专题01 二次根式（6类48道）（期末真题汇编，重庆专用）八年级数学下学期

**基本信息** 二次根式专题期末试题汇编，覆盖6大高频考点，精选重庆多区期末真题，基础巩固与能力提升梯度分明。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择|多题|考点01（有意义条件）、02（最简二次根式）|重庆多区期末真题，基础辨识与概念理解| |填空|多题|考点01、03（估算）|直接考查核心知识点，强化基础应用| |解答|多题|考点04（综合运算）、05（化简求值）、06（分母有理化）|含综合运算、化简求值及阅读理解题，注重运算能力与逻辑推理|

专题01 二次根式 6大高频考点概览 考点01二次根式有意义的条件 考点02最简二次根式 考点03二次根式的估算 考点04 二次根式的综合运算 考点05二次根式相关的化简求值 考点06 分母有理化 ( 地 城 考点0 1 二次根式有意义的条件 )1．(24-25八下·重庆铜梁区关溅初级中学校·期末)使有意义的x的取值范围是（   ） A． B． C． D．全体实数 【答案】B 【来源】重庆市铜梁区关溅初级中学校2024-2025学年八年级下学期期末数学模拟试卷 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，二次根式有意义的条件是被开方数大于或等于0，据此求解即可． 【详解】解：∵式子有意义， ∴， ∴， 故选：B． 2．(24-25八下·重庆秀山县·期末)在实数范围内，要使有意义，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】重庆市秀山县2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试题 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式的定义，被开方数必须非负，即，解不等式即可． 【详解】解：根据题意可知：， 解得： 故选：B． 3．(24-25八下·重庆南川区·期末)若式子有意义，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】重庆市南川区2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试题 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据被开方数非负得到，求解即可． 【详解】解：由题意得， 解得， 故选：D． 4．(24-25八下·重庆巴南区·期末)若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是_____． 【答案】 【来源】重庆市巴南区2024-2025学年八年级下学期6月期末数学试题 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握二次根式有意义的条件—被开方数大于等于零．根据二次根式有意义的条件—被开方数大于等于零，列出不等式即可求解． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故答案为：． 5．(24-25八下·重庆忠县·期末)若二次根式有意义，则x的取值范围是______． 【答案】 【来源】重庆市忠县2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试题 【分析】本题考查了二次根式有意义，根据被开方数为非负数进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， ∴， 故答案为：． 6．(24-25八下·重庆渝中区·期末)若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____． 【答案】 【来源】重庆市渝中区2024—2025学年下学期八年级数学期末测试 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式在实数范围内有意义，可得，再进行求解即可． 【详解】解：∵代数式在实数范围内有意义， ∴， ∴， 故答案为：． 7．(24-25八下·重庆九龙坡区·期末)要使在实数范围内有意义，则的取值范围是______． 【答案】 【来源】重庆市九龙坡区2024-2025学年下学期八年级期末数学试题 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式的被开方数为非负数，列出不等式，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴； 故答案为： 8．(24-25八下·重庆奉节县·期末)若式子有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵式子有意义， ∴， ∴， 故选：C． ( 地 城 考点0 2 最简二次根式 )9．(24-25八下·重庆巫山县·期末)下列式子中，属于最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】重庆市巫山县2024-2025学年八年级下学期期末数学试题 【分析】此题考查了最简二次根式，根据最简二次根式的定义：被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；被开方数是整数，因式是整式，进行逐一判断即可，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键． 【详解】解：、不是最简二次根式，符合题意； 、是最简二次根式，符合题意； 、不是最简二次根式，不符合题意； 、不是最简二次根式，不符合题意； 故选：． 10．(24-25八下·重庆渝北中学校·期末)在下列二次根式中，属于最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】重庆市渝北中学校2024-2025学年八年级下学期6月期末模拟数学试题 【分析】本题主要考查最简二次根式的定义，需满足被开方数不含分母且因数不含平方数，解决此题的关键是熟练化简二次根式； 【详解】解： ，被开方数含分母，需分母有理化，故不是最简二次根式，故选项A错误； ，17是质数，无平方因数，且不含分母，符合最简二次根式条件，故选项B正确； ，可化简为整数，不是二次根式，故选项C错误； ，被开方数含平方因数，可进一步化简，故不是最简，故选项D错误. 故选项为D. 11．(24-25八下·重庆长寿区·期末)下列根式中是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】重庆市长寿区2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试题 【分析】本题考查的是最简二次根式，判断是否为最简二次根式的依据：①被开方数不含能开方的因数；②被开方数不含分母，逐一验证选项即可． 【详解】A． 是三次根式，不属于二次根式，故A选项不符合题意； B． 被开方数3是质数，无平方因数，且不含分母，符合最简二次根式条件，故B选项符合题意； C．，可化简为整数，不是最简二次根式，故C选项不符合题意； D．被开方数含分母，需化为，不符合最简条件，故D选项不符合题意． 故答案选：B． 12．(24-25八下·重庆巴南区·期末)下列式子是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】重庆市巴南区2024-2025学年八年级下学期6月期末数学试题 【分析】本题考查最简二次根式，（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式，据此进行判断即可． 【详解】解：A．，则A不符合题意， B．符合最简二次根式的定义，则B符合题意， C．，则C不符合题意， D．，则D不符合题意， 故选：B． 13．(24-25八下·重庆潼南区·期末)下列各式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】重庆市潼南区2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试题 【详解】此题考查了最简二次根式的定义，需满足：①被开方数不含分母；②被开方数不含能开方的因数．对各选项逐一分析即可． 【分析】A．，被开方数含小数，故不是最简二次根式． B．，被开方数2为质数，无平方因数，且不含分母，符合最简二次根式定义． C．，含能开方的因数，故不是最简二次根式． D．，被开方数含分母，故不是最简二次根式． 故选：B． 14．(24-25八下·重庆忠县·期末)下列代数式中，最简二次根式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】重庆市忠县2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试题 【详解】解：A、是整数，不是二次根式，选项错误； B、的被开方数为分数，分母含根号，可化简为，不符合最简二次根式条件，选项错误； C、的被开方数含，存在可开方的因式，不符合最简二次根式条件，选项错误； D、的被开方数2不可开方，且分母不含根号，满足最简二次根式的条件，选项正确； 故选：D． 15．(24-25八下·重庆渝中区·期末)下列二次根式是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】重庆市渝中区2024—2025学年下学期八年级数学期末测试 【分析】本题考查最简二次根式：①被开方数的因数不含完全平方数；②被开方数不含分母或分母不含根号，根据此进行判断即可. 【详解】j解：A、是最简二次根式，符合题意； B、不是最简二次根式，不符合题意； C、不是最简二次根式，不符合题意； D、不是最简二次根式，不符合题意； 故选：A 16．(24-25八下·重庆江津区·期末)下列各数中是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】重庆市江津区2024-2025学年下学期期末监测八年级数学试卷B卷 【分析】此题考查了最简二次根式，根据最简二次根式的定义：被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；被开方数是整数，不含分母，因式是整式，进行逐一判断即可，熟练掌握最简二次根式的定义是解本题的关键． 【详解】A、是最简二次根式，符合题意； B、，8可分解为，其中4为完全平方数，不是最简二次根式，不符合题意； C、，即，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意； D、，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：A． ( 地 城 考点0 3 二次根式的估算 )17．(24-25八下·重庆铜梁区关溅初级中学校·期末)估计的运算结果最接近下列哪个整数（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【来源】重庆市铜梁区关溅初级中学校2024-2025学年八年级下学期期末数学模拟试卷 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法计算，无理数的估算，计算出式子的结果，再根据无理数的估算方法求出结果的取值范围即可得到答案． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的运算结果最接近4， 故选：B． 18．(24-25八下·重庆江北巴川量子学校·期末)估计的计算结果最接近的整数是（   ） A．12 B．13 C．14 D．15 【答案】C 【来源】重庆市江北巴川量子学校2024—2025学年下学期期末考试八年级数学试题 【分析】本题考查二次根式的运算，无理数的估算，根据二次根式的运算法则，进行计算，再根据无理数的估算方法，即可得出结果． 【详解】解：原式， ∵， ∴， ∴， ∴估计的计算结果最接近的整数是14． 故选：C． 19．(24-25八下·重庆九龙坡区·期末)估计的值应在（   ） A．2与3之间 B．3与4之间 C．4与5之间 D．5与6之间 【答案】B 【来源】重庆市九龙坡区2024-2025学年下学期八年级期末数学试题 【分析】本题考查了二次根式的性质，二次根式的减法，无理数的估算，先将各根式化简，合并同类项后得到结果，再估算其范围，即可作答． 【详解】解：依题意，，， 原式化简为， ∵， ∴， ∴估计的值应在3与4之间， 故选：B． 20．(24-25八下·重庆荣昌区·期末)估计的值在（    ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 【答案】D 【来源】重庆市荣昌区2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试题 【分析】本题考查二次根式的运算，不等式的性质，解题的关键是熟练掌握不等式的性质． 先化简原式，再结合不等式的基本性质求解即可． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， ∴的值在和之间， 故选：． 21．(24-25八下·重庆忠县·期末)估计的值应在（    ） A．0和1之间 B．1和2之间 C．2和3之间 D．3和4之间 【答案】B 【来源】重庆市忠县2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试题 【分析】本题考查二次根式的运算及无理数的估算，它们均为基础且重要知识点，应熟练掌握． 将和分别化简为最简二次根式后相减，得到，再估算即可． 【详解】解：∵， 又∵， ∴的值在1和2之间， 故选：B． 22．(24-25八下·重庆大足区·期末)估计的值应在（    ） A．2到3之间 B．3到4之间 C．4到5之间 D．5到6之间 【答案】A 【来源】重庆市大足区2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试题 【分析】本题主要考查了二次根式的乘除混合计算，无理数的估算，先根据二次根式的乘除混合计算法则求出，再利用无理数的估算方法求解即可． 【详解】， 故选：A． 23．(24-25八下·重庆丰都县·期末)已知，，估计的值应在（   ） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 【答案】B 【来源】重庆市丰都县2024-2025学年下学期八年级期末数学试题 【分析】本题主要考查无理数的估算，二次根式的混合运算；先计算的表达式，再通过估算确定其范围即可． 【详解】解：∵，，则 ∵， ∴， ∴， ∴的值在3和4之间， 故选：B． 24．(24-25八下·重庆巴蜀中学校·期末)估计的值应在（   ） A．0和1之间 B．1和2之间 C．2和3之间 D．3和4之间 【答案】C 【来源】重庆市巴蜀中学校2024-2025学年八年级下学期6月期末考试数学试题 【分析】本题考查无理数的估算，二次根式的运算，掌握二次根式的计算方法和无理数估算方法是得出正确结论的关键． 先根据乘法分配律将式子展开，再估算无理数的取值范围，进而确定原式的值的范围． 【详解】解：原式 ； ∵， ∴， 即 ∴， 即 ∴的值应在和之间 ， 故选：C． ( 地 城 考点0 4 二次根式的综合运算 )25．(24-25八下·重庆永川区·期末)计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【来源】重庆市永川区2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试题 【分析】本题考查二次根式的混合运算，准确掌握运算法则和二次根式的化简是解题的关键． （1）先把二次根式化成最简二次根式，再合并同类二次根式，即可得解； （2）先计算平方差公式和二次根式的除法，再计算加减法，即可解答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 26．(24-25八下·重庆合川区·期末)已知，，求下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1)20 (2) 【来源】重庆市合川区2024-2025学年下学期八年级数学期末试题 【分析】本题考查了平方差公式、完全平方公式、二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）对原式根据完全平方公式进行因式分解，然后代入求值即可； （2）对原式根据平方差公式进行因式分解，然后代入求值即可． 【详解】（1）解： 将，代入上式得， 原式； （2）解： 将，代入上式得， 原式． 27．(24-25八下·重庆合川区·期末)计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【来源】重庆市合川区2024-2025学年下学期八年级数学期末试题 【分析】本题考查二次根式的混合运算， （1）先根据二次根式的性质将每个二次根式化为最简二次根式，再进行合并即可； （2）先利用完全平方公式、平方差公式将原式展开并化简，再进行加减运算即可； 掌握相应的运算法则、性质及公式是解题的关键． 【详解】（1）解： ； （2） ． 28．(24-25八下·重庆合川区·期末)计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】重庆市合川区2024-2025学年下学期八年级数学期末试题 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，先将各二次根式化简，再合并同类二次根式． 【详解】解：， ， ∴ ． 故选：D． 29．(24-25八下·重庆巫山县·期末)___________． 【答案】/ 【来源】重庆市巫山县2024-2025学年八年级下学期期末数学试题 【分析】这道题目是一个包含根式、负指数和零指数的混合运算题．需要分别计算每一项的值，然后进行加减运算，需要掌握根式的化简、负指数和零指数的性质．本题主要考查了根式的化简、负指数和零指数的性质，熟练掌握这些基本性质和运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式， 故答案为：． 30．(24-25八下·重庆铜梁区·期末)计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【来源】重庆市铜梁区2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试题 【分析】本题主要考查了实数的运算，二次根式的混合运算， 对于（1），根据，再计算； 对于（2），根据平方差公式和完全平方公式计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 31．(24-25八下·重庆秀山县·期末)计算： 【答案】1 【来源】重庆市秀山县2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试题 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，零指数幂的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 分别计算二次根式的乘法和除法以及零指数幂，再进行加减计算． 【详解】解： 32．(24-25八下·重庆长寿区·期末)（1）计算：； （2）计算：． 【答案】（1）；（2）． 【来源】重庆市长寿区2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试题 【分析】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握相关运算法则，是解题的关键： （1）先进行开方，去绝对值，分母有理化的运算，再合并同类二次根式即可； （2）先利用乘法公式进行计算，再合并同类二次根式即可． 【详解】解：（1）原式； （2）原式． ( 地 城 考点0 5 二次根式相关的化简求值 )33．(24-25八下·重庆江津区·期末)先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【来源】重庆市江津区2024-2025学年下学期期末监测八年级数学试卷B卷 【分析】本题了分式的化简求值，分母有理化，熟练掌握分式的混合运算法则和分母有理化方法是解题的关键． 先把括号内通分，再进行同分母的减法运算，接着把除法运算化为乘法运算，则约分即可化简，然后把的值代入化简式计算即可． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 34．(24-25八下·重庆荣昌区·期末)先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【来源】重庆市荣昌区2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试题 【分析】此题考查了分式的化简求值和二次根式的混合运算，先利用分式的运算法则化简得到化简结果，再把字母的值代入利用二次根式的运算法则计算即可． 【详解】解： 当时， 原式 35．(24-25八下·重庆梁平区·期末)先化简，再求值，其中． 【答案】， 【来源】重庆市梁平区2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试题 【分析】本题考查了分式的化简求值，二次根式的运算，先根据分式的运算法则进行化简，然后把x、y的值代入，根据二次根式的运算法则计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 36．(24-25八下·重庆长寿区·期末)先化简，再求值：，其中 【答案】． 【来源】重庆市长寿区2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试题 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，分母有理化，先把小括号内的式子通分化简，再把第一个分式的分子与分母分解因式后约分，接着把除法变成乘法后约分化简，最后计算分式减法化简并代值计算即可得到答案． 【详解】解： 当时，原式． 37．(24-25八下·重庆西南大学附属中学校·期末)先化简，再求值：，其中 【答案】， 【来源】重庆西南大学附属中学校2024-2025学年下学期期末考试八年级数学试题 【分析】本题考查完全平方公式，因式分解，分式化简，分式混合运算，分母有理化，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．先通分、因式分解、约分，化简原式，代入的值，计算即可． 【详解】解：， ∵， ∴原式 38．(24-25八下·重庆垫江县·期末)计算： (1) (2)先化简，再求值：，其中． 【答案】(1)8 (2) 【来源】重庆市垫江县2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试题 【分析】本题考查了实数的运算、分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握相关运算法则和公式． （1）按照先算乘方、开方，再算乘法，最后算加减的顺序计算； （2）先对括号内式子通分计算，再将除法转化为乘法，通过因式分解约分进行化简，最后代入求值． 【详解】（1）解： ； （2）解：原式， 当时， 原式． 39．(24-25八下·重庆九龙坡区·期末)实数，表示的数在数轴上如图所示，化简求值： ，其中， 【答案】， 【来源】重庆市九龙坡区2024-2025学年下学期八年级期末数学试题 【分析】本题考查实数与数轴，二次根式的化简求值，根据点在数轴上的位置，判断式子的符号，根据二次根式的性质和绝对值的意义，化简后，再代值计算即可． 【详解】解：由数轴可知：，， ∴， ∵，， ∴， ∴ ； ∴，时，原式． 40．(24-25八下·重庆育才中学校·期末)先化简，再求值：，其中a，b满足 【答案】， 【详解】解：原式 ； ∵， ∴， ∴， ∴原式． ( 地 城 考点0 6 分母有理化 )41．(24-25八下·重庆渝北中学校·期末)计算：______． 【答案】45 【来源】重庆市渝北中学校2024-2025学年八年级下学期6月期末模拟数学试题 【分析】本题考查二次根式的混合运算，先进行分母有理化，再进行加减运算即可． 【详解】解：原式 ； 故答案为：45． 42．(24-25八下·重庆巫山县·期末)例如：．像这样通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去或者把根号中的分母化去，叫做分母有理化．则下列结论正确的有（    ）个 ①若是的小数部分，则；②比较大小：；③变形：；④计算： A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【来源】重庆市巫山县2024-2025学年八年级下学期期末数学试题 【分析】本题考查了分母有理化的应用，解题的关键是熟练运用分母有理化的方法对式子进行变形、计算和比较． 依次对四个结论进行分析，通过分母有理化、根式的性质及大小比较方法来判断对错． 【详解】①由题意，，则．分子分母同乘，得：等式成立，①正确； ②     因为，根据分子相同，分母越大分数越小， 所以，即， ②错误； ③交叉相乘验证等式：左边，右边．展开后合并同类项得，等式不成立，③错误； ④每一项可以表示为：， ， ， ④错误． 综上，仅①正确， 故答案为：A． 43．(24-25八下·重庆大足区·期末)例如：．像这样通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去或者把根号中的分母化去，叫作分母有理化．有下列结论： ①若a是的小数部分，则的值为； ②； ③已知，，则； ④设实数m，n满足，则．其中说法正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【来源】重庆市大足区2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试题 【分析】本题考查了分母有理化．熟练掌握平方差公式，有理化因式，完全平方公式变形求值，二次根式的混合运算，是解题的关键．判断四个结论的正确性，逐一分析每个结论的解题过程． ①的小数部分．得，结论①正确． ②，结论②错误． ③可得，，得，结论③错误． ④由已知得，得，由，得，得，得．结论④正确． 【详解】解：①∵， ∴， ∴的整数部分为1， ∴小数部分． ∴． ∴①正确． ②∵ ， ∴②错误． ③∵，， ∴． ∵，， ∴． ∴． ∴③错误． ④：∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴④正确． 综上，正确结论为①和④，共2个． 选：B． 44．(24-25八下·重庆巫山县·期末)已知，求的值．小明是这样分析与解答的： ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： (1)若，求的值； (2)计算：　 　； (3)比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1)2 (2) (3)，理由见详解 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴； （2） ． 故答案为：； （3），理由如下： ∵， ∴， ∴，， ∵， ， 又∵， ∴， ∴． 45．(24-25八下·重庆渝北区松树桥中学校·期末)阅读下列材料，并回答问题．； ； ； ； … (1)填空：__________；比较大小：__________；（填“”或“”） (2)观察上述算式，仿照上述方法计算（是正整数）； (3)计算：（提示：）． 【答案】(1)； (2) (3)44 【详解】（1）解：， 根据材料可知，，， ， ， 故答案为：，； （2）解： （3）解： 46．(24-25八下·重庆璧山中学校·期末)阅读下列材料，请回答下列问题： 问题：已知，求的值． 小明根据二次根式的性质：，联想到了以下的解题方法： ， ， ，， ， ． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： (1)化简； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解：∵ ∴ ∴ ，即 ∴ ∴ 47．(24-25八下·重庆开州区文峰教育集团·期末)阅读理解： 材料1：平方差公式，当，时，有．在二次根式的一些运算或化简中，若能灵活运用公式，可使计算或化简变得简单． 如， 材料2：如图1，在中，，点是的中点，于交于，若，，求的值． 解：设，则，解得，． 问题解决： (1)化简：； (2)如图2，在中，，，若，求的值； (3)如图3，在等腰中，，，，则 ． 【答案】(1) (2)； (3) 【详解】（1）解：； （2）解：如图，作的垂直平分线交于点，交于点， ， ， ， ， ，， ， ； （3）解：如图，作，垂足为， ，， ，， 由（2）可知：， ． 故答案为：． 48．(24-25八下·重庆复旦中学教育集团·期末)阅读材料，回答问题：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式．例如：因为，，所以与，与互为有理化因式．进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号． (1)的有理化因式是　　　；化简：　　　； (2)化简：； (3)拓展应用：已知，，，试比较的大小，并说明理由． 【答案】(1)； (2)8 (3)a＞b＞c，理由见解析 【详解】（1）解：∵， ∴的有理化因式是， ∴， 故答案为：；； （2）解： ， ， ， ， ； （3）解：，理由如下： 法一： ∵， ， ， ∴， ∴． 法二：∵， ， ， ∴． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题01二次根式 ☆6大高频考点概览 考点01二次根式有意义的条件 考点02最简二次根试 考点03二次根式的估算 考点04二次根式的综合运算 考点05二次根式相关的化简求值 考点06分母有理化 目目 考点01 二次根式有意义的条件 1.(24-25八下·重庆铜梁区关溅初级中学校·期末)使√x-5有意义的x的取值范围是() A.x>5 B.x≥5 C.x≠5 D.全体实数 2.(24-25八下·重庆秀山县期末)在实数范围内，要使√x-3有意义，则x的取值范围是() A.x>3 B.x23 C.x≠3 D.x<3 3.(24-25八下·重庆南川区·期末)若式子√x-3有意义，则x的取值范围是() A.x>-3 B.x≥-3 C.x>3 D.x≥3 4.(24-25八下·重庆巴南区期末)若√3x+2在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 5.(24-25八下重庆忠县期末若二次根式Vx+1有意义，则x的取值范围是 2 6.(24-25八下·重庆渝中区期末)若代数式√2x-1在实数范围内有意义，则x的取值范围是 7.(24-25八下·重庆九龙坡区·期末)要使√m-9在实数范围内有意义，则m的取值范围是 8.(2425八下·重庆奉节县期末)若式子√x-2有意义，则x的取值范围是() A.x≠2 B.x≤2 C.x≥2 D.x>2 目目 考点02 最简二次根式 9.(24-25八下·重庆巫山县期末)下列式子中，属于最简二次根式的是() B.-V5 C.8 D.0.2 10.(24-25八下·重庆渝北中学校期末)在下列二次根式中，属于最简二次根式的是() A.√.5 B.7 C.V32+42 D.y 1/7 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 11.(24-25八下重庆长寿区·期末)下列根式中是最简二次根式的是( ) A.5 B.3 C.√4 D.2 12.(24-25八下·重庆巴南区·期末)下列式子是最简二次根式的是() A得 B.万 C.√2 D.√.5 13.(24-25八下·重庆潼南区期末)下列各式中，是最简二次根式的是() A.V0.1 B.√2 C.⑧ D.v 14.(24-25八下.重庆忠县期末)下列代数式中，最简二次根式是() A.-1 B. 及 C.2a2 √2 D. 5 15.(24-25八下·重庆渝中区·期末)下列二次根式是最简二次根式的是() A.√6 B.⑧ C.§ D.0.5 16.(24-25八下·重庆江津区期末)下列各数中是最简二次根式的是() A.√2 B.V⑧ C.√0.i 1 D. 目目 考点03 二次根式的估算 17.(24-25八下·重庆铜梁区关溅初级中学校·期末)估计2√3×√2-1的运算结果最接近下列哪个整数() A.3 B.4 c.5 D.6 18.(2425八下重庆江北巴川量子学校期末)估计√5×3+2√5)的计算结果最接近的整数是() A.12 B.13 C.14 D.15 924-25八下重庆九龙坡区期末估计22-6的值应在 A.2与3之间 B.3与4之间 C.4与5之间 D.5与6之间 20.2425八下重庆荣昌区期末)估计(8+0)÷2的值在() A.2和3之间B.3和4之间 C.4和5之间 D.5和6之间 21.(24-25八下·重庆忠县·期末)估计√27-√12的值应在() A.0和1之间B.1和2之间 C.2和3之间 D.3和4之间 22425八下重庆大足区期末估计V21-8x的值应在( 2/7 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.2到3之间B.3到4之间 C.4到5之间 D.5到6之间 23.(2425八下·重庆丰都县期末)已知a=√5，b=2√5-√2，估计ab的值应在() A.2和3之间B.3和4之间 C.4和5之间 D.5和6之间 24.2425八下里庆巴蜀中学校期末估计厅×5- 1 的值应在() A.0和1之间 B.1和2之间 C.2和3之间 D.3和4之间 目目 考点04 二次根式的综合运算 25.(24-25八下.重庆永川区期末)计算： (1)18-√8； e5-85+同 26.(2425八下·重庆合川区期末)已知x=√5-1，y=V5+1,，求下列各式的值： (1)x2+2xy+y2; (2)x2-y2. 27.(2425八下·重庆合川区期末)计算： (1)√75-√27+V147; 2(22-+1+3)1-5. 28.(2425八下·重庆合川区期末)计算√45- 3×50的结果是(） A.55 B.3V5 C.25 D.5 29.24-25八下重庆巫山县期末)V8- 30.(24-25八下·重庆铜梁区·期末)计算： 08-15-21+ (②)(2+1)（√2-1）-(N5-2)2 31.(24-25八下重庆秀山县期末)计算：（W5-1(5+1-√48÷5+2025 3/7 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 32.Q423人下重庆长寿区期利1计第：5-5-4斗 (2)计算： (32+25)(32-2-(3-2. 目目 考点05 二次根式相关的化简求值 33.(2425八下·重庆江津区·期末)先化简，再求值： m-2.3 m-1(m-1m-1 其中m=√5-2. 34.(24-25八下·重庆荣昌区·期末)先化简，再求值： 1)，x2-1 x-2+x产-2 ,其中x=√2-1. 2 x+y x+y 35.(2425八下·重庆梁平区·期末)先化简，再求值 x-y x2-2xv+y2 x-y ,其中 x=-2+V5,y=-2-V5. 36.(24-25八下·重庆长寿区期末)先化简，再求值： 0-1-3) 2a+4a2-2a.( a2+4a+4a+1 1a+i其中a=-2. 37.(24-25八下·重庆西南大学附属中学校期末)先化简，再求值： 3-aa2-3aa+1 其中 a=V3-1 38.(2425八下·重庆垫江县期末)计算： (1)(-1)×3+V9+32-2025 ②先化简，再求值：1-x+马+-1，其中x=5-1. 7x2-x 39.(24-25八下·重庆九龙坡区期末)实数Q,b表示的数在数轴上如图所示，化简求值： √a2-2ab+b2+V9a2-6a+1-Vb2+a+b,其中a=1-√5，b=V5-2 a ob 40.24-25八下重庆育才中学校期末)先化简，再求值：1- a b. 1+ a2+b2 a+b气ab-b2a2-ab 其中 2ab a,b满足Va-i+b+1+V3=0 目目 考点06 分母有理化 41.Q425八下重庆渝北中学校期未计算：1+2++5+52+35+2…+2025+2024 4/7 命学科网 www.zx×k.com 让教与学更高效 42.(24-25八下·重庆巫山县期末)例如： 2+1_（5+儿5+刊-22+3.像这样通过分子、分母同乘一 2-1(2-1(2+1 个式子把分母中的根号化去或者把根号中的分母化去，叫做分母有理化.则下列结论正确的有()个 ①若a是2的小数部分，则2-22+2：②比较大小：√2025-N2024>V2024-V2023;③变形： a 1 2,2 2 2 46 V3+√2+1 =V6+V2-2:④计算：3+353+3√57V5+57T2025V2023+2023502 4 A.1 B.2 C.3 D.4 2-1(2-2- 43.(24-25八下·重庆大足区·期末)例如： =3-2√2.像这样通过分子、分母同乘一 2+1（2+12-1 个式子把分母中的根号化去或者把根号中的分母化去，叫作分母有理化.有下列结论： ①若a是5的小数部分，则2的值为√5+1； 1 1 1 1 +5+5+5+5+V7+…+2023+V2025 ② √2025-1： ③已知x=5=,y=5+,则2+y=35: y= √2+1 2-1 ④设实数m,n满足m+√m2+2025n+√n2+2025=2025,则(m+n)2+2025=2025.其中说法正确的个 数是() A.1 B.2 C.3 D.4 2+5’求2a-8a+1的值.小明是这样分析与解答的： 1 44.(24-25八下.重庆巫山县期末)已知a= 1 2-√5 :a=2+52+52- =2-V5, a-2=-5, (a-2)2=3,即a2-4a+4=3, ∴a2-4a=-1, 2a2-8a+1=2(a2-4a)+1=2×(-1）+1=-1. 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： 5-2,求3a2-12a-1的值： 1 (1)若a= 5/7 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 1 1 1 1 2计算：2++5+2+4+5+…+00+99 (3)比较√2023-√2022与√2022-√2021的大小，并说明理由. 45.(24-25八下·重庆渝北区松树桥中学校期末)阅读下列材料，并回答问题.； 2-1 2-1=2-1: 2+1(2+12-1(2-1 √5-V2 5-V2 ++方-阿可， 1 4-5 4-5 4+3(4+4-5)（4-(5 =4-5: (1)填空： 7+V6 比较大小：√2- √-√10；（填“<”或“>”） 1 (②)观察上述算式，仿照上述方法计算 （n是正整数)； Vn+1+√n 1 1 1 1 3)计算： 2+i+3+2+4+V5+…+V2025+N2024 (提示：452=2025). 46.(24-25八下·重庆璧山中学校期末)阅读下列材料，请回答下列问题： 2+5,求2a2-8a+1的值. 1 问题：已知a= 小明根据二次根式的性质：(（√a'=a,联想到了以下的解题方法： 1 2-√5 0-252+2-同2-5， a-2=-V3, .(a-22=3,a2-4a+4=3, a2-4a=-1, .2a2-8a+1=2a2-4a+1=2×-1）+1=-1. 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： 1一+ ()化简2++5+2+4+5++00+丽： 1 2若a2求3a-2a2-1la+2的值. 47.(2425八下，重庆开州区文峰教育集团期末)阅读理解： 617 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 材料1：平方差公式(a+b)a-b)=a2-b2,当a≥0，b≥0时，有a+万)(Va-b)=a-b.在二次根式 的一些运算或化简中，若能灵活运用公式，可使计算或化简变得简单. 1 √2+1 如，2-12-12+1 =√2+1 材料2：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点E是AB的中点，DE1AB于E交BC于D,若AC=a, ,AC的值， BC=3a,求CD :设AD=8D=i,则-8a-=a,解得x0,1C CD 4' B A E D -BC 图1 图2 图3 问题解决： (①)化简： 1 2+5: 2如图2，在RIA ABC中，∠4CB=90°，∠B=15°，若4C=1,求4C的值： BC (3)如图3，在等腰ABC中，AB=AC,∠A=30°，BC=2,则SABc=- 48.(24-25八下·重庆复旦中学教育集团期末)阅读材料，回答问题：两个含有二次根式的代数式相乘，如 果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式.例如：因为√a×√a=a, (2+川2-=1，所以√a与a,√2+1与2-1互为有理化因式.进行二次根式计算时，利用有理化 因式，可以化去分母中的根号. (1)√3-2的有理化因式是一；化简： V3+2 3-2 1 11 1 ②化简：5+5+万++5*+ √289+2879 (3)拓展应用：已知a=√2023-√2022，b=√2024-√2023，c=√2025-√2024，试比较a,b,c的大小， 并说明理由， 7/7