专题02 勾股定理（6类48道）（期末真题汇编，重庆专用）八年级数学下学期

**基本信息** 勾股定理专题汇编，涵盖6大高频考点48题，精选重庆多区县期末真题，注重基础与应用结合 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择|24题|考点01-04全覆盖，含判断直角三角形（如第1题线段组合）、实际应用（如第9题蚂蚁爬行）|结合生活情境（圆柱装饰带最短路径）、文化素材（《九章算术》折竹问题）| |填空|4题|折叠问题（如第23题三角形折叠求长度）、最值问题（如第28题等腰直角三角形最小值）|注重空间转化（正方体侧面爬行最短路径）| |解答|20题|方位角问题（如第41题公园路线比较）、综合问题（如第33题多结论判断）|汇编重庆多区县期末真题，贴合期末考命题趋势|

专题02 勾股定理（6类48道） 6大高频考点概览 考点01判断是否构成直角三角形 考点02勾股定理实际应用 考点03折叠问题 考点04 最值问题 考点05综合性问题 考点06 方位角问题 ( 地 城 考点0 1 判断是否构成直角三角形 )1．(24-25八下·重庆铜梁区·期末)下列长度的各组线段中，能构成直角三角形的是（    ） A．2，3，4 B．1，2，1 C． D． 【答案】D 【来源】重庆市铜梁区2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试题 【分析】根据勾股定理的逆定理，若三角形三边满足较短两边的平方和等于最长边的平方，则该三角形为直角三角形，需逐一验证各选项是否符合条件，并排除无法构成三角形的选项 【详解】解： A：，而 ，不满足条件； B： 因为，不满足三角形三边关系（任意两边之和大于第三边），无法构成三角形； C： ，不满足条件； D： ，满足条件； 故选D 2．(24-25八下·重庆巫山县·期末)下列四组数中，不是勾股数的是（    ） A．7，21，24 B．6，8，10 C．5，12，13 D．3，4，5 【答案】A 【来源】重庆市巫山县2024-2025学年八年级下学期期末数学试题 【分析】本题考查了勾股数的知识，判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方． 【详解】解：A．最大数为24，计算得 = 49 + 441 = 490，而 = 576，不满足勾股定理，故不是勾股数． B．最大数为10，计算得 = 36 + 64 = 100 = ，满足勾股定理，是勾股数． C．最大数为13，计算得 = 25 + 144 = 169 = ，满足勾股定理，是勾股数． D．最大数为5，计算得 = 9 + 16 = 25 = ，满足勾股定理，是勾股数． 综上，只有A不满足勾股数条件， 故选：A． 3．(24-25八下·重庆秀山县·期末)在以下列线段的长为三边的三角形中，能构成直角三角形的是（   ） A．1，1， B．1，2，2 C．2，3，4 D．4，5，6 【答案】A 【来源】重庆市秀山县2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试题 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，若三角形三边满足 （其中为最长边），则该三角形为直角三角形．逐项判断即可． 【详解】解：A．，能构成直角三角形，符合题意； B．，不能构成直角三角形，不合题意； C．，不能构成直角三角形，不合题意； D．，不能构成直角三角形，不合题意； 故选A． 4．(24-25八下·重庆潼南区·期末)下列四组数中，不是勾股数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】重庆市潼南区2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试题 【分析】此题主要考查了勾股数，根据勾股数的定义，可以进行判断，解题的关键是要用到勾股数的定义，及勾股定理的逆定理：已知的三边满足，则是直角三角形． 【详解】解：、，故这是一组勾股数，不符合题意； 、，故这是一组勾股数，不符合题意； 、，故这是一组勾股数，不符合题意； 、，故这不是一组勾股数，符合题意； 故选：． 5．(24-25八下·重庆九龙坡区·期末)下列各组数不能构成直角三角形边长的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【来源】重庆市九龙坡区2024-2025学年下学期八年级期末数学试题 【分析】本题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形，据此先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，最后看看是否相等即可． 【详解】解：A、∵， ∴，，能作为直角三角形，故此选项不符合题意； B、∵， ∴5，12，13能作为直角三角形，故此选项不符合题意； C、∵， ∴6，8，12不能作为直角三角形，故此选项符合题意； D、∵， ∴9，40，41作为直角三角形，故此选项不符合题意； 故选：C． 6．(24-25八下·重庆江津区·期末)在中，的对边分别是，不能构成直角三角形的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【来源】重庆市江津区2024-2025学年下学期期末监测八年级数学试卷B卷 【分析】本题所考察的知识点是勾股定理的逆定理，若三角形三边满足两边平方和等于第三边平方，则该三角形为直角三角形，逐一验证各选项即可． 【详解】A. 三边为，，，最大边为，计算得：，不满足勾股定理，不能构成直角三角形； B. 三边为，，，最大边为，计算得：，满足勾股定理，能构成直角三角形； C. 三边为，，，最大边为，计算得：，满足勾股定理，能构成直角三角形； D. 三边为，，，最大边为，计算得：，满足勾股定理，能构成直角三角形． 故答案选：A． 7．(24-25八下·重庆荣昌区·期末)由下列条件不能判定为直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】重庆市荣昌区2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试题 【分析】本题考查了判定直角三角形的条件，熟练掌握勾股定理和三角形内角和定理是解题的关键． 根据勾股定理和三角形内角和定理进行判断即可． 【详解】解：A：设，则，， ∵， ∴，满足勾股定理，能判定为直角三角形，故该选项不符合题意； B：设，则，， ∴，解得， ∴，，，不是直角三角形，故该选项符合题意； C：由可知，边对角为直角，符合勾股定理，能判定为直角三角形，该选项不符合题意； D：∵， 又∵， ∴， 解得，是直角三角形，故该选项不符合题意． 故选：B． 8．(24-25八下·重庆大足区·期末)下列各组数中，能构成直角三角形的是（   ） A． B． C．3，4，5 D．1，2，3 【答案】C 【来源】重庆市大足区2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试题 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理的应用，根据勾股定理的逆定理（看看两小边的平方和是否等于大边的平方）分别进行判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴以为边的三角形不是直角三角形，故本选项不符合题意； B、 ∴， ∴以为边的三角形不是直角三角形，故本选项不符合题意； C、 ∵， ∴以为边的三角形是直角三角形，故本选项符合题意； D、∵， ∴以为边的三角形不是直角三角形，故本选项不符合题意． 故选：C． ( 地 城 考点0 2 勾股定理实际应用 )9．(24-25八下·重庆大渡口区·期末)如图，有一个圆柱形玻璃杯，高为，底面周长为，在圆柱的下底面的内壁处有一只蚂蚁，它想吃到在杯内离杯上沿的点处的一滴蜂蜜，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图，将杯子侧面展开，连接，则的长为蚂蚁到达蜂蜜的最短距离， 由题意得，，，， ∴， ∴蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为， 故选：．    10．(24-25八下·重庆复旦中学教育集团·期末)年月日是第七个中国农民丰收节，小彬用打印机制作了一个底面周长为，高为的圆柱粮仓模型，如图，现要在此模型的侧面贴彩色装饰带，使装饰带从柱底沿圆柱表面均匀地缠绕圈到达柱顶正上方（从点到点，为的中点），则装饰带的长度最短为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图，圆柱的侧面展开图为长方形，最短路线为的长， 则， ∴． 故选：D． 11．(24-25八下·重庆开州区文峰教育集团·期末)《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何? ”翻译成数学问题是：如图所示，在 中，， 求的长， 如果设，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设，则， ∵， ∴ ∴， 故选：B 12．(24-25八下·重庆璧山中学校·期末)如图，一根长18cm的牙刷置于底面直径为5cm、高为12cm的圆柱形水杯中，牙刷露在杯子外面的长度为hcm，则h的取值范围是（    ） A．4＜h＜5 B．5＜h＜6 C．5≤h≤6 D．4≤h≤5 【答案】C 【详解】解：根据题意，当牙刷与杯底垂直时，最大，如图所示： 故最大cm； ∵当牙刷与杯底圆直径、杯高构成直角三角形时，最小，如图所示： 在Rt中，，cm，cm，则 cm， 牙刷长为18cm，即cm， 最小cm， ∴h的取值范围是5≤h≤6， 故选：C． 13．(24-25八下·重庆渝北区松树桥中学校·期末)我国古代九章算术中有数学发展史上著名的“葭生池中”问题，今有方池一丈二，葭生其中央，出水二尺，引薜赴岸，适与岸齐，问：葭长几何？（1丈尺）．意思是有一个长方体池子，底面是边长为丈的正方形，正中间有芦苇，把高出水面2尺的芦苇拉向池边（芦苇没有折断），刚好贴在池边上，则芦苇长（   ）尺 A．8 B．10 C．12 D．13 【答案】B 【详解】解：设芦苇长为x尺， 根据题意，得尺，尺，尺， 根据勾股定理得， 解得． 故选：B． ． 14．(24-25八下·重庆大足区·期末)如图，一个梯子长为5米，顶端靠在墙上，这时梯子下端与墙角间的距离为3米，梯子滑动后停在的位置上，测得的长为1米，则梯子顶端A下落了（　　） A．1米 B．2米 C．3米 D．5米 【答案】A 【详解】解：中，米 中，米，梯子长， 米， 米； 故选A． 15．(24-25八下·重庆渝北中学校·期末)如图，正方体的棱长为，点为一条棱的中点．蚂蚁在正方体侧面爬行，从点爬到点的最短路程是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图，由题意可知，，    则蚂蚁爬行的最短路程为， 故选：D． 16．(24-25八下·重庆育才中学校·期末)如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是3，高是4，上底面中心有一个小圆孔，则一条长10cm的直吸管露在罐外部分的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】当直吸管下端恰好位于罐底的圆周上时，如图所示， 则OA=3，AB=4，由勾股定理得：， ∴a=10-5=5； 当直吸管下端恰好位于罐底的中心时，则罐体内直吸管长为罐体的高即4，则a=10-4=6； 综上，直吸管露在罐外部分a的长度范围为． 故选：A． ( 地 城 考点0 3 折叠问题 )17．(24-25八下·重庆实验外国语学校·期末)如图，有一张直角三角形纸片，，现将折叠，使边与重合，折痕为，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵， ， 由折叠可知， 设，则， 在中， ， ， 解得：， 故选：B． 18．(24-25八下·重庆十一中教育集团·期末)如图，在中，，，，将折叠，得到折痕，且顶点B恰好与点A重合，点C落在点F处，则的长为（　　）． A．4 B． C．5 D． 【答案】B 【详解】解：连接，如图； ，，， ，，， ， 是直角三角形，且， 由折叠的性质得：， 顶点B恰好与点A重合， ， 是的垂直平分线， ， 设，则， 在中，， ， , ， 故选：B． 19．(24-25八下·重庆南岸区珊瑚中学教育集团·期末)把正方形沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为，再过点B折叠纸片，使点A落在上的点F处，折痕为．若长为4，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由折叠可知：，，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 20．(24-25八下·重庆外国语学校（四川外国语大学附属外国语学校·期末)在如图所示的三角形纸片中，点，分别在边，上，把沿着折叠，点落在线段上的点处；再把沿折叠，点与点重合．若，，则纸片的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵沿着折叠，点落在线段上的点处，，， ∴，，， ∵沿折叠，点与点重合， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 在和，， ∴， 解得：， ∴， ， ∴， ∴纸片的面积是． 故选：B． 21．(24-25八下·重庆第八中学校·期末)如图，将直角边，的直角纸片折叠，使点与点重合，折痕为，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设，则， 是沿直线翻折而成， ， 是直角三角形， ， 即， 解得． 故选：B 22．(24-25八下·重庆垫江县·期末)如图，在△ABC中，点D是BC边的一个三等分点，BD＝2CD，且∠ADC＝45°，将△ABC沿AD折叠，点C落在点C′处，连接BC′，若BC′＝10，则BC的长为（    ） A．2 B．3 C．6 D．9 【答案】C 【详解】解：根据折叠的性质得到DC′=DC，∠ADC=∠ADC′=45°， ∴∠BDC′=180°-45°-45°=90°， 在Rt△BDC′中，BD=2CD，BC′=10， ∴,即， 解得：CD=2，BD=4， ∴BC=6， 故选：C． 23．(24-25八下·重庆西南大学附属中学校·期末)如图，三角形纸片中，，，，沿过点的直线将纸片折叠，使点落在边上的点处；再折叠纸片，使点与点重合，若折痕与的交点为，则的长是________． 【答案】 【详解】解：由折叠的性质可得：，，，， ， ， ， ， 设，则， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：， ， 故答案为：． 24．(24-25八下·重庆奉节县·期末)如图，在长方形纸片中，．将沿折叠，使点落在点处，交于点，则的长为______________． 【答案】 【详解】解：在长方形中，，， ∵由折叠的性质可知：，， ∴，， ∵在和中， ， ∴， ∴， 设，则， ∵在中，由勾股定理得：， ∴，解得， ∴， 故答案为：． ( 地 城 考点 04 最值问题 )25．(24-25八下·重庆巴蜀中学·期末)如图，在中，，，是的中点，过点作的垂线，垂足为点，点为直线上的任意一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：在的延长线上取点，使，连接交直线于点，此时的最小值为的长， ∴直线垂直平分， ∴， ∴， 作于点， ∵，， ∴，，， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． 故选：C． 26．(24-25八下·重庆忠县·期末)如图，已知线段，，点E为边上动点，则的最小值为（    ）    A．2 B． C． D．6 【答案】C 【详解】如图所示，以为斜边向下作等腰直角三角形，连，    由勾股定理得， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴当最小即取最小值时，E必在线段上，即最小值为线段的长，此时，    ∵， ∴， ∴在中，， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故选：C． 27．(24-25八下·重庆荣昌区·期末)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，AB=5，BD平分∠ABC，点M，N分别是BD，BC上的动点，连接CM，MN，则CM+MN的最小值是(   ) A．3 B．5 C．4 D．2.4 【答案】D 【详解】解：如图，过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M，过点M作MN⊥BC于N， ∵BD平分∠ABC，ME⊥AB于点E，MN⊥BC于N， ∴MN=ME， ∴CM+MN的最小值=CM+ME=CE， ∵AC=3，AB=5，∠ACB=90°， ∴， ∵， ∴ 解得：CE=2.4． 故选：D 28．(24-25八下·重庆北碚区西南大学附属中学校·期末)如图，在等腰直角中，，平分，E是线段上一点，F是线段上一点，连接、，若，，则的最小值是_____． 【答案】5 【详解】解：在上取一点，使，连接，交于E， ∵是的平分线， ∴， 在和中， , ∴， ∴， ∴，当C、E、共线时取等号， ∴的最小值为的长， 在等腰直角中，，， ∴， ∴， 由勾股定理，得． ∴的最小值是5． 故答案为：5． 29．(24-25八下·重庆南岸区·期末)如图，在平面直角坐标系中，点A，B在x轴上，，点C的坐标为，点D的坐标为，则的最小值为 _____． 【答案】7 【详解】解：如图所示，将向左平移2个单位，使点B和点A重合，并得到线段，连接， ∴，， ∴， ∴当点C，A，E三点共线时，有最小值，即的长度， ∵点的坐标为，， ∴， ∴， ∴的最小值为7． 故答案为：7． 30．(24-25八下·重庆长寿区·期末)中，，，的垂直平分线交于D，交于F，点E为边的中点，M为直线上一点，则周长的最小值为 __________________． 【答案】 【详解】解：如图所示，M为直线上一点，连接， ∵的垂直平分线交于D，交于F， ∴， ∴当点M和点F重合时， ∴的周长， ∴当点M和点F重合时，周长最小，即的值， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴周长的最小值为． 故答案为：． 31．(24-25八下·重庆北碚区西南大学附属中学校·期末)如图，直线与轴，轴分别交于点和点，已知，，点分别为线段上的动点，若，则周长的最小值为______． 【答案】6 【详解】解：， ， ，， ， ， ， 作点关于轴的对称点，，点关于直线的对称点，则，， 过点作轴于点，交于点，连接交于点，交轴于点，此时，周长最小， 理由：周长为最小， 在中，，则，， ∴， ∴ ∴中，， ∴点，， ∵，，，， ∴， 故答案为：6． 32．(24-25八下·重庆第八中学校·期末)如图所示，在平面直角坐标系中，已知，动点在射线上，且，当时，则的最小值为______． 【答案】 【详解】解：取的中点D，连接，， ∵， ∴，，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， 又， ∴， 又∵， ∴， ∴点与点D关于对称， ∴， 连接，即当D、Q、B在一条直线上时，的值最小，最小值为的长，过点D作于点E， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． ( 地 城 考点0 5 综合性问题 )33．(24-25八下·重庆重庆南开中学校·期末)如图，为等腰直角三角形，D为三角形外一点，连接，过D作交于点E，F为上一点且，连接，N为中点，延长至点M，交于点G，使得，连接，，，下列结论：①；②；③；④；⑤若， ， ，则．其中正确的个数为（　　）      A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【详解】解：∵为等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵N为中点， ∴， 又∵， ∴， ∴，，故①正确； 如图1，连接，交于H，连接，，    ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，，故②正确； ∴， 又∵， ∴， ∴，故③错误； ∵是等腰直角三角形，， ∴， 在中，， ∴， ∴，故④错误； ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，故⑤正确， 故选：B． 34．(24-25八下重庆南岸区第十一中学校·期末)如图，在中，，，的平分线交于点，交于，，连接、，交于点、下列结论：①若将沿折叠，则点一定落在上；②；③；④若，则．上述结论中正确的个数是（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点A、点E都在的垂直平分线上， ∴垂直平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴若将沿折叠，则点E一定落在上，故①②正确； 连接， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，故③正确； 作于点L，则，    ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故④错误； 综上分析可知，正确的有3个， 故选：C． 35．(24-25八下·重庆云阳县“梯城教育联盟”·期末)如图，在中，，，直角的顶点P是中点，、分别交、于点E、F．给出以下四个结论：①；②是等腰直角三角形；③；④．上述结论正确的有（　　）      A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解：∵，P是的中点，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴，故①符合题意； ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形，故②符合题意； ∵， ∴， ∴，故③符合题意； 由等腰直角三角形的性质，， ∴随着点E的变化而变化，只有当点E为的中点时，， 在其它位置时，故④不符合题意； 综上所述，正确的结论有：①②③ 故选C 36．(24-25八下·重庆铜梁区巴川中学校·期末)如图，在中，，，点是的中点，点是边上的动点，连接，过点作交于点，连接，下列结论：①； ②；③；④的最小值是4；⑤四边形的面积是定值．其中正确的个数有（    ）    A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【详解】解：∵，， ∴为等腰直角三角形， 点是的中点， ，平分，且， ， 又， ， ， 故①正确； ∵， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴； 故②正确； ， ， ， ∴，， 故③错误； 当时，的最小，如图所示：   是等腰直角三角形，， 是等腰直角三角形， ， ， 故④正确； ，， ， ， ，， ， ， 四边形的面积是16，为定值， 故⑤正确， 即正确的有4个， 故选：C． 37．(24-25八下·重庆南岸区广益中学·期末)下列结论中，正确的有（    ） ①在中，已知两边长分别为3和4，则第三边的长为5； ②的三边长分别为，若，则； ③在中，若，则△ABC是直角三角形； ④若三角形的三边长之比为，则该三角形是直角三角形． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【详解】解：①中，已知两边分别为3和4，则第三条边长为或，故原说法是错误的； ②的三边长分别为，若，则，故原说法是错误的； ③中，若，此时，则这个三角形是一个直角三角形，故原说法是正确的； ④若三角形的三边比为，则设三边为，∵，∴该三角形是直角三角形，故原说法是正确的； 故选C． 38．(24-25八下·重庆璧山区高新初级中学校·期末)如图，在中，，，D，E为上的两点，，F为外一点，且，．有下列结论： ①； ②； ③； ④． 其中正确的结论有（   ）个 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解：①∵，，， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故①正确， ②连接， 由①中证明， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴，故②正确， ③如图，设与的交点为G， ∵，， ∴，， ∴，故③不正确， ④∵，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴，故④正确． ∴其中正确的结论有个． 39．(24-25八下·重庆永川区·期末)如图，在四边形中，AD∥BC，，，为边上一点，．连接、交于点，且，连接．现给出下列四个结论：①≌；②；③；④．其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【详解】解：，， ， ∵AD∥BC， ， ， ， ， （ASA）， ， ， （SAS），故①正确； 在中，， ， ， ， ，故③正确； ，， ， ， ， ， 为等边三角形， ， ，故②正确， 为等边三角形，， ， 在中，根据勾股定理得，， ，故④正确， 综上，正确的有①②③④共4个， 故选：D． 40．(24-25八下·重庆渝中区巴蜀中学校·期末)如图，为正方形内一点，过作直线交于点，过作直线交、于，且．若．以下结论：①为等边三角形；②；③；④．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解：①∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形； 故①正确． ②如图，过点G作交于K，连接，    则， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是圆内接四边形， ∴， ∴， 在中， ， 故②正确． ③如图，过点P作于L，交于J，过点E作于M，则四边形是矩形， ∴，，    ∵， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故③错误． ④过点B作，交的延长线于N，连接，    ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 由②知，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴ 故④正确， 综上，①②④正确． 故选：C． ( 地 城 考点0 6 方位角问题 )41．(24-25八下·重庆大渡口区·期末)某公园是人们健身散步的好去处．小明跑步的路线如图，从A点到D点有两条路线，分别是和．已知米，米，米，点D在点C的正北方60米处（即米，）． (1)试判断与的位置关系，并说明理由； (2)通过计算比较两条路线谁更短． 【答案】(1)，见解析 (2)路线更短 【详解】（1）解：， 理由如下：在中，米，米，米， ， ， ， ． （2）解：在中，米，米， 由勾股定理得：（米）， （米），（米）， ， 路线更短． 42．(24-25八下·重庆秀山县·期末)如图，亮亮与洋洋分别住在M、Q两个不同的城市，他们约好一起去景区A地旅游，洋洋家在Q地，亮亮家所在的M地在Q地的南偏东方向的千米处，亮亮乘大巴从M地出发，导航显示大巴沿北偏东方向，以平均70千米/小时的速度行驶，10分钟后，洋洋乘出租车从Q地出发，导航显示沿北偏东的方向匀速行驶，亮亮与洋洋两同学同时到达景区A地． (1)亮亮同学从M地出发到达景区A地用了多长时间？ (2)求洋洋同学乘出租车的速度．（结果保留根号） 【答案】(1)1小时 (2)千米/小时 【来源】重庆市秀山县2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试题 【分析】（1）由题意得千米， ．，由三角形内角和定理得出，过点M作，垂足为D，由等腰直角三角形的性质和含30度直角三角形的性质得出 ，，然后根据时间等于路程除以速度求解即可． （2）利用勾股定理求出，再求出，然后根据路程除以时间即可求出速速． 【详解】（1）解：由题意得千米， ．， ∴， 过点M作，垂足为D．如图∶ 则，， ∴， ∵，即， ∴千米， ∴千米， 则亮亮同学从M地出发到达景区A地用小时． （2）解：在中， 千米， ∴千米， ∴千米/小时， 则洋洋同学乘出租车的速度为千米/小时． 【点睛】本题主要考查了方向角的相关计算，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，含30度直角三角形的性质等知识，正确作出辅助线是解题的关键． 43．(24-25八下·重庆长寿区·期末)如图，学校C坐落于东西方向的公路一旁，当重型运输卡车P沿道路方向行驶时，在以卡车P为圆心，长为半径的圆形区域都会受到卡车噪声的影响，且卡车P与学校C的距离越近噪声影响越大．已知学校C与直线上两点A，B的距离分别为和，，求： (1)卡车噪声对学校C有影响吗？请说明理由． (2)若重型卡车P沿道路方向行驶的速度为，卡车P沿道路方向行驶一次给学校C带来噪声影响的时长． 【答案】(1)有影响，理由见解析； (2)秒． 【来源】重庆市长寿区2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试题 【分析】（1）过点作于点，判定三角形的形状，求得最短距离，与影响半径比较大小，判断解答即可． （2）以点C为圆心，为半径作圆，交于点E、F，根据，，得到，根据勾股定理得到，继而得到，求时间即可． 【详解】（1）解：卡车噪声对学校C有影响;   理由如下：如图，过点作于点， 由题意知，，， ∵， ∴， ∴是直角三角形且， 根据题意，得， ∴ ∵， ∴卡车噪声对学校C有影响． （2）解：以点C为圆心，为半径作圆，交于点E、F， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵卡车的速度为， ∴影响时长为. 答：卡车P沿道路方向行驶一次给学校C带来噪声影响的时长为. 【点睛】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，正确构造直角三角形，熟练掌握解直角三角形是解题的关键． 44．(24-25八下·重庆荣昌区·期末)如图，四边形是某公园游览步道．我班数学两个综合实践小组对部分步道进行了测量，数据包括：第一小组在点处测得点在正西方向、点在东北方向，在点处测得点在正东方，点在南偏西方向；第二小组测得米．（参考数据：，） (1)计算的长度； (2)某同学欲从去往处，他有两条线路可以前往：①；②．请计算说明他选择线路①还是线路②路程更短．（计算结果保留到1米） 【答案】(1)的长度为米 (2)线路①的路程较短 【来源】重庆市荣昌区2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试题 【分析】本题考查勾股定理的实际应用，含30度角的直角三角形，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，添加辅助线构造直角三角形是解题的关键： （1）作于点，作于点，则：，，在中求出的长，在中求出的长即可； （2）求出两条路径的长，进行比较判断即可． 【详解】（1）解：作于点，作于点，由题意，可得：，，， 在中，，， ∴， ∴，， 在中，， ∴； 答：的长度为米； （2）由①知：， ∴， 选择线路①的路程为：米； 选择路线②的路程为：米； ∵， 故选择线路①的路程较短． 45．(24-25八下·重庆大足区·期末)如图，四边形是一公园步道，经测量：点B在点A的北偏东方向上，点B在点C的北偏西 方向上，，米，米． (1)求 的长； (2)若甲和乙从点A同时出发，分别沿A→B→C和A→D→C到达点C，若两人的速度相同，请判断甲和乙谁先到达？并说明理由．（参考数据：，） 【答案】(1)800米 (2)甲先到达点C 【来源】重庆市大足区2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试题 【分析】本题考查了勾股定理性质和判定，解题关键在于熟练掌握其基本内容. （1）根据题意可得 为直角三角形，且，可证，再有，根据勾股定理可证； （2）根据（1）可知谁的路线远或近，从而可比较谁先到达点C ． 【详解】（1）解：∵点B在点A的北偏东方向上，点B在点C的北偏西方向上 ∴ ， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴在中； ∴米 （2）甲从点A出发，沿A→B→C到达点C，则 ∵在中， （米） ∴（米） 乙从点A出发，沿A→D→C到达点C，则 ∴（米） ∵两人的速度相同， ∴甲先到达点C ． 46．(24-25八下·重庆丰都县平都中学·期末)上午8时，一条渔船从港口A出发，以每小时15海里的速度向正北方向航行，上午10时到达海岛B处．从望海岛C，测得（如图所示）． (1)求海岛B到海岛C的距离； (2)这条船继续向正北航行，问什么时间小船与灯塔C的距离最短？ (3)渔船从海岛B按原来的方向继续航行30海里（记为点D处）出现了故障，它向海岛B和海岛C都发出了求救信号．接到求救信号后，海岛B派出的救援队立即以每小时20海里的速度前往，海岛C派出的救援队晚出发10分钟，速度为每小时25海里，通过计算说明两支救援队谁先到达渔船处？ 【答案】(1)海岛B到海岛C的距离为30海里 (2)上午11时，小船与灯塔C的距离最短 (3)救援队先到 【详解】（1）解：由题意，得：海里； ∵， ∴， ∴ ∴海里； 答：海岛B到海岛C的距离为30海里； （2）解：过C作于点H， 又， ∴， ∴（海里）， ∴从B处到H处需要小时， ∴答：小船与灯塔C的距离最短时，此时为上午时； （3）解∶ 由题意：海里， 由（1）知：海里， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴海里， ∴救援队所用时间为（小时）， 救援队所用时间为（小时）， ∵， ∴救援队先到． 47．(24-25八下·重庆江津区·期末)如图，四边形是某公园的休闲步道．经测量，点B在A的正西方向，，点D在A的正北方向． (1)求四边形步道所围公园的面积； (2)小明和小亮从B到D去玩耍，公园内有一条小路，小明决定走小路从B→E→D，小明的速度为，小亮决定全程走步道从B→C→D，小亮的速度为，已知，则小明和小亮谁先到达D？请说明理由．（精确到十分位，参考数据：，，） 【答案】(1) (2)小明先到达D，理由见解析 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴为直角三角形， ∴； 根据方位得，， 由勾股定理得，， ∴； ∴； （2）解：小明先到达D，理由如下： ， 由勾股定理得， 小明所需时间为； 小亮所需时间为； ∵， ∴小明先到达D． 48．(24-25八下·重庆巫山县·期末)为满足市民需求，市政部门在某湿地公园内沿湖修建了如图所示的健身步道．经勘测，点C在点A的正东方，点B既在点A的东南方向，又在点C的西南方向，点D既在点A北偏东方向，又在点C的西北方向2千米处．（参考数据：，） (1)求的长度．（结果精确到千米） (2)小华准备从点A跑步到点C，他决定选择一条较长的路线，请计算说明小华应选择路线，还是路线？ 【答案】(1)千米 (2)小华应选择路线 【详解】（1）解：如图， 根据题意得：，千米， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴千米， 在中，， ∴千米； （2）解：由（1）得：路线的长度约为千米， 千米， ∴千米， 根据题意得：， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴千米， ∴路线的长度约为千米， ∵， ∴小华应选择路线． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题02勾股定理(6类48道) ☆6大高频考点概览 考点01判断是否构成直角三角形 考点02勾股定理实际应用 考点03折叠问题 考点04最值问题 考点05综合性问题 考点06方位角问题 目目 考点01 判断是否构成直角三角形 1.(2425八下重庆铜梁区期末)下列长度的各组线段中，能构成直角三角形的是（) A.2,3,4 B.1,2,1 C.32,42,52 D.1,V5,2 2.(24-25八下·重庆巫山县期末)下列四组数中，不是勾股数的是() A.7,21,24B.6,8,10 C.5,12,13 D.3,4,5 3.(24-25八下·重庆秀山县期末)在以下列线段的长为三边的三角形中，能构成直角三角形的是（) A.1,1,√2B.1,2,2 C.2,3,4 D.4,5,6 4.(2425八下·重庆潼南区·期末)下列四组数中，不是勾股数的是() A.a=3,b=4,c=5 B.a=9,b=12,c=15 C.a=5,b=12,c=13 D.a=3,b=5,c=7 5.(24-25八下·重庆九龙坡区·期末)下列各组数不能构成直角三角形边长的是() A.3,4,5 B.5,12,13 C.6,8,12 D.9,40,41 6.(24-25八下·重庆江津区期末)在ABC中，∠A,∠B,∠C的对边分别是a,b,c,不能构成直角三角形的是 () A.a=3,b=2,c=V5 B.a=3,b=4,c=5 C.a=1,b=√2，c=V3 D.a=5,b=12,c=13 7.(24-25八下·重庆荣昌区期末)由下列条件不能判定为直角三角形的是() A.a:b:c=3:5:4 B.∠A:∠B:∠C=2:2:5 C.b2+c2=a2 D.∠A=∠B+∠C 8.(24-25八下·重庆大足区期末)下列各组数中，能构成直角三角形的是() 1/14 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 111 A. 34'5 B.2,5,V5 C.3,4,5 D.1,2,3 目目 考点02 勾股定理实际应用 9.(24-25八下·重庆大渡口区·期末)如图，有一个圆柱形玻璃杯，高为10cm,底面周长为12cm,在圆柱的 下底面的内壁A处有一只蚂蚁，它想吃到在杯内离杯上沿2cm的点E处的一滴蜂蜜，则蚂蚁到达蜂蜜的最 短距离() A.2√61cm B.12cm C.4v13cm D.10cm 10.(24-25八下·重庆复旦中学教育集团期末)2024年9月22日是第七个中国农民丰收节，小彬用3D打印机 制作了一个底面周长为20cm，高为10cm的圆柱粮仓模型，如图，现要在此模型的侧面贴彩色装饰带，使 装饰带从柱底沿圆柱表面均匀地缠绕2圈到达柱顶正上方（从点A到点C，B为AC的中点），则装饰带的 长度最短为() A.10v5cm B.5/17cm C.20v5cm D.10√17cm 11.(24-25八下，重庆开州区文峰教育集团期末)《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股” 章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”翻译成数学问题 是：如图所示，在ABC中，∠ACB=90,AC+AB=10,BC=3,求AC的长，如果设AC=x,则可 列方程为() 2/14 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.x2+(10-x)2=32 B.x2+32=(10-x)2 C.x2+32=102 D.(10-x)2+32=x2 12.(24-25八下·重庆璧山中学校期末)如图，一根长18cm的牙刷置于底面直径为5cm、高为12cm的圆柱 形水杯中，牙刷露在杯子外面的长度为hcm,则h的取值范围是() A.4<h<5 B.5<h<6 C.5<h6 D.4<h<5 13.(24-25八下·重庆渝北区松树桥中学校期末)我国古代九章算术中有数学发展史上著名的“葭生池中”问 题，今有方池一丈二，葭生其中央，出水二尺，引薜赴岸，适与岸齐，问：葭长几何？(1丈=10尺)·意 思是有一个长方体池子，底面是边长为1.2丈的正方形，正中间有芦苇，把高出水面2尺的芦苇拉向池边（芦 苇没有折断)，刚好贴在池边上，则芦苇长()尺 1.2丈 A.8 B.10 C.12 D.13 14.(24-25八下·重庆大足区期末)如图，一个梯子AB长为5米，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B与 墙角C间的距离为3米，梯子滑动后停在DE的位置上，测得DB的长为1米，则梯子顶端A下落了() A C BD A.1米 B.2米 C.3米 D.5米 15.(24-25八下·重庆渝北中学校期末)如图，正方体的棱长为2cm,点B为一条棱的中点.蚂蚁在正方体 侧面爬行，从点A爬到点B的最短路程是() 3/14 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 B A.4cm B.5cm C.v10cm D.v17cm 16.(24-25八下·重庆育才中学校期末)如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是3，高是4，上底面中心有一 个小圆孔，则一条长10cm的直吸管露在罐外部分☑的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是 () A.5≤a≤6 B.3≤a≤4 C.2≤a≤3 D.1≤a≤2 目目 考点03 折叠问题 17.(24-25八下·重庆实验外国语学校期末)如图，有一张直角三角形纸片， ∠ACB=90°，AB=10cm,AC=6cm,现将ABC折叠，使边AC与AB重合，折痕为AE,则CE的长为() B D E A.2cm B.3cm C.4cm D.5cm 18.(24-25八下·重庆十一中教育集团期末)如图，在ABC中，AB=6V5,AC=12,BC=6,将ABC折 叠，得到折痕DE,且顶点B恰好与点A重合，点C落在点F处，则CE的长为()· 4/14 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 B A.4 B.9 C.5 D.310 19.(24-25八下·重庆南岸区珊瑚中学教育集团期末)把正方形ABCD沿对边中点所在的直线对折后展开， 折痕为MN,再过点B折叠纸片，使点A落在MN上的点F处，折痕为BE.若AB长为4，则EF的长为() B M A.45-6 B.4-2V5 C.8-4V5 D.4V6-4V2 20.(24-25八下·重庆外国语学校（四川外国语大学附属外国语学校期末）在如图所示的三角形纸片ABC中， 点D,F分别在边BC,AB上，把∠C沿着AD折叠，点C落在线段BC上的点E处；再把∠B沿EF折叠， 点B与点A重合.若AE=√5，EF=1,则ABC纸片的面积是() F B------- 22 A.4 B. 5 C.45 D.8V5 5 21.(24-25八下，重庆第八中学校期末)如图，将直角边AC=6cm,BC=8cm的直角ABC纸片折叠，使点 B与点A重合，折痕为DE,则CD等于() A(B) -----B .cm B.7cm C.IIcm D.2cm 4 5 22.(24-25八下，重庆垫江县·期末)如图，在△ABC中，点D是BC边的一个三等分点，BD=2CD,且∠ADC 5/14 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 =45°，将△ABC沿AD折叠，点C落在点C处，连接BC,若BC'=10,则BC的长为() A B D A.2N5 B.35 C.65 D.95 23.(24-25八下·重庆西南大学附属中学校期末)如图，三角形纸片ABC中，∠BAC=90°，AB=2, AC=3,沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边BC上的点D处；再折叠纸片，使点C与点D重合， 若折痕与AC的交点为E,则AE的长是 B. 24.(24-25八下·重庆奉节县期末)如图，在长方形纸片ABCD中，AB=6,BC=8.将△ABD沿BD折叠， 使点A落在点P处，PD交CB于点Q,则CQ的长为 B 目目 考点04 最值问题 25.(24-25八下·重庆巴蜀中学期末)如图，在ABC中，LACB=90°，AC=BC=2√2，E是BC的中点， 过点E作AB的垂线，垂足为点F,点M为直线EF上的任意一点，则AM+CM的最小值为() B A.3W2 B.42 C.25 D.210 6/14 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 26.(24-25八下·重庆忠县期末)如图，己知线段AB=4,∠BAC=15°，点E为AC边上动点，则 9(E+BE到的最小值为() B E A.2 B.2√2 C.25 D.6 27.(24-25八下·重庆荣昌区·期末)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3,AB=5,BD平分∠ABC,点 M,N分别是BD,BC上的动点，连接CM,MN,则CM什MN的最小值是() C D M A.3 B.5 C.4 D.2.4 28.(24-25八下·重庆北碚区西南大学附属中学校期末)如图，在等腰直角ABC中，∠A=90°，BD平分 ∠ABC,E是线段BD上一点，F是线段BD上一点，连接CE、EF,若BC=4√2，BF=1,则EF+CE的 最小值是· E B 29.(24-25八下·重庆南岸区·期末)如图，在平面直角坐标系中，点A,B在x轴上，AB=2,点C的坐标为 (0,2),点D的坐标为6，-1)，则CA+AB+BD的最小值为· D 30.(24-25八下，重庆长寿区期末)△ABC中，AB=AC=12,∠BAC=120°，AB的垂直平分线交AB于D, 7/14 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 交BC于F,点E为BC边的中点，M为直线DF上一点，则△AME周长的最小值为 F 31.(2425八下·重庆北碚区西南大学附属中学校期末)如图，直线AB与x轴，y轴分别交于点A和点B, 己知B(0,3),∠BA0=30°，点C、D分别为线段AB,B0上的动点，若OP=√3，则△PCD周长的最小值 为一 B D C 32.(24-25八下.重庆第八中学校期末)如图所示，在平面直角坐标系中，已知A(-V3,0),B(2V3,0),C(0,3), 动点P在射线AB上，且∠QPB=∠CAB,当AP=PQ时，则OQ+BQ的最小值为· B 目目 考点05 综合性问题 33.(2425八下·重庆重庆南开中学校期末)如图，ABC为等腰直角三角形，D为三角形外一点，连接CD, 过D作DE⊥DC交AB于点E,F为DE上一点且DF=DC,连接BF,N为BF中点，延长DN至点M,交 BC于点G,使得LABM=LACD,连接AM,AF，,BM,下列结论：①MN=ND;②DM=√2AM;③ ∠BAM>∠CGD;④2AF+BF=DM;⑤若BM=2,AB=10,AF=√2，则S图边形4CDF=4.其中正 确的个数为() 8/14 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 34.(24-25八下重庆南岸区第十一中学校·期末)如图，在Rt△ABC中，AC=BC,CD⊥AB,∠BAC的平 分线AE交BC于点E,交CD于G,EF⊥AB,连接GF、CF,CF交AE于点H、下列结论：①若将 △EFG沿GF折叠，则点E一定落在AB上；②aEFG≌△ECG;③S△ADG=S四边形DGEF;④若SACEH=1,则 S△4Bc=6V2+6.上述结论中正确的个数是() D G B A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 35.(24-25八下·重庆云阳县“梯城教育联盟”·期末)如图，在ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，直角 ∠EPF的顶点P是BC中点，PE、PF分别交AB、AC于点E、F.给出以下四个结论：①AE=CF;② △EPF是等腰直角三角形；③S边形AEPF=SAPB;④EF=AP.上述结论正确的有() B A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 36.(24-25八下，重庆铜梁区巴川中学校期末)如图，在ABC中，AB=AC=8,∠BAC=90°，点D是BC 的中点，点E是AB边上的动点，连接DE,过点D作DF⊥DE交AC于点F,连接EF,下列结论：① ADE≌CDF;②∠AFE=∠ADE;③BE+CF=EF;④DE的最小值是4；⑤四边形AEDF的面积是定 值.其中正确的个数有() 9/14 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 B D A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 37.(24-25八下·重庆南岸区广益中学期末)下列结论中，正确的有() ①在Rt△ABC中，已知两边长分别为3和4，则第三边的长为5： ②ABC的三边长分别为AB,BC,AC,若BC2+AC2=AB2,则LA=90°； ③在ABC中，若LA:∠B:∠C=1:5:6,则△ABC是直角三角形； ④若三角形的三边长之比为3：4：5，则该三角形是直角三角形. A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 38.(24-25八下·重庆璧山区高新初级中学校·期末)如图，在Rt△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，D,E 为BC上的两点，∠DAE=45°，F为ABC外一点，且FB⊥BC,FA⊥AE,有下列结论： ①CE=BF; ②BD2+CE2=DE2; 国Sr4D-EF； ④CE2+BE2=2AE2. 其中正确的结论有()个 D A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 39.(24-25八下·重庆永川区期末)如图，在四边形ABCD中，ADBC,∠ABC=90°，AB=BC,E为AB边 上一点，LBCE=I5°.连接DE、AC交于点F,且AC⊥DE,连接BF,现给出下列四个结论：①△ACD≌ A1CE:②ScaE:ScE=CE:EF,③EF:MB=1:2;④SE=5cD.其中正确的结论有（) 4 10/14 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 B A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 40.(24-25八下·重庆渝中区巴蜀中学校·期末)如图，P为正方形ABCD内一点，过P作直线PD交BC于点 E,过P作直线GH交AB、DC于G、H,且GH=DE.若LAPD=LDEC,LEDC=I5°.以下结论：① &4BP为等边三角形；②PG=3PD;图SEPD,④V2BP=PE+PG.其中正确的有() G B A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 目目 考点06 方位角问题 41.(2425八下·重庆大渡口区·期末)某公园是人们健身散步的好去处.小明跑步的路线如图，从A点到D 点有两条路线，分别是A-B-D和A-C-D,已知AB=90米，AC=150米，BC=120米，点D在点C的 正北方60米处（即CD=60米，BC⊥CD), 北 D 西 东 南 人工湖 (I)试判断AB与BC的位置关系，并说明理由； (②)通过计算比较两条路线谁更短， 42.(24-25八下·重庆秀山县期末)如图，亮亮与洋洋分别住在M、9两个不同的城市，他们约好一起去景 区A地旅游，洋洋家在Q地，亮亮家所在的M地在Q地的南偏东60°方向的35√2千米处，亮亮乘大巴从 M地出发，导航显示大巴沿北偏东45°方向，以平均70千米/小时的速度行驶，10分钟后，洋洋乘出租车从 11/14 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 Q地出发，导航显示沿北偏东75°的方向匀速行驶，亮亮与洋洋两同学同时到达景区A地. 北 西 →东 南 M (I)亮亮同学从M地出发到达景区A地用了多长时间？ (2)求洋洋同学乘出租车的速度.（结果保留根号） 43.(24-25八下·重庆长寿区·期末)如图，学校C坐落于东西方向的公路AB一旁，当重型运输卡车P沿道路 AB方向行驶时，在以卡车P为圆心，50m长为半径的圆形区域都会受到卡车噪声的影响，且卡车P与学 校C的距离越近噪声影响越大.己知学校C与直线AB上两点A,B的距离分别为60m和80m,AB=100m, 求： 东 B (1)卡车噪声对学校C有影响吗？请说明理由， (②)若重型卡车P沿道路AB方向行驶的速度为36km/h,卡车P沿道路AB方向行驶一次给学校C带来噪声 影响的时长 44.(24-25八下·重庆荣昌区·期末)如图，四边形ABCD是某公园游览步道.我班数学两个综合实践小组对 部分步道进行了测量，数据包括：第一小组在点B处测得点A在正西方向、点C在东北方向，在点D处测 得点C在正东方，点A在南偏西60°方向；第二小组测得AD=CD=400米.（参考数据：√2≈1.414， V5≈1.732) 北 西十东 iD 南 60 B (I)计算BC的长度； (2)某同学欲从A去往C处，他有两条线路可以前往：①A-B-C;②A-D-C.请计算说明他选择线路① 还是线路②路程更短.（计算结果保留到1米） 12/14 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 45.(24-25八下·重庆大足区·期末)如图，四边形ABCD是一公园步道，经测量：点B在点A的北偏东30°方 向上，点B在点C的北偏西60°方向上，∠ADC=90°，AB=500米，CD=600米. 北 B 西 》东 南 D (I)求AD的长； (2)若甲和乙从点A同时出发，分别沿A→B一→C和A→D→C到达点C,若两人的速度相同，请判断甲和乙 谁先到达？并说明理由.（参考数据：√3≈1.73，√2≈1.41） 46.(24-25八下·重庆丰都县平都中学.期末)上午8时，一条渔船从港口A出发，以每小时15海里的速度向 正北方向AN航行，上午10时到达海岛B处.从4，B望海岛C,测得∠NAC=30°，∠NBC=60°（如图所示）. B (I)求海岛B到海岛C的距离； (2)这条船继续向正北航行，问什么时间小船与灯塔C的距离最短？ (3)渔船从海岛B按原来的方向继续航行30海里（记为点D处）出现了故障，它向海岛B和海岛C都发出 了求救信号.接到求救信号后，海岛B派出的救援队立即以每小时20海里的速度前往，海岛C派出的救援 队晚出发10分钟，速度为每小时25海里，通过计算说明两支救援队谁先到达渔船处？ 47.(24-25八下·重庆江津区·期末)如图，四边形ABCD是某公园的休闲步道.经测量，点B在A的正西方 向，BC=70m,CD=240m,AB=150m,BD=250m,点D在A的正北方向. 13/14 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 北 D ，东 西 南 E (1)求四边形步道ABCD所围公园的面积： (②)小明和小亮从B到D去玩耍，公园内有一条小路DE，小明决定走小路从B一ED,小明的速度为 80m/min,小亮决定全程走步道从B→C→D,小亮的速度为70m/min,已知BE=50m,则小明和小亮准先 到达D?请说明理由.（精确到十分位，参考数据：√2=1.414，√3≈1.732，√5=2.236） 48.(24-25八下·重庆巫山县·期末)为满足市民需求，市政部门在某湿地公园内沿湖修建了如图所示的健身 步道.经勘测，点C在点A的正东方，点B既在点A的东南方向，又在点C的西南方向，点D既在点A 北偏东60°方向，又在点C的西北方向2千米处.（参考数据：√2≈1.41，√5≈1.73） D 北 1609 西↑东 南 (1)求AD的长度.（结果精确到01千米） (②)小华准备从点A跑步到点C,他决定选择一条较长的路线，请计算说明小华应选择A-B-C路线，还是 A-D-C路线？ 14/14