专题02 相交线与平行线（期末复习知识清单，8常考题型9易错归因3方法技巧）七年级数学下学期新教材沪教版五四制

专题02 相交线与平行线 考点一、相交线与对顶角 1. 相交线定义：在同一平面内，两条直线相交，有且只有一个公共点，这个公共点叫做交点。 2. 对顶角：两条直线相交形成的，两边互为反向延长线的两个角。 核心性质：对顶角相等（几何计算、证明高频依据）。 考点二、垂线与垂线段 1. 垂直定义：如果两条直线相交成直角（90°），那么这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，交点叫做垂足。 2. 垂线基本性质 性质1：同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。（点可在直线上或直线外） 性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。 3. 点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。 易错提醒：距离是线段的长度（数值），不是垂线段（图形）。 考点三、三线八角 两条直线被第三条直线所截，形成八个角，简称三线八角，分为三类： 1. 同位角：位置在两条被截直线的同一方，截线的同一侧（形状类似字母F）。 2. 内错角：位置在两条被截直线之间，截线的两侧（形状类似字母Z）。 3. 同旁内角：位置在两条被截直线之间，截线的同一侧（形状类似字母U）。 易错提醒：三线八角只看位置关系，与角的大小无关。 考点四、平行线定义与平行公理 1. 平行线定义：同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，记作a∥b。 易错提醒：必须强调“同一平面内”，空间中不相交的直线不一定平行。 2. 平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。 3. 平行公理推论：平行于同一条直线的两条直线互相平行。（若a∥b，b∥c，则a∥c） 考点五、平行线的判定（由角证线） 核心逻辑：已知角的数量关系，推出两直线平行 1. 同位角相等，两直线平行 2. 内错角相等，两直线平行 3. 同旁内角互补，两直线平行 考点六、平行线的性质（由线得角） 核心逻辑：已知两直线平行，推出角的数量关系 1. 两直线平行，同位角相等 2. 两直线平行，内错角相等 3. 两直线平行，同旁内角互补 考点七、命题的概念与结构 1. 命题定义：可以判断真假的陈述句叫做命题。 易错：疑问句、感叹句、祈使句都不是命题。 2. 命题结构：由题设（条件）和结论两部分组成，可改写为“如果……那么……”的形式，“如果”后接题设，“那么”后接结论。 3. 命题分类 真命题：正确的命题；假命题：错误的命题。 判断假命题方法：举出一个反例即可。 考点八、公理、定理与证明 1. 公理：人们长期实践总结出来，不需要证明、公认正确的真命题。 2. 定理：经过推理证实的真命题，可作为推理依据（如对顶角相等、平行线性质等）。 3. 证明：从已知条件出发，依据公理、定理、定义，一步步推理得出结论的完整过程，几何证明需书写规范。 考点九、逆命题 将原命题“如果A，那么B”的题设和结论互换，得到新命题“如果B，那么A”，即为原命题的逆命题。 核心结论：原命题为真，逆命题不一定为真；原命题为假，逆命题不一定为假。 题型一：对顶角概念与角度计算 例1．（23-24七年级下·上海长宁·期末）下列图中，、是对顶角的是（    ） A．  B．  C．   D．   【答案】D 【知识点】对顶角的定义 【分析】本题主要考查了对顶角的定义，熟记对顶角的图形及对顶角的定义有公共顶点并且其中一个角的两边是另一个角的两边的反向延长线的特点是解题的关键． 根据对顶角的定义有公共顶点并且其中一个角的两边是另一个角的两边的反向延长线的特点对各选项分析判断． 【详解】解：A、、没有公共顶点，不是对顶角，不符合题意； B、、的边不是反向延长线所以不是对顶角，不符合题意； C、、没有公共顶点，不是对顶角，不符合题意； D、、是对顶角，符合题意； 故选：D． 例2．（24-25七年级下·上海普陀·期中）已知与是对顶角，且与互余，那么______． 【答案】 【知识点】与余角、补角有关的计算、对顶角的定义、对顶角相等 【分析】本题考查了对顶角、邻补角，余角和补角，熟练掌握这些知识点是解题的关键． 根据对顶角相等得出，再根据互为余角的定义得出，即可求出的度数． 【详解】解：∵与是对顶角， ∴， ∵与互余， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 例3．（24-25七年级上·上海徐汇·期末）如图，直线、相交于E，，垂足为E．当时，________． 【答案】/57度 【知识点】求一个角的余角、垂线的定义理解、对顶角相等 【分析】根据垂直的定义求出，可得的度数，再根据对顶角相等即可得出答案． 本题考查了垂线，对顶角，熟练掌握垂直的定义，对顶角的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 变式1．（23-24七年级下·上海闵行·期中）如图，，与互余，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】对顶角相等、与余角、补角有关的计算 【分析】本题主要考查余角和补角．利用对顶角的定义及邻补角的定义即可求得的度数． 【详解】解：如图，， ∵与互余， ∴与互余， ∵， ∴． 故选：B． 变式2．（25-26七年级下·上海·期中）小强和小丽一起玩跷跷板，如图，横板绕中心O上下转动．当小强从A运动到的位置时，，则的度数为_________．    【答案】/45度 【知识点】对顶角相等 【分析】根据对顶角相等即可解答． 【详解】解：由题意可得． 变式3．（24-25七年级下·上海金山·期中）如图，如果，与互余，那么的度数是______． 【答案】 【知识点】同(等)角的余(补)角相等的应用、对顶角相等 【分析】本题考查了余角的定义及等角的余角相等，对顶角相等，属于基础题，计算过程中细心即可． 根据余角的定义及等角的余角相等，对顶角相等，即可求解． 【详解】解：∵与互余， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 变式4．（25-26七年级下·上海·期中）如图，直线，相交于点，，垂足为，若，求的度数． 【答案】 【知识点】垂线的定义理解、对顶角相等、几何图形中角度计算问题 【分析】根据得到，结合得到，最后根据对顶角相等即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型二：垂线与点到直线的距离 例4．（24-25七年级下·上海普陀·期末）如图，在同一平面上，如果直线垂直于直线，直线垂直于直线，垂足为点，那么直线与直线重合的理由是（   ） A．垂线段相等 B．两点确定一条直线 C．在同一平面上，已知直线的垂线只有一条 D．在同一平面上，经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线 【答案】D 【知识点】画垂线 【分析】本题考查了垂线的定义，直接利用垂线的性质：在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，进而判断得出答案，掌握垂线的定义是解题的关键． 【详解】解：在同一平面内，，，垂足为，则直线和直线重合的理由是：同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直， 故选：． 例5．（23-24七年级下·上海浦东新·期末）如图，点A到直线BC的距离是线段 _____的长度． 【答案】AE 【知识点】点到直线的距离、垂线段最短 【分析】根据点到直线的距离—点到直线的距离，垂线段最短，可求出答案． 【详解】解：∵AE⊥BC，垂足为E， ∴点A到直线BC的距离是线段AE的长度． 故答案为：AE． 【点睛】本题主要考查了点到直线的距离的意义，解题的关键是熟练掌握点到直线的距离的意义． 变式1．（22-23七年级下·上海杨浦·期末）如图，在中，，D是边上一点，且，下列说法中，错误的是（    ）    A．直线与直线的夹角为60° B．直线与直线的夹角为90° C．线段的长是点D到直线的距离 D．线段的长是点B到直线的距离 【答案】D 【知识点】点到直线的距离 【分析】根据已知角即可判断A、B；根据点到直线的距离的定义即可判断C、D． 【详解】A、， 直线与直线的夹角是60度，正确，故本选项不符合题意 B、 直线与直线的夹角是90度，正确，故本选项不符合题意 C、 线段的长是点D到直线的距离，正确，故本选项不符合题意 D、不相互垂直， 线段的长不是点B到直线的距离，错误，故本选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了点到直线的距离和两直线的夹角，熟练掌握点到直线的距离与两直线的夹角的定义是解题的关键． 变式2．（2024七年级下·上海奉贤·期末）如图，在△ABC中，∠C＝90，D是边BC上一点，且∠ADC＝60，那么下列说法中错误的是（　　） A．直线AD与直线BC的夹角为60 B．直线AC与直线BC的夹角为90 C．线段CD的长是点D到直线AC的距离 D．线段AB的长是点B到直线AD的距离 【答案】D 【知识点】点到直线的距离、相交线 【分析】根据已知角即可判断A、B；根据点到直线的距离的定义即可判断C、D． 【详解】解：A、∵∠CDA＝60， ∴直线AD与直线BC的夹角是60，正确，故不符合题意； B、∵∠ACD＝90， ∴直线AC与直线BC的夹角是90，正确，故不符合题意； C、∵∠ACD＝90， ∴DC⊥AC， ∴线段CD的长是点D到直线AC的距离，正确，故不符合题意； D、∵BD和AD不垂直， ∴线段AB的长不是点B到直线AD的距离，错误，故本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了点到直线的距离，以及直线与直线的夹角，注意：点到直线的距离是指该点到直线的垂线段的长． 变式3．（24-25七年级下·上海松江·期末）如图，在中，，，那么点到直线的距离是线段________的长度． 【答案】/ 【知识点】点到直线的距离 【分析】本题考查了点到直线的距离，根据点到直线的距离，即可解答． 【详解】解：∵，垂足为点D， ∴点到直线的距离是线段的长， 故答案为：． 变式4．（23-24七年级下·上海·期末）如图，在△ABC，AD⊥BC，垂足为点D，那么点B到直线AD的距离是线段_____的长度． 【答案】BD/DB 【知识点】点到直线的距离 【分析】根据点到直线的距离的概念进行判断，直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离． 【详解】解：∵AD⊥BD于D， ∴点B到直线AD的距离是线段BD的长， 故答案为：BD． 【点睛】本题主要考查了点到直线的距离，解题时注意：点到直线的距离是垂线段的长度，而不是垂线段． 题型三：三线八角识别 例6．（23-24七年级下·上海杨浦·期末）如图，下列说法中，错误的是（    ） A．与是同位角 B．与是同位角 C．与是内错角 D．与是内错角 【答案】B 【知识点】同位角、内错角、同旁内角 【分析】本题考查三线八角，涉及三线八角定义及图形，根据定义及图形逐项验证即可得到答案，熟记三线八角定义、识别图形是解决问题的关键． 【详解】解：A、与是同位角，说法正确，不符合题意； B、与是同位角，说法错误，符合题意； C、与是内错角，说法正确，不符合题意； D、与是内错角，说法正确，不符合题意； 故选：B． 例7．（24-25七年级下·上海宝山·期末）凸六边形共有_______组同旁内角． 【答案】6 【知识点】同位角、内错角、同旁内角 【分析】两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角，由此即可得到答案． 【详解】解：图中同旁内角有和，和，和，和，和，和，共有6对． 故答案为：6． 【点睛】本题考查同旁内角，关键是掌握同旁内角的定义． 变式1．（23-24七年级下·上海普陀·期末）如图，与位置关系为同旁内角的角是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】同位角、内错角、同旁内角 【分析】根据同旁内角的定义判断即可．同旁内角在截线的同旁，在被截直线的内侧．熟练掌握同旁内角的特征是解题的关键． 【详解】解：A、与是同位角，故不符合题意； B、与既不是同位角，也不是内错角，也不是同旁内角，故不符合题意； C、与是同位角，故不符合题意； D、与同旁内角，故符合题意； 故选：D． 变式2．（22-23七年级下·上海嘉定·期末）如图，以下说法正确的是（   ）    A．和是同位角 B．和是同位角 C．和是内错角 D．和是同旁内角 【答案】D 【知识点】同位角、内错角、同旁内角 【分析】根据同位角，内错角，同旁内角的定义，逐一判断即可解答． 【详解】解：、和不是同位角，不是内错角，也不是同旁内角，故A不符合题意； B、和是同位角，故B不符合题意； C、和是内错角，故C不符合题意； D、和是同旁内角，故D符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了同位角，内错角，同旁内角的识别，熟练掌握同位角，内错角，同旁内角的定义是解题的关键． 变式3．（24-25七年级下·上海松江·期末）如图，下列结论：①与是内错角；②与是同位角；③与是同旁内角，其中正确的有________（只填序号）． 【答案】①②③ 【知识点】同位角、内错角、同旁内角 【分析】本题主要考查了内错角、同位角及同旁内角的判断，熟练掌握相关概念是解题关键． 根据内错角、同位角及同旁内角的性质逐一判断即可． 【详解】解：与是内错角，①正确； 与是同位角，②正确； 与是同旁内角，③正确； 故答案为：①②③． 题型四：平行线的判定证明 例8．（24-25七年级下·上海青浦·期末）如图，下列能判断的条件是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据平行线判定与性质证明 【分析】本题考查平行线的判定，掌握平行线的判定定理，关键在于找准两个角之间的位置关系． 先确定两角的位置关系，再直接利用平行线的判定进行逐一判断即可． 【详解】解：A、，这两个角不是同位角、内错角或同旁内角的关系，不能判定． B、，此时可判定（内错角相等，两直线平行），不能判定． C、与是内错角，根据“内错角相等，两直线平行”，可以判定． D、，不能判定． ∴能判断的条件是， 故选：C． 例9．（24-25七年级下·上海金山·期末）给定如图所示的图形（不再添线），点在的延长线上，请添加一个条件________作为已知条件，通过推理能得到（只需填写一个满足的条件）    【答案】（或或或） 【知识点】内错角相等两直线平行、同旁内角互补两直线平行、同位角相等两直线平行 【分析】本题考查了平行线的判定定理，根据平行线的判定定理，结合图形，即可求解． 【详解】解：∵ ∴； ∵， ∴； ∵或 ∴； 故答案为：（或或或）． 例10．（24-25七年级下·上海闵行·期末）如图，直线与直线分别相交于点． 请你从①；②；③中选择其中两个作为已知条件，剩下的一个作为结论，组成一个真命题，并进行证明． 你选择作为已知条件的是：_______，作为结论的是_______．（填序号） 证明： 【答案】①②，③，证明见解析 【知识点】同位角相等两直线平行 【分析】本题考查平行线的判定，选择①②作为条件，③作为结论，由垂直定义得到，再由平行线的判定即可得证，熟记同位角相等，两直线平行是解决问题的关键． 【详解】解：你选择作为已知条件的是：①②，作为结论的是：③． 证明：，， ， （同位角相等，两直线平行）， 故答案为：①②，③． 例11．（24-25七年级下·上海浦东新·期末）完成下列证明： 已知：，，求证：． 证明：①　　， 又， ∴， ②　　③　　． ∴④　　⑤　　． （已知）， ∴． ⑥　　． 【答案】①对顶角相等②③同位角相等，两直线平行④⑤两直线平行，同旁内角互补⑥内错角相等，两直线平行 【知识点】根据平行线判定与性质证明 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．根据平行线的判定和性质，补齐各步骤的结论和推理依据即可． 【详解】证明：对顶角相等）， 又， ， （同位角相等，两直线平行）， 两直线平行，同旁内角互补）， （已知）， ， 内错角相等，两直线平行）． 故答案为：①对顶角相等；②；③同位角相等，两直线平行；④；⑤两直线平行，同旁内角互补；⑥内错角相等，两直线平行． 变式1．（23-24七年级下·上海·阶段检测）如图，在下列条件中，不能说明的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据平行线判定与性质证明 【分析】本题考查了平行线的判定；正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键，利用平行线的判定定理，逐一判断即可得出结论． 【详解】解：、， （同位角相等，两直线平行），故能判定； 、， （内错角相等，两直线平行），故能判定； 、， （同位角相等，两直线平行），故不能判定； 、， （同旁内角互补，两直线平行），故能判定； 故选：C． 变式2．（22-23七年级下·上海闵行·期末）已知：如图，，三角尺的直角顶点在直线b上，，的度数为______．    【答案】/41度 【知识点】两直线平行同位角相等 【分析】根据两直线平行同位角相等求出，再根据即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：．    【点睛】此题考查了平行线的性质：两直线平行，同位角相等，熟记平行线的性质是解题的关键． 变式3．（24-25七年级下·上海普陀·期中）如图，已知：平分，平分，，求证：． 证明：∵， ∴____________，（______）． ∴______，（______）， ∵平分，平分， ∴，∠______． ∴． ∴． 【答案】；；同旁内角互补，两直线平行；；两直线平行，同位角相等； 【知识点】根据平行线判定与性质证明 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义．根据平行线的判定和性质，补齐各步骤的结论和推理依据，即可得到结果． 【详解】证明：∵， ∴，（同旁内角互补，两直线平行）． ∴，（两直线平行，同位角相等）， ∵平分，平分， ∴，． ∴． ∴． 故答案为：；；同旁内角互补，两直线平行；；两直线平行，同位角相等；． 变式4．（24-25七年级下·上海虹口·期末）已知：如图，中，于点D，于点G，线段，点E、A、C在同一直线上，求证：平分．请把以下证明过程补充完整． 证明：∵于点D，于点G， ∴ ∴（_______） ∴______（_________）， _________（________） ∵， ∴______（________） ∴，即平分． 【答案】见解析 【知识点】根据平行线判定与性质证明 【分析】根据平行线的判定和性质，等腰三角形性质，角的平分线定义证明即可． 本题考查了平行线的判定和性质，等腰三角形性质，角的平分线定义，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 【详解】证明：∵于点D，于点G， ∴ ∴（同位角相等，两直线平行） ∴（两直线平行，同位角相等）， （两直线平行，内错角相等） ∵， ∴（等边对等角） ∴，即平分． 故答案为：同位角相等，两直线平行；；两直线平行，同位角相等；；两直线平行，内错角相等；；等边对等角． 题型五：平行线的性质角度计算 例12．（25-26七年级上·上海浦东新·期末）如图，直线，直线与相交，若，则的度数是 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】两直线平行同位角相等、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查了平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键. 根据两直线平行同位角相等的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 例13．（24-25七年级下·上海·期末）如图，直线，将三角板的直角顶点放在直线上，如果，那么的度数是______． 【答案】 【知识点】三角板中角度计算问题、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查了平行线的性质，由，则，然后通过即可求解，熟练掌握两直线平行，同位角相等是解题的关键． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 例14．（24-25七年级下·上海青浦·期末）如图，已知，求的度数． 【答案】 【知识点】根据平行线判定与性质求角度 【分析】本题考查平行线的判定与性质，根据得出，结合已知可得，即可证明，根据平行线的性质，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 又∵， ∴． 例15．（23-24七年级下·上海宝山·期末）如图，直线、相交于点，根据下列语句画图并解答： (1)过点画出，交于点； (2)过点画出，垂足为点； (3)如果，那么 ．（直接写出结果） 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3)62 【知识点】画垂线、用直尺、三角板画平行线、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查平行线、垂线的作法，平行线的性质： （1）根据平行线的定义作图； （2）根据垂线的定义作图； （3）根据平行线的性质求解． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求； （3）解：， ， ， ， 故答案为：62． 变式1．（23-24七年级下·上海·期末）如图，，，，那么的度数是（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】垂线的定义理解、根据平行线判定与性质求角度 【分析】本题考查了垂线的定义、平行线的判定与性质，由垂线的定义得出，再由平行线的判定与性质得出，即可得出答案． 【详解】解：如图： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 变式2．（24-25七年级下·上海松江·期末）如图，已知，，，那么__________． 【答案】138 【知识点】根据平行线判定与性质求角度、对顶角相等 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．根据平行线的判定和性质，易得，则，得到，再根据对顶角相等，得到结果． 【详解】解：如图， ，， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 变式3．（23-24七年级下·上海嘉定·期末）如图，已知，，那么_____度．    【答案】 【知识点】根据平行线判定与性质求角度 【分析】由邻补角的定义可得，从而可，即可判定，则有，再由对顶角相等可求． 【详解】解：如图，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查平行线的判定与性质，解答的关键是熟记平行线的判定条件与性质并灵活运用． 变式4．（23-24七年级下·上海长宁·期末）如图， 已知，，，试求的度数．    【答案】 【知识点】两直线平行同位角相等、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查了平行线的性质，解题的关键是掌握两直线平行，同位角相等． 根据得出，再根据，即可得出，即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 变式5．（24-25七年级下·上海松江·期末）在学习“相交线与平行线”一章时，小新同学所在的小组制作了如图①所示的潜望镜模型并且观察成功．大家结合实践活动更好地理解了潜望镜的工作原理．图②中，、代表镜子摆放的位置，动手制作模型时，应该保证与平行，已知光线经过镜子反射时，，，若，求的度数． 【答案】 【知识点】根据平行线判定与性质求角度 【分析】本题主要考查平行线的判定和性质，根据平行线的性质可得到，结合条件可求得，再利用平行线的判定可证明，由垂线的性质得出答案． 【详解】解：∵， ， ， ， ，即， ， ， ， ， ． 题型六：平行线拐点综合题（辅助线法） 例16．（24-25七年级下·上海宝山·期末）如图，，，用和表示，_______． 【答案】 【知识点】根据平行线的性质探究角的关系、平行公理的应用、两直线平行内错角相等 【分析】本题考查了平行线的性质，作，，则，由平行线的性质可得，，，再结合几何图形分析即可得解，熟练掌握平行线的性质是解此题的关键． 【详解】解：如图，作，， ∵， ∴， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 例17．（25-26七年级下·上海·期中）已知，与的角平分线相交于点F，、相交于点M． (1)如图①，若，求的度数； (2)如图②，若，，，求的度数； (3)若，，请直接写出与之间的数量关系． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、根据平行线的性质探究角的关系 【分析】（1）过点E向左侧作，过点F向右侧作，先根据平行线的判定与性质证明，得到，所以，再根据平行线的判定与性质，可得即得答案； （2）类似于（1）的思路，即可求解； （3）类似于（2）的思路，，即可求解． 【详解】（1）解：过点E向左侧作，过点F向右侧作， ， ， ， ， ， 即， ， 与的角平分线相交于点F， ，， ， ， ， ， ， ， ， 即； （2）解：当时， 由（1）知， ，， ， 由（1）可知，； （3）解： 由（2）知，当时， ， ，， ， ， ， 即． 【点睛】解题时要注意三个小题的解答思路具有关联性． 例18．（25-26七年级下·上海·期中）在综合探究课堂上我们学习了平行线的性质，平行线具有“等角转化”的功能，“三线八角”图是研究平行线性质的“基本图形”． (1)阅读理解：如图1，，点、分别为直线、上的点，点为平行线间一点，猜想、与之间的关系，并说明理由．阅读并补充下面推理过程： 解：，理由如下： 过点作， ∴， ∵ ∴（ ） ∴ ∴（等量代换） ∴． (2)方法运用：如图2，，猜想、与之间的关系，并说明理由： (3)深化拓展：如图3，，、的角平分线相交于点， ①过点E、F作射线、交于点G，若，求的度数； ②若，请直接写出的度数 ． （用含、的代数式表示） 【答案】(1)平行于同一直线的两直线平行， (2)，见解析 (3)①42°；② 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线判定与性质证明、平行公理推论的应用 【分析】（1）根据平行线的性质与判定条件结合已给推理过程求解即可； （2）同理可得，由平角的定义可得，则； （3）①根据（2）的结论得到，再由角平分线的定义和角之间的关系得到，，则；②仿照①求解即可． 【详解】（1）解：，理由如下： 如图， 过点作， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∵， ∴（平行于同一直线的两直线平行）， ∴， ∴（等量代换） ∴． （2）解：猜想，理由如下： 同理可得， ∵， ∴， ∴； （3）解：①同理可得， ∵， ∴， ∵与的角平分线相交于点Q， ∴， ∵，， ∴，， ∴； ②如图 ∵，， ∴， ∵与的角平分线相交于点Q， ∴， ∵，， ∴，， ∴． 例19．（24-25七年级下·上海闵行·阶段检测）（1）问题：如图（1），若，，，求的度数． （2）问题迁移：如图（2），，点在的上方，问：、、之间有何数量关系?请说明理由． （3）联想拓展：如图（3），在（2）的条件下，已知，的平分线和的平分线相交于点，用含有的式子表示的度数．（直接写答案） 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3） 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、根据平行线的性质探究角的关系 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． （1）过点作，可得．再由，可得，即可求解； （2）过点作，可得，再由，可得，从而得到，即可求解； （3）过点作的平行线．可得，进而得到，，再由的平分线和的平分线交于点，可得，，再由（2）得：，可得，即可求解． 【详解】解：如图，过点作， ． ∵， ∴， ． ， ． ，即． （2），理由如下： 如图，过点作， ， ∵， ∴， ， ， ， ， （3）如图，过点作的平行线． ∵，， ∴， ，， 又的平分线和的平分线交于点， ，， 由（2）得：， ， ． 即． 变式1．（24-25七年级下·上海静安·期末）如图，已知，，，那么______． 【答案】/75度 【知识点】根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查平行线的性质，延长交于点，根据平行线的性质，得到，根据三角形的内角和为180度，进行求解即可． 【详解】解：延长交于点， ∵， ∴， ∵，， ∴； 故答案为： 变式2．（24-25七年级下·上海崇明·期末）如图，，点位于两平行线之间且在点、的右侧，分别作和的平分线交于点，再分别作和的平分线交于点设的度数是，则的度数用表示为___________．    【答案】 【知识点】用代数式表示数、图形的规律、角平分线的有关计算、根据平行线的性质探究角的关系 【分析】本题考查了图形的变化规律、角平分线定义、平行线性质，熟练掌握以上知识点是关键．过点作，利用平行线性质得到，进而得到，同理可得，…依此类推得到，即可解答． 【详解】解：如图，过点作，    ∵， ∴， ∵，， ∵， ∴， ∴， ∵和的平分线交于点， ∴同理可得， ∴， ∵， ∴， 同理，， …… 依此类推，． ∴的度数用表示为． 故答案为：． 变式3．（22-23七年级下·上海浦东新·期末）如图，灯A射线自顺时针旋转至便立即回转至原位置，灯B射线自顺时针旋转至便立即回转至原位置，两灯不停交叉照射巡视．若灯A、灯B每秒分别转动、，且a，b满足．已知，且． (1)求a，b的值； (2)如果两灯同时转动，在灯A射线第一次转到之前，两灯射出的光线交于点C，且，求的度数； (3)如果灯B射线先转动20秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达之前，A灯转动几秒．两灯的光线互相平行？ 【答案】(1)， (2) (3)或 【知识点】根据平行线判定与性质求角度、绝对值非负性 【分析】（1）由非负数的性质即可得出结果； （2）如图1，过点作，可得，设两灯转动时间为秒，则，，根据角的和差关系得到关于的方程，解方程即可求解； （3）设灯转动秒，两灯的光束互相平行，分两种情况：①在灯射线到达之前；②在灯射线到达之后；进行讨论即可求解． 【详解】（1）解： ， ，， 解得：，； （2）解：如图，过点作，   ， ， 设两灯转动时间为秒，则，， ， ，， ， ， 解得， ， ； （3）解：设灯转动秒，两灯的光束互相平行， ①如图，   ， ， ， ， ， 在灯射线到达之前，由题意得：， 解得：； ②如图，   ， ， ， ， ， 在灯射线到达之后，由题意得：， 解得：． 综上所述，灯转动10秒或85秒时，两灯的光束互相平行． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质、非负数的性质、解方程等知识；熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． 变式4．（2024七年级下·上海·期中）已知，点为平面内的一点，． (1)当点在如图①的位置时，求与的数量关系． 解： ．（根据如图填射线的画法） 因为， 所以 （ ）． 所以（两直线平行，内错角相等）； （请继续完成接下去的说理过程） (2)当点在如图②的位置时，与的数量关系是 （直接写出答案）； (3)在（2）的条件下，如图③，过点作，垂足为点，与的平分线分别交射线于点、，回答下列问题（直接写出答案）：图中与相等的角是 ， 度． 【答案】(1)过点作；；；；如果一条直线和两条平行线中的一条平行，那么它和另一条也平行；见解析 (2) (3)，45 【知识点】根据平行线判定与性质证明、角平分线的有关计算 【分析】（1）过点作，先根据平行线的判定与性质可得，，再根据角的和差、等量代换即可得出结论； （2）过点作，先根据平行线的判定与性质可得，，再根据、角的和差即可得出结论； （3）过点作，先根据平行线的判定与性质可得，从而可得，再结合（2）的结论可得，然后根据角平分线的定义可得，最后根据即可得出答案 【详解】（1）解：如图①，过点作， ， （如果一条直线和两条平行线中的一条平行，那么它和另一条也平行）． ． ， ． ． ， ． ． （2）解：如图②，过点作， ． ， ． ． ， ． ． ． 故答案为：． （3）解：如图③，过点作， ， ， ． ， ， ． ． ， 由（2）已得：， ； 平分， ． 平分， ． ， 故答案为：，45． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义等知识点，通过作辅助线，构造平行线是解题关键． 变式5．（24-25七年级下·上海闵行·期中）如图，，现将一块含的三角板按如图1放置，，，使点、分别在直线、上，设． (1)求的度数； (2)如果的角平分线交直线于点，如图2． ①当时，求的度数； ②在①的条件下，如果点是射线上的一点，将三角板绕着点以每秒的速度进行顺时针旋转，同时射线绕着点以每秒的速度进行顺时针旋转，射线旋转一周后停止转动，同时三角板也停止转动．当旋转多少时间时，与的一边平行？ 【答案】(1) (2)①；②当旋转20秒或40秒或50秒或80秒时，与的一边平行． 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查了平行线的性质，一元一次方程的应用，添加辅助线是解题的关键，第3问是动点问题，找到模型即可解答． （1）先作辅助线构造平行，然后根据平行线的性质即可解答； （2）①利用两次平行线的性质，找到等量关系，②动点问题，先把图形画出来，然后数形结合找到角之间的数量关系，列出方程，从而求出t． 【详解】（1）解：如图1，过点G，作， ， ， ，， ， ； （2）解：①， ， 平分， ， 又， ，， ， 解得； 【点睛】②如图2，当时，延长至点Q， ， ， ， ， 由题意知，， 由①得， ， 解得：； 当时， ， 由题意知得， ∴， 解得； 如图4，当时，延长交于点T，过点作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：； 如图4，当（第二次）时， 则， ∴， 解得：； 综上，当旋转20秒或40秒或50秒或80秒时，与的一边平行． 题型七：命题真假判断与逆命题改写 例20．（24-25七年级下·上海·期末）下列命题中，真命题是（ ） A．真命题的逆命题一定是真命题 B．两边分别平行的两个角相等 C．等角的余角相等 D．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 【答案】C 【知识点】判断命题真假、同(等)角的余(补)角相等的应用、平行公理的应用、判断是否为互逆命题 【分析】本题考查了命题的判断，根据逆命题、平行线的性质，平行公理，等角的余角相等，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：A. 真命题的逆命题不一定是真命题，故该选项不符合题意； B. 两边分别平行的两个角相等或互补，原命题是假命题，故该选项不符合题意； C. 等角的余角相等，故该选项符合题意； D. 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故该选项不符合题意； 故选：C． 例21．（25-26七年级上·上海·期末）下列命题中，判断错误的是（   ） A．所有定理都有逆命题 B．对顶角相等的逆命题是真命题 C．假命题的逆命题不一定是假命题 D．两条平行线被第三条直线所截，内错角的平分线互相平行 【答案】B 【知识点】写出命题的逆命题、判断命题真假、举例说明假（真）命题 【分析】本题考查命题、逆命题的定义及真假判断，解题关键是明确每个命题的逆命题，并判断其真假． 【详解】解：选项A：任何命题都有逆命题，定理属于命题，因此定理都有逆命题，该判断正确； 选项B：“对顶角相等”的逆命题是“相等的角是对顶角”，相等的角不一定是对顶角(如两直线平行时的同位角)，因此逆命题是假命题，该判断错误； 选项C：假命题的逆命题可能为真，也可能为假，例如假命题“若，则”的逆命题“若，则”也是假命题；而假命题“相等的角是对顶角”的逆命题“对顶角相等”是真命题，因此该判断正确． 选项D：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，其角平分线分得的角也相等，可推出两条角平分线的内错角相等，故角平分线互相平行，该判断正确． 因此，判断错误的是选项B． 故选：B． 例22．（24-25七年级下·上海·期中）命题“互余的两个角都是锐角”的逆命题是___________．（用“如果…那么…”的形式写出）． 【答案】如果两个角都是锐角，那么这两个角互余 【知识点】写出命题的逆命题 【分析】本题考查了命题的逆命题．根据逆命题的定义，将原命题的条件和结论互换即可解答． 【详解】解：命题“互余的两个角都是锐角”的逆命题是“如果两个角都是锐角，那么这两个角互余”． 故答案为：如果两个角都是锐角，那么这两个角互余． 例23．（25-26七年级下·上海·期中）分析三个命题的逆命题：①如果两个实数都是正数，那么它们的积是正数；②两直线平行，内错角相等；③直角三角形有两个内角为锐角．逆命题为真命题的是：________（填写序号）． 【答案】② 【知识点】判断命题真假、内错角相等两直线平行、写出命题的逆命题 【详解】解：①逆命题为如果两个实数的积是正数，那么这两个实数都是正数，两个负数的积也为正数，因此该逆命题是假命题； ②逆命题为内错角相等，两直线平行，因此该逆命题是真命题； ③逆命题为如果一个三角形有两个内角为锐角，那么这个三角形是直角三角形，锐角三角形中有三个锐角，也包含两个锐角，因此该逆命题是假命题． 变式1．（24-25七年级下·上海·期中）下列命题中，真命题的个数有（    ） ①两直线平行，同旁内角相等；②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【知识点】垂线的定义理解、根据平行线判定与性质证明、判断命题真假 【分析】本题主要考查了判断命题真假，平行线的性质与判定，垂线的定义，根据平行线的性质与判定定理可判断①③④，由垂线的定义可判断②． 【详解】解：①两直线平行，同旁内角互补，原命题是假命题； ②同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，原命题是假命题； ③过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，原命题是假命题； ④在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，原命题是真命题． ∴真命题有1个， 故选：A． 变式2．（24-25七年级下·上海松江·期末）在中，有下列四个命题： ①如果，那么；    ②如果，那么； ③如果，那么；    ④如果，那么． 其中，真命题的个数有（   ）． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【知识点】等边对等角、判断命题真假 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质及边角关系定理；根据等腰三角形的性质及边角关系定理逐一判断四个命题的真假即可． 【详解】解：命题①：若，则为等腰三角形，∴底角，故正确． 命题②：若，由等角对等边可知，故正确． 命题③：若，根据大边对大角定理，对的角大于对的角，故正确． 命题④：若，根据大角对大边定理，对的边大于对的边，故正确． 综上，四个命题均为真； 故选：A． 变式3．（24-25七年级下·上海金山·期末）将命题“在三角形中，大边对大角”改写成“如果……，那么……”的形式是________． 【答案】如果一个三角形中一边大于另一边，那么该边所对的角大于另一边所对的角 【知识点】写出命题的题设与结论 【分析】本题主要考查的知识点是如何将原命题写成条件与结论的形式，“如果”后面是命题的条件，“那么”后面是条件的结论，解题关键是找到命题中相应的条件和结论．命题中的条件是一个三角形中一边大于另一边，放在“如果”的后面，结论是该边所对的角大于另一边所对的角，应放在“那么”的后面． 【详解】解：如果一个三角形中一边大于另一边，那么该边所对的角大于另一边所对的角 故答案为：如果一个三角形中一边大于另一边，那么该边所对的角大于另一边所对的角． 变式4．（25-26七年级下·上海·期中）“如果两个角相等，那么它们是对顶角”的逆命题是________（填“真”或“假”）命题． 【答案】真 【知识点】判断命题真假、写出命题的逆命题 【分析】先交换原命题的题设与结论得到逆命题，再根据对顶角的性质判断逆命题的真假． 【详解】解：原命题的逆命题为：如果两个角是对顶角，那么它们相等； 根据对顶角相等可知，该逆命题是真命题． 变式5．（24-25七年级下·上海普陀·期末）用反证法证明：在三角形中，大角对大边． 如图，已知：在中，． 求证：． 证明：假设， ________（___________）． 假设________， ________（___________）． （完成以下说理过程） 【答案】见解析 【知识点】用反证法证明命题 【分析】本题考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 利用等腰三角形的性质和大边对大角进行分析作答． 【详解】证明：假设， （等边对等角）． 假设， （大边对大角）． 上述无论哪种情况，都与已知矛盾，所以假设不成立． ． 题型八：几何规范证明大题 例24．（25-26七年级下·上海普陀·期中）如图，已知：，，垂足分别为、，． (1)求证：； (2)如果，平分，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)． 【知识点】根据平行线判定与性质证明、根据平行线判定与性质求角度 【分析】（1）先证明，利用等角的补角相等求得，利用内错角相等两直线平行证明； （2）利用平分线的性质求解即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 变式1．（24-25七年级下·上海闵行·阶段检测）如图，在四边形中，，平分，交于点，是延长线上一点，连接，交于点，已知． (1)证明：； (2)证明：； (3)若，试说明与的位置关系． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)，证明见解析 【知识点】根据平行线判定与性质证明、角平分线的有关计算 【分析】本题考查平行线的判定与性质，角平分线的定义，平角，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． （1）利用，得，利用平分，得，即可证明； （2）利用，得，再结合，得，即可证明； （3）利用，得，结合，得，可得，再利用，得，即可证明． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 变式2．（24-25七年级下·上海杨浦·期中）如图1，直线，直线、及直线把平面分成①、②、③、④、⑤、⑥六个部分．点P是其中的一个动点，连接、，观察、、三个角．规定：直线、、上的各点不属于①、②、③、④、⑤、⑥六个部分中的任何一个部分． (1)当动点P落在第①部分时，求证：． (2)探究：当动点P落在第②、③、⑤部分时，、、之间的关系是怎样的？请直接写出、、之间满足的关系式，不必说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)当动点P落在第②部分时，， 当动点P落在第③部分时，， 当动点P落在第⑤部分时，． 【知识点】根据平行线的性质探究角的关系、平行公理的应用 【分析】本题考查了平行线的性质，平行公理的应用，熟记性质并灵活运用是解题的关键，两直线平行，同位角相等，同旁内角互补，内错角相等． （1）首先过点作的平行线，交于点，进而利用平行线的性质得出即可； （2）当动点P落在第②部分时，首先过点作的平行线，交于点，进而利用平行线的性质得出即可；当动点P落在第③部分时，过点向右作，根据平行公理可得，然后根据两直线平行，同旁内角互补用表示出，用表示出，然后结合图形整理即可得解．当动点P落在第⑤部分时，如图， 过点向右作，则，，进一步解答即可． 【详解】（1）解：如图，过点作，交于点， ，， ， ，， ； （2）解：当动点P落在第②部分时，，理由如下： 如图，过点作的平行线，交于点， ， ， ，， ； ； 如图，当动点P落在第③部分时，，理由如下： 过点向右作，则， ， ， ， ， ． 如图，当动点P落在第⑤部分时，，理由如下： 过点向右作，则， ， ， ， ， ． 易错点1：对顶角概念混淆（相等的角≠对顶角） 核心错因：学生默认“角相等即为对顶角”，忽略对顶角必须满足公共顶点、两边互为反向延长线的核心条件。对顶角一定相等，但相等的角不一定是对顶角。 1．下列各图中，与是对顶角的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如果一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，且这两个角有公共顶点，那么这两个角是对顶角，根据对顶角的定义逐项判断即可得到答案． 【详解】解：对于A选项：和有一条公共边，另一条边互为反向延长线，是邻补角，不是对顶角，不符合题意； 对于B选项：和没有公共顶点，不是对顶角，不符合题意； 对于C选项：和的两边互为反向延长线，有公共顶点，是对顶角，符合题意； 对于D选项：和有公共顶点，但两边不是互为反向延长线，不是对顶角，不符合题意． 易错点2：混淆点到直线的距离与垂线段 核心错因：概念理解模糊，将几何图形（垂线段）和数值长度（距离）混为一谈。 2．点P为直线l外一点，点A，B，C为直线l上三点，，则点P到直线l的距离（　　） A．大于等于 B．大于且小于 C．等于 D．小于等于 【答案】D 【分析】本题考查了点到直线的距离的定义，能熟记点到直线的距离的定义的内容是解此题的关键，注意：从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫点到直线的距离．根据垂线段最短和点到直线的距离的定义得出即可． 【详解】解：根据垂线段最短得出P到直线l的距离是小于等于， 故选：D． 易错点3：垂线性质遗漏“同一平面内”前提 核心错因：死记公式，忽略定理适用范围，容易在判断题中丢分。 3．下列语句正确的个数是（　　） （1）经过平面内一点有且只有一条直线与已知直线垂直； （2）经过平面内一点有且只有一条直线与已知直线平行； （3）在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行； （4）在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线垂直，那么这两条直线也互相平行． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】由题意直接根据平行公理及平行线的判定定理进行判断即可． 【详解】解：经过平面内一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故（1）正确； 经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故（2）不正确； 平面内，平行具有传递性，故（3）正确； 同一平面内，如果两条直线都与第三条直线垂直，则同位角（内错角）相等，这两条直线互相平行，故（4）正确， ∴正确的有（1）、（3）、（4）， 故选：C． 【点睛】本题考查平行公理及平行线的判定定理，熟练掌握理解平行线公理及判定定理是解题的关键． 易错点4：混淆平行线的判定与性质（核心重灾区） 核心错因：分不清因果关系：判定是由角的关系推平行，性质是由平行推角的关系，答题极易写反依据。 4．如图，，，是的角平分线．试说明：． 解：是的角平分线， _______（_______）， 又（已知）， （_______）， _______（_______）， （_______）， 又（_______）， （ ）， ∴（_______）． 【答案】见解析 【详解】解：是的角平分线， ∴（角平分线的定义）， 又（已知）， ∴（等量代换）， ∴（内错角相等，两直线平行）， （两直线平行，同旁内角互补）， 又（已知）， （同角的补角相等）， ∴（同位角相等，两直线平行）． 易错点5：三线八角识别错误，混淆三类角 核心错因：无法准确区分同位角、内错角、同旁内角，找错截线与被截直线。 5．如图，已知直线、被直线所截，则与是内错角关系的是______． 【答案】 【详解】解：由图可知，与是内错角． 易错点6：平行线传递性适用条件模糊 核心错因：忽略传递性前提，盲目套用结论。 6．下列说法：①在同一平面内，若直线，，则；②在同一平面内，若直线，直线与相交，则直线与相交；③若直线与直线相交，直线与直线相交，则直线与直线相交；④过一点有且只有一条直线与已知直线平行，其中说法正确的是___________．（填序号） 【答案】①②/②① 【分析】本题考查平行线和相交线．利用同一个平面内，两条直线的位置关系依次对各选项进行判断即可． 【详解】解：①在同一平面内，若直线，，则；故此说法正确； ②在同一平面内，若直线，直线与相交，则直线与相交，故此说法正确； ③若直线与直线相交，直线与直线相交，则直线与直线也有可能平行，故此说法错误； ④过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，故此说法错误． ∴说法正确的是①②． 故答案为：①②． 易错点7：无法准确判断命题，混淆句式类型 核心错因：不清楚命题的定义，误将疑问句、祈使句、感叹句当作命题。 7．下列语句中，是命题的是（    ） A．两条直线被第三条直线所截 B．两直线相交吗 C．过直线外一点作这条直线的垂线 D．内错角相等 【答案】D 【分析】命题的定义：判断一件事情的语句叫做命题． 【详解】解：A选项两条直线被第三条直线所截没有对事情作出判断，不是命题． B选项两直线相交吗是疑问句，未对事情作出判断，不是命题． C选项过直线外一点作这条直线的垂线是作图描述，未对事情作出判断，不是命题． D选项内错角相等对两直线被截所得内错角的关系作出了判断，符合命题的定义，是命题． 易错点8：命题改写错误，题设与结论拆分混乱 核心错因：改写“如果…那么…”句式时，遗漏主体、语句不通顺，题设和结论对应错误。 8．把命题“互为相反数的两个数的和为零”写成“如果那么”的形式：________． 【答案】如果两个数互为相反数，那么这两个数的和为零 【分析】命题由题设和结论两部分组成，“如果”后接题设，“那么”后接结论，先分离出原命题的题设与结论即可完成改写． 【详解】解：原命题的题设为“两个数互为相反数”，结论为“这两个数的和为零”，因此改写为：如果两个数互为相反数，那么这两个数的和为零． 易错点9：假命题不会举反例 核心错因：不理解反例逻辑，反例要求：满足命题条件，但不满足命题结论。 9．对于命题“若，则”，小明想举一个反例说明它是一个假命题，则符合要求的反例可以是（        ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查命题与定理的知识．根据题意逐一对选项进行分析即可得到本题答案． 【详解】解：∵命题“若，则”，小明想举一个反例说明它是一个假命题， ∴当，时，若，则，不符合题意， ∴当，时，若，则，不符合题意， ∴当，时，若，则，符合题意， ∴当，时，不符合若，不符合题意， 故选：C． 16.1 相交线 一、核心解题技巧 对顶角核心规律：对顶角角度相等，两条直线相交必产生两组对顶角，角度计算优先利用这两种角构建等量关系。 垂直核心结论：两条直线互相垂直，夹角为90°。遇到垂直条件，可拆分直角，结合已知角度推导剩余未知角度。 多直线相交解题方法：复杂多线相交题型，优先设未知角为未知数，结合邻补角、对顶角、直角的性质列方程求解，简化计算过程。 1．如图，直线 、 相交于点，，若，，求的度数． 【答案】，过程见详解 【分析】本题考查了垂线的定义和对顶角的性质，熟练掌握是解答本题的关键．由对顶角相等得，进而得，由垂直定义得，代入计算． 【详解】解：，， ， 又，， ， ， ， 又， ． 16.2 平行线 一、核心解题技巧 分清平行线性质与判定：性质是“由平行得角关系”，两直线平行，同位角相等、内错角相等、同旁内角互补；判定是“由角关系得平行”，通过角的相等或互补，证明两直线平行，二者因果关系相反，解题切勿混淆。 折线拐角万能模型：遇折线、拐点类平行线题型，核心方法为过拐点作已知直线的平行线，拆分复杂角度，转化为可直接计算的内错角、同旁内角，适配猪蹄模型、铅笔头模型等常见题型。 快速识别三类角：同位角对应F型、内错角对应Z型、同旁内角对应U型，快速定位角度关系，提升解题速度。 2．问题情境：如图1，，，，求的度数． (1)小明的思路是：如图2，过作，通过平行线性质，可得______． 问题迁移： 如图3，，点在射线上运动，，． (2)当点在A、两点之间运动时，、、之间有何数量关系？请说明理由． (3)如果点在A、两点外侧运动时（点与点A、、三点不重合），请你直接写出、、之间有何数量关系． 【答案】(1) (2)，见解析 (3)当点P在B、O两点之间时，点P在射线上时 【分析】（1）过作，先证明，再进一步证明即可； （2）过点作 ，可得，然后平行线的性质分别求出把和表示出来，再利用角的和差关系，即可求出结果； （3）分两种情况讨论：过点P作，则可得出，然后平行线的性质分别求出把 和 表示出来，则利用角的和差关系，即可得到结果． 【详解】（1）解：过作，∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴. （2）解：，理由如下： 如图，过点P作， ∵，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； （3）解：当点P在B、O两点之间时，点P在射线上时；理由如下： 如图，过点P作， ∵，， ∴， ∵， ∴， 又∵ ∴ ∴； 如图，当点P在B、O两点之间时，如图，过点P作， ∵，， ∴， ∵， ∴， 又∵ ， ∴， ∴； 综上所述：或． 16.3 命题与证明 一、核心解题技巧 命题改写技巧：所有命题均可拆分为题设+结论，统一改写为“如果…（题设），那么…（结论）”的标准句式，改写时需补全语句，保证逻辑完整、语句通顺。 真假命题判断方法：真命题需要通过几何定义、公理、定理进行完整逻辑推理证明；假命题无需复杂证明，只需举出一个反例即可推翻命题。 几何证明书写规范：遵循“条件→推理依据→结论”的格式，每一步推导都标注对应依据（定义、定理、公理），做到步步有据、逻辑严谨。 3．将下列命题改成“如果…，那么…”的形式，并指出命题的条件和结论． (1)平行于同一条直线的两条直线平行； (2)两个有理数相乘，同号得正． 【详解】（1）解：如果两条直线都平行于同一条直线，那么这两条直线平行．条件：两条直线都平行于同一条直线，结论：这两条直线平行； （2）解：如果两个有理数同号，那么它们相乘的积为正．条件：两个有理数同号，结论：它们相乘的积为正． 4．（1）完成下面的推理说明： 已知：如图，，，分别平分和． 求证：． 证明：，分别平分和（已知）， _____，_____（_____________）． （已知）， （_______________）， （___________）， （等式的性质）， （_____________）． （2）指出（1）的推理中运用了哪两个互逆的真命题． 【答案】（1）；；角平分线的定义；两直线平行，内错角相等；等量代换；内错角相等，两直线平行；（2）两个互逆的真命题为：两直线平行，内错角相等；内错角相等，两直线平行 【分析】本题考查的是平行线的判定与性质的运用，解题时注意：平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系；平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项． （1）根据平行线的性质，可得 ，根据角平分线的定义，可得 ，再根据平行线的判定，即可得出 ； （2）在两个命题中，如果一个命题的结论和题干是另一个命题的题干和结论，则称它们为互逆命题． 【详解】解：（1）∵ 分别平分 和 （已知）， （角平分线的定义）， （已知）， （两直线平行，内错角相等）， （等量代换）， （等式的性质）， （内错角相等，两直线平行）， 故答案为： ；角平分线的定义；两直线平行，内错角相等；等量代换；内错角相等，两直线平行； （2）两个互逆的真命题为：两直线平行，内错角相等；内错角相等，两直线平行． 学科网（北京）股份有限公3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 相交线与平行线 考点一、相交线与对顶角 1. 同一平面内，两条直线相交，有______个公共交点。 2. 对顶角的性质是____________；邻补角的数量关系是____________。 考点二、垂线与垂线段 3. 两条直线相交成______°角时，两直线互相垂直，交点叫做______。 4. 同一平面内，过一点____________与已知直线垂直。 5. 直线外一点到这条直线的____________叫做点到直线的距离。 考点三、三线八角 6. 三线八角中，同位角形似______型，内错角形似______型，同旁内角形似______型。 考点四、平行线定义与平行公理 7. 同一平面内，____________的两条直线叫做平行线。 8. 平行公理：经过直线外一点，____________与已知直线平行。 9. 平行公理推论：平行于同一直线的两条直线____________。 考点五、平行线的判定（由角证线） 核心逻辑：已知角的数量关系，推出两直线平行 10. 平行线判定定理： （1）____________相等，两直线平行； （2）____________相等，两直线平行； （3）____________互补，两直线平行。 考点六、平行线的性质（由线得角） 核心逻辑：已知两直线平行，推出角的数量关系 11. 平行线性质定理： （1）两直线平行，____________相等； （2）两直线平行，____________相等； （3）两直线平行，____________互补。 考点七、命题的概念与结构 12. ____________的陈述句叫做命题。 13. 命题由____________和____________两部分组成。 14. ____________的命题叫做真命题，____________的命题叫做假命题。 15. 判定一个假命题的方法是____________。 考点八、公理、定理与证明 16. ____________是无需证明、公认正确的真命题；____________是经过推理证实的真命题。 考点九、逆命题 17. 原命题为“如果A，那么B”，其逆命题为“____________”。 18. 原命题为真，逆命题____________为真。 题型一：对顶角概念与角度计算 例1．（23-24七年级下·上海长宁·期末）下列图中，、是对顶角的是（    ） A．  B．  C．   D．   例2．（24-25七年级下·上海普陀·期中）已知与是对顶角，且与互余，那么______． 例3．（24-25七年级上·上海徐汇·期末）如图，直线、相交于E，，垂足为E．当时，________． 变式1．（23-24七年级下·上海闵行·期中）如图，，与互余，则的度数是（　　） A． B． C． D． 变式2．（25-26七年级下·上海·期中）小强和小丽一起玩跷跷板，如图，横板绕中心O上下转动．当小强从A运动到的位置时，，则的度数为_________．    变式3．（24-25七年级下·上海金山·期中）如图，如果，与互余，那么的度数是______． 变式4．（25-26七年级下·上海·期中）如图，直线，相交于点，，垂足为，若，求的度数． 题型二：垂线与点到直线的距离 例4．（24-25七年级下·上海普陀·期末）如图，在同一平面上，如果直线垂直于直线，直线垂直于直线，垂足为点，那么直线与直线重合的理由是（   ） A．垂线段相等 B．两点确定一条直线 C．在同一平面上，已知直线的垂线只有一条 D．在同一平面上，经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线 例5．（23-24七年级下·上海浦东新·期末）如图，点A到直线BC的距离是线段 _____的长度． 变式1．（22-23七年级下·上海杨浦·期末）如图，在中，，D是边上一点，且，下列说法中，错误的是（    ）    A．直线与直线的夹角为60° B．直线与直线的夹角为90° C．线段的长是点D到直线的距离 D．线段的长是点B到直线的距离 变式2．（2024七年级下·上海奉贤·期末）如图，在△ABC中，∠C＝90，D是边BC上一点，且∠ADC＝60，那么下列说法中错误的是（　　） A．直线AD与直线BC的夹角为60 B．直线AC与直线BC的夹角为90 C．线段CD的长是点D到直线AC的距离 D．线段AB的长是点B到直线AD的距离 变式3．（24-25七年级下·上海松江·期末）如图，在中，，，那么点到直线的距离是线段________的长度． 变式4．（23-24七年级下·上海·期末）如图，在△ABC，AD⊥BC，垂足为点D，那么点B到直线AD的距离是线段_____的长度． 题型三：三线八角识别 例6．（23-24七年级下·上海杨浦·期末）如图，下列说法中，错误的是（    ） A．与是同位角 B．与是同位角 C．与是内错角 D．与是内错角 例7．（24-25七年级下·上海宝山·期末）凸六边形共有_______组同旁内角． 变式1．（23-24七年级下·上海普陀·期末）如图，与位置关系为同旁内角的角是（    ）    A． B． C． D． 变式2．（22-23七年级下·上海嘉定·期末）如图，以下说法正确的是（   ）    A．和是同位角 B．和是同位角 C．和是内错角 D．和是同旁内角 变式3．（24-25七年级下·上海松江·期末）如图，下列结论：①与是内错角；②与是同位角；③与是同旁内角，其中正确的有________（只填序号）． 题型四：平行线的判定证明 例8．（24-25七年级下·上海青浦·期末）如图，下列能判断的条件是（　　） A． B． C． D． 例9．（24-25七年级下·上海金山·期末）给定如图所示的图形（不再添线），点在的延长线上，请添加一个条件________作为已知条件，通过推理能得到（只需填写一个满足的条件）    例10．（24-25七年级下·上海闵行·期末）如图，直线与直线分别相交于点． 请你从①；②；③中选择其中两个作为已知条件，剩下的一个作为结论，组成一个真命题，并进行证明． 你选择作为已知条件的是：_______，作为结论的是_______．（填序号） 证明： 例11．（24-25七年级下·上海浦东新·期末）完成下列证明： 已知：，，求证：． 证明：①　　， 又， ∴， ②　　③　　． ∴④　　⑤　　． （已知）， ∴． ⑥　　． 变式1．（23-24七年级下·上海·阶段检测）如图，在下列条件中，不能说明的是（   ） A． B． C． D． 变式2．（22-23七年级下·上海闵行·期末）已知：如图，，三角尺的直角顶点在直线b上，，的度数为______．    变式3．（24-25七年级下·上海普陀·期中）如图，已知：平分，平分，，求证：． 证明：∵， ∴____________，（______）． ∴______，（______）， ∵平分，平分， ∴，∠______． ∴． ∴． 变式4．（24-25七年级下·上海虹口·期末）已知：如图，中，于点D，于点G，线段，点E、A、C在同一直线上，求证：平分．请把以下证明过程补充完整． 证明：∵于点D，于点G， ∴ ∴（_______） ∴______（_________）， _________（________） ∵， ∴______（________） ∴，即平分． 题型五：平行线的性质角度计算 例12．（25-26七年级上·上海浦东新·期末）如图，直线，直线与相交，若，则的度数是 （    ） A． B． C． D． 例13．（24-25七年级下·上海·期末）如图，直线，将三角板的直角顶点放在直线上，如果，那么的度数是______． 例14．（24-25七年级下·上海青浦·期末）如图，已知，求的度数． 例15．（23-24七年级下·上海宝山·期末）如图，直线、相交于点，根据下列语句画图并解答： (1)过点画出，交于点； (2)过点画出，垂足为点； (3)如果，那么 ．（直接写出结果） 变式1．（23-24七年级下·上海·期末）如图，，，，那么的度数是（      ） A． B． C． D． 变式2．（24-25七年级下·上海松江·期末）如图，已知，，，那么__________． 变式3．（23-24七年级下·上海嘉定·期末）如图，已知，，那么_____度．    变式4．（23-24七年级下·上海长宁·期末）如图， 已知，，，试求的度数．    变式5．（24-25七年级下·上海松江·期末）在学习“相交线与平行线”一章时，小新同学所在的小组制作了如图①所示的潜望镜模型并且观察成功．大家结合实践活动更好地理解了潜望镜的工作原理．图②中，、代表镜子摆放的位置，动手制作模型时，应该保证与平行，已知光线经过镜子反射时，，，若，求的度数． 题型六：平行线拐点综合题（辅助线法） 例16．（24-25七年级下·上海宝山·期末）如图，，，用和表示，_______． 例17．（25-26七年级下·上海·期中）已知，与的角平分线相交于点F，、相交于点M． (1)如图①，若，求的度数； (2)如图②，若，，，求的度数； (3)若，，请直接写出与之间的数量关系． 例18．（25-26七年级下·上海·期中）在综合探究课堂上我们学习了平行线的性质，平行线具有“等角转化”的功能，“三线八角”图是研究平行线性质的“基本图形”． (1)阅读理解：如图1，，点、分别为直线、上的点，点为平行线间一点，猜想、与之间的关系，并说明理由．阅读并补充下面推理过程： 解：，理由如下： 过点作， ∴， ∵ ∴（ ） ∴ ∴（等量代换） ∴． (2)方法运用：如图2，，猜想、与之间的关系，并说明理由： (3)深化拓展：如图3，，、的角平分线相交于点， ①过点E、F作射线、交于点G，若，求的度数； ②若，请直接写出的度数 ． （用含、的代数式表示） 例19．（24-25七年级下·上海闵行·阶段检测）（1）问题：如图（1），若，，，求的度数． （2）问题迁移：如图（2），，点在的上方，问：、、之间有何数量关系?请说明理由． （3）联想拓展：如图（3），在（2）的条件下，已知，的平分线和的平分线相交于点，用含有的式子表示的度数．（直接写答案） 变式1．（24-25七年级下·上海静安·期末）如图，已知，，，那么______． 变式2．（24-25七年级下·上海崇明·期末）如图，，点位于两平行线之间且在点、的右侧，分别作和的平分线交于点，再分别作和的平分线交于点设的度数是，则的度数用表示为___________．    变式3．（22-23七年级下·上海浦东新·期末）如图，灯A射线自顺时针旋转至便立即回转至原位置，灯B射线自顺时针旋转至便立即回转至原位置，两灯不停交叉照射巡视．若灯A、灯B每秒分别转动、，且a，b满足．已知，且． (1)求a，b的值； (2)如果两灯同时转动，在灯A射线第一次转到之前，两灯射出的光线交于点C，且，求的度数； (3)如果灯B射线先转动20秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达之前，A灯转动几秒．两灯的光线互相平行？ 变式4．（2024七年级下·上海·期中）已知，点为平面内的一点，． (1)当点在如图①的位置时，求与的数量关系． 解： ．（根据如图填射线的画法） 因为， 所以 （ ）． 所以（两直线平行，内错角相等）； （请继续完成接下去的说理过程） (2)当点在如图②的位置时，与的数量关系是 （直接写出答案）； (3)在（2）的条件下，如图③，过点作，垂足为点，与的平分线分别交射线于点、，回答下列问题（直接写出答案）：图中与相等的角是 ， 度． 变式5．（24-25七年级下·上海闵行·期中）如图，，现将一块含的三角板按如图1放置，，，使点、分别在直线、上，设． (1)求的度数； (2)如果的角平分线交直线于点，如图2． ①当时，求的度数； ②在①的条件下，如果点是射线上的一点，将三角板绕着点以每秒的速度进行顺时针旋转，同时射线绕着点以每秒的速度进行顺时针旋转，射线旋转一周后停止转动，同时三角板也停止转动．当旋转多少时间时，与的一边平行？ 题型七：命题真假判断与逆命题改写 例20．（24-25七年级下·上海·期末）下列命题中，真命题是（ ） A．真命题的逆命题一定是真命题 B．两边分别平行的两个角相等 C．等角的余角相等 D．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 例21．（25-26七年级上·上海·期末）下列命题中，判断错误的是（   ） A．所有定理都有逆命题 B．对顶角相等的逆命题是真命题 C．假命题的逆命题不一定是假命题 D．两条平行线被第三条直线所截，内错角的平分线互相平行 例22．（24-25七年级下·上海·期中）命题“互余的两个角都是锐角”的逆命题是___________．（用“如果…那么…”的形式写出）． 例23．（25-26七年级下·上海·期中）分析三个命题的逆命题：①如果两个实数都是正数，那么它们的积是正数；②两直线平行，内错角相等；③直角三角形有两个内角为锐角．逆命题为真命题的是：________（填写序号）． 变式1．（24-25七年级下·上海·期中）下列命题中，真命题的个数有（    ） ①两直线平行，同旁内角相等；②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 变式2．（24-25七年级下·上海松江·期末）在中，有下列四个命题： ①如果，那么；    ②如果，那么； ③如果，那么；    ④如果，那么． 其中，真命题的个数有（   ）． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 变式3．（24-25七年级下·上海金山·期末）将命题“在三角形中，大边对大角”改写成“如果……，那么……”的形式是________． 变式4．（25-26七年级下·上海·期中）“如果两个角相等，那么它们是对顶角”的逆命题是________（填“真”或“假”）命题． 变式5．（24-25七年级下·上海普陀·期末）用反证法证明：在三角形中，大角对大边． 如图，已知：在中，． 求证：． 证明：假设， ________（___________）． 假设________， ________（___________）． （完成以下说理过程） 题型八：几何规范证明大题 例24．（25-26七年级下·上海普陀·期中）如图，已知：，，垂足分别为、，． (1)求证：； (2)如果，平分，求的度数． 变式1．（24-25七年级下·上海闵行·阶段检测）如图，在四边形中，，平分，交于点，是延长线上一点，连接，交于点，已知． (1)证明：； (2)证明：； (3)若，试说明与的位置关系． 变式2．（24-25七年级下·上海杨浦·期中）如图1，直线，直线、及直线把平面分成①、②、③、④、⑤、⑥六个部分．点P是其中的一个动点，连接、，观察、、三个角．规定：直线、、上的各点不属于①、②、③、④、⑤、⑥六个部分中的任何一个部分． (1)当动点P落在第①部分时，求证：． (2)探究：当动点P落在第②、③、⑤部分时，、、之间的关系是怎样的？请直接写出、、之间满足的关系式，不必说明理由． 易错点1：对顶角概念混淆（相等的角≠对顶角） 核心错因：学生默认“角相等即为对顶角”，忽略对顶角必须满足公共顶点、两边互为反向延长线的核心条件。对顶角一定相等，但相等的角不一定是对顶角。 1．下列各图中，与是对顶角的是（     ） A． B． C． D． 易错点2：混淆点到直线的距离与垂线段 核心错因：概念理解模糊，将几何图形（垂线段）和数值长度（距离）混为一谈。 2．点P为直线l外一点，点A，B，C为直线l上三点，，则点P到直线l的距离（　　） A．大于等于 B．大于且小于 C．等于 D．小于等于 易错点3：垂线性质遗漏“同一平面内”前提 核心错因：死记公式，忽略定理适用范围，容易在判断题中丢分。 3．下列语句正确的个数是（　　） （1）经过平面内一点有且只有一条直线与已知直线垂直； （2）经过平面内一点有且只有一条直线与已知直线平行； （3）在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行； （4）在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线垂直，那么这两条直线也互相平行． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 易错点4：混淆平行线的判定与性质（核心重灾区） 核心错因：分不清因果关系：判定是由角的关系推平行，性质是由平行推角的关系，答题极易写反依据。 4．如图，，，是的角平分线．试说明：． 解：是的角平分线， _______（_______）， 又（已知）， （_______）， _______（_______）， （_______）， 又（_______）， （ ）， ∴（_______）． 易错点5：三线八角识别错误，混淆三类角 核心错因：无法准确区分同位角、内错角、同旁内角，找错截线与被截直线。 5．如图，已知直线、被直线所截，则与是内错角关系的是______． 易错点6：平行线传递性适用条件模糊 核心错因：忽略传递性前提，盲目套用结论。 6．下列说法：①在同一平面内，若直线，，则；②在同一平面内，若直线，直线与相交，则直线与相交；③若直线与直线相交，直线与直线相交，则直线与直线相交；④过一点有且只有一条直线与已知直线平行，其中说法正确的是___________．（填序号） 易错点7：无法准确判断命题，混淆句式类型 核心错因：不清楚命题的定义，误将疑问句、祈使句、感叹句当作命题。 7．下列语句中，是命题的是（    ） A．两条直线被第三条直线所截 B．两直线相交吗 C．过直线外一点作这条直线的垂线 D．内错角相等 易错点8：命题改写错误，题设与结论拆分混乱 核心错因：改写“如果…那么…”句式时，遗漏主体、语句不通顺，题设和结论对应错误。 8．把命题“互为相反数的两个数的和为零”写成“如果那么”的形式：________． 易错点9：假命题不会举反例 核心错因：不理解反例逻辑，反例要求：满足命题条件，但不满足命题结论。 9．对于命题“若，则”，小明想举一个反例说明它是一个假命题，则符合要求的反例可以是（        ） A．， B．， C．， D．， 16.1 相交线 一、核心解题技巧 对顶角核心规律：对顶角角度相等，两条直线相交必产生两组对顶角，角度计算优先利用这两种角构建等量关系。 垂直核心结论：两条直线互相垂直，夹角为90°。遇到垂直条件，可拆分直角，结合已知角度推导剩余未知角度。 多直线相交解题方法：复杂多线相交题型，优先设未知角为未知数，结合邻补角、对顶角、直角的性质列方程求解，简化计算过程。 1．如图，直线 、 相交于点，，若，，求的度数． 16.2 平行线 一、核心解题技巧 分清平行线性质与判定：性质是“由平行得角关系”，两直线平行，同位角相等、内错角相等、同旁内角互补；判定是“由角关系得平行”，通过角的相等或互补，证明两直线平行，二者因果关系相反，解题切勿混淆。 折线拐角万能模型：遇折线、拐点类平行线题型，核心方法为过拐点作已知直线的平行线，拆分复杂角度，转化为可直接计算的内错角、同旁内角，适配猪蹄模型、铅笔头模型等常见题型。 快速识别三类角：同位角对应F型、内错角对应Z型、同旁内角对应U型，快速定位角度关系，提升解题速度。 2．问题情境：如图1，，，，求的度数． (1)小明的思路是：如图2，过作，通过平行线性质，可得______． 问题迁移： 如图3，，点在射线上运动，，． (2)当点在A、两点之间运动时，、、之间有何数量关系？请说明理由． (3)如果点在A、两点外侧运动时（点与点A、、三点不重合），请你直接写出、、之间有何数量关系． 16.3 命题与证明 一、核心解题技巧 命题改写技巧：所有命题均可拆分为题设+结论，统一改写为“如果…（题设），那么…（结论）”的标准句式，改写时需补全语句，保证逻辑完整、语句通顺。 真假命题判断方法：真命题需要通过几何定义、公理、定理进行完整逻辑推理证明；假命题无需复杂证明，只需举出一个反例即可推翻命题。 几何证明书写规范：遵循“条件→推理依据→结论”的格式，每一步推导都标注对应依据（定义、定理、公理），做到步步有据、逻辑严谨。 3．将下列命题改成“如果…，那么…”的形式，并指出命题的条件和结论． (1)平行于同一条直线的两条直线平行； (2)两个有理数相乘，同号得正． 4．（1）完成下面的推理说明： 已知：如图，，，分别平分和． 求证：． 证明：，分别平分和（已知）， _____，_____（_____________）． （已知）， （_______________）， （___________）， （等式的性质）， （_____________）． （2）指出（1）的推理中运用了哪两个互逆的真命题． 学科网（北京）股份有限公3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $