精品解析：四川眉山市彭山区第一中学2025-2026学年高一下学期5月阶段检测数学试题

彭山一中2025-2026学年高一下学期5月阶段检测数学试题 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 若复数是纯虚数，则实数的值为（ ） A. 2 B. 1 C. 2或1 D. 0或1 【答案】A 【解析】 【分析】由纯虚数的概念列式可得结果. 【详解】由是纯虚数，可得，解得. 2. 的值为（ ） A. B. C. 0 D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用两角和的余弦公式化简求得表达式的值. 【详解】 . 故选：B 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】根据二倍角公式以及齐次式化简即可求解. 【详解】因为，所以， . 故选：A. 4. 如图所示，矩形是水平放置一个平面图形的直观图，其中，则原图形的面积为（ ） A. 12 B. C. 24 D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出直观图面积，根据直观图面积和原图面积之间的关系即可得答案. 【详解】由题意得，所以矩形的面积为， 由原图形面积与直观图面积的比例关系，可知原图形的面积是，故D正确. 5. 如图所示，为测量一棵树的高度，在地面上选取A，B两点（A，B，H三点共线），从A，B两点分别测得树尖P的仰角为，，且A，B两点之间的距离为，则树的高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据图形和角边关系求出结果即可. 【详解】设树的高度为，由已知，得， 在中，. 化简得，解得. 所以树的高度为m. 故选：C. 6. 为了得到函数的图象，只需将的图象（ ） A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向右平移个单位长度 D. 向左平移个单位长度 【答案】C 【解析】 【详解】， 将函数的图象向右平移个单位长度得的图象.即C对. 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二倍角公式求出，结合诱导公式即可得解. 【详解】由题，， . 故选：A 8. 已知平面向量，且.已知向量与所成的角为，且对任意实数恒成立，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由对任意实数恒成立，两边同时平方化简整理得：对任意实数恒成立，故，解得.利用绝对值的三角不等式即可求解. 【详解】由题可知. 由，两边同时平方得，化简整理得. 因为对任意实数恒成立，所以对任意实数恒成立， 所以，所以. 所以， 当且仅当向量与方向相反时等号成立，所以的最小值为. 故选：D. 二、多选题（每题6分，共18分） 9. 关于空间中直线与平面的位置关系，下列命题正确的是（ ） A. 若直线与平面平行，则与平面内的任意一条直线都平行 B. 若直线不平行于平面且，则平面内不存在与平行的直线 C. 若两条平行直线中的一条与一个平面平行，则另一条也与这个平面平行 D. 若直线与平面平行，则与平面内的任意一条直线都没有公共点 【答案】BD 【解析】 【详解】平行于平面的直线，和这个平面内的直线平行或异面，所以A错误； 若直线不平行于平面且，则直线与平面相交，所以平面内不存在与平行的直线，所以B正确； 若两条平行直线中的一条与一个平面平行，另一条有可能在平面内，就不与平面平行，所以C选项错误； 若直线与平面平行，根据线面平行的定义，可得直线与平面内的任意一条直线都没有公共点，所以D正确. 10. 已知函数的部分图像如图所示，则（ ） A. B. C. 直线是函数图象的一条对称轴 D. 在的值域为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据函数图象可确定的值，利用特殊点代入函数解析式确定，即可得到函数解析式，判断A，B；将代入验证，可判断C；利用正弦函数的值域可判断D. 【详解】由图象知 ， 解得 ，A正确； 将代入中得，则 ， 因为   ，B错误； 将代入中得，直线是函数图象的一条对称轴，C正确； 因为，所以， 即，D正确， 故选：ACD. 11. 在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足.下列说法正确的有（ ） A. B. 的取值范围为 C. 取值范围为 D. 若的平分线交于，，，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】先通过正弦定理将边化为角，利用和差角公式对已知条件进行三角恒等变形，推导出核心关系 ；再结合锐角三角形的条件，列出三个角的不等式组，求出角 的取值范围，选项A直接验证关系；选项B通过正弦定理将边的比值转化为关于的函数，结合函数单调性求值域；选项C根据的范围判断的取值范围；选项D利用角平分线的面积关系建立等式，结合半角公式进行计算即可判断. 【详解】选项A：由正弦定理 ，得 ， 代入得： ， 所以， 所以， 由，得 ，故 ， 于是 ，在三角形中，解得 ，即 ，故选项A正确； 选项C：因为△ABC为锐角三角形，所以 ， 解得：，故 ，故选项C错误； 选项B： ， 因为，令 ，则 ， 函数 在该区间单调递增， ，， 所以，故选项B正确； 选项D：因为，且为锐角，得： 由 ，得：， 所以， 因为 AD是的平分线， 由面积关系，得： 所以， 因为，代入得：， 两边同除以：， 由三角恒等式，得： 又因为 ，所以 ，故选项D正确. 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 若复数，则___________ 【答案】 【解析】 【详解】复数， 所以. 方法二： . 13. 已知向量，，且，则______. 【答案】 【解析】 【详解】由. 所以. 14. 在锐角中，，则的最小值为__________. 【答案】10 【解析】 【分析】根据给定条件，利用和差角公式变形可得或，再利用和角的正切公式及基本不等式求出最小值. 【详解】在锐角中，由，得， 整理得， 则， 即， 因此或， 则或， 当时，， ，当且仅当时取等号； 当时，， ，当且仅当时取等号， 而，所以当时，取得最小值10. 故答案为：10 四、解答题（15题13分，16、17题15分，18、19题17分，共77分） 15. 已知向量. （1）若，求的值； （2）记，求函数的最大值和最小值及对应的的值. 【答案】（1） （2）时，，时， 【解析】 【分析】（1）根据向量共线的坐标公式即可求解； （2）根据向量数量积的坐标公式结合辅助角公式，然后利用正弦型函数的性质即可求解. 【小问1详解】 由向量. 因为，所以 ，解得， 又因为，所以； 【小问2详解】 由， 因为，所以， 当时，即时，； 当时，即时， ． 16. （1）求值：； （2）已知都是锐角，，求的值. 【答案】（1）1；（2）. 【解析】 【分析】（1）先进行切化弦，将变为，通分并根据辅助角公式，将其化为，由二倍角公式及诱导公式即可化简得原式的值； （2）由同角三角函数的平方关系，分别求得，再根据两角差的正弦公式求得的值. 【详解】（1） ； （2）∵是锐角，； ∵都是锐角，，所以. ，， . 17. 已知分别为三个内角的对边，且． （1）求； （2）若是边的中点，，求面积的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理或余弦定理进行边角互化即可得出结果； （2）用向量法利用中线定理，结合基本不等式即可得解． 【小问1详解】 方法1：由正弦定理可化为 ， ∴，∴． ∵，∴， ∵，∴． 方法2：∵，由余弦定理得 ， 化简可得，∴， ∵，∴． 【小问2详解】 ∵为边中点，∴， ∴， ∵，∴， ∵（当且仅当时等号成立）， ∵， ∴，∴面积的最大值为． 18. 如图所示正四棱锥，，，为侧棱上的点，且，求： （1）正四棱锥的表面积； （2）若为的中点，求证：平面； （3）侧棱上是否存在一点，使得平面.若存在，求的值；若不存在，试说明理由. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）在侧棱存在点，使得平面， 【解析】 【分析】（1）根据正四棱锥的结构求出侧面的高，即可求解正四棱锥的表面积； （2）如图，连接交于点O，则，结合线面平行的判定定理即可证明； （3）取的中点Q，过Q作的平行线交于E，得，，根据线面平行的判定定理可得平面、平面，结合面面平行的判定定理与性质即可下结论. 【小问1详解】 在正四棱锥中，， 则正四棱锥侧面的高为， 所以正四棱锥的表面积为； 【小问2详解】 如图，连接交于点O，连接，则O为AC的中点， 当M为SA的中点时，， 又平面平面， 所以平面； 【小问3详解】 在侧棱上存在点E，使得平面，满足. 理由如下： 取的中点Q，由，得， 过Q作的平行线交于E，连接，， 中，有，又平面，平面， 所以平面，由，得. 又，又平面，平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面，而平面， 所以平面. 19. 在凸四边形中，． （1）若，，，四点共圆，，，． ①求四边形的面积； ②求的值； （2）若，，，求的值． 【答案】（1）①；② （2） 【解析】 【分析】（1）①由四点共圆得到，在、中分别利用余弦定理求出、，即可得到、，再由面积公式求出、即可；②利用余弦定理求出、，由二倍角公式求出，再由数量积的定义计算可得； （2）设，再在中利用正弦定理得出关于的方程，再根据三角函数恒等变换化简求解即可. 【小问1详解】 ① 因为，，，四点共圆且， 所以，则， 在中由余弦定理，又， 所以，解得（负值舍去）， 所以，则， 在中由余弦定理，又， 所以，解得或（舍去）， 所以， 所以， 所以； ②由①在中由余弦定理， 即，则， 所以， 在中由余弦定理， 即，则， 所以， 即，所以， 所以. 【小问2详解】 设，，则，则，， 又，所以， 在中，由正弦定理可得， 即， ∴，即， ∴ ， 故， 又，解得， 又由正弦定理有， 故， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 彭山一中2025-2026学年高一下学期5月阶段检测数学试题 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 若复数是纯虚数，则实数的值为（ ） A. 2 B. 1 C. 2或1 D. 0或1 2. 的值为（ ） A. B. C. 0 D. 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 1 4. 如图所示，矩形是水平放置一个平面图形的直观图，其中，则原图形的面积为（ ） A. 12 B. C. 24 D. 5. 如图所示，为测量一棵树的高度，在地面上选取A，B两点（A，B，H三点共线），从A，B两点分别测得树尖P的仰角为，，且A，B两点之间的距离为，则树的高度为（ ） A. B. C. D. 6. 为了得到函数的图象，只需将的图象（ ） A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向右平移个单位长度 D. 向左平移个单位长度 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知平面向量，且.已知向量与所成的角为，且对任意实数恒成立，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每题6分，共18分） 9. 关于空间中直线与平面的位置关系，下列命题正确的是（ ） A. 若直线与平面平行，则与平面内的任意一条直线都平行 B. 若直线不平行于平面且，则平面内不存在与平行的直线 C. 若两条平行直线中的一条与一个平面平行，则另一条也与这个平面平行 D. 若直线与平面平行，则与平面内的任意一条直线都没有公共点 10. 已知函数的部分图像如图所示，则（ ） A. B. C. 直线是函数图象的一条对称轴 D. 在的值域为 11. 在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足.下列说法正确的有（ ） A. B. 的取值范围为 C. 取值范围为 D. 若的平分线交于，，，则 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 若复数，则___________ 13. 已知向量，，且，则______. 14. 在锐角中，，则的最小值为__________. 四、解答题（15题13分，16、17题15分，18、19题17分，共77分） 15. 已知向量. （1）若，求的值； （2）记，求函数的最大值和最小值及对应的的值. 16. （1）求值：； （2）已知都是锐角，，求的值. 17. 已知分别为三个内角的对边，且． （1）求； （2）若是边的中点，，求面积的最大值． 18. 如图所示正四棱锥，，，为侧棱上的点，且，求： （1）正四棱锥的表面积； （2）若为的中点，求证：平面； （3）侧棱上是否存在一点，使得平面.若存在，求的值；若不存在，试说明理由. 19. 在凸四边形中，． （1）若，，，四点共圆，，，． ①求四边形的面积； ②求的值； （2）若，，，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $