湖北黄冈中学2026届高三年级5月考前学情自测数学试题

高三5月第三次模拟考试 数学试卷 本试卷共4页，19题．满分150分． 祝考试顺利 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将答题卡上交． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，，则 A． B． C． D． 2．已知复数，则 A．1 B． C．2 D． 3．一组数据为50，40，20，19，16，16，14，10，则这组数据的众数与第60百分位数之和为 A．40 B．39 C．36 D．35 4．已知，，，则向量，的夹角为 A． B． C． D． 5．函数的部分图象如图所示，则 A． B．3 C． D． 6．已知抛物线：的焦点为，．若上存在点，使得，且的面积为，则 A．1 B．2 C．3 D．4 7．如图，以为圆心，2为半径的圆与轴交于A，B两点，是圆上异于A，B的动点，直线，分别交轴于C，D两点，以为直径的圆与轴交于E，F两点，则的长为 A． B． C．6 D．8 8．已知函数，若实数，满足，则的最小值为 A． B．e C． D．2e 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．若，，，则 A． B． C． D． 10．如图，从双曲线：（，）的左焦点发出的光线，到达上的点后的反射光线，其反向延长线会经过的右焦点，且在点的切线恰好为的角平分线所在的直线．已知，的离心率为2，则下列结论正确的是 A．的渐近线方程为 B．若，则的面积为 C．若与轴交于点，则 D．若的斜率为2，则为直角三角形 11．如图，五面体中，，，，，，点为线段上的动点，则下列结论正确的是 A． B．平面平面 C．平面截该几何体所得截面面积的最小值为 D．三棱锥外接球的表面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知且，则的展开式中的系数的值为__________． 13．若曲线与圆有公共点，且在点处的切线相同，则实数__________． 14．已知，，满足，则的值是__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本题满分13分） 设是等比数列的前项和，已知，． （1）求和； （2）若，求数列的前项和． 16．（本题满分15分） 如图，在斜三棱柱中，，为的中点，且平面，，． （1）证明：四边形为矩形； （2）若点在线段上（异于点），直线与平面所成角的正弦值为，求的值． 17．（本题满分15分） 甲、乙两人进行乒乓球比赛，采用五局三胜制（没有平局，先胜三局者获胜），每局比赛甲获胜的概率为，各局结果相互独立．比赛计分规则如下：若一方以或获胜，则胜者得3分，败者得0分；若一方以获胜，则胜者得2分，败者得1分． （1）求甲获得3分的概率； （2）若，设甲的总得分为随机变量，求的分布列和数学期望； （3）已知甲在比赛中的总得分的分布列由决定．定义意外指数为，求的最大值． 18．（本题满分17分） 已知椭圆：（）的左焦点为，且经过点，直线的斜率为，且与椭圆交于A，B两点． （1）求椭圆的标准方程； （2）若不过，且直线，，的斜率成等差数列，求的取值范围； （3）若经过原点，过椭圆上一点的切线与垂直，求面积的最大值． 19．（本题满分17分） 已知函数． （1）当时，求的最小值； （2）讨论的单调性； （3）若存在极小值，且极小值等于，求证：． 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三5月第三次模拟考试数学试题参考答案及评分细则 1、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．【答案】C【详解】集合，集合或， 故或，即． 2．【答案】D【详解】，所以． 3．【答案】A【详解】将题中数据按从小到大排列为10，14，16，16，19，20，40，50，则众数为16，因为，所以第60百分位数为19，所以众数与第60百分位数之和为. 4. 【答案】C【详解】因为，所以，则，则，因为，所以，即向量的夹角为. 5．【答案】A【详解】由图知，得到，又由图知，由，得到，又，所以即，由，得，所以. 6．【答案】B【详解】由题可得，则，从而.又抛物线准线为，过A作准线垂线，垂足为，由抛物线定义可得，则，从而. 7．【答案】B【详解】连接NE，设圆的半径为，，则，，依题意，，，，，所以，所以，即，，又，所以，故． 8．【答案】D【详解】函数的定义域为，可得，令， ，所以在上单调递增，又， 所以当时，，即，所以在上单调递减， 当时，，即，所以在上单调递增， ，又，，所以， 所以，令，， 当时，，所以在上单调递减，当时，，所以在上单调递增，所以当时，取得最小值，最小值为，即的最小值为. 9．【答案】BC【详解】对于，因为，，，所以，当且仅当时取等号，即，所以，不正确； 对于，因为，当且仅当时取等号，正确； 对于，因为，所以，当且仅当时取等号，正确； 对于，因为，，，所以，又，所以，不正确． 10．【答案】BCD【详解】设双曲线的焦距为，则，所以. 所以.所以C的渐近线方程为，所以A错误； 若，则，所以，所以的面积为，所以B正确； 若l与x轴交于点，则，又，所以，所以C正确； 若l的斜率为2，则点在第一象限，设.由，得当时，，.令，得.所以，即.又，所以，所以为直角三角形，所以D正确. 11．【答案】ABD【详解】对于A，因为，平面，平面，所以平面，又平面，平面平面，所以，又，所以四边形为平行四边形，则，正确. 对于B，因为，，故四边形为等腰梯形. 如图，过点F作，垂足为O，连接，又，，所以， 又，所以.取的中点Q，连接， 因为，，所以，，，又，所以四边形为矩形，所以，又，所以， 故，又，，所以平面，又平面，所以平面平面，故正确. 对于C，如图，设截面与棱交于点M，连接，，因为，平面，平面，所以平面，又平面平面， 所以，又，所以，所以截面是梯形.因为四边形为平行四边形，所以.又，所以当，之间的距离最小时，梯形的面积最小.显然，，之间的最小距离等于直线到平面的距离， 也就是点O到平面的距离.过点O作，垂足为H，由B知，，又，所以平面，则平面，所以，又，，所以平面.所以点O到平面的距离等于，在中，.所以截面面积的最小值为，故错误. 对于D，由B可知，故由正弦定理可得，外接圆的半径.因为，所以外接圆的圆心在上，且. 如上图，以点O为坐标原点，分别以，，所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则，，. 易知三棱锥外接球的球心T在过点且与底面垂直的直线上，故可设T的坐标为，因为A，F均在球T的球面上，所以，得，所以三棱锥外接球的半径，故三棱锥外接球的表面积为，故正确. 12．【答案】【详解】由且，则，即， 则对于，有， 有，故的展开式中的系数的值为. 13．【答案】【详解】由知定义域为，则，此时曲线在点处的切线斜率为，又圆的圆心与点所在直线的斜率为，所以圆在点处的切线斜率为，由题意知，① 又在圆上，所以，② 将①代入②中得，化简得，解得或（舍去），又由题意知，所以，此时，所以，将代入中有，解得. 14．【答案】【详解】，，令，其中①，， （当且仅当，即时取等号），②，又，，，，③ 由①②③得，又，，解得，． 15．【详解】（1）设的公比为q，由题可得，又，所以， 又，所以，，所以，；....................................................................................................5分 （2）由（1）得， 所以........................................................................................................................................................13分 16．【详解】（1）证明：连接，易知，建立空间直角坐标系，如图所示： ，， 由，得，又四边形为平行四边形，则四边形为矩形；..............................................................................................................6分 （2），，则，设，，， ， 设平面的法向量为，则，取，则， 设直线与平面所成的角为，则，即，解得或，所以的值为或．..................................................................................15分 17．【详解】（1）甲、乙两人进行乒乓球比赛，采用五局三胜制（没有平局，先胜三局者获胜），每局比赛甲获胜的概率为，各局结果相互独立， 甲获胜时，概率为； 甲获胜时，前3局甲胜2局输1局，第4局甲胜，概率为； 因此甲得3分的概率为；......................................................4分 （2）若，设甲的总得分为随机变量，则的可能取值为0，1，2，3， ； 对应甲获胜，前4局甲胜2局输2局，第5局甲胜： ； 对应乙获胜，前4局乙胜2局输2局，第5局乙胜： ； 对应乙或获胜，； 的分布列为： 0 1 2 3 根据离散型随机变量的期望公式可得；........................................................................10分 （3）由定义， 代入得， 由基本不等式，当且仅当，即时取等号， 因此，即的最大值为．.........................................15分 18．【详解】（1）因为椭圆的左焦点为，且经过点， 故，所以，且，化简得，即， 整理得，解得（舍去负根），所以，所以椭圆的标准方程为；...................................................................................................................4分 （2）设，因为不过，所以，设，，，， ，△，化简得，所以，因为直线，，的斜率成等差数列，所以，即，整理得，得，整理得，即，解得（舍去），所以，代入，得，解得或，故的取值范围为；.................................................................10分 （3）设，，解得， 故，， 所以，设，，则，其斜率为，又，所以，因为，在椭圆上，所以，解得，不妨令，则， 所以点到直线的距离， 所以△面积，化简得，令， 则， 当且仅当时取等号，即△面积的最大值为．................................................17分 19．【详解】（1），当时，， 由可得，由可得，所以函数在上单调递减，在上单调递增，当时，的最小值为......................................................3分 （2）， 当时，则对任意的恒成立，由可得，由可得，所以函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，令，则或， ①当时，即时，由可得或，由可得，所以函数在上单调递减，在、上单调递增； ②当时，即时，对任意的，，此时在上单调递增； ③当时，即时，由可得或，由可得， 此时在上单调递减，在、上单调递增. 综上所述：当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在、上单调递增； 当时，则在上单调递增； 当时，则在上单调递减，在、上单调递增 ................................................................................................................................................8分 （3）由题意可知，由（2）可知，当时， 函数的极小值为，此时， 因为，则，此时，等式不成立； 当时，函数的极小值为，此时， 因为，则，则， 由不等式的性质可得，等式不成立； 当时，函数在上单调递增，函数无极值；..................................11分 当时，函数的极小值为， 可得，令，则，且，则， 先证明不等式，其中，即证， 令，，其中，则， 所以，函数在上为增函数，当时，， 所以，当时，，设，即，所以，上述两个等式相除得，所以，所以，则，即，可得，由基本不等式可得，故原不等式得证. ................................................................................................................................................17分 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $