北京市第二十中学2025-2026学年第一学期期中考试高一启承数学试题

北京市第二十中学2025-2026学年第一学期期中考试试卷 高一启承数学 (时间：120分钟 满分：150分为必修一模块结业考试) 命题人：刘颖 审题人：王瑞群 班级 姓名 第一部分（选择题共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的选项中，选出符合题目要求的一项 1.cos(7-0)= A.sin B.-sin C.cose D.-cose 2.若0A=(-1,2),OB=(L,-1),则20A+AB等于 A.(-2,3) B.(0,1) C.(-1,3) D.(3,5) 3.已知a=1oe,2b=,c=克，则 A.a>b>c B.b>a>c C.c>b>a D.c>a>b 4.如图，在平行四边形ABCD中，M是AB的中点，DM与AC交于点N,设AB=a,AD=b, 则BN= A.-2a+ 33 c.+ 3 D-5 M 5.已知向量g,e2为非零向量，则“1只+e2HeIe2|”是“存在非零实数m,n,使得me,+ne2=0 ”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6.音乐是用声音来表达人的思想感情的一种艺术.在音乐中可以用形如y=Asin @x(w>0)的 正弦型函数来表示单音，将三个或以上的单音相叠加为和弦.若某和弦由三个单音组成，其中 一个单音可以用y=sx表示，另外两个单音的正弦型函数图象如图所示，则该和弦的一个周 期可能为 剪 1 V3 图① 图② A. B.元 C.2π 2 3 7,第31届世界大学生夏季运动会的官方体育图标是十八墨宝，射箭项目体育图标 为水墨熊猫（如图所示），它是以真实的射箭运动为原型，拉满弓箭时，弓臂为圆 弧形，弧中点到弦中点的距离为2cm,弦长为8cm,求弓形的面积约为 (参考数据：元≈3.14，c0s3习=) 5 A.8.2(cm)2 B.11.1(cm)2 c.9.1(cm)2 D.4.1(cm)2 8.已知函数f(纠=sin(x+pa>0)在[-号寻上单调，且f②=/经=--孕，则u的取 值不可能为 A B号 C. D. 12 5 9.已知x是方程xe=e2的解，x2是方程xlnx=e2的解，则xx2= A.1 B.e C.e2 D.e 10.令M表示全体平面向量构成的集合，若对于任意u∈M,都存在唯一的正整数（记为f(0) )与之对应，且对任意向量，和任意实数a,B都有2fau+Bm)≤f(而+f(四)+/（而-f(四）， 则对于集合N={yy=f()}中所含元素的个数说法正确的是 A.N中至少有两个元素 B.N中至少有无数个元素 C.N中至多有三个元素 D.N中至多有无数个元素 第二部分（非选择题共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11.已知a=(x,x+1),五=(3,6)，若a/6,则x= 12.已知cos2a=-sin2B,a≠B.写出满足条件的一组角ac,B的值c=,B= 页共3页 北京市第二十中学2025-2026学年第一学期期中考试试卷 高一启承数学 班级 姓名 13.当阳光射入海水后，海水中的光照强度随着深度增加而减弱，可用I,=1。©”表示其总衰 减规律，其中K是消光系数，D(单位：米)是海水深度，I,（单位：坎德拉)和I。（单位： 坎德拉)分别表示在深度D处和海面的光强.已知某海域5米深处的光强是海面光强的40%， 则该海域消光系数的值约为 .(ln2≈0.7，ln5≈1.6) 14.在射线OA,OB中，两条射线所成的角哪是60，且线段2OA=OB=1.则集合 {P1OP=xOA+yOB,x+2y=4,y20}所构成的几何图形的轨迹长是 15.摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，某摩天轮最高点距离地面高度128米，转盘直径 为120米，设置有48个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位 置进舱，转-周需要30分钟.若游客甲坐上摩天轮的座舱，开始旋转t分钟后距离地面的高度为 h米，则h关于t的函数解析式为 若游客甲在，2时刻距离地面的高度相等，则 t,+t2的最小值为 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出相应文字说明，演算步骤或证明过程 16.(本小题满分12分) 化简下列代数式 (①)sin25-cos 10π 6 +tan(-13) 3 4 《）67+2g5+g4+(受 (I) 3(4a-20)+号5-2a+6 17.（本小题满分15分) 已知两点（合小、（受-）是谲数=4s@x+叭+风A>0@>00<p<孕图象上制智 的最高点和最低点， (I)求函数f(x)的解析式： ()用“五点法”画出函数f(x)在一个周期内的简图： 第 2 四四2红5元 7元 3买2.36 (I)将函数f(x)的图象向右平移a(a>0)个单位长度后关于y轴对称，求a的最小值. 18.(本小题满分13分) 如图，在平面直角坐标系中，锐角α的始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆（圆心在 原点，半径为1)交于点P.过点P作圆O的切线，分别交x轴、轴于点R(x,0)与(O,y) (I)若△ORP的面积为2，求tana的值； (II)求9x+y好的最小值 a 19.（本小题满分15分) 已知函数/因=2sn2x+pX-受<p<孕的图像关于点传，0)对款. (I)求p的值和f(x)在区间0，上的值域： I)若@eN,函数y=o)在区同r管，孕上单调递增，求o的值： （m)设8)=eosx+2 2asinx--子，若对任意的e-受，与e0爱，郁有e)f）、 求实数u的取值范围. 页共3页 北京市第二十中学2025-2026学年第一学期期中考试试卷 高一启承 数学 班级 姓名 20.(本小题满分15分) e+x+3,x≤0， 已知函数f(x)= 的图象过点兮？， 其中m∈R, -x2+mx+4,0<x< (I)求m及f(-1)的值； (IⅡ)求证：x∈(-oo,1),都有x+3<f(x)≤x+4; (III)若函数g(x)=f(x)-(x+n)川(n∈R)在(-o,I)上存在最大值，求n的取值范围， 21.（本小题满分15分) 定义两个n维向量a=(x,x.2,…,xn)，41=(飞xj.2,,xn)的数量积 aa=xx+x22t+xnxn(名jeN,),aa=a2,记xk为a的第k个分量(k≤n且k∈N, ).如三维向量a=(2,1,5),其中a的第2分量a,2=1.若由n维向量组成的集合A满足以下三个 条件：①集合中含有个n维向量作为元素；②集合中每个元素的所有分量取0或1；③集合中任 意两个元素a,a,满足a=a=T(T为常数)且a·a=1.则称A为T的完美n维向量集. (I)求2的完美3维向量集； (Ⅱ)判断是否存在完美4维向量集，并说明理由； (II)若存在A为T的完美n维向量集，求证：A的所有元素的第k分量和S=T. 第3 北京市第二十中学2025-2026学年第一学期期中试卷 高一启承数学 一、选择题 1.A 2.B3.D4.A 5.A 6.C7.B 8B9.C 10.C 二、填空题 11.1 12.-π 63 (答案不唯一) 13.130.18/ 9 14.4 15.40=60n(ig-引+6,1e0+o，30 三、解答题 16D原式=2-og+m）=后材号4个 6 =sin I 2π π1 8、 2)6+21g5+lg4+(275=7+2+ 485 99 (3) 3引4i-26列+号6-2a+6-含0a-0+号5-(2a-60-号a-0+号5-号a 17.(1)由已知有 ,解得A=2,B=1, ) f =-A+B=-1 由题意可知， 高藏因的最小正周期为7=2×（侣}=，数@-产-2， ΓT 因为点（合习）是函数图象上的最高点，则2×受+p=受+2(：e。 121 2 所以p-号+2a(keZ, 因为0<<，所以=子，故f=2sin(2x+写到}+l. (2)用“五点法”画函数了（似-2s血2x+写}1在一个周期内的简图， 令X=2x+ 列表如下 X 0 π-2 婴 2π 之 π 5孤 6 12 12 1 3 1 -1 1 (3)将函数f(x)的图象向右平移a(a>0)个单位长度所得函数为 y=22(:-o小+写引+1-2sn2x-2a+写引+1，其图象关于y轴对称， 则-2a+号-经ae列，所以a=是e. 32 又a>0,所以a铅即a的最小值为沿 18.(1)由题意得a为锐角，故P在第一象限，则R,P2在x,y轴正半轴上， 由题意可知OPLRE,故cosa= 0明，故x=1 cosa ∠0RP=a,故ina=血∠02P=O丽，则%= 1 sina 由A0P2的面积为2，得2%=2，即2cosa”in&=2. 所以sinacos=4, 又sin2a+cos2a=l,放si血acosa=1 sina+cos a4' 即，tana=1 却an产a+7-4,解得tana=2t5; (2)由题意C是锐角，则x>0,%>0, cia)(cn aco a) 1 一三 =10+92g+ocg≥10+6 cos2a'sin2a 当且仅当a=严时取等号， 6 所以9x号+的最小值为16. 19.(1)由题意可知x=时，2x+p=20+p=(keZ), 3 3 即=号，又-9<所以p号 即r-m2x+写) 当引时，x+， 易知7=2如e[后引》上单调磁境，在[ 「π2 上单调递减， 则此时2si 2+写)e[5,2],所以4在区间[ 上的值域为[5,2： (2由上知f倒=2sn(2x+写引，所以f(o=2m2+) 显然w≠0，即ωeN, 当时，2a+[管+受+引 若要符合题意需一 +2kss+2kt(kEZ). 2 3+3’232 1 解不等式得0∈ +6k 1 [售+4k21 +4k 易知 t +6k ,则k=1,此时0=4. 2 (3)因为对任意的x∈ 元π] 22 e0,6] 都有g(x)<f(x2)，所以g(x)mx<f(x)min, 因为x0 所以2x2 「π2π 333 所以f()∈[V5,2],所以f(x)=V3, g(x)=-sin2x+2asinx- 1 21 令1血，则y=-+2a-号1-对称轴为1ea, [a≤-1 所以① 1-2a5可得 42 <a≤-1， a21 ③ <3+5 =-1+2a6,可得1sa<子+盟 -1<a<1 ③ a=-+2a2-<1’可得-1≤a<1, 综上a∈ 3535 4242 20.（1).函数f(x)= e+x+3,x≤0， -x2+mx+4,0<x<1 的图象过点 f冷=宁+空+4=52-号，解得烟1 4 f0因-2+0x1故-0=0-1*3=2+日 e+x+3,x≤0， e 2)证明：由(1)知f阅=e+x+3,x≤0 -x2+x+4,0<x<1 当x≤0时，，0<e*≤1，x+3<e*+x+3≤x+4; 当0<x<1时，0<x2<1,,-1<-x2<0,x+3<-x2+x+4<x+4. 综上，x∈(o,),都有x+3<f()≤x+4. (3)由(2)知3<f(x)-x≤4，g(x)=|(f(x)-x)-H =f(o)- ①当m=子时，8x=g0=g0, @当n<号时，&树m=&0 国当m>子时，8创<g0,无最大值 32 综上，若函数g(x)可f(x)-(c+n)川(n∈R)在(-o,1)上存在最大值，n的取值范围为(-o, 21.(1)由题意知，集合A中含有3个3维向量元素a(i=1,2,3), 因为4”=42=云2=2，所以每个元素中的三个分量中有两个取1，一个取0. 又aa2=a·a=a3a=1,所以a=(1,1,0),42=(1,0,1),4=(0,1,1), 所以2的完美3维向量集为A={1,0),(1,0,1),(0,1,} (2)依题意，完美4维向量集B含有4个4维向量元素五（i=12,3,4)，,T∈{0,1,2,3,4}， (i)当T=0时，瓦∈{《0,0,0,0)}，与集合中元素的互异性矛盾，舍去： (ii)当T=1时，五∈{1,0,0,0)，(0,1,0,0)，(0,0,1,0)，(0,0,0,1)}，不满足条件③，舍去； (i)当T=2时，五∈{11,0,0)，(1,0,1,0)，(1,0,0,1)，(0,11,0)，(01,0,1)，(0,01,1}， 因为(11,0,0)(0,0,11)=0，故(1,1,0,0)与(0,0,1,1)至多有一个为集合B中元素， 同理：（1,0,1,0)与(0,1,0,1)至多有一个为集合B中元素，(1,0,0,1)与(0,1,1,0)至多有一个为集合B中元素 ,故集合B中的元素个数小于4，不满足条件①，舍去； (iv)当T=3时，b∈{1,1,1,0)，(1,1,0,1)，(1,0,1,1)，(0,1,1,1)}，不满足条件③，舍去： (v)当T=4时，万∈{(1,1,1，)》，与集合中元素的互异性矛盾，舍去； 综上所述，不存在完美4维向量集， (3)依题意，T的完美n维向量集C含有n个n维元素c(i-l,2,,n), 因为G=T,所以每个元素中有T个分量为1，其余分量为0， 所以S1+S2+…+Sn=nT(*), 由（2)知T≠0,1，n,故2≤T<n, 1 T个1 假设存在k,使得T+1≤S.≤n,不妨设T+1≤S1≤n. 古 1 T个1 (i)当S=n时，如右图， 由条件③知，S,=0或S=1（i≠1)， T个1 此时S1+S2+…+Sn≤n+(n-1D=2n-1<2n≤nT, CRM 1 T个1 与(*)矛盾，不合题意 T个1 0 T个1 ST+ (i)当T+1≤S,<n时，如右图， 记Sk=为k+x2k+…+xnk（k=12,…,n), 不妨设=2,1=…=1,1=0，a2=xn3=…r1=1, 1 ,2 x1,+r T个1 下面研究G,C2,C,,c7的前T+1个分量中所有含1的个数. 1 2 ,7+1 T个1 一方面，考忠G,C2,,…,cr中任意两个向量的数量积为1， T个1 故为…，×+w（j=2,3,…,T+1)中至多有1个1， c】 x1,2; Xp.M T个1 故G,C,C,…,c74的前T+1个分量中， T个1 所有含1的个数至多有(T+1)+T=(2T+)个1(*). 01 0 0 T个1 另一方面，考虑GC=1(i=1,2,,T+1), S 品 Srt S 故G,C2,C,,r+的前T+1个分量中， 含有(T+1)+(T+)=(2T+2)个1，与(*)矛盾，不合题意， 故对任意k≤n且k∈N,S≤T,由(*)可得S=T.