专题02 相交线与平行线12大题型（期末复习讲义）七年级数学下学期新教材沪教版五四制

专题02 相交线与平行线（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型一、点到直线的距离 题型二、同位角、内错角、同旁内角 题型三、同位角相等两直线平行 题型四、内错角相等两直线平行 题型五、两直线平行内错角相等 题型六、同旁内角互补两直线平行 题型七、两直线平行同旁内角互补 题型八、根据平行线的性质探究:角的关系 题型九、根据平行线的性质求角的度数 题型十、根据平行线判定与性质求角度 题型十一、根据平行线判定与性质证明 题型十二、判断命题真假 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 相交线与平行线(对顶角、邻补角、垂:线、平行线判定与性质、平移) 1.知识目标:准确理解并记忆相交线(对顶角、邻补角、垂线、垂线段、点到直线的距离)、平行线(定义、平行公理及推论)、三线八角(同位角、内错角、同旁内角)的相关定义;熟练掌握对顶角相等、邻补角互补、垂线的性质、平行线的判定定理与性质定理，能清晰区分平行线的判定与性质的逻辑差异;理解平移的定义与基本性质。 2.技能目标:能在复杂图形中准确识别对顶角、邻补角、垂线、三线八角;能利用对顶角、邻补角的性质计算角度;能熟练运用平行线的判定与性质进行角度计算与证明，掌握过拐点作平行线的辅助线技巧;能结合平移的性质解决图形平移相关的线段、角度与面积问题;能规范书写几何证明的步骤，标注每一步的定理依据。3.思维目标:培养空间想象能力与几何直观，能在复杂图形中快速定位关键角与线;提升逻辑推理能力，构建"由角定线、由线推角"的完整逻辑链;培养转化思想，将拐角、折线问题转化为平行线模型解决;培养严谨的几何证明思维，规范。证明过程的书写。 1.题型分布:选择题和填空题一般考查对顶角、邻补角的角度计算，三线八角的识别，平行线性质的基础应用，垂线段最短的实际应用，以及平移的性质，属于基础题，难度较低;解答题通常以几何证明或角度计算为主，重点考查平行线判定与性质的综合运用，常结合角平分线、对顶:角、邻补角等知识点，部分题目会涉及拐角模型、折线问题的辅助线构造，考查学生的逻辑推理与几何证明能力。2.命题趋势:近年来，相交线与平行线的考查越来越注重逻辑推理的规范性，对证明步骤的严谨性要求较高;同时，拐角模型(铅笔头模型、猪蹄模型)等拓展题型出现频率增加，注重考查学生构造辅助线、转化问题的能力;另外，结合生活实际的平移问题、利用垂线段最短解决实际问题的题目也较为常见，贴合新课标对几何直观与应用能力的考查要求，部分综合题会与后续三角形内角和等知识点结合考查。 知识点01相交线 1.相交线 （1）经过两点有一条直线，并且只有一条直线．简单地说：两点确定一条直线． （2）当两条直线有一个公共点时，就称这两条直线相交，或称它们是相交直线．这个公共点叫作它们的交点． 【特别提醒】 两条直线相交，只有一个交点． 2.对顶角 （1）对顶角的概念：有公共顶点，且其中一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线的两个角叫作对顶角．如图所示，直线 AB与CD相交于点和是对顶角，和是对顶角． （2）对顶角的性质：对顶角相等． 如图所示，由 ，可得 ，即对顶角相等． 注意：对顶角一定相等,但相等的角不一定是对顶角. （3）（补充）邻补角的概念 如图，和有公共顶点，有公共的一边，只有一条边互为反向延长线，这样的两个角叫做邻补角，它们的度数和是． 3.垂线 （1）夹角:两条直线相交形成四个小于平角的角,其中不大于直角的那个角叫作这两条直线的夹角. 【提示】两条直线相交的位置特征,可以通过两条直线的夹角来描述. （2）垂线:如果两条相交直线的夹角为直角,就说这两条直线互相垂直,其中一条直线叫作另一条直线的垂线,它们的交点叫作垂足. 【巧记】(已知垂直得直角,已知直角得垂直） （3）垂直的记法与读法:垂直用符号“⊥”表示,两条直线AB与CD互相垂直,记作AB⊥CD,读作“AB 垂直于 CD” （4）垂线的画法:给定直线l和点P,要求过点P画已知直线l的线,如图1,将三角尺的一条直角边紧靠直线l,另一直角边经过点P,沿着这条边画直线,它就是直线l的垂线,如图2.如果点P在直线l上,同样也可以画出直线l的垂线. 【特别提醒】 (1)在画垂线时,要标记垂直符号.(2)过一点画射线或线段的垂线，是指画它们所在的直线的垂线，垂足可能在射线的反向延长线上，也可能在线段的延长线上. （5）垂线的数量:在同一平面上,经过一点有且仅有一条直线垂直于已知直线. 【易混易错提醒】 垂线、垂线段的辨析 垂线是直线，无法度量长度;垂线段是线段，可以度量长度. 4.垂线段 点到直线的距离:直线外一点到这条直线的垂线段长度,叫作点到直线的距离如果一个点在直线l上,那么就说这个点到直线l的距离为零. 【补充说明】 （1）在连接直线外一点与直线上各点的线段中，垂线段最短. （2）垂线段是一条线段，是图形;点到直线的距离是垂线段的长度，是一个数量，有单位. 示例：如图，已知，垂足为O，若，则直线与的夹角为______．    知识点02平行公理与“三线八角” 1.平行线公理 定义:在同一平面上不相交的两条直线叫作平行线. 平行用符号“//”表示.如果直线和直线是平行线,那么也称它们互相平行,记作“//”,读作“平行于”. 【特别提醒】 （1）关于平行线的定义,应特别注意“在同一平面内”这个条件,因为在空间里,还存在两条直线既不相交,也不平行的情况（异面），想象立交桥,而在同一平面内,两条直线的位置关系只有两种:相交和平行. （2）平行线概念中的“不相交”是指直线，而不是线段或射线. （3）线段(或射线)平行，是指线段(或射线)所在的直线平行. （4）判断同一平面内两条直线的位置关系时，可根据它们的公共点的个数来确定. 2.平行线的画法 画法:(1)将三角板的一边紧靠直线,将直尺紧靠三角板的另一边,如图1所示; (2) 沿直尺推动三角板,使三角板紧靠直线的一边(边)经过点,如图2所示; (3)沿三角板的这条经过点的边,画直线,如图3所示.直线就是所要画的直线,如图4所示. 【注意】(1)过直线上一点，不能画该直线的平行线:(2)借助直尺和三角尺画平行线时，必须保持“紧靠”，否则画出的直线不平行;(3)画线段或射线的平行线指的是画它们所在直线的平行线. 经过直线外的一点,有且只有一条直线与该直线平行. 【特别提醒】 (1)在叙述时，一定要强调“直线外一点”，否则不存在平行线. (2)“有且只有”中的“有’表示存在性,“只有”表示唯一性. (3)基本事实是过直线外一点画这条直线的平行线的依据. (4)平行线基本事实的推论表述了平行线的传递性，推论中不用强调“在同一平面内” 平行公理的推论:在同一个平面上,如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行. （补充）反证法 证明步骤：(1)先假设求证的结论是错误的;(2)由此推导出与已知定义、公理、定理或条件等相矛盾的结果;(3)从而否定开始的假设,肯定先前求证的结论的正确性. 3.三线八角 如图,直线与相交(也可以说两条直线被第三条直线所截),构成了个角，简称“三线八角”. （1）同位角、内错角、同旁内角 名称 定义 图形的结构特征 图示 同 位 角 ∠1与∠5都在第三条直线的同旁，并且分别位于直线的同一侧，这样的一对角叫做同位角. (1)在截线同侧； (2)在两条被截直线同侧； (3)形如字母“F” (或倒置、反置、旋转) 直线被直线所截 内 错 角 ∠3与∠5分别位于第三条直线异侧，且都在直线之间，这样的一对角叫做内错角. (1)在被截两直线之间； (2)在截线的异侧； (3)形如字母“Z” (或倒置、反置、旋转) 同 旁 内 角 ∠3与∠6在直线同旁且在直线之间，这样的一对角叫做同旁内角. (1)在被截两直线之间； (2)在截线同旁； (3)形如字母“U” (或倒置、反置、旋转) 注意： (1)同位角、内错角、同旁内角指的都是位置关系，而不是大小关系. (2)这三类角都是两条直线被第三条直线所截形成的，要分清截线和被截线 (3)两条直线被第三条直线所截形成的8个角中共有4对同位角、2对内错角、2对同旁内角. （2）手势表示 同位角、内错角、同旁内角也可以用手势表示出来(两大拇指代表两条被截直线，食指代表截线),如图所示，采用不同的手势，分别得到同位角、内错角、同旁内角. ①根据手势识别同位角(两大拇指所在直线代表被截直线，食指所在直线代表截线) ②根据手势识别内错角(两大拇指所在直线代表被截直线，食指所在直线代表截线) ③根据手势识别同旁内角(两大拇指所在直线代表被截直线，食指所在直线代表截线) 示例：（24-25七年级下·上海宝山·期末）如图，，，用和表示，_______． 知识点03平行公理的判定 1.平行线的判定 （1）两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行.简单地说同位角相等,两直线平行 符号语言 示意图 因为 ， 所以 （同位角相等，两直线平行） （2）两条直线被第三条直线所截,如果内错角相等,那么这两条直线平行,简单地说内错角相等,两直线平行 符号语言 示意图 因为 ， 所以 （内错角相等，两直线平行） （3）两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角互补,那么这两条直线平行.,简单地说:同旁内角互补,两直线平行. 符号语言 示意图 因为 ， 所以 （同旁内角互补，两直线平行） 【提示】 (1)三种判定方法的共同的前提条件是“两条直线被第三条直线所截”，共同的结论是“两直线平行”(2)这三种判定方法都是根据角之间的数量关系来判断直线之间的位置关系.(3)判定两直线平行,还可用平行线的概念、平行线的基本事实的推论及拓展中补充的方法来进行. 示例：如图，下列条件中：①；②；③；④．则一定能判定的条件有________．（请填写序号） 知识点04平行公理的性质 性质1：两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等。简单地说：两直线平行，同位角相等。 性质2：两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等。简单地说：两直线平行，内错角相等。 性质3：两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补。简单地说：两直线平行，同旁内角互补。 示例：（24-25七年级下·上海虹口·期末）如图，直线，被直线所截，若，，，则_____度．    知识点05命题与证明 1.命题 命题、真命题、假命题：判断一件事情的语句叫作命题。正确的命题叫作真命题，错误的命题叫作假命题。数学命题通常由条件、结论两部分组成。命题常可以写成“如果……，那么……”的形式，用“如果”开始的部分是条件，用“那么”开始的部分是结论。 逆命题：在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫作互逆命题。如果把其中一个命题叫作原命题，那么另外一个命题叫作它的逆命题。 原命题是真命题时，其逆命题不一定是真命题。 2.证明 证明一个命题，一般可按“已知”“求证”“证明”的顺序，其中“已知”是命题的条件，“求证”是命题的结论，而“证明”是完整的推理过程。 在初中平面几何中，一般按如下的步骤： （1）根据题意画出示意的图形； （2）根据条件和结论，参照图形，写出“已知”和“求证”； （3）写出由已知推出结论的完整过程。 要判定一个命题是假命题，有时只需举出一个例子，它符合命题的条件但不满足命题的结论。这样的例子通常称为反例。 示例：下列说法中错误的个数是（    ） （1）过一点有且只有一条直线与已知直线平行 （2）不相交的两条直线叫做平行线 （3）在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交、平行两种 （4）相等的角是对顶角 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型一 点到直线的距离 解｜题｜技｜巧 1.定义法:过这点向直线作垂线段，垂线段的长度就是点到直线的距离 2.垂线段最短:直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短。 3.找距离方法:看清图形，找准垂足，直接量垂线段长度即可 4.实际应用:修路、引水最短路径问题，直接作垂线段求解。 【典例1】（24-25七年级下·上海松江·期末）如图，在中，，，那么点到直线的距离是线段________的长度． 【变式1】如图，在中，，，垂足为点E，D为的中点，则点A到直线的距离是线段________的长度．    【变式2】如图，，C为垂足，，D为垂足，，那么点C到的距离是 ________ ． 题型二 同位角、内错角、同旁内角 解｜题｜技｜巧 1.先找三线 先确定一条截线、两条被截直线，不在三线之间的角一律不是这三类角。 2.看位置判断 同位角:在截线同侧，被截两直线同一方 内错角:在截线两侧，被截两直线之间 同旁内角:在截线同侧，被截两直线之间 3.遮挡法 遮住多余线条，只留三线八角，排除干扰快速找角。 4.成对找角 三类角都是成对出现，单个角不能叫同位角、内错角、同旁内角。 【典例2】（25-26七年级下·上海金山·期末）已知如果两条平行线被第三条直线所截，那么下列说法正确的是（    ） A．截得的一对同旁内角相等 B．截得的一对同旁内角的角平分线互相平行 C．截得的一对内错角的角平分线互相平行 D．截得的一对同位角的角平分线互相垂直 【变式1】（24-25七年级下·上海宝山·期末）凸六边形共有_______组同旁内角． 【变式2】（24-25七年级下·上海松江·期末）如图，下列结论：①与是内错角；②与是同位角；③与是同旁内角，其中正确的有________（只填序号）． 题型三 同位角相等两直线平行 易｜错｜点｜拨 1.没看清是不是同位角，随便两个角相等就判平行。 2.把同位角相等和两直线平行性质搞混，因果颠倒。 3.图形复杂找错截线、找错被截直线，判定错误。 4.推理过程缺理由，不写依据直接下结论。 5.误以为只要位置像同位角就平行，忽略必须角度相等。 【典例3】）下列各图中，已知，则可以得到的是（    ） A．   B．   C．   D．   【变式1】（24-25七年级下·上海金山·期末）给定如图所示的图形（不再添线），点在的延长线上，请添加一个条件________作为已知条件，通过推理能得到（只需填写一个满足的条件）    【变式2】（24-25七年级下·上海闵行·期末）如图，直线与直线分别相交于点． 请你从①；②；③中选择其中两个作为已知条件，剩下的一个作为结论，组成一个真命题，并进行证明． 你选择作为已知条件的是：_______，作为结论的是_______．（填序号） 证明： 题型四 内错角相等两直线平行 易｜错｜点｜拨 1.认错角，把不是内错角的两角拿来判定平行。 2.因果颠倒:把平行线性质和判定搞反，乱用理由。 3.图形线条多，找不到截线，误判内错角位置。 4.只看形状像Z，不看角度是否相等就直接说平行。 【典例4】（24-25七年级下·上海虹口·期末）如图，要使得与互补，可以添加的条件是（   ） A． B． C． D． 【变式1】如图，下列条件能判定的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】如图，已知，，，求证：．请完成下列证明过程： 证明：∵，（已知） ∴ （     ） 又∵（已知） ∴ （等式的性质） 即 ∴ （内错角相等，两直线平行） 题型五 两直线平行内错角相等 解｜题｜技｜巧 1.识别模型:内错角呈Z型，快速定位角的位置。 2.明确前提:先确定两直线平行，再推出内错角相等。 3.角度转化:结合对顶角、邻补角进行角度换算，间接求解未知角 4.分步推理:判定平行得出内错角相等计算角度，步骤清晰。 5.规范书写:结论后标注依据(两直线平行，内错角相等)。 【典例5】如图，由可以得到的结论是（　　） A． B． C． D． 【变式1】如图，已知，点P是直线上的点，，，那么的度数是________度．    【变式2】如图，已知船在观测站的北偏东方向上，且在观测站的北偏西方向上，那么的度数是__________．    题型六 同旁内角互补两直线平行 解｜题｜技｜巧 1.识别模型:同旁内角呈U型，快速定位角的位置。 2.找准三线:先确定截线与两条被截直线，锁定同侧两角。 3.推理流程:证明两角和为180°一判定两直线平行。 4.角度转化:借助邻补角、对顶角，间接推出同旁内角互补。 5.规范作答:结论后标注依据(同旁内角互补，两直线平行)。 【典例6】如图，在下列条件中，能判定的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】如图，已知∠DEF =100°，请增加一个条件使得ABCD，这个条件可以是 _____． 【变式2】如图所示，下列说法中正确的编号是______． ①若∠2=∠4，则ADBC； ②若∠1=∠3，则ADBC； ③若∠3+∠ABC=180°，则ABCD； ④若∠2=∠4，则ABCD； ⑤若∠4+∠ABC=180°，则ABCD； ⑥若∠1=∠3，则ABCD． 题型七 两直线平行同旁内角互补 解｜题｜技｜巧 1.识别模型:同旁内角呈U型，快速定位两角位置。 2.分清前提:先确定两直线平行，再推出两角和为180。 3.角度换算:结合对顶角、邻补角，间接求解未知角度。 4.分步推理:明确平行关系一推出同旁内角互补一计算角度。 5.规范书写:结论后标注依据(两直线平行，同旁内角互补) 【典例7】（24-25七年级下·上海嘉定·期末）下列说法中，正确的是（   ） A．两直线平行，同旁内角相等 B．相等的角是对顶角 C．在同一平面上，经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线 D．在同一平面上，如果两条直线都垂直于第三条直线，那么这两条直线一定相交 【变式1】如图，直线被直线所截，，已知，则 _______．    【变式2】如图，已知，，，，求的度数． 题型八 根据平行线的性质探究:角的关系 解｜题｜技｜巧 1.遇折线/拐角图形，过拐点作平行线，拆分角再利用性质推导。 2.先锁定平行线与截线，区分同位角、内错角、同旁内角，套用对应性质。 3.多角问题分步转化，结合对顶角、邻补角进行角度代换。 4.结合数轴、图形标注已知角度，顺着推理链逐步推导角之间和、差关系。 5.总结规律型题型，先算特例，再归纳通用数量关系。 【典例8】如图，已知，、、分别平分、、，则图中与互余的角共有（    ）    A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【变式1】我们规定车辆在转弯时的转弯角是车辆原行驶路线与转弯后路线所成的角的外角．如图：一辆车在一段绕山公路行驶（沿箭头方向）时，在点B、C和D处的转弯角分别是、和，且，则、和之间的数量关系是______．    【变式2】如图，，则∠B、∠C、∠D的关系是______．    题型九 根据平行线的性质求角的度数 解｜题｜技｜巧 1.先确定平行线与截线，找准同位角、内错角、同旁内角。 2.直接套用性质:平行一同位角/内错角相等，同旁内角互补。 3.结合对顶角、邻补角、平角进行角度换算。 4.折线图形过拐点作平行线，拆分角度分步计算。 5.复杂图形用遮挡法，剔除多余线条，简化图形。 【典例9】（24-25七年级下·上海·期末）如图，现有一张长方形纸片，点，在上，点，在上，分别沿，折叠，使点和点都落在点处，点的对应点为点．点对应点为点．若.，则的度数为（　　） A．104° B．106° C．96° D．132° 【变式1】（24-25七年级下·上海·期末）如图，直线，将三角板的直角顶点放在直线上，如果，那么的度数是______． 【变式2】（24-25七年级下·上海静安·期末）如图，已知，，，那么______． 【变式3】（24-25七年级下·上海长宁·期末）如图，已知，，与交于点，，那么的度数是___________． 题型十 根据平行线判定与性质求角度 解｜题｜技｜巧 1.先理逻辑:先判定平行，再用性质求角。 2.识别三线八角，区分同位角、内错角、同旁内角，灵活选用定理。 3.结合对顶角、邻补角、平角，完成角度转化计算。 4.折线图形过拐点作平行线，拆分角度分步求解。 【典例10】（24-25七年级下·上海嘉定·期末）某小区车库门口需要用到曲臂直杆道闸，模型如图所示．如果，，，那么______°． 【变式1】如图，直线、分别与、相交，已知，，，那么_________． 【变式2】（24-25七年级下·上海松江·期末）在学习“相交线与平行线”一章时，小新同学所在的小组制作了如图①所示的潜望镜模型并且观察成功．大家结合实践活动更好地理解了潜望镜的工作原理．图②中，、代表镜子摆放的位置，动手制作模型时，应该保证与平行，已知光线经过镜子反射时，，，若，求的度数． 题型十一 根据平行线判定与性质证明 解｜题｜技｜巧 1.梳理逻辑链:由角的关系证平行(判定)，由平行推角的关系(性质) 2.复杂图形用遮挡法，锁定截线与被截直线，找准三类角。 3.灵活转化角:借助对顶角、邻补角、平角，补齐所需等量/互补关系。 4.拐角题型过拐点作平行线，拆分图形再逐步推导。 5.书写规范，每一步结论后标注对应定理依据。 【典例11】（24-25七年级下·上海静安·期末）如图，已知点D、E在线段上，点F在线段上，射线、相交于点M，平分，，求证． 把以下证明过程补充完整． 证明：∵平分，∴， 又∵，∴____________________． ∴____________________（__________）． ∴____________________（__________）． ∴． 【变式1】（24-25七年级下·上海金山·期末）如图，已知直线、、被直线所截．若，，且，求的度数．把以下解答过程补充完整． 解：如图，将与相邻的补角记为． ，， ． ． ， ， ． 【变式2】（24-25七年级下·上海虹口·期末）如图，已知，直线交线段的延长线于点M，按下列步骤完成证明：． 步骤一、 假设，则______（______） ∵， ∴________ ∴________________ 这与________矛盾， 即不等于． 步骤二、（请自己写出后面的证明过程） 题型十二 判断命题真假 解｜题｜技｜巧 1.先拆分命题，找出题设和结论。 2.真命题:依据定义、定理、公理推理验证，全部情况都成立。 3.假命题:举一个反例即可推翻，无需全面证明。 4.语句辨析:疑问句、感叹句、祈使句都不是命题。 5.改写技巧:把命题统一改成"如果.....那么......"形式，方便区分条件与结论。 【典例12】（24-25七年级下·上海松江·期末）在中，有下列四个命题： ①如果，那么；    ②如果，那么； ③如果，那么；    ④如果，那么． 其中，真命题的个数有（   ）． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【变式1】（24-25七年级下·上海·期末）下列命题中，真命题是（ ） A．真命题的逆命题一定是真命题 B．两边分别平行的两个角相等 C．等角的余角相等 D．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 【变式2】（24-25七年级下·上海松江·期末）下列各命题的逆命题成立的是（    ） A．直角都相等 B．如果，那么 C．对顶角相等 D．两直线平行，同旁内角互补 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25七年级下·上海普陀·期末）如图，在同一平面上，如果直线垂直于直线，直线垂直于直线，垂足为点，那么直线与直线重合的理由是（   ） A．垂线段相等 B．两点确定一条直线 C．在同一平面上，已知直线的垂线只有一条 D．在同一平面上，经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线 2．（24-25七年级下·上海闵行·阶段检测）下列说法： 同位角相等，两直线平行； 两直线相交形成的四个角中有两对角相等，则这两条直线互相垂直； 过一点有且只有一条直线与已知直线平行； 三角形的一个外角等于两个内角的和； 已知同一平面内，，则 正确的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（24-25七年级下·上海嘉定·期末）如图，直线相交于点O，平分，．如果，那么______． 4．（24-25七年级下·上海·期末）牛顿曾说过：“反证法是数学家最精良的武器之一．”那么我们用反证法证明：如图，“已知：在同一平面内，，求证：与不平行”时，应先应假设_________． 5．（24-25七年级下·上海虹口·期末）如图，已知，且，则________度． 6．（24-25七年级下·上海松江·期末）如图，已知，，，那么__________． 7．（24-25七年级下·上海浦东新·期末）完成下列证明： 已知：，，求证：． 证明：①　　， 又， ∴， ②　　③　　． ∴④　　⑤　　． （已知）， ∴． ⑥　　． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（24-25七年级下·上海长宁·期末）如图，现有一张长方形纸片，点E，F在上，点G，H在上，分别沿折叠，使点D和点A都落在点M处，点C的对应点为点．点B对应点为点．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·上海闵行·期末）已知：如图，，三角尺的直角顶点在直线b上，，的度数为_______． 3．（24-25七年级下·上海·期末）如图，将长方形纸条折叠，．按如图折叠，，则_____． 4．（24-25七年级下·上海崇明·期末）如图，，点位于两平行线之间且在点、的右侧，分别作和的平分线交于点，再分别作和的平分线交于点设的度数是，则的度数用表示为___________．    5．（24-25七年级下·上海普陀·期末）用反证法证明：在三角形中，大角对大边． 如图，已知：在中，． 求证：． 证明：假设， ________（___________）． 假设________， ________（___________）． （完成以下说理过程） 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（24-25七年级下·上海长宁·期末）将两块直角三角板（即两个直角三角形，其中，，；的直角顶点按图1方式叠放在一起．绕着点顺时针旋转（），旋转的速度为每秒，当旋转时间为为___________秒，有一边与边平行． 2．（24-25七年级下·上海青浦·期末）将一副三角尺如图1所示摆放，分别在直线上，，直线．现将三角尺绕点以每秒的速度顺时针旋转，同时三角尺绕点以每秒的速度顺时针旋转，如图2，设时间为秒，当时，如果边与三角尺的一条直角边平行（旋转过程中三角尺任意两边所在的直线不重合），那么所有满足条件的的值为___________． 3．（24-25七年级下·上海青浦·期末）如图，已知，求的度数． 4．（24-25七年级下·上海虹口·期末）已知：如图，中，于点D，于点G，线段，点E、A、C在同一直线上，求证：平分．请把以下证明过程补充完整． 证明：∵于点D，于点G， ∴ ∴（_______） ∴______（_________）， _________（________） ∵， ∴______（________） ∴，即平分． 5．（24-25七年级下·上海奉贤·期末）如图，已知点、、、在一条直线上，，平分，． （1）与平行吗？请说明理由； （2）与的位置关系如何？请说明理由． 解：（1），理由如下： （ ）， （已知）， ． （ ）． （2）与的位置关系是：（ ）． 请完成说理过程： 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 相交线与平行线（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型一、点到直线的距离 题型二、同位角、内错角、同旁内角 题型三、同位角相等两直线平行 题型四、内错角相等两直线平行 题型五、两直线平行内错角相等 题型六、同旁内角互补两直线平行 题型七、两直线平行同旁内角互补 题型八、根据平行线的性质探究:角的关系 题型九、根据平行线的性质求角的度数 题型十、根据平行线判定与性质求角度 题型十一、根据平行线判定与性质证明 题型十二、判断命题真假 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 相交线与平行线(对顶角、邻补角、垂:线、平行线判定与性质、平移) 1.知识目标:准确理解并记忆相交线(对顶角、邻补角、垂线、垂线段、点到直线的距离)、平行线(定义、平行公理及推论)、三线八角(同位角、内错角、同旁内角)的相关定义;熟练掌握对顶角相等、邻补角互补、垂线的性质、平行线的判定定理与性质定理，能清晰区分平行线的判定与性质的逻辑差异;理解平移的定义与基本性质。 2.技能目标:能在复杂图形中准确识别对顶角、邻补角、垂线、三线八角;能利用对顶角、邻补角的性质计算角度;能熟练运用平行线的判定与性质进行角度计算与证明，掌握过拐点作平行线的辅助线技巧;能结合平移的性质解决图形平移相关的线段、角度与面积问题;能规范书写几何证明的步骤，标注每一步的定理依据。3.思维目标:培养空间想象能力与几何直观，能在复杂图形中快速定位关键角与线;提升逻辑推理能力，构建"由角定线、由线推角"的完整逻辑链;培养转化思想，将拐角、折线问题转化为平行线模型解决;培养严谨的几何证明思维，规范。证明过程的书写。 1.题型分布:选择题和填空题一般考查对顶角、邻补角的角度计算，三线八角的识别，平行线性质的基础应用，垂线段最短的实际应用，以及平移的性质，属于基础题，难度较低;解答题通常以几何证明或角度计算为主，重点考查平行线判定与性质的综合运用，常结合角平分线、对顶:角、邻补角等知识点，部分题目会涉及拐角模型、折线问题的辅助线构造，考查学生的逻辑推理与几何证明能力。2.命题趋势:近年来，相交线与平行线的考查越来越注重逻辑推理的规范性，对证明步骤的严谨性要求较高;同时，拐角模型(铅笔头模型、猪蹄模型)等拓展题型出现频率增加，注重考查学生构造辅助线、转化问题的能力;另外，结合生活实际的平移问题、利用垂线段最短解决实际问题的题目也较为常见，贴合新课标对几何直观与应用能力的考查要求，部分综合题会与后续三角形内角和等知识点结合考查。 知识点01相交线 1.相交线 （1）经过两点有一条直线，并且只有一条直线．简单地说：两点确定一条直线． （2）当两条直线有一个公共点时，就称这两条直线相交，或称它们是相交直线．这个公共点叫作它们的交点． 【特别提醒】 两条直线相交，只有一个交点． 2.对顶角 （1）对顶角的概念：有公共顶点，且其中一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线的两个角叫作对顶角．如图所示，直线 AB与CD相交于点和是对顶角，和是对顶角． （2）对顶角的性质：对顶角相等． 如图所示，由 ，可得 ，即对顶角相等． 注意：对顶角一定相等,但相等的角不一定是对顶角. （3）（补充）邻补角的概念 如图，和有公共顶点，有公共的一边，只有一条边互为反向延长线，这样的两个角叫做邻补角，它们的度数和是． 3.垂线 （1）夹角:两条直线相交形成四个小于平角的角,其中不大于直角的那个角叫作这两条直线的夹角. 【提示】两条直线相交的位置特征,可以通过两条直线的夹角来描述. （2）垂线:如果两条相交直线的夹角为直角,就说这两条直线互相垂直,其中一条直线叫作另一条直线的垂线,它们的交点叫作垂足. 【巧记】(已知垂直得直角,已知直角得垂直） （3）垂直的记法与读法:垂直用符号“⊥”表示,两条直线AB与CD互相垂直,记作AB⊥CD,读作“AB 垂直于 CD” （4）垂线的画法:给定直线l和点P,要求过点P画已知直线l的线,如图1,将三角尺的一条直角边紧靠直线l,另一直角边经过点P,沿着这条边画直线,它就是直线l的垂线,如图2.如果点P在直线l上,同样也可以画出直线l的垂线. 【特别提醒】 (1)在画垂线时,要标记垂直符号.(2)过一点画射线或线段的垂线，是指画它们所在的直线的垂线，垂足可能在射线的反向延长线上，也可能在线段的延长线上. （5）垂线的数量:在同一平面上,经过一点有且仅有一条直线垂直于已知直线. 【易混易错提醒】 垂线、垂线段的辨析 垂线是直线，无法度量长度;垂线段是线段，可以度量长度. 4.垂线段 点到直线的距离:直线外一点到这条直线的垂线段长度,叫作点到直线的距离如果一个点在直线l上,那么就说这个点到直线l的距离为零. 【补充说明】 （1）在连接直线外一点与直线上各点的线段中，垂线段最短. （2）垂线段是一条线段，是图形;点到直线的距离是垂线段的长度，是一个数量，有单位. 示例：如图，已知，垂足为O，若，则直线与的夹角为______．    【答案】40 【分析】由垂直的定义可求得，再利用对顶角可求得答案． 【详解】解：， ， ， 即直线与的夹角为， 故答案为：40． 【点睛】本题主要考查垂直的定义和对顶角的性质，由垂直的定义求得是解题的关键． 知识点02平行公理与“三线八角” 1.平行线公理 定义:在同一平面上不相交的两条直线叫作平行线. 平行用符号“//”表示.如果直线和直线是平行线,那么也称它们互相平行,记作“//”,读作“平行于”. 【特别提醒】 （1）关于平行线的定义,应特别注意“在同一平面内”这个条件,因为在空间里,还存在两条直线既不相交,也不平行的情况（异面），想象立交桥,而在同一平面内,两条直线的位置关系只有两种:相交和平行. （2）平行线概念中的“不相交”是指直线，而不是线段或射线. （3）线段(或射线)平行，是指线段(或射线)所在的直线平行. （4）判断同一平面内两条直线的位置关系时，可根据它们的公共点的个数来确定. 2.平行线的画法 画法:(1)将三角板的一边紧靠直线,将直尺紧靠三角板的另一边,如图1所示; (2) 沿直尺推动三角板,使三角板紧靠直线的一边(边)经过点,如图2所示; (3)沿三角板的这条经过点的边,画直线,如图3所示.直线就是所要画的直线,如图4所示. 【注意】(1)过直线上一点，不能画该直线的平行线:(2)借助直尺和三角尺画平行线时，必须保持“紧靠”，否则画出的直线不平行;(3)画线段或射线的平行线指的是画它们所在直线的平行线. 经过直线外的一点,有且只有一条直线与该直线平行. 【特别提醒】 (1)在叙述时，一定要强调“直线外一点”，否则不存在平行线. (2)“有且只有”中的“有’表示存在性,“只有”表示唯一性. (3)基本事实是过直线外一点画这条直线的平行线的依据. (4)平行线基本事实的推论表述了平行线的传递性，推论中不用强调“在同一平面内” 平行公理的推论:在同一个平面上,如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行. （补充）反证法 证明步骤：(1)先假设求证的结论是错误的;(2)由此推导出与已知定义、公理、定理或条件等相矛盾的结果;(3)从而否定开始的假设,肯定先前求证的结论的正确性. 3.三线八角 如图,直线与相交(也可以说两条直线被第三条直线所截),构成了个角，简称“三线八角”. （1）同位角、内错角、同旁内角 名称 定义 图形的结构特征 图示 同 位 角 ∠1与∠5都在第三条直线的同旁，并且分别位于直线的同一侧，这样的一对角叫做同位角. (1)在截线同侧； (2)在两条被截直线同侧； (3)形如字母“F” (或倒置、反置、旋转) 直线被直线所截 内 错 角 ∠3与∠5分别位于第三条直线异侧，且都在直线之间，这样的一对角叫做内错角. (1)在被截两直线之间； (2)在截线的异侧； (3)形如字母“Z” (或倒置、反置、旋转) 同 旁 内 角 ∠3与∠6在直线同旁且在直线之间，这样的一对角叫做同旁内角. (1)在被截两直线之间； (2)在截线同旁； (3)形如字母“U” (或倒置、反置、旋转) 注意： (1)同位角、内错角、同旁内角指的都是位置关系，而不是大小关系. (2)这三类角都是两条直线被第三条直线所截形成的，要分清截线和被截线 (3)两条直线被第三条直线所截形成的8个角中共有4对同位角、2对内错角、2对同旁内角. （2）手势表示 同位角、内错角、同旁内角也可以用手势表示出来(两大拇指代表两条被截直线，食指代表截线),如图所示，采用不同的手势，分别得到同位角、内错角、同旁内角. ①根据手势识别同位角(两大拇指所在直线代表被截直线，食指所在直线代表截线) ②根据手势识别内错角(两大拇指所在直线代表被截直线，食指所在直线代表截线) ③根据手势识别同旁内角(两大拇指所在直线代表被截直线，食指所在直线代表截线) 示例：（24-25七年级下·上海宝山·期末）如图，，，用和表示，_______． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，作，，则，由平行线的性质可得，，，再结合几何图形分析即可得解，熟练掌握平行线的性质是解此题的关键． 【详解】解：如图，作，， ∵， ∴， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 知识点03平行公理的判定 1.平行线的判定 （1）两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行.简单地说同位角相等,两直线平行 符号语言 示意图 因为 ， 所以 （同位角相等，两直线平行） （2）两条直线被第三条直线所截,如果内错角相等,那么这两条直线平行,简单地说内错角相等,两直线平行 符号语言 示意图 因为 ， 所以 （内错角相等，两直线平行） （3）两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角互补,那么这两条直线平行.,简单地说:同旁内角互补,两直线平行. 符号语言 示意图 因为 ， 所以 （同旁内角互补，两直线平行） 【提示】 (1)三种判定方法的共同的前提条件是“两条直线被第三条直线所截”，共同的结论是“两直线平行”(2)这三种判定方法都是根据角之间的数量关系来判断直线之间的位置关系.(3)判定两直线平行,还可用平行线的概念、平行线的基本事实的推论及拓展中补充的方法来进行. 示例：如图，下列条件中：①；②；③；④．则一定能判定的条件有________．（请填写序号） 【答案】①③④ 【分析】本题主要考查平行线的判定，熟练应用平行线的判定方法是解题的关键．根据平行线的判定方法逐项判断即可． 【详解】解：∵， ∴，故①符合题意； ∵， ∴，故②不符合题意； ∵， ∴，故③符合题意； ∵， ∴，故④符合题意． 故答案为：①③④． 知识点04平行公理的性质 性质1：两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等。简单地说：两直线平行，同位角相等。 性质2：两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等。简单地说：两直线平行，内错角相等。 性质3：两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补。简单地说：两直线平行，同旁内角互补。 示例：（24-25七年级下·上海虹口·期末）如图，直线，被直线所截，若，，，则_____度．    【答案】 【分析】本题考查了对顶角相等，平行线的性质，掌握“两直线平行，内错角相等”是解题的关键． 由对顶角相等求得，再根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴，    故答案为：80． 知识点05命题与证明 1.命题 命题、真命题、假命题：判断一件事情的语句叫作命题。正确的命题叫作真命题，错误的命题叫作假命题。数学命题通常由条件、结论两部分组成。命题常可以写成“如果……，那么……”的形式，用“如果”开始的部分是条件，用“那么”开始的部分是结论。 逆命题：在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫作互逆命题。如果把其中一个命题叫作原命题，那么另外一个命题叫作它的逆命题。 原命题是真命题时，其逆命题不一定是真命题。 2.证明 证明一个命题，一般可按“已知”“求证”“证明”的顺序，其中“已知”是命题的条件，“求证”是命题的结论，而“证明”是完整的推理过程。 在初中平面几何中，一般按如下的步骤： （1）根据题意画出示意的图形； （2）根据条件和结论，参照图形，写出“已知”和“求证”； （3）写出由已知推出结论的完整过程。 要判定一个命题是假命题，有时只需举出一个例子，它符合命题的条件但不满足命题的结论。这样的例子通常称为反例。 示例：下列说法中错误的个数是（    ） （1）过一点有且只有一条直线与已知直线平行 （2）不相交的两条直线叫做平行线 （3）在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交、平行两种 （4）相等的角是对顶角 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了平行公理，平行线的定义，对顶角与邻补角，是基础题，熟练掌握定义与性质是解题的关键．根据平行公理，平行线的定义，对顶角与邻补角，逐一分析作出判断． 【详解】解：（1）过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．故说法错误； （2）在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线．故说法错误； （3）在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交、平行两种，故说法正确； （4）相等的角不一定是对顶角，故说法错误． 故选：C． 题型一 点到直线的距离 解｜题｜技｜巧 1.定义法:过这点向直线作垂线段，垂线段的长度就是点到直线的距离 2.垂线段最短:直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短。 3.找距离方法:看清图形，找准垂足，直接量垂线段长度即可 4.实际应用:修路、引水最短路径问题，直接作垂线段求解。 【典例1】（24-25七年级下·上海松江·期末）如图，在中，，，那么点到直线的距离是线段________的长度． 【答案】/ 【分析】本题考查了点到直线的距离，根据点到直线的距离，即可解答． 【详解】解：∵，垂足为点D， ∴点到直线的距离是线段的长， 故答案为：． 【变式1】如图，在中，，，垂足为点E，D为的中点，则点A到直线的距离是线段________的长度．    【答案】/ 【分析】本题考查了点到直线的距离，根据点到直线的距离：自直线外一点作直线的垂线段，这条垂线段的长度叫做点到直线的距离，即可解答．解决本题的关键是熟记点到直线的距离概念． 【详解】解：∵，垂足为点E， ∴点A到直线的距离是线段的长， 故答案为：． 【变式2】如图，，C为垂足，，D为垂足，，那么点C到的距离是 ________ ． 【答案】 【分析】本题主要查了点到直线的距离．根据点到直线的距离解答即可． 【详解】解：∵， ∴点C到的距离是． 故答案为： 题型二 同位角、内错角、同旁内角 解｜题｜技｜巧 1.先找三线 先确定一条截线、两条被截直线，不在三线之间的角一律不是这三类角。 2.看位置判断 同位角:在截线同侧，被截两直线同一方 内错角:在截线两侧，被截两直线之间 同旁内角:在截线同侧，被截两直线之间 3.遮挡法 遮住多余线条，只留三线八角，排除干扰快速找角。 4.成对找角 三类角都是成对出现，单个角不能叫同位角、内错角、同旁内角。 【典例2】（25-26七年级下·上海金山·期末）已知如果两条平行线被第三条直线所截，那么下列说法正确的是（    ） A．截得的一对同旁内角相等 B．截得的一对同旁内角的角平分线互相平行 C．截得的一对内错角的角平分线互相平行 D．截得的一对同位角的角平分线互相垂直 【答案】C 【分析】根据平行线的性质，结合图形分析平分角之后得到的角之间的位置关系，运用平行线的判定判断是否平行；若不平行，则进一步探究其特殊性． 【详解】解：A、两直线平行，同旁内角互补，故该选项说法错误，不符合题意； B、两直线平行，同旁内角互补，其角平分线分得的不同的两角互余，从而推出两条角平分线相交成角，即互相垂直，故该选项说法错误，不符合题意； C、两直线平行，内错角相等，其角平分线分得的角也相等；根据内错角相等，两直线平行可判断角平分线互相平行，故该选项说法正确，符合题意； D、两直线平行，同位角相等，其角平分线分得的角也相等；根据同位角相等，两直线平行可判断角平分线互相平行，而不是互相垂直，故该选项说法错误，不符合题意． 【变式1】（24-25七年级下·上海宝山·期末）凸六边形共有_______组同旁内角． 【答案】6 【分析】两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角，由此即可得到答案． 【详解】解：图中同旁内角有和，和，和，和，和，和，共有6对． 故答案为：6． 【点睛】本题考查同旁内角，关键是掌握同旁内角的定义． 【变式2】（24-25七年级下·上海松江·期末）如图，下列结论：①与是内错角；②与是同位角；③与是同旁内角，其中正确的有________（只填序号）． 【答案】①②③ 【分析】本题主要考查了内错角、同位角及同旁内角的判断，熟练掌握相关概念是解题关键． 根据内错角、同位角及同旁内角的性质逐一判断即可． 【详解】解：与是内错角，①正确； 与是同位角，②正确； 与是同旁内角，③正确； 故答案为：①②③． 题型三 同位角相等两直线平行 易｜错｜点｜拨 1.没看清是不是同位角，随便两个角相等就判平行。 2.把同位角相等和两直线平行性质搞混，因果颠倒。 3.图形复杂找错截线、找错被截直线，判定错误。 4.推理过程缺理由，不写依据直接下结论。 5.误以为只要位置像同位角就平行，忽略必须角度相等。 【典例3】）下列各图中，已知，则可以得到的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】根据平行线的判定条件逐一进行分析，即可得到答案． 【详解】解：A、，，， ， ，符合题意，选项正确； B、不能得到，不符合题意，选项错误； C、不能得到，不符合题意，选项错误； D、不能得到，不符合题意，选项错误， 故选A． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定条件是解题关键． 【变式1】（24-25七年级下·上海金山·期末）给定如图所示的图形（不再添线），点在的延长线上，请添加一个条件________作为已知条件，通过推理能得到（只需填写一个满足的条件）    【答案】（或或或） 【分析】本题考查了平行线的判定定理，根据平行线的判定定理，结合图形，即可求解． 【详解】解：∵ ∴； ∵， ∴； ∵或 ∴； 故答案为：（或或或）． 【变式2】（24-25七年级下·上海闵行·期末）如图，直线与直线分别相交于点． 请你从①；②；③中选择其中两个作为已知条件，剩下的一个作为结论，组成一个真命题，并进行证明． 你选择作为已知条件的是：_______，作为结论的是_______．（填序号） 证明： 【答案】①②，③，证明见解析 【分析】本题考查平行线的判定，选择①②作为条件，③作为结论，由垂直定义得到，再由平行线的判定即可得证，熟记同位角相等，两直线平行是解决问题的关键． 【详解】解：你选择作为已知条件的是：①②，作为结论的是：③． 证明：，， ， （同位角相等，两直线平行）， 故答案为：①②，③． 题型四 内错角相等两直线平行 易｜错｜点｜拨 1.认错角，把不是内错角的两角拿来判定平行。 2.因果颠倒:把平行线性质和判定搞反，乱用理由。 3.图形线条多，找不到截线，误判内错角位置。 4.只看形状像Z，不看角度是否相等就直接说平行。 【典例4】（24-25七年级下·上海虹口·期末）如图，要使得与互补，可以添加的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的判定以及补角，将选项作为条件代入，证明与互补即可得到答案． 【详解】当时 直线和直线平行 与互补 故选：D． 【变式1】如图，下列条件能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的判定，掌握内错角相等，两直线平行，是解答本题的关键．根据平行线的判定作答即可． 【详解】解：A、，不能判定，故本项不符合题意； B、，可判断，不能判定，故本项不符合题意； C、，根据内错角相等，两直线平行能判定，故本项符合题意； D、 ，可判断，不能判定，故本项不符合题意； 故选：C． 【变式2】如图，已知，，，求证：．请完成下列证明过程： 证明：∵，（已知） ∴ （    ） 又∵（已知） ∴ （等式的性质） 即 ∴ （内错角相等，两直线平行） 【答案】90，垂直的定义，，，，， 【分析】此题考查了平行线的性质和判定，解题的关键是平行线的性质与判定定理． 首先得到，然后由得到，即可得到． 【详解】证明：∵，（已知） ∴（垂直的定义） 又∵（已知） ∴（等式的性质） 即 ∴（内错角相等，两直线平行） 题型五 两直线平行内错角相等 解｜题｜技｜巧 1.识别模型:内错角呈Z型，快速定位角的位置。 2.明确前提:先确定两直线平行，再推出内错角相等。 3.角度转化:结合对顶角、邻补角进行角度换算，间接求解未知角 4.分步推理:判定平行得出内错角相等计算角度，步骤清晰。 5.规范书写:结论后标注依据(两直线平行，内错角相等)。 【典例5】如图，由可以得到的结论是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质，正确理解“两直线平行，内错角相等”是解题的关键．根据“两直线平行，内错角相等”，即可判断答案． 【详解】， ， 根据“两直线平行，内错角相等”，A、B、C三个选项均错误，只有D选项正确． 故选D． 【变式1】如图，已知，点P是直线上的点，，，那么的度数是________度．    【答案】33 【分析】求出，利用平行线的性质，即可解答． 【详解】解：， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线的性质，熟知两直线平行，内错角相等是解题的关键． 【变式2】如图，已知船在观测站的北偏东方向上，且在观测站的北偏西方向上，那么的度数是__________．    【答案】/度 【分析】过点作，根据两直线平行，内错角相等，即可求出答案． 【详解】解：过点作，如图所示：   ， ， ，， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握两直线平行内错角相等是解决问题的关键． 题型六 同旁内角互补两直线平行 解｜题｜技｜巧 1.识别模型:同旁内角呈U型，快速定位角的位置。 2.找准三线:先确定截线与两条被截直线，锁定同侧两角。 3.推理流程:证明两角和为180°一判定两直线平行。 4.角度转化:借助邻补角、对顶角，间接推出同旁内角互补。 5.规范作答:结论后标注依据(同旁内角互补，两直线平行)。 【典例6】如图，在下列条件中，能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行线的判定方法逐一分析即可． 【详解】解：，根据内错角相等，两直线平行，能判定，故A符合题意； 不能判定，故B不符合题意； 不能判定，故C不符合题意； ，结合同旁内角互补，两直线平行，可得，故D不符合题意； 故选A 【点睛】此题考查了平行线的判定，熟记“同位角相等，两直线平行”、“内错角相等，两直线平行”、“同旁内角互补，两直线平行”是解题的关键． 【变式1】如图，已知∠DEF =100°，请增加一个条件使得ABCD，这个条件可以是 _____． 【答案】∠AFE=100°(答案不唯一) 【分析】根据平行线的判定，可利用内错角相等或同旁内角互补，两直线平行得出答案． 【详解】解：根据平行线的判定，可添加∠AFE=100°， ∵∠AFE=∠DEF =100°， ∴ABCD(内错角相等，两直线平行)， 故答案为：∠AFE=100°（答案不唯一）． 【点睛】本题主要考查平行线的判定，掌握平行线的判定是解题的关键，即①同位角相等，两直线平行，②内错角相等，两直线平行，③同旁内角互补，两直线平行． 【变式2】如图所示，下列说法中正确的编号是______． ①若∠2=∠4，则ADBC； ②若∠1=∠3，则ADBC； ③若∠3+∠ABC=180°，则ABCD； ④若∠2=∠4，则ABCD； ⑤若∠4+∠ABC=180°，则ABCD； ⑥若∠1=∠3，则ABCD． 【答案】②④/④② 【分析】根据平行线的判定方法逐一分析判断即可． 【详解】解：①若∠2=∠4，则ABCD，故①错误； ②若∠1=∠3，则ADBC，故②正确； ③若∠3+∠ABC=180°，不能判定ABCD，故③错误； ④若∠2=∠4，则ABCD，故④正确； ⑤若∠4+∠ABC=180°，不能判定ABCD，故⑤错误； ⑥若∠1=∠3，则ADBC，故⑥错误． 所以正确的说法是②④． 故答案为：②④． 【点睛】本题考查了平行线的判定，熟练应用平行线的判定定理是解题的关键，平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆． 题型七 两直线平行同旁内角互补 解｜题｜技｜巧 1.识别模型:同旁内角呈U型，快速定位两角位置。 2.分清前提:先确定两直线平行，再推出两角和为180。 3.角度换算:结合对顶角、邻补角，间接求解未知角度。 4.分步推理:明确平行关系一推出同旁内角互补一计算角度。 5.规范书写:结论后标注依据(两直线平行，同旁内角互补) 【典例7】（24-25七年级下·上海嘉定·期末）下列说法中，正确的是（   ） A．两直线平行，同旁内角相等 B．相等的角是对顶角 C．在同一平面上，经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线 D．在同一平面上，如果两条直线都垂直于第三条直线，那么这两条直线一定相交 【答案】C 【详解】本题考查了平行线的性质、平面中两条直线的位置关系、垂线的性质及对顶角的概念，掌握相关结论是解题关键． 【分析】A：两直线平行，同旁内角互补；故本选项说法错误； B：对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角（如平行线的同位角）；故本选项说法错误； C：平面内，过一点（无论点在直线上还是直线外）有且仅有一条直线与已知直线垂直，此为垂线唯一性定理；故本选项说法正确； D：同一平面上，若两直线均垂直于第三条直线，则这两条直线平行，永不相交；故本选项说法错误； 故选：C 【变式1】如图，直线被直线所截，，已知，则 _______．    【答案】 【分析】数形结合，根据对顶角相等及平行线性质求解即可得到答案． 【详解】解：如图所示：   ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查利用平行线性质求角度，熟记两直线平行，同旁内角互补是解决问题的关键． 【变式2】如图，已知，，，，求的度数． 【答案】 【分析】由平行线的性质得到，，再利用补角的性质得到，进而列方程解答即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查平行线的性质，补角的性质，掌握平行线的性质是解题的关键． 题型八 根据平行线的性质探究:角的关系 解｜题｜技｜巧 1.遇折线/拐角图形，过拐点作平行线，拆分角再利用性质推导。 2.先锁定平行线与截线，区分同位角、内错角、同旁内角，套用对应性质。 3.多角问题分步转化，结合对顶角、邻补角进行角度代换。 4.结合数轴、图形标注已知角度，顺着推理链逐步推导角之间和、差关系。 5.总结规律型题型，先算特例，再归纳通用数量关系。 【典例8】如图，已知，、、分别平分、、，则图中与互余的角共有（    ）    A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【分析】由平行线的性质以及角平分线的定义求得，再证明得到，据此即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵、分别平分、， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴与互余的角有，共5个， 故选：C． 【点睛】本题主要考查平行线的性质，角平分线的定义以及互余的定义，由角平分线的定义及平行线的性质得出是解题关键． 【变式1】我们规定车辆在转弯时的转弯角是车辆原行驶路线与转弯后路线所成的角的外角．如图：一辆车在一段绕山公路行驶（沿箭头方向）时，在点B、C和D处的转弯角分别是、和，且，则、和之间的数量关系是______．    【答案】 【分析】根据转弯角的定义及平行线的性质即可得出α、β和θ三角的关系式． 【详解】根据题干中的“规定车辆在转弯时的转弯角是车辆原行驶路线与转弯后路线所成的角的外角”可知，在点B、C和D处的转弯角分别是α、β和θ，如下图所示．    过点C作，则（两直线平行，则同位角相等）． ∵， ∴， ∴（两直线平行，则内错角相等）， 又∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线的性质和对转弯角名称定义的理解，解题的关键是利用平行线的性质把相关的角联系在一起． 【变式2】如图，，则∠B、∠C、∠D的关系是______．    【答案】 【分析】如图，过作，证明，，，从而可得答案． 【详解】解：如图，过作，    ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是平行线的判定与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 题型九 根据平行线的性质求角的度数 解｜题｜技｜巧 1.先确定平行线与截线，找准同位角、内错角、同旁内角。 2.直接套用性质:平行一同位角/内错角相等，同旁内角互补。 3.结合对顶角、邻补角、平角进行角度换算。 4.折线图形过拐点作平行线，拆分角度分步计算。 5.复杂图形用遮挡法，剔除多余线条，简化图形。 【典例9】（24-25七年级下·上海·期末）如图，现有一张长方形纸片，点，在上，点，在上，分别沿，折叠，使点和点都落在点处，点的对应点为点．点对应点为点．若.，则的度数为（　　） A．104° B．106° C．96° D．132° 【答案】C 【分析】由平行线的性质得到，．根据得到，由折叠得到，．即可由，根据三角形的内角和定理可得，由周角的定义得到答案．此题考查了平行线的性质、折叠的性质、邻补角等知识点，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴． ∴，． ∴， ∵点，在上，点，在上，分别沿，折叠，使点和点都落在点处，点的对应点为点．点对应点为点， ∴，，． ∴ ． ∴， ∴． 故选：C． 【变式1】（24-25七年级下·上海·期末）如图，直线，将三角板的直角顶点放在直线上，如果，那么的度数是______． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，由，则，然后通过即可求解，熟练掌握两直线平行，同位角相等是解题的关键． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【变式2】（24-25七年级下·上海静安·期末）如图，已知，，，那么______． 【答案】/75度 【分析】本题考查平行线的性质，延长交于点，根据平行线的性质，得到，根据三角形的内角和为180度，进行求解即可． 【详解】解：延长交于点， ∵， ∴， ∵，， ∴； 故答案为： 【变式3】（24-25七年级下·上海长宁·期末）如图，已知，，与交于点，，那么的度数是___________． 【答案】 【分析】本题目考查了平行线，解决的关键是熟练掌握平行线的性质． 根据，可得，再根据，可得到． 【详解】∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 题型十 根据平行线判定与性质求角度 解｜题｜技｜巧 1.先理逻辑:先判定平行，再用性质求角。 2.识别三线八角，区分同位角、内错角、同旁内角，灵活选用定理。 3.结合对顶角、邻补角、平角，完成角度转化计算。 4.折线图形过拐点作平行线，拆分角度分步求解。 【典例10】（24-25七年级下·上海嘉定·期末）某小区车库门口需要用到曲臂直杆道闸，模型如图所示．如果，，，那么______°． 【答案】127 【分析】本题考查了平行线的判定和性质、垂直的定义、角的和差等知识； 过点B作，如图，根据平行线的性质和垂直的定义可得，进而可得，证明即可得解． 【详解】解：过点B作，如图， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：127． 【变式1】如图，直线、分别与、相交，已知，，，那么_________． 【答案】/100度 【分析】本题考查平行线的判定和性质，由对顶角相等可得，根据可得，由平行线的性质可得． 【详解】解：如图， ，， ， ， ， 故答案为：． 【变式2】（24-25七年级下·上海松江·期末）在学习“相交线与平行线”一章时，小新同学所在的小组制作了如图①所示的潜望镜模型并且观察成功．大家结合实践活动更好地理解了潜望镜的工作原理．图②中，、代表镜子摆放的位置，动手制作模型时，应该保证与平行，已知光线经过镜子反射时，，，若，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查平行线的判定和性质，根据平行线的性质可得到，结合条件可求得，再利用平行线的判定可证明，由垂线的性质得出答案． 【详解】解：∵， ， ， ， ，即， ， ， ， ， ． 题型十一 根据平行线判定与性质证明 解｜题｜技｜巧 1.梳理逻辑链:由角的关系证平行(判定)，由平行推角的关系(性质) 2.复杂图形用遮挡法，锁定截线与被截直线，找准三类角。 3.灵活转化角:借助对顶角、邻补角、平角，补齐所需等量/互补关系。 4.拐角题型过拐点作平行线，拆分图形再逐步推导。 5.书写规范，每一步结论后标注对应定理依据。 【典例11】（24-25七年级下·上海静安·期末）如图，已知点D、E在线段上，点F在线段上，射线、相交于点M，平分，，求证． 把以下证明过程补充完整． 证明：∵平分，∴， 又∵，∴____________________． ∴____________________（__________）． ∴____________________（__________）． ∴． 【答案】；；；；同位角相等，两直线平行；；；两直线平行，同位角相等 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，由角平分线的定义和已知条件可证明，则可证明得到，据此可证明． 【详解】证明：∵平分， ∴， 又∵， ∴． ∴（同位角相等，两直线平行）． ∴（两直线平行，同位角相等）． ∴． 【变式1】（24-25七年级下·上海金山·期末）如图，已知直线、、被直线所截．若，，且，求的度数．把以下解答过程补充完整． 解：如图，将与相邻的补角记为． ，， ． ． ， ， ． 【答案】同位角相等，两直线平行；；；平行于同一直线的两条直线互相平行；两直线平行，同位角相等； 【分析】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．根据平行线的判定定理与性质定理求解即可． 【详解】解：如图，将与相邻的补角记为． ， ． 同位角相等，两直线平行． ， 平行于同一直线的两条直线互相平行 两直线平行，同位角相等 ， ． 故答案为：同位角相等，两直线平行；；；平行于同一直线的两条直线互相平行；两直线平行，同位角相等；． 【变式2】（24-25七年级下·上海虹口·期末）如图，已知，直线交线段的延长线于点M，按下列步骤完成证明：． 步骤一、 假设，则______（______） ∵， ∴________ ∴________________ 这与________矛盾， 即不等于． 步骤二、（请自己写出后面的证明过程） 【答案】见解析 【分析】本题考查反证法，平行线的判定与性质，假设，得出，再证明得出，这与直线交的延长线于点M矛盾，即不等于．假设，则，得出，与矛盾，即不小于． 【详解】步骤一、假设，则（等边对等角） ∵， ∴ ∴， 这与直线交的延长线于点M矛盾， 即不等于． 步骤二、 假设，则， ∵， ∴ ∵， ∴ 与矛盾 即不小于． 综上所述，． 题型十二 判断命题真假 解｜题｜技｜巧 1.先拆分命题，找出题设和结论。 2.真命题:依据定义、定理、公理推理验证，全部情况都成立。 3.假命题:举一个反例即可推翻，无需全面证明。 4.语句辨析:疑问句、感叹句、祈使句都不是命题。 5.改写技巧:把命题统一改成"如果.....那么......"形式，方便区分条件与结论。 【典例12】（24-25七年级下·上海松江·期末）在中，有下列四个命题： ①如果，那么；    ②如果，那么； ③如果，那么；    ④如果，那么． 其中，真命题的个数有（   ）． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质及边角关系定理；根据等腰三角形的性质及边角关系定理逐一判断四个命题的真假即可． 【详解】解：命题①：若，则为等腰三角形，∴底角，故正确． 命题②：若，由等角对等边可知，故正确． 命题③：若，根据大边对大角定理，对的角大于对的角，故正确． 命题④：若，根据大角对大边定理，对的边大于对的边，故正确． 综上，四个命题均为真； 故选：A． 【变式1】（24-25七年级下·上海·期末）下列命题中，真命题是（ ） A．真命题的逆命题一定是真命题 B．两边分别平行的两个角相等 C．等角的余角相等 D．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 【答案】C 【分析】本题考查了命题的判断，根据逆命题、平行线的性质，平行公理，等角的余角相等，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：A. 真命题的逆命题不一定是真命题，故该选项不符合题意； B. 两边分别平行的两个角相等或互补，原命题是假命题，故该选项不符合题意； C. 等角的余角相等，故该选项符合题意； D. 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故该选项不符合题意； 故选：C． 【变式2】（24-25七年级下·上海松江·期末）下列各命题的逆命题成立的是（    ） A．直角都相等 B．如果，那么 C．对顶角相等 D．两直线平行，同旁内角互补 【答案】D 【分析】本题考查了写出命题的逆命题，判断命题的真假，先写出各个选项的逆命题，再结合直角的定义、对顶角的定义、有理数的乘方以及平行线的判定与性质逐项分析即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：A、逆命题为：相等的角都是直角，该逆命题不成立，故不符合题意； B、逆命题为：如果，那么，该逆命题不成立，故不符合题意； C、逆命题为：相等的角都是对顶角，该逆命题不成立，故不符合题意； D、逆命题为：同旁内角互补，两直线平行，该逆命题成立，故符合题意； 故选：D． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25七年级下·上海普陀·期末）如图，在同一平面上，如果直线垂直于直线，直线垂直于直线，垂足为点，那么直线与直线重合的理由是（   ） A．垂线段相等 B．两点确定一条直线 C．在同一平面上，已知直线的垂线只有一条 D．在同一平面上，经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线 【答案】D 【分析】本题考查了垂线的定义，直接利用垂线的性质：在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，进而判断得出答案，掌握垂线的定义是解题的关键． 【详解】解：在同一平面内，，，垂足为，则直线和直线重合的理由是：同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直， 故选：． 2．（24-25七年级下·上海闵行·阶段检测）下列说法： 同位角相等，两直线平行； 两直线相交形成的四个角中有两对角相等，则这两条直线互相垂直； 过一点有且只有一条直线与已知直线平行； 三角形的一个外角等于两个内角的和； 已知同一平面内，，则 正确的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查三角形的外角性质，平行线的判定，平行公理，垂线，角的计算，关键是掌握三角形的外角性质，平行公理，垂直的定义，平行线的判定方法；由三角形的外角性质，平行公理，垂直的定义，平行线的判定方法，即可判断． 【详解】解：①同位角相等，两直线平行，正确，故①符合题意； ②两直线相交形成的四个角中，两对对顶角相等，但这两条直线不一定互相垂直，故②不符合题意； ③过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故③不符合题意； ④三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，故④不符合题意； ⑤若射线在外部，则，若射线在内部，则，所以或，故⑤不符合题意． 正确的个数为1个． 故选：A． 3．（24-25七年级下·上海嘉定·期末）如图，直线相交于点O，平分，．如果，那么______． 【答案】 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，垂线的定义，先由垂线的定义得到，则可求出的度数，再由角平分线的定义得到的度数，最后根据平角的定义可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 故答案为：． 4．（24-25七年级下·上海·期末）牛顿曾说过：“反证法是数学家最精良的武器之一．”那么我们用反证法证明：如图，“已知：在同一平面内，，求证：与不平行”时，应先应假设_________． 【答案】 【分析】本题考查的是反证法的应用，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤，在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答即可． 【详解】解：反证法证明命题“已知：在同一平面内，，求证：与不平行”时，首先应假设与平行，即． 故答案为：． 5．（24-25七年级下·上海虹口·期末）如图，已知，且，则________度． 【答案】 【分析】本题考查平行线的性质，解题的关键是通过作辅助线，利用平行线的内错角相等性质来求解． 过点作平行于、的直线，将分成与、相等的角，进而得出与的关系． 【详解】如图： 过点作， ， ， ， ， 。 故答案为：130． 6．（24-25七年级下·上海松江·期末）如图，已知，，，那么__________． 【答案】138 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．根据平行线的判定和性质，易得，则，得到，再根据对顶角相等，得到结果． 【详解】解：如图， ，， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 7．（24-25七年级下·上海浦东新·期末）完成下列证明： 已知：，，求证：． 证明：①　　， 又， ∴， ②　　③　　． ∴④　　⑤　　． （已知）， ∴． ⑥　　． 【答案】①对顶角相等②③同位角相等，两直线平行④⑤两直线平行，同旁内角互补⑥内错角相等，两直线平行 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．根据平行线的判定和性质，补齐各步骤的结论和推理依据即可． 【详解】证明：对顶角相等）， 又， ， （同位角相等，两直线平行）， 两直线平行，同旁内角互补）， （已知）， ， 内错角相等，两直线平行）． 故答案为：①对顶角相等；②；③同位角相等，两直线平行；④；⑤两直线平行，同旁内角互补；⑥内错角相等，两直线平行． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（24-25七年级下·上海长宁·期末）如图，现有一张长方形纸片，点E，F在上，点G，H在上，分别沿折叠，使点D和点A都落在点M处，点C的对应点为点．点B对应点为点．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由平行线的性质得到，．根据得到，由折叠得到，．即可由得到答案． 【详解】解：由题意得． ∴，． ∴， 由折叠得，． ∴ ． 故选：B． 【点睛】此题考查了平行线的性质、折叠的性质、邻补角等知识点，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 2．（24-25七年级下·上海闵行·期末）已知：如图，，三角尺的直角顶点在直线b上，，的度数为_______． 【答案】/46度 【分析】本题主要考查了平行线的性质，根据平角的定义可得的度数，再由平行线的性质即可得到的度数． 【详解】解；如图所示，∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 3．（24-25七年级下·上海·期末）如图，将长方形纸条折叠，．按如图折叠，，则_____． 【答案】/115度 【分析】本题考查了平行线的性质，折叠的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 根据平行线的性质得到，由折叠的性质得到，即可通过平行线的性质求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， 故答案为：． 4．（24-25七年级下·上海崇明·期末）如图，，点位于两平行线之间且在点、的右侧，分别作和的平分线交于点，再分别作和的平分线交于点设的度数是，则的度数用表示为___________．    【答案】 【分析】本题考查了图形的变化规律、角平分线定义、平行线性质，熟练掌握以上知识点是关键．过点作，利用平行线性质得到，进而得到，同理可得，…依此类推得到，即可解答． 【详解】解：如图，过点作，    ∵， ∴， ∵，， ∵， ∴， ∴， ∵和的平分线交于点， ∴同理可得， ∴， ∵， ∴， 同理，， …… 依此类推，． ∴的度数用表示为． 故答案为：． 5．（24-25七年级下·上海普陀·期末）用反证法证明：在三角形中，大角对大边． 如图，已知：在中，． 求证：． 证明：假设， ________（___________）． 假设________， ________（___________）． （完成以下说理过程） 【答案】见解析 【分析】本题考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 利用等腰三角形的性质和大边对大角进行分析作答． 【详解】证明：假设， （等边对等角）． 假设， （大边对大角）． 上述无论哪种情况，都与已知矛盾，所以假设不成立． ． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（24-25七年级下·上海长宁·期末）将两块直角三角板（即两个直角三角形，其中，，；的直角顶点按图1方式叠放在一起．绕着点顺时针旋转（），旋转的速度为每秒，当旋转时间为为___________秒，有一边与边平行． 【答案】或或 【分析】本题考查了旋转的性质，平行线的性质，几何中角度的计算，理解图形的性质，掌握平行性的性质是关键． 根据图形的旋转，平行线的性质，数形结合，分类讨论即可求解． 【详解】解：如图所示，， ∴， ∵绕着点顺时针旋转，旋转的速度为每秒， ∴从顺时针旋转的时间为； 如图所示，， ∴， ∴从顺时针旋转至图中所示位置的角度为， ∴所需时间为； 如图所示，，过点作， ∴， ∴， ∴， ∴从顺时针旋转至图中所示位置的角度为， ∴所需时间为； 如图所示，， ∴， ∴从顺时针旋转至图中所示位置的角度为，故此种情况不符合题意，舍去； 如图所示，，设交于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴绕点顺时针旋转至图中所示位置，旋转的角度为，故此种情况不符合题意，舍去； 综上所述，当或或时，有一边与边平行， 故答案为：或或 ． 2．（24-25七年级下·上海青浦·期末）将一副三角尺如图1所示摆放，分别在直线上，，直线．现将三角尺绕点以每秒的速度顺时针旋转，同时三角尺绕点以每秒的速度顺时针旋转，如图2，设时间为秒，当时，如果边与三角尺的一条直角边平行（旋转过程中三角尺任意两边所在的直线不重合），那么所有满足条件的的值为___________． 【答案】或 【分析】本题主要考查了平行线的性质，先根据题意画出旋转后的图形，由已知条件，利用平行线的旋转，求出旋转角之间的关系，列出方程解答即可．解题关键是根据题意，画出旋转后的图形． 【详解】解：由题意得：，， （1）当时， 如图所示：延长交于点， ①在上方， ，，， ， ， ， ， ， 即， 解得：； ②在下方时，， ，，， ， ， ， ， ， 即， 解得：（舍去）； 如图：当时，延长交于点， ①在上方，度， ，， ， ， ， ， ， 即，解得：； ②在下方，度， ，，， ， ， ， ， ， 即，解得：（舍去）， 综上可知：所有满足条件的的值为：或， 故答案为：或． 3．（24-25七年级下·上海青浦·期末）如图，已知，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查平行线的判定与性质，根据得出，结合已知可得，即可证明，根据平行线的性质，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 又∵， ∴． 4．（24-25七年级下·上海虹口·期末）已知：如图，中，于点D，于点G，线段，点E、A、C在同一直线上，求证：平分．请把以下证明过程补充完整． 证明：∵于点D，于点G， ∴ ∴（_______） ∴______（_________）， _________（________） ∵， ∴______（________） ∴，即平分． 【答案】见解析 【分析】根据平行线的判定和性质，等腰三角形性质，角的平分线定义证明即可． 本题考查了平行线的判定和性质，等腰三角形性质，角的平分线定义，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 【详解】证明：∵于点D，于点G， ∴ ∴（同位角相等，两直线平行） ∴（两直线平行，同位角相等）， （两直线平行，内错角相等） ∵， ∴（等边对等角） ∴，即平分． 故答案为：同位角相等，两直线平行；；两直线平行，同位角相等；；两直线平行，内错角相等；；等边对等角． 5．（24-25七年级下·上海奉贤·期末）如图，已知点、、、在一条直线上，，平分，． （1）与平行吗？请说明理由； （2）与的位置关系如何？请说明理由． 解：（1），理由如下： （ ）， （已知）， ． （ ）． （2）与的位置关系是：（ ）． 请完成说理过程： 【答案】（1）平角定义；；同位角相等，两直线平行；（2）平行，理由见解析 【分析】本题考查了平行线的判定，角平分线的定义，解题的关键是掌握平行线的判定． （1）根据平角定义可得，从而利用同角的补角相等可得，然后根据同位角相等，两直线平行可得； （2）根据角平分线的定义可得，从而可得，然后利用内错角相等，两直线平行可得，即可解答． 【详解】解：（1），理由如下： （平角定义）， （已知）， ， （同位角相等，两直线平行）， 故答案为：平角定义；；同位角相等，两直线平行； （2）与的位置关系是：（平行），理由如下： 平分， ， ， ， ， 故答案为：平行． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $