专题03 四边形相关拓展题（5类40道）（期末真题汇编，重庆专用）八年级数学下学期

**基本信息** 聚焦四边形五大高频考点，精选重庆多区县及重点中学期末真题，覆盖折叠、综合、最值等核心题型，注重几何直观与逻辑推理能力考查。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |填空题|3题|折叠问题（如第1题正方形折叠求坐标）|结合坐标系与图形变换，考查空间观念| |选择题|20题|综合问题（如第10题正方形多结论判断）、最值问题（如第18题菱形中线段和最小）|多结论辨析，融合对称与中点模型| |解答题|17题|几何证明压轴题（如第34题平行四边形三问递进）|分层设问，考查推理能力与创新意识|

命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题03四边形相关拓展题 ☆5大高频考点概览 考点01四边形相关折叠问题 考点02四边形相关综合问题 考点03四边形相关最值问题 考点04四边形相关求解问题 考点05几何证明压轴题 目目 考点01 四边形相关折叠问题 1.(24-25八下·重庆南岸区·期末)如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边AB在x轴上，点A的坐 标为(-2，O),点E在边CD上.将△BCE沿BE折叠，点C落在点F处.若点F的坐标为(O,6),则AB的长 为 ；点E的坐标为 VA B 【答案】 10 (3,10) 【详解】解：：四边形ABCD是正方形，边AB在x轴上， AD=AB=CD=CB,AD⊥x轴，CD⊥y轴， 由折叠得FB=CB,FE=CE, 设CD交y轴于点G,AD=AB=CB=CD=m,则BF=OG=m, y B :A(-2,0),F0,6, 0A=GD=2,0F=6, .0B=m-2, :LB0F=∠EGF=90°， 1/65 命学科网 www.zx×k.com 让教与学更高效 .OB2+OF2=BF2, (m-22+62=m2, 解得m=10, .AB=AD=0G=CD=10, FG=10-6=4,FE=CE=10-2-GE=8-GE, GE2+FG2=FE2, GE2+42=(8-GE), 解得GE=3, E3,10), 故答案为：10，(3,10). 2.(2425八下·重庆潼南区期末)如图，点E在矩形ABCD的CD边上，连接BE,将BEC沿BE折叠，点 C恰好落在AD边上的点F处，连接BF,EF.若AB=6,AF=8,则CE的长为· 【答案】 10/3 【来源】重庆市潼南区20242025学年八年级下学期期末考试数学试题 【分析】本题考查矩形与折叠，勾股定理，根据矩形的性质，折叠的性质，在RtAABF中，利用勾股定理求 出BF的长，进而求出DF的长，设CE=EF=x,在Rt△DEF中，利用勾股定理进行求解即可. 【详解】解：矩形ABCD, .∠A=∠D=90°，CD=AB=6,BC=AD, 在Rt△ABF中，AB=6,AF=8, BF=AB2+AF2=10 :折叠， .BF=BC=10,CE=EF, .AD =BC=10, .DF AD-AF =2, 2165 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 设CE=EF=x,则：DE=CD-CE=6-x, 在Rt△DEF中，由勾股定理，得：x2=(6-x+22, 解得：X=3 0 CE=10 故答案为： 10 3.(24-25八下·重庆巴南区·期末)如图，先将正方形ABCD对折，折痕为MN,再沿DE折叠，使点C落在 折痕MN上，记为点F,连接AF,己知正方形边长为2，则AF的长为() M A. B.5 C.2 D.5 【答案】C 【详解】解：，四边形ABCD是正方形， .AD=CD =2, 由折叠的性质可得MW是线段AD的垂直平分线， .:AF =DF, 再由折叠的性质可得DC=DF=2, ∴AD=AF=DF=2, 故选：C. 4.(24-25八下·重庆忠县期末)如图，在ABC中，CD⊥AB于点D,将△ACD沿直线AC翻折到△ACE, 将△BCD沿直线BC翻折到BCF,此时E,C,F三点恰好共线，若EF=46,AE=6,则BF=() E D A.2 B.4 C.6 D.26 3/65 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 【答案】B 【来源】重庆市忠县2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试题 【分析】本题考查矩形的判定与性质，折叠的性质，勾股定理，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键 过点B作BG⊥AE于G,先由折叠的性质得到由折叠可得：BF=BD,AD=AE=6,LE=∠ADC=90°， 再证明四边形BGEF是矩形，得到BF=EG,BG=EF=4√6，然后设BF=BD=EG=x,则AG=6-x, AB=6+x, 在Rt△AGB中，由勾股定理，得(6-x)2+46)=(6+x)2,解之即可. 【详解】解：过点B作BG⊥AE于G,如图， E G B :CD⊥AB, .∠ADC=LBDC=90°， 由折叠可得：BF=BD,AD=AE=6,∠E=∠ADC=90°，∠F=∠BDC=90°， :BG⊥AE, LAGB=∠EGB=90°， 四边形BGEF是矩形， BF=EG,BG=EF=46, .BF=EG=BD, 设BF=BD=EG=x,则AG=6-x,AB=6+x, 在Rt△AGB中，由勾股定理，得 (6-x2+46}=(6+x2, 解得：x=4, 即BF=4, 故选：B 5.(24-25八下·重庆第八中学校期末)如图，四边形ABCD为菱形，点E为线段CD上一点，若将△ADE沿 AE所在直线翻折，使得点D的对应点D恰好落到BC的延长线上，若LDAE=a,则∠CED'可以表示为() 4/65 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 A.60+2 B.45°+a C.180°-6 D.3a 【答案】C 【来源】重庆市第八中学校2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试题 【分析】本题考查菱形的性质、折叠问题.先根据折叠得到AD'=AD，∠AED'=∠AED,然后根据菱形的 性质得到∠AD'B=∠B=∠D=∠DAD'=2a,然后根据角的和差解答即可. 【详解】解：由折叠可得∠AED'=∠AED=180°-∠D-∠DAE,AD'=AD, 又：ABCD是菱形， 、.AD‖BC,∠B=∠D，AB=AD, ∠AD'B=LDAD'=2∠DAE,AD'=AB, .ZAD'B ZB=ZD ZDAD'=2a, 在△ADE中，∠AEC是外角， ∠AEC=∠D+∠DAE, .∠CED'=∠AED'-∠AEC=180°-∠D-∠DAE-∠D-∠DAE=180°-2∠D-2∠DAE=180°-6a, 故选：C 6.(2425八下·重庆西南大学附属中学校期末)如图，己知正方形ABCD边长为2，点E,F分别在边 AD,BC上，将四边形DEFC沿着EF翻折，点C的对应点C恰好落在AB边上.若S四边形DEFC=。 S方up' 8 则线段EF长为() A E D A.5 B.√6 C.2√2 D.V3+1 【答案】A 【来源】重庆西南大学附属中学校2024-2025学年下学期期末考试八年级数学试题 【分析】连接CC'交EF于点O,过点F作FG⊥AD于G:可证明四边形ABFG是矩形，则 5/65 丽学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 3 FG=AB=2,BF=AG,由S边DEc=SE方形Im得DE+CF=2:设CF=X,则DE=之x,BF=2-x,从 3 8 而GE=2x-子：再证明△C8Cg△FGE,则8C-GE:在R1达BCF中利用勾股定率建立方程可求得￥的值， 再由勾股定理即可求解。 【详解】解：如图，连接CC'交EF于点O,过点F作FG⊥AD于G; 则∠FGA=90°， :四边形ABCD为正方形， ∴∠A=∠B=90°，AD=AB=BC=2, LA=∠B=LFGA=90°， :四边形ABFG是矩形， FG=AB=2,BF=AG,∠BFG=90°； 8E方形aCD=。X22=3 3 8 2” 3 (DE+CF)X2- ， :DE+CF=2: 3 设CF=x,则DE=-x,4G=BF=BC-CF=2-x, GE-AD-4G-DE2 由折叠知C'F=CF=x,EF⊥CC', ∴.LGF0+L0FC=L0FC+∠0CF=90°， .∠GFO=∠OCF; :FG=AB=BC,∠FGE=∠B=90°， :.△CBC'≌△FGE(ASA), BC'=GE=2x-号； 在Rt△BC'F中，由勾股定理得BC2+BF2=CF2, 整理得：4-1r+宁-0，即2x-=0, 6/65 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 5 X=4 在R1△FGE中，GE=2x?}-1,由勾股定理得EF=VFG+GE=V5. B 故选：A. 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定 理等知识，证明三角形全等是解题的关键. 7.(24-25八下·重庆长寿区期末)如图，在矩形纸片ABCD中，AB=5,AD=4,点E为AD边上一点，将 △ABE沿BE翻折，点A恰好落在CD边上点F处，则AE长为() D E A------------------B 5-2 A B. 11 C.3 D. > 【答案】A 【来源】重庆市长寿区2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试题 【分析】本题主要考查翻折变换（折叠问题），矩形的性质，勾股定理，由轴对称的性质可得： △EFB≌△EAB,则AE=EF,BF=AB=I0；在RtaBCF中，由勾股定理可得FC=3,则DF=2;设 AE=x,则DE=4-x,在Rt△DEF中，利用勾股定理列出方程，解方程即可得出结论 【详解】解：：△EFB是由△EAB沿直线BE翻折得到， △EFB≌△EAB, 则AE=EF,BF=AB=5. “四边形ABCD是矩形， :BC=AD=4,CD=AB=5,∠C=∠D=90°. 在RtBCF中， 7/65 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 CF=VBF2-BC2=V52-42=3, DF=DC-CF=5-3=2. 设AE=x,则EF=AE=x,DE=4-x, 在Rt△DEF中， DE2+DF2=EF2, (4-x)2+22=x2, 解：子 测6多 故选：A. 8.(24-25八下·重庆大足区·期末)如图，在矩形ABCD中，AB=3,AD=5,点E为AB边上一点，将△BCE沿 CE翻折，点B恰好落在AD边上点F处，则BE长为() B 4 A 3 C D. 5 4 【答案】B 【来源】重庆市大足区20242025学年八年级下学期期末考试数学试题 【分析】本题主要考查矩形的性质与折叠，勾股定理.根据矩形的性质与折叠得到AF=AD-DF=1,设 AE=AE=x,AE=3-x,再利用勾股定理EF2=AF?+AE2,解出x的值即可求出 【详解】解：：矩形纸片ABCD中，AB=3,AD=5,将△ABE沿CE翻折， :CD=3,BC=CF=AD=5,BE=EF, LA=∠D=90°， 在Rt△CDF中，DF=VCF2-CD2=V52+32=4, :AF AD-DF=1, 设BE=EF=x,AE=3-x, 在RtAAEF中，EF2=AF2+AE2, .x2=12+(3-x)2, 8/65 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 解得：x= 5 :BE= 5 故选：B. 目目 考点02 四边形相关综合问题 9.(2425八下.重庆巴蜀中学期末)如图，AB=AD,AC=AE,∠EAC=∠DAB,连接ED,且ED的延长线交 BC于点F,连接AF,则下列说法中正确的有() ①ED=CB;②LEAC+LDFB=I8O°；③∠EFA=∠AFB;④BC+AD=EF A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】C 【详解】解：“∠EAC=∠DAB, .∠EAD+LDAC=LCAB+∠DAC, LEAD=∠CAB, 又：AB=AD,AC=AE, .△ADE≌△ABC(SAS), DE=BC,∠ADE=∠ABC,故①正确： :∠ADF+∠ADE=180°， ∠ADF+∠ABC=180°， :∠ADF+∠ABC+∠DAB+DFB=360°， ∠DAB+DFB=180°， :∠EAC=∠DAB, ∠EAC+DFB=180°，故②正确： 过点A分别作AH⊥EF于点H,作AG⊥CB交CB的延长线于点G,如图所示： 9/65 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 H 由旋转性质知AB=AD,LEDA=LCBA, ∠ADH=∠ABG, 又∠G=∠AHD=90°， ∴.△AHD≌△AGB(AAS), :.AH=AG, 又：AH⊥HF,AG⊥FG, .AF平分∠DFB, ·∠EFA=∠AFB,故③正确； 由已知无法确定AD∥BC,则∠DAF与∠AFB不一定相等， :∠AFD与∠AFB不一定相等， ∴.AD与DF不一定相等， .BC+AD=DE+AD不一定等于DE+DF=EF,故④错误， 故正确的有3个。 故选：C. 10.(24-25八下.重庆渝北中学校期末)如图，在正方形ABCD中，AB=5,E为边CD上一动点（不与端点 重合)，AE交BD于点F,过点F作FH⊥AE交BC于点H,过点H作HG⊥BD于点G,连接AH,HE· 给出下列结论： ①4F=HE:②∠HE=45,®FG=5:①m=22.其中正确的个数有() 2 D E G A.1个 B.2个 C.3个 D.4 10/65 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 【答案】B 【详解】解：①连接CF,延长HF交AD于L, F G :BD为正方形ABCD的对角线， ∠ADB=∠CDF=45°， AD=CD,DF=DF, △ADF≌aCDF(SAS), FC=AF,∠ECF=∠DAF, :∠ALH+∠LAF=90°， .∠LHC+∠DAF=90°， :∠ECF=∠DAF, .∠FHC=∠FCH, .FH=FC, .FH=AF, :FH⊥AE, .FH<EH, :AF<EH,故①错误； ②：FH⊥AE,FH=AF, ∠HAE=45°，故②正确； ③连接AC交BD于O,则BD⊥AC, L D F :∠FAO=∠HFG,∠AOF=LFGH,AF=HF, 11/65 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :△AFO≌aFHG(AAS), .FG=A0, A0=)4C=xV24B=5y2 1 2 2 :FG=5V2,故③正确 2 ④若FH=2V2,则AH=√2FH=4, :AH<AB,这与直角三角形的斜边大于直角边矛盾，故④错误； 综上所述，正确的有②③，共2个， 故选：B. 11.(24-25八下重庆育才中学校期末)如图，在ABC中，点D是BC边上一点，BD:CD=1:2,连接AD, 点E是线段AD的中点，连接CE,点F是线段CE的中点，连接BF交线段AD于点G,过点E作EH∥BF B于点H,连接G,则下列结论：①SA:=SAcE:②S人SAc；③SAEFG=SAGH: S.EFG+S.DBG=S四边形cFGD·其中正确的个数是() D 4 B H A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】C 【详解】解：：BD:CD=1:2, S.ABD S.4CD BD CD=1:2, 设SABD=2S,则SACD=4S，S。4ac=6S, 如图1，连接BE,DF, H 图1 点E是线段AD的中点， 12/65 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 1 Sa=S=5.n=2S,Sc=SmE=)So=S,①正确，故符合要求， 2 2 S.BCE=S.DCE+S.DBE =3S, :点F是线段CE的中点， S=S.ESCE-S S.DCF=SDEF=DCE=S s1,即Sc S.NCE =2 S.ABC 6S 4 S。c,②正确，故符合要求： .S.DEF =S.DBE 设F到DE的距离为h,B到DE的距离为h, 0ExA=0Ex,即4-， 1 S.nr-DGxte S.nw DGxha .S.DFG S.DBG 5.DEF-5.oF.-..om 3 GS.MEF=8, 2 4 EH∥BF, S.GBm=SGaE=S,rG,③正确，故符合要求； SG+5.oe=S.ae+5.ao=S，及cn=5s-Sm=S, :S△EFG+SADBG≠S四边形CFGD,④错误，故不符合要求； 故选：C 12.(24-25八下·重庆秀山土家族苗族自治县·期末)如图，正方形ABCD边长为20，点P为正方形对角线 BD上任一点，过点P作PE⊥BC于点E,作PF⊥CD于点F,连接EF,AP,给出以下4个结论：① AP=EF;②SAABP=S四边形BPFE;③AP+EF的最小值是5V3;④若LBAP=60°时，则EF的长度为 20√3-20.其中正确的个数是() F C 13/65 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】C 【详解】解：连接PC,如图所示： D F E H 在正方形ABCD中，AB=CB,∠ABP=∠CBP=45°，∠BCD=90°， 又：PB=PB, △ABP≌△CBP(SAS), .AP=CP, :PE⊥BC,PF⊥CD,且LFCE=90°， 四边形PECF为矩形， .PC=EF, ∴AP=EF,故①符合题意； △ABP≌△CBP, △ABP的面积=△CBP的面积， 在矩形PECF中，△PEC的面积=△PFE的面积， SABP=SBPE+SPEC=SBPE+S,PEF=S因边形BPFE,故②符合题意； :正方形ABCD的边长为20， .AB=AD=20, 根据勾股定理，得BD=20√2， :四边形PECF为矩形， .EF=PC, .AP+EF=AP+PC, 当A、P、C共线时，AP+PC的值最小，最小值为AP+PC=AC=BD=20N2, :.AP+EF的最小值为20√2，故③不符合题意； 过点P作PH⊥AB于点H, 14/65 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 则∠AHP=90°， :BAP=60°， ∠APH=30°， 设AH=x,则AP=2x, 根据勾股定理，得PH=√5x, ∠PBA=45°， ∠BPH=45°， .BH PH=3x, :AB=20, x+V3x=20, 解得x=10√5-10， AP=2x=20V3-20, :.EF=AP=20V5-20,故④符合题意， 综上，正确的有①②④， 故选：C 13.(24-25八下·重庆万州区·期末)如图，正方形ABDC中，AB=6,DE=2,将△ADE沿AE折叠至△AFE, 连AG、CF,下列结论：①△ABG≌△AFG;②BG=CG;③AG//CF;④SAFCG=3,其中正确的有() D B G A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】C 【详解】解：：在正方形ABDC中，AB=6, AD=DC=BC=AB=6,∠B=∠D=∠BCD=90°， :DE=2, 15/65 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 ∴CE=CD-DE=4, ①由翻折可知： AF=AD,∠AFE=∠D=90°， AB=AF,∠B=∠AFG=90°， AG=AG, RIABG≌R1△AFG(HL), 所以①正确： ②：Rt△ABG≌RtAAFG, .BG=GF, 设BG=GF=x,则GC=BC-BG=6-x, 由翻折可知：EF=DE=2, .GE=GF+EF=x+2,EC=4, :在Rt△EGC中，根据勾股定理，得 (x+2)2=42+(6-x)2, 解得x=3, ∴.BG=GF=CG=3, 所以②正确； ③由RIAABG≌RtA AFG可知： ∠AGB=∠AGF, :.2∠AGB+∠FGC=180°， .GF=GC, .∠GCF=∠GFC, .2∠FCG+∠FGC=180o, ∴.∠AGB=∠FCG, .AGI/FC. 所以③正确： ④过点C作CH⊥GE于点H, 16/65 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 A E H 2 G :CG=3,CE=4,四边形ABDC是正方形 利用勾股定理得：EG=VGC2+CE2=5 ÷c.GE-occE,即时c5=34,则：-号 .SAFCG=S△EGc-S△EFc -.CG-CE-1.EF.HC =x3x4-1x 12 ×2× 2 5 18 所以④错误。 综上所述：①②③. 故选：C 14.(24-25八下·重庆重庆实验外国语学校·期末)如图，在D4BCD中，点E在边BC上，连接AE,EMLAE, 垂足为E,交CD于点M.AF⊥BC,垂足为F.BHLAE,垂足为H,交AF于点N,连接AC、NE.若AE=BN, AW=CE,则下列结论中正确的有()个. M B F E ①△ANB≌△CEA;②ABC是等腰直角三角形；③△NFE是等腰直角三角形；④△ANE≌△ECM;⑤ AD=2CM +EC. A.1 B.3 C.4 D.5 【答案】C 【详解】解：：BHLAE,AF⊥BC,AE⊥EM, 17/65 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 ·∠AEB+∠NBF=∠AEB+∠EAF=∠AEB+∠MEC-9O°， :.∠NBF=∠EAF=∠MEC, ∠NBF=∠EAF 在△NBF和△EAF中， ∠BFN=∠EFA, AE=BN ∴△NBF≌△EAF(AAS); .BF=AF,NF=EF, ·∠ABC=45°，∠ENF=45°， :△NFE是等腰直角三角形，故③正确： .∠ANB=90°+∠EAF,∠CEA=90°+∠MEC, .∠ANB=∠CEA, AN=CE 在△ANB和△CEA中， ∠ANB=∠CEA, BN=AE ∴.△ANB≌△CEA(SAS),故①正确： AN=CE,NF=EF, ∴.BF=AF=FC, 又：AF⊥BC,∠ABC-=45°， ∴△ABC是等腰直角三角形，故②正确； 在BCD中，CDAB,且△ABC、△NFE都是等腰直角三角形， ·.∠ACD=∠BAC=90°，∠ACB=∠FNE-45, .∠ANE=∠BCD=135°， ∠MEC=∠EAF 在△ANE和△ECM中， AN=EC, ∠ANE=∠ECM :△4NE≌△ECM(AS4),故④正确； ∴.CM=NE, 又NF-2NE-5MC, AF=） MC+EC. 2 18/65 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 ∴AD=BC-2AF=√2MC+2EC,故⑤错误. 综上，①②③④正确，共4个， 故选：C 15.(24-25八下.重庆长寿区·期末)如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8,F是AB边上的中点，点 D、E分别在AC、BC边上运动，且保持AD=CE,连接DE、DF、EF.在此运动变化的过程中，下列结论： ①△DFE是等腰直角三角形；②四边形CDFE的面积保持不变；③DE长度的最小值为4；④四边形CDFE 不可能为正方形.其中正确的结论是 (把你认为正确的序号都填上)， C E 0 A F 中 【答案】①② 【详解】解：①连接C℉， D F B :△ABC是等腰直角三角形，F是AB边上的中点， ∠FCB=∠A=45°，CF=AF=FB, :AD-CE,∴△ADF≌△CEF, ∴.EF=DF,∠CFE=∠AFD, :∠AFD+∠CFD=90°， ∠CFE+∠CFD=∠EFD=90°， “△EDF是等腰直角三角形，①正确； 19/65 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 ②：△ADF≌△CEF, .SACEF=SMADF ∴S四边形CEFD=SAAFC,所以面积不变；②正确： :△EDF为等腰直角三角形， :当DF最小时，DE最小，DRL4C时，DF最小为4C=4 “DE最小值为√42+42=4√2，故③错误， 当D、E分别为AC、BC中点时，CD=DF=FE=EC, 四边形CDFE是菱形，又∠ACB=90°， :四边形CDFE是正方形，④错误； 故答案为：①② 16.(24-25八下·重庆巫山县期末)如图，点E是正方形ABCD的边CD上一动点（不与点C、D重合）， 将△BCE沿BE翻折得到△BFE,连接并延长AF交BE的延长线于点P,连接PD、PC,取AF的中点G, 连接BG.下列结论中正确的结论序号为 ①BP=√2BG;②AP+PC=√2BP; ③PD=PC④若DE-2CE,AB=3√10，则PC-3√2 D Q B 【答案】①②④ 【详解】①：四边形ABCD是平行四边形， .BA=BC, 由翻折得BC=BF,∠CBE=∠FBE, ∴BA=BF, 又：AGGF, ·∠ABG=∠FBG, :∠GBE=3∠ABC-45°，BGLAP, 在直角△BGP中，GB=GP, 20/65 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 :BP=BG2+PG2=2BG2=2BG 故①正确： ②如图，过点B作BI⊥BP交PA的延长线于点I, D G F B 有①知，∠BPI=45°， .BP=BI, 根据勾股定理得BI=√2BP, 又：∠IBA+∠ABE=∠ABE+PBC-9O°， ∴.∠IBA=∠PBC, 在△BAI和△BCP中， BA=BC ∠IBA=∠PBC BI=BP .△BAI≌△BCP, :.AI=CP, 实验AP+CP=√2BP, 故②正确； ③：∠DAP+∠BAG=∠BAG+∠ABG=90°， ∴∠DAP=∠ABG, 随着点E由C向D移动，∠PBC逐渐增大， ∠ABP逐渐减小， 而∠DAP=∠ABG=45°-∠PBC, 故∠DAP逐渐减小，∠PAB逐渐增大， 故∠PAB和∠PBC随着点E从C向D移动过程中，分别增大和减小，不可能一直相等， 即PA不一定等于PB, 21/65 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :点P不一定在AB和CD的垂直平分线上， 故PC不一定等于PD, 故③错误： ④如图，连接FC, G BF=BC,EF=EC, :BE垂直平分FC, .PF=PC, :.在直角△BCM中，∠BMC-90°， 又：DE=2CE, cE0-而 .BE=BC2+CE2=10 又：SABC-E-MC=5Bc-CE, .CM-BC.CE3x3. BE 10 ∴.EC-2MC-6, 又：∠FPC-90°， .PC=FC2-PF2=36-PC2, PC-3√2， 故④正确； 故答案为①②④. 目目 考点03 四边形相关最值问题 17.(24-25八下·重庆渝中区·期末)如图，E为口ABCD内一点，将CB平移到EF,连接AE,AF,BE, BF.若AB=3,BC=4,∠BCD=a,且60°≤a≤90°.当a= 时，四边形ABCD是矩形；四边形 22/65 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 AEBF的面积的最小值是 D 【答案】 909 35 【来源】重庆市渝中区2024一2025学年下学期八年级数学期末测试 【分析】本题考查矩形的判定定理，平移的性质、垂线段最短，根据矩形的判定定理进行求解即可；根据 S四边乖4Er=SEP+S,BEF,且以EF为底求面积时，可得当LBCD=60°时，四边形AEBF的面积有最小值， 进而求解即可。 【详解】解：分别过点A、B作AM⊥EF交于点M,BN⊥EF交于点N,过点D作DG⊥BC于点G, :四边形ABCD是平行四边形， :当∠BCD=90°，四边形ABCD是矩形； :将CB平移到EF, :BC EF =4, :S边形AEBr=S4Er+SBEF, SswEFAM+EF:BN-EF-DG-2DG. .当DG取最小值时，四边形AEBF的面积最小， :60°≤a≤90°， :.当∠BCD=60°时，四边形AEBF的面积有最小值， ∠CDG=30°， ·G=,CD 3 2} DG=CD:-CG33 即最小值为S四边形Br=2DG=3V3, 故答案为：90°；3√5. 23/65 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 G 18.(2425八下·重庆外国语学校（四川外国语大学附属外国语学校）·期末)如图，在菱形ABCD中，两条 对角线AC=4√5，BD=4,点P是对角线AC上一点（不与端点A重合），则二AP+PD的最小值为 【答案】25 【详解】解：如图，过点P作PE⊥AB于点E,过点D作DF⊥AB于点F,设AC交BD于点O, D 门 FE :四边形ABCD是菱形，AC=4V3,BD=4, ∠DC=∠C4B,4D=4B,40=4C=25,D0=8D=2,AC18D, 2 AB=AD=VD02+A0=V22+25=4=BD, “.△ABD为等边三角形， ∴.∠DAB=60°， :∠CAB=∠DAB=30°， :PE⊥AB,DF⊥AB, :.PE=IAP,AF=14B-1x4-2, 2 2 2 DF=√AD2-AF=√42-22=25， 24P+PD-PE+DP. :当点D、P、E三点共线且垂直AB时，PE+DP的值最小，最小值为DF, 24/65 丽学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 1 AP+PD的最小值为2√3， 故答案为：2√5 19.(24-25八下·重庆永川区期末)如图，已知正方形ABCD的边长为8，点M在DC上，DM=2,点N是 AC上的一个动点，那么DN+MN的最小值是() D M B A.10 B.8 C.6 D.4 【答案】A 【来源】重庆市永川区2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试题 【分析】本题考查正方形的性质，勾股定理，利用轴对称解决线段和最小问题，连接BD,BN,BM,对称性 得到BN=DN,进而得到DN+MN=BN+MN≥BM,勾股定理求出BM的长即可. 【详解】解：连接BD,BN,BM, D M :正方形ABCD的边长为8， AC垂直平分BD,∠BCD=90°，BC=CD=8, .:BN =DN DN+MN=BN+MN≥BM, 在Rt△BCM中，BC=8,CM=CD-DM=6, .BM=CB2+CM2=10, DN+MN的最小值是10： 故选：A. 20.(24-25八下·重庆开州区期末)如图，已知菱形ABCD的对角线AC=6,BD=8,点E、F分别为边 CD、BC的中点，点G是对角线BD上一动点，则GF+GE的最小值为 25/65 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 【答案】5 【详解】取AB的中点Q,连接QE,交BD于G,连接FG', :四边形ABCD是菱形，F是边BC的中点， :点F,Q关于BD对称， 当G点与G重合时，GF+GE=FG+EG=QG'+EG'=EQ的值最小， :四边形ABCD是菱形， .ABI CD,AB=CD :E为DC中点，Q为AB中点， .BO=CE ∴.四边形BCEQ是平行四边形， .BC=EO :四边形ABCD是菱形， ACL BD,OC=1AC=3,OB=1BD=4, BC=V32+42=5, GF+GE的最小值是5， 故答案为：5. 21.Q425八下重庆大渡口区期末如图，在等边ABC中，B=4,4D月BC,AD=方B,点E为 AC上一动点，连接DE,点F为DE的中点，连接BF,则BF的最小值是· 26/65 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 【答案】555 2 2 【详解】解：如图，延长AD到点G,使得AD=DG,连接CG,BG,设AC,BG交于点P,连接PF,过点 E作EQ∥BC,交BG与点Q, D G ABC是等边三角形，AD∥BC,AD=AB,AD=DG, 2 AG=AB=BC, ∠CAG=60°，AG=AC, :△ACG是等边三角形， ·AG=AB=BC=CG, :四边形ABCG是菱形， AC⊥BG,BP=GP, BP+PF≥BF, ·当点B,P,F三点共线时，BF有最小值，如图， A D G :EQ∥BC,AD∥BC, EQ∥AG, ∠FGD=∠FQE,∠GDF=∠QEF, :点F为DE的中点， :.DF=EF, :△QEF≌aGDF(AAS, EO=DG=2,OF=GF, 四边形ABCG是菱形， 27/65 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 :∠QPE=90°，∠FQE=∠AGF=30°， 1 PE=QE =1, 2 OP=OE2-PE2=3, 同理，在Rt△BCP中，PG=BP=2√5， PG-PF =OP+PF, ÷PF= 21 BF=P+PF-5y5,即F的最小值为 2 故答案为： 5v3 2 22.(2425八下·重庆渝北区·期末)如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,点P为AB边上一动 点（不与点A、B重合），PE⊥OA于点E,PF⊥OB于点F,若AC=8,BD=8√5，则EF的最小值为 P B D 【答案】25 【详解】解：如图，连接OP, 四边形ABCD是菱形，AC=8,BD=85, :AC L BD,OB-IBD-4,0A=AC=4, 2 在Rt△AOB中，AB=V√OA+OB2=8, :PE⊥OA,PF⊥OB, ∠PE0=∠AOB=∠PF0=90°， ·四边形PEOF是矩形， :EF=OP, 由垂线段最短可知，当OP⊥AB时，OP有最小值，即EF有最小值， S.w-O4-OB-AB-OP. 28/65 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 :0P-04,0B.4x45-25, AB 8 即EF的最小值为2√3， 故答案为：2√5 B E 23.(24-25八下·重庆江津区期末)菱形ABCD的边长为2，∠ABC=45°，点P、Q分别是BC、BD上的动 点，CQ+PQ的最小值为· 【答案】√2 【详解】解：如图，过点C作CE⊥AB于E,交BD于G,根据轴对称确定最短路线问题以及垂线段最短可 知CE为FG+CG的最小值，当P与点F重合，Q与G重合时，PQ+QC最小， A D G O 菱形ABCD的边长为2，∠ABC=45°， B P F C .Rt△BEC中， EC-BC= 2 :PQ+QC的最小值为√2 故答案为：√2 24.(24-25八下·重庆江北巴川量子学校期末)如图，在正方形ABCD中，AB=4,AC与BD交于点O,N 是AO的中点，点M在BC边上，且BM=3,P为对角线BD上一点，则PM-PN的最大值为 29/65 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 N B M C 【答案】1 【详解】解：如图：作N关于BD的对称点E,连接PE,ME,过点M作MOLAC,垂足为Q, E B M :.PN=PE, 则PM-PN=PM-PE, :当点P,E,M三点共线时，PPE的值最大，为ME的长， 在正方形ABCD中，AB=4, .AC=42, :N是AO的中点，点N和E关于BD成轴对称， 点E是OC中点， :cE44c-2, :BC=4,BM=3, .CM-1-BC, :∠BCQ=45°， ∴.△MCQ为等腰直角三角形， CM_√2 :.cg22 Q- 2 ∴.CM=EM=1, 30/65 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 即PM-PW的最大值为I, 故答案为：1. 目目 考点04 四边形相关求解问题 25.(2425八下·重庆鲁能巴蜀中学校期末)如图，点E是正方形ABCD内的一点，连接AE,BE,CE, ∠AEB=I35°，BE⊥EC,若EC=8,则AB的长等于() D E A.4V5 B.9 C.10 D.85 【答案】A 【来源】重庆市鲁能巴蜀中学校20242025学年八年级下学期期末数学试题 【详解】解：过点B作BF⊥BE交AE的延长线于点F,连接CF,过点B作BH⊥CF，交CF的延长线于 点H,如图所示： E B :∠AEB=135°， ∠BEF=180°-∠AEB=45°， BF⊥BE, ∠EBF=90°， LBFE=LBEF=45°， :BE BF, :四边形ABCD是正方形， AB=CB,∠ABC=90°， 31/65 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 ∠ABC=LEBF=90°， .∠ABC-∠EBC=∠EBF-∠EBC, LABE=∠CBF, .BE=BF,AB=CB, △ABE≌△CBF(SAS), :LAEB=LCFB=135°， ∴∠EFC=∠AEB-LBFE=135°-45°=90°， .BE⊥EC, ∠BEC=90°， :∠FEC=∠BEC-∠BEF=90°-45°=45°， “△FEC是等腰直角三角形， .FE=FC, 在Rt△FEC中，EC=8, 由勾股定理得：EC=VFE2+FC2=√2FE, .FE-FC-EC4 2 2 在等腰Rt△BEF中，BE=BF, 由勾股定理得：FE=√BE2+BF2=√2BE, BE=BF= 2x42=4, 2 :BH⊥CF,BFH=180°-∠CFB=180°-135°=45°， :△BHF是等腰直角三角形， ∴.BH=FH, 由勾股定理得：BF=√BH?+FH2=√2BH, =m-9歌=94：25， 在Rt△BCH中，CH=CF+FH=4V2+2√2=6√2， 由勾股定理得：BC=VBH2+CH=22+(62=45. 故选：A. 26.(24-25八下，重庆江北巴川量子学校期末)如图，在正方形ABCD中，E,F分别是AD,CD上的点， 32/65 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 DE=DF.连接BE,BF,点G是EB的中点，连接AG并延长交BF于点H,DP平分∠ADC交AH于P. 若4E=3DE,则GP 的值为() E A D G 84 25 4. 21 24 B. 20 C.26 D. 3v5 5 7 【答案】A 【来源】重庆市江北巴川量子学校2024一2025学年下学期期末考试八年级数学试题 【详解】解：延长AH交BC于点K,连接FK,，BP,作PQ⊥BE于点Q,如图， D :正方形ABCD, AB=BC=CD=AD,ADIBC,∠BAE=∠ABC=∠BCF=∠ADC=90°， DE=DF, .AD-DE =CD-DF, .AE =CF, △BAE≌△BCF, ∴∠ABE=∠CBF,BE=BF, :DP平分∠ADC交AH于P,BD平分∠ADC, 、B,P,D三点共线， ∠CBP=LABP=45°， ∴LCBP-LCBF=LABP-∠ABE, ∠DBE=∠DBF, 设DE=DF=a,则：AE=CF=3a,AD=AB=BC=CD=4a, :.BE=BF=(4a)2+(3a)2=5a. 33/65 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 “点G是EB的中点， .AG=IBE-BG-EG-5 2 , ∠BAG=LABG=∠CBF, :AD∥BC, ∠EAG=∠BKG,∠AEG=∠KBG, 又：BG=EG, △AGE≌△KGB, :BK AE 3a, :LCBF+LAKB=∠AKB+∠BAK=90°， ∠BHK=90°， :)BFKH=)BKCF,即：5a-KH=3a3a, 9 :KH=a, 5 BH=BK2-KHE =12a ∠DBE=∠DBF,PQ⊥BE,PH⊥BF, .PO=PH, SABPG= BG·PQ BG PG SBPH BH·HP BH PH 2 5a PG 2 25 PH-12a 249 故选：A. 27.(24-25八下·重庆渝北中学校期末)如图所示，在正方形ABDC中，AB=6,E为CD中点，F、G分别 为AC、BD上一点，连接FG,∠EHG=45°，则FG的长为() C E D G A.213 B.7 C.6N2 D.2W10 34/65 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 【答案】D 【来源】重庆市渝北中学校2024-2025学年八年级下学期6月期末模拟数学试题 【详解】解：过点A作AMI‖FG交BC于点M,延长CB到点P,使得PB=DE,连接PA,ME,如图， F B M G 有∠MAE=∠GHE=45°， :在正方形ABDC中，AB=6,E为CD中点， ·AB=AD=BC=CD=6,CE=DE=二CD=3, ∠ABC=∠D=∠C=∠DAB=90°，AD∥BC, .△ABP≌ADE,∠DAE+∠BAM=∠DAB-∠EAM=45°，PB=3, 四边形AMGF是平行四边形， ∠BAP=∠DAE,AP=AE,FG=AM, ∴.∠MAP=∠MAB+∠PAB=∠MAB+∠DAE=45°， .∠PAM=∠MAE, .△PAM≌EAM, .ME PM ME PM PB MB =3+MB, CM =BC-MB=6-MB, CM2+CE2=ME2, .(6-BM)2+32=(3+BM)2, 解得BM=2, AM =AB2 BM2 210, .FG=2V10. 故选D. 28.(24-25八下·重庆实验外国语学校期末)如图，在边长为4的正方形ABCD,点E是BC上一点，点F是 CD延长线上一点，连接AE,AF,AM平分∠EAF,交CD于点M.若BE=DF=I,则DM的长度为() 35/65 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 D A.2 B.5 C.√2 D. 12 5 【答案】D 【来源】重庆市实验外国语学校2024-2025学年八年级下学期期末复习数学定时训练试卷 【详解】解：：四边形ABCD是正方形， ∠ABE=∠ADC=∠ADF=∠C=90°，AB=AD=CD=BC=4, 又：BE=DF=1, .△ABE≌△ADF(SAS, .AE AF, :AM平分∠EAF, .∠EAM=∠FAM, 又：AM=AM, .△AEM≌△AFM(SAS), .EM=FM, 设DM=x,则EM=FM=DF+DM=x+1,CM=CD-DM=4-x, 在Rt△CEM中，由勾股定理得EM2=CE2+CM2, （x+1)2=32+(4-x2, 解得x=12 号 故选：D, 29.(24-25八下，重庆巫山县期末)如图，在正方形ABCD中，点E在线段AD上，点F在线段AB上， AE=BF,连接BE,CF,交于点G,连接AG并延长交BC于点H.若LBAH=LACF,AG=√2，则AE 的长为() 36/65 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 D B H A.0 B. 5 C.3 2 D. 2 2 【答案】B 【来源】重庆市巫山县2024-2025学年八年级下学期期末数学试题 【详解】解：：四边形ABCD是正方形， :AB=BC,∠EAB=∠FBC=90°，∠BAC=∠DAC=∠ACB=45°， AE=BF .△AEB≌△BFC(AS), ∠ABE=LBCF, :∠ABE+∠BFG=LBCF+∠BFG=90 .∠BGF=90°，即BG⊥CF, ∠ABE=∠BCF,BE=CF, :∠BAH=∠ACF, .∠BCF+∠ACF=∠BAH+∠ABE=45°， LBGH=∠BAH+∠ABE=45°=∠AGE, 过点A作AK⊥BE于点K,如图所示： D G :△AKG是等腰直角三角形， .AK=KG=- 2 AG=1, :△AEB≌△BFC且BE=CF, 37/65 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .AK =BG =1=KG, BK=2, AB=AK2+BK2=5, 设EK=x,则有BE=2+x, 在RtAAEK中，AE2=AK2+EK2=1+x2, 在Rt△AEB中，AE2=BE2-AB2=(2+x)2-5, 1+x2=(2+x)2-5, 得： ÷4E-子即4E=5 故选B。 30.(2425八下·重庆南川区期末)如图，在边长为6的正方形ABCD中，对角线AC,BD交于点0，点 M,N分别在AC,BD上，连接CN,BM,MN.若CM=2MO,∠OBM=∠OCN,则MN的长为() D M A.1 B.2 C.√ D.2√2 【答案】B 【来源】重庆市南川区2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试题 【详解】解：：边长为6的正方形ABCD, :.OC=OB,AC⊥BD,BC=6, :aB0C为等腰直角三角形，∠C0N=∠B0M=90°， 0C=0B=2BC=3N5. :CM=2M0, :0M=0C=2, :∠0BM=∠0CN,OC=0B,∠C0N=∠B0M=90°， .△CON≌△BOM(ASA), 38/65 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 :ON=OM=√2， 在Rt公M0N中，MN=VON2+0M2=2; 故选B 31.(24-25八下.重庆巴蜀中学校期末)如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O,∠BCD的角平 分线交AB于点E,连接OE,若∠ACE=15°，AD=4,则点O到CE的距离为() D E B A.√3-1 B.3-V5 C.√6-√2 D.2V5-2 【答案】C 【来源】重庆市巴蜀中学校20242025学年八年级下学期6月期末考试数学试题 【详解】解：过E点作EF⊥AC于F点，过O点作OP⊥CE于P点， :矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O, A E B 0A=0C, :△AEO与△OEC是等底等高面积相等的三角形，即S。AEo=S.oc, :∠BCD的角平分线交AB于点E,∠ACE=15°， ∠BCE=45°，∠ACD=30°， :∠ADC=∠CBE=90°，AD=4, AC=BD=8,BC=AD=BE=4, :AB=AC2-BC2=43,CE=BC2+BE2=42 S.4EO+S.OEC +S.CBE =S.4BC :25.oc+号BCxBE= 2 BCxAB, 39/65 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 1 2Sosc+5×4×4=号×4×4V3, 2 即S.0c=4V5-4, :Soc=2CE×0P=4W3-4 2x4W2x0P=4h5-4, 1 0P=√6-√5， 即点0到CE的距离为√6-√2， 故选：C, 32.(24-25八下·重庆巴南区期末)如图，四边形ABCD是正方形，点E在边CD上，且CE=3DE,作 分别胶4C,AB于点G,F:P,H分别是AG,B的中点，则装☒ B E G A.② B. 2W2 2 C.5v2 D. 7√2 5 12 15 【答案】C 【来源】重庆市巴南区2024-2025学年八年级下学期6月期末数学试题 【详解】解：设DE=a,则CE=3a,CD=CE+DE=4a, 连接CF,PF,如图所示， E GP D A :四边形ABCD是边长为4a的正方形. .CB=CD=AB=4a,且AC平分∠BAD. LBAC=∠ACE=45°. :EF∥BC. ∴.LAFE=∠ABC=∠FED=∠D=90°. 40/65 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :△AFG是等腰直角三角形.四边形ADEF,BCEF是矩形， .FG=AF=DE=a,BF =3a,EF=CB=4a, .EG=3a, CG=CE2+EG2=32a: 在Rt△CEF中，CF=VCE2+EF2=5a :P为AG中点. :PF⊥AG ·aCPF是直角三角形 :点H为BE的中点，四边形BCEF是矩形， ·CF过点H.且点H为CF的中点 在RIACPF中，PH=CF=a 2 21 .PH 5√2 CG3√2a12 故选：C 目目 考点05 几何证明压轴题 33.(2425八下·重庆铜梁区关溅初级中学校期末)已知，在口ABCD中，点E在AD边上，过点E作 EF⊥CD于点F,点G在BC边上，H在AB边上，且△EGH是等边三角形，连接AG,FG. A B G G 图1 图2 (I)如图1，若EG∥AB,EH=2EF,FG=√5，求EF的长； (2)如图2，若EG平分∠AEF,LEGF-2LGFC-2LAGH,且FG⊥HG,求证：2AH+AE-BC. 【答案】(I)EF=1 (2)见解析 【来源】重庆市铜梁区关溅初级中学校2024-2025学年八年级下学期期末数学模拟试卷 【详解】(I)解：：EG∥AB,四边形ABCD是平行四边形， .EG∥AB∥CD 41/65 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 EF⊥CD, EF⊥EG. :△EGH是等边三角形， .EH =EG. EH =2EF, 设EF=x,那么EG=2x. 在RtEGF中，根据勾股定理可知EG2+EF2=FG,即 (2x)2+x2=(5)2. 解得x=1或x=-1(舍去). :EF=1 (2)证明：过点G作GM∥AB交AD于点M,交EF于点N,过点M作HM∥EF交DF于点H. EM D ⊙ :AB∥CD, .GM∥CD. ∠FGM=∠GFC. :∠EGF=2LGFC, ∴.LMGE=LGFC=LFGM. :∠AGH=∠GFC, :∠MGE=∠AGH. :△EGH是等边三角形， ∴GE=GH,LEGH=LGEH=LEHG=60° ∠MGE+∠AGE=∠AGH+∠AGE=60°. .∠AGM=60°. :GM∥AB, ∴.∠AGM=∠HAG=60°. FG⊥HG, 42/65 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∠FGH=90°. ∠EGF=30°. LGFC=15°. :EF⊥DC, ∴.∠EFC=90°. ∠EFG=75°. ∠FEG=180°-∠EGF-LEFG=180°-30°-75°=75°， ∴.∠GEF=∠GFE. .GE=GF. :GM∥DC,EF⊥DC, GM⊥EF. .EN =NF. :HM∥EF,GM∥DC, .MH=NF,LENM=∠NFH=∠MHD,∠NEM=∠HMD. :MH =EN ∴.△ENM≌△MHD. .EM MD. :EG平分∠AEF, LAEG=LGEF=75°， .∠DEF=30°. 在Rt△DEF中，∠D=90°-30°=60° :GM∥AB, ∴.∠AMG=∠D=60°. :∠MGE=LAGH,EG=HG,LAMG=LHAG=60°， .△AGH≌AMGE(ASA. .AH =EM. AD =AE+EM +MD,E.EM =MD,AH =EM,AD BC, .2AH AE=DE AE AD BC 34.(24-25八下.重庆永川区期末)在平行四边形ABCD中，AC为对角线，且∠B=60°，∠BAD=2∠ACB, 43/65 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 E为平面上的一点. D D D 图1 图2 图3 (I)如图1，若AE⊥BC,垂足为点E,CE=1,求AD的长； (2)如图2，若点E在边BC上，且∠AEB=75°，CE=a,求AD的长； (3)如图3，若点E在对角线BD所在直线上，EF∥AB交BC于点F,点G是CE的中点，连接FG,AG,AF, 求证：AG=√3FG. 【答案】(1)AD=2 2(5+2a (3)见解析 【来源】重庆市永川区2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试题 【详解】(1)解：：四边形ABCD是平行四边形， .AD∥BC .ZACB=ZDAC 又：∠BAD=2∠ACB, .∠BAD=2∠DAC=∠DAC+LBAC .LDAC=∠BAC .∠ACB=∠BAC .AB=BC .平行四边形ABCD是菱形， :∠B=60°， :ABC是等边三角形， :AE⊥BC, =cE=号c-4D CE=1, AD=2; 44/65 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 (2)解：如图，过点E作EF⊥BC交AC于点F, A D 则∠FEC=90° 由(1)可得ABC是等边三角形， .∠C=60° :∠AEB=75°， .∠AEF=180°-∠AEB-∠FEC=15° 又∠AEB=∠ACB+∠EAF=75 .∠EAF=15°=∠AEF ∴AF=EF EC=a FC=2EC=2a,AF=EF=FC2-EC2=3a, :AD=BC=AC=AF+FC=3+2a, (3)证明：如图，延长FG交CD于点H,连接AH, A D :四边形ABCD是菱形， AB∥CD :EF∥AB EF∥CH :∠HCG=∠FEG,∠EFG=∠CHG, 又：点G是CE的中点， .GE=GC 45/65 命学科网 www.zx×k.com 让教与学更高效 :△EFG≌CHG(AAS .FG=GH,HC=EF, :点E在对角线BD所在直线上， :∠FBE=1∠ABC=30°， .∠ABE=30 又：EF∥AB LBEF=∠ABE=30 ·∠FBE=∠FEB :FB=FE .CH=BF 又：四边形ABCD是菱形， .∠D=LB=60°，AD=DC, :△ADC是等边三角形， ∠ACH=∠ABF=60° 又：AB=AC .△ABF≌△ACH(SAS AF=AH,∠BAF=∠CAH .LFAH=LCAH+LFAC=LBAF+∠FAC=∠BAC=60° :△FAH是等边三角形 .FG=GH AG⊥FG FG-AF ·AG=VAF2-FG2=V3FG, 即AG=√3FG. 35.(24-25八下·重庆合川区期末)如图，在正方形ABCD中，E是边BC上任意一点，BF⊥AE于点F, DG⊥AE于点G. 46/65 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 图1 图2 (I)如图1，求证：BF+GF=DG; (2)如图2，E为BC的中点时，连接DE,DF,若AB=10,求DF的长度！ 【答案】()见解析 (2)10 【来源】重庆市合川区2024-2025学年下学期八年级数学期末试题 【分析】(1)证明△ABF≌△DAG(ASA)即可. (2)利用直角三角形面积公式，勾股定理，正方形的性质解答即可. 本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，直角三角形的面积公式，勾股定理，熟练掌握性质 和定理是解题的关键， 【详解】(1)解：：正方形ABCD, .AB=DA,∠DAB=90°， .∠BAF+∠DAG=90°， :DG⊥AE,BF⊥AE ∠BAF+∠ABF=90°， ∠ABF=∠DAG, ∠ABF=∠DAG AB=DA ∠AFB=∠DGA .△ABF≌△DAG(ASA, .DG=AF,BF=AG, .AG+FG=AF, .BF+FG DG. 47/65 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 (2)解：正方形ABCD,AB=10, :AB=DA=BC=10,∠DAB=90°， :E为BC的中点 2.BE-BC-5, 21 AE=AB2+BE2=55, BF=AB-BE 50 AE 5625, 根据(1)得BF=AG=2√5， DG=AD2-AG2=45, 根据BF+FG=DG, 得BF=FG=2√5， DF=DG2+FG2=10 36.(24-25八下·重庆铜梁区·期末)已知菱形ABCD. 6 B 图1 图2 图3 (I)如图1，当∠DAB=60°时，过点B作BE⊥AD于点E,连接CE,点F是线段CE的中点，连接BF,若 CD=4,求线段BE、BF的长度； (2)如图2，当∠DAB=60°时，过点B作BE⊥AD于点E,连接CE,过点D作DM⊥DC,连接MC,且 LMCE=30°，连接ME,请探索线段BE,DM,EM之间的数量关系，并证明； (3)如图3，当∠DAB=30°时，连接AC,点Q是对角线AC上的一个动点，若AB=3V38,求 QB+QC+QD的最小值. 【答案】(I)BE=2N5,BF=√万 48/65 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 (②)BE=DM+EM,见解析 3)QB+QC+QD的最小值为619 【来源】重庆市铜梁区2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试题 【详解】(1)解：：四边形ABCD是菱形， :∠AEB=∠CBE,AB=BC=CD=2. B :BE⊥AD, 图1 ∠AEB=90°， 在Rt△ABE中，∠DAB=60°， .AB=2AE, 在Rt△ABE中，AE2+BE2=AB2, BE=V42-22=2N5, 在Rt△CBE中，BE2+BC2=CE2, CE=VBC2+BE2=V2W3)}2+4=27, :点F是线段CE的中点， BF-CE-7 (2)解：BE=DM+EM. 法1：（截长法）证明：如图2，在BE上截取BN=DM,连接CN, B 四边形ABCD是菱形， E 图2 ∴.CB=CD,∠BCD=∠DAB=60°， 在△CBN和CDM中， 49/65 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 CB=CD ∠CBN=∠CDM, BN=DM ∴aCBN≌aCDM(SAS, ∴.∠BCN=∠DCM,CN=CM, :∠BCN+∠DCN=60°， :∠DCM+∠DCN=60°，即∠MCN=60% :∠MCE=30°， ∠NCE=∠MCN-∠MCE=60°-30°=30°， :ZNCE ZMCE, 在△CEN和aCEM中， CN=CM ∠NCE=∠MCE, CE=CE ∴.△CEN≌aCEM(SAS), :EN =EM, B E BN EN :BE=DM +EM 法2：（补短法）证明：如图2，延长DM至点G,使DG=BE,连接CG, B :四边形ABCD是菱形， M 图2 G .CB=CD,∠BCD=∠DAB=60°，BC∥AD, 又BE⊥AD, BE⊥BC, 又DM⊥DC, ·∠CBE=∠CDG=90°， 又CB=CD,BE=DG, 50/65 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 :△CBE≌△CDG, EC=GC,ZBCE=ZDCG, 又∠ECM=30°， ∠DCG=∠BCE=LBCD-LDCE=∠BCD-LECM-∠DCM=30°+LDCM, .∠MCG=∠DCG-∠DCM=30°+∠DCM-∠DCM=30°， :∠ECM=LGCM, 又EC=GC,CM=CM, ·△CEM≌aCGM, :EM =GM, DG=DM +MG BE =DG :BE=DM +EM (3)解：QB+QC+QD的最小值为6√19 理由：如图3，过点C在直线AC的上方作∠ACK=30°，分别过点D、Q作DH⊥CK于点H,QG⊥CK于点 G,BH交AC于点Q,连接BG,则QG=0C, B :B、D关于直线AC对称， O' D 图3 ..OB=OD, -QB+0c+D=0c+20D-2}0c+QD =2(QG+QD), 当点Q与Q重合时，QG+QB的值最小， 当点Q与O重合时，QG+QD=QH+DQ=DH. K 、HG) B 979 D 图3 当点Q与Q不重合时，QG+DQ>DG>DH。 51/65 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 :四边形ABCD是菱形，∠BCD=30°， ∠8c4=38cD=15, 又：∠ACK=30°， ∠DCK=∠DCA+LACK=45°， ∠DHC=90°，DC=AB=3V38, ∴DH=DC-3V38 √2√2 =319, 即G+QD的最小值是319. :QB+0C+QD的最小值是6√19 37.(24-25八下·重庆秀山县期末)如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O,AC=BC. D D 图1 图2 图3 (1)如图1，若LACB=60°，BC=6,求BD的长； (2)如图2，若AC⊥BC,过点A作AM⊥BD于点M,连接CM,过点C作CN⊥CM交BD于点N,求证： ON=AM +OM (3)如图3，在(1)的条件下，点Q是直线BD上的一个动点，若∠QCQ=60°，且CQ=CQ0',连接Bg, 当CQ'+BQ'的值最小时，请直接写出△BCQ的面积. 【答案】(I)BD=6√3 (②见解析 (3)3v5 【来源】重庆市秀山县2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试题 【详解】(1)解：：AC=BC,∠ACB=60°， :ABC是等边三角形， .AB=AC=BC=6, :.平行四边形ABCD是菱形， BD=20B.0A=AC=3.0B L AC. 52/65 丽学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 0B=VAB2-0A2=3V5, .BD=63: (2)证明：过点A作AG∥CN,交BD于点G, D M ∴∠AGO=∠CNO,∠GAO=∠NCO, 又，四边形ABCD是平行四边形， 0A=0C, ∴△AG0≌△CN0, 0N=0G,∠AG0=∠CN0, :AC⊥BC,CM⊥CN, .∠ACB=∠MCN=90°， :∠ACM=∠BCN, :AM⊥BD, ∠AMG=∠AM0=90°， :∠CAM=90°-∠A0M=90°-∠B0C=∠CB0,AC=BC, △ACM≌ABCN(ASA), .CM=CN ∴.△CMN是等腰直角三角形， :.∠AG0=∠CN0=45°， ∴.△AMG是等腰直角三角形， .AM =MG, 0G =MG+OM AM +OM ∴.ON=AM+OM; (3)解：如图，连接DQ,AQ, 53/65 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 D :平行四边形ABCD是菱形， AD=CD,∠ACD=∠ACB=60° :△ACD是等边三角形，∠DCQ'=∠ACQ .CD=CA, CO=CO' ·aCDQ'≌aCAQ(SAS), .DO'=A0, :平行四边形ABCD是菱形， ∠ABQ=∠CBQ,AB=BC, .BO=BO, .△ABQ≌△CBO(SAS), :A0=CO, .DO'=A0=A0=CO, CQ'+BQ'=Dg'+BQ'≥BD, :当点Q在BD上时，CQ'+BQ'的值最小， 如图， D :∠0Cg=60°，且CQ=CQ', :.△QAQ是等边三角形， :AC⊥BD, ∠0c0-3∠0cg-30,00=0g, .A0=200, 54/65 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 0A=3, (2002-(002=32, 0Q=√3（负值舍去）， B0=0B-00=3V5-5=2V5, :△BC0的面积为}B0×04=x25x3=35 38.(24-25八下·重庆渝北中学校期末)在正方形ABDC中，连接AD,F为AD中点，连接CF,将CD旋 转45°得到DE,连接BE、CE,BE交CD与点G,连接FG,过点F作HF⊥GF交AC于点H. D 图1 图2 图3 (1)如图1，若DG=2,BG=√3，求四边形CHFG的面积. (②)如图2，连接DH,DH分别交CF、BE于点I、J,连接Ⅱ并延长，交BE于点K,判断BJ、AK的 数量关系并证明 (3)如图3，在(1)的条件下P为AD上一动点，连接PG,M为PG中点，当MG最短时，平面内有一点Q 使DQ⊥EQ,连接MQ,请直接写出MQ的最小值. 【答案10号 (②)AK=√2BJ,证明见解析 3)V13-62-3 2 【来源】重庆市渝北中学校20242025学年八年级下学期6月期末模拟数学试题 【详解】(1)解：：正方形ABDC, :.∠ACD=∠BDC=90°，AB=BD=CD=AC,∠ADC=∠CAD=45°， 在Rt△BDG中，DG=2,BG=V13, BD=√BG2-DG2=3, :F是AD的中点，CD=AC, 55/65 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :CF⊥AD,∠ACF=∠DCF=45°=∠CAF,AF=DF, .AF =CF, :HF⊥GF, .∠HFG=90°=∠AFC, ∠AFH=LCFG=90°-∠CFH, △AFH≌aCFG, .S.AFH =S.CFG .S.PH+S.cPH=ScPc+S,cFH,即：S.4Cr=ScHG, AC=CD=BD=3,AF DF, =1x1x3x3=9 .SCwo-S.ACF=7S.c (2)AK=√2BJ,证明如下： “旋转， .CD=DE,∠CDE=45°， :∠BDE=∠BDC+∠CDE=135°， BD=CD=DE, .∠DBE=∠BED= )180°-∠BDE)=22.5⊙ 由(1)可知：△AFH≌△CFG, ∴AH=CG, .AC=DC, .CH=DG, :BD=CD,∠BDG=∠DCH=90°， .△BDG≌△DCH, ∴∠CDH=∠DBE=22.5°， ∠ADH=∠ADC-∠CDH=22.5°，∠BDJ=∠BDC-∠CDH=67.5°， ∠BJD=180°-∠DBE-LBDJ=90°， :CA=CD,F为AD的中点， :CF垂直平分AD, :IA ID, 56/65 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∠IAD=∠ADJ=22.5°， ∠CAK=∠DAC-∠DAI=22.5°=∠DAK=∠DBE, 设AD,BE交于点O,连接CK, :∠BAD=45°，∠ABK=∠ABD-∠DBE=67.5°， ∠A0B=180°-∠BAD-∠ABK=67.5°=∠ABK, .A0=AB=AC, :∠CAK=∠DAK,AK=AK, :.△AOK≌△ACK, ∠ACK=∠A0K=180°-∠A0B=112.5°， 延长JD至点L,使JL=BJ,连接BL,则：△BJL为等腰直角三角形， ∠BDL=180°-∠BDJ=112.5°=∠ACK, BL=V2BJ,∠JBL=∠L=45°， .∠DBL=∠JBL-JBD=22.5°=∠CAK, BD=AC, △CAK≌△DBL, :AK BL=2BJ (3)解：：M为PG中点， MG-7PG. 当PG最小时，MG最小， :P为AD上一动点， 当PG⊥AD时，PG最小，此时MG最小， :DG=2,∠CDA=45°， 57/65 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :△DPG为等腰直角三角形， PG-DP-DG-. PM-MG- 2 “旋转， DE=CD=3,∠CDE=45°， ∴.∠PDE=∠ADC+∠CDE=90°， 取DE的中点T,连接MI吧，作MN L DE于点N,如图，DT三PE H D :∠PDE=90°，PG⊥AD, :四边形PDNM为矩形， MN-PD-V.DN-PM 2 IN=DT-DN-3- 2 MT=VMN+NT=13-6 2 :DQ⊥EQ,T为DE的中点， .QT-5DE-7 3 2 :Mg≥MT-QT, :M0的最小值为=M7-0=h3-65-3】 2 39.(2425八下·重庆渝中区期末)正方形ABCD中，点E为直线BD上一动点（点E与点B,点D不重合）， EF⊥BD交直线CD于点F,连接BF, 58/65 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 D B 图1 图2 备用图 (I)如图1，点E在对角线BD上，当DE=CF时，求∠DBF的度数： (2)如图2，点E在对角线BD上，连接AE,作EG⊥EA交BC于点G,用等式表示BF与EG的数量关系， 并证明： (3)作EG⊥EA交直线BC于点G,连接AG,AG与直线BF交于点M,连接CM,当CM的值最大时，直接 写出的值。 【答案】(1)22.5° GR ③2+i0 4 【来源】重庆市渝中区2024一2025学年下学期八年级数学期末测试 【详解】(I)解：：四边形ABCD是正方形，BD是对角线， ∴.∠DBC=∠BDC=45°，∠C=90°， EF⊥BD, △DEF是等腰直角三角形，DE=EF,∠BEF=90°， 又DE=CF, .EF=CF, BF平分∠DBC, 2Dr-D8c-x45=25 2解：GEF 理由：设正方形ABCD的边长为y,DE=x, :△DEF是等腰直角三角形， DF=√2DE=√2x, 过点E作EH⊥AD于点H,EI⊥AB于点I,EJ⊥BC于点J, 则∠EIB=∠AIE=∠EJG=∠AHE=90°， 59/65 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 “四边形ABCD是正方形，BD是对角线， ∠HA1=∠IBJ=90°，∠IBE=∠EBJ=45°， ∠HAI=∠AIE=∠AHE=90°，∠IBJ=∠BIE=∠GJR=90°， 四边形AIEH是矩形，四边形BIEJ是矩形， 又∠IBE=∠EBJ=45°， 四边形BEJ是正方形， :IE=EJ,∠IEJ=90 EG⊥EA, ∠AEG=90°， ∠IEJ=∠AEG=90°， .∠IEA+∠IEG=∠IEG+∠JEG=90°， .∠IEA=LJEG, 在△AEI与△GEJ中， ∠AEI=∠GEJ IE=EJ ∠AIE=∠EJG .∴AAEI≌GEJ(ASA), :AE =GE, :四边形ABCD是正方形，BD是对角线， ∠ADE=45°， 又EH⊥AD, aHED是等腰直角三角形， .HE-HD=DEx ÷AH=AD-HD=y万· 、+j cE=4e-(*+小 又BD=√BC2+CD2=V2y, 60/65 丽学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 ∴BE=BD-DE=√2y-x, 又EF⊥BD, :.BF2=BE2+EF2=(y-x+x =-BF2: H B (3)解：过点G作GK⊥BD于点K,AC与BD交于点P, 则∠KGE+∠KEG=90°， 由(2)知AE=EG, 又AE⊥EG, ∠EAP+∠KEG=90°， ∠KGE=∠AEP, ∴.△APE≌△EGK(AAS), :PE KG,AP=KE, :四边形ABCD是正方形，BD是对角线， :PD BP AP KE, .DE PD-PE KE PE KP, 由(2)得DE=EF=PK, 连接PG与PF, 在△PKG与△FEP中， PE=KG ∠PKG=∠PEF=90°， EF=KP :aPKG≌aFEP(SAS), PG=PF,∠EPF=∠PGK, 又∠KPG+∠PGK=90°， 61/65 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 .∠EPF+∠PGK=90°， :LEPF+∠PGK+∠GPF=180°， .∠GPF=90°， ∠GPF+∠BPG=∠APB++∠BPG, ,∠APG=∠BPF, 又在△APG与△BPF中， AP=BP ∠APG=∠BPF, PG=PF ,△APG≌△BPF, :△APG由△BPF绕点P逆时针旋转90°得到， AG⊥BF,即∠AMB=90° G :点M在以AB为直径的圆上运动， 当MC过AB的中点时，MC最大， t时Mc=0M+0c-4B+0c 08C 8+5A8, 2 2 而BD=√2AB, 4B+ 1 所以CM= 24B+10 BD √2AB 4 62/65 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 40.(24-25八下.重庆丰都县期末)己知，在正方形ABCD中，点E为对角线上的一点，过点A作FA⊥AE, 且AF=AE,连接DF,BE,延长BE交DF于H,交AD于M. D 图1 图2 (I)求证：BH⊥DF; (②)如图2，连接DE,若DE为LAD0的平分线，求证：AD=OE+OD; (3)在第(2)问的条件下，在DE上取一点G,使得DG=2GE,连接FG,BG,当AE=2时，请直接写出 四边形ABGF面积的值. 【答案】)见解析 (2)见解析 6)72+16 3 【来源】重庆市丰都县20242025学年下学期八年级期末数学试题 【详解】(1)解：：四边形ABCD是正方形， AB=AD,∠BAD=90°， FA⊥AE, .∠EAF=90°， :∠DAE+∠DAF=90°，∠DAE+∠BAE=90°， .∠DAF=∠BAE, 又AF=AE, △DAF≌△BAE(SAS), ∠ADF=∠ABE, :∠ABE+∠AMB=90°，∠AMB=∠DMH, ∠ADF+∠DMH=90°， ∠DHM=90°， BH⊥DF; (2)解：如图，连接EF,交AD于点K, 63/65 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 D B 图1 由(1)中正方形的性质和垂直的性质得出， △AEF为等腰直角三角形，且∠KAF=∠KAE=45°， 根据三线合一得，EF⊥AD,且AK=EK=FK=EF, 又：DE为∠AD0的平分线，OE1BD, :.EK =OE 又：DE=DE, :.Rt△DEK≌RtaDEO(HL, .KD =OD .AD=AK+KD=KE+0D=0E+0D (3)解：如图所示， D H G E 由(2)可得△AEF为等腰直角三角形， :由勾股定理得EF=√AF2+AE2=2√2 AK=EK=FK=-EF=2, OE=EK=√2，DK=OD=OA=OE+AE=2+√2，BD=2OA=4+22, :AD=DK+AK=2+√2+√2=2√2+2， Sf-DK-x22x2+同]=22+2， 2 Sm-号8D-0E=4+2x5=25+2. 2 64/65 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 Sm-54FAE=月×2x2-=2, 1 Sm4D-KE=25+2k5=2+5. :AB=AD,∠DAE=∠BAE,AE=AE, △ADE≌△ABE(SAS, S.AE=S.4DE=2+2, DG =2GE, m2+2到-25+ 3 33 六Saar=及.g+5.元+5m+Se-75+16 3 65/65可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题03四边形相关拓展题 ☆5大高频考点概览 考点01四边形相关折叠问题 考点02四边形相关综合问题 考点03四边形相关最值问题 考点04四边形相关求解问题 考点05几何证明压轴题 考点01 四边形相关折叠问题 1.(24-25八下重庆南岸区：期末)如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边AB在x轴上，点A的坐 标为(-2，O),点E在边CD上.将△BCE沿BE折叠，点C落在点F处.若点F的坐标为(0,6)，则AB的长 为 一；点E的坐标为 B 2.(24-25八下重庆潼南区期末)如图，点E在矩形ABCD的CD边上，连接BE，将△BEC沿BE折叠，点 C恰好落在AD边上的点F处，连接BF,EF.若AB=6,AF=8,则CE的长为一 E 3.(24-25八下·重庆巴南区·期末)如图，先将正方形ABCD对折，折痕为MN,再沿DE折叠，使点C落在 1/14 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 折痕MN上，记为点F,连接AF,已知正方形边长为2，则AF的长为() B N E A.② B.3 C.2 D.V5 4.(24-25八下重庆忠县期末)如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D,将△ACD沿直线AC翻折到△ACE, 将△BCD 直线BC翻折到ABCF,此时，C,F三点恰好共线，若EF=46,AE=6,则BF=（) A.2 B.4 C.6 D.2V6 5.(24-25八下·重庆第八中学校期末)如图，四边形ABCD为菱形，点E为线段CD上一点，若将△MDE沿 AE所在直线翻折，使得点D的对应点D'恰好落到BC的延长线上，若∠DAE=a,则∠CED'可以表示为 () A.60+2 1 B.45°+ C.180°-6 D.3a 6.(2425八下·重庆西南大学附属中学校期末)如图，已知正方形ABCD边长为2，点E,F分别在边 3 AD,BC上，将四边形DBFC沿着EF翻折，点C的对应点C恰好落在AB边上.若Sa边形DEec=8SE方形CD, 则线段EF长为() 2/14 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D ED A.5 B v6 C.2v② D.3+1 7.(24-25八下重庆长寿区期末)如图，在矩形纸片ABCD中，AB=5,AD=4,点E为AD边上一点，将 △ABE沿BE翻折，点A恰好落在CD边上点F处，则AE长为() E B A. 1 B.4 C.3 D. 8.(24-25八下重庆大足区期末)如图，在矩形ABCD中，AB=3,AD=5,点E为AB边上一点，将△BCE 沿CE翻折，点B恰好落在AD边上点F处，则BE长为() 4 E B A.3 c.5 D.4 考点02 四边形相关综合问题 9.(24-25八下重庆巴蜀中学期末)如图，AB=AD,AC=AE,∠EAC=∠DAB,连接ED,且ED的延长线 交BC于点F,连接AF,则下列说法中正确的有() ①ED=CB;②∠EAC+∠DFB=180°；③∠EFA=∠AFB;④BC+AD=EF 3/14 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 10.(2425八下·重庆渝北中学校期末)如图，在正方形ABCD中，AB=5,E为边CD上一动点（不与端 点重合)，AE交BD于点F,过点F作FH⊥AE交BC于点H,过点H作HG I BD于点G,连接AH, HE.给出下列结论： ①AF=HE:②∠HAE=45°：③ FG=52 2;④FH=2W2,其中正确的个数有() G B H A.1个 B.2个 C.3个 D.4 11.(2425八下重庆育才中学校期末)如图，在△ABC中，点D是BC边上一点，BD:CD=1:2,连接 AD,点E是线段AD的中点，连接CE,点F是线段CE的中点，连接BF交线段AD于点G,过点E作 1 EH∥BF交AB于点H,连接4G·则下列结论：①SaE=Sac:②Sar-4SC;®S=SaGm: 05.e+S.6=Snca0.其中正确的个数是() D E H A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 12.(2425八下·重庆秀山土家族苗族自治县期末)如图，正方形ABCD边长为20，点P为正方形对角线 BD上任一点，过点P作PE LBC于点E,作PF⊥CD于点F,连接EF,AP.给出以下4个结论：① 4/14 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 AP=EF:②S即=S,③AP+EF的最小值是55：④若∠B1P=60°时，则EF的长度为 20W3-20 其中正确的个数是（） D C P A B A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 13.(2425八下重庆万州区期末)如图，正方形ABDC中，AB=6,DE=2,将△ADE沿AE折叠至 △AFE,连AG、CF,下列结论：①△ABG≌△AFG;②BG=CG;③AGII CF;④S.FCG=3,其中正确 的有() D A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 14.(2425八下·重庆重庆实验外国语学校期末)如图，在ABCD中，点E在边BC上，连接AB, EMLAE,垂足为E,交CD于点M,AF⊥BC,垂足为F.BH LAE,垂足为H,交AF于点N,连接AC、 NE.若AE-BN,AN=CE,则下列结论中正确的有()个. D B F E ①△ANB≌△CEA;②△ABC是等腰直角三角形：③△NFE是等腰直角三角形；④△ANE≌△ECM;⑤ AD=√2CM+EC. A.1 B.3 C.4 D.5 15.(24-25八下·重庆长寿区·期末)如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8,F是AB边上的中点，点 5/14 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D、E分别在AC、BC边上运动，且保持AD=CE,连接DE、DF、EF.在此运动变化的过程中，下列结论： ①△DFE是等腰直角三角形；②四边形CDFE的面积保持不变；③DE长度的最小值为4；④四边形CDFE 不可能为正方形.其中正确的结论是一（把你认为正确的序号都填上）· ⊙ D B 16.(24-25八下·重庆巫山县·期末)如图，点E是正方形ABCD的边CD上一动点（不与点C、D重合）， 将△BCE沿BE翻折得到△BFE,连接并延长AF交BE的延长线于点P,连接PD、PC,取AF的中点G, 连接BG.下列结论中正确的结论序号为 OBrV5BG:②AP+rC5BR,e PD-PC④若D=-2CB,AB=3VI0 ,则PC=3V2 D B 点03 四边形相关最值问题 17.(2425八下重庆渝中区期末)如图，E为口ABCD内一点，将CB平移到EF,连接AE,，AF,BE, BF.若AB=3,BC=4,∠BCD=a,且60°≤a≤90°.当a= 时，四边形ABCD是矩形；四边 形AEBF的面积的最小值是一. 6/14 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 18.(24-25八下·重庆外国语学校（四川外国语大学附属外国语学校）·期末)如图，在菱形ABCD中，两条 1 对角线AC=4V3,BD=4:点P是对角线4C上一点（不与端点A重合），则2AP+PD的最小值为 D P B 19.(24-25八下重庆永川区期末)如图，已知正方形ABCD的边长为8，点M在DC上，DM=2,点N 是AC上的一个动点，那么DN+MW的最小值是() A D M B A.10 B.8 C.6 D.4 20.(24-25八下·重庆开州区期末)如图，已知菱形ABCD的对角线AC=6,BD=8,点E、F分别为边 CD,BC的中点，点G是对角线BD上一动点，则GF+GE的最小值为 21C125人下重肤大渡口区期利图，在等边A4BC中，B-4”AD/C,D 2B,点E为 AC上一动点，连接DE,点F为DE的中点，连接BF,则BF的最小值是一 22.(2425八下·重庆渝北区期末)如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,点P为AB边上一动 7/14 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 点（不与点A、B重合），PE1O4于点：，PF1OB于点R,若MC=8BD=85,则EF的最小值为 E F 23.(2425八下·重庆江津区期末)菱形ABCD的边长为2，∠ABC=45°，点P、Q分别是BC、BD上的动 点，C+P的最小值为一 A D B C 24.(24-25八下·重庆江北巴川量子学校期末)如图，在正方形ABCD中，AB=4,AC与BD交于点O,N 是AO的中点，点M在BC边上，且BM=3,P为对角线BD上一点，则PM-PN的最大值为 点04 四边形相关求解问题 25.(24-25八下重庆鲁能巴蜀中学校期末)如图，点E是正方形ABCD内的一点，连接AE,BE,CE, ∠AEB=135°，BE⊥EC,若EC=8,则AB的长等于() 8/14 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D E B A.45 B.9 C.10 D.8V5 26.(2425八下重庆江北巴川量子学校期末)如图，在正方形ABCD中，E,F分别是AD,CD上的点， DE=DF.连接BE,BF,点G是EB的中点，连接AG并延长交BF于点H.DP平分∠ADC交AH于P. GP 若AE=3DE,则HP的值为() E D G H 25 21 2√6 35 A.24 B.20 c.5 D.7 27.(2425八下重庆渝北中学校期末)如图所示，在正方形ABDC中，AB=6,E为CD中点，R、G分别 为ACBD上一点，连接FG,∠EHG=45°，则FG的长为() A G A.2w13 B.7 C.6v2 D.2v10 28.(2425八下·重庆实验外国语学校期末)如图，在边长为4的正方形ABCD,点E是BC上一点，点F 是CD延长线上一点，连接AE,AF,AM平分∠EAF,交CD于点M,若BE=DF=1,则DM的长度 为() 9/14 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 F 12 A.2 B.5 C.2 D.5 29.(2425八下重庆巫山县期末)如图，在正方形ABCD中，点E在线段AD上，点F在线段AB上， 1E=P,连接8E,Cr,交T点G,连接4G并延长交C于点”.若∠H=∠4CF,4G 2,则 AE的长为() G V10 5 3 √2 A.2 B.2 C.2 D.2 30.(24-25八下重庆南川区期末)如图，在边长为6的正方形ABCD中，对角线4C,BD交于点O,点 M,N AC.BD CN,BM,MN 分别在 上，连接 .若CM=2M0,∠0BM=2OCN,则MN的长为() 若 D M A.1 B.2 c v D.2V5 31.(24-25八下重庆巴蜀中学校期末)如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O,∠BCD的角平 10/14 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 分线交AB于点E,连接OE,若∠ACE=15°，AD=4,则点O到CE的距离为() D A B A.31 B.3-V5 c.v6-2 D.23-2 32.(2425八下重庆巴南区·期末)如图，四边形ABCD是正方形，点E在边CD上，且CE=3DE,作 PH EF∥BC分别交AC,AB于点G,F:P,H分别是AG,BE的中点，则CG的值为() G A 2W2 5v2 72 A.2 B.5 C.12 D.15 后点05 几何证明压轴题 33.(2425八下重庆铜梁区关溅初级中学校期末)已知，在口ABCD中，点E在AD边上，过点E作 EF⊥CD于点F,点G在BC边上，H在AB边上，且△EGH是等边三角形，连接AG,FG. E H B G 图1 图2 (I如图l,若EG∥AB,EH=2EF,FG=5,求EF的长： (2)如图2，若EG平分∠AEF,∠EGF=2∠GFC=2LAGH,且FG⊥HG,求证：2AH+AE=BC. 34.(2425八下重庆永川区期末)在平行四边形ABCD中，AC为对角线，且∠B=60°，∠BAD=2∠LACB E为平面上的一点. 11/14 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D E 图1 图2 图3 (I)如图1，若AE⊥BC,垂足为点E,CE=1,求AD的长： (2)如图2，若点E在边BC上，且∠AEB=75°，CE=Q,求AD的长： (3)如图3，若点E在对角线BD所在直线上，EF∥AB交BC于点F,点G是CE的中点，连接 FG,4G,MF,求，MG=BFG 35.(24-25八下·重庆合川区期末)如图，在正方形ABCD中，E是边BC上任意一点，BF⊥AE于点F, DG⊥AE于点G. 图1 图2 (I)如图1，求证：BF+GF=DG: (2)如图2，E为BC的中点时，连接DE,DF,若AB=10,求DF的长度. 36.(24-25八下·重庆铜梁区·期末)已知菱形ABCD B B D 图1 图2 图3 (I)如图I,当∠DAB=6O°时，过点B作BE⊥AD于点E,连接CE,点F是线段CE的中点，连接BF,若 CD=4,求线段BE、BF的长度： ()②如图2，当∠DAB=60°时，过点B作BE⊥AD于点E,连接CE,过点D作OM L DC,连接MC,且 ∠MCE=30°，连接ME,请探索线段BE,DM,EM之间的数量关系，并证明； 6)如图3，当D1B=30°时，连接1C,点P是对角线4C上的一个动点，若1B=358,求 12/14 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 OB+OC+OD 的最小值。 37.(2425八下重庆秀山县期末)如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O,AC=BC D D D 图1 图2 图3 (I)如图1，若∠ACB=60°，BC=6,求BD的长： (2)如图2，若AC⊥BC,过点A作AM⊥BD于点M,连接CM,过点C作CN⊥CM交BD于点N,求证： ON=AM+OM: (3)如图3，在(1)的条件下，点0是直线BD上的一个动点，若∠QCQ=60°，且CQ=CO,连接Bg, 当CQ+BO的值最小时，请直接写出△BC9的面积. 38.(2425八下·重庆渝北中学校期末)在正方形ABDC中，连接AD,F为AD中点，连接CF,将CD旋 转45°得到DE,连接BE、CE,BE交CD与点G,连接FG，,过点F作HF⊥GF交AC于点H. 图1 图2 图3 1)如图1，若DG=2.BG= ,求四边形CHFG 的面积. BJAK的 ②蜘图2，连接DH,DH分别交CF、E于点'、J,连接并延长，交E于点K,判膨B、 数量关系并证明. (3)如图3，在(1)的条件下P为AD上一动点，连接PG,M为PG中点，当MG最短时，平面内有一点 QDQ⊥EQMQ MO 使 ，连接，请直接写出“的最小值。 39.(24-25八下·重庆渝中区·期末)正方形ABCD中，点E为直线BD上一动点（点E与点B,点D不重 13/14 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 合)，EF⊥BD交直线CD于点F,连接BF. D 、E B B 图1 图2 备用图 (I)如图1，点E在对角线BD上，当DE=CF时，求∠DBF的度数； (2)如图2，点E在对角线BD上，连接AE,作EG⊥EA交BC于点G,用等式表示BF与EG的数量关系， 并证明； (3)作EG⊥EA交直线BC于点G,连接AG,AG与直线BF交于点M,连接CM,当CM的值最大时，直 CM 接写出BD的值. 40.(24-25八下重庆丰都县期末)已知，在正方形ABCD中，点E为对角线上的一点，过点A作FA⊥AE, 且AF=AE,连接DF,BE,延长BE交DF于H,交AD于M. D O 图1 图2 (I)求证：BH⊥DF: (2)如图2，连接DE,若DE为∠ADO的平分线，求证：AD=OE+OD; (3)在第(2)问的条件下，在DE上取一点G,使得DG=2GE,连接FG,BG,当AE=2时，请直接写 出四边形ABGF面积的值. 14/14