2025-2026学年人教版 七年级数学下册期末模拟卷

**基本信息** 本卷为新教材人教版七年级数学下册期末模拟卷，全面覆盖全册知识，通过车标平移、《九章算术》应用题、“双倍数”新定义等情境，梯度设计基础题与探究题，培养抽象能力、推理意识和模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10题|平移、相交线、实数、统计等|第1题车标平移考查几何直观，第8题《九章算术》体现文化传承| |填空题|6题|算术平方根、不等式整数解、新定义等|第16题“双倍数”新定义培养创新意识| |解答题|9题|方程组、不等式组、几何证明、统计应用等|25题三角板与平行线探究发展推理能力，23题垃圾分类问题强化模型意识|

2025-2026学年七年级数学下学期期末模拟卷 【新教材人教版】 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：新教材人教版七年级下册全册。 第Ⅰ卷 一、单选题 1．如图所示的图案分别是大众、奥迪、本田、三菱汽车的车标，其中，可以看作由“基本图案”经过平移得到的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：观察可知，只有选项B可以看作由“基本图案”经过平移得到，其它选项的图案都不能看作由“基本图案”经过平移得到. 2．如图，若，，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据邻补角的定义以及平行线的性质求解． 【详解】解：如图所示， ∵， ∴， ∵， ∴． 3．下列调查中最适合采用全面调查（普查）的是（   ） A．调查全国中学生的体重情况 B．调查某批新能源汽车的电池使用寿命 C．调查某市居民的防诈意识 D．调查某班学生的节水意识 【答案】D 【分析】全面调查适合调查对象数量少，无破坏性，易操作的调查． 【详解】解：A、调查全国中学生体重，调查范围大，对象数量多，不适合全面调查，故不符合题意； B、调查汽车电池使用寿命，调查具有破坏性，不适合全面调查，故不符合题意； C、调查某市居民防诈意识，范围大，对象多，不适合全面调查，故不符合题意； D、调查某班学生节水意识，班级学生数量少，范围小，易操作，适合全面调查． 4．在3.14，，，，1.14114111411114．．．（后面依次多个1）中，无理数的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解：，是整数，属于有理数；3.14是有限小数，属于有理数；是无限不循环小数，是无理数；π是无限不循环小数，是无理数；1.14114111411114⋯是无限不循环小数，是无理数； ∴无理数共3个． 5．下列命题是真命题的是（    ） A．两条直线被第三条直线所截，内错角相等 B．两点之间，直线最短 C．直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离 D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】D 【详解】解：选项A中，只有两条平行直线被第三条直线所截，内错角才相等，原命题缺少“两直线平行”的条件，A是假命题，不符合题意； 选项B中，两点之间，线段最短，不是直线最短，B是假命题，不符合题意； 选项C中，直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离，不是垂线段本身，C是假命题，不符合题意； 选项D中，在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，符合同一平面内垂直的基本性质，D是真命题，符合题意． 6．估计的值应在（） A．2到3之间 B．3到4之间 C．4到5之间 D．5到6之间 【答案】C 【分析】本题用夹逼法估算无理数的范围，先找出与61相邻的两个完全平方数，确定的范围，再推导的取值范围． 【详解】解：∵， ∴，即， 不等式两边同时减3，得， 即， ∴的值在4到5之间． 7．若点在第三象限，则点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】本题考查了点的象限的判断，根据点A所处的象限可得到a的符号，由a的符号即可判定点B所在的象限． 【详解】解：∵点在第三象限， ∴， ∴， ∴在第一象限； 故选：A． 8．我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一道题：今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两。问牛、羊各直金几何？意思是：假设5头牛、2只羊，共值金10两；2头牛、5只羊，共值金8两．那么每头牛、每只羊分别值金多少两?设牛每头金，羊每只金，则可列二元一次方程组（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据“设5头牛、2只羊，共值金10两；2头牛、5只羊，共值金8两”列出关于、的二元一次方程组即可． 【详解】解：5头牛、2只羊，共值金10两， ． 2头牛、5只羊，共值金8两， ， 根据题意可列出方程组 9．如图，在平面直角坐标系中，动点A从原点O出发，按“向上、向右、向下、向右”的方向依次不断移动，每次移动2个单位长度，得到点，，，，…，按此规律移动下去，则点的坐标为．（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】观察可得，每4个点为一个循环，纵坐标依次为2，2，0，0，每个循环横坐标增加4，计算出的商和余数即可得到答案． 【详解】解：点，，，，，，，，，…， ∴每4个点为一个循环，纵坐标依次为2，2，0，0，每个循环横坐标增加4， ∵， ∴点纵坐标为2，横坐标为， 点的坐标为． 10．对于任意实数，其整数部分记为，小数部分记为，即：，其中表示不超过的最大整数．如，；，．下列结论正确的个数是（    ） ①； ②； ③若（是整数），则或； ④若，，，则所有可能的值为，，； ⑤方程的解为或或． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】本题为新定义问题，解题关键是掌握表示不超过的最大整数，的性质，逐一对五个结论进行判断即可． 【详解】根据定义，对任意实数，有，为整数，且满足 ，，逐一判断如下： ① ， ， ，故①正确． ②， ， 不超过的最大整数为，即 ，故②正确． ③ ，（为整数）， ， ， ， ， 即 ， 是整数， 或，故③正确． ④ ， ， 相加得 ， 的可能值为，故④正确． ⑤原方程 ，代入整理得： ， 即， ， ， 解得 ， 为整数， ， 分别得，，，均符合条件， 故⑤正确． 综上，个结论全部正确，故选D． 第II卷 二、填空题 11．的算术平方根是_____． 【答案】3 【分析】本题考查了求算术平方根，先计算的值，再求其算术平方根，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：， 故的算术平方根是， 故答案为：． 12．比较大小：_______．（填“>”“<”或“=”） 【答案】 【分析】先比较两个数绝对值的大小，再根据负数比较大小的规则得出结论． 【详解】解：，且 ， ∴，即， ∴． 13．已知是方程的解，则的值为______． 【答案】 2026 【分析】将已知的方程解代入原方程，得到与的关系式，再利用整体代入法计算所求代数式的值． 【详解】解：由题意知，， 即， ∴． 14．如图，某小区计划在一块长方形的空地上铺设草皮，其中阴影部分为预留的宽度相等的走道，则需要铺设草皮的面积为______平方米． 【答案】171 【分析】利用平移的性质，将分散的草皮区域通过平移拼凑成一个完整的长方形，确定新长方形的长和宽，利用长方形面积公式求解． 【详解】解：利用平移的性质，将图中的阴影部分走道分别向右和向下平移至长方形的边缘，则剩余铺设草皮的部分可拼成一个新的长方形． 该新长方形的长为米，宽为米. 根据长方形的面积公式，得： ． 15．若关于x的不等式有且只有3个整数解，且关于x，y方程组的解为整数，则满足条件的整数a的值为______． 【答案】4或1或0 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，解二元一次方程组．根据不等式组求出的范围，然后根据关于的方程组的解为整数，列式计算，据此求解即可． 【详解】解：， 解不等式得，， 解不等式得，， 不等式组只有3个整数解， ∴， ∴， 解方程组， 得：，解得， 将代入④得：，解得 方程组的解为：， ∵， ∴， 关于的方程组的解为整数， 或或或或或， 或或或或， 当时，不是整数，不符合题意； 当时，是整数，符合题意； 当时，不是整数，不符合题意； 当时，是整数，符合题意； 当时，是整数，符合题意； 所有满足条件的整数的值为4或1或0， 故答案为：4或1或0． 16．如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足，那么称这个四位数M为“双倍数”，记，．若“双倍数”，则______；若“双倍数”M满足能被7整除，则满足条件M的最大值与最小值之差为______． 【答案】 114 7197 【分析】①先求出 得到，，再求和即可； ②先推导出，其中，其中a，b，c，d都为整数且互不相等，求出 ，，得到 则，继而推导出也能被7整除，分类求解：求满足条件的M的最大值，要使M最大，需a尽可能大；求满足条件的M的最小值：要使M最小，需a尽可能小；逐个分析求解，最后求差即可． 【详解】解：①当时，， ， ∴； ②根据定义得，即，其中，其中a，b，c，d都为整数且互不相等， 化简和： ， ， 则， ∵ ， 且与都能被7整除， ∴也能被7整除， 求满足条件的M的最大值：要使M最大，需a尽可能大， 当时，， 即能被7整除，且，c为整数， ∴， 此时，，且各数字互不相等， 由，得， 当时，，与重复，舍去； 当时，，四个数字9，3，4，5互不相等，符合条件，故最大； 求满足条件的M的最小值：要使M最小，需a尽可能小， 当时， ， 即能被7整除，且，c为整数， ∴， 此时，不符合； 当时， ， 即能被7整除，且，c为整数， ∴， 此时，取最小，得，四个数字2，1，4，8互不相等，符合条件，故最小； 因此最大值与最小值之差为． 三、解答题 17．计算： (1)； (2)求式中的值：． 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）解：原式 （2）∵    ∴或， 解得或 18．解方程组： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）利用加减消元法即可； （）先将原式化简后利用加减消元即可； 本题考查解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键． 【详解】（1） 得：， 解得：， 将代入，得：， 解得：， 故原方程组的解为：； （2）原方程组可化为：， 得：， 解得：， 把代入得：， 故原方程组的解为：． 19．解不等式（组），并将解集表示在数轴上： (1)解不等式：； (2)解不等式组： 【答案】(1)，数轴见解析 (2)，数轴见解析 【详解】（1）解： 去分母得， 去括号得， 移项，合并同类项得， 数轴表示如下所示： （2）解： 解不等式①得， 解不等式②得， ∴原不等式组的解集为， 数轴表示如下所示： 20．如图，在四边形中，点为延长线上一点，点为延长线上一点，连接，交于点，交于点．若，求证：． 证明：（___________）， （已知）， （等量代换）， （___________）， ___________（___________）， （已知）， （等量代换）， （___________）． 【答案】对顶角相等；同位角相等，两直线平行；；两直线平行，同旁内角互补；同旁内角互补，两直线平行 【分析】根据平行线的判定与性质分析解答即可． 【详解】证明：（对顶角相等）， （已知）， （等量代换）， （同位角相等，两直线平行）， （两直线平行，同旁内角互补）， （已知）， （等量代换）， （同旁内角互补，两直线平行）． 21．如图，三角形的三个顶点都在小正方形的格点上，点A的坐标为，点的坐标为，点C的坐标为． (1)画出三角形先向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度后得到的三角形； (2)分别写出平移后的三角形三个顶点、的坐标； (3)直接写出三角形的面积． 【答案】(1)作图见详解 (2)，， (3) 【分析】（1）利用坐标平移规律“左减右加，上加下减”得出平移后的点坐标，并依次连接即可得出； （2）由（1）可得出点坐标； （3）结合网格图特征，利用割补法即可求得的面积． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求： （2）解：，，． （3）解：． 22．某校计划组织全校学生开展系列体育活动，筹备足球，排球，篮球，羽毛球四个球类运动的体育社团，倡导学生全员参加，为了解学生对这四项球类运动的喜爱情况，随机抽取部分学生，对其进行了“我最喜爱的球类运动项目”问卷调查（每名学生在这四项球类运动项目中选择且只能选择一项），将这部分学生的问卷进行整理，依据样本数据绘制了下边两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： (1)本次调查抽取的学生共有___________人，___________； (2)请补全条形统计图； (3)扇形统计图中，“羽毛球”对应扇形的圆心角为__________； (4)若该校有2000名学生，请你估计该校最喜爱足球运动的学生有多少人？ 【答案】(1)50，24 (2)见详解 (3) (4)估计该校最喜爱足球运动的学生有480人 【分析】（1）观察统计图，喜欢排球的人数和所占的百分比是已知的，根据可得学生总人数，再根据可得m的值； （2）用学生总人数减去喜欢足球、排球和羽毛球的人数可得喜欢篮球的人数，然后补全统计图即可； （3）根据“圆心角的度数部分所占的百分比”求解即可； （4）用“该校总人数×样本中喜欢足球的人数所占百分比”计算即可． 【详解】（1）解：抽取的学生共有（人）； 喜欢足球的学生所占的百分比为， 则； （2）解：喜欢篮球的学生人数为（人）， 补全条形统计图如图所示： （3）解：，， 则扇形统计图中，“羽毛球”对应扇形的圆心角为； （4）解：（人） 答：估计该校最喜爱足球运动的学生有480人． 23．在某市创建全国卫生城市活动中，某小区积极响应，决定在小区内安装垃圾分类的温馨提示牌和垃圾箱，若购买2个温馨提示牌和3个垃圾箱共需550元，且垃圾箱单价是温馨提示牌单价的3倍． (1)求温馨提示牌和垃圾箱的单价各是多少元？ (2)该小区至少需要安放23个垃圾箱，如果购买温馨提示牌和垃圾箱共50个，且费用不超过5000元，请你列举出所有购买方案，并指出哪种方案所需资金最少？最少是多少元？ 【答案】(1)温馨提示牌的单价是50元，垃圾箱的单价是150元 (2)共有3种购买方案，分别是：方案1：购买23个垃圾箱，27个温馨提示牌；方案2：购买24个垃圾箱，26个温馨提示牌；方案3：购买25个垃圾箱，25个温馨提示牌；购买23个垃圾箱、27个温馨提示牌的方案所需资金最少，最少是4800元. 【分析】（1）设温馨提示牌的单价是x元，垃圾箱的单价是y元，根据“购买2个温馨提示牌和3个垃圾箱共需550元，且垃圾箱单价是温馨提示牌单价的3倍”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买m个垃圾箱，则购买个温馨提示牌，根据“至少需要购买23个垃圾箱，且购买费用不超过5000元”，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，结合m为正整数，即可得出各购买方案，再求出选择各方案所需资金，比较后即可得出结论． 【详解】（1）解：设温馨提示牌的单价是x元，垃圾箱的单价是y元， 依题意得：， 解得：． 答：温馨提示牌的单价是50元，垃圾箱的单价是150元． （2）解：设购买m个垃圾箱，则购买个温馨提示牌， 依题意得：， 解得：， 又∵m为正整数， ∴m可以为23，24，25， ∴共有3种购买方案，方案1：购买23个垃圾箱，27个温馨提示牌；方案2：购买24个垃圾箱，26个温馨提示牌；方案3：购买25个垃圾箱，25个温馨提示牌； 选择方案1所需资金为（元）； 选择方案2所需资金为（元）； 选择方案3所需资金为（元）． ∵， ∴方案1所需资金最少，最少是4800元． 24．对于关于的二元一次方程组（其中是常数），给出如下定义：若该方程组的解满足，则称这个方程组为“美好”方程组． (1)下列方程组是“美好”方程组的是____________（只填写序号）． ①；②；③；④． (2)若关于的方程组是“美好”方程组，求的值； (3)若对于任意的有理数，关于的方程组都是“美好”方程组，求的值． 【答案】(1)② (2) (3)或 【分析】（1）根据“美好”方程组的定义，逐项判断即可求解； （2）先求出原方程组的解，再代入，即可求解； （3）先联立得，解得或，再代入，求出a，b的值，即可求解． 【详解】（1）解：①解得，， ∴，故不是“美好”方程组； ②解得，， ∴，故是“美好”方程组； ③解得，， ∴，故不是“美好”方程组； ④解得，， ∴，故不是“美好”方程组； ∴是“美好”方程组的是②； （2）解：， 得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∵关于x，y的方程组是“美好”方程组， ∴， ∴， 解得：； （3）解：∵关于x，y的方程组都是“美好”方程组， ∴， 联立得：， 解得：或， 把代入得：， ∴， ∵m为任意有理数， ∴，， 解得：，， ∴； 把代入得：， ∴， ∵m为任意有理数， ∴，， 解得：，， ∴； 综上所述，的值为或． 25．综合与实践 【问题情境】 在数学综合与实践课上，老师让同学们以“三角板与平行线”为主题开展数学活动．已知直线，在直角三角板中，． 【操作发现】 （1）如图1所示，将直角三角板顶点A放在直线上，设边与相交于点，边与相交于点．当时，发现．请说明理由． 【深入探究】 （2）如图2所示，将图1中三角板的直角顶点放在平行线和之间，两直角边，分别与，相交于点和，得到和，试探究和的数量关系并说明理由． 【拓展运用】 （3）同学们继续探究以下问题，在（2）的情况下，分别作和对顶角的角平分线，它们相交于点，如图3所示，请直接写出的度数． （4）若在内部作射线，过点B作射线交直线于点M，得到，请在图4中补充完整相应图形，并直接写出，与的数量关系． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）；（4） 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的判定与性质． （1）根据题意得到，即可判定，再由平行公理即可得证； （2）小刚的方法：过点B作直线，根据平行线的判定与性质求解即可； 小红的方法：连接，由，得到，根据对顶角相等和三角形的内角和定理得到，，，代入即可解答； （3）过点O作，则，先证明，结合角平分线的定义可证，进而可求出； （4）由（2）知，，从而，再证明，由得，可得，从而，进而可得． 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∴ ∵， ∴； （2），理由如下： 过点B作直线，如图，    ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． （3），理由如下：    如图3，过点O作，则， ∴， ∵， ∴， ∵和分别平分和， ∴， ∴， ∴，即． （4）如图， ，理由如下： 由（2）知，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年七年级数学下学期期末模拟卷 【新教材人教版】 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：新教材人教版七年级下册全册。 第Ⅰ卷 一、单选题 1．如图所示的图案分别是大众、奥迪、本田、三菱汽车的车标，其中，可以看作由“基本图案”经过平移得到的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，若，，则的度数为（  ） A． B． C． D． 3．下列调查中最适合采用全面调查（普查）的是（   ） A．调查全国中学生的体重情况 B．调查某批新能源汽车的电池使用寿命 C．调查某市居民的防诈意识 D．调查某班学生的节水意识 4．在3.14，，，，1.14114111411114．．．（后面依次多个1）中，无理数的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．下列命题是真命题的是（    ） A．两条直线被第三条直线所截，内错角相等 B．两点之间，直线最短 C．直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离 D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 6．估计的值应在（） A．2到3之间 B．3到4之间 C．4到5之间 D．5到6之间 7．若点在第三象限，则点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 8．我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一道题：今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两。问牛、羊各直金几何？意思是：假设5头牛、2只羊，共值金10两；2头牛、5只羊，共值金8两．那么每头牛、每只羊分别值金多少两?设牛每头金，羊每只金，则可列二元一次方程组（   ） A． B． C． D． 9．如图，在平面直角坐标系中，动点A从原点O出发，按“向上、向右、向下、向右”的方向依次不断移动，每次移动2个单位长度，得到点，，，，…，按此规律移动下去，则点的坐标为．（    ） A． B． C． D． 10．对于任意实数，其整数部分记为，小数部分记为，即：，其中表示不超过的最大整数．如，；，．下列结论正确的个数是（    ） ①； ②； ③若（是整数），则或； ④若，，，则所有可能的值为，，； ⑤方程的解为或或． A．2 B．3 C．4 D．5 第II卷 二、填空题 11．的算术平方根是_____． 12．比较大小：_______．（填“>”“<”或“=”） 13．已知是方程的解，则的值为______． 14．如图，某小区计划在一块长方形的空地上铺设草皮，其中阴影部分为预留的宽度相等的走道，则需要铺设草皮的面积为______平方米． 15．若关于x的不等式有且只有3个整数解，且关于x，y方程组的解为整数，则满足条件的整数a的值为______． 16．如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足，那么称这个四位数M为“双倍数”，记，．若“双倍数”，则______；若“双倍数”M满足能被7整除，则满足条件M的最大值与最小值之差为______． 三、解答题 17．计算： (1) (2)求式中的值： 18．解方程组： (1) (2) 19．解不等式（组），并将解集表示在数轴上： (1)解不等式： (2)解不等式组： 20．如图，在四边形中，点为延长线上一点，点为延长线上一点，连接，交于点，交于点．若，求证：． 证明：（___________）， （已知）， （等量代换）， （___________）， ___________（___________）， （已知）， （等量代换）， （___________）． 21．如图，三角形的三个顶点都在小正方形的格点上，点A的坐标为，点的坐标为，点C的坐标为． (1)画出三角形先向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度后得到的三角形； (2)分别写出平移后的三角形三个顶点、的坐标； (3)直接写出三角形的面积． 22．某校计划组织全校学生开展系列体育活动，筹备足球，排球，篮球，羽毛球四个球类运动的体育社团，倡导学生全员参加，为了解学生对这四项球类运动的喜爱情况，随机抽取部分学生，对其进行了“我最喜爱的球类运动项目”问卷调查（每名学生在这四项球类运动项目中选择且只能选择一项），将这部分学生的问卷进行整理，依据样本数据绘制了下边两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： (1)本次调查抽取的学生共有___________人，___________； (2)请补全条形统计图； (3)扇形统计图中，“羽毛球”对应扇形的圆心角为__________； (4)若该校有2000名学生，请你估计该校最喜爱足球运动的学生有多少人？ 23．在某市创建全国卫生城市活动中，某小区积极响应，决定在小区内安装垃圾分类的温馨提示牌和垃圾箱，若购买2个温馨提示牌和3个垃圾箱共需550元，且垃圾箱单价是温馨提示牌单价的3倍． (1)求温馨提示牌和垃圾箱的单价各是多少元？ (2)该小区至少需要安放23个垃圾箱，如果购买温馨提示牌和垃圾箱共50个，且费用不超过5000元，请你列举出所有购买方案，并指出哪种方案所需资金最少？最少是多少元？ 24．对于关于的二元一次方程组（其中是常数），给出如下定义：若该方程组的解满足，则称这个方程组为“美好”方程组． (1)下列方程组是“美好”方程组的是____________（只填写序号）． ①；②；③；④． (2)若关于的方程组是“美好”方程组，求的值； (3)若对于任意的有理数，关于的方程组都是“美好”方程组，求的值． 25．综合与实践 【问题情境】 在数学综合与实践课上，老师让同学们以“三角板与平行线”为主题开展数学活动．已知直线，在直角三角板中，． 【操作发现】 （1）如图1所示，将直角三角板顶点A放在直线上，设边与相交于点，边与相交于点．当时，发现．请说明理由． 【深入探究】 （2）如图2所示，将图1中三角板的直角顶点放在平行线和之间，两直角边，分别与，相交于点和，得到和，试探究和的数量关系并说明理由． 【拓展运用】 （3）同学们继续探究以下问题，在（2）的情况下，分别作和对顶角的角平分线，它们相交于点，如图3所示，请直接写出的度数． （4）若在内部作射线，过点B作射线交直线于点M，得到，请在图4中补充完整相应图形，并直接写出，与的数量关系． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $