微专题 线线、线面、面面垂直的证明问题（专项训练）高一数学人教A版必修第二册

微专题 线线、线面、面面垂直的证明问题 题型一 证线线垂直 证明线线垂直的核心思路是先证线面垂直，再由线面垂直得线线垂直，解题时先利用菱形对角线垂直、等腰三角形三线合一、勾股定理逆定理、面面垂直性质定理或直棱柱 / 正方体的棱面垂直关系，证明一条直线垂直于另一条直线所在的平面，再依据 “若直线垂直于一个平面，则垂直于平面内所有直线” 的性质推出两直线垂直。 1．（2026高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，平面，点是棱的中点．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】取的中点，证得和，利用线面垂直的判定定理，证得平面，进而证得. 【详解】取的中点，连接， 在中，因为点是棱的中点，所以， 又因为平面，且平面，所以， 因为，所以， 由底面为菱形，且，可得为等边三角形， 因为是的中点，所以， 又因为，且平面，所以平面， 因为平面，所以. 2．（2026高一·全国·寒假作业）如图，梯形中，，于点，，且．沿把折起到的位置，使．若为的中点，为上一点，证明． 【答案】证明见解析 【分析】先得到平面，，由余弦定理和勾股定理逆定理可得，从而得到平面，，结合，可得平面，故. 【详解】∵，∴， 又，，∴， 由勾股定理逆定理可得. 又，即，，平面， ∴平面. ∵平面， ，，，∴，故为等腰直角三角形， ， ，， 由余弦定理得， ，. ，、平面，平面， ∵平面，. 又，为的中点， ， ，、平面，平面， 平面，. 3．（2026高一·全国·课后作业）如图1，在梯形中，，，为中点，是与的交点，将沿翻折到图2中的位置得到四棱锥．求证： 【答案】证明见解析 【分析】应用菱形得出，，进而应用线面垂直判定定理得出平面即可得出所以，再应用平行四边形得出线线垂直. 【详解】图1中，在四边形中，，，所以四边形为平行四边形， 又因为，所以四边形为菱形，所以，， 所以在图2中，，，又平面，所以平面， 因为平面，所以， 又在四边形中，，， 所以四边形为平行四边形， 所以，所以； 4．（2026高一·全国·假期作业）如图，四棱锥的侧面是边长为2的正三角形，底面为正方形，且平面平面分别为的中点. (1)求四棱锥的体积； (2)证明：； 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）先由面面垂直证明为棱锥的高，再根据棱锥的体积公式计算即可； （2）由线面垂直的判定定理证明平面即可. 【详解】（1）因为侧面是边长为2的正三角形，为的中点， 所以，， 因为平面平面，且平面平面，平面， 所以平面，即为棱锥的高， 因为底面为正方形， 所以四棱锥的体积为； （2）因为平面，平面，所以， 在正方形中，易知与全等， 所以，所以， 又平面，所以平面， 又平面，所以. 5．（2026高二·贵州遵义·月考）如图，在四面体中，是等边三角形，平面平面，点为棱的中点，，，． (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明过程详见解析. (2) 【分析】（1）根据面面垂直得到线面垂直，进而得到线线垂直. （2）根据面面垂直得到线面垂直，得到即为直线与平面所成的角，在直角三角形中求正弦值即可. 【详解】（1）因为平面平面，平面平面，，平面， 所以平面. 又平面，所以. （2）连接. 因为是等边三角形，点为棱的中点，所以，. 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面. 所以即为直线与平面所成的角. 在中，. 在中，. 所以，直线与平面所成角的正弦值为. 6．（2026高一·北京朝阳·期中）如图，在四棱锥中，平面，底面为矩形，，；点E在线段上，且． (1)设平面平面，证明：； (2)证明：； (3)线段上是否存在点M，使得平面?若存在，请证明，并求出的长；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)点M为线段上靠近C的四等分点， 【分析】（1）根据线面平行的性质定理证明线线平行. （2）通过证明线面垂直得平面，进而利用线面垂直的性质定理可证线线垂直. （3）根据面面平行的判定定理作出平面平面.，再结合平行线分线段成比例定理求的长. 【详解】（1）因为四边形为矩形，所以， 因为平面，平面，所以平面. 又平面，平面平面，所以. （2）因为平面，又平面，所以. 又底面为矩形，所以. 平面，，所以平面. 平面，所以. 在中，，，， 所以，所以. 平面，，所以平面. 又平面，所以. （3）如图： 过作，交于点，过作交于点. 因为，平面，平面，所以平面. 同理平面. 又平面，，所以平面平面. 由（1）知，，又，则， 则， 因为，. 所以， 所以点M为线段上靠近C的四等分点，. 7．（2026高三·宁夏吴忠·月考）四棱锥的底面为正方形，面，动点在线段上， (1)求证： (2)求四棱锥的外接球表面积 (3)求的最小值 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据底面为正方形，可得，由面可得，根据线面垂直判定定理可得平面，从而证得结论； （2）将该四棱锥补为长方体，求出长方体的体对角线即可得出该四棱锥外接球的半径，根据表面积公式即可得出答案； （3）将四棱锥沿剪开得到平面图，根据已知求出各边边长，进而计算面积即可得出答案. 【详解】（1）连接， 因为底面为正方形，所以， 因为面平面，所以， 又平面， 所以平面， 因为平面，故； （2）因为面，底面为正方形，如图，将该四棱锥补为长方体， 可知即为该长方体的一条体对角线， 且. 且该长方体的外接球即为该四棱锥的外接球，半径为， 表面积为； （3）如图将四棱锥沿剪开得到平面图，连结，交于点， 易知均为直角三角形，且全等， 且，，， 则，且， 即有， 所以，即的最小值为. 8．（2026高二·云南普洱·期末）如图，在圆锥中，底面圆心为O，母线，圆锥的高，底面圆O的内接四边形为正方形. (1)证明：； (2)求四棱锥的体积； (3)求直线到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析； (2)192； (3). 【分析】（1）利用线面垂直的判定及性质，结合圆锥的结构特征推理得证. （2）利用锥体的体积公式求解即可. （3）证明平面，再利用等体积法求出距离. 【详解】（1）在圆锥中，正方形内接于圆O，则，， 而平面，平面，则，又平面， 因此平面，而平面，所以. （2）由（1）得，由，得， 正方形的面积，而平面， 所以四棱锥的体积为. （3）由正方形，得，而平面，平面， 则平面，直线到平面的距离等于点到平面的距离， 在中，，则边上的高， 的面积，由（2）得， 又，因此， 所以直线到平面的距离为. 题型二 证线面垂直 证明线面垂直严格依据线面垂直判定定理，需要证明直线垂直于平面内两条相交直线，解题时先从已知条件中提取垂直关系，如底面为菱形、矩形、正方形的边与对角线垂直，面面垂直带来的线面垂直，高与底面垂直，等腰三角形的高与底边垂直等，分别证明直线与平面内一组相交直线垂直，再代入判定定理；也可利用面面垂直性质定理：若两个平面垂直，则在一个平面内作交线的垂线，该直线垂直于另一个平面，快速完成证明。 9．（2026高一·安徽阜阳·期中）如图，在平行四边形中，，，为的中线，将沿折叠，使点到点的位置，连接，且. (1)求证：平面. (2)求直线与平面所成角的正切值. 【答案】(1)证明见解析 (2). 【分析】（1）用勾股定理证明，再用等腰三角形中线得，进而再由折叠可得，再用线面垂直的判定定理可得； （2）先证平面，从而可得平面，进而可得与平面所成的角为，在直角三角形计算可得. 【详解】（1）因为，且，所以，. 又为的中线，所以. 因为，所以，所以. 由题意知，为的中线，所以. 而是沿折叠到点的位置，所以 因为，，且，且平面， 所以平面. （2）因为，，，所以平面. 又，所以平面，所以与平面所成的角为. 在中，，，所以. 所以直线与平面所成角的正切值. 10．（2026高一·北京朝阳·期中）如图，在正四棱柱中，，，是的中点． (1)求证：平面； (2)证明：平面． 【答案】(1)证明见详解 (2)证明见详解 【分析】（1）设，连接，利用中点关系，得到，满足线面平行判定定理的条件，从而得出证明； （2）由正棱柱侧棱垂直底面，进而得到，又正方形对角线互相垂直，从而得到满足线面垂直判定定理的条件，得出证明. 【详解】（1）证明：设，连接， 在正四棱柱中，四边形为正方形， ，又是的中点，， ，又平面，平面， 平面. （2）在正四棱柱中，平面， 又平面，， 在正方形中，， 又，平面，平面， 平面. 11．（2026高三·全国·专题练习）在平行四边形中（图1），，为的中点，将等边沿折起，连接，且（图2）．求证：平面. 【答案】证明见解析 【详解】如图， 连接，因为，为的中点，是等边三角形， 则， 则在中，因为，， 所以由余弦定理得： . 在中，因为，而， 所以，则， 在中，因为，而， 所以，则， 又，平面，平面， 故平面． 12．（2026高一·广东·专题练习）已知直三棱柱满足，，点，分别为，的中点. (1)求证： 平面； (2)求证：平面. (3)求三棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）连接，，证明，结合线面平行的判定定理即可求证； （2）首先证明面，可得，，结合线面垂直的判定定理即可求证； （3）利用由（2）可知平面，可得点到平面的距离为，根据点为的中点，从而得到点到平面的距离，利用即可求解. 【详解】（1）如图， 连接，， 四边形为矩形，为的中点， 与交于点，且为的中点， 又点为的中点，， 又平面，且平面， 平面. （2）直三棱柱满足，， 又点为的中点，且面，面， 所以，， 又，面， 平面. （3）由图可知， ，，， 又三棱柱为直三棱柱，且， . ，，点为的中点， 所以. 由（2）可知平面. 所以点到平面的距离为， 又点为的中点， 所以点到平面的距离为， . 13．（2026高一·浙江杭州·期中）在正六棱柱中，，，O为下底面ABCDEF的中心，M为侧棱的中点. (1)求证：平面； (2)证明：平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由是底面正六边形的中心，是的中点，通过构造中位线，找到平面内与平行的直线，利用线面平行的判定定理进行证明； （2）利用线面垂直的判定定理，证明垂直于平面的两条相交线。 【详解】（1）连接，，，如图所示， 为底面正六边形的中心，是的中点； 是的中点，为的中位线，则； 平面，平面，平面. （2）连接，，，如图所示， 为底面正六边形的中心，； ,，，即; 六棱柱是正六棱柱，底面； 底面，； ，平面； 平面，； 底面是正六边形，，，； 底面，底面，； ，； ，，，，四边形为正方形； ，为正方形的对角线，； ，，平面，平面，且， 平面. 14．（2026高一·全国·课堂例题）如图所示，已知是圆的直径，为圆上一点，，，为所在平面外一点，且垂直于圆所在平面，与平面所成的角为． (1)求证：平面； (2)求点A到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【分析】（1）由平面，得到，再结合，即可求证； （2）过点A作于点D，通过证明平面，得到即为点A到平面的距离，进而可求解. 【详解】（1）证明：平面，平面， ． 是圆O的直径，C为圆上一点，． 又，且平面 平面． （2）如图所示，过点A作于点D， 平面，平面， ， 又平面 平面． 即为点A到平面的距离． ∴依题意知为与平面所成角， 即，，， 可得． ， 即点A到平面的距离为． 15．（2026高三·全国·竞赛）四棱锥中，底面是边长为1的正方形，且平面交于点． (1)求证：直线平面； (2)当三棱锥的体积取到最大值时，求四棱锥的表面积． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）连接，证明平面,进而证明出,再结合题目给出的垂直条件，即可得证； （2）设，，由（1）中垂直关系，利用等面积法表示出体积，再由基本不等式求得面积取最大值时、的取值，再通过三角形相似求出四棱锥各棱长，将各表面面积相加求得总的表面积. 【详解】（1）连接，，平面， 平面，而平面，， 又，平面， 平面． （2） 设与交于点，连接．设，， 则，等号成立时． 由面得 此时， 于是， 所以四棱锥的表面积为． 16．（2026高一·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，底面，，，，，． (1)求证：平面； (2)试在棱PB上确定一点E，使截面AEC把该几何体分成的两部分PDCEA与EACB的体积之比为；并求出此时异面直线CE与PD所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)点为的中点，. 【分析】（1）要证明线面垂直，则需要通过证明线线垂直得到线面垂直，即证明. （2）先求出梯形的面积，然后根据已知条件求出四棱锥和三棱锥的体积，进而可确定点的位置，然后作辅助线，确定异面直线与的夹角即为直线与的夹角，根据几何图形和三角函数求出结果. 【详解】（1）因为底面，平面，所以. 又，所以. 因为平面，平面， 所以平面. （2）因为，所以， 过点作，则，又， 所以四边形是平行四边形，所以. 因为，所以，点为中点， 所以，所以梯形的面积为. 四棱锥的体积为. 由已知与的体积比为，所以三棱锥的体积为. 过点作，且是三棱锥的高， 因为，所以有. 因为，所以. 所以三棱锥的体积为. 所以，所以点为的中点.则. 取的中点，连接，则. 所以四边形为平行四边形，所以， 所以异面直线与的夹角即为直线与的夹角. 在等腰直角三角形中，，在直角三角形中，因为， 所以根据勾股定理得，所以. 所以 所以异面直线与所成角的正弦值为. 题型三 证面面垂直 证明面面垂直的关键是在一个平面内找到另一个平面的一条垂线，即先证线面垂直，再由线面垂直证面面垂直，解题时先分析图形结构，寻找高、中线、垂线、面面垂直交线等，确定一条能够垂直于另一平面的直线，证明该线属于其中一个平面，再依据面面垂直判定定理得出结论；常见路径为：线线垂直→线面垂直→面面垂直，在菱形、矩形、棱锥、棱柱、翻折题型中均适用。 17．（2026高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，，，，，，，求证：平面平面ABCD； 【答案】证明见解析 【详解】 连接AC，因为，，，所以， 则，而，， 所以，则，所以， 在中，，且， 所以，则， 又，且平面，平面， 所以平面，又平面ABCD， 所以平面平面ABCD. 18．（2026高三·全国·专题练习）如图，已知四棱锥的底面为菱形，且，，．证明：平面平面 【答案】证明见解析 【分析】取AB中点O，连接PO，CO，证得，即可利用线面垂直的判定定理证明平面，进而利用面面垂直的判定定理证明即可. 【详解】如图， 取AB中点O，连接PO，CO. 因为，，所以， 即，且，. 又因为四边形是菱形，， 所以，. 因为，所以，即， 因为平面，平面ABCD，， 所以平面， 又平面，所以平面平面. 19．（2026高三·北京·二轮复习）在中，，，，，分别是，上的点，满足，且.将沿折起到的位置，使，如图所示.求证：平面平面. 【答案】证明见解析 【分析】根据给定条件，利用线面垂直判定性质、面面垂直的判定推理得证. 【详解】在中，由，得，而，则， 将沿折起到的位置，始终有， 又平面，则平面， 又平面，则， 又，，平面， 所以平面， 又平面，所以平面平面. 20．（2026高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，，，， ． (1)在平面内找一点，使得直线平面，并说明理由； (2)证明：平面平面． 【答案】(1)棱AD的中点，理由见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）先证明线线平行，再利用线面平行的判定定理证明线面平行； （2）先由线面垂直得到线线垂直，再利用线面垂直的判定定理得到BD⊥平面PAB，最后利用面面垂直的判定定理证明面面垂直. 【详解】（1）取棱的中点（平面），点即为所求的一个点. 理由如下： 因为，，所以， 且. 所以四边形是平行四边形，从而. 又平面，平面， 所以平面. （2）由已知，，，平面， 因为，，所以直线与相交， 所以平面. 平面，从而. 因为，， 所以，且. 所以四边形是平行四边形. 所以，所以. 又，平面，所以平面. 又平面， 所以平面⊥平面. 21．（2026高一·四川广安·月考）如图，在四棱锥中，，，，为棱的中点，平面． (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； (3)若二面角的大小为，求四棱锥体积． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）要证明线面平行，转化为平行四边形，证明线线平行； （2）要证明面面垂直，根据线线，线面垂直关系的转化，转化为证明平面； （3）根据垂直关系，由二面角的大小转化为线线角，从而确定四棱锥的高，确定体积. 【详解】（1）因为且，所以四边形为平行四边形， 则，又平面平面， 所以平面； （2）由平面，平面，得，连接， 由且， 所以四边形为平行四边形，又， 所以平行四边形为正方形，所以， 又，所以，又平面， 所以平面，由平面， 所以平面平面； （3）由平面，平面，所以， 又平面， 所以平面，又平面，所以， 故为二面角的平面角，即， 在中，，则 22．（2026高一·全国·课后作业）如图所示，在三棱锥中，平面，． (1)求证：平面平面； (2)若，求二面角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【分析】（1）先由线面垂直的性质得，结合已知及线面垂直判定定理证得平面，再由面面垂直的判定定理推出平面平面； （2）先确定为二面角的平面角，再在中结合用勾股定理求出，最后利用正弦的定义求得二面角的正弦值. 【详解】（1）证明：平面，平面， ，又且． 平面．又平面平面平面． （2）由（1）知为二面角的平面角． 在Rt中，，，． 即二面角的正弦值为． 23．（2026高一·全国·期末）如图所示，是正方形，是正方形的中心，底面，底面边长为，是的中点． (1)求证：平面；平面平面； (2)若二面角为，求四棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，得到，利用线面平行的判定定理，证得平面，再利用线面垂直的判定定理，证得平面，结合面面垂直的判定定理，即可证得平面平面． （2）取中点，连接，证得平面，得到，进而证得平面，得到，得到为二面角的平面角，在直角中，求得，结合锥体的体积公式，即可求解. 【详解】（1）证明：如图所示，连接， 因为、分别为、中点，可得， 又因为平面，平面，所以平面， 因为平面，且平面，所以， 在正方形中，， 又因为，且平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面． （2）解：取中点，连接， 因为为中点，为的中位线，所以， 又因为平面，所以平面， 因为平面，所以， 又因为是正方形，， 因为，且平面，所以平面， 又因为平面，所以， 所以为二面角的平面角，所以， 在直角中，， 所以，所以， 即四棱锥的高为， 所以四棱锥的体积为. 24．（2026高三·四川·期末）如图，在五面体中，，，平面平面，，，，. (1)证明：平面； (2)若点、分别为、的中点，证明：平面平面； (3)求该五面体的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）通过线面平行的判定定理，先证平面，再由交线性质得，结合线面平行判定得平面； （2）先由正三角形和余弦定理求出，再由勾股定理得，结合证得平面，从而得平面平面，再通过中位线和平行四边形证得平面，进而得平面平面； （3）通过作辅助线构造三棱柱，利用平行四边形和线面垂直关系求出高，再计算三棱柱体积，最后说明三棱锥体积相等，得出五面体体积. 【详解】（1）因为平面平面，所以平面， 又因为平面且平面平面， 所以，又平面，平面， 所以平面． （2）因为，所以为正三角形， 所以，又， 所以，又， 所以在中，由余弦定理，得，解得或（舍去）， 因为，所以， 又，且， 所以平面，又平面，所以平面平面． 因为，所以为正三角形， 因为为正三角形，所以， 由梯形中位线，可得，且， 所以，，所以四边形为平行四边形， 所以，，即，所以， 又平面平面， 所以平面，所以平面，又平面， 所以平面平面． （3）过作直线，延长与交于点M，与交于点N，连接． 因为为的中点，所以且，所以四边形为平行四边形， 所以，同理，所以． 又，所以，所以， 所以多面体为三棱柱过作于H点. 因为平面平面，所以平面， 所以线段的长即三棱柱的高，在中， ， 所以三棱柱的体积为． 因为三棱锥与的体积相等，所以所求多面体的体积为． 25．（2026高二·黑龙江佳木斯·开学考试）如图，正四棱台的高为3，且 (1)求证：平面平面； (2)求与平面所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）设交于，连接并交于，连接，则根据线面垂直的性质定理得，由线面垂直的判定定理可得平面，进而利用面面垂直的判定定理证明即可； （2）取OC中点，连接，先证四边形为平行四边形，结合，利用线面垂直的性质得平面，根据线面角的定义得即为所求，最后在中求解即可. 【详解】（1）设交于，连接并交于，连接， 由正四棱台的性质可知平面，平面， 所以，又，，平面， 所以平面，又平面，所以平面平面； （2）取OC中点，连接，则， 所以四边形为平行四边形，所以，而平面， 故平面，所以为与平面所成角， ，， ， 所以，即与平面所成角的余弦值为. 题型四 线面垂直性质的应用 线面垂直性质的应用以线面垂直推出线线垂直、线线平行为核心，利用 “垂直于同一平面的两条直线互相平行”“垂直于同一直线的两个平面互相平行”“直线垂直平面则垂直平面内所有直线” 等结论，将已知的线面垂直转化为线线垂直、线线平行、距离相等、角度相等等关系，常用于证明线段平行、线段相等、点的位置关系、求距离与体积，是连接垂直与平行、长度与角度的桥梁。 26．（2026高三·全国·专题练习）在多面体中，已知，且平面与平面均垂直于平面为的中点． 证明：． 【答案】证明见解析 【分析】取的中点，证明四边形为平行四边形即可得证. 【详解】如图，分别取的中点，连接， 因为，故， 又平面平面，且平面平面，平面， 因此平面，同理可知，平面， 又，所以， 因此且，故四边形为平行四边形， 所以， 又因为，所以． 27．（2026高一·江苏淮安·期中）已知三棱柱中，底面是边长为2的正三角形，为的重心， (1)求证：； (2)已知平面，且平面．求证：． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）连交于，由重心可得为的中点，由已知借助三角形全等证得，再由线面垂直的判定、性质推理即得. （2）由给定条件，证得三棱锥为正四面体，进而证得平面，再用线面垂直的性质得结论. 【详解】（1）在三棱柱中，连交于，连，由为的重心，得为的中点， 由，，，得，则， 因此，，又平面， 于是平面，而平面，则，又， 所以. （2）由，，得为正三角形；同理也为正三角形， 则，从而三棱锥的所有棱长均为2，该四面体为正四面体， 由为的重心，得平面，菱形中，过的中点， 即直线与平面的交点为的中点，因此不在直线上，又平面， 所以. 28．（2026高三·全国·专题练习）如图，是等边三角形，直线平面ABC，直线平面ABC，且，F是线段EB的中点．求证：平面ABC． 【答案】证明见解析 【分析】取AB的中点M，先证四边形是平行四边形，则，再利用线面垂直的性质、线面平行的判定推理得证． 【详解】取AB的中点M，连接FM和CM， 在中，F是EB的中点，M是AB的中点，则且， 由平面，而平面，得， 所以，，因此四边形是平行四边形，， 而平面，平面，所以平面． 29．（2026高一·全国·课后作业）如图，在直三棱柱中，，D，E分别是棱BC，上的点（点不同于点），且平面，F为的中点．求证：直线平面． 【答案】证明见解析 【分析】先应用线面垂直的判定定理得出平面，再根据线面垂直的性质得出线线平行，进而得出线面平行即可. 【详解】因为，F为的中点，所以． 因为平面，且平面，所以． 又平面，平面，平面，所以平面． 又平面，所以． 又平面，平面，所以平面． 30．（2026高一·江西·期末）如图所示，四边形为菱形，平面，平面. (1)求证：平面平面； (2)若，，，求直线与所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先证明平面，再结合证明平面，从而再由面面平行知识即可求解证明； （2）连接，由题意可得就是直线与所成角，从而可求解. 【详解】（1）由题意平面，平面，则， 又因为平面，平面，所以平面， 因为四边形为菱形，所以， 又因为平面，平面，所以平面， 又因为平面，，所以平面平面. （2）连接，由四边形为菱形，所以， 所以得就是直线与所成角，由，，， 则得， 又因为平面，平面，所以， 所以， 所以直线与所成角的余弦值为. 题型五 面面垂直性质的应用 面面垂直性质的应用核心是由面面垂直得线面垂直，依据性质定理：两个平面垂直，则在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面，解题时先找到两个垂直平面的交线，在其中一个平面内作交线的垂线，即可得到线面垂直，进而推出线线垂直、线面平行、点到平面的距离、几何体的高、体积、线面角等；常用于折叠问题、棱锥、棱柱中求高、确定点位置、求角度与体积。 31．（2026高三·全国·二轮复习）如图，四边形是菱形，平面平面，，且，为的中点． 证明：； 【答案】证明见解析 【分析】根据中位线的性质以及题中条件可证明四边形是平行四边形，进而得，利用面面垂直的性质即可求证. 【详解】连接，交于点，连接． 因为四边形是菱形，则，， 因为为的中点，则， 又，且，故得， 故四边形是平行四边形，则． 又平面平面，平面平面， ，平面， 则平面，又平面， 则，故． 32．（2026高三·全国·二轮复习）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，且，平面平面，，是的中点，点在侧棱上，，求证：直线平面； 【答案】证明见解析 【分析】由题意可得是等边三角形，从而可得，,再由面面垂直的性质定理即可得证. 【详解】因底面是边长为2的菱形，且， 则是等边三角形， 又因是的中点， 则， 因，则， 因平面平面， 平面平面，平面， 故直线平面． 33．（2026高三·全国·二轮复习）如图，在四棱锥中，底面为正方形，，平面平面．求证：平面； 【答案】证明见解析 【分析】由线面垂直的判定定理及性质可得，由面面垂直的性质及线面垂直的性质可得，再由线面垂直的判定定理即可证明. 【详解】因为底面为正方形，所以， 又，且，平面，所以平面， 又平面，所以， 连接，易知， 因为平面平面，平面平面， 平面，所以平面， 又平面，则， 又因为，平面，所以平面． 34．（2026高三·上海浦东新·期中）如图，在多面体中，平面平面，，，是边长为的等边三角形，． (1)求证：平面； (2)若与平面所成的角为，求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【分析】（1）利用面面垂直的性质定理及线面垂直的判定定理证明即可； （2）利用线面角推出所需线段长度，再将三棱锥转换顶点进行求解. 【详解】（1）因为平面平面，为等边三角形，取中点，连接， 则，又平面，平面平面， 由面面垂直的性质得平面， 平面，因此.又， 平面，故平面. 又因为，所以平面，得证. （2） 连接，因为是边长为​的等边三角形， 所以. 由线面角定义可知，与平面所成角为​， 在中，​，得​​. 设，则，​​， 代入得，解得，即. 因为平面，平面，， 故平面平面，且为等边三角形， 则到平面的距离等于到的距离， ​​所以， 因此体积​. 35．（2026高三·上海浦东新·期中）如图，在多面体PQABCD中，平面平面ABCD，，，是边长为的等边三角形，． (1)求证：平面PAD； (2)若PC与平面ABCD所成的角为，求多面体PQABCD的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用面面垂直的性质和线面垂直的判定定理进行证明； （2）将多面体拆分成直棱柱和三棱锥两部分，分别计算体积再求和. 【详解】（1）证明：取AD的中点O，连接PO, 因为为等边三角形，且O为AD中点， 所以 又平面平面， 平面平面，平面， 所以平面 . 又平面，因而 因为，，所以 由平面，平面PAD，， 所以平面 . （2）连接PC、OC，由题（1）可知，平面ABCD， 所以PC在平面ABCD内的投影为OC， 故是与平面所成的角，即 ，由题得，， 因为平面PAD，，所以平面PAD，所以． 因此，， 取CD的中点M，连接BM、QM， 则 所以多面体PQABCD的体积是. 36．（2026高三·上海·二轮复习）如图所示，在四棱锥中，底面是且边长为的菱形，侧面为正三角形，其所在平面垂直于底面，若为的中点. (1)求证：平面； (2)求证：； (3)若点，分别为，的中点，求证:平面平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）由菱形的性质可得，再由面面垂直的性质定理即可证明. （2）连接，由线线垂直可得线面垂直，再由线面垂直的性质定理即可证明. （3）连接，，，可证平面平面，再由面面垂直可得平面，由面面垂直的判定定理证明即可. 【详解】（1）在菱形中，, 为的中点， 所以，又平面⊥平面，平面∩平面，平面，所以平面. （2）如图，连接 因为为正三角形, 为线段的中点， 所以，由（1）知，又，平面， 所以平面，因为平面，所以. （3）如图，连接，，， 在中，，在菱形中，， 而平面，平面，，平面， 平面，，所以平面平面， 因为平面平面，平面平面， 因为平面，，所以平面， 又平面， 所以平面平面，所以平面平面. 37．（2026高一·江苏南通·期末）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，平面平面，.    (1)求证：平面平面； (2)若为等边三角形，边长为2，与底面所成角为，求四棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先证明平面，再根据面面垂直的判定定理证明面面垂直. （2）根据锥体的体积公式求锥体体积. 【详解】（1）如图：    取中点，连接，， 又平面平面，平面平面， ，又 又，平面平面. （2）取中点，连接，连接，同理可证， 则为与底面所成角的平面角. 为等边三角形，边长为2，， 在中，解得，在中，解得. 则. ， . 38．（2026高一·北京朝阳·期中）如图，在直角梯形中，，，，，，点在上，且，将沿折起，使得平面平面，为中点．    (1)求证：平面； (2)求三棱锥的体积； (3)在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在， 【分析】（1）利用等腰三角形性质可得，再由面面垂直性质定理可得结论； （2）由锥体体积公式直接计算可得结果； （3）利用面面平行判定定理可证明平面平面，再由其性质可证明当时，满足题意. 【详解】（1）因为为中点，，所以． 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面． （2）在直角三角形中， ∵，∴，∴． 又三角形的面积 由（1）知，平面， 所以三棱锥的高为． 所以. （3）过点作交于点，则； 过点作交于点，连接，则；如下图所示：    因为平面，平面， 所以平面． 又因为，平面，平面， 所以平面． 因为，平面，平面， 所以平面平面． 因为平面，所以平面． 所以在上存在点，使得平面，且． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 微专题 线线、线面、面面垂直的证明问题 题型一 证线线垂直 证明线线垂直的核心思路是先证线面垂直，再由线面垂直得线线垂直，解题时先利用菱形对角线垂直、等腰三角形三线合一、勾股定理逆定理、面面垂直性质定理或直棱柱 / 正方体的棱面垂直关系，证明一条直线垂直于另一条直线所在的平面，再依据 “若直线垂直于一个平面，则垂直于平面内所有直线” 的性质推出两直线垂直。 1．（2026高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，平面，点是棱的中点．求证：． 2．（2026高一·全国·寒假作业）如图，梯形中，，于点，，且．沿把折起到的位置，使．若为的中点，为上一点，证明． 3．（2026高一·全国·课后作业）如图1，在梯形中，，，为中点，是与的交点，将沿翻折到图2中的位置得到四棱锥．求证： 4．（2026高一·全国·假期作业）如图，四棱锥的侧面是边长为2的正三角形，底面为正方形，且平面平面分别为的中点. (1)求四棱锥的体积； (2)证明：； 5．（2026高二·贵州遵义·月考）如图，在四面体中，是等边三角形，平面平面，点为棱的中点，，，． (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 6．（2026高一·北京朝阳·期中）如图，在四棱锥中，平面，底面为矩形，，；点E在线段上，且． (1)设平面平面，证明：； (2)证明：； (3)线段上是否存在点M，使得平面?若存在，请证明，并求出的长；若不存在，请说明理由． 7．（2026高三·宁夏吴忠·月考）四棱锥的底面为正方形，面，动点在线段上， (1)求证： (2)求四棱锥的外接球表面积 (3)求的最小值 8．（2026高二·云南普洱·期末）如图，在圆锥中，底面圆心为O，母线，圆锥的高，底面圆O的内接四边形为正方形. (1)证明：； (2)求四棱锥的体积； (3)求直线到平面的距离. 题型二 证线面垂直 证明线面垂直严格依据线面垂直判定定理，需要证明直线垂直于平面内两条相交直线，解题时先从已知条件中提取垂直关系，如底面为菱形、矩形、正方形的边与对角线垂直，面面垂直带来的线面垂直，高与底面垂直，等腰三角形的高与底边垂直等，分别证明直线与平面内一组相交直线垂直，再代入判定定理；也可利用面面垂直性质定理：若两个平面垂直，则在一个平面内作交线的垂线，该直线垂直于另一个平面，快速完成证明。 9．（2026高一·安徽阜阳·期中）如图，在平行四边形中，，，为的中线，将沿折叠，使点到点的位置，连接，且. (1)求证：平面. (2)求直线与平面所成角的正切值. 10．（2026高一·北京朝阳·期中）如图，在正四棱柱中，，，是的中点． (1)求证：平面； (2)证明：平面． 11．（2026高三·全国·专题练习）在平行四边形中（图1），，为的中点，将等边沿折起，连接，且（图2）．求证：平面. 12．（2026高一·广东·专题练习）已知直三棱柱满足，，点，分别为，的中点. (1)求证： 平面； (2)求证：平面. (3)求三棱锥的体积. 13．（2026高一·浙江杭州·期中）在正六棱柱中，，，O为下底面ABCDEF的中心，M为侧棱的中点. (1)求证：平面； (2)证明：平面. 14．（2026高一·全国·课堂例题）如图所示，已知是圆的直径，为圆上一点，，，为所在平面外一点，且垂直于圆所在平面，与平面所成的角为． (1)求证：平面； (2)求点A到平面的距离． 15．（2026高三·全国·竞赛）四棱锥中，底面是边长为1的正方形，且平面交于点． (1)求证：直线平面； (2)当三棱锥的体积取到最大值时，求四棱锥的表面积． 16．（2026高一·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，底面，，，，，． (1)求证：平面； (2)试在棱PB上确定一点E，使截面AEC把该几何体分成的两部分PDCEA与EACB的体积之比为；并求出此时异面直线CE与PD所成角的正弦值． 题型三 证面面垂直 证明面面垂直的关键是在一个平面内找到另一个平面的一条垂线，即先证线面垂直，再由线面垂直证面面垂直，解题时先分析图形结构，寻找高、中线、垂线、面面垂直交线等，确定一条能够垂直于另一平面的直线，证明该线属于其中一个平面，再依据面面垂直判定定理得出结论；常见路径为：线线垂直→线面垂直→面面垂直，在菱形、矩形、棱锥、棱柱、翻折题型中均适用。 17．（2026高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，，，，，，，求证：平面平面ABCD； 18．（2026高三·全国·专题练习）如图，已知四棱锥的底面为菱形，且，，．证明：平面平面 19．（2026高三·北京·二轮复习）在中，，，，，分别是，上的点，满足，且.将沿折起到的位置，使，如图所示.求证：平面平面. 20．（2026高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，，，， ． (1)在平面内找一点，使得直线平面，并说明理由； (2)证明：平面平面． 21．（2026高一·四川广安·月考）如图，在四棱锥中，，，，为棱的中点，平面． (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； (3)若二面角的大小为，求四棱锥体积． 22．（2026高一·全国·课后作业）如图所示，在三棱锥中，平面，． (1)求证：平面平面； (2)若，求二面角的正弦值． 23．（2026高一·全国·期末）如图所示，是正方形，是正方形的中心，底面，底面边长为，是的中点． (1)求证：平面；平面平面； (2)若二面角为，求四棱锥的体积． 24．（2026高三·四川·期末）如图，在五面体中，，，平面平面，，，，. (1)证明：平面； (2)若点、分别为、的中点，证明：平面平面； (3)求该五面体的体积. 25．（2026高二·黑龙江佳木斯·开学考试）如图，正四棱台的高为3，且 (1)求证：平面平面； (2)求与平面所成角的余弦值． 题型四 线面垂直性质的应用 线面垂直性质的应用以线面垂直推出线线垂直、线线平行为核心，利用 “垂直于同一平面的两条直线互相平行”“垂直于同一直线的两个平面互相平行”“直线垂直平面则垂直平面内所有直线” 等结论，将已知的线面垂直转化为线线垂直、线线平行、距离相等、角度相等等关系，常用于证明线段平行、线段相等、点的位置关系、求距离与体积，是连接垂直与平行、长度与角度的桥梁。 26．（2026高三·全国·专题练习）在多面体中，已知，且平面与平面均垂直于平面为的中点． 证明：． 27．（2026高一·江苏淮安·期中）已知三棱柱中，底面是边长为2的正三角形，为的重心， (1)求证：； (2)已知平面，且平面．求证：． 28．（2026高三·全国·专题练习）如图，是等边三角形，直线平面ABC，直线平面ABC，且，F是线段EB的中点．求证：平面ABC． 29．（2026高一·全国·课后作业）如图，在直三棱柱中，，D，E分别是棱BC，上的点（点不同于点），且平面，F为的中点．求证：直线平面． 30．（2026高一·江西·期末）如图所示，四边形为菱形，平面，平面. (1)求证：平面平面； (2)若，，，求直线与所成角的余弦值. 题型五 面面垂直性质的应用 面面垂直性质的应用核心是由面面垂直得线面垂直，依据性质定理：两个平面垂直，则在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面，解题时先找到两个垂直平面的交线，在其中一个平面内作交线的垂线，即可得到线面垂直，进而推出线线垂直、线面平行、点到平面的距离、几何体的高、体积、线面角等；常用于折叠问题、棱锥、棱柱中求高、确定点位置、求角度与体积。 31．（2026高三·全国·二轮复习）如图，四边形是菱形，平面平面，，且，为的中点． 证明：； 32．（2026高三·全国·二轮复习）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，且，平面平面，，是的中点，点在侧棱上，，求证：直线平面； 33．（2026高三·全国·二轮复习）如图，在四棱锥中，底面为正方形，，平面平面．求证：平面； 34．（2026高三·上海浦东新·期中）如图，在多面体中，平面平面，，，是边长为的等边三角形，． (1)求证：平面； (2)若与平面所成的角为，求三棱锥的体积． 35．（2026高三·上海浦东新·期中）如图，在多面体PQABCD中，平面平面ABCD，，，是边长为的等边三角形，． (1)求证：平面PAD； (2)若PC与平面ABCD所成的角为，求多面体PQABCD的体积． 36．（2026高三·上海·二轮复习）如图所示，在四棱锥中，底面是且边长为的菱形，侧面为正三角形，其所在平面垂直于底面，若为的中点. (1)求证：平面； (2)求证：； (3)若点，分别为，的中点，求证:平面平面. 37．（2026高一·江苏南通·期末）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，平面平面，.    (1)求证：平面平面； (2)若为等边三角形，边长为2，与底面所成角为，求四棱锥的体积. 38．（2026高一·北京朝阳·期中）如图，在直角梯形中，，，，，，点在上，且，将沿折起，使得平面平面，为中点．    (1)求证：平面； (2)求三棱锥的体积； (3)在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $