微专题：立体几何的垂直问题的证明专项训练-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

微专题：立体几何的垂直问题的证明 一、题型一线线垂直 1．如图所示，在正方体中，.证明：    (1)； (2)与是异面直线. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据当两直线所成的角是直角时，两直线垂直即可证明 （2）根据异面直线的定义可得 【详解】（1）如图所示，连接，   为正方体， ， 平面为平行四边形， . 为正方形， ， . （2）由面，面，且面面， 又与不平行，与是异面直线. 2．如图所示，在空间四边形ABCD中，AD=BC=2，E，F分别是AB，CD的中点，EF=．求证：AD⊥BC． 【答案】证明见解析 【分析】通过平移后再解三角形即可获得证明. 【详解】证明：如图所示，取BD的中点H，连接EH，FH． 因为E是AB的中点，且AD=2， 所以EH∥AD，EH=1．同理FH∥BC，FH=1． 所以∠EHF(或其补角)是异面直线AD，BC所成的角． 因为EF=，所以EH2+FH2=EF2， 所以EFH是等腰直角三角形，EF是斜边， 所以∠EHF=90°，即AD与BC所成的角是90°， 所以AD⊥BC． 3．如图，已知正方体. （1）求与所成角的大小； （2）若E，F分别为棱AB，AD的中点，求证：. 【答案】（1）（2）证明见解析 【分析】（1）根据正方体的性质，证出，由此得到就是与所成的角．然后在正三角形中加以计算，可得与所成角的大小； （2）平行四边形中可得， 可证，又即可得证； 【详解】解：（1）如图，连接，由几何体是正方体，知四边形为平行四边形，所以， 从而与所成的角为与所成的角， 由，可知. 故与所成的角为. （2）如图，连接，易知四边形为平行四边形，所以， 因为为的中位线， 所以. 又， 所以， 所以. 【点睛】本题在正方体中求异面直线所成角的大小，着重考查了正方体的性质、异面直线所成角的定义及求法等知识，属于中档题． 4．空间四边形中，的中点分别为，且，，，求证：. 【答案】见解析 【分析】确定为和所成的角，计算长度，，，根据勾股定理得到答案。 【详解】如图，因为分别为的中点， 所以，， 所以为和所成的角. 又，，， 所以，所以， 即和所成的角为90°所以. 【点睛】本题考查了线线垂直，转化为异面直线夹角是解题的关键。 5．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中. (1)求A1C1与B1C所成角的大小； (2)若E，F分别为AB，AD的中点，求A1C1与EF所成角的大小. 【答案】(1)60° (2)90° 【分析】（1）作平行线，找到A1C1与B1C所成角，再进行求解； （2）作辅助线，得到A1C1与EF所成的角，证明出垂直关系，得到所成角为90°. 【详解】（1）如图所示，连接AC，AB1. 由六面体ABCD－A1B1C1D1是正方体知，四边形AA1C1C为平行四边形， ∴ACA1C1，从而B1C与AC所成的角就是A1C1与B1C所成的角. 在△AB1C中，由AB1＝AC＝B1C，可知∠B1CA＝60°，即A1C1与B1C所成的角为60°. （2）如图所示，连接BD.由（1）知ACA1C1， ∴AC与EF所成的角就是A1C1与EF所成的角. ∵EF是△ABD的中位线，∴EFBD. 又∵AC⊥BD，∴AC⊥EF， ∴EF⊥A1C1，即A1C1与EF所成的角为90°. 二、题型二 线面垂直的证明 6．如图，在直四棱柱中，底面是菱形，.证明：平面. 【答案】证明见解析 【分析】根据线面垂直的性质定理及判定定理即可证明结论. 【详解】因为直四棱柱中，底面，底面， 所以， 因为菱形，所以， ，平面， 所以平面． 7．如图，在四棱锥中，底面为菱形，，，，为的中点. (1)求证：平面； (2)求四棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由线面垂直的判定定理证明即可； （2）由线面垂直的判定定理证得四棱锥的高后，再利用四棱锥体积公式计算求解. 【详解】（1）因为底面为菱形，， 所以是等边三角形， 又因为是的中点，所以， 又因为，所以. 因为，为中点，所以， 又因为，所以， 又因为，平面， 所以平面. （2）经计算，，又， 所以，所以， 又因为，，平面， 所以平面， 所以是四棱锥的高， 所以. 8．如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，，，平面，. 求证：平面 【答案】证明见解析 【详解】取的中点F，连接，如图所示， 由底面是直角梯形，，，， 结合勾股定理计算可得：， ，，，∴四边形是正方形， 则，再由勾股定理可得：，又因为， 则由，所以， 又因为平面，平面，所以， 又因为，且平面， 所以平面. 9．如图，在正四棱柱中，，，是的中点． (1)求证：平面； (2)证明：平面． 【答案】(1)证明见详解 (2)证明见详解 【分析】（1）设，连接，利用中点关系，得到，满足线面平行判定定理的条件，从而得出证明； （2）由正棱柱侧棱垂直底面，进而得到，又正方形对角线互相垂直，从而得到满足线面垂直判定定理的条件，得出证明. 【详解】（1）证明：设，连接， 在正四棱柱中，四边形为正方形， ，又是的中点，， ，又平面，平面， 平面. （2）在正四棱柱中，平面， 又平面，， 在正方形中，， 又，平面，平面， 平面. 10．如图，已知空间四边形的边，，作于点，作于点．求证：平面． 【答案】证明见解析 【分析】通过证明，，可得平面，进而可得，又，所以平面，所以，又因为，所以平面． 【详解】连接，取的中点，连接，，如图所示， 因为，为的中点，所以， 同理，，为的中点，所以， 又因为，平面，平面， 所以平面， 又因为平面，所以， 又因为，，平面，平面， 所以平面， 又因为平面，所以， 又因为，且，平面平面， 所以平面． 11．如图，在四棱锥中，底面，，.    (1)求证：平面； (2)若，，，求四棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据线面垂直，可以得到线线垂直，再根据线垂直于两条相交直线，即可证明线面垂直； （2）先求出底面面积，再根据四棱锥的体积公式即可求解. 【详解】（1）因为底面，平面，所以可得， 而，且，平面,平面 所以平面. （2）设底面的面积为，则， 又因，，所以， 根据四棱锥的体积公式，由题意知, 所以， 所以四棱锥的体积为. 12．如图，在直三棱柱中，D是线段BC的中点，且． (1)求证：平面； (2)若，是边长为2的正三角形，求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）结合题设易得，，进而结合线面垂直的判定定理求证即可； （2）利用等体积法求解即可. 【详解】（1）证明：在直三棱柱中，平面， 因为平面，所以， 又D是线段BC的中点，且，所以， 因为，平面, 所以平面. （2）由（1）知，平面， 因为是边长为2的正三角形， 所以，则， 则， 所以三棱锥的体积为. 三、题型三 线面垂直的性质定理 13．如图，三棱锥中，平面平面ABC，，M为AC的中点，， 求证： 【答案】证明见解析 【详解】取AB中点N，连接PN，MN，如图所示， 则，而，故， 因为，所以， 又，MN，平面PMN， 所以平面， 因为平面PMN，所以. 14．如图1，在梯形中，，，为中点，是与的交点，将沿翻折到图2中的位置得到四棱锥．求证： 【答案】证明见解析 【分析】应用菱形得出，，进而应用线面垂直判定定理得出平面即可得出所以，再应用平行四边形得出线线垂直. 【详解】图1中，在四边形中，，，所以四边形为平行四边形， 又因为，所以四边形为菱形，所以，， 所以在图2中，，，又平面，所以平面， 因为平面，所以， 又在四边形中，，， 所以四边形为平行四边形， 所以，所以； 15．如图，在圆锥PO中，AB为底面圆O的直径，C，D为圆O上不与A，B重合的点，且，，.求证：平面POC； 【答案】证明见解析 【分析】利用线面垂直的性质判定推理得证. 【详解】连接，延长交于点，由为底面圆的直径，得， 由，得，， 又，则平分，， 又，则为正三角形，是其中心， 于是是中点，， 而平面，平面，则， 又,且,平面，所以平面. 16．如图已知矩形，过点作平面，再过点作交于点，过点作交于点.求证： (1)平面； (2). 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）证明出平面，可得出，由以及线面垂直的判定定理可证得结论成立； （2）证明出平面，结合线面垂直的性质可证得结论成立. 【详解】（1）因为四边形为矩形，所以， 因为平面，平面，所以， 因为，、平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为，，、平面，故平面. （2）因为平面，平面，所以， 因为，，、平面，所以平面， 因为平面，因此. 17．如图，在直四棱柱中，底面是正方形，E，F，G分别是棱，，DA的中点．求证： (1)平面平面； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据平行四边形的性质及线面平行的判定定理得平面，又平面，最后利用面面平行的判定定理证明即可； （2）先根据线面垂直的判定定理得平面，再根据线面垂直的性质定理证明即可. 【详解】（1），F分别是和的中点，且． 四边形是平行四边形，． 又平面，平面，平面． 是的中位线，． 又平面，平面，平面． 又，平面平面． （2）连接BD，，底面是正方形，． ，，平面． 平面，． 18．如图，在直三棱柱中，是上的点，且平面.求证：平面. 【答案】证明见解析 【分析】先由平面和证明，再由即可证得结论. 【详解】因平面，平面，则， 又，故， 又三棱柱是直三棱柱，所以， 又易知与相交，且平面，所以平面. 四、题型四 面面垂直 19．如图所示，在空间四边形中，，，，，分别是，，的中点．求证：平面平面． 【答案】证明见解析 【分析】连接，．由题意可证四边形为菱形，进而可得，又可得，进而可得平面，可证结论. 【详解】连接，．，，分别是，，的中点，且， ，且， ∴四边形为菱形，， 又，，， 又，．又，，平面， 平面，又平面， ∴平面平面． 20．如图，四棱锥的底面是正方形，平面平面，，是的中点，是上靠近点的三等分点.证明：    (1)平面； (2)平面平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）设与交于点，连接，证得，利用线面平行的判定定理，即可证得平面； （2）取中点，连接交于点，连接，证得，再由平面平面，证得平面，得到，证得平面，进而证得平面平面. 【详解】（1）证明：如图所示，设与交于点，连接， 因为底面是正方形，所以是中点， 又因为是中点，所以， 因为平面，且平面，所以平面.    （2）证明：如图所示，取中点，连接交于点，连接， 因为，所以， 又因为，所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面. 又因为平面，所以，所以， 因为，且，，平面，所以平面， 又因为平面，所以平面平面.    21．如图，四棱锥的底面是边长为1的正方形，侧棱底面，且，E是侧棱的中点.    (1)求证：平面； (2)求证：平面平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）连接交于，连接，利用中位线定理可得，进而可证结论； （2）由面面垂直的判定定理可得平面底面，进而利用面面垂直的性质可得平面，进而可证结论. 【详解】（1）连接交于，连接， 因为四边形是正方形，所以是的中点， 又E是侧棱的中点，所以， 又因为平面，平面， 所以平面；    （2）因为侧棱底面，平面，所以平面底面， 又因为底面，，平面底面， 所以平面，又平面，所以平面平面. 22．如图所示，在四棱锥中，底面是且边长为的菱形，侧面为正三角形，其所在平面垂直于底面，若为的中点. (1)求证：平面； (2)求证：； (3)若点，分别为，的中点，求证:平面平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）由菱形的性质可得，再由面面垂直的性质定理即可证明. （2）连接，由线线垂直可得线面垂直，再由线面垂直的性质定理即可证明. （3）连接，，，可证平面平面，再由面面垂直可得平面，由面面垂直的判定定理证明即可. 【详解】（1）在菱形中，, 为的中点， 所以，又平面⊥平面，平面∩平面，平面，所以平面. （2）如图，连接 因为为正三角形, 为线段的中点， 所以，由（1）知，又，平面， 所以平面，因为平面，所以. （3）如图，连接，，， 在中，，在菱形中，， 而平面，平面，，平面， 平面，，所以平面平面， 因为平面平面，平面平面， 因为平面，，所以平面， 又平面， 所以平面平面，所以平面平面. 23．已知平面是的直径，是上的任一点.求证：    (1). (2)平面平面. 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】（1）由已知的线面垂直关系与圆上的垂直关系出发去推导； （2）由线面垂直推导出面面垂直. 【详解】（1）是圆的直径，是圆上一点，. 平面,平面, 又平面, 平面. 又平面, . （2）由题（1）可知平面, 又平面, 平面平面. 24．如图，在四边形中，，，，，.将沿对角线折起，记折起后点A的位置为点，且使平面平面. (1)求证：平面； (2)求证：平面平面. (3)求三棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）由，结合面面垂直性质定理即可求解； （2）由（1）得到平面，进而可求证； （3）由等体积即可求解； 【详解】（1）因为，， 所以， 又因为，所以， 又，所以，即， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面. （2）由平面，平面，得， 又，，，平面， 所以平面， 又平面， 所以平面平面. （3）由（1）知，， ， 即三棱锥的体积为. 25．如图，在三棱锥中，，，分别为棱，的中点，平面. (1)求证：平面； (2)求证：平面平面. 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）根据已知得，再由线面平行的判定定理即可证结论； （2）由线面垂直的性质、等腰三角形的性质得、，再由线面垂直的判定有平面，最后根据面面垂直的判定即可证结论. 【详解】（1）由于分别为棱的中点，故， 又平面，且不在平面上， 所以平面； （2）由于平面，且平面，故， 又，且为棱的中点，故， 因为，平面，故平面， 又平面，故平面平面. 五、题型五 面面垂直的性质定理 26．如图，在五面体中，四边形是正方形，平面平面， (1)求证：； (2)求证：平面； 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据给定条件，利用线面平行的判定性质推理得证. （2）利用面面垂直的性质及线面垂直的性质推理得证. 【详解】（1）由正方形，得，又平面，平面， 则平面，而平面，平面平面， 所以. （2）由正方形，得，而平面平面， 平面平面，平面，则平面， 由（1）知，所以平面. 27．如图，在四棱锥中，，，，，，平面平面.求证：. 【答案】证明见解析 【分析】取的中点，连接，利用面面垂直的性质可得出平面，可得出，利用并结合线面垂直的判定定理可得出平面，结合线面垂直的性质可证得结论成立. 【详解】取的中点，连接，如图所示： 因为，所以， 又平面平面，且平面平面，平面， 所以平面. 又平面，所以， 由，，、平面，所以平面， 又平面，所以. 28．如图，在四棱锥中，底面为正方形，，平面平面．求证：平面； 【答案】证明见解析 【分析】由线面垂直的判定定理及性质可得，由面面垂直的性质及线面垂直的性质可得，再由线面垂直的判定定理即可证明. 【详解】因为底面为正方形，所以， 又，且，平面，所以平面， 又平面，所以， 连接，易知， 因为平面平面，平面平面， 平面，所以平面， 又平面，则， 又因为，平面，所以平面． 29．如图，矩形与梯形所在的平面互相垂直，，，，，M为的中点．求证： (1)平面； (2)平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）取的中点，连接，先证明四边形为平行四边形，可得，即可证出； （2）由平面平面可得平面，可得，再结合勾股定理证明，即可证出. 【详解】（1）取的中点，连接． 在中，分别为的中点，所以，且． 由已知，，所以，且， 所以四边形为平行四边形，所以， 又因为平面，且平面， 所以平面． （2）在矩形中，， 因为平面平面，且平面平面，平面， 所以平面，又因为平面，所以． 在直角梯形中，，，可得． 在中，，， 因为，所以． 因为，平面， 所以平面． 30．如图所示，在斜三棱柱中，底面是等腰三角形，，侧面底面ABC．若D是BC的中点，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】易得，根据面面垂直的性质可得侧面，再根据线面垂直的性质即可得证． 【详解】证明：∵，D是BC中点，∴， ∵底面侧面，交线为BC，平面， ∴侧面， 又∵侧面， ∴． 31．如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧面是正三角形，，分别是，的中点. (1)求证：平面； (2)若侧面底面，求证：平面. 【答案】(1)证明过程见解析 (2)证明过程见解析 【分析】（1）作出辅助线，得到四边形为平行四边形，故，证明出平面； （2）由面面垂直得到线面垂直，即⊥平面，所以⊥，由三线合一得到⊥，故可证平面. 【详解】（1）取的中点，连接， 因为是的中点，所以，， 底面为矩形，是的中点，所以，， 所以且， 所以四边形为平行四边形，故， 又平面，平面， 所以平面； （2）底面为矩形，故⊥， 侧面底面，交线为，平面， 所以⊥平面， 因为平面，所以⊥， 侧面是正三角形，为的中点，所以⊥， 因为，平面， 所以平面. 六、题型六 线面垂直的动点问题 32．如图，在四棱锥中，面，，，，，为线段上的点． (1)证明：面； (2)若满足面，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）证明出，可得出，再由已知条件可得出，利用线面垂直的判定定理可证得结论成立； （2）分析可知，计算出三边边长，利用余弦定理求出的值，可求得的长，进而可求得的长，即可得解. 【详解】（1）证明：因为，，，所以，， 所以，，则， 因为平面，平面，所以，， 又因为，、平面，所以，平面. （2）解：因为平面，平面，所以，， 若面，平面，则， 因为，， 由余弦定理可得， 因为平面，、平面，则， 所以，，， 在中，，，， 所以，， 所以，， 所以，，则， 因此，若满足面，则. 33．如图，四边形ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，M，N分别是AB，PC的中点． (1)求证：平面PAD； (2)试确定当△PAD中PA与AD满足什么关系时，MN⊥平面PCD？并说明理由． 【答案】(1)证明见详解 (2)当时，MN⊥平面PCD 【分析】（1）根据题意可证∥且，则为平行四边形，即∥，结合线面平行的判定定理说明；（2）根据线面垂直的判定和性质均可得MN⊥平面PCD⊥PD． 【详解】（1）取的中点，连接 ∵分别为的中点，则∥且 又∵M是AB的中点且四边形ABCD为矩形，则∥且 则∥且，即为平行四边形，则∥ 平面PAD，平面PAD ∴平面PAD （2）若MN⊥平面PCD，∥，则⊥平面PCD ∴⊥PD，且为的中点 ∴ 若且为的中点，则⊥PD ∵PA⊥平面ABCD，则PA⊥CD 四边形ABCD为矩形，则AD⊥CD ，则CD⊥平面PAD 平面PAD，则⊥CD ，则⊥平面PCD ∥，则MN⊥平面PCD 综上所述：当时，MN⊥平面PCD 【点睛】 34．如图1，在中，，，分别为，的中点，点是线段上的一点，将沿折起到的位置，使，如图2． （1）证明：； （2）线段上是否存在点，使平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）证明见解析；（2）存在，． 【分析】（1）由题意可证平面，从而有，又，可证平面，可得证； （2）取的中点，则，平面即为平面，由平面，是等腰三角形底边的中点，可证平面，从而平面． 【详解】（1）证明：由已知得且， ，又， 平面，面平面， ， 又平面， . （2） 线段上存在点，使平面. 理由如下：如图，分别取的中点，则. 平面即为平面. 由（1）知平面， 又是等腰三角形底边的中点，， 平面，从而平面， 故线段上存在点，使平面，其中. 35．若图，三棱柱的侧面是平行四边形，，，且、分别是、的中点. (1)求证：平面； (2)在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【分析】（1）取中点，连接、，证明出四边形是平行四边形，可得出，再利用线面平行的判定定理可证得结论成立； （2）取的中点，连接、，证明出平面平面，平面，可得出平面，由此可得出结论. 【详解】（1）证明：取中点，连接、. 因为、分别是、的中点， 所以且. 在平行四边形中，且， 因为是的中点，所以且. 所以且，所以四边形是平行四边形，所以， 又因为平面，平面，所以平面. （2）解：当点为线段的中点时，平面，理由如下： 取的中点，连接、. 因为，，，所以，平面， 因为、分别为、的中点，则， 平面，平面，则平面， 又因为平面，，所以，平面平面， 所以，平面. 故当点是线段的中点时，平面，此时，. 36．如图，在正方体中，，. （1）求证：； （2）在线段上，是否存在点，使得平面？并说明理由. 【答案】（1）证明见解析；（2）存在，理由见解析. 【分析】（1）根据三角形的中位线定理和正方形的对角线的性质可得证．. （2）根据线面垂直的判定定理可证得平面． 【详解】（1）如图，连接，因为，，所以，分别为，的中点，所以， 又，所以. （2）如图，取的中点，连接，， 因为平面，所以，又，所以. 因为，，所以. 因为，所以平面， 所以在线段上，存在点，使得平面. 【点睛】关键点睛：本题考查空间中的线线垂直，线面垂直关系的证明，关键在于准确地应用判定定理，满足判定定理所需的条件得以证明． 七、题型七 面面垂直的动点问题 37．如图，在四棱锥中，底面是且边长为的菱形，侧面为正三角形，且其所在平面垂直于底面． (1)求证：； (2)若为边的中点，则能否在棱上找到一点，使平面平面？并证明你的结论． 【答案】(1)证明见解析 (2)为的中点，证明见解析． 【分析】（1）设为的中点，连接，，通过证明可得平面，进而可得结论； （2）当为的中点时，使平面平面，通过，可证明面面平行，进而可得面面垂直. 【详解】（1）证明：设为的中点，连接，，如图． ∵为正三角形， ∴． 在菱形中，， ∴为正三角形，又为的中点， ∴． 又，面 ∴平面． ∵平面，∴； （2）当为的中点时，满足平面平面． 证明如下： 在中，． 又平面，平面 ∴平面，同理，平面 在菱形中，． 平面，平面 ∴平面， 又平面，平面，， ∴平面平面． 由（1）得平面，而平面， ∴平面平面， ∴平面平面． 38．如图，在直四棱柱中，，，M是棱上一点． (1)求证：； (2)当M在上的何处时，有平面平面. 【答案】(1)证明见解析； (2)点M为棱的中点. 【分析】（1）证明，结合可得平面，即得证. （2）取的中点，的中点，连接交于点，连接，，证得平面，可得当点M为棱的中点时，平面. 【详解】（1）在直四棱柱中，平面，平面，则， 而，且平面，于是平面，而平面， 所以． （2）当点M为棱的中点时，平面平面． 