专题05 数列综合（期末真题汇编，江西专用）高二数学下学期北师大版

**基本信息** 高二下期末数列综合专题汇编，精选江西多校期末试题，覆盖5大核心考点，梯度设计兼顾基础与创新。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |多选题|10题|数列性质综合（如等比数列单调性、前n项和与通项关系）|基础巩固，多选项考查性质辨析| |解答题|22题|求和（错位相减、裂项相消）、证明（等差数列判定）、恒成立（参数范围）、新定义（性质P、进阶数列）|分层设计，综合题融合多考点，新定义题对接高考创新趋势|

专题05 数列的综合 高频考点概览 考点01数列性质的综合 考点02数列求和 考点03 数列中的证明 考点04 数中中的恒成立问题 考点05 数列中的新定义 一、多选题 考点01 数列性质的综合 1．(24-25高二下·江西多校·)已知数列的前项和为，且，则（   ） A． B． C． D． 2．(24-25高二下·江西定南中学·期末)已知数列的通项公式为则（   ） A． B． C． D． 3．(24-25高二下·江西景德镇·期末)若等比数列中，首项为，公比为，则下列条件中，使数列一定为递减数列的条件是（   ） A． B． C． D． 4．(24-25高二下·江西宜春中学·期末)已知数列满足，，设其前项和为，则（    ） A． B． C． D． 5．(24-25高二下·江西萍乡·期末)已知数列的前项和为，则（   ） A．若，则为等差数列 B．若，则为等比数列 C．若为等差数列，则 D．若为等比数列，且，，则 6．(24-25高二下·江西九江第一中学·期末)已知数列的前n项和为，且，，，，则下列选项正确的是（    ） A． B． C．若，则为等差数列 D． 7．(24-25高二下·江西上进联考·期末)已知等比数列的公比为，若，且，则（    ） A．当时， B．当时，的取值范围是 C．的取值范围是 D．的取值范围是 8．(24-25高二下·江西新余·期末)已知等比数列的前n项和为满足，数列满足，则下列说法正确的是（   ） A． B．设，则的最小值为12 C．若对任意的恒成立，则 D．设，若数列的前n项和为，则 9．(24-25高二下·江西吉安·期末)已知数列满足，其前项和为，则（    ） A． B．数列为等差数列 C．存在，使得为整数 D．对任意，均有 10．(24-25高二下·江西南昌江西师范大学附属中学·期末)设等比数列的公比为，前项积为，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，且为数列的唯一最大项，则 D．若，且，则使得成立的的最大值为20 考点02 数列求和总和 1．(24-25高二下·江西新余·期末)在数列中，，． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前n项和． 2．(24-25高二下·江西南昌第二中学·期末)已知数列的前项和为，，. (1)求数列的通项公式； (2)求数列前12项和. 3．(24-25高二下·江西上进联考·期末)已知数列的前项和为． (1)若是等差数列，且，求的通项公式； (2)若是等比数列，且成等差数列，求． 4．(24-25高二下·江西宜春中学·期末)在数列中，，. (1)证明：数列是等差数列. (2)求的通项公式. (3)若，求数列的前项和. 5．(24-25高二下·江西九江第一中学·期末)已知等差数列的前n项和为，且，． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和为． 6．(24-25高二下·江西景德镇·期末)已知等比数列首项为2，且成等差数列． (1)求的通项公式； (2)若数列是递增数列，且，求数列的前项和． 7．(24-25高二下·江西部分校·)为数列的前n项和．已知，． (1)证明：是等差数列． (2)设，求数列的前n项和． 8．(24-25高二下·江西抚州·)设数列的前项和为. (1)求的通项公式； (2)若，且，求数列的前项和. 9．(24-25高二下·江西多校·)已知数列的各项均为正数，其前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 考点03 数列中的证明问题 1．(24-25高二下·江西南昌南昌中学（三经路校区）·期末)设数列满足，． (1)证明：数列为等差数列； (2)若数列的前n项和为，证明：． 2．(24-25高二下·江西景德镇·期末)数列的前项和 (1)证明：数列是等差数列； (2)若，设数列的前项和为，证明：． 3．(24-25高二下·江西部分校·)在数列中，是和的等差中项，且集合为单元素集合． (1)求． (2)已知数列为等比数列，． （ⅰ）求的通项公式； （ⅱ）若，证明： 4．(24-25高二下·江西抚州·)已知数列满足，且.函数. (1)求； (2)若恒成立，求的值； (3)设，求证：. 5．(24-25高二下·江西多校·)已知数列不是常数列，且满足，. (1)若数列是等比数列. （i）求的值及数列的通项公式； （ii）令，求数列的前项积； (2)若，数列的前项和为，求证：. 考点04 数列中的恒成立和求参数范围问题 1．(24-25高二下·江西定南中学·期末)已知数列中，；数列为等差数列，且满足：. (1)求证：数列为等比数列，并写出数列的通项公式； (2)令，若数列为严格减数列，求实数的取值范围. 2．(24-25高二下·江西上进联考·期末)已知数列满足． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和； (3)若集合，且中仅有2个元素，求的取值范围． 3．(24-25高二下·江西新余·期末)数列和它的前项的和满足. （1）求证：数列是等比数列，并求出该数列的通项公式； （2）已知，. ①求； ②是否存在、、，且，使得、、成等差数列？如果存在，求出、、，如果不存在，请说明理由. 4．(24-25高二下·江西上饶·期末)已知数列满足，记． (1)求证：是等差数列； (2)设数列的前n项和为． （i）求； （ii）若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围． 5．(24-25高二下·江西上饶·期末)已知数列和满足：为等差数列，为等比数列． (1)求数列和的通项公式； (2)设数列的前项和为，求使得成立的最小正整数． 考点05 数列新定义 1．(24-25高二下·江西吉安·期末)任取数列中相邻的两项，若这两项之差的绝对值为3，则称数列具有性质.已知具有性质的数列共有项，且所有的项之和为. (1)若，且，求的所有可能值； (2)若，且恒成立，求； (3)若，证明：. 2．(24-25高二下·江西部分校·)若数列使得函数f（x）满足，则称为的进阶数列．已知函数，，，，． (1)证明：为的进阶数列． (2)证明：． (3)证明：为的进阶数列． 3．(24-25高二下·江西宜春丰城第九中学·期末)对于无穷数列和函数，若，则称是数列的生成函数. (1)定义在上的函数满足：对任意，有，且；又数列满足.求证：是数列的生成函数； (2)在（1）的条件下，求数列的前项和. (3)已知是数列的生成函数，且.若数列的前项和为，求证：. （参考数据：） 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 数列的综合 高频考点概览 考点01数列性质的综合 考点02数列求和 考点03 数列中的证明 考点04 数中中的恒成立问题 考点05 数列中的新定义 一、多选题 考点01 数列性质的综合 1．(24-25高二下·江西多校·)已知数列的前项和为，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据题意分和两种情况求数列的通项公式，进而可得. 【详解】因为， 若，则； 若，则，可得； 显然不满足，所以. 则，，；，，， 可得，故AC错误，BD正确. 故选：BD. 2．(24-25高二下·江西定南中学·期末)已知数列的通项公式为则（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】计算即可判断AB选项，计算出即可判断CD选项. 【详解】因为以， ，所以A错误，B正确； ，故C正确； 因为，所以，所以，故D错误． 故选：BC. 3．(24-25高二下·江西景德镇·期末)若等比数列中，首项为，公比为，则下列条件中，使数列一定为递减数列的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】对A，B，当时，则等比数列是摆动数列，可判断；对C，D，由可判断. 【详解】若，则等比数列是摆动数列； 若，则等比数列是常数列； 当且时，由. 对于A，若，当时，则等比数列是摆动数列，故A错误； 对于B，若，当时，则等比数列是摆动数列，故B错误； 对于C，当时，，即，等比数列是递减数列，故C正确； 对于D，当时，，即，等比数列是递减数列，故D正确. 故选：CD. 4．(24-25高二下·江西宜春中学·期末)已知数列满足，，设其前项和为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用累加法求出数列的通项公式，可判断AB选项；利用并项求和法可判断C选项；利用裂项相消法可判断D选项. 【详解】因为，， 当时，， 也满足，故对任意的，， 对于A选项，，A对； 对于B选项，，B对； 对于C选项，因为， 所以， ，C错； 对于D选项，， 所以，，D对. 故选：ABD. 5．(24-25高二下·江西萍乡·期末)已知数列的前项和为，则（   ） A．若，则为等差数列 B．若，则为等比数列 C．若为等差数列，则 D．若为等比数列，且，，则 【答案】BC 【分析】A选项：通过前项公式推导通项，验证是否满足等差数列的条件. B选项：通过前项公式推导通项，判断是否满足等比数列的条件. C选项：通过等差数列前项公式，结合等差数列项的对称性进行推导. D选项：通过等比数列前项的性质，比较乘积与平方的大小关系. 【详解】A选项：已知， 当时，. 当时，通项，与首项相矛盾， 所以不是等差数列，故A选项错误. B选项：若， 当时，. 当时，适合， 则公比，所以是等比数列，故B选项对. C选项：若为等差数列，则. 根据等差数列对称性可知： 所以成立，故选项C对. D选项：等比数列公比，， 当时，由， 当时，由， 即，原式不成立，故选项D错. 故选：BC. 6．(24-25高二下·江西九江第一中学·期末)已知数列的前n项和为，且，，，，则下列选项正确的是（    ） A． B． C．若，则为等差数列 D． 【答案】ACD 【分析】由题意可得，求出，即可判断A；由裂项相消求得，即可判断B；求得，再由等差数列的定义即可判断C；求出数列的前项的和，再由，即可判断D． 【详解】解：对于A，因为，， 同理可得，，， 所以，， 所以，故A正确； 对于B，=，，故B错误； 对于C，，， 所以，， 所以为等差数列，故C正确； 对于D，由C可知为等差数列，首项为，公差为， 所以数列的前项的和为：， 所以 ，故D正确. 故选：ACD. 7．(24-25高二下·江西上进联考·期末)已知等比数列的公比为，若，且，则（    ） A．当时， B．当时，的取值范围是 C．的取值范围是 D．的取值范围是 【答案】BD 【分析】根据等比数列中各项之间的关系，和等比中项的定义，结合基本不等式，分别判断构造函数的单调性，判断各选项的正误，求出正确结果. 【详解】对于A，当时，由，得，即， 因，则，解得，故A错误； 对于B，因，而函数在上单调递增， 由可得，所以，故B正确； 对于C，由，当且仅当时等号成立， 故得的取值范围是，故C错误； 对于D，因为，所以． 设，则， 因为，可得，所以，故D正确． 故选：BD． 8．(24-25高二下·江西新余·期末)已知等比数列的前n项和为满足，数列满足，则下列说法正确的是（   ） A． B．设，则的最小值为12 C．若对任意的恒成立，则 D．设，若数列的前n项和为，则 【答案】ACD 【分析】对于A：先求，结合等比数列性质分析求解；对于B：由，利用基本不等式判断；对于C：由对恒成立求解判断；对于D：由，利用裂项相消法求解判断. 【详解】对于选项A：因为， 所以当时，，当时，， 因为为等比数列，所以，即，解得， 此时符合，则，，即为等比数列，故A正确； 对于选项B：因为，， 所以，当且仅当，即时等号成立， 因为，所以不能取到，故B错误； 对于选项C：因为， 所以当时，，当时，，则， 因为符合上式，所以， 若对任意的恒成立，则对恒成立， 令，则， 当时，，当时，，当时，， 所以，则，故C正确； 对于选项D：由题意得，， 所以， 所以，故D正确. 故选：ACD. 9．(24-25高二下·江西吉安·期末)已知数列满足，其前项和为，则（    ） A． B．数列为等差数列 C．存在，使得为整数 D．对任意，均有 【答案】ABD 【分析】对于选项A，根据递推数列的等式，将的值代入求出即可；对于选项B，将原等式进行变形、化简，根据定义判断数列为等差数列；对于选项C，在选项B的基础上可求出的通项公式，然后求出并判断其值是否为整数即可；对于选项D，构造函数，求导判断单调性，进而证明不等式成立. 【详解】由，即， 因为，所以，故选项A正确； 由， 即数列是以为首项，2为公差的等差数列，故选项B正确； 因为，所以， 则，当时，不可能为整数，故选项C错误； 设，则， 即函数在上单调递增，故，即， 令，则有，即， 所以， 所以 即，故选项D正确； 故选：ABD. 10．(24-25高二下·江西南昌江西师范大学附属中学·期末)设等比数列的公比为，前项积为，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，且为数列的唯一最大项，则 D．若，且，则使得成立的的最大值为20 【答案】BCD 【分析】根据前项积的定义和性质即可结合等比数列的性质即可逐一求解. 【详解】若，则，可得，即选项A错误； 而，即选项B正确. 若，且是数列的唯一最大项. 当时，，不合题意； 当时，由，可得， 即，解得，即选项C正确. 若，当时，， 又，不满足，不合题意； 当时，由可得，，， 所以，， 则为单调递减数列， 因此当时，故，当时，故， 因此当时，数列单调递增，当时，数列单调递减， 又，，， 所以使得成立的的最大值为20，即选项D正确. 故选：BCD 【点睛】结论点睛：由首项和公比确定等比数列的单调性的几种情况： （1），时，等比数列为单调递减数列， （2），时，等比数列为单调递增数列， （3），时，等比数列为单调递增数列， （4），时，等比数列为单调递减数列， （5）时，等比数列为摆动数列， （6）时，等比数列为常数列， 考点02 数列求和总和 1．(24-25高二下·江西新余·期末)在数列中，，． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前n项和． 【详解】（1）因为， 所以数列是以为首项，3为公比的等比数列， 所以，所以； （2）因为， 所以. 2．(24-25高二下·江西南昌第二中学·期末)已知数列的前项和为，，. (1)求数列的通项公式； (2)求数列前12项和. 【详解】（1）数列的前n项和为，，， 当时，，所以， 当时，由，可得， 两式相减得，得到， 又，又， 满足，所以数列是首项为1，公比为的等比数列，所以. （2）由（1）知，所以数列前12项和. 3．(24-25高二下·江西上进联考·期末)已知数列的前项和为． (1)若是等差数列，且，求的通项公式； (2)若是等比数列，且成等差数列，求． 【详解】（1）设的公差为， 由，得 解得， 所以． （2）设的公比为，则， 因为成等差数列， 所以，即，所以， 所以， 所以． 4．(24-25高二下·江西宜春中学·期末)在数列中，，. (1)证明：数列是等差数列. (2)求的通项公式. (3)若，求数列的前项和. 【详解】（1）证明：因为，所以， 所以. 因为，所以，所以数列是首项和公差均为1的等差数列. （2）解：由（1）可得， 则，故. （3）解：由（2）可得， 则 5．(24-25高二下·江西九江第一中学·期末)已知等差数列的前n项和为，且，． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和为． 【详解】（1）设等差数列的公差为， 则由等差数列求和公式得：， 又因为，所以可得， 即数列的通项公式为； （2）由， 所以. 6．(24-25高二下·江西景德镇·期末)已知等比数列首项为2，且成等差数列． (1)求的通项公式； (2)若数列是递增数列，且，求数列的前项和． 【详解】（1）设等比数列的公比为，由，则，， 由为等差数列，则，即， 化简可得，解得，则， 当时，；当时，. （2）由数列为递增数列，则，即，由，则， 所以 等式两边乘可得， 两式相减可得， 所以. 7．(24-25高二下·江西部分校·)为数列的前n项和．已知，． (1)证明：是等差数列． (2)设，求数列的前n项和． 【详解】（1）当时，，因为，所以. 当时，， ，即， 因为，所以， 所以数列是首项为4，公差为1的等差数列. （2）由（1）知， 所以， 则， 则， 两式相减得， 所以数列的前项和. 8．(24-25高二下·江西抚州·)设数列的前项和为. (1)求的通项公式； (2)若，且，求数列的前项和. 【详解】（1）由数列满足， 可得，又 所以数列是以为首项，公比为的等比数列， 所以数列的通项公式为. （2）由（1）知：，可得， 所以， 则， 令， 则， 两式相减，可得 ， 所以，所以. 9．(24-25高二下·江西多校·)已知数列的各项均为正数，其前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【详解】（1）由，当时有：， 即， 因为，所以解得， 当时，由 ①， 得： ②， ①②得：， 即， 即， 即， 因为，所以， 所以，即， 所以数列以首项为1，公差为1的等差数列， 所以，当时满足表达式， 所以数列的通项公式为：. （2）由（1）知，又， 所以， 即， 所以  ③ ④ ③④得：， 即， 所以， 所以数列的前项和. 考点03 数列中的证明问题 1．(24-25高二下·江西南昌南昌中学（三经路校区）·期末)设数列满足，． (1)证明：数列为等差数列； (2)若数列的前n项和为，证明：． 【详解】（1）由可得：， 所以数列为等差数列，且首项为3，公差为3； （2）由数列为等差数列，，可得, 所以，又因为， 所以， 因为，所以，故． 2．(24-25高二下·江西景德镇·期末)数列的前项和 (1)证明：数列是等差数列； (2)若，设数列的前项和为，证明：． 【详解】（1）因为，且， 所以两边同除可得， 则数列是公差为的等差数列. （2）由上问结合已知得，数列是公差为的等差数列， 则，故，因为，所以，， 而，则，故数列是公差为的等差数列， 则数列的前项和为，设数列的前项和为， 欲证，则证，即证即可， 而，因为，所以， 则得证，故得证. 3．(24-25高二下·江西部分校·)在数列中，是和的等差中项，且集合为单元素集合． (1)求． (2)已知数列为等比数列，． （ⅰ）求的通项公式； （ⅱ）若，证明： 【详解】（1）因为是和的等差中项，所以，即①， 又因为集合为单元素集合，即只有一个解， 所以，得到②， 由①②知． （2）（i）数列的前项为，又由（1）知，所以，即. 又由（1）可知，所以，即， 解得或，因为，所以，则， 则数列的公比为， 所以数列是以1为首项，为公比的等比数列， 则，得到． （ⅱ）证明：因为， 所以， 又，所以，故命题得证． 4．(24-25高二下·江西抚州·)已知数列满足，且.函数. (1)求； (2)若恒成立，求的值； (3)设，求证：. 【详解】（1）因为，所以数列是等差数列， 又因为，所以，解得， 所以. （2）的定义域为， ，， 当时，，所以在上单调递增， 又因为，所以当时，，不符合题意， 当时，令得，令得，令得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 令，， 令，得，令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减，所以， 又因为，要使得恒成立，则. （3）由（1）知， 由（2）知，当时，，即， 令，所以，即， ，不等式成立. 5．(24-25高二下·江西多校·)已知数列不是常数列，且满足，. (1)若数列是等比数列. （i）求的值及数列的通项公式； （ii）令，求数列的前项积； (2)若，数列的前项和为，求证：. 【详解】（1）（i）因为，则， 若数列是等比数列，设公比为 则， 可得， 则，解得， 且，则， 可得，所以； （ii）因为， 所以. （2）若，则， 因为，且，可得， 可知数列为递增数列，则， 又因为，则，可得， 所以. 考点04 数列中的恒成立和求参数范围问题 1．(24-25高二下·江西定南中学·期末)已知数列中，；数列为等差数列，且满足：. (1)求证：数列为等比数列，并写出数列的通项公式； (2)令，若数列为严格减数列，求实数的取值范围. 【详解】（1）数列中当时，由得： ，又，故， 故，故为等比数列，公比为2，首项， 得到，所以数列的通项公式为. （2）数列中，， 则解得， 所以的通项公式为， . 已知数列为严格减数列，则对任意正整数都成立， 即 化简得对任意正整数都成立， 所以. 2．(24-25高二下·江西上进联考·期末)已知数列满足． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和； (3)若集合，且中仅有2个元素，求的取值范围． 【详解】（1）由，得， 又，所以数列是首项为1、公差为2的等差数列， 所以，故． （2）由（1）知， 所以， 则， 两式相减得 ． 所以． （3）由（1）知， 所以， 因为当或2时，，当时，， 所以， 又，若中仅有2个元素，则这2个元素为， 所以，即的取值范围是． 3．(24-25高二下·江西新余·期末)数列和它的前项的和满足. （1）求证：数列是等比数列，并求出该数列的通项公式； （2）已知，. ①求； ②是否存在、、，且，使得、、成等差数列？如果存在，求出、、，如果不存在，请说明理由. 【详解】（1）当时，，得； 当时，①，②， ①②，得，，则. 是以为首项与公比的等比数列，； （2）①， ； ②假设存在、、，且，使得、、成等差数列，则. 去分母，整理得， （*） 、、三个互不相等，且，不妨设，，. ，. 显然等式（*）不成立，、、不可能成等差数列. 【点睛】本题考查数列的递推式的运用，考查等比数列的定义和通项公式，以及数列的裂项相消求和，以及存在性问题的解法，考查化简运算能力，属于中档题． 4．(24-25高二下·江西上饶·期末)已知数列满足，记． (1)求证：是等差数列； (2)设数列的前n项和为． （i）求； （ii）若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围． 【详解】（1）因为，两边同时除以，得到：， 又因为，所以，又， 故是首项为，公差为等差数列，结论得证； （2）（i）由（1）结论即可得到， 所以，所以①， 两边同乘2得：②， 由得：， 所以. （ii）不等式，代入，得到：， 当n为偶数，不等式变为：，右边随n的增大而减小，故，所以, 当n为奇数，不等式变为：，右边随n的增大而增大，故，所以， 故实数的取值范围为 5．(24-25高二下·江西上饶·期末)已知数列和满足：为等差数列，为等比数列． (1)求数列和的通项公式； (2)设数列的前项和为，求使得成立的最小正整数． 【详解】（1）已知，则首项 又，则第二项 等差数列的公差，因此通项公式为： 首项 第二项 等比数列的公比，因此通项公式为： 由，两式相加得： 将代入，得： 故：，. （2）由，前项和可拆分为等差数列和等比数列的和： 等差数列的前项和： 等比数列的前项和： 因此， 将代入不等式，化简得： 两边消去，整理得： 解二次不等式，其根为，正根为 因此，时不等式成立.，故所求为5. 考点05 数列新定义 1．(24-25高二下·江西吉安·期末)任取数列中相邻的两项，若这两项之差的绝对值为3，则称数列具有性质.已知具有性质的数列共有项，且所有的项之和为. (1)若，且，求的所有可能值； (2)若，且恒成立，求； (3)若，证明：. 【详解】（1）若，且满足具有性质的数列为： ，此时； ，此时； ，此时 故的所有可能值为4，10，16. （2）由题意可知对任意的，均有，因为恒成立， 故，即数列是以2025为首项，-3为公差的等差数列， 所以，即. （3）令，依题意可知， 因为， 所以 因为，所以为偶数， 所以也为偶数， 因为，故也必为偶数，即4整除， 所以. 2．(24-25高二下·江西部分校·)若数列使得函数f（x）满足，则称为的进阶数列．已知函数，，，，． (1)证明：为的进阶数列． (2)证明：． (3)证明：为的进阶数列． 【详解】（1）由题可知 ， 所以为的进阶数列． （2）构造函数，可得． 当时，，即函数在上单调递增； 当时，，即函数在上单调递减． 因此函数在处取得极小值，也是最小值， 即可得恒成立，即，当且仅当时，等号成立． 由，可得，即，当且仅当时，等号成立． 综上，恒成立，但等号不在同一点处取得， 所以，即． （3）由（2）中结论可知， 所以， 因此． 故 ， 即为的进阶数列． 3．(24-25高二下·江西宜春丰城第九中学·期末)对于无穷数列和函数，若，则称是数列的生成函数. (1)定义在上的函数满足：对任意，有，且；又数列满足.求证：是数列的生成函数； (2)在（1）的条件下，求数列的前项和. (3)已知是数列的生成函数，且.若数列的前项和为，求证：. （参考数据：） 【详解】（1）由题意知：，， 又，，即， 所以是数列的生成函数； （2）由（1）知：，又， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列， ，， 所以 ， 两式相减得：， 所以. （3）由题意知：，， ， ， ，又， 数列是以为首项，为公比的等比数列，， 又，，， 则当时，， 即，. 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $