专题04 四边形相关基础题（6类48道）（期末真题汇编，重庆专用）八年级数学下学期

**基本信息** 重庆多区八下期末四边形专题真题汇编，覆盖6大高频考点，整合选择、填空、解答题，注重基础概念与综合推理能力考查。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----|----| |选择|16|四边形角度计算（菱形、矩形性质）、概念辨析（平行四边形、正方形判定）|结合图形变换（如翻折），考查性质应用（如第5题菱形翻折求角度）| |填空|12|线段求解（正方形对角线、中点应用）、直角三角形斜边中线|融入几何直观（如第25题矩形中点与距离计算）| |解答|20|尺规作图（垂直平分线）、补全证明（菱形判定）、综合证明（平行四边形、矩形判定）|分层设计，从基础作图到综合推理（如第33题补全菱形证明过程）|

专题04 四边形相关基础题 6大高频考点概览 考点01四边形相关角度问题 考点02四边形相关概念 考点03四边形相关线段求解 考点04 直角三角形斜边上的中线 考点05尺规作图&补全证明过程 考点06 四边形相关基础证明 ( 地 城 考点01 四边形相关角度问题 )1．(24-25八下·重庆鲁能巴蜀中学校·期末)如图，为菱形的对角线，于点E，若，则度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】重庆市鲁能巴蜀中学校2024-2025学年八年级下学期期末数学试题 【分析】本题考查了直角三角形的两个锐角互余，菱形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据，，得出，因为四边形是菱形，故，，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， 故选：B． 2．(24-25八下·重庆合川区·期末)如图，在菱形中，E，F分别为边，的中点，交于点G，连接．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】重庆市合川区2024-2025学年下学期八年级数学期末试题 【分析】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线的性质，延长、相交于点H，先证明得，然后根据菱形的性质及推出，再根据直角三角形斜边上的中线的性质得，则，再由，根据菱形的性质和等腰三角形的性质求出，则，进而可得答案． 【详解】解：如图，延长、相交于点H， ∵E是边的中点， ∴， ∵为菱形， ∴，即， ∴，， ∴在和中， ， ∴， ∴，即E是的中点， ∵，， ∴， ∴， ∴为直角斜边上的中线， ∴， ∴， ∵在菱形中，， ∴，， ∵E，F分别为边，的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 3．(24-25八下·重庆铜梁区·期末)如图，在矩形中，点是的中点，交于点，连接．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】重庆市铜梁区2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试题 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质．延长，交的延长线于点，根据矩形的性质可得，，可证，根据全等三角形的性质可得，可知垂直平分，根据线段垂直平分线的性质可得，据此求解即可． 【详解】解：如图，延长，交的延长线于点， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵为边中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 4．(24-25八下·重庆秀山县·期末)如图，在菱形中，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】重庆市秀山县2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试题 【分析】本题主要考查了菱形的性质，由菱形的性质可得出，，结合已知条件即可得出答案． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故选：C 5．(24-25八下·重庆第八中学校·期末)如图，四边形为菱形，点E为线段上一点，若将沿所在直线翻折，使得点D的对应点恰好落到的延长线上，若，则可以表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】重庆市第八中学校2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试题 【分析】本题考查菱形的性质、折叠问题．先根据折叠得到，，然后根据菱形的性质得到，然后根据角的和差解答即可． 【详解】解：由折叠可得，， 又∵是菱形， ∴，，， ∴，， ∴， 在中，是外角， ∴， ∴， 故选：C． 6．(24-25八下·重庆长寿区·期末)如图，正方形中，点E为边延长线上一点，点F在边上，且，连接，，交于G，若，则(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【来源】重庆市长寿区2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试题 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，连接，根据正方形的性质可证得，从而得出，，再证为等腰直角三角形，得出，． 【详解】如图，连接， 四边形是正方形， ，， ， 又∵， ∴， ，， ， ， 即， ∴是等腰直角三角形， ， ， 故选：C． 7．(24-25八下·重庆南川区·期末)如图，在菱形中，，点为对角线上一点，且满足，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】重庆市南川区2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试题 【分析】本题考查菱形的性质，等边对等角，根据菱形的对角线平分一组对角，结合等边对等角，求出的度数，再根据平角的定义，求出的度数即可． 【详解】解：∵在菱形中，， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选：A． 8．(24-25八下·重庆巴蜀中学校·期末)如图，在菱形中，对角线、相交于点，点在边上，且，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】重庆市巴蜀中学校2024-2025学年八年级下学期6月期末考试数学试题 【分析】本题考查了菱形的性质，三角形的内角和定理，等边对等角，掌握菱形的性质是解题的关键．根据菱形的性质可得，由可得，设，再由，即可解答． 【详解】解：在菱形中，对角线、相交于点， ， ， ， 设， ∵ ，， ， ， ， ， ∴， 故选：B． ( 地 城 考点0 2 四边形相关概念 )9．(24-25八下·重庆巴南区·期末)下列说法错误的是（   ） A．对角线互相平分的四边形是平行四边形 B．对角线互相垂直的平行四边形是矩形 C．对角线互相垂直的矩形是正方形 D．三个角是直角的四边形是矩形 【答案】B 【来源】重庆市巴南区2024-2025学年八年级下学期6月期末数学试题 【详解】解：A．由平行四边形的判定定理可知，对角线互相平分的四边形是平行四边形，故A不符合题意； B．由菱形的判定定理可知，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，但不一定是矩形，故B符合题意； C．∵对角线互相垂直的矩形同时又是菱形，∴对角线互相垂直的矩形是正方形，故C不符合题意； D．由矩形的判定定理可知，有三个角是直角的四边形是矩形，故D不符合题意， 故选：B． 10．(24-25八下·重庆渝北中学校·期末)下列命题的逆命题成立的是（   ） A．邻补角互补 B．线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 C．全等三角形的对应角相等 D．矩形的对角线相等 【答案】B 【来源】重庆市渝北中学校2024-2025学年八年级下学期6月期末模拟数学试题 【分析】本题主要考查了命题的概念，逆命题的概念等知识点，判断原命题的逆命题是否成立，需将原命题的条件和结论互换，再验证其正确性，解决此问题的关键是熟练掌握相关知识点； 【详解】解：原命题“邻补角互补”的逆命题为“互补的角是邻补角”；互补的角不一定相邻（如平行线间同旁内角互补但不相邻），故逆命题不成立,故选项A错误； 原命题“线段垂直平分线上的点与线段两端点距离相等”的逆命题为“与线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上”；根据线段垂直平分线的判定定理，逆命题成立，故选项B正确； 原命题“全等三角形的对应角相等”的逆命题为“对应角相等的三角形全等”，对应角相等不能保证全等（如大小不同的等边三角形），故逆命题不成立，故选项C错误； 原命题“矩形的对角线相等”的逆命题为“对角线相等的四边形是矩形”。等腰梯形的对角线也相等，但并非矩形，故逆命题不成立，故选项D错误； 故选项为B. 11．(24-25八下·重庆西南大学附属中学校·期末)下列说法正确的是（  ） A．有两边相等的平行四边形是菱形 B．到三角形三边距离相等的点是三角形三边垂直平分线的交点 C．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．对角线相等的平行四边形是矩形 【答案】D 【来源】重庆西南大学附属中学校2024-2025学年下学期期末考试八年级数学试题 【分析】本题考查菱形的判定，矩形的判定，垂线的性质，角平分线的性质，根据相关判定方法和相关性质，进行判断即可． 【详解】解：A、邻边相等的平行四边形是菱形，原说法错误，不符合题意； B、到三角形三边距离相等的点是三角形的三条角平分线的交点，原说法错误，不符合题意； C、同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，原说法错误，不符合题意； D、对角线相等的平行四边形是矩形，正确，符合题意； 故选D． 12．(24-25八下·重庆永川区·期末)下列四个命题中，是假命题的是（    ） A．对角线互相垂直且平分的四边形是菱形 B．对角线互相垂直的矩形是正方形 C．对角线互相平分的四边形是平行四边形 D．对角线相等的四边形是矩形 【答案】D 【来源】重庆市永川区2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试题 【分析】本题主要考查了平行四边形，矩形，菱形，正方形的判定，熟知平行四边形，矩形，菱形，正方形的判定定理是解题的关键．根据平行四边形，矩形，菱形，正方形的判定分别判断各选项． 【详解】解：A． 对角线互相垂直且平分的四边形是菱形．根据菱形的判定定理，对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故A为真命题． B． 对角线互相垂直的矩形是正方形．矩形的对角线原本相等且平分，若再满足垂直，则符合正方形的对角线性质，故B为真命题． C． 对角线互相平分的四边形是平行四边形．根据平行四边形的判定定理，对角线互相平分的四边形是平行四边形，故C为真命题． D．对角线相等的四边形不一定是矩形，例如等腰梯形对角线相等但非矩形，需先满足平行四边形条件，故D为假命题． 故选：D． 13．(24-25八下·重庆铜梁区关溅初级中学校·期末)下列说法中，错误的是（   ） A．矩形的对角线相等 B．正方形的对角线互相垂直平分 C．对角线互相垂直的四边形是菱形 D．对角线互相平分的四边形是平行四边形 【答案】C 【来源】重庆市铜梁区关溅初级中学校2024-2025学年八年级下学期期末数学模拟试卷 【分析】本题考查特殊四边形的性质和判定，根据矩形的性质，正方形，菱形和平行四边形的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：A、矩形的对角线相等，原说法正确，不符合题意； B、正方形的对角线互相垂直平分，原说法正确，不符合题意； C、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，原说法错误，符合题意； D、对角线互相平分的四边形是平行四边形，原说法正确，不符合题意； 故选：C． 14．(24-25八下·重庆两江新区·期末)下列说法正确的是（    ） A．平行四边形的对角线一定相等 B．有一组邻边相等的平行四边形是菱形 C．对角线互相垂直的平行四边形是正方形 D．矩形的对角线互相垂直平分 【答案】B 【来源】重庆市两江新区2024-2025学年八年级下学期期末抽测数学试题 【分析】此题考查了平行四边形、菱形、矩形、正方形的判定和性质，根据平行四边形、菱形、矩形、正方形的判定和性质逐一分析选项． 【详解】解：A. 平行四边形的对角线互相平分，但不一定相等．矩形的对角线才相等，故A错误． B. 有一组邻边相等的平行四边形是菱形（菱形的定义），故B正确． C. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形，而非正方形．正方形需满足对角线垂直且相等，故C错误． D. 矩形的对角线相等且平分，但互相垂直仅当其为正方形时成立，故D错误． 故选：B． 15．(24-25八下·重庆长寿区·期末)下列命题中是真命题的是（　　） A．一组对边平行，另外一组对边相等的四边形是平行四边形 B．有一组邻边相等的四边形是菱形 C．有一个角是直角的四边形是矩形 D．四边相等且对角线相等的四边形是正方形 【答案】D 【来源】重庆市长寿区2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试题 【分析】本题考查了平行四边形、菱形、矩形、正方形的判定定理，根据定理逐一分析各命题的正确性． 【详解】解：A． 一组对边平行且另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，例如等腰梯形满足条件但不是平行四边形，故A为假命题； B． 菱形的定义是“有一组邻边相等的平行四边形”，仅有一组邻边相等但无平行条件，不能判定为菱形，故B为假命题； C．矩形的定义是“有一个角是直角的平行四边形”，仅有一个直角的四边形可能为直角梯形，故C为假命题； D． 四边相等的四边形是菱形，若其对角线相等，则菱形四个角均为直角，符合正方形的定义，故D为真命题． 故选：D． 16．(24-25八下·重庆江津区·期末)下列说法正确的是（   ） A．一组对边平行，一组对边相等的四边形是平行四边形 B．对角线互相垂直的平行四边形是矩形 C．四条边相等的四边形是正方形 D．有一个角是直角的平行四边形是矩形 【答案】D 【来源】重庆市江津区2024-2025学年下学期期末监测八年级数学试卷B卷 【分析】本题考查了平行四边形的判定、菱形的判定和矩形的判定，根据平行四边形、矩形、菱形的判定方法逐一判断即可求解． 【详解】解：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，该选项说法错误，不合题意； 对角线互相垂直的平行四边形是菱形，该选项说法错误，不合题意； 四条边相等的四边形是菱形，该选项说法错误，不合题意； 有一个角是直角的平行四边形是矩形，该选项说法正确，符合题意； 故选：． ( 地 城 考点0 3 四边形相关线段求解 )17．(24-25八下·重庆荣昌区·期末)如图，菱形中，边长为5，则该菱形周长是（    ） A．5 B．10 C．20 D．25 【答案】C 【来源】重庆市荣昌区2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试题 【分析】本题主要考查了菱形的性质．根据菱形的性质可得，即可求解． 【详解】解：∵菱形的边长为5， ∴， ∴该菱形周长是． 故选：C 18．(24-25八下·重庆大足区·期末)如图，在中，分别是的中点，连接．若的周长是，则的周长是（    ）． A．12 B．16 C．20 D．24 【答案】D 【来源】重庆市大足区2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试题 【分析】本题考查了三角形中位线定理．解题的关键是根据中位线定理得出边之间的数量关系． 由于分别是的中点，则是的中位线，那么，同理有，于是易求的周长． 【详解】解：∵分别是的边的中点， ， 同理，， 故选D． 19．(24-25八下·重庆潼南区·期末)如图，在边长为6的正方形中，对角线，交于点，点M，N分别在，上，连接，，．若，，则的长为（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【来源】重庆市潼南区2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试题 【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握正方形的性质是解题的关键． 先由正方形的性质得到，，，，再由勾股定理求得，则，由于，则，再证明，得出，然后由勾股定理求出的长即可． 【详解】解：∵正方形， ∴，，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 20．(24-25八下·重庆万州区·期末)如图，正方形的边长为3，为对角线上一点，连接，过点作，交于点，连接，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】重庆市万州区2024-2025学年八年级下学期期末质量监测数学试题卷 【分析】过点F作于点M，点F作于点N，延长交于点Q，证明四边形是矩形，得出，，证明四边形是正方形，得出，证明，得出，．证明四边形是矩形，得出，，求出，，根据勾股定理求出． 【详解】解：过点F作于点M，点F作于点N，延长交于点Q， 则， ∵正方形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，． ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质，熟练掌握性质是解题的关键． 21．(24-25八下·重庆忠县·期末)如图，在中，于点D，将沿直线AC翻折到，将沿直线BC翻折到，此时E，C，F三点恰好共线，若，，则（    ）    A．2 B．4 C．6 D． 【答案】B 【来源】重庆市忠县2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试题 【分析】本题考查矩形的判定与性质，折叠的性质，勾股定理，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键． 过点B作于G，先由折叠的性质得到由折叠可得： ，，，再证明四边形是矩形，得到，，然后设，则，， 在中，由勾股定理，得，解之即可． 【详解】解：过点B作于G，如图，    ∵， ∴， 由折叠可得： ，，，， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 设，则，， 在中，由勾股定理，得 ， 解得：， 即， 故选：B． 22．(24-25八下·重庆渝中区·期末)如图，中，，D为的中点，以为边作正方形，若正方形的面积为2，则的长为（   ） A． B． C．4 D．2 【答案】A 【来源】重庆市渝中区2024—2025学年下学期八年级数学期末测试 【分析】本题考查直角三角形斜边上的中线的性质，根据正方形的面积求出的长，再根据斜边上的中线求出的长即可． 【详解】解：正方形的面积为2， ∴， ∵，D为的中点， ∴； 故选A． 23．(24-25八下·重庆巴蜀中学校·期末)如图，在矩形中，对角线、交于点，的角平分线交于点，连接，若，，则点到的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】重庆市巴蜀中学校2024-2025学年八年级下学期6月期末考试数学试题 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，准确找到所需的直角三角形并用勾股定理求出相应边长是解题的关键．过点作于点，过点作于点，可得，即得，再由是的角平分线，，利用勾股定理求出，，根据，可得，进而求出点到的距离． 【详解】解：过点作于点，过点作于点， 矩形中，对角线、交于点， ， 与是等底等高面积相等的三角形，即， 的角平分线交于点，， ，， ，， ，， ，， ， ， ， 即， ， ， ， 即点到的距离为， 故选：C． 24．(24-25八下·重庆永川区·期末)如图，菱形的对角线、相交于点，菱形的周长为20，，于，连接，则线段的长度为（    ） A．2 B．3 C．5 D．6 【答案】B 【来源】重庆市永川区2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试题 【分析】本题考查了菱形的性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中线性质；熟练掌握菱形的性质是解题的关键．由菱形的性质和周长得出，，，，在中，由勾股定理得到，得出，再由直角三角形斜边上的中线性质即可得出结果． 【详解】解：∵四边形是菱形，菱形的周长为20， ∴，，，． 在中， 由勾股定理得， ∴． ∵于E， ∴． 又∵， ∴． 故选：B ( 地 城 考点0 4 直角三角形斜边上的中线 )25．(24-25八下·重庆合川区·期末)如图，在矩形中，O为对角线的中点，P为矩形所在平面内一点，且，连接，若，则的长为______． 【答案】 【来源】重庆市合川区2024-2025学年下学期八年级数学期末试题 【分析】此题考查了矩形的性质、勾股定理、直角三角形的性质等知识，证明是直角三角形是关键．连接，设相相交于点M，证明是直角三角形，根据矩形的性质、勾股定理、直角三角形的性质进行解答即可． 【详解】解：如图，连接，设相相交于点M， ∵四边形是矩形，O为对角线的中点， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是直角三角形， ∴ 故答案为： 26．(24-25八下·重庆合川区·期末)如图，在矩形中，O为对角线的中点，连接．若，则的长度为______． 【答案】或 【来源】重庆市合川区2024-2025学年下学期八年级数学期末试题 【分析】根据矩形的性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可． 本题考查了矩形的性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 【详解】解：∵矩形中，O为对角线的中点， ， ∴，，， ∴， ∴． 故答案为：或． 27．(24-25八下·重庆梁平区·期末)如图，矩形中，，的平分线与的延长线相交于点E，与相交于点F，点M为的中点，连接．则______度，______． 【答案】 【来源】重庆市梁平区2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试题 【分析】根据矩形的性质，角平分线的定义，得到，平行线的性质，求出，连接，证明，推出为等腰直角三角形，进行求解即可． 【详解】解：∵矩形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴； 连接， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵，点M为的中点， ∴为等腰直角三角形，， ∴，， ∴，， 又∵，， ∴， ∴，， ∴，即：， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴， ∵， ∴； 故答案为： ；． 【点睛】本题考查矩形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，斜边上的中线，全等三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键． 28．(24-25八下·重庆江津区·期末)如图，中，，点D是的中点，，垂足为D，交于E，连接、，如果，，则______． 【答案】13 【来源】重庆市江津区2024-2025学年下学期期末监测八年级数学试卷B卷 【分析】本题考查了直角三角形的性质和勾股定理，解题的关键是利用直角三角形斜边中线性质及勾股定理求解． 由直角三角形斜边上的中线可求，在中，根据勾股定理，由和的长度求出． 【详解】解：∵是的中点，， 在中，， ． 故答案为：． 29．(24-25八下·重庆第一中学校·期末)如图，在中，，，，为中点，是上一点，连接，将沿直线翻折至所在平面内得到，连接，若，则的长度是_____． 【答案】 【详解】解：连接，延长交于G，如图， ∵在中，，，， ∴， ∵E是的中点， ∴， 由折叠知：， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， 则， ∵， ∴， 解得． ∴． 故答案为：． 30．(24-25八下·重庆梁平区·期末)如图，在中，点M是斜边的中点，以为边作正方形．若，则（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】C 【来源】重庆市梁平区2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试题 【分析】本题主要考查了算术平方根的应用，直角三角形斜边上的中线性质．先根据正方形的面积求出，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出． 【详解】解：∵四边形是正方形，， ∴， ∵， ∴， ∵在中，点M是斜边的中点， ∴， 故选：C． 31．(24-25八下·重庆第八中学校·期末)如图，在中，，，，点为斜边上的中点，连接，将沿翻折，使点落在点处，连接，则的面积为_____． 【答案】6.72 【详解】解： 连接，延长交于， 在中，，， ， 点为斜边上的中点， ， 沿翻折，使点落在点处 ， ， ， 设，， 在中，即， 在中，即， 解得：， ， 点为上的中点， ， 故答案为：6.72． 32．(24-25八下·重庆北碚区西南大学附属中学校·期末)如图，在和中，，O为的中点，连接，若，则___________． 【答案】40° 【详解】解：如图：连接， ∵，O为的中点， ∴， ∴， ∴， 即：， ∵， ∴． 故答案为：． ( 地 城 考点0 5 尺规作图&补全证明过程 )33．(24-25八下·重庆铜梁区关溅初级中学校·期末)爱学习的小月在学习平行四边形的判定之后，想继续研究判定一个平行四边形是菱形的方法，她的想法是过平行四边形的一个顶点向两条对边作垂线，如果这个顶点到这两边的距离相等，则可证明该平行四边形是菱形．根据她的想法与思路，完成以下作图和填空： (1)如图，在平行四边形中，于点，用尺规过点作垂线，交于点（不写作法，保留作图痕迹）； (2)已知：如图，在平行四边形中，于点，于点，．求证：平行四边形是菱形． 证明：， ， ____________________①． 四边形为平行四边形 ____________________②． 在与中 ____________________④． 四边形为平行四边形， 平行四边形是菱形 小月进一步研究发现，若过这个顶点与两条对边垂直的直线与两条对边的延长线相交时，结论仍然成立．因此，小月得出结论：过平行四边形一个顶点向两条对边作垂线，与两条对边（或对边延长线）相交，如果这个顶点到这两边的距离相等，那么__________⑤，则可证明该平行四边形是菱形．． 【答案】(1)见解析 (2)；；；；该平行四边形是菱形 【来源】重庆市铜梁区关溅初级中学校2024-2025学年八年级下学期期末数学模拟试卷 【分析】本题考查了菱形的性质，作垂线段，掌握菱形的判定定理是解题的关键． （1）根据过直线外一点作已知直线的垂线的基本作法作图； （2）根据菱形的定义证明． 【详解】（1）解：如图，点即为所求； （2）如图，在平行四边形中，于点，于点，． 求证：平行四边形是菱形． 证明：，， ，． ． 四边形为平行四边形， ． 在与中， ， ， ． 四边形为平行四边形，且， 平行四边形是菱形． 小月进一步研究发现，若过这个顶点与两条对边垂直的直线与两条对边的延长线相交，结论仍然成立． 因此，小月得出结论：过平行四边形一个顶点向两条对边作垂线，该点到这两边的距离相等，那么该平行四边形是菱形． 故答案为：，，．，该平行四边形是菱形． 34．(24-25八下·重庆鲁能巴蜀中学校·期末)在学习矩形和菱形的相关知识后，同学们进行了拓展研究，发现：矩形的一条对角线的垂直平分线与矩形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是菱形，可以利用证明三角形全等得到此结论．根据他们的想法和思路，完成以下作图和填空： (1)如图，为矩形的对角线，用尺规作的垂直平分线，分别交于点E，O，F，连接（不写作法，保留作图痕迹）． (2)已知：如图，四边形是矩形，是对角线，垂直平分，垂足为点O．求证：四边形是菱形． 证明：∵四边形是矩形， ∴ ， ∴，． 又∵， ∴ ∴ ， 又∵， ∴四边形是 ， ∵， ∴四边形是菱形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【来源】重庆市鲁能巴蜀中学校2024-2025学年八年级下学期期末数学试题 【分析】本题考查尺规作垂线，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，菱形的判定，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）根据尺规作垂线的方法作图即可； （2）根据矩形的性质，得到，推出，进而得到，推出四边形是平行四边形，再根据，即可得出结果． 【详解】（1）解：由题意，作图如下： （2）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴，． 又∵， ∴ ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． 35．(24-25八下·重庆江北巴川量子学校·期末)在学习了矩形与菱形的相关知识后，小量发现，作矩形的一条对角线的垂直平分线，与矩形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是菱形，可利用证明三角形全等得到此结论．根据他的想法与思路，完成以下作图与填空： (1)如图，在矩形中，用尺规作对角线的垂直平分线，分别交，，于点，，，连接，．（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）所作图形中，证明：四边形是菱形． 证明：四边形是矩形， ． ①___________，． 垂直平分， 点是的中点， ②___________． ． ③__________． 又， 四边形是平行四边形．（④___________） ， 四边形是菱形． 【答案】(1)见解析 (2)①；②；③；④对角线互相平分的四边形是平行四边形 【来源】重庆市江北巴川量子学校2024—2025学年下学期期末考试八年级数学试题 【分析】本题考查了作图-基本作图，菱形的判定，矩形的性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）分别以为圆心，大于的长为半径画弧，作过两弧交点的直线，分别交，，于点，，，连接，即可； （2）由矩形的性质得到，进而得到，，证明，得到，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形证明四边形是平行四边形，即可得出结论． 【详解】（1）解：所求图形，如图所示； （2）证明：四边形是矩形， ． ∴，． 垂直平分， 点是的中点， ． ． ． 又， 四边形是平行四边形．（对角线互相平分的四边形是平行四边形） ， 四边形是菱形． 故答案为：，，，对角线互相平分的四边形是平行四边形． 36．(24-25八下·重庆大渡口区·期末)在学习了平行四边形的相关知识以后，某数学兴趣小组进行了更深入的探究与思考．如图所示，四边形是平行四边形，对角线交于点E，，交于点F． (1)用无刻度直尺和圆规作在下方作，使得，且射线交的延长线于点G，连接（不写作法，保留作图痕迹）； (2)试探究四边形的形状，并按下列思路完成填空． 证明：∵四边形是平行四边形， ∴对角线互相平分，即． 又∵ ①， ∴为的中位线， ∴ ②． ∵， ③， ∴， ∴ ④． 又， ∴， ∴四边形是平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)；；；； 【来源】重庆市大渡口区2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试题 【分析】本题考查尺规作角平分线，平行四边形的判定和性质，三角形的中位线定理，熟练掌握平行四边形的判定方法，是解题的关键： （1）根据尺规作角平分线的方法，作图即可； （2）根据中位线定理，对顶角相等，证明，得到，内错角相等，得到，即可得证． 【详解】（1）解：由题意，作图如下： （2）证明：∵四边形是平行四边形， ∴对角线互相平分，即， 又∵①， ∴为的中位线， ∴②， ∵，③， ∴， ∴④， 又， ∴， ∴四边形是平行四边形． 故答案为：；；；． 37．(24-25八下·重庆巫山县·期末)如图，在四边形中，为对角线，． (1)用无刻度直尺和圆规在线段上求作一点，使得，连接；（保留作图痕迹，不写作法） (2)若，小米在证明（1）中得到的四边形是平行四边形时，考虑先用等边对等角与等量代换，得到一组角相等，进而证明两三角形全等，再利用“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”，得到四边形是平行四边形．请根据小米的证明思路补充以下证明过程． 证明：， ①___________， ， ， ②___________， 在和中， ， ，， 四边形是④___________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【来源】重庆市巫山县2024-2025学年八年级下学期期末数学试题 【分析】本题考查了尺规基本作图作线段的垂直平分线，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定．熟练掌握线段垂直平分线的性质和平行四边形的判定是解题的关键． （1）作的垂直平分线交于点，则； （2）先证明，再证明，得到，，然后根据平行四边形的判定方法得出结论． 【详解】（1）解：如图，点为所作； （2）证明：， ∴①， ， ， ∴②， 在和中， ， ， ，， 四边形是平行四边形． 38．(24-25八下·重庆秀山县·期末)如图，已知四边形平行四边形． (1)请用直尺和圆规作线段的垂直平分线，与交于点M，与交于点N（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，连接，若，求的度数． 解：由（1）的作法可知，为线段的垂直平分线， ____①____； ____②____； 四边形是平行四边形 ____③____； ； ____④____； 【答案】(1)见解析 (2)①②③④． 【来源】重庆市秀山县2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试题 【分析】本题考查垂直平分线的尺规作图与性质，平行四边形的性质，平行线的判定与性质，掌握知识点是解题的关键． （1）根据垂直平分线的尺规作图方法，即可解答； （2）由（1）的作法可知，为线段的垂直平分线，得到，则，由四边形是平行四边形，则，即可解答． 【详解】（1）解：作图如图 （2）由（1）的作法可知，为线段的垂直平分线， ； ； 四边形是平行四边形 ； ； ； ． 故答案为：①②③④． 39．(24-25八下·重庆第七中学校·期末)小李在学习平行四边形时发现：在平行四边形中，的角平分线交于点E，的角平分线交于点F，连接，，则四边形也是平行四边形．他的证明思路是：利用平行四边形的性质得三角形全等，再利用平行四边形的判定定理，从而使问题得以解决．请根据小李的思路将下面证明过程补充完整． 证明：四边形是平行四边形， ① ，，． ． 平分，平分， ,, ． ② ，． ． 即③ ． ∴四边形是平行四边形（④ ）． 【答案】①；②；③；④一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 【来源】 重庆市第七中学校2024--2025学年下学年八年级数学期末试卷 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，平行线的性质，三角形全等的判定和性质， 解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质，数形结合． 利用平行四边形的性质证，得，， 再利用平行四边形的判定定理证明四边形是平行四边形． 【详解】证明：四边形是平行四边形， ，，． ． 平分，平分， ，， ， ． ，． ． 即． ， ∴四边形是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）． 40．(24-25八下·重庆长寿区·期末)如图，在平行四边形中，，于点F． (1)用尺规完成以下基本作图：作的平分线交BC于点E，连接交于点G；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）所作的图形中，若，求证：．（请补全下面的证明过程） 证明：（1）∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴①________， ∵， ∴②________， ∴， ∴③________， ∵平分， ∴④________， 在△ABE和△AGE中， ， ∴（⑤________）， ∴． 【答案】(1)见解析 (2)①；②；③；④；⑤ 【来源】重庆市长寿区2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试题 【分析】（1）先利用尺规作出的平分线，再连线即可； （2）根据平行四边形的性质，全等三角形的判定，平行线的性质，对推理过程逐一分析，再填空． 【详解】（1）解：如图所示， （2）证明：（1）∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴． 故答案为：①；②；③；④；⑤． ( 地 城 考点0 6 四边形相关基础证明 )41．(24-25八下·重庆第七中学校·期末)如图，在中，对角线和交于点O，点E、点F分别为的中点，连接． (1)求证：； (2)已知，．若，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)的面积为． 【来源】 重庆市第七中学校2024--2025学年下学年八年级数学期末试卷 【详解】（1）证明：∵四边形为平行四边形， ∴，，， ∴， ∵点E，F分别是的中点， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴的面积． 42．(24-25八下·重庆忠县·期末)如图，是平行四边形边上一点，线段的延长线与边的延长线交于点． (1)若点是的中点，证明：四边形是平行四边形； (2)平行四边形的面积为，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)3 【来源】重庆市忠县2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试题 【分析】本题主要考查平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，掌握以上知识是关键． （1）根据平行四边形的性质可证，结合平行四边形的判定即可求解； （2）设平行四边形边与的距离为，结合平行四边形面积，三角形面积的计算即可求解． 【详解】（1）证明：如图， 四边形平行四边形， ， ， 点是的中点， ， 又∵， ， ， ， 四边形是平行四边形； （2）解：设平行四边形边与的距离为， 则平行四边形面积为，而的面积为， 的面积为． 43．(24-25八下·重庆合川区·期末)如图，在平行四边形中，，交BC于点E，且，F为的中点，连接交于点G． (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接并延长交于点H，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【来源】重庆市合川区2024-2025学年下学期八年级数学期末试题 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，垂直的定义，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． （1）根据等腰三角形的判定和性质以及垂直的定义，得出相等的角，进而得出，最后可得结论； （2）根据（1）得出的结论，得出为等腰直角三角形和为等腰直角三角形，假设，利用勾股定理表示出相关的边长，最后进行比较可得结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴为等腰三角形， ∵F为的中点， ∴垂直平分线段， ， ∵， ， ， ， 又∵， ∴， ∴； （2）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， 由（1）得， ∴， 又， ∴为等腰直角三角形， ∴， ， ∴， ∴为等腰直角三角形， 假设， 由勾股定理得， 由（1）得垂直平分线段， ， ， ∴， ， ， ∴． 44．(24-25八下·重庆秀山县·期末)如图，在平行四边形中，点M是的中点，且． (1)求证：平行四边形是矩形； (2)若，，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【来源】重庆市秀山县2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试题 【分析】（1）根据平行四边形的两组对边分别相等可证，可知，所以是矩形． （2）先证明是等边三角形，得到，则，有勾股定理得，求出，即可解答． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵点M是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴平行四边形是矩形． （2）∵平行四边形是矩形 ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得或（不合题意，舍去） ∴， ∴线段的长． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，含的直角三角形，矩形的判定与性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质，熟练掌握以上性质是解题的关键． 45．(24-25八下·重庆南川区·期末)如图．在中，是边的中点，延长至，使得，连接，延长至，使得，连接． (1)求证：四边形是平行四边形： (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【来源】重庆市南川区2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试题 【分析】（1）根据题意推出，进而推出，再结合平行四边形判定定理证明，即可解题； （2）根据题意推出，结合线段中点的特点，以及三角形中位线性质，推出，，利用勾股定理求出，进而得到，再结合勾股定理求出，即可得到． 【详解】（1）证明：∵D是边的中点， ∴， ∵，则C是边的中点， ∴， ∵ ∴四边形是平行四边形； （2）∵D是边的中点，， ∴， ∵，， ∴ 在中， ∴ ∵， ∵， ∴， ∴， ∴ 在中， ∴ 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理以及勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． 46．(24-25八下·重庆潼南区·期末)如图，在中，D是边的中点，延长至E，使得，连接，延长至F，使得，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【来源】重庆市潼南区2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试题 【分析】本题考查了中位线的判定及性质、平行四边形的判定、勾股定理，熟练掌握性质定理是解题的关键． （1）根据中位线的判定和性质得出，再根据平行四边形的判定即可得证； （2）根据中位线的性质得出，再根据平行线的性质得出，然后两次利用勾股定理即可得出答案． 【详解】（1）证明：，D是边的中点， 是的中位线， ，即， ， 四边形是平行四边形； （2）解：由（1）知，是的中位线，， ，， ， ， ， 在中，，， ， 在中，， ． 47．(24-25八下·重庆万州区·期末)如图，在四边形中，，，点是边上一点（不与重合），过点作，交边于点，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2)5 【来源】重庆市万州区2024-2025学年八年级下学期期末质量监测数学试题卷 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定，垂直的定义，全等三角形的判定和性质，勾股定理等内容，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． （1）根据条件得出四边形是平行四边形，再根垂直的定义和等量代换，得出，即可得出平行四边形内的直角，继而可得出结论； （2）连接，证明，得出对应边相等，假设未知数，根据勾股定理列出方程求解即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ， ， 又∵， ∴， ， ∴平行四边形是矩形； （2）解：如图，连接， ，,且， ， ， 假设，则， 由勾股定理得， 即， 解得， ∴的长为5． 48．(24-25八下·重庆忠县·期末)如图，在矩形中，点E是边上一点，于点F，． (1)证明：平分； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)10 【来源】重庆市忠县2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试题 【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是证明． （1）根据矩形的性质证明，得，进而可以解决问题； （2）由（1）知，得，根据矩形的性质证明，得，然后利用勾股定理求出即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴平分； （2）解：由（1）知：， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， 在中，根据勾股定理得：， ∴， ∴， ∴． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 四边形相关基础题 6大高频考点概览 考点01四边形相关角度问题 考点02四边形相关概念 考点03四边形相关线段求解 考点04 直角三角形斜边上的中线 考点05尺规作图&补全证明过程 考点06 四边形相关基础证明 ( 地 城 考点01 四边形相关角度问题 )1．(24-25八下·重庆鲁能巴蜀中学校·期末)如图，为菱形的对角线，于点E，若，则度数为（    ） A． B． C． D． 2．(24-25八下·重庆合川区·期末)如图，在菱形中，E，F分别为边，的中点，交于点G，连接．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．(24-25八下·重庆铜梁区·期末)如图，在矩形中，点是的中点，交于点，连接．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．(24-25八下·重庆秀山县·期末)如图，在菱形中，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 5．(24-25八下·重庆第八中学校·期末)如图，四边形为菱形，点E为线段上一点，若将沿所在直线翻折，使得点D的对应点恰好落到的延长线上，若，则可以表示为（   ） A． B． C． D． 6．(24-25八下·重庆长寿区·期末)如图，正方形中，点E为边延长线上一点，点F在边上，且，连接，，交于G，若，则(　　) A． B． C． D． 7．(24-25八下·重庆南川区·期末)如图，在菱形中，，点为对角线上一点，且满足，则的度数为（    ） A． B． C． D． 8．(24-25八下·重庆巴蜀中学校·期末)如图，在菱形中，对角线、相交于点，点在边上，且，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． ( 地 城 考点0 2 四边形相关概念 )9．(24-25八下·重庆巴南区·期末)下列说法错误的是（   ） A．对角线互相平分的四边形是平行四边形 B．对角线互相垂直的平行四边形是矩形 C．对角线互相垂直的矩形是正方形 D．三个角是直角的四边形是矩形 10．(24-25八下·重庆渝北中学校·期末)下列命题的逆命题成立的是（   ） A．邻补角互补 B．线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 C．全等三角形的对应角相等 D．矩形的对角线相等 11．(24-25八下·重庆西南大学附属中学校·期末)下列说法正确的是（  ） A．有两边相等的平行四边形是菱形 B．到三角形三边距离相等的点是三角形三边垂直平分线的交点 C．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．对角线相等的平行四边形是矩形 12．(24-25八下·重庆永川区·期末)下列四个命题中，是假命题的是（    ） A．对角线互相垂直且平分的四边形是菱形 B．对角线互相垂直的矩形是正方形 C．对角线互相平分的四边形是平行四边形 D．对角线相等的四边形是矩形 13．(24-25八下·重庆铜梁区关溅初级中学校·期末)下列说法中，错误的是（   ） A．矩形的对角线相等 B．正方形的对角线互相垂直平分 C．对角线互相垂直的四边形是菱形 D．对角线互相平分的四边形是平行四边形 14．(24-25八下·重庆两江新区·期末)下列说法正确的是（    ） A．平行四边形的对角线一定相等 B．有一组邻边相等的平行四边形是菱形 C．对角线互相垂直的平行四边形是正方形 D．矩形的对角线互相垂直平分 15．(24-25八下·重庆长寿区·期末)下列命题中是真命题的是（　　） A．一组对边平行，另外一组对边相等的四边形是平行四边形 B．有一组邻边相等的四边形是菱形 C．有一个角是直角的四边形是矩形 D．四边相等且对角线相等的四边形是正方形 16．(24-25八下·重庆江津区·期末)下列说法正确的是（   ） A．一组对边平行，一组对边相等的四边形是平行四边形 B．对角线互相垂直的平行四边形是矩形 C．四条边相等的四边形是正方形 D．有一个角是直角的平行四边形是矩形 ( 地 城 考点0 3 四边形相关线段求解 )17．(24-25八下·重庆荣昌区·期末)如图，菱形中，边长为5，则该菱形周长是（    ） A．5 B．10 C．20 D．25 18．(24-25八下·重庆大足区·期末)如图，在中，分别是的中点，连接．若的周长是，则的周长是（    ）． A．12 B．16 C．20 D．24 19．(24-25八下·重庆潼南区·期末)如图，在边长为6的正方形中，对角线，交于点，点M，N分别在，上，连接，，．若，，则的长为（   ） A．1 B．2 C． D． 20．(24-25八下·重庆万州区·期末)如图，正方形的边长为3，为对角线上一点，连接，过点作，交于点，连接，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 21．(24-25八下·重庆忠县·期末)如图，在中，于点D，将沿直线AC翻折到，将沿直线BC翻折到，此时E，C，F三点恰好共线，若，，则（    ）    A．2 B．4 C．6 D． 22．(24-25八下·重庆渝中区·期末)如图，中，，D为的中点，以为边作正方形，若正方形的面积为2，则的长为（   ） A． B． C．4 D．2 23．(24-25八下·重庆巴蜀中学校·期末)如图，在矩形中，对角线、交于点，的角平分线交于点，连接，若，，则点到的距离为（   ） A． B． C． D． 24．(24-25八下·重庆永川区·期末)如图，菱形的对角线、相交于点，菱形的周长为20，，于，连接，则线段的长度为（    ） A．2 B．3 C．5 D．6 ( 地 城 考点0 4 直角三角形斜边上的中线 )25．(24-25八下·重庆合川区·期末)如图，在矩形中，O为对角线的中点，P为矩形所在平面内一点，且，连接，若，则的长为______． 26．(24-25八下·重庆合川区·期末)如图，在矩形中，O为对角线的中点，连接．若，则的长度为______． 27．(24-25八下·重庆梁平区·期末)如图，矩形中，，的平分线与的延长线相交于点E，与相交于点F，点M为的中点，连接．则______度，______． 28．(24-25八下·重庆江津区·期末)如图，中，，点D是的中点，，垂足为D，交于E，连接、，如果，，则______． 29．(24-25八下·重庆第一中学校·期末)如图，在中，，，，为中点，是上一点，连接，将沿直线翻折至所在平面内得到，连接，若，则的长度是_____． 30．(24-25八下·重庆梁平区·期末)如图，在中，点M是斜边的中点，以为边作正方形．若，则（   ） A． B．2 C． D．4 31．(24-25八下·重庆第八中学校·期末)如图，在中，，，，点为斜边上的中点，连接，将沿翻折，使点落在点处，连接，则的面积为_____． 32．(24-25八下·重庆北碚区西南大学附属中学校·期末)如图，在和中，，O为的中点，连接，若，则___________． ( 地 城 考点0 5 尺规作图&补全证明过程 )33．(24-25八下·重庆铜梁区关溅初级中学校·期末)爱学习的小月在学习平行四边形的判定之后，想继续研究判定一个平行四边形是菱形的方法，她的想法是过平行四边形的一个顶点向两条对边作垂线，如果这个顶点到这两边的距离相等，则可证明该平行四边形是菱形．根据她的想法与思路，完成以下作图和填空： (1)如图，在平行四边形中，于点，用尺规过点作垂线，交于点（不写作法，保留作图痕迹）； (2)已知：如图，在平行四边形中，于点，于点，．求证：平行四边形是菱形． 证明：， ， ____________________①． 四边形为平行四边形 ____________________②． 在与中 ____________________④． 四边形为平行四边形， 平行四边形是菱形 小月进一步研究发现，若过这个顶点与两条对边垂直的直线与两条对边的延长线相交时，结论仍然成立．因此，小月得出结论：过平行四边形一个顶点向两条对边作垂线，与两条对边（或对边延长线）相交，如果这个顶点到这两边的距离相等，那么__________⑤，则可证明该平行四边形是菱形．． 34．(24-25八下·重庆鲁能巴蜀中学校·期末)在学习矩形和菱形的相关知识后，同学们进行了拓展研究，发现：矩形的一条对角线的垂直平分线与矩形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是菱形，可以利用证明三角形全等得到此结论．根据他们的想法和思路，完成以下作图和填空： (1)如图，为矩形的对角线，用尺规作的垂直平分线，分别交于点E，O，F，连接（不写作法，保留作图痕迹）． (2)已知：如图，四边形是矩形，是对角线，垂直平分，垂足为点O．求证：四边形是菱形． 证明：∵四边形是矩形， ∴ ， ∴，． 又∵， ∴ ∴ ， 又∵， ∴四边形是 ， ∵， ∴四边形是菱形． 35．(24-25八下·重庆江北巴川量子学校·期末)在学习了矩形与菱形的相关知识后，小量发现，作矩形的一条对角线的垂直平分线，与矩形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是菱形，可利用证明三角形全等得到此结论．根据他的想法与思路，完成以下作图与填空： (1)如图，在矩形中，用尺规作对角线的垂直平分线，分别交，，于点，，，连接，．（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）所作图形中，证明：四边形是菱形． 证明：四边形是矩形， ． ①___________，． 垂直平分， 点是的中点， ②___________． ． ③__________． 又， 四边形是平行四边形．（④___________） ， 四边形是菱形． 36．(24-25八下·重庆大渡口区·期末)在学习了平行四边形的相关知识以后，某数学兴趣小组进行了更深入的探究与思考．如图所示，四边形是平行四边形，对角线交于点E，，交于点F． (1)用无刻度直尺和圆规作在下方作，使得，且射线交的延长线于点G，连接（不写作法，保留作图痕迹）； (2)试探究四边形的形状，并按下列思路完成填空． 证明：∵四边形是平行四边形， ∴对角线互相平分，即． 又∵ ①， ∴为的中位线， ∴ ②． ∵， ③， ∴， ∴ ④． 又， ∴， ∴四边形是平行四边形． 37．(24-25八下·重庆巫山县·期末)如图，在四边形中，为对角线，． (1)用无刻度直尺和圆规在线段上求作一点，使得，连接；（保留作图痕迹，不写作法） (2)若，小米在证明（1）中得到的四边形是平行四边形时，考虑先用等边对等角与等量代换，得到一组角相等，进而证明两三角形全等，再利用“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”，得到四边形是平行四边形．请根据小米的证明思路补充以下证明过程． 证明：， ①___________， ， ， ②___________， 在和中， ， ，， 四边形是④___________． 38．(24-25八下·重庆秀山县·期末)如图，已知四边形平行四边形． (1)请用直尺和圆规作线段的垂直平分线，与交于点M，与交于点N（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，连接，若，求的度数． 解：由（1）的作法可知，为线段的垂直平分线， ____①____； ____②____； 四边形是平行四边形 ____③____； ； ____④____； 39．(24-25八下·重庆第七中学校·期末)小李在学习平行四边形时发现：在平行四边形中，的角平分线交于点E，的角平分线交于点F，连接，，则四边形也是平行四边形．他的证明思路是：利用平行四边形的性质得三角形全等，再利用平行四边形的判定定理，从而使问题得以解决．请根据小李的思路将下面证明过程补充完整． 证明：四边形是平行四边形， ① ，，． ． 平分，平分， ,, ． ② ，． ． 即③ ． ∴四边形是平行四边形（④ ）． 40．(24-25八下·重庆长寿区·期末)如图，在平行四边形中，，于点F． (1)用尺规完成以下基本作图：作的平分线交BC于点E，连接交于点G；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）所作的图形中，若，求证：．（请补全下面的证明过程） 证明：（1）∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴①________， ∵， ∴②________， ∴， ∴③________， ∵平分， ∴④________， 在△ABE和△AGE中， ， ∴（⑤________）， ∴． ( 地 城 考点0 6 四边形相关基础证明 )41．(24-25八下·重庆第七中学校·期末)如图，在中，对角线和交于点O，点E、点F分别为的中点，连接． (1)求证：； (2)已知，．若，求的面积． 42．(24-25八下·重庆忠县·期末)如图，是平行四边形边上一点，线段的延长线与边的延长线交于点． (1)若点是的中点，证明：四边形是平行四边形； (2)平行四边形的面积为，求的面积． 43．(24-25八下·重庆合川区·期末)如图，在平行四边形中，，交BC于点E，且，F为的中点，连接交于点G． (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接并延长交于点H，求证：． 44．(24-25八下·重庆秀山县·期末)如图，在平行四边形中，点M是的中点，且． (1)求证：平行四边形是矩形； (2)若，，求线段的长． 45．(24-25八下·重庆南川区·期末)如图．在中，是边的中点，延长至，使得，连接，延长至，使得，连接． (1)求证：四边形是平行四边形： (2)若，求的长． 46．(24-25八下·重庆潼南区·期末)如图，在中，D是边的中点，延长至E，使得，连接，延长至F，使得，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，求的长． 47．(24-25八下·重庆万州区·期末)如图，在四边形中，，，点是边上一点（不与重合），过点作，交边于点，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，，求的长． 48．(24-25八下·重庆忠县·期末)如图，在矩形中，点E是边上一点，于点F，． (1)证明：平分； (2)若，求的长． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $