专题2.1.1 等式的性质与方程的解集 （高效培优讲义）（5大题型）高一数学人教B版必修第一册

专题2.1.1 等式的性质与方程的解集 教学目标 1、使学生学会用量词和逻辑语言呈现等式的性质； 2、训练学生掌握用集合呈现方程的解集； 3、使学生学会用“十字相乘法”分解因式； 4、让学生体会用符号语言表述，训练学生数学抽象.数学运算的学科素养. 教学重难点 1.重点 从量词和逻辑的角度呈现等式的性质；从集合的角度呈现方程的解集. 2.难点 熟练使用“十字相乘法”分解因式. 知识点01 等式的性质 (1)等式的两边同时加上同一个数或代数式，等式仍成立； (2)等式的两边同时乘以同一个不为零的数或代数式，等式仍成立． 注：用符号语言和量词表示上述等式的性质： (3)如果，则对任意，都有； (4)如果，则对任意不为零的，都有. 【即学即练】利用等式的基本性质，在横线上填上适当的数.若，则__________，__________. 【答案】 【解析】根据等式的性质3，等式两边同减，得， 再根据等式的性质4，等式两边同除以3，得． 故答案为：， 知识点02恒等式 一般地，含有字母的等式，如果其中的字母取任意实数时等式都成立，则称其为恒等式，也称等式两边恒等． 注：常见的代数恒等式 （1）完全平方公式：， （2）平方差公式： （3）立方和差公式：， （4）多项式乘法展开式：， 【即学即练】若等式恒成立，则的值为___________． 【答案】 【解析】,当， 则 故答案为： 知识点03 十字相乘法 首项系数不为1的十字相乘法 在二次三项式中，如果二次项系数可以分解成两个因数之积，即，常数项可以分解成两个因数之积，即，把排列如下： 按斜线交叉相乘，再相加，得到，若它正好等于二次三项式的一次项系数，即，那么二次三项式就可以分解为两个因式与之积，即. 特别说明： （1）分解思路为“看两端，凑中间” （2）二次项系数一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上. 【即学即练】利用十字相乘法分解因式________ 【答案】 【解析】. 故答案为：. 知识点04 方程的有关概念 方程 含有未知数的等式叫做方程 方程的解（或根） 能使方程左右两边相等的未知数的值叫方程的解． 方程的解集 把一个方程所有解组成的集合称为这个方程的解集． 解方程 求方程的解的过程叫解方程． 【即学即练】已知一元二次方程，若把二次项系数变为正数，且使得方程根不变的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】将方程两边同乘以即可.将方程的两边同时乘以，得：， 故选：B. 知识点05 一元一次方程 一元一次方程 方程两边都是整式，都只含有一个未知数，并且未知数的次数都是1，像这样的方程叫一元一次方程． 满足的条件 ①必须是整式方程； ②只含有一个未知数； ③未知数的次数都是1. 表示形式 或 【即学即练】设a、，求关于x的方程的解集． 【解析】方程转化为， 当时，解集为； 当，时，解集为R； 当，时，解集为R； 当，时，解集为． 题型01 等式的性质与应用 【典例1】下列式子中变形错误的是（    ） A．，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【解析】对于选项，两边同时减，得到，故正确； 对于选项，没有说明，故不正确； 对于选项，在等式两边同时乘以，得到，故正确； 对于选项，在等式两边同时乘以5得到，故正确； 故选：. 【变式1-1】（2026·高一·山东德州·阶段检测）已知等式，则下列变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于A，满足，但无意义，故错误； 对于B，两边同时加上2，该等式仍然成立，故正确； 对于C，当，，满足，但得不到，故错误； 对于D，当时，无法得到，故错误； 故选：B 【变式1-2】（2026·高二·甘肃兰州·期中）已知，则下列比例式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，则，则，，故B选项正确，ACD选项错误. 故选：B. 【变式1-3】（2026·高一·北京·期中）下列运用等式的性质进行的变形中，正确的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】D 【解析】选项A，当时，显然不成立； 选项B，如果，那么或，显然不成立； 选项C，当时，无意义，不成立； 选项D，如果，则，故，即，成立 故选：D 题型02 恒等式的化简 【典例2】将下列代数式化简或展开： （1）______； （2）______； （3）______； （4）______； （5）______. 