精品解析：陕西榆林市横山中学2026届高三下学期考前模拟测试数学（二）

数学（二） 注意事项： 1.本卷满分150分，考试时间120分钟.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，且，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由，代入得，解得. 2. 某同学收集并整理了某市年月日至日每日最高气温（单位：）的数据（均为整数），并绘制了如图所示的折线图，则月日至日最高气温的中位数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接由中位数的定义计算可得. 【详解】由图知，月日至日的最高气温由低到高排列为，共个数据， 故中位数为. 3. 已知圆与圆交于A，B两点，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】两圆方程直接作差，整理可得所求直线方程. 【详解】易知两圆相交，两圆方程作差， ， 即， 化简可得直线的方程为. 4. 要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ） A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 【答案】A 【解析】 【详解】因为， 所以只需将函数的图象向左平移个单位长度即可得到， 即得到函数的图象. 5. 已知向量，，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由，得， 整理得，故 ，解得， ， ． 6. 定义在上的函数满足，，都有成立，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题确定函数的单调性，通过和两类情况讨论求解即可. 【详解】由题知函数在上单调递增， 当时，不等式可化为，即，解得； 当时，不等式可化为 ，即，此时无解. 综上，不等式 的解集为. 7. 已知圆台的上、下底面半径分别为，半径为3的球与圆台的上、下底面及母线均相切，圆台的侧面积为，则（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 【答案】C 【解析】 【详解】如图，设内切球的半径为，圆台上、下底面的圆心分别为，，则圆台内切球的球心一定在的中点处. 设球与母线切于点，则，所以，，同理，圆台的母线长为. 又 ，所以，解得. 由 ，得 ，所以，， . 8. 如图，双曲线：的左、右焦点分别为，，过右焦点的直线与双曲线C的右支相交于A，B两点，且，则C的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据双曲线的定义及勾股定理，得到与关系，从而求得双曲线的离心率. 【详解】设，则 ， . 在中，有，整理得，故. 设， 在中，有，即， 所以的离心率. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，则下列说法正确的是（ ） A. 复数的实部和虚部之和为3 B. 复数的共轭复数为 C. D. 复数为纯虚数 【答案】BCD 【解析】 【详解】由题知 ，所以复数的实部与虚部之和为1+1=2，A错误； 复数的共轭复数，B正确； ，C正确； ，为纯虚数，D正确. 10. 下列计算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】利用辅助角公式即可判断A；根据两角和的正切公式即可判断B；根据两角和的正切公式及二倍角公式即可判断C；利用商数关系化切为弦，再结合平方关系及二倍角公式即可判断D. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B， ，故B错误； 对于C， ，故C正确； 对于D， ，故D错误. 11. 已知过抛物线C：的焦点F的直线与C交于A，B两点，则下列说法正确的是（ ） A. 线段的长度的最小值为8 B. 若，则 C. 若点，则直线，的斜率之和为零 D. 上一个动点到直线的距离的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于选项A，求出焦点的坐标，得到的方程，解出的值，从而得到抛物线的方程，将直线 方程代入抛物线，整理得到关于的一元二次方程，利用韦达定理求出，利用弦长公式求出，利用得到的最小值；对于选项B，求出，利用得到，利用得到的值，代入得解；对于选项C，求出，，计算得解；对于选项D，设与直线平行且与抛物线相切的直线方程为，整理得到，利用求出，利用两平行线间的距离公式求出直线与直线的距离，即为上一动点到直线的距离的最小值． 【详解】由题知，设直线的方程为， 点，，联立方程， 消去后整理为，则，. 由 ，得的最小值为8，A正确； 由，知，则，， 故，，即，， 所以，B错误； ，C正确； 设直线与C相切，联立方程 消去后整理得， 由，得， 故C上一个动点P到直线的距离的最小值为，D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分， 12. 展开式中的常数项为______. 【答案】240 【解析】 【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令的幂指数等于0，求得的值，即可求得展开式中的常数项的值． 【详解】的展开式通项为， 令，解得， 所以展开式中的常数项为 . 13. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，的面积为，，则的周长为______． 【答案】## 【解析】 【详解】由正弦定理得， 结合， 得，即， ，，， 由的面积为可知，，得， 由，知， ， ， 的周长为． 14. 已知关于的方程有且仅有两个不同的实数解，则实数的取值范围为_____. 【答案】 【解析】 【分析】首先将方程转化为 ，再由的单调性及零点可得，进而转化为函数与的交点问题，用导数判断函数的单调性及极值，再用数形结合判断可得. 【详解】由，得，即 . 由函数在上单调递增，且，得，即. 令，则， 当时，；当时，； 所以函数在上单调递增，在上单调递减，故. 且当时，，当时，，当时，，如图： 若方程有且仅有两个交点，则，即. 因此，实数的取值范围为. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知等差数列的前项和为，且满足，. （1）求的通项公式； （2）求的最大值； （3）记，求数列的前项和. 【答案】（1） （2）100 （3） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列通项公式及前项和公式列方程组求解即可； （2）根据等差数列的性质求最值即可； （3）利用裂项相消法求和即可． 【小问1详解】 设等差数列的公差为， 由题意知，解得， 所以 ； 【小问2详解】 令，得. 所以当时，；当时，， 所以的最大值为 ； 【小问3详解】 由题知 . 所以. ． 16. 如图，在四棱锥中，底面，，，，是上靠近点的三等分点. （1）证明：平面； （2）若平面与平面的夹角为，求. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】(1)根据线面平行的判定定理即可得； (2)代入面面夹角公式，逆推即可. 【小问1详解】 证明：如图，连接与，交于点，连接. 因为，所以 ，又，所以. 因为是上靠近点的三等分点，所以，所以. 因为平面，平面，所以平面. 【小问2详解】 解：由题知，，两两垂直，故以点为坐标原点，直线，，分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则，，，，，，， ， . 设平面的一个法向量为，则 令，得，，故. 设平面的一个法向量为，则 令，得 ，，故. 所以，解得， 故的长为. 17. 一个彩票盒中装有15张刮开前外表相同的彩票，其中奖金为500元的一等奖彩票有4张，奖金为300元的二等奖彩票有5张，奖金为100元的三等奖彩票有6张，从中随机抽出3张彩票. （1）求抽出的3张彩票的奖金总金额不高于700元的概率； （2）记表示抽出3张彩票中三等奖彩票的张数，求的分布列和数学期望. 【答案】（1） （2）分布列见解析， 【解析】 【小问1详解】 抽出的3张彩票的奖金总金额不高于700元，可能的情况有：3张100元，或2张100元，1张300元；或2张100元，1张500元；或1张100元，2张300元. 所以抽出的3张彩票的奖金总金额不高于700元的概率为. 【小问2详解】 的可能取值为0，1，2，3，则， ， ， . 故的分布列为 0 1 2 3 所以或. 18. 已知函数. （1）若，求曲线在处的切线方程； （2）若是函数的极小值点，求的取值范围； （3）若，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求切线方程即可； （2）利用二阶导，对分类讨论即可； （3）求出，让其大于等于零即可求出的范围. 【小问1详解】 时，，， 所以，， 所以曲线在处的切线方程为. 【小问2详解】 由题知的定义域为， ， 令 ，则. ①当时，，函数单调递增，又， 所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增，所以是函数的极小值点，满足题意. ②当时，. （ⅰ）当，时，令，得； 令，得，故函数在上单调递增，在上单调递减，又由，所以， 即，函数单调递减，所以不是函数的极小值点. （ii）当，时，令，得；令，得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 又，所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增，所以是函数的极小值点，满足题意. （ⅲ）当，时，令，得；令，得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 又，所以当时，，单调递减； 当 时，，单调递增，所以是函数的极大值点，不满足题意. 综上，的取值范围为. 【小问3详解】 ①当时，， 当时，有 ，，，所以，不合题意. ②当时，由（2）知函数在上单调递减，在上单调递增， 若恒成立，只需，解得. 故的取值范围为. 19. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，，离心率为，点与点在C上（P不在x轴上），直线，与C的另一个交点分别为A，B，记，. （1）求C的方程； （2）求的值； （3）若的面积与的面积之比为，求的值. 【答案】（1） （2）6 （3） 或8 【解析】 【分析】（1）根据题意求出即可得解； （2）设点，，，根据，，可得，，结合都在上，化简即可得解； （3）根据的面积是的面积的，得出的关系，再结合（2）求出即可. 【小问1详解】 由题知解得， 故的方程为； 【小问2详解】 设点，，， 由（1）知，，又，， 所以，，且，. 即，， 将和分别代入方程和， 得，即， 又，即， 代入整理得， 由题意可知，所以 ， . 故 ； 【小问3详解】 由，，知，， 故， 又的面积是的面积的，所以，， 解方程，可得或， 所以 或8. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学（二） 注意事项： 1.本卷满分150分，考试时间120分钟.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，且，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 2. 某同学收集并整理了某市年月日至日每日最高气温（单位：）的数据（均为整数），并绘制了如图所示的折线图，则月日至日最高气温的中位数为（ ） A. B. C. D. 3. 已知圆与圆交于A，B两点，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 4. 要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ） A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 5. 已知向量，，且，则（ ） A. B. C. D. 6. 定义在上的函数满足，，都有成立，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 7. 已知圆台的上、下底面半径分别为，半径为3的球与圆台的上、下底面及母线均相切，圆台的侧面积为，则（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 8. 如图，双曲线：的左、右焦点分别为，，过右焦点的直线与双曲线C的右支相交于A，B两点，且，则C的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，则下列说法正确的是（ ） A. 复数的实部和虚部之和为3 B. 复数的共轭复数为 C. D. 复数为纯虚数 10. 下列计算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知过抛物线C：的焦点F的直线与C交于A，B两点，则下列说法正确的是（ ） A. 线段的长度的最小值为8 B. 若，则 C. 若点，则直线，的斜率之和为零 D. 上一个动点到直线的距离的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分， 12. 展开式中的常数项为______. 13. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 ，的面积为，，则的周长为______． 14. 已知关于的方程有且仅有两个不同的实数解，则实数的取值范围为_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知等差数列的前项和为，且满足，. （1）求的通项公式； （2）求的最大值； （3）记，求数列的前项和. 16. 如图，在四棱锥中，底面，，，，是上靠近点的三等分点. （1）证明：平面； （2）若平面与平面的夹角为，求. 17. 一个彩票盒中装有15张刮开前外表相同的彩票，其中奖金为500元的一等奖彩票有4张，奖金为300元的二等奖彩票有5张，奖金为100元的三等奖彩票有6张，从中随机抽出3张彩票. （1）求抽出的3张彩票的奖金总金额不高于700元的概率； （2）记表示抽出3张彩票中三等奖彩票的张数，求的分布列和数学期望. 18. 已知函数. （1）若，求曲线在处的切线方程； （2）若是函数的极小值点，求的取值范围； （3）若，求的取值范围. 19. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，，离心率为，点与点在C上（P不在x轴上），直线，与C的另一个交点分别为A，B，记，. （1）求C的方程； （2）求的值； （3）若的面积与的面积之比为，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $