线都过点，如图，有，，    设，则，显然有，， ， 因此，，在，， 即，解得，即，令双曲线半焦距为c， 在中，，即，解得， 所以E的离心率为. 故选：C. 【点睛】方法点睛：求圆锥曲线的离心率（或离心率的取值范围），常见有两种方法： ①求出，代入公式； ②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，进而转化为的齐次式，然后等式（不等式）两边分别除以或转化为关于的方程（不等式），解方程（不等式）即可得（的取值范围）. 【变式训练4-9】双曲线的光学性质如下：从双曲线右焦点发出的光线经双曲线镜面反射，反射光线的反向延长线经过左焦点．已知双曲线的方程为，，分别为其左、右焦点，若从右焦点发出的光线经双曲线上的点和点反射后（三点共线），满足，，则 ． 【答案】或 【分析】设，由双曲线定义表示出，解三角形求出，，结合双曲线定义利用表示，从而建立关系式求出（用表示），可求得． 【详解】由题可知三点共线， 三点共线，如图，连接，， 设，则，因为，所以， 又，所以，， 所以，， 所以，得， 则． 故答案为： 1 学科网（北京）股份有限公司 $