陕西榆林市横山中学2026届高三考前自测数学试题

数学（四） 注意事项： 1.本卷满分150分，考试时间120分钟。答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上， 并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷，草 稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3.非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷，草稿纸和答题卡上的 非答题区域均无效。 4,考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 1.已知复数=针一3i则= A.29 B.5 C.√29 D.√5 2已知集合A=0,1238,91,B={z3≥0，则AnB= A.(1,2,3)} B.{0,1,2,3} C.{3,8,9} D.{0,3,8,9} 3已知R,R为椭圆号十荒-1的两个焦点，过R的直线交椭圆于A,B两点，若1R,A+1RBl=9, 则|AB引= A.8 B.7 C.5 D.3 4.已知函数f(x)=am(合x一爱)，则r"=2x+若，∈zr是“f(x)的图象关于点(a,0)对称”的 A充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.已知平面向量a,b,c满足a+b+c=0,a=2,|b=c=4,则a·b+a·c十b·c= A.-36 B.-24 C.-18 D.-12 6.已知m>0,n>0,且m十n=1,则生+m+2的最小值为 m A.12 B.11 C.10 D.9 7.对一排7个相邻的格子进行染色.每个格子均可从红、绿两种颜色中选择一种，要求不能有相邻的格子 都染绿色，则满足要求的染色方法共有 A33种 B.34种 C.68种 D.72种 【YT·数学（四）第1页（共4页）】 8在棱长为2的正方体ABCD-A,BCD中，表P魏餐C时一.刺上粉能户·光朝)殊腰躁粉须 面积的最小值为 A12 B.l1e c n 二、选择题：本颗共3小题，每小题6分，共18分。在每小顺给出的透项书，有多项得价目禁，金都 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选罐的得·分。 。.下列说法正确的是 A若随机变量X服从正态分布X(3,d),且P(X≤)=0.5，则PrX<3)=0.防 B一组数据81Q,11,12,13,16.18,19,2024的60%分位数为16 C对具有线性相关关系的变量x,y,利用最小二乘法得到的经验回归方程为y=0.一，若样本点的 中心为(m,2.8),则实数m的值是一4 D已知一组数据五函”，a0的方差为3，则号十2，行十2，…，字n十2的方差也为3 0.已知函数f(x)与g(x)及其导函数f'(x)与g'(x)的定义域均为R,f(x)是偶函数，g()的图象美 于点（一1,0）对称，则下列说法正确的是 A.f(log3)=f(log9) B.g(1og3)+g(1og12)=0 C.g(f(x)=-g(2+f(-x) D.fg'(-2-x)=fg'(x) 11已知抛物线C:y=8x的焦点为F,过点P(一2,0)且斜率为k的直线与C交于M,N两点，则下列说 法正确的是 Ak的取值范围为（一1,0）U(0,1) C若1NF-2引MF,期k=2号或k=-29 3 D若∠PEM=∠NFM,则k~号支k=-号 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12若an(9+)上2，则，os0 sin(g-晋) 13.已知函数f(x)=x2(x一a)十1在x=2处取得极值，则f(x)的极小值为 14.已知函数f(x)=√1一(x-3)7+3的图象上有且仅有两个不同的点关于直线y=2的对称点在y kx十2的图象上，则k的取值范围是 【YT·数学（四）第2页（共4页）】 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文学说明、证明过程战清算步哪。 15.(本小题满分13分) 在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,be,△MBC的面积为不且Bn C一2 (1)求cosA的值， (②)若△ABC的外接圆的半径为 8 ,求△ABC的周长 16.(本小题满分15分) 如图1，在梯形ABCD中，AB∥CD,∠ABC-90°，AB=3,BC=DC=1,点E是边AB上的一点，且 AE=2EB,沿DE将△ADE折起，使得点A到达点P的位置，且PC=√6，如图2所示，点F,G分别 为线段BC,PC的中点. 图1 图2 (1)求证：PD⊥EB; (2)求平面EFG和平面PCD的夹角的正弦值. 17.(本小题满分15分) 在数列a,}中，a=-1,a=子，且4a+4=4a1-a,(n∈N"). (1)求证：数列{2a+1一an}为等比数列； (2)记数列{a)的前n项和为S,是否存在正整数p,q(p<6<g),使得Sp,S6,S成等差数列？若存 在，求p,9的值；若不存在，说明理由， 【YT·数学（四）第3页（共4页）】 18.(本小题满分17分) 已知双曲线E斧-芳-1(a>0,b>0)的右顶点为A(2,0,离心率为号。 (1)求E的方程； (2)过点P(2,1)的直线1与E交于B,C两点. (1)若△ABC的面积为2，求直线1的方程： (i)已知直线AB,AC分别与y轴交于M,N两点，求△AMN的重心的坐标 19.(本小题满分17分) 已知函数f(x)=ae1一x(a∈R). (1)若a=3,求f(x)的图象在x=1处的切线方程； (2)若f(x)≥0对任意的x∈(0，十∞)恒成立，求a的取值范围； (3)不透明的口袋中装有编号分别为1,2，…，n(≥2，n∈N*)的n个小球，小球除编号外完全相同. 现从中不放回地任取2次，每次取1个球，记取出的2个球的最大编号的倒数为随机变量X, 求证：Vm≥2且nEN,E(X)<2 2ln2+1 2 nn(n-1). 【YT·数学（四）第4页（共4页）】数学（四）参考答案 1D=票3a9PD3=2则=-后，枚选n 1+i 2.A 依题意B={✉≥0）=0.31，又A=01,2389,所以AnB=1,23.放选A 3.B 号+=1，即若+ =1,可得a=4,根据椭圆的定义|FA|+|F2A|十|FB+|F,B|=4a=16,所以 |AB|=|FA|+|FB|=7.故选B 4A令宁一音-经∈乙解得x=吾十∈么，即水x)的对称中心（告+x0),∈乙.所以”，=2淡x+吾∈Z 是“f(x)的图象关于点(x。,0)对称”的充分不必要条件.故选A. 5.C因为a+b+c=0,所以(a+b+c)2=0,即a2+b2+c2+2(a·b+a·c+b·c)=22+42+42+ 2(a·b+a·c+b·c)=0,解得a·b+a·c十b·c--18.故选C &c由题意知告+2-“D+贤+2铅+贤+≥2√会·贤+6=10.当且仅当铝=兴即m=号=号 m m n 时等号成立，故4+m+2的最小值为10.故选C. 7.B7个格子涂色，相邻都不涂绿色，包含的情形如下：第一类：7个格子都涂红色，共1种；第二类：7个格子有6个格子 涂红色有C=7种；第三类：7个格子有5个格子涂红色有C%=15种；第四类：7个格子有4个格子涂红色有C3=10种； 第五类：7个格子有3个格子涂红色有1种.综上，共有1+7+15+10十1=34种.故选B. 8.C如图，连接AC,交BD于点E,易得E为△ABD的外心，连接AC,BD1交于点F,易知 EF⊥平面ABD,则三棱锥P-ABD的外接球球心O在EF上.设△PCD的外接圆圆心为 O',故OO⊥平面PCD,又BC⊥平面CCDD,得OO∥BC,又易得E,F分别是BD,BD A 的中点，所以OO=1.设△PCD的外接圆半径为r,三棱锥P-ABD的外接球半径为R.则 R=1+r,设PC=,z∈[0,2]，所以Sam=2=PC,PDsin∠CPD,所以n∠CPD PC.PD-牛4·@=H,又r= CD 4 4 2 sinCPD=sin/CPD,故P 2-4r+8)(x2+42.设f)=(2-4x+8)(x2+4),则∫(x)=4(x3-3x2+6x-4),设g(x)=∫(x),则g(x) 16 =12(x2-2x+2)>0,所以∫(x)在[0,2]上单调递增，又f(1)=0,所以f(x)在[0,1]上单调递减，在[1,2]上单 调递增，所以了()=1)=25，所以（户）m-需，放(R)一号，所以三校维P-ABD外接球的表面积的最小值 为标×贵华故选C 9.AC因为随机变量X服从正态分布X(3,2),P(X≤4)=0.65，所以P(2<X≤3)=P(X≤3)一P(X≤2)=P(X≤4) 一P(X<3)=0.65-0.5=0,15,故A正确：这组数据总共有10个数，由于10×60%=6，因此60%分位数为1618 2 17,故B错误：因为经验回归方程为y=0.3.x一m,样本中心为(m,2.8),所以2.8=0.3m一m,解得m=一4，故C正确： 设，，，…，m的平均数为，方老为，则=士。十，=[（西-2）十（一）十…十 10 (a一x)门=3，所以号十2，号十2…，号n+2的平均数为号x+2.所以方差为（号+2启x-2)°十 (3a+2-子r-2)°++(3m+2-子x-2)门=号×0(-x)+(-)2++(-x)]=g2 号放D错误故选AC 10.ABD因为log头9=一log23,又f(x)是偶函数，所以f(log3)=f(log9),故A正确：因为g(x)的图象关于点 (-1,0)对称，所以g(-2-x)=-g(x),又log12=-log12=-1og23-2,所以g(一2-log23)=-g(log3),即 g(log3)十g(log12)=0,故B正确；若f(x)=x2,g(x)=x十1，此时f(x)=2x,所以g(f(x)=2x十1， g(2十f(-x))=2-2x十1=-2x+3,故C错误：g(-2-x)=-g(x)两边求导得-g'(-2-x)=-g(x),即 g(-2-x)=g(x),所以f(g'(-2-x)=f(g(x)),故D正确.故选ABD. 【YT·数学（四）参考答案第1页（共4页）】 1A直线N的方程为y=6+2.由+3》得-8+16=0，所以> 解得-1<k<1且 k≠0，因此k的取值范围为（一1,0）U(0,1),故A正确；易得点P(-2,0)在C的准线上，过M,N作准线的垂线，垂足 分别为DE,则MDNE,MD=1MP,NE=NP,两此兴-9即别-别放B正确： 由NF=2MP,得0-2--设M.N则为=面+为=是n=15,联 立解得k=士2号，放C正确：由题意知点M在点N的左刹，直线MP的斜率e=产2直线NF的斜率友 2 (尝-4)十(0-4)2产-4y+) x2-2 (x1-2)(2-2) (x-2)(2-2) =O,所以∠MFP=∠NFx,又 4w/3 4√5 ∠PPM=∠NFM.所以∠MFP=音，所以点M(号，45)或M(号，4)，所以= 3 -3 3 3+2 +2 ，故D错误.故选ABC, 2 12. 32 2 由题意知m(0+子）=")2，解得1am0=名，所以 cos cos 0 ② 1-tan 0 sin(0年） 号(mg-6os0 tan 0-1 -32 21 13.-3由题意知f'(x)=2x(x-a)十x2=x(3x-2a),因为函数f(x)在x=2处取得极值，所以f'(2)= 2(3X2-2a)=0,解得a=3,所以当x<0或x>2时，∫(x)>0,当0<x≤2，f(x)<0,所以f(x)在(-o∞，0)上单 调递增，在(0,2)上单调递减，在(2，十∞)上单调递增，所以f(x)小m=f(2)=2×(2-3)十1=一3. 4(-] y=kx十2关于直线y=2的对称直线为y=一kx十2，则题设等价于函数f(x)=√一(x一3)7+3 的图象和y=-k.x十2的图象有两个交点.易得y=f(x)=√1一(x-3)7+3等价于(x一3)2+(y-3)2=1(y≥3)，由 3+2=1,解得=一子或6=0（舍，又当直线y=一k红十2过点(2.8）时，k=一合，所以灰的取值范围 k2+1 是(-，] 1.解：（①由三角形的面积公式可得S-合csnA=0A则3欢simA=2d, 由正弦定理得3 n Bn CinA=2smA,又snA0,所以msnC-号， …2分 图为manC-2,所以0C-2,所以oBeoC一 3 …4分 所以cosA=-os(B+O=-(BosC-sin BsinC)=子 6分 (2丙为mA=名A∈0x),所以snA=厂os有-2号由正弦定理得品A。 3 8 4 所以Q92sinA=3,b92sinB,0=2simC,………7分 所以c-9平nB:平mC-nBs血C-g×号-平。 …9分 由余弦定理得a2=b+c2-2 bccos A,则9=(b+c)2-2bc-2 bccos A, 即9=叶)-2x翠-2×平×3，解得什e=3,… …12分 所以△ABC的周长为a十b十c=3十3√5.…13分 16.(1)证明：在梯形ABCD中，AB∥CD,∠ABC=90°，AB=3,BC=DC=1,点E是边AB上的一点，且AE=2EB,所以 DC∥EB,DC=EB,所以四边形EBCD是正方形，所以DE⊥AB,故DELEB,DE⊥EP,…1分 连接EC,易得EC=2,又EP=2,PC=6,所以EP+EC=PC,故EP⊥EC,…2分 又ED∩EC=E,ED,ECC平面EBCD,所以EP⊥平面EBCD,…3分 又EBC平面EBCD,所以EP⊥EB,…4分 又EP∩ED=E,EP,EDC平面EPD,所以EB⊥平面EPD,…5分 又PDC平面EPD,所以PD⊥EB.…6分 【YT·数学（四）参考答案第2页（共4页）】 (2)解：以E为坐标原点，以EB,ED,EP所在直线分别为xy,之轴建立空间直角坐标系，如图 所示， 则E(0,0,0),B(1,0,0),P(0,0,2),D(0,1,0),C(1,1,0),又点F,G分别为线段BC,PC的中 点，所以F(1,合0)，G(分21).设平面EG的法向量为m=,,,又序 G (1,o)=(分，1)， 成m=十y-0, 所以 流m==0 令x=2,解得y=-4,x=1, 所以平面EFG的法向量为m=(2,一4,1).…8分 设平面PCD的法向量为n=(a,b,c),又DC=(1,0,0),D-(0,-1,2), DC·n=a=0, 所以D市.n=-什2x=0 令b=2,解得a=0,c=1,所以平面PCD的法向量为n=(0,2,1). …10分 设平面EFG和平面PCD的夹角为0，所以cos0=|cos(m,m1=12XC二4)土1X1山=5】 …13分 5X√2I 15 所以s血0=一o7=2一，即平面EG和平面PCD的夹角的正弦值为2一 15 ……15分 17.()i证明：因为a,=-1,a=子，且4a=4a-a.(n∈N),所以4u,=4ag一a,解得ae=0, 因为4aw+2=4a+1-an(n∈N),所以2(2au+2一a+1)=2a+1一au,又2a2-a1=1≠0， 所以数列{2ar1一a》是以1为首项，号为公比的等比数列.…。 …5分 (2)解：由1得2a1一a=则2a1-2a=1,所以数列2a,是等差数列. 所以2a,=一2，得a=号。 …7分 所以1号+2+3++所以5.12号斗2+3++ 2 22 21 22 23 2n, 1-2 所以S,=一2.…10分 由5，S,S,成等老数列，得一是=一品一品整理得多十头-最 11分 由号+是=最得多<又1<6，pN,-是>>>p=5不等式成立， …13分 即号-2令d=票则d-d-≤0，从而d=d>d,>d,>d>…,显然d=2 即q=8,所以存在p=5,q=8,使得Sp,S6,Sg成等差数列.…15分 a=2, 18.解：(1)由题意知 a-2 ……………………………】 c2=a2+b2, 解得a=2,b=1,c=√5， 2分 所以C的方程为号一=1 3分 (2)(1)显然直线l的斜率存在，设直线1的方程为y=k(x一2)十1， 号-=，得（日-发）2-(2-状)江-4+4-2=0， y=k(x-2)+1 所以号-0≠0,4=(2k-42)-4(日-发)(-4+4-2)=2-46>0， 设B(y),C(m),则m十m= 2k-4k2 x12= 一4k2+4k-2 …5分 子- 【YT·数学（四）参考答案第3页（共4页）】 所u=a+4西哥 所以S=子×1AP川X-=2×1x-2e. 15 8分 得(k十2)(4k2一6k十11)=0，解得k=一2，满足题意，故直线1的方程为2x十y一5=0.…10分 (1)设M(0,m),N(0,n),不妨设m>,则直线AM:y=-受（x一2)， 0=-受(x-2) 得(1-m2)x2+4m2x-4㎡-4=0， -2=1 、4 则△=(4m2)2+4(1-m2)(4m2+4)=16,xAxB= 4(m2+1) m2-1 则xh=2(m2+1) : 11分 同理：心= 2(n2+1) -2n n-1=2 12分 所似球-(22出，1).市=(22,1) m2-1 又P,B,C三点共线，则有P市∥P心， 则(-2出)1)(-2出)-n2晋) 得m十十2=0，所以MN的中点为定点H(0,一1)， 15分 记△AMN的重心为G,所以AG=号Ai即(-2，光)=号(-2，-1D,解得0=号G=-号 即△AMN的重心的坐标为（号，-号）. …17分 19.(1)解：若a=3,则f(x)=3e一1-x3,所以f(1)=3-1=2,f(x)=3e1-3x2, 所以∫(1)=3一3=0，所以∫(x)的图象在x=1处的切线方程为y一2=0.…3分 (2)解：当a≤0时，ae1≤0，z>0,此时f(x)<0,不符合题意；…4分 当a>0时，由f(x)≥0，得ae]≥x,所以ln(ae-1)≥lnx,即x-1十lna≥alnx,即x-1+lna-alnx≥0，故 f(x)≥0对任意的x∈(0，+∞)恒成立，即x-1十lna一alnx≥0对任意的x∈(0，十o∞)恒成立.…6分 令g(x)=x-1+lna-alnx,所以g(x)=1-只-，当x∈(0，a)时，g'(x)<0,当xe(a,十o)时，g'(x)> 0,所以g(x)在(0，a)上单调递减，在(a,十∞)上单调递增，所以g(x)mm=g(a)=a-1+lna一alna= (a-1D1-lna)≥0，即a-120,或a-10: 1-lna≥0l1-lna≤0， …8分 解得1≤a≤e,所以a的取值范围是[1，e].… …9分 （8证明：P(X=)==2y… …11分 所以(X0=名P(X-安)=合×怎+合×是+…+×是=这（号+3号++”号）= [n-1-(分+号++分)]： … …13分 由(2)可知当a=1时，f()=e1-x≥0，当且仅当x=1时等号成立，令x=1+(k=2,3,,n), 则e>1+安即>h,k=23,n… ……14分 所以+++>h岁+h号++n-h， 3 2 所以哈[1-（号+号++）小(-1-h安)=名 21+1 n(-…16分 2 放Ym≥2且m∈N,E)<2 2ln大1 2 n(n-1) …17分 【YT·数学（四）参考答案第4页（共4页）】