四川省资阳中学2025-2026学年高一下学期期中测试数学试题

**基本信息** 聚焦高一数学核心内容，通过基础巩固与能力提升的梯度设计，考查数学抽象、运算推理及模型应用，适配期中阶段性评价需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|12题60分|函数性质、不等式|以生活实例为背景，考查抽象能力与几何直观| |填空题|4题20分|立体几何、数列|设置开放探究问题，发展创新意识| |解答题|6题70分|三角函数、概率统计|结合科技情境设计综合题，考查数据观念与模型应用，贴合高考对数学核心素养的考查方向|

高2025级第二学期半期考试 数学试题 高2025级半期测试题 一，选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有 一个项是符合题目要求的， 1.已知复数z=2一元，则|z=() A.1 B.5 C.5 D.3 2.已知直线a不平行于平面a,且a丈a,则下列结论成立的是( A.平面α内的所有直线与a是异面直线 B.平面a内不存在与a平行的直线 C.平面4内存在唯一条直线与a平行 D.平面a内的所有直线与a都相交 3函数y=Asin(wx+p)(A>0,w>0,0<伞<π)在一个周期内的图象如图所 示，此函数的解析式为(). A.y=2sin(c+径） 2 B.y=2sin(2x+若） c.y=2sin(2x+ξ） D.y=2sin(2+) 4.正方形O'A'BC”,的边长为2，它是水平放置的一个平面图形的直观图（如 图)，则原图形的周长是( A.12 B.42 C.16 D.8② 5.在△ABC中，若其面积为S,且AB.BG+23s=0,则角B的大小为( A.30° B.60° C.120° D.150° 6.已知平面向量立，6是两个单位向量，立在6上的投影向量为号6，则·（位+）=() A.1 B吉 G.√② D.3 7.已知sin(30+a)=号，60<&<150，则cosa的值为() A3 c D-3+拾8 8.已知a=(2simx,2cosx),b=(√3cosx,cosx),函数f(x)=a·6-1(x∈R).若将f(x)的图象 向右平移石个单位，再将横坐标伸长为原来的2倍，得到函数h(x).若h(x)在区间[0，m】上 单调递增，则m的最大值为() A. B. C. D. 二.选择题：本小题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.下列命题不正确的有() A.若非零向量a,b,,满足a·b=a·,则b=亡B.（a·b·=a·(6) C.若a>6,且与6同向，则d>6 D.db≤a 10.以下结论正确的有() A.在△ABC中，a:b:c=sinA:sinB:sinC 宝宁 藏。中 益高三学波时 ，, B.在△AB中，若sin2A=sin2B,则a=6 O.在四边开形ABD中 若A己一A方+A元，则四边形足菱开形 D.若四边形ABD为口】 贝则A2+B=2(AB2+AD) 11.如图.棱长为2的正方体ABCD一A,B,C,D,中，点E.P,C;分别是棱AD,DD,CD的中 点，则下列说法正确的有( A.直线A,G与直线乃共面. B.Vo.BEr C.点P是线段BC上的动点，则满足AP⊥P○的点P有目只有一个 D.过直线r的平面截正方体，所得截面图形可以是五边形. 三.填空题：本小题共3小题，每小题5分，共15分. 12.计算1二m15- 13. 在△ABC中，点D满足BD=BG,若AD一AB+1A，则A 14. 在△ABC中，AB-1,D为BC边上一点，且∠ADB=·若AD为∠BAC的平分 线，且△ABC为锐角三角形，则边AC的取值范围 四.角解答题：本小题共5小题，共77分.角解答应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤】 15.(本小题满分13分) 已知向量d=(3.4), (1)若高上（立一），求|成一可： (2)若才一(1,2)，言∥（方一2，求京一2万与京的夹角的余弦值. 16.(本小题满分15分) 已知复数z一1十(b∈R,1为虚数单位)，之在复平面上对应的点在第四象限，且满 足·三一4，其中三是的共扼复数 (1)求复数之的虚部； (2)若复数之是关于m的方程Px+2r+g一0(p≠0，且p,9∈)的一个复数恨，求p+g的值. 小题满分15分) s2A+cosA-0. 1 的 边上高线的长 ,从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，求△AB心最长 条件①：snC=5及；条件②：△AsC的面积为10g；尔件@：c=D. (注：若选多个条件进行解答，按第一个解答计分。) 是空 二 ÷“ 意密茶高京一一 “ 一 三士， :小nmem= 。小mw4以y,。工一四”小a心=四。一m 实在别。 本小是分？分) 出 17 A了 m 分训为，h,,口4万一 1.本小满分1分) 如圆， △D足圆维底面圆的内接三角形，D一4，o∠3(D一受，圆维底面半径为T, 口四准的仰面安开四足一个半回. 内切球 震面的早使买胸的症半分，战得圆台的上面半径为，者利下的圆台有 《小满分 的 在Aa中2的刘2含利为n,2的n宫 人A的角物点”，“-。 ( 高2025级第 二 学期 半期考试 数学 答题卡 姓 名： 班 级： 座 位 号： 准考证号： ) ( 贴 条 形 码 区 （正面朝上，切勿贴出虚线方框） ) 1、请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效。 2、选择题必须用2B铅笔填涂，解答题必须用0.5毫米黑色签字笔书写，字体工整，笔迹清楚，排版规范。 3、作答时若有需要删除的内容，请使用如下所示标准删除格式。 ( 1 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] )一、单项选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分。） 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） ( 9 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 11 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] ) 三、填空题（共3个小题，每小题5分，共15分。） 12. 13. 14 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） ( 15.（13分） ) 16.（15分） 17.（15分） 18.（17分） 19.（17分）       ■第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效■ ■第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效■ ■第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效■ 学科网（北京）股份有限公司 $一.选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有 一个项是符合题目要求的 1.已知复数z=2-i,则z=() A.1 B.5 C.√5 D.3 【答案】C 2.已知直线a不平行于平面&，且a4&,则下列结论成立的是（) A.平面&内的所有直线与a是异面直线 B.平面W内不存在与a平行的直线 C.平面a内存在唯一条直线与a平行 D.平面a内的所有直线与a都相交 【答案】B 3.函数y=Asin(ωx+p)(A>0,w>0,0<p<π)在一个周期内的图象如图所示，此函数的解 析式为( V A.y=2sin(x+7π） 12/ 6.y=2sin(2红+6) 5 C.y=2sin(2x+2） D.y=2sm(2+号) 12 3 πO 【答案】C 4.正方形O'AB'C”的边长为2，它是水平放置的一个平面图形的直观图（如 -2上-- 图)，则原图形的周长是( A.12 B.4W2 C.16 D.8√2 【答案】C 5.在△ABC中，若其面积为S,且正.B元+2y3S=0,则角B的大小 3 为() A.30° B.60 C.120° D.150° 【答案】B 6.已知平面向量a,6是两个单位向量，d在6上的投影向量为}6，则d·(a+6)=() 3 A.1 B. 3 C.2 D.√ 【答案】B 7已知sim30+d-号，60<g<150,则cosu的值为( A3-4w3 B.3+4V3 C4W3-3 D.-3+4w3 10 10 10 10 【答案】A 【详解】：60°<a<150°，∴.90°<30°+a<180°， 又：in(30+e=号，∴cos(30to)=, cosa cos[(30+a)-30]=cos(30+a)cos30+sin(30+a)sin30 -号×9+是×号-36 5 2 10 8.已知a=(2sinc,2cosc),b=(√coSz,cosx),函数f(ac)=a·b-1(x∈R).若将f(x)的图象 向右平移石个单位，再将横坐标伸长为原来的2倍，得到函数h(如).若h()在区间[0，m]上 单调递增，则m的最大值为( A B.3 C:5π 12 n等 【答案】D 【详解】由题意得，f(m)=V5(2 in)+(2cos-1）=Vsin2r+cos2m=2sin(2x+】 所以平移：sin(2如-看)+看)=sin(2x-6).伸长得到h(e)=sin(-看) 求单调增区间：号+2k≤-看≤号+2kxke2 取6-0，得行≤：≤因为e[0,m,所以m最大为否正确答案D. 二.选择题：本小题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.下列命题不正确的有(ABC) 【答案】ABC A.若非零向量，6，c,满足d·6=dc,则6=d B.aB.c=a.(B.2 C.若d>,且d与6同向，则a> D.a6≤|l6 10.以下结论正确的有() A.在△ABC中，a:b:c=sinA:sinB:sinC B.在△ABC中，若sin2A=sin2B,则a=b C.在四边形ABCD中，若AC=AB+AD,则四边形是菱形 D.四边形ABCD为口，则AC+BD=2(AB2+AD) 【答案】AD 【解析】由正弦定理易知A,正确.对于B,由sin2A=sin2B,可得A=B,或2A+2B= π，即A=B,或A+B= =2，a=b,或a+b2=c,故B错误：对于C:若AC=A6+AD,则 四边形是平行四边形；对于D:根据AC=AB+AD，DB=A-AD,平方相加得结论成立.故 选AD 11.如图，棱长为2的正方体ABCD-AB1C1D1中，点E,F,G分别是棱AD,DD1,CD的中 点，则下列说法正确的有() A.直线A1G与直线CE共面 B.VD-BEF3 1 C.点P是线段BC1上的动点，则满足AP⊥PC的点P有且只有一个 D.过直线F的平面截正方体，所得截面图形可以是五边形， 【答案】ABD 【解析】选项A:直线A1G与直线CE共面 连接AC和EG.因为E,G分别是AD,CD的中点，所以在△ADC中，FG是中位线， 因此BG∥AC且BG=号AC在正方体中，AC∥AC且A,C=AC 综合上述两点，可得FG∥A1C1, 因此，直线A1G与直线CE共面.选项A正确 选项B:求V%.-Br等价于求Vg-D函 6=号×54e×AB=行×号×2=号选项B正确 选项C:观察计算得当点P与点B重合或点P为线段BC1的中点时AP⊥PC 这说明满足条件的点P至少有两个，而不是只有一个.选项C错误 选项D正确.故选A、B、D. 三.填空题：本小题共3小题，每小题5分，共15分 12.计算1-tanl5° 1+tanl5° 【解析】原式=tan60°=√3 13.在△ABC中，点D满足d=BC,若而-是店+AC,则A=一， 【解析】如图，因为在△ABC中，BD=BC, 所以AD=AB+BD=A正+BC=AB+A(AC-AB=(1-A)A店+AAC, 又A而=子4店+}Ad,所以(1-)A店+C=呈店+子AC,所以=} 14.在△ABC中，AB=1,D为BC边上一点，且∠ADB=3·若AD为∠BAC的平分 线，且△ABC为锐角三角形，则边AC的取值范围 【解析】因为AD为∠BAC的平分线， 所以可设∠BAD=∠CAD=9,则B=答-？，C=吾-日， 3 0<2匹-6< 因为△ABC为锐角三角形，所以{ 3 2 0<20<号 ,所以吾<0<于 在△ABD中，由正弦定理得 AB AD ,③ sin号 sin(等-) 在△ACD中，由正弦定理得 AC AD sin号 ,④ sin(5-6) ④÷③得AC= sin(5-0) 号cos0+5sin0 AB 又AB=1, sin(号-) 9cosg-专sin0 所以AC=gta,设ang=t,又吾<0<是 √3-tand 所以t(.1),所以AC=语=1-2在9)上为增函数 √3-t t-√5 所以AC∈(2,2+√3) 四.解答题：本小题共5小题，共77分.解答应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤 15.(本小题满分13分)已知向量à=(3,4)，6=(1，x). (1)若aL(a-,求a-: (2)若=(1,2)，c∥(a-2b),求d-2b与a的夹角的余弦值 【详解】(1)d-=(2,4-x),由a⊥（a-)可得a(a-=0;(2分) 即3x2+4〔4-)=0，解得=之；(4分) 所以-6-(2，-号)，故a-=√2+(-号-5；(6分) (2)依题意d-26=(1,4-2x),又c∥(d-26,所以1×2-1×(4-2x)=0;(8分) 解得x=1,则à-26=(1,2)，a-2=5,a=5;(11分) 所以cos(a-26,a)= (a-28)a 1×3+2×4=115 a-2BaVP+2×W32+ 25 故a-与的夹角的余3弦值为誉；(g分》 16.(本小题满分15分)已知复数z=1+bi(b∈R,i为虚数单位)，z在复平面上对 应的点在第四象限，且满足z·z=4，其中z是z的共轭复数 (1)求复数z的虚部； (2)若复数z是关于x的方程px2+2x+q=0(p≠0，且p,q∈R)的一个复数根，求p十g 的值 【详解】(1)依题点(1，b)在第四像限，则b<0,由z·z=4,得(1+b)(1-bi)=4, 即b2=3,所以b=-√3；(5分)故复数z的虚部为-√3；(7分) (2)由(1)知，z=1-√5i,由复数z是关于x的方程pc2+2x+q=0的根， 得p(1-√3i)2+2(1-5i)+q=0, 整理得（-2p+q+2)-(2W3p+2W5)i=0,而p,q∈R, 因此 -2p+q+2=0 2√十25=0，解得所拟p+g=-5;(15分) lg=-4, 17.(本小题满分15分)在△ABC中，cos2A+cosA=0. (1)求A的大小： (2)若a=7,从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，求△ABC最长 边上高线的长. 条件O:sinC=55: 条件②：△ABC的面积为10W5;条件③：c=5. 14 (注：若选多个条件进行解答，按第一个解答计分.) 【详解】(1)因为cos2A+cosA=0,所以2cos'A+cosA-1=0, 所以2c0sA-1(c0sA+1=0,所以cosA=子，c0sA=-1, 因为A∈(0.，所以cosA=1舍，所以cosA=,则A=背 :(7分) (2)选择① 因为A=背，由正弦定理CA,代入 晋夏，得c=5;(9分) 7 14 法-：由余弦定理a2=b2+c2-2 bccos A,.代入得49=25+b2-2·5b.1 所以(6-8)(b+5)=0,所以b=8或b=-3(舍)，所以AC边最长；(12分) AC边上的高线h=c·sinA=5；(15分) 21 法二：因为c=5,a=7,所以C<A,所以C<,所以B>；(12分) 所以b为最长边AC边上的高线h=c·inA=5y5；(15分) 选择② 因为S=6 n=10W5所以6c=40,因为A=号，日 由余弦定理a2=b2+c2-2 bccosA 2 所以40=62+c2-bc=6+c2-40,所以6=8或b=5 (c=8 (12分) 1c=51 所以绿长边上的高线A=5·smA=5;(5分) 若选择③，a=7,c=5,A=60°，由余弦定理a2=b+c2-2 bccosA 所以b=8或b=-3(舍)；(12分) 所以AC边最长，AC边上的高线h=c~sinA=55；(15分) 2 18.如图，△BCD是圆维底面圆的内接三角形，BD=4,cos∠BCD=Y5,圆锥底面半径为 3 ?1,PA为圆锥的母线，且圆锥的侧面展开图是一个半圆 (1)求圆锥的高； (2)求三棱锥P-BCD体积的最大值； (3)用平行于底面的平面截去圆锥的上半部分，截得圆台的上底面半径为3，若 剩下的圆台有内切球，求圆台的体积 【详解】(1)设底面圆心为0，半径为T,cos∠BCD=5， 3 所以sin∠BCD=5·由正弦定理可知2m1= 3 返=3n=2w3, 又圆锥的侧面展开图是半圆，所以2rm1=元·PA,所以PA=4√5， 所以圆锥的高h=6；(6分) (2)过圆心O作弦BD的垂线，垂足为E,则OE=√12-4=2√2· 那么底面△BCD面积的最大值为号×(2+22)×4=43+V2), 所以三棱锥P-BCD的最大值为号×6×45+V2)=65+V2):(1分) (3)设圆台的上底面半径为r,,内切球的半径为？ 由图根据三角形相似可知，？=43-(2√3+) 2√5 4V3 解得=23 ,r=2, 3 所以圆台的体积为V=号×4×（告x+12x+)=2x:(17分） 3 9 19.(本小题满分17分)著名的费马问题是法国数学家皮埃尔德费马(1601-1665)于1643 年提出的平面几何极值问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和 最小”费马问题中的所求点称为费马点，已知对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当 △ABC的三个内角均小于120°时，则使得∠APB=∠APC=∠BPC=120°的点P即为费马 点.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且cosB=2 acosA-sinB .若P是 tanC △ABC的“费马点”，a=2W3,b<c. (1)求角A: (2)设PA=,P=,PC=z,若PA·P厉+P厉.P元+P元.PA=-4,求△ABC的周张； (3)在(2)的条件下，设f(x)=4-m·2+PA+PB+PC,若当x∈[0,1]时，不等式 f(c)≥0恒成立，求实数m的取值范围 【详解】(1)由已知，得cosB=2 acosA sinB tanC 由正弦定理，得sinCcosB=2sin4cosA-sinCsinB tanc 2sinAcosA=sin BcosC+cosBsinC, 2sinAcosA=sin(B+C)=sinA, 由于0<A<元sinA>0,所以csA=号，所以A=号5分 (2)设PA=x,P=,PC=z, 则pP店+P店P元+pP元=y(-）+z(-2)+z(-号）=-4 所以y+y2+Cz=8,由SAAPB十S△BPC+S△APC=S△AB0得： w9+g9+5-bcsin号，即be-8 2 由余弦定理得，a2=c2+b2-2 bccosA, 即12=c2+b-2c×号=62+82-8，即c2+8=20, 又b<c,联立6c=8 c2+b2=20 解得c=4,b=2. 所以△ABC的周长为a+b+c=6+2W3;(11分) (3)设P4=,P=,PC=z, 「x2+y2+xy=16 由(2)在△PAB,△PBC,△PAC中，由余弦定理得 x2+z2+cz=4, y2+z2+yz=12 联立xy十y2+xz=8求解可得x2+y+z2=12, 所以(x+y+zP=x2+y2+z2+2(xy+yz+z=28, 所以x+y+z=2W7,f(c)=4-m·2+|PA+PB+|PC=4-m2+2W7≥0， 即m≤2+27，令t=2,te[1,2], 22 由对沟函数性质知y=t+27在t[1,2]上单调递减 t 所以m≤t+2Y7)=2+27=2+V7.即m的取值范围为(-0,2+V7].17分 t min 2