如图，取的中点，的中点，连接交于点，连接，， 显然，则O是的中点，由N是DC的中点，，得， 在直四棱柱中，平面，平面， 于是平面平面，而平面平面，平面， 则平面，当点M为棱的中点时，，且， 因此是平行四边形，即，有平面，又平面，则平面平面， 所以点M为棱的中点时，有平面平面. 39．如图，在四棱锥，底面正方形，为侧棱的中点，. (1)求四棱锥体积； (2)在线段上是否存在一点，使得平面平面，若存在，请说明点的位置，若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)存在；点为线段中点. 【分析】（1）利用锥体的体积公式即可求解； （2）通过添加相应辅助线，然后结合面面垂直的判定定理即可求解. 【详解】（1）设四棱锥的体积为，正方形的面积为， 则：. 故四棱锥的体积为：. （2）存在，点为线段中点，理由如下： 取的中点，取中点，连接、，如下图： 因为、分别为、的中点，所以：，， 所以：，所以：四边形为平行四边形，所以：， 因为底面，平面，所以：， 又因为底面为正方形，所以：，且，平面， 所以：平面，因为：平面，所以：， 又因为：，点为中点，所以：， 又因为：，平面，所以：平面， 又因为：，所以：平面， 又因为：平面，所以：平面平面. 故当点为的中点时，平面平面. 40．如图所示，在正四棱柱中，是线段上的动点. （1）证明：平面； （2）在线段上是否存在一点，使得平面平面？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明见解析；（2） 【分析】（1）连接，，根据正四棱柱的性质可得平面，平面，即可得到平面平面，即可得证； （2）首先证明面，即可得到平面平面，依题意平面与面重合时满足平面平面，即可确定的位置，从而得解； 【详解】解：（1）连接，，在正四棱柱中，且，所以四边形为平行四边形，所以，因为平面，平面，所以平面， 且，所以四边形为平行四边形，所以，因为平面，平面，所以平面， 又，面，所以平面平面，又平面， 所以平面 （2）因为在正四棱柱，，面，面，所以， ，面，所以面，因为平面，所以平面平面，因为面面， 要使平面平面，则平面与面重合，即在的中点时满足题意，所以 41．如图，已知直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB＝1，BC＝2，CD＝1＋，过A作AE⊥CD，垂足为E，现将△ADE沿AE折叠，使得DE⊥EC． (1)求证：BC⊥面CDE; (2)在线段AE上是否存在一点R，使得面BDR⊥面DCB，若存在，求出点R的位置；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）略；（2） 【分析】（1）由已知中，垂足为，．根据线面垂直的判定定理，我们可得面．由线面垂直的定义，可得，又由，得到平面；（2）取中点，连接、、、、，求出，解，可得，又由等腰中，为底边的中点，得到，进而根据线面垂直判定定理，及面面垂直判定定理，得到结论． 【详解】（1）由已知得：，, 面． ，又， 面 （2）分析可知，点满足时，面面． 理由如下：取中点，连接、、、、 容易计算， 在中 ， 由平行四边形性质得, 所以 可知， 在中，， ． 又在中，，为中点 ， 因为 面，因为, 面面． 【点睛】本题考查的知识点是平面与平面垂直的判定，直线平面垂直的判定，熟练掌握空间直线平面之间平行及垂直的判定定理、性质定理、定义、几何特征是解答此类问题的关键．说明：条件“G、F分别为AD、CE的中点，”没有使用，是因为这个题目是改编的，把第2问删除了，第2问是证明GF||平面BCD. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $微专题：立体几何的垂直问题的证明 一、题型一线线垂直 1.如图所示，在正方 ABCD-ABCD中，AB=l证明： D B D B AD⊥B,C (1) 与 是异面直线 2.如图所示，在空间四边形ABCD中，AD=BC-2,上，F分别是AB,CD的中点，BV5 求证： AD⊥BC. y C ABCD-ABC D 3.如图，已知正方体 D 试卷第1页，共3页 AC BC (1)求 与所成角的大小 AC⊥EF (2)若E,F分别为棱AB,AD的中点，求证： 4.空间四边形 BCD中，4B,BG,CD的中点分捌别为B0R,且4C=4,BD=25.PR-=3,求证。 AC⊥BD P B R Q C 5.如图所示，在正方体ABCD-ABCD1中. D B D E B (I)求AC与BC所成角的大小： (2)若E,F分别为AB,AD的中点，求AC1与EF所成角的大小 二、题型二线面垂直的证明 ABCD-ABC D BB DD 6.如图，在直四棱柱 中，底面 BCD是菱形，乙ABC=60°证明：ACL平面 试卷第2页，共3页 D B, D B C P-ABCD ABCD ∠BAD=60°AB=PB=4PA=PD=2N2M 7.如图，在四棱锥 中，底面 为菱形， 为AD的中点 D (I)求证：BC⊥平面PBM: (2)求四棱锥P-ABCD的体积， 8.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD//BC,AB⊥BC,AB=BC=1,AD=2, PA⊥平面ABCD,PA=2, B C 求证：CD⊥平面PAC 9.如图，在正四棱柱 CD-ABCD中，AB=1,M=2,M是DD的中点 D A M B 试卷第3页，共3页 BD 11 AMC (1)求证： 平面 (2)证明： AC上平面 BDD B I0.如图，已知空间四边形ABCD的边BC=AC,AD=BD,作BE⊥CD于点E,作AH⊥BE于点H. 求证：AH⊥平面BCD B4::------- D 11.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD,AC∩BD=O,AC⊥BD. P : D C B (I)求证：BDL平面PAC: (2)若AC=3,BD=4,PA=5,求四棱锥P-ABCD的体积 ABC-ABC 12.如图，在直三棱柱 中，D是线段BC的中点，且4B=AC A C C D 夕 (1)求证： AD上平面 CC 试卷第4页，共3页 CC=3,△ABC是边长为2的正三角形，求三棱锥 -ABC (2) 的体积. 三、题型三线面垂直的性质定理 I3.如图，三棱锥P-ABC中，平面PAB⊥平面ABC,AB⊥BC,M为AC的中点，AB=BC=2, AP=BP=3 B 求证：AB⊥PM 如图1，在梯形4BCD中，4D/BC,B=BCAD,E为D中点，O是4C与E的交A △1BE沿BE翻折到图2中△1BE A-BCDE CD⊥AC 的位置得到四棱锥 .求证： A1(A) E D 0 B B 图1 图2 15.如图，在圆锥PO中，AB为底面圆O的直径，C,D为圆O上不与A,B重合的点，且P0=AB=2, BD=V5,AB⊥CD求证：BD∠平面POC: 试卷第5页，共3页 I6.如图已知矩形ABCD,过点A作SA⊥平面ABCD,再过点A作AE⊥SB交SB于点E,过点E作 EF⊥SC交SC于点F.求证： H C (I)AE⊥平面SBC: (2)AF⊥SC 17.如图，在直四棱柱 BCD-4B,CD中，底面是正方形，，R,G分别是棱 BB DD ,DA的中点. 求证： D B E D B AD EIl (1)平面 BGF 平面 QDELAC BC-A8C中，E是8A上的点，且 A,E⊥ 18.如图，在直三棱柱 AB,C求证： 平 BC平面 AABB 试卷第6页，共3页 B E A B 四、题型四面面垂直 I9.如图所示，在空间四边形ABCD中，AB=BC,AD=DC,E,F,G分别是AD,DC,CA的中 点.求证：平面BEF⊥平面BDG. D 20.如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是正方形，平面PAD⊥平面ABCD,PA=PD,E是PD的中 点，F是PC上靠近点P的三等分点证明： A (I)PB/I平面ACE: (2)平面BDF⊥平面ACE 21.如图，四棱锥P-ABCD的底面是边长为1的正方形，侧棱PA⊥底面ABCD,且PA=2，,E是侧棱 PA的中点 试卷第7页，共3页 (I)求证：PCI/平面BDE: (2)求证：平面PCD⊥平面PAD 22.如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是∠DAB=60°且边长为a的菱形，侧面PAD为正三角 形，其所在平面垂直于底面ABCD,若G为AD的中点， G (1)求证：BG⊥平面PAD: (2)求证：AD⊥PB: (3)若点E，,F分别为BC,PC的中点，求证：平面DEF⊥平面ABCD, 23.己知PA⊥平面ABC,AB是⊙O的直径，C是O上的任一点求证： D B (1)BC⊥PC. (2)平面PAC⊥平面PBC 24.如图，在四边形ABCD中，AD/IBC,AD=AB=2,BC=4,∠BCD=45°，∠BAD=90°，将△ABD 沿对角线BD折起，记折起后点A的位置为点P,且使平面PBD⊥平面BCD, 试卷第8页，共3页 P(A) B B (I)求证：CD⊥平面PBD: (2)求证：平面PBC⊥平面PCD, (3)求三棱锥P-BCD的体积 25.如图，在三棱锥P-ABC中，AP-AB,M,N分别为棱PB,PC的中点，BC⊥平面PAB B (1)求证：BCII平面AMN: (2)求证：平面AMN⊥平面PBC. 五、题型五面面垂直的性质定理 26.如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，平面ABCD L平面BCF, D (I)求证：CD1/EF: (2)求证：EF⊥平面BCF: 2,如图，在四楼锥P-8CD中，=BC=2.418C,4C10.CD=5.PB=PC,平面 PBC⊥平面ABCD.求证：AB⊥PC. 试卷第9页，共3页 --..- B 28.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，AB⊥PB,平面PAC⊥平面ABCD.求证： PC⊥平面ABCD: D B 29.如图，矩形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD,AB/CD,AB=AD=2,CD=4, M为CE的中点.求证： E M D A B (I)BM∥平面ADEF: (2)BC⊥平面BDE. ABC-ABC 30.如图所示，在斜三棱柱 中，底面是等腰三角形，B=1C,侧面B,CCL 底面ABC.若 AD⊥CC D是BC的中点，求证： 试卷第10页，共3页 C A M 31.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，侧面PAD是正三角形，E,F分别是AB,PD的 中点 D B (I)求证：EF∥平面PBC: (2)若侧面PAD⊥底面ABCD,求证：AF⊥平面PCD. 六、题型六线面垂直的动点问题· 32.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA上面ABCD,AB=BC=2.MD=CD=V万.PA=5 ∠ABC=120°G PC 为线段上的点。 A C (I)证明：BDL面APC: 试卷第11页，共3页 PG (2)若G满足PC⊥面BGD,求GC的值. 33.如图，四边形ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD,M,N分别是AB,PC的中点. P N A M B MN∥ (1)求证： 平面PAD: (2)试确定当△PAD中A与AD满足什么关系时，NL平面PCD?并说明理由. 34.如图1，在R△MBC中，∠C=90°，D,E分别为AC,AB的中点，点F是线段CD上的一点，将 △ADE △MDE沿DE折起到△D AF⊥CD 的位置，使 ,如图2 A1 E F B 图1 图2 A,F⊥BE (1)证明： 40 (2)线段AB上是否存在点Q,使4C上平面DE0?若存在，求出AB的值：若不存在，说明理由. ABC-ABC 35.若图，三棱柱 CCB是平行四边形 的侧面 BC1CG,BC⊥AC,且E、F分别是 试卷第12页，共3页 BC AB 的中点 F A B B E C ACCA (1)求证： EF∥平面 AP (②)在线段AB上是否存在点p使得BC,⊥平面EFP？若存在，求出AB的值：若不存在，请说明理由. 36.如图，在正方体 BCD-ABCD中，MDn4D=E,CD.NGD=F D C B B (1)求证：EF⊥BD: (2)在线段 C上，是香布在声”，使智8G平面D:并议明理白 七、题型七面面垂直的动点问题 37.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是∠DAB=60°且边长为a的菱形，侧面△PAD为正三角形， 且其所在平面垂直于底面ABCD 试卷第13页，共3页 B (1)求证：AD⊥PB; (2)若E为BC边的中点，则能否在棱上找到一点F,使平面DEF⊥平面ABCD?并证明你的结论 ABCD-ABCD中，BD=BC,BD LAC,M是棱B上一点 BB 38.如图，在直四棱柱 D A D C (I)求证：MD1AC; BB DMC⊥CCDD (2)当M在上的何处时，有平面 平面 39.如图，在四棱锥P-ABCD,PA⊥底面正方形ABCD,E为侧棱PD的中点，PA=AD=2. D D (I)求四棱锥P-ABCD体积： (2)在线段AB上是否存在一点F,使得平面PFC⊥平面PCD,若存在，请说明F点的位置，若不存在，请 说明理由 40.如图所示，在正四棱 ABCD-AB,CD中，P是线段 上的动点 试卷第14页，共3页 D C P B (1)证明： BP∥平面 ACD (2)在线段 ”上是否存在一点P,使得平面BDP上平面 ACD AC:AP ？若存在，请求出 的值：若不存 在，请说明理由 41.如图，已知直角梯形ABCD中，ABIICD,AB⊥BC,AB=1,BC=2,CD=1+V3,过A作 AE⊥CD,垂足为E,现将△ADE沿AE折叠，使得DE⊥EC. D D E C E A B (1)求证：BC⊥面CDE (②)在线段AE上是否存在一点R,使得面BDR⊥面DCB,若存在，求出点R的位置；若不存在，请说明理 由 试卷第15页，共3页