【答案】 【解析】（1）； （2）； （3）； （4）； （5）， =. 故答案为：，，，， 【变式2-1】（公式定理1立方差公式【思想方法】）化简． 【解析】. 【变式2-2】化简. 【解析】（方法一）可以利用两数和的平方公式与两数差的平方公式展开，然后合并同类项，即 ； （方法二）可以将和分别看成一个整式，然后利用平方差公式，即 ． 【变式2-3】已知方程的解为负数，求正整数的值． 【解析】去分母，得：x－（2x－a）＝4， 去括号，得：x－2x＋a＝4， 移项，得：x－2x＝4－a， 合并同类项，得：－x＝4－a， 系数化为1，得：x＝a－4， 因为方程解为负数，所以， 解得 所以正整数的值为1或2或3． 题型03 因式分解 【典例3】用十字相乘法分解因式： (1)； (2)； (3)； (4). 【解析】（1）; （2）; （3）; （4）; 【变式3-1】将下列各式因式分(1)； (2)； (3). 【解析】（1） （2） （3） 【变式3-2】用十字相乘法分解因式： （1）； （2）； （3）； （4）． 【解析】（1）=； （2）=； （3）=； （4）=． 【变式3-3】分解因式： （1）； （2）； （3）； （4）. 【解析】（1）由图，得 所以． （2）由图，得 所以． （3）由图，得 所以． （4）由图，得 所以. 题型04 一元一次方程的解集 【典例4】求下列方程的解集： （1）； （2）. 【解析】（1）由得， 移项整理得，解得； 所以该方程的解集为； （2）由去分母，得， 移项整理得， 解得； 所以该方程的解集为. 【变式4-1】（2026·高一·上海·期中）求关于的方程的解集． 【解析】关于的方程，即为， 当时，方程解集为； 当时，解集为； 当时 ，方程解集为． 【变式4-2】（2026·高一·上海普陀·阶段检测）设为实数，求关于的方程的解集. 【解析】方程可化为， 时，， 若，则方程为，显然不成立，方程无解； 若，则方程为，方程的解为； 若时，解方程得. 综上，时，方程的解集为； 时，方程的解集为； 时，方程的解集为. 【变式4-3】设a、，求关于x的方程的解集． 【解析】因为关于x的方程可化为， 当时，两边同时除以可得：，所以原方程的解集为； 当，时，方程恒成立，所以原方程的解集为R； 当，时，方程可化为，这样的不存在，所以原方程的解集为． 综上：当时，解集为； 当，时，解集为R； 当，时，解集为． 题型05 因式分解法解一元二次方程的解集 【典例5】用因式分解法求下列方程的解集： （1）； （2）； （3）. 【解析】（1）由得，解得或； 所以该方程的解集为； （2）由得， 即， 解得或， 所以该方程的解集为； （3）由得， 所以， 解得或； 所以该方程的解集为. 【变式5-1】设，解关于x的方程. 【解析】因为， 将其看成关于k的二次方程，则， 所以利用求根公式求得或， ∴或. 对于方程，其. ∵，∴， ∴其两根为，， 所以关于x的方程的解为，，. 【变式5-2】求方程的解集. 【解析】因为，所以原方程可以化为， 从而可知或，即或，因此所求解集为． 【变式5-3】求下列方程的解集： （1）；（2）；（3）；（4）. 【解析】（1）移项，得， 合并同类项，得，系数化为1，得， 所以原方程的解集为； （2）去分母，得， 去括号，移项，得， 合并同类硕，得，系数化为1，得， 所以原方程的解集为； （3）原方程化为，解得， 所以原方程的解集为； （4），原方程化为，解得或， 所以原方程的解集为． 1．（2026·高一·广东汕头·期末）因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】本题可以用十字相乘法因式分解，也可展开选项验证： 方法一：十字相乘法因式分解 二次三项式可以使用十字相乘法如下拆分 满足一次项系数要求：， 故因式分解结果为： 方法二：对选项逐个展开验证即可. 2．（2026·高一·河北·阶段检测）小明购买单价分别为4元/斤和6元/斤的两种苹果所花的钱数相同.混合后，苹果的平均单价（元/斤）是（   ） A．4.8 B．5.0 C．5.2 D．5.4 【答案】A 【解析】设用于购买每种苹果的钱数均为元， 则单价为4元/斤的苹果购买了斤，单价为6元/斤的苹果购买了斤， 总花费为元，总重量为斤. 所以混合后，苹果的平均单价4.8元/斤. 故选：A. 3．（2026·高一·重庆·阶段检测）阅读材料：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：（1）整体观察；（2）整体设元；（3）整体代入；（4）整体求和等． 例如，，求证． 证明：． 结合阅读材料解答下列问题：已知，则的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【解析】因为，所以， 故选：B. 4．（2026·高一·贵州遵义·阶段检测）如图，书架宽，在该书架上按图示方式摆放语文书和英语书，已知每本英语书厚，每本语文书厚，语文书和英语书共84本恰好摆满该书架，则书架上英语书的本数为（    ）    A．38 B．39 C．41 D．42 【答案】D 【解析】设书架上有本英语书，则语文书有本， 由题意，，解得， 故选：D 5．一元二次方程的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由得或. 所以一元二次方程的解集为. 故选：C. 6．下列各数中，不属于方程的解集的是（    ） A．2 B． C．0 D． 【答案】B 【解析】可得且或, , , 故选:B. 7．（2026·高一·辽宁·期中）《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短.引绳度之，余绳四尺五寸，屈绳量之，不足一尺，木长几何？”，意思是：用绳子去量一根长木，绳子还余尺，将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺.问长木长多少尺 （    ） A．11尺 B．10尺 C．6.5尺 D．6尺 【答案】C 【解析】设长木长为x尺，绳子长为y尺，则 ，解得 故选：C. 8．在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（）（如图甲），将余下的部分剪接拼成一个长方形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证的等式为（    ）. A． B． C． D． 【答案】B 【解析】图甲中阴影部分的面积为，图乙中阴影部分面积为， 因为两个图形中阴影部分的面积相等， 所以. 故选：B 9．（多选题）（2026·高一·福建宁德·期中）下列命题正确的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AC 【解析】选项A，因为，所以，，，.选项A正确. 选项B，当时，.选项B错误. 选项C，因为， 所以.选项C正确. 选项D，，所以，解得， 所以，，两式相加,.选项D错误. 故选：AC 10．（多选题）（2026·高一·辽宁·阶段检测）方程解集为单元素集，那么该方程的解集可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【解析】由题意可知且，则原方程可化为，得， 若方程有一根为0，则，此时原方程的解为，（舍去），符合题意； 若方程有一根为，则，此时原方程的解为，（舍去），符合题意； 若，解得，故原方程为，解得. 故选：ABC. 11．小张同学看一本800页的数学书，看了200页后，为早日完成，后来每天比原计划增加40页，结果共用32天完成这一任务，请问小张原计划每天完成__________页. 【答案】10 【解析】设原计划每天完成x页，由题意得， 整理得，解得或（舍）. 所以小张原计划每天完成10页. 故答案为：10 12．（2026·高一·上海·期中）若关于的方程的解集为，则______． 【答案】1 【解析】对方程变形，可得整式方程，，所以，由于解集为，故，解得． 故答案为：1． 13．（2026·高一·湖南株洲·阶段检测）我国经典数学名著《九章算术》中有这样的一道题：“今有出钱五百七十六，买竹七十八，欲其大小率之，问各几何？”其意是：“今有人出钱576，买竹子78根，拟分大、小两种竹子为单位进行计算，每根大竹子比小竹子贵1钱，问买大、小竹子各多少根？每种竹子单价各是多少钱？”则在这个问题中大竹子的单价可能为_______钱； 【答案】8 【解析】依题意可设买大竹子根，每根单价为钱， 买小竹子根，每根单价为钱， 所以即． 因为，，解得， 而为非负整数，故，故大竹子的单价为每根钱. 故答案为：. 14．（2026·高一·内蒙古包头·期中）《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂：从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题､新结论的重要方法. 阅读材料：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：（1）整体观察；（2）整体设元；（3）整体代入：（4）整体求和等. 例如，，求证：.证明：原式. 请根据以上阅读材料解答下列问题： (1)已知，求的值. (2)若，解关于的方程. 【解析】（1）已知，则有. （2）由， 关于的方程， 可化为：， 即：， ∴，即，解得：. 15．用因式分解法求下列方程的解集： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）. 【解析】（1）原方程可化为：， 所以，； 所以该方程的解集为. （2）将原式整理得：， 所以或， 所以，； 所以该方程的解集为. （3）原式可化为：，即， 所以，； 所以该方程的解集为. (4) 原式可化为：，即， 所以，； 所以该方程的解集为. (5)原式可化为：，即， 所以，； 所以该方程的解集为. (6)原式可化为：，即， 所以，； 所以该方程的解集为. 16．把下列各式分解因式： （1）6x2＋7x－3； （2）12x2＋25x＋12； （3）42x2－5x－2； （4）72x2＋7x－2. 【解析】（1）6x2＋7x－3=(2x＋3)(3x－1)； （2）12x2＋25x＋12=(3x＋4)(4x＋3)； （3）42x2－5x－2=(6x＋1)(7x－2)； （4）72x2＋7x－2=(9x＋2)(8x－1)； 1．若对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】当时，对于不等式，此时，则对任意实数都满足； 当时，对于不等式，即，解得：； 当时，对于不等式，即，解得：， 综上要使对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是，即， 故选：B 2．（2026·高一·辽宁沈阳·开学考试）若，，b，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，，b，， 所以联立方程组，求得，，，从而，，， 所以当a，b异号时，取最小值为． 故选：B． 3．（2026·高三·安徽·阶段检测）不定方程的整数解问题是数论中一个古老的分支，其内容极为丰富，西方最早研究不定方程的人是希腊数学家丢番图．请研究下面一道不定方程整数解的问题：已知则该方程的整数解有（    ）组． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解析】设此方程的解为有序数对， 因为 所以 当或时，等号是不能成立的， 所以即， （1）当时，即 （2）当时，即或 （3）当时，即 综上所述，共有四组解 故选：D 4．因式分解的结果是的多项式是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】. 故选：C 5．（2026·高一·山东潍坊·期末）我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有人持金出五关，前关二而税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤，问本持金几何？”其意思为：今有人持金出五关，第1关收税金为持金的，第2关收税金为剩余金的，第3关收税金为剩余金的，第4关收税金为剩余金的，第5关收税金为剩余金的，5关所收税金之和恰好重1斤，则此人总共持金（    ） A．2斤 B．斤 C．斤 D．斤 【答案】C 【解析】设总共持金斤,再根据题意列式求解即可.设总共持金斤,再根据过5关后剩 斤列式计算即可. 由题得. 即 故选：C 6．（2026·高一·河北石家庄·开学考试）多项式的一个因式为（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】依题意，所以多项式的因式为，. 故选：B 7．（2026·高一·山西朔州·阶段检测）已知，那么的值分别为 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 整理得：，根据偶次幂的性质可得： ，.解得：，. 故选：C 8．（多选题）（2026·高一·江苏镇江·开学考试）若对任意实数都成立，则实数可能的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【解析】因为， 故对任意实数都成立即为： 对任意实数都成立， 所以即，故， 故选：CD. 9．（多选题）（2026·高一·江苏南通·开学考试）若x2＋xy－2y2＝0，则的值可以为（    ） A．－ B．－ C． D． 【答案】BD 【解析】由x2＋xy－2y2＝0得，得或， 当时，； 当时，. 故选：BD. 10．（2026·高一·上海黄浦·期中）已知等式恒成立，则______． 【答案】5 【解析】因为恒成立， 即恒成立， 所以， 所以． 故答案为：5 11．（2026·高一·上海·阶段检测）已知等式恒成立，则常数__________. 【答案】 【解析】由，可得恒成立， 可得，解得，故. 故答案为：. 12．若下列两个关于的方程，中至少有一个方程有实根，则实数的取值范围是________. 【答案】或 【解析】若方程无实根，则，得到， 若方程无实根，则，得到， 则当两方程均无实根时，， 所以若两个方程至少有一个方程有实根时，或， 故答案为：或. 13．解方程． 【解析】原方程可化为，根据等号左边因式的特点， 可设，所以， 则， 所以是方程的两个根，解得， 所以 或 . 因为   ， 所以， 解得， 即所求方程的解集为． 14．（2026·高一·上海浦东新·阶段检测）已知，是一元二次方程的两个实数根. (1)求的值；（用表示） (2)是否存在实数，使成立？若存在，求出的值，若不存在，请你说明理由； (3)求使的值为整数的实数的整数值. 【解析】（1）因为一元二次方程， 所以，解得 由韦达定理可得 当时，，无意义； 当时， 综上，的值为 （2）不存在，理由： 由韦达定理可知 ， 令，整理得，， 由（1）可知， 所以不存在实数，使成立. （3） 因为为整数，所以必为整数，所以，即 又，所以， 因为为整数，所以，经检验时，为整数， 所以使的值为整数的实数的整数值为. 15．已知等式． （1）若，请写出一组满足等式的值； （2）若对任意的实数，等式恒成立，求所有实数对的集合． 【解析】（1）答案不唯一，时，， 所以， 所以的取值范围为. 当取区间内的任意一个值时，都可以求得相应的值． 例如，当时，或2，因此，（0，1），（2，1）都满足等式． （2）由题得对于对任意的实数，等式恒成立， 所以，所以 所以所有实数对的集合为． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.1.1 等式的性质与方程的解集 教学目标 1、使学生学会用量词和逻辑语言呈现等式的性质； 2、训练学生掌握用集合呈现方程的解集； 3、使学生学会用“十字相乘法”分解因式； 4、让学生体会用符号语言表述，训练学生数学抽象.数学运算的学科素养. 教学重难点 1.重点 从量词和逻辑的角度呈现等式的性质；从集合的角度呈现方程的解集. 2.难点 熟练使用“十字相乘法”分解因式. 知识点01 等式的性质 (1)等式的两边同时加上同一个数或代数式，等式仍成立； (2)等式的两边同时乘以同一个不为零的数或代数式，等式仍成立． 注：用符号语言和量词表示上述等式的性质： (3)如果，则对任意，都有； (4)如果，则对任意不为零的，都有. 【即学即练】利用等式的基本性质，在横线上填上适当的数.若，则__________，__________. 知识点02恒等式 一般地，含有字母的等式，如果其中的字母取任意实数时等式都成立，则称其为恒等式，也称等式两边恒等． 注：常见的代数恒等式 （1）完全平方公式：， （2）平方差公式： （3）立方和差公式：， （4）多项式乘法展开式：， 【即学即练】若等式恒成立，则的值为___________． 知识点03 十字相乘法 首项系数不为1的十字相乘法 在二次三项式中，如果二次项系数可以分解成两个因数之积，即，常数项可以分解成两个因数之积，即，把排列如下： 按斜线交叉相乘，再相加，得到，若它正好等于二次三项式的一次项系数，即，那么二次三项式就可以分解为两个因式与之积，即. （1）分解思路为“看两端，凑中间” （2）二次项系数一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上. 【即学即练】利用十字相乘法分解因式________ 知识点04 方程的有关概念 方程 含有未知数的等式叫做方程 方程的解（或根） 能使方程左右两边相等的未知数的值叫方程的解． 方程的解集 把一个方程所有解组成的集合称为这个方程的解集． 解方程 求方程的解的过程叫解方程． 【即学即练】已知一元二次方程，若把二次项系数变为正数，且使得方程根不变的是（    ） A． B． C． D． 知识点05 一元一次方程 一元一次方程 方程两边都是整式，都只含有一个未知数，并且未知数的次数都是1，像这样的方程叫一元一次方程． 满足的条件 ①必须是整式方程； ②只含有一个未知数； ③未知数的次数都是1. 表示形式 或 【即学即练】设a、，求关于x的方程的解集． 题型01 等式的性质与应用 【典例1】下列式子中变形错误的是（    ） A．，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式1-1】（2026·高一·山东德州·阶段检测）已知等式，则下列变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2026·高二·甘肃兰州·期中）已知，则下列比例式成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2026·高一·北京·期中）下列运用等式的性质进行的变形中，正确的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 题型02 恒等式的化简 【典例2】将下列代数式化简或展开： （1）______； （2）______； （3）______； （4）______； （5）______. 【变式2-1】（公式定理1立方差公式【思想方法】）化简． 【变式2-2】化简. 【变式2-3】已知方程的解为负数，求正整数的值． 题型03 因式分解 【典例3】用十字相乘法分解因式： (1)； (2)； (3)； (4). 【变式3-1】将下列各式因式分(1)； (2)； (3). 【变式3-2】用十字相乘法分解因式： （1）； （2）； （3）； （4）． 【变式3-3】分解因式： （1）； （2）； （3）； （4）. 题型04 一元一次方程的解集 【典例4】求下列方程的解集： （1）； （2）. 【变式4-1】（2026·高一·上海·期中）求关于的方程的解集． 【变式4-2】（2026·高一·上海普陀·阶段检测）设为实数，求关于的方程的解集. 【变式4-3】设a、，求关于x的方程的解集． 题型05 因式分解法解一元二次方程的解集 【典例5】用因式分解法求下列方程的解集： （1）； （2）； （3）. 【变式5-1】设，解关于x的方程. 【变式5-2】求方程的解集. 【变式5-3】求下列方程的解集： （1）；（2）；（3）；（4）. 1．（2026·高一·广东汕头·期末）因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2026·高一·河北·阶段检测）小明购买单价分别为4元/斤和6元/斤的两种苹果所花的钱数相同.混合后，苹果的平均单价（元/斤）是（   ） A．4.8 B．5.0 C．5.2 D．5.4 3．（2026·高一·重庆·阶段检测）阅读材料：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：（1）整体观察；（2）整体设元；（3）整体代入；（4）整体求和等． 例如，，求证． 证明：． 结合阅读材料解答下列问题：已知，则的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 4．（2026·高一·贵州遵义·阶段检测）如图，书架宽，在该书架上按图示方式摆放语文书和英语书，已知每本英语书厚，每本语文书厚，语文书和英语书共84本恰好摆满该书架，则书架上英语书的本数为（    ）    A．38 B．39 C．41 D．42 5．一元二次方程的解集为（    ） A． B． C． D． 6．下列各数中，不属于方程的解集的是（    ） A．2 B． C．0 D． 7．（2026·高一·辽宁·期中）《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短.引绳度之，余绳四尺五寸，屈绳量之，不足一尺，木长几何？”，意思是：用绳子去量一根长木，绳子还余尺，将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺.问长木长多少尺 （    ） A．11尺 B．10尺 C．6.5尺 D．6尺 8．在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（）（如图甲），将余下的部分剪接拼成一个长方形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证的等式为（    ）. A． B． C． D． 9．（多选题）（2026·高一·福建宁德·期中）下列命题正确的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．（多选题）（2026·高一·辽宁·阶段检测）方程解集为单元素集，那么该方程的解集可以是（   ） A． B． C． D． 11．小张同学看一本800页的数学书，看了200页后，为早日完成，后来每天比原计划增加40页，结果共用32天完成这一任务，请问小张原计划每天完成__________页. 12．（2026·高一·上海·期中）若关于的方程的解集为，则______． 13．（2026·高一·湖南株洲·阶段检测）我国经典数学名著《九章算术》中有这样的一道题：“今有出钱五百七十六，买竹七十八，欲其大小率之，问各几何？”其意是：“今有人出钱576，买竹子78根，拟分大、小两种竹子为单位进行计算，每根大竹子比小竹子贵1钱，问买大、小竹子各多少根？每种竹子单价各是多少钱？”则在这个问题中大竹子的单价可能为_______钱； 14．（2026·高一·内蒙古包头·期中）《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂：从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题､新结论的重要方法. 阅读材料：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：（1）整体观察；（2）整体设元；（3）整体代入：（4）整体求和等. 例如，，求证：.证明：原式. 请根据以上阅读材料解答下列问题： (1)已知，求的值. (2)若，解关于的方程. 15．用因式分解法求下列方程的解集： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）. 16．把下列各式分解因式： （1）6x2＋7x－3； （2）12x2＋25x＋12； （3）42x2－5x－2； （4）72x2＋7x－2. 1．若对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2026·高一·辽宁沈阳·开学考试）若，，b，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．（2026·高三·安徽·阶段检测）不定方程的整数解问题是数论中一个古老的分支，其内容极为丰富，西方最早研究不定方程的人是希腊数学家丢番图．请研究下面一道不定方程整数解的问题：已知则该方程的整数解有（    ）组． A．1 B．2 C．3 D．4 4．因式分解的结果是的多项式是（　　） A． B． C． D． 5．（2026·高一·山东潍坊·期末）我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有人持金出五关，前关二而税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤，问本持金几何？”其意思为：今有人持金出五关，第1关收税金为持金的，第2关收税金为剩余金的，第3关收税金为剩余金的，第4关收税金为剩余金的，第5关收税金为剩余金的，5关所收税金之和恰好重1斤，则此人总共持金（    ） A．2斤 B．斤 C．斤 D．斤 6．（2026·高一·河北石家庄·开学考试）多项式的一个因式为（      ） A． B． C． D． 7．（2026·高一·山西朔州·阶段检测）已知，那么的值分别为 A． B． C． D． 8．（多选题）（2026·高一·江苏镇江·开学考试）若对任意实数都成立，则实数可能的值是（    ） A． B． C． D． 9．（多选题）（2026·高一·江苏南通·开学考试）若x2＋xy－2y2＝0，则的值可以为（    ） A．－ B．－ C． D． 10．（2026·高一·上海黄浦·期中）已知等式恒成立，则______． 11．（2026·高一·上海·阶段检测）已知等式恒成立，则常数__________. 12．若下列两个关于的方程，中至少有一个方程有实根，则实数的取值范围是________. 13．解方程． 14．（2026·高一·上海浦东新·阶段检测）已知，是一元二次方程的两个实数根. (1)求的值；（用表示） (2)是否存在实数，使成立？若存在，求出的值，若不存在，请你说明理由； (3)求使的值为整数的实数的整数值. 15．已知等式． （1）若，请写出一组满足等式的值； （2）若对任意的实数，等式恒成立，求所有实数对的集合． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $