专题03三角形的概念及内角和期末复习讲义(15大题型+知识梳理+题型突破+压轴题型)2025-2026学年沪教版五四制七年级数学下册

专题03三角形的概念及内角和期末复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.掌握三角形定义、边、角、顶点等基本概念，会分类三角形 2.熟记三角形三边关系定理，理解取值限制条件 3.认识三角形中线、角平分线、高线三种重要线段 4.牢记三角形内角和、外角性质及直角三角形角度特点 1.运用三边关系判断线段能否构成三角形，求边长范围 2.准确画出三角形三类线段，辨析不同三角形高线位置 3.借助内角和、外角性质熟练计算角度大小 4.结合图形梳理边角关联，简单几何推理推导角度 5.分类讨论求解三角形相关边角问题 1.基础题型快速判断三角形类别、线段识别，稳拿基础分 2.熟练完成边长取值、角度计算常规考题 3.规范书写简单几何推理步骤，答题逻辑清晰 4.规避三边范围、钝角三角形高线等常见易错点 5.应对边角综合计算题，提升解题准确率 题型01.三角形的识别与概念 题型02.构成三角形的条件 题型03第三边取值范围 题型04.三边关系的应用 题型05.三角形的分类 题型06.三角形角平分线的定义 题型07.三角形高的画法 题型08.与三角形高有关的计算 题型09.由三角形中线求长度 题型10.由三角形中线求面积 题型11.三角形内角和定理的证明 题型12.平行线与内角和问题 题型13.角平分线与内角和问题 题型14.三角形内角和定理的应用 题型15.三角形外角的定义与性质 知识点01:三角形的定义与表示 定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做三角形。 三要素：顶点、边、内角。 知识点02:三角形的分类 知识点03:三角形的三边关系（重中之重） · 定理：三角形任意两边之和 大于 第三边。 a+b>c,a+c>b,b+c>a) · 推论：任意两边之差 小于 第三边。 |a-b|<c 知识点04三角形的重要线段定义整理 三角形的高线：从三角形的一个顶点向对边作垂线，顶点与垂足之间的线段； 三角形的中线：联结三角形一个顶点与对边中点的线段； 三角形的角平分线：三角形的一个内角的角平分线与对边相交于一点，顶点与交点之间的线段； 三角形的高、中线和角平分线是三角形中三条重要的线段，它们提供了重要的线段或角的关系，为我们以后深入研究三角形的一些特征起着很大的帮助作用，因此，我们需要从不同的角度弄清这三条线段，列表如下： “三线的交点”一个三角形有3条中线.3条角平分线.3条高 知识点05:三角形内角和定理 定义：三角形三个内角的和等于 180°。 如图所示，在△ABC 中，∠A + ∠B + ∠C = 180°。 知识点06:外角的定义及性质： 定义：一边与另一边的延长线组成的角 性质：外角等于与它不相邻的两个内角和；外角大于任何一个不相邻内角 题型01.三角形的识别与概念 1．在中，边的对角是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形定义，熟记三角形对边对角定义是解决问题的关键． 根据三角形中边的对角定义，一条边的对角是与该边不相邻的角． 【详解】解：如图所示： ∴边的对角是， 故选：D． 2．如图，三角形中，，是边上两点，连接，，数一数图中角（小于平角）的个数，一共有________个． 【答案】 【分析】本题主要考查了角的计数，熟练掌握按顶点分类计数、不重复不遗漏地数出所有角是解题的关键．先按顶点分类，依次找出以点、、、、为顶点的所有小于平角的角，再将各类角的数量相加得到总数． 【详解】解：以点为顶点的角：，共个， 以点为顶点的角：，，，，，，共个， 以点为顶点的角：，，共个， 以点为顶点的角：，，共个， 以点为顶点的角：，共个， ， 故答案为： 3．如图，将三角形纸片折叠，使点B，C重合，折痕与，分别交于点D、点E，连接，下列是的中线的是（　　） A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 【答案】A 【分析】本题主要考查了折叠的性质，三角形中线的定义，解题的关键是掌握三角形顶点与对边中点的连线是三角形的中线．根据折叠的性质可得出，得出点E为中点，即可得出结论． 【详解】 解：∵将三角形纸片折叠，使点B，C重合， ∴， ∴线段是的中线， 故选：A． 题型02.构成三角形的条件 4．下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ） A．2，3，5 B．3，3，6 C．1，2，4 D．3，4，5 【答案】D 【分析】根据三角形任意两边之和大于第三边，判断时只需将两条较短边的和与最长边比较，若和大于最长边即可组成三角形，反之不能． 【详解】解：A选项，，不满足两边之和大于第三边，不能组成三角形； B选项，，不满足两边之和大于第三边，不能组成三角形； C选项，，不满足两边之和大于第三边，不能组成三角形； D选项，，满足两边之和大于第三边，能组成三角形． 5．如图，在中，有___________（填“”“”或“”），理由是___________，这个结论是由基本事实___________得到的． 【答案】 三角形的任意两边之和大于第三边 两点之间线段最短 【分析】本题考查了三角形三边关系及两点之间线段最短，是基础题型，比较简单．根据三角形的三边关系及两点之间，线段最短作答． 【详解】解：如图，在中，有（填“>”“<”或“=”），理由是三角形的任意两边之和大于第三边，这个结论是由基本事实两点之间线段最短得到的．． 故答案为：；三角形的任意两边之和大于第三边；两点之间线段最短． 6．现有7根木棍，长度（单位：）分别是1，2，3，4，5，6，7．从中取出三根木棍围成三角形，其中最长的边为，另两边的差大于．这样的三角形一共有（   ）个． A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】A 【分析】本题考查了构成三角形的条件，理解题意是解决本题的关键． 需从长度1至的木棍中选三根围成三角形，要求最长边为，且另两边长度差大于．通过三角形两边之和大于第三边及差的条件，列举所有可能组合进行判断即可． 【详解】解：设另两边为a、，需满足且， ∵a、b从1至6中取不同整数， ∴满足的有：， 其中的只有：差，差． ∴共有2个三角形：和． 故选：A． 题型03第三边取值范围 7．已知一个三角形的两边长分别是和，则它的第三边长不能是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形三边关系求出第三边的取值范围，再判断哪个选项不符合范围即可． 【详解】解：设三角形第三边长为， ∴，即， ∵只有7不在这个取值范围内， ∴第三边长不能是． 8．已知三角形两边长分别为2和5，且周长为偶数，则第三边的长为_________． 【答案】5 【分析】设三角形第三边长为，根据三角形三边关系定理得到的取值范围，再结合周长为偶数确定的奇偶性，进而求出符合条件的第三边长． 【详解】解：设三角形第三边长为， ∵三角形两边长分别为2和5， ∴， ∴， ∴三角形周长为， ∵ 周长为偶数，7为奇数， ∴ x为奇数， ， ∴． 9．若三角形的三边分别为1，，4，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】利用三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边列出不等式，求解不等式即可得到的取值范围． 【详解】解：∵三角形三边长分别为，，， ∴可得 ，即 ， 解得：． 10．已知的三边长为，，，且，，均为整数． (1)若，，求边长的取值范围： ； (2)在（1）的条件下，若为偶数，求的周长． 【答案】(1)、、、、 (2)或 【分析】本题主要考查了三角形三边之间的关系，解题的关键是掌握三角形三边之间的关系； （1）根据三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，进而即可求解； （2）将的值表示出来，分情况计算周长即可求解； 【详解】（1）的三边长为，，， ，， ， 即，且，，均为整数， 故的取值范围为：、、、、； 故答案为：、、、、 （2）解：为偶数，， 故可取，； 当时，的周长为； 当时，的周长为 题型04.三边关系的应用 11．在中，若，，则的值不可能为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【分析】先根据三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边，求出第三边的取值范围，再结合选项判断哪个数值不在该范围内． 【详解】解：∵在△ABC中，，， ∴， ∴， ∴． 选项A：在的范围内，故该选项不符合题意； 选项B：在的范围内，故该选项不符合题意； 选项C：在的范围内，故该选项不符合题意； 选项D：不在的范围内，故该选项符合题意． 12．已知a，b，c 是的三边长，化简： _______ 【答案】 【分析】本题考查了三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，根据此来确定绝对值内的式子的正负，从而化简计算即可． 【详解】解：∵a，b，c 是的三边长， ∴，，， ∴ ， 故答案为：． 13．现有长为的铁丝，要截成小段（），每段的长度不小于，如果其中任意三小段都不能拼成三角形，则的最大值为（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，即三角形的两边之和大于第三边，理解题意、列出每段铁丝的长度是解题关键． 根据三角形的三边关系，设最小的长度为，又因任意三小段都不能拼成三角形，得每段长度是，，，，，，，，，，，依此类推，总和不大于即可求解． 【详解】解：段之和为， 若要尽可能的大，则每段的长度尽可能的小， 每段的长度不小于，且其中任意三小段都不能拼成三角形， 这些小段的长度只可能分别是，，，，，，，，，，， ， ， 小段的长度分别为，，，，，，，，，， 的最大值为． 故选：B． 14．阅读材料： 若，求、的值． 解：， ， ； 根据你的观察，探究下面的问题： (1)已知，求的值； (2)已知的三边长、、都是正整数，且满足，求边的值； (3)已知，，求的值． 【答案】(1) 9 (2) 2 (3) 【分析】（1）利用完全平方公式分解因式得到，则由非负数的性质求出的值即可得到答案； （2）利用完全平方公式分解因式得到，则由非负数的性质求出的值，再根据三角形三边的关系和c是正整数求出c的值即可； （3）根据题意可得，把代入，可推出，由非负数的性质求出的值，进而求出的值即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 又∵是正整数， ∴； （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴, ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴ ∴． 题型05.三角形的分类 15．若一个三角形三条边的长度比是，则这个三角形是（   ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【分析】本题考查的是三角形形状判定，由于三角形三边长度比为，即三边相等，因此该三角形是等边三角形． 【详解】解：∵一个三角形三条边的长度比是，即三边长度相等， ∴此三角形为等边三角形． 故选：C． 16．如图为一张藏宝图，有一人想出发寻宝，已知秘密宝藏藏在图中的某个黑点标示的位置．经过调查，秘密宝藏的位置P满足条件：为直角三角形，符合条件的P点的个数为______个． 【答案】 【分析】分三种情况，当时，当时，当时，分别找出符合条件的P点的个数，即可解决问题． 本题考查了直角三角形的性质，正确作出图形是解题的关键． 【详解】解：如图，分三种情况： 当时，符合条件的P点的个数有2个； 当时，符合条件的P点的个数有2个； 当时，符合条件的P点的个数有2个； 综上所述，为直角三角形，符合条件的P点的个数为（个）． 故答案为：6． 17．同学们在玩“猜三角形”的游戏，图中被信封遮住的（      ）． A．只能是锐角三角形 B．只能是直角三角形 C．只能是钝角三角形 D．可能是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形 【答案】D 【分析】本题考查了三角形按角分类的方法．根据图示，露出的角是一个锐角，被遮住的两个角可能有两个锐角，有一个直角或钝角，据此解答． 【详解】解：如上图中被信封遮住的可能是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形． 故选：D． 18．已知，，是的三边长． (1)若，则___________，化简：___________．___________． (2)若，，满足，试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)5，，． (2)为等边三角形，理由见解析 【分析】本题考查非负数的性质，三角形三边关系和等边三角形的判定，结合“三角形三边关系”，判断绝对值内表达式的正负是解题关键． （1）根据非负数的性质和三角形三边关系去绝对值后计算即可； （2）根据非负数的性质可判断出，进而确定的形状． 【详解】（1）解：， ，， 则； 根据三角形三边关系，，， 则； 且， ， ． 答：5，，． （2）解：，且，， 可得， 解得， ，为等边三角形． 答：为等边三角形． 题型06.三角形角平分线的定义 19．将三角形纸片按如图所示的方式折叠，则展开后得到的折痕是的（   ） A．边上的高线 B．角平分线 C．边上的中线 D．边上的垂直平分线 【答案】B 【详解】解：由折叠的性质可得，点关于直线的对称点是，， 是的角平分线． 20．在三角形中，①中线、②内角平分线、③高，一定在三角形内部的线段是_________．（填序号） 【答案】①② 【分析】根据三角形中线，内角平分线，高的定义，分别判断三类线段在三角形中的位置，即可得到结果． 【详解】根据三角形相关定义可知，三角形的中线是顶点到对边中点的线段，任意三角形的中线都在三角形内部，三角形的内角平分线是三角形内角的平分线与对边相交，顶点与交点间的线段，任意三角形的内角平分线都在三角形内部； 对于三角形的高：锐角三角形的三条高都在三角形内部，直角三角形有两条高与直角边重合，钝角三角形有两条高在三角形外部，因此高不一定在三角形内部． 因此一定在三角形内部的线段是①②． 21．如图，的角平分线、中线相交于点，则是的角平分线；是的中线；是的中线；，其中结论正确的有（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】根据角平分线性质和三角形中线的概念分析即可． 【详解】解：∵是的角平分线， ∴， ∴平分， ∴是的角平分线，原说法正确； ∵是的中线，中线是顶点与对边中点的连线， ∴， ∴不是的中点， ∴不是的中线，原说法错误； ∵是的中线， ∴， ∴是的中线，原说法正确； ∵是的中线， ∴，原说法正确， ∴有个是正确的． 22．如图，在直角三角形中，，点D是上一点，过点D作交于点E，点F是上一点，连接，且．求证：平分． 【答案】见解析 【分析】先证明，再根据平行的性质和等量代换证明，再根据证明，即可得到结论． 【详解】证明：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 平分． 题型07.三角形高的画法 23．如图，，，，，垂足分别为点，中边上的高是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：中边上的高是． 24．如图，下面是三位同学的折纸示意图，则依次是的____________． 【答案】角平分线、高线、中线 【分析】本题主要考查了折叠的性质，三角形的角平分线、高线、中线等知识点，理解三角形的角平分线、高线、中线的定义是解题的关键． 根据翻折的性质和三角形的角平分线、高线、中线的定义逐个图形分析即可解答． 【详解】解：由图①得，， ∴是的角平分线； 由图②得，， ∵，即， ∴， ∴是的高线； 由图③得，， ∴是的中线； ∴综上所述，依次是的角平分线、高线、中线． 故答案为：角平分线、高线、中线． 25．如图所示，中边上的高是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形高的概念求解即可． 【详解】解：由图可得， ∵， ∴中边上的高是， 故选：D． 【点睛】本题考查了三角形高的定义，理解三角形高的概念是解题的关键． 题型08.与三角形高有关的计算 26．如图，在中，是边上的中线，是边上的高．若，，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【详解】解：∵是边上的中线， ∴， ∵是边上的高，， ∴， ∴． 27．如图，在中，边上的高为上一点，于点于点，则__________． 【答案】4 【分析】连接，利用，结合，即可解答． 【详解】解：如图，连接， 则， ， ， 又∵，，即， ． 28．我们规定，若三角形满足：①各边互不相等且均为整数；②最短边上的高与最长边上的高的比值为整数k，则称此三角形为“比高三角形”，其中k叫作“比高系数”． (1)如图，在中，于点，请判断是否是“比高三角形”．若是，请求出其“比高系数”；若不是，请说明理由； (2)若周长为的是“比高三角形”，且一边长为，则的“比高系数”为______． 【答案】(1)不是“比高三角形”，理由见解析 (2)3或2 【分析】本题主要考查了三角形面积的计算，三角形三边关系的应用等知识． （1）先根据题意得出为最短边上的高，为最长边上的高，再根据等面积法求出，最后根据“比高三角形”的定义判断即可． （2）根据三角形三边关系结合“比高三角形”的定义得出的三边长分别为，，或，，．设最短边上的高为，最长边上的高为，再结合三角形的面积计算以及“比高三角形”的定义即可得出答案． 【详解】（1）解：不是“比高三角形”，理由如下： ∵， ∴为最短边上的高，为最长边上的高， ∵， ∴， ∴，k不是整数， ∴不是“比高三角形”； （2）解：∵周长为的是“比高三角形”，且一边长为， ∴为的最长边， 当其中一边为时，则另外一边为，此时不满足各边互不相等且均为整数的条件， 故的三边长分别为，，或，，． 设最短边上的高为，最长边上的高为， 当三边长分别为，，时， ， 解得：，即， 当三边长分别为，，．时， ， 解得：，即， 综上所述， 的“比高系数"k为3或2． 题型09.由三角形中线求长度 29．如图，是的中线，已知的周长为比长，则的周长为_____cm． 【答案】20 【分析】本题考查的是三角形的中线的概念，三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．根据三角形的中线的概念得到，再根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【详解】解：是的中线， ， 的周长为 ， 比长， ， ， ， 的周长 30．如图，分别是的高、角平分线、中线，则下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形的角平分线、中线和高，三角形的面积，三角形内角和定理，熟练掌握三角形的高线、中线和角平分线的定义是解题的关键．根据三角形的角平分线，中线和高的定义，以及三角形的面积公式进行计算，逐一判断即可解答． 【详解】解：∵为中线， ∴， ∴A选项结论正确，不符合题目要求； ∵是高线， ∴， ∴， ∴B选项结论正确，不符合题目要求； ∵是角平分线， ∴， ∴C选项结论正确，不符合题目要求； ∵是高线，与大小关系不确定， ∴与的大小关系无法确定， ∴D选项结论错误，符合题目要求； 故选：D． 31．如图1，在中，是边上的中线，和的周长之差为2，且与的和为14． (1)求、的长； (2)若，E是的中点，如图2，直接写出的面积． 【答案】(1)， (2)6 【分析】本题考查了三角形中线的性质，二元一次方程组的应用，解题的关键在于熟练掌握三角形中线性质． （1）根据三角形中线的定义，．所以和的周长之差也就是与的差，然后联立关于、的二元一次方程组，利用加减消元法求解即可． （2）先求得的面积，根据的面积的面积，的面积的面积计算即可． 【详解】（1）解：∵是边上的中线， ∴， ∴的周长的周长， 即①， 又②， ①②得， 解得， ∴， ∴和的长分别为：，； （2）解：∵，，， ∴， ∵是边上的中线，E为的中点， ∴， ， ∴． 题型10.由三角形中线求面积 32．如图，是的中线，是的中线，若的面积是12，则的面积是___． 【答案】3 【分析】根据中线与面积的关系可得、即可求解． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∵的高相等，的面积是12， ∴， ∵是的中线， ∴， ∵的高相等， ∴． 33．如图，的中线相交于点F，若的面积等于12，则的面积等于（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】连接，根据中线的性质得到三角形面积之间的关系，即可求解． 【详解】解：连接，如下图： ∵的中线相交于点F， ∴，， ∵， ∴ ∴ ∵， ∴ ∵的面积为12 ∴， 解得， ∴． 34．设的面积为1．如图①，，分别是，的中点，，相交于点，与的面积差记为；如图②，，分别是，的3等分点，，相交于点，与的面积差记为；如图③，，分别是，的4等分点，，相交于点，与的面积差记为依此类推，则的值为_____． 【答案】 【分析】由题意可得，再根据点，的位置，表示出相应的三角形的面积，从而可得出相应的规律，即可求解． 【详解】解：由题意得：， ∵，分别是，的中点， ，， ． 同理可得：． 则，，……， ． ． 35．如图所示，中，点是的中点，，连接、交于点，若面积为，求的面积． 【答案】 【分析】先利用是中点，得出与面积相等(均为)，进而得面积为；再由，根据等高三角形面积与底的比例关系，推出，即；接着算出，最后因为是中点，得． 【详解】解：连接，设． ∵，等高的三角形面积比等于底的比， ∴，且 ∵点是的中点，即，等底等高的三角形面积相等， ∴，则 由，设，则 ， ， ∴，， ∵，从向作高， 和的高的关系与相关， 可得， ∵， ∴， ， ∵是中点， ∴； 综上，的面积为． 【点睛】本题主要考查三角形面积的相关知识，核心是等高三角形的面积与底的关系(等高的两个三角形，面积之比等于它们底的长度之比)，同时涉及“三角形中点与面积的关系”(三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分)． 题型11.三角形内角和定理的证明 36．“三角形的内角和为”是《几何原本》中的第五公设的推论，在探究证明这个定理时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是”的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形内角和定理的证明，熟练掌握转化的思想以及平角的定义是解决本题的关键．本题运用转化的思想作出相应的平行线，把三角形的内角进行转化，再根据平角的定义解决即可． 【详解】解：A．由，则，．由，得，故能证明“三角形内角和是”，不符合题意 B．由于D，则，无法证得“三角形内角和是”，符合题意． C．由，得，．由，得，，所以．由，得：，故能证明“三角形内角和是”，不符合题意 D．由，得，．由，得，故能证明“三角形内角和是”，不符合题意． 故选B． 37．如图，在中，，，点在上且，连结，则________.    【答案】10 【分析】根据三角形的内角和定理求出度数，再利用等腰对等角和外角的定义表示出即可求出度数. 【详解】解：中，，， . ， . ，， ， ， . 故答案为：10. 【点睛】本题考查了三角形的内角和、外角定义和等腰三角形的性质，解题的关键在于熟练掌握等腰三角形的性质和内角和公式. 38．为了证明“三角形的内角和是”，林老师给出了如图所示四种作辅助线的方法．回答下列问题： (1)能证明“三角形内角和是”的方法是______（请填写序号）； (2)在（1）的正确方法中，任意选择其中一种方法进行证明． 【答案】(1)①②③ (2)选择图①，证明见解析． 【分析】本题主要考查平行线的性质和三角形内角和定理，牢记平行线的性质是解题的关键． 证明“三角形的内角和是”的方法均是将三角形的三个内角的和转化为平角． 【详解】（1）①②③ （2）当选择图①时，证明：如图． ． ， 三角形的内角和为． 当选择图②时， 证明：． ， ，三角形的内角和为． 当选择图③时，证明：， ． ， ∴三角形的内角和为．（答案不唯一，选择一种方法证明即可）． 题型12.平行线与内角和问题 39．如图，在五边形中，，，分别平分和，则的度数为________． 【答案】/90度 【分析】根据平行线的性质可得，再根据角平分线的定义求出，最后由三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵，分别平分和， ∴， ∴， ∴． 40．将一个直角三角尺EGF与两边平行的纸条按如图所示的方式放置，其中，点F，E分别落在边，上，与交于点H，若，则的度数为（   ） A．40° B．35° C．30° D．20° 【答案】D 【分析】根据直角三角尺的性质得出，利用平角定义求出的度数，进而求出的度数，最后根据平行线的性质即可得出的度数． 【详解】解：直角三角尺中，，， ， ，点、、在同一直线上， ， ， ， ． 41．如图，，定点，分别在定直线，上，动点不在，，上． (1)当动点位于，之间时，如图②、图③，连接，，，，，之间满足怎样的数量关系？请说明理由； (2)当点在不同的位置时，请画出当，，三个角的其中一个角的度数等于另外两个角的度数之和时的所有示意图，并直接写出相应关系式，第（1）小题的关系式除外． 【答案】(1)或，理由见解析 (2)示意图有四种，见解析；图①和③关系式：， 图②和④关系式： ． 【分析】（1）①如题图②中，结论：．利用平行线的性质得到，利用三角形的内角和定理得到，再根据角度的和差关系解决问题即可．②如题图③中，结论：．利用平行线的性质，利用三角形的内角和定理得到，再根据角度的和差关系解决问题即可． （2）有四种情形，分别画出图形写出结论即可． 【详解】（1）解：第一种情况：如题图②，． 理由：， ， 即． ， ． 第二种情况：如题图③，． 理由：， ． ， ， 即． （2）解：如图，； 如图，； 如图，； 如图，． 【点睛】本题考查平行线的性质，三角形的内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． 题型13.角平分线与内角和问题 42．如图，已知分别平分和， ，则的度数为______． 【答案】 【分析】利用角平分线的定义以及三角形内角和定理求解． 【详解】解：∵分别平分和， ∴， ∵， ∴， ∴． 43．已知和是四边形的对角线，与的角平分线交于点E．设，（其中），则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设与相交于点，与相交于点，由三角形内角和定理并结合对顶角相等可得，，由角平分线的定义可得，，再由计算即可得出结果． 【详解】解：如图，设与相交于点，与相交于点， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵与的角平分线交于点E， ∴，， ∴由可得：． 44．已知在中，射线平分，交边于点，点是射线上一点，若，，直线与的一条边垂直，则的度数为______． 【答案】或或 【分析】分3种情况：①当时，②当时，③当时，分别画出图形，即可求解． 【详解】，，射线平分， ， 当，如图所示，， ； 当，如图所示，， ， ； 当，延长交直线于点，如图所示，， ， ； 在中，， 综上所述，的度数为或或． 45．在中，，点分别在直线上， (1)如图，若的平分线的反向延长线交的延长线于点，，，求的度数； (2)如图，的平分线的反向延长线交的延长线于点，平分，；若，求证； (3)如图，在内部有一点，连接，延长到点，作的平分线交的平分线的反向延长线于点，试探索与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)，理由见解析 【分析】（）先利用平行线和角平分线求出的度数，再通过三角形内角和算出，最后由平行线的同位角相等得到的度数； （）先根据三角形内角和与已知条件推出和的关系，再结合平行线、角平分线得到，证出，最后由推出； （）通过作平行线，结合角平分线定义和平行线性质，设未知数表示相关角，再用三角形内角和定理推导，得出与的数量关系． 【详解】（1）解：， ， ∵平分， ， ∵在中 又， ， ． （2）证明：， 又∵在中， ， 设，则， ， ， 平分， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ． （3）， 理由如下： 过点作，延长至点， ∵平分， ∴设，则， ， ∵平分， ∴设，则， ， ， ， ， ， ， ， 在中， ． 题型14.三角形内角和定理的应用 46．如图，是的高，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形的性质、三角形的内角和定理，掌握平行四边形的性质、三角形的内角和定理是解题的关键． 【详解】解：是的高， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ． 47．如图，已知，点为射线外一点，平分，交于点．若，，，则______°． 【答案】60 【分析】过点H作，根据平行线的性质和角平分线的定义解答即可． 【详解】解：过点H作，设与交于点， ∵， ∴， ∴，， ∴， 又∵平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 48．如图，在中，，点、分别在、边上，连接、，将分别沿和折叠，点落在点处，连接，点恰好落在线段上，记为点，连接．若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，利用折叠性质确定出等相关角的关系，通过角和差的互补关系，推导出，进而表示出以及，在中，利用两锐角互余列出关于的方程，由此求解即可． 【详解】设， 由折叠可知：，， ，， ，， ， ， ，， ，， ， 又， ， ， ， ， 即， ， ． 49．综合与实践 已知，现将一直角三角形放入图中，其中，交于点E，交于点F． (1)当所放位置如图1所示时，猜想与的数量关系，并说明理由； (2)当所放位置如图2所示时，猜想与的数量关系，并说明理由； (3)在（2）的条件下，若与交于点O，且，，求的度数． 【答案】(1)；理由见解析 (2)；理由见解析 (3) 【分析】（1）作，根据平行线的性质得到，，结合解答； （2）根据平行线的性质得到，结合解答； （3）根据平行线的性质、对顶角相等以及三角形的内角和定理求解． 【详解】（1）解：，理由如下： 如图，作，    则， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴. （2）解：； 理由如下：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：如图， ∵， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 题型15.三角形外角的定义与性质 50．一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若摩擦力与重力方向的夹角，则斜面的坡角的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图： 摩擦力 f 与斜面平行， ，, 重力 G 竖直向下， 斜面的坡角为 β，斜面与水平面夹角为 β, ． 51．如图，是中的平分线，是的外角的平分线，如果，则___________． 【答案】 【分析】因为是的平分线，且，所以可求出的度数．因为是的平分线，且，所以可求出的度数，进而得到的度数和的度数，即可计算． 【详解】解：∵是的平分线，， ∴，． ∵是的平分线，， ∴，． 对，， ∴． 对，， ∴． ∴ ． 52．如图，，点在线段上，点在线段上，，，交线段于点，过点作于点．有下列结论：①；②；③若，则；④若，则．其中结论正确的是（   ） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①③④ 【答案】C 【分析】设，过点作，推出，判断①，过点作，推出，利用三角形的外角求出，判断②；根据三角形的内角和，推出，判断③，三角形的内角和定理推出，进而得到，判断④． 【详解】解：设， ∴，， ∴， 过点作，则：， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴；故①正确； 过点作，则：， ∴， ∴， ∵， ∴；故②正确； ∵， ∴， ∴， ∵，故③错误； ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，故④正确； 53．某校七年级数学兴趣小组对“三角形内角或外角平分线的夹角与第三个内角的量关系”进行了探究： (1)如图，在中，与的平分线交于点，，则________； (2)如图，的内角的平分线与的外角的平分线交于点，其中，求的度数． (3)如图，、为的外角，、的平分线交于点，其中．求________（用表示） (4)如图，外角、的平分线交于点，、的平分线交于点，则延长至点，的平分线与的延长线相交于点，则与的数量关系为________． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据三角形内角和定理，可得，再根据角平分线的定义，可得，最后根据三角形内角和定理，即可求解； （2）根据三角形的外角的性质，可得，再根据角平分线的定义，可得，即可求解； （3）根据外角的性质和三角形内角和定理，易得，再根据角平分线的定义和三角形内角和定理，即可得到； （4）同理（1）和（2）可得，，，则． 【详解】（1）解：， ， 与的平分线交于点， ，， ， ； （2）解：， ，即， 的平分线与的平分线交于点， ，， ， ； （3）解：，，， ， 、的平分线交于点， ，， ； （4）解：，理由如下： 、的平分线交于点， 同理（1）可得， 的平分线与的平分线的延长线相交于点， 同理（2）可得， ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03三角形的概念及内角和期末复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.掌握三角形定义、边、角、顶点等基本概念，会分类三角形 2.熟记三角形三边关系定理，理解取值限制条件 3.认识三角形中线、角平分线、高线三种重要线段 4.牢记三角形内角和、外角性质及直角三角形角度特点 1.运用三边关系判断线段能否构成三角形，求边长范围 2.准确画出三角形三类线段，辨析不同三角形高线位置 3.借助内角和、外角性质熟练计算角度大小 4.结合图形梳理边角关联，简单几何推理推导角度 5.分类讨论求解三角形相关边角问题 1.基础题型快速判断三角形类别、线段识别，稳拿基础分 2.熟练完成边长取值、角度计算常规考题 3.规范书写简单几何推理步骤，答题逻辑清晰 4.规避三边范围、钝角三角形高线等常见易错点 5.应对边角综合计算题，提升解题准确率 题型01.三角形的识别与概念 题型02.构成三角形的条件 题型03第三边取值范围 题型04.三边关系的应用 题型05.三角形的分类 题型06.三角形角平分线的定义 题型07.三角形高的画法 题型08.与三角形高有关的计算 题型09.由三角形中线求长度 题型10.由三角形中线求面积 题型11.三角形内角和定理的证明 题型12.平行线与内角和问题 题型13.角平分线与内角和问题 题型14.三角形内角和定理的应用 题型15.三角形外角的定义与性质 知识点01:三角形的定义与表示 定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做三角形。 三要素：顶点、边、内角。 知识点02:三角形的分类 知识点03:三角形的三边关系（重中之重） · 定理：三角形任意两边之和 大于 第三边。 a+b>c,a+c>b,b+c>a) · 推论：任意两边之差 小于 第三边。 |a-b|<c 知识点04三角形的重要线段定义整理 三角形的高线：从三角形的一个顶点向对边作垂线，顶点与垂足之间的线段； 三角形的中线：联结三角形一个顶点与对边中点的线段； 三角形的角平分线：三角形的一个内角的角平分线与对边相交于一点，顶点与交点之间的线段； 三角形的高、中线和角平分线是三角形中三条重要的线段，它们提供了重要的线段或角的关系，为我们以后深入研究三角形的一些特征起着很大的帮助作用，因此，我们需要从不同的角度弄清这三条线段，列表如下： “三线的交点”一个三角形有3条中线.3条角平分线.3条高 知识点05:三角形内角和定理 定义：三角形三个内角的和等于 180°。 如图所示，在△ABC 中，∠A + ∠B + ∠C = 180°。 知识点06:外角的定义及性质： 定义：一边与另一边的延长线组成的角 性质：外角等于与它不相邻的两个内角和；外角大于任何一个不相邻内角 题型01.三角形的识别与概念 1．在中，边的对角是（   ） A． B． C． D． 2．如图，三角形中，，是边上两点，连接，，数一数图中角（小于平角）的个数，一共有________个． 3．如图，将三角形纸片折叠，使点B，C重合，折痕与，分别交于点D、点E，连接，下列是的中线的是（　　） A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 题型02.构成三角形的条件 4．下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ） A．2，3，5 B．3，3，6 C．1，2，4 D．3，4，5 5．如图，在中，有___________（填“”“”或“”），理由是___________，这个结论是由基本事实___________得到的． 6．现有7根木棍，长度（单位：）分别是1，2，3，4，5，6，7．从中取出三根木棍围成三角形，其中最长的边为，另两边的差大于．这样的三角形一共有（   ）个． A．2 B．4 C．6 D．8 题型03第三边取值范围 7．已知一个三角形的两边长分别是和，则它的第三边长不能是（       ） A． B． C． D． 8．已知三角形两边长分别为2和5，且周长为偶数，则第三边的长为_________． 9．若三角形的三边分别为1，，4，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 10．已知的三边长为，，，且，，均为整数． (1)若，，求边长的取值范围： ； (2)在（1）的条件下，若为偶数，求的周长． 题型04.三边关系的应用 11．在中，若，，则的值不可能为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 12．已知a，b，c 是的三边长，化简： _______ 13．现有长为的铁丝，要截成小段（），每段的长度不小于，如果其中任意三小段都不能拼成三角形，则的最大值为（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 14．阅读材料： 若，求、的值． 解：， ， ； 根据你的观察，探究下面的问题： (1)已知，求的值； (2)已知的三边长、、都是正整数，且满足，求边的值； (3)已知，，求的值． 题型05.三角形的分类 15．若一个三角形三条边的长度比是，则这个三角形是（   ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 16．如图为一张藏宝图，有一人想出发寻宝，已知秘密宝藏藏在图中的某个黑点标示的位置．经过调查，秘密宝藏的位置P满足条件：为直角三角形，符合条件的P点的个数为______个． 17．同学们在玩“猜三角形”的游戏，图中被信封遮住的（      ）． A．只能是锐角三角形 B．只能是直角三角形 C．只能是钝角三角形 D．可能是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形 18．已知，，是的三边长． (1)若，则___________，化简：___________．___________． (2)若，，满足，试判断的形状，并说明理由． 题型06.三角形角平分线的定义 19．将三角形纸片按如图所示的方式折叠，则展开后得到的折痕是的（   ） A．边上的高线 B．角平分线 C．边上的中线 D．边上的垂直平分线 20．在三角形中，①中线、②内角平分线、③高，一定在三角形内部的线段是_________．（填序号） 21．如图，的角平分线、中线相交于点，则是的角平分线；是的中线；是的中线；，其中结论正确的有（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 22．如图，在直角三角形中，，点D是上一点，过点D作交于点E，点F是上一点，连接，且．求证：平分． 题型07.三角形高的画法 23．如图，，，，，垂足分别为点，中边上的高是（   ） A． B． C． D． 24．如图，下面是三位同学的折纸示意图，则依次是的____________． 25．如图所示，中边上的高是（    ）    A． B． C． D． 题型08.与三角形高有关的计算 26．如图，在中，是边上的中线，是边上的高．若，，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 27．如图，在中，边上的高为上一点，于点于点，则__________． 28．我们规定，若三角形满足：①各边互不相等且均为整数；②最短边上的高与最长边上的高的比值为整数k，则称此三角形为“比高三角形”，其中k叫作“比高系数”． (1)如图，在中，于点，请判断是否是“比高三角形”．若是，请求出其“比高系数”；若不是，请说明理由； (2)若周长为的是“比高三角形”，且一边长为，则的“比高系数”为______． 题型09.由三角形中线求长度 29．如图，是的中线，已知的周长为比长，则的周长为_____cm． 30．如图，分别是的高、角平分线、中线，则下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 31．如图1，在中，是边上的中线，和的周长之差为2，且与的和为14． (1)求、的长； (2)若，E是的中点，如图2，直接写出的面积． 题型10.由三角形中线求面积 32．如图，是的中线，是的中线，若的面积是12，则的面积是___． 33．如图，的中线相交于点F，若的面积等于12，则的面积等于（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 34．设的面积为1．如图①，，分别是，的中点，，相交于点，与的面积差记为；如图②，，分别是，的3等分点，，相交于点，与的面积差记为；如图③，，分别是，的4等分点，，相交于点，与的面积差记为依此类推，则的值为_____． 35．如图所示，中，点是的中点，，连接、交于点，若面积为，求的面积． 题型11.三角形内角和定理的证明 36．“三角形的内角和为”是《几何原本》中的第五公设的推论，在探究证明这个定理时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是”的是（   ） A． B． C． D． 37．如图，在中，，，点在上且，连结，则________.    38．为了证明“三角形的内角和是”，林老师给出了如图所示四种作辅助线的方法．回答下列问题： (1)能证明“三角形内角和是”的方法是______（请填写序号）； (2)在（1）的正确方法中，任意选择其中一种方法进行证明． 题型12.平行线与内角和问题 39．如图，在五边形中，，，分别平分和，则的度数为________． 40．将一个直角三角尺EGF与两边平行的纸条按如图所示的方式放置，其中，点F，E分别落在边，上，与交于点H，若，则的度数为（   ） A．40° B．35° C．30° D．20° 41．如图，，定点，分别在定直线，上，动点不在，，上． (1)当动点位于，之间时，如图②、图③，连接，，，，，之间满足怎样的数量关系？请说明理由； (2)当点在不同的位置时，请画出当，，三个角的其中一个角的度数等于另外两个角的度数之和时的所有示意图，并直接写出相应关系式，第（1）小题的关系式除外． 题型13.角平分线与内角和问题 42．如图，已知分别平分和， ，则的度数为______． 43．已知和是四边形的对角线，与的角平分线交于点E．设，（其中），则（   ） A． B． C． D． 44．已知在中，射线平分，交边于点，点是射线上一点，若，，直线与的一条边垂直，则的度数为______． 45．在中，，点分别在直线上， (1)如图，若的平分线的反向延长线交的延长线于点，，，求的度数； (2)如图，的平分线的反向延长线交的延长线于点，平分，；若，求证； (3)如图，在内部有一点，连接，延长到点，作的平分线交的平分线的反向延长线于点，试探索与的数量关系，并说明理由． 题型14.三角形内角和定理的应用 46．如图，是的高，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 47．如图，已知，点为射线外一点，平分，交于点．若，，，则______°． 48．如图，在中，，点、分别在、边上，连接、，将分别沿和折叠，点落在点处，连接，点恰好落在线段上，记为点，连接．若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 49．综合与实践 已知，现将一直角三角形放入图中，其中，交于点E，交于点F． (1)当所放位置如图1所示时，猜想与的数量关系，并说明理由； (2)当所放位置如图2所示时，猜想与的数量关系，并说明理由； (3)在（2）的条件下，若与交于点O，且，，求的度数． 题型15.三角形外角的定义与性质 50．一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若摩擦力与重力方向的夹角，则斜面的坡角的度数为（     ） A． B． C． D． 51．如图，是中的平分线，是的外角的平分线，如果，则___________． 52．如图，，点在线段上，点在线段上，，，交线段于点，过点作于点．有下列结论：①；②；③若，则；④若，则．其中结论正确的是（   ） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①③④ 53．某校七年级数学兴趣小组对“三角形内角或外角平分线的夹角与第三个内角的量关系”进行了探究： (1)如图，在中，与的平分线交于点，，则________； (2)如图，的内角的平分线与的外角的平分线交于点，其中，求的度数． (3)如图，、为的外角，、的平分线交于点，其中．求________（用表示） (4)如图，外角、的平分线交于点，、的平分线交于点，则延长至点，的平分线与的延长线相交于点，则与的数量关系为________． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $