专题03 二项式定理10种题型归类（压轴题专项训练）数学苏教版选择性必修第二册

专题03 二项式定理 目录 类型一、二项展开式的特定项问题 类型二、二项式系数和及二项式系数最值问题 类型三、二项展开式的有理项问题 类型四、二项展开式系数最值问题 类型五、两个多项式积的展开特定项问题 类型六、三项式展开式问题 类型七、二项展开式各项系数和及奇次项与偶次项的系数和（赋值法） 类型八、近似计算问题 类型九、余数和整除的问题 类型十、杨辉三角问题 压轴专练 类型一、二项展开式的特定项问题 解题技巧： 公式特点： （1）它表示二项展开式的第项，该项的二项式系数是； （2）字母的次数和组合数的上标相同 例1-1．二项式的展开式的第四项为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先写出通项，进而计算第四项即可； 【详解】二项式的通项为， 则． 故选：A. 例1-2．展开式中的常数项为160，则实数 ． 【答案】1 【分析】根据二项式的通项公式结合常数项计算求参数. 【详解】由题意知， 则，即， 故即． 故答案为：1. 变式1-1．若的展开式中的系数为231，则 . 【答案】2 【分析】求出展开式的通项公式，令的次幂为求出，然后利用系数列方程即可求解. 【详解】的展开式的通项，. 令，解得，则，解得. 故答案为：2. 变式1-2．在的展开式中，常数项为84，则的系数为（    ） A． B． C．9 D．36 【答案】C 【分析】应用二项式通项公式计算常数项得出，再应用通项公式计算的系数即可. 【详解】的展开式的通项为， 令0，则，则常数项为， 解得，令，则， 所以，即的系数为9. 故选：C. 变式1-3．的展开式中的系数为 ． 【答案】 【分析】由题意得的展开式通项，令，求出回代到通项公式中去即可求解. 【详解】的展开式通项为， 由题意令，解得， 所以的展开式中的系数为. 故答案为：. 变式1-4．已知，且，若的展开式中存在常数项，则展开式中的系数为 . 【答案】6 【分析】根据展开式通项公式及存在常数项确定，再求出展开式中含的项即可得解. 【详解】展开式的通项公式为， 因为存在常数项，所以，故只有当时满足题意， 即求展开式中含的项的系数， 令 ，即， 所以展开式中含的项为， 所以展开式中的系数为6. 故答案为：6 类型二、二项式系数和及二项式系数最值问题 解题技巧： 1.分清“二项式系数”和“项的系数” 二项式系数：只和展开式的项数位置有关，是固定的组合数。 项的系数：是这一项里所有数字的乘积，会受原式中字母系数的影响。 2.找二项式系数的最值规律 当总项数是偶数时，最中间那一项的二项式系数最大。 当总项数是奇数时，最中间的两项二项式系数相等，并且都是最大的。 3.用单调性判断最值 二项式系数从第一项开始先增大，到中间位置达到最大，之后再减小。可以通过比较相邻两项的大小关系，确定系数最大的项的位置。 4.验证结果，避免混淆 计算完成后，要明确题目问的是“二项式系数”的最值，还是“项的系数”的最值，避免因概念混淆而出错。 例2-1．的展开式中，各项的二项式系数和为64，则常数项为 【答案】 【分析】各项的二项式系数之和为64，可得，得到，再利用通项公式即可求常数项. 【详解】因为各项的二项式系数和为64，所以 ，所以, 所以的， 令，解得，代入通项得常数项. 故答案为：. 例2-2．已知的展开式中二项式系数最大项仅为第4项，则其常数项为 . 【答案】 【分析】根据二项式系数的性质，得到n，再利用展开式的通项，得到常数项. 【详解】依题意有， ， 令得， 所以常数项为， 故答案为：. 变式2-1．展开式的二项式系数之和为1024，则 ；常数项为 . 【答案】 10 45 【分析】先求出，再结合二项展开式可得，从而可求解. 【详解】由，得； 展开式的通项， 令，得，所以常数项为. 故答案为：；. 变式2-2．的二项展开式中，二项式系数之和等于256，则二项展开式中二项式系数最大的项为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意求出，写出二项展开式的通项，即可求得二项式系数最大的项. 【详解】因为，所以，二项展开式的通项为 ， 故二项展开式中，二项式系数最大的项为. 故选：A. 变式2-3．在二项式的展开式中. (1)若展开式后三项的二项式系数的和等于，求展开式中二项式系数最大的项； (2)若为满足的整数，且展开式中有常数项，试求的值和常数项. 【答案】(1)， (2)，84 【分析】（1）根据后三项的二项式系数的和求出，再根据二项式系数最大结合通项公式求解即可； （2）根据通项公式结合常数项得出及的范围计算求解. 【详解】（1）由， 得，显然. 二项式系数中最大的项是第5项与第6项， 其中； （2）依题意，展开式中有常数项，则且， 则，常数项为 变式2-4．已知二项式的展开式中各项的二项式系数之和为32． (1)求； (2)求展开式中含项的系数； (3)求展开式的第四项． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据二项式定理所以二项式系数和为进行求解即可； （2）根据二项式展开式的通项得，再合理赋值进行求解即可； （3）根据二项式展开式的通项得，再令进行求解即可. 【详解】（1）已知二项式的展开式中各项的二项式系数之和为， 即，解得：. （2）二项式展开式的通项为， 令，解得：，所以当时，，故展开式中的系数为. （3）根据（2）可得：二项式展开式的通项为， 令，可得：，所以展开式的第四项为. 类型三、二项展开式的有理项问题 解题技巧： 1.先写通项，整理指数 写出展开式的通用项，把字母部分的指数合并成一个统一的表达式，这是判断有理项的基础。 2.锁定核心条件 有理项的关键要求是字母的指数必须为整数，以此作为唯一判断标准，与系数是否为整数无关。 3.确定序号的取值范围 根据指数为整数的要求，结合项数序号的取值范围，找出所有符合条件的序号，做到不重不漏。 4.处理多字母复杂情况 若展开式含多个字母，需保证每个字母的指数都是整数，再综合确定序号的最终取值。 5.代回验证，写出结果 把找到的序号逐一代回通项，验证指数是否符合要求，最终写出所有的有理项。 例3-1．在的展开式中，仅有第5项的二项式系数最大，则的展开式中有理项的项数是（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【分析】先算出，再写出通项公式，确定的次数为整数即可． 【详解】因为在的展开式中，仅有第5项的二项式系数最大， 所以仅有最大，则， 的通项公式， 其中，当时， 是有理项，所以， 即的展开式中有理项的项数是5． 故选：A． 例3-2．已知的展开式中，第二项系数与第三项系数之比为， (1)求展开式中二项式系数最大的项； (2)求展开式中所有的有理项. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出展开式中第二项的系数与第三项的系数，根据已知条件可得出关于的方程，解出正整数的值，然后利用二项式系数的单调性可求得展开式中二项式系数最大的项； （2）写出展开式的通项，进而可求得展开式中所有的有理项. 【详解】（1）展开式中第项为， ， 解得 由二项式系数的性质可知，展开式中第5项的二项式系数最大， 即. （2）由（1）知，， 又，由可得， 故展开式中的有理项为： 变式3-1．已知在的展开式中，前项的系数分别为、、，且满足，求： (1)展开式中二项式系数最大项的项； (2)展开式中所有有理项． 【答案】(1) (2)和 【分析】（1）求出、、的表达式，根据结合可求得的值，利用二项式系数的性质以及二项展开式通项可求得所求项； （2）写出展开式通项，即可求得展开式中的有理项. 【详解】（1）解：的展开式通项为，， 则，，， 因为，可得，整理可得， 由题意可知，故， 因此，展开式中二项式系数最大项的项为. （2）解：展开式通项为，,因为为整数，所以, 故展开式中的有理项为，. 变式3-2．已知在二项式的展开式中，前三项系数的和是97． (1)求的值； (2)求展开式中二项式系数最大的项； (3)求展开式中所有的有理项． 【答案】(1) (2) (3)，，，， 【分析】（1）求得二项展开式的通项，结合题意，列出方程，求得的值； （2）根据二项式系数的性质，得到时，二项式系数最大，即可求解； （3）由，得到，进而求得展开式的有理项. 【详解】（1）解：由二项式展开式的通项为， 可得展开式的前3项的系数分别为， 因为前3项的系数和为，可得，且， 解得或（舍去），即的值为. （2）解：由， 当时，二项式系数最大，即二项式系数最大项为． （3）解：由，可得， 所以展开式的有理项为． 变式3-3．已知关于的二项式的二项式系数之和为32，其中. (1)若，求展开式中二项式系数最大的项； (2)若展开式中含项系数为40，求展开式中所有有理项的系数之和. 【答案】(1)和 (2) 【分析】（1）由二项式系数和可计算出，结合二项式系数的性质可得第三及第四项二项式系数最大，结合二项式展开式的通项公式计算即可得； （2）由二项式展开式的通项公式计算可得，结合有理项定义找出所有有理项，计算对应系数求和即可得. 【详解】（1）由题意可得，故， 若，则对有， 当或时展开式中二项式系数最大， 此时有，， 故展开式中二项式系数最大的项为和； （2）对有， 则，故，即，又，故， 当为有理数时，可为， 有， 故展开式中所有有理项的系数之和为. 类型四、二项展开式系数最值问题 解题技巧： 求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式(组)、解不等式(组)的方法求解．一般地，如果第(k＋1)项的系数最大，则与之相邻两项第k项，第(k＋2)项的系数均不大于第(k＋1)项的系数，由此列不等式组可确定k的范围，再依据k∈N来确定k的值，即可求出最大项 例4．已知展开式的所有二项式系数之和为32，则展开式的各项中系数的最大值为（    ） A．252 B．210 C．120 D．10 【答案】B 【分析】根据二项式系数之和公式求出m， 结合通项公式进行求解即可. 【详解】因为展开式的所有二项式系数之和为32， 所以， 所以的通项公式为 ， 当或6时，展开式的系数最大，其系数最大值为， 故选：B 变式4-1．在的展开式中，有且仅有项前的系数最大，则实数的取值范围是 【答案】. 【分析】讨论a的取值范围，结合题意，列出不等式组，求解即可得答案. 【详解】若展开式中有且仅有项的系数最大，不合题意， 当时，所以项的系数均为正数，则需满足， 即得； 当时，奇数项的系数均为正数，偶数项的系数均为负数， 则此时需满足，解得， 综合可得的取值范围是， 故答案为：. 变式4-2．已知的展开式中第项为，，且第三项和第九项的二项式系数相等． (1)求第四项的二项式系数与系数； (2)求二项式系数的最大值及展开式系数的最大值． 【答案】(1)第四项的二项式系数为；系数为 (2)二项式系数的最大值为；系数最大值为 【分析】（1）首先由第三项与第九项的二项式系数相等的条件可得的值，进而确定二项式定理的通式，从而得所求； （2）根据二项式系数的性质确定二项式系数的最大值，再由，得的单调性，从而确定系数最大时的值，进而求解出系数的最大值． 【详解】（1）已知的展开式中第项，，且第三项和第九项的二项式系数相等． 即，故； 又展开式的通项为，故， 所以第四项的二项式系数为，系数为； （2）因为是偶数，故二项式系数的最大值为， 因为，故， 因为， 令，得：，因为是正整数，故时，； 时，， 所以第8项的系数最大，最大值为． 变式4-3．已知的展开式的第2项与第4项的二项式系数之比是． (1)求n的值； (2)展开式中的有理项共有几项？ (3)展开式中系数最大的项是第几项？ 【答案】(1)20； (2)11； (3)6. 【分析】（1）由题设，应用组合数公式得到组合数方程，求解即可； （2）写出二项式展开式的通项，根据整式项的定义确定其项数； （3）由在上单调递减，结合的大小判断系数最大项. 【详解】（1）依题意，，则，整理得，而， 所以. （2）由（1）知二项式为，展开式通项为，， 所以时，均为有理项，共有11项. （3）由在上单调递减， 当时，，当时，，则， 所以展开式中系数最大的项是第6项. 变式4-4．设的第项系数为. (1)当时，求的最大值； (2)表示的整数部分，，求的值. 【答案】(1) (2)0 【分析】（1）系数最大的项需满足即可求解； （2）分为偶数和为奇数求解． 【详解】（1）解：由题可知，展开式中第项为：， 则系数最大的项需满足，解得或， 所以系数最大为第3项或第4项， 所以最大项系数为. （2）注意到， 令，则， 令，则， 若为偶数，设，则， ，则 其中，于是， 此时为正整数，故， 若为奇数，设，则， ，故 于是，此时为正整数，故， 综上所述，. 类型五、两个多项式积的展开特定项问题 解题技巧： 1.先看“目标幂次”，再找“配对方式” 先明确要找的是哪个幂次的项，再分析：从第一个多项式里选一项，从第二个多项式里选一项，两者的幂次相加等于目标幂次，所有这样的配对组合，就是构成目标项的来源。 2.按“幂次和”分类讨论 把所有能凑出目标幂次的“项对”一一列出来，比如要找含x5的项，就列出第一个多项式里x2乘第二个里x3等所有可能组合。 3.分别计算每一组的系数，再相加 对每一组配对，分别算出两个项的系数乘积，再把所有组的结果加起来，就是目标项的总系数。 4.优先用二项式展开简化多项式 如果其中一个或两个多项式是二项式，先把它们展开成标准的多项式形式，再按上面的方法找配对，避免直接乘开整个式子。 5.用“排除法”验证结果 算完后，可以用小范围列举或反向计算的方式，检查有没有漏掉或多算的配对，确保系数和的正确性。 例5．已知，则的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】根据，结合二项式定理求解即可. 【详解】因为，展开式第项， 当时，，当时，， 故，即. 故选：B 变式5-1．在的展开式中，的系数为 . 【答案】 【分析】分析出含的项和的项即可得到答案. 【详解】依题意可知，展开式中含的项为，含的项为， 因此的展开式中含的项为， 所以的系数为． 故答案为：. 变式5-2．的展开式中的系数为 【答案】 【分析】原式可转化为，利用二项展开式通项公式分别求和的系数即可. 【详解】因为， 由二项展开式通项公式可得， 令解得，此时， 令解得，此时， 所以的展开式中的系数为， 故答案为： 变式5-3．的展开式中的系数为（    ） A．18 B．21 C．22 D．28 【答案】C 【分析】根据题意结合二项展开式的通项公式分析运算. 【详解】的展开式通项公式为：， 当时， 当时，， 所以的展开式中的系数为, 故选：C 变式5-4．（1）的展开式中的常数项为 ； （2）的展开式中含项的系数为 ． 【答案】 【分析】（1）的展开式通项为，分类讨论可得常数项； （2）的展开式通项为，的展开式通项为，分类讨论可得项的系数. 【详解】（1）的展开式通项为． 当时，即（不符合题意）； 当时，即，； 当时，即（不符合题意）； 综上常数项为. （2）的展开式通项为，的展开式通项为， 其中；． 令，则或或， 故的展开式中，含项的系数为． 故答案为： 类型六、三项式展开式问题 解题技巧： 1.化三项为二项，降维处理 把三项式中的两项看成一个整体，先把它转化成二项式，再用二项式定理展开，最后再对里面的二项式进行二次展开，这样就能把复杂问题拆成熟悉的二项式问题。 2.按“整体展开”分步计算 先对转化后的二项式展开，得到若干项，再对每一项里剩余的二项式进行展开，最后合并同类项，得到三项式的完整展开式。 3.找特定项时，用“幂次和”定位 如果要找某个幂次的项，先在第一次二项式展开中，确定哪些项的幂次和目标幂次相关，再在二次展开时精确找到对应的项，最后把系数相加。 4.利用组合意义理解展开 三项式展开的每一项，都可以理解为从每个括号里选一个元素相乘，所以可以直接用组合计数的方法，找出所有能凑出目标幂次的选择方式，再计算系数 5.优先处理次数低的三项式 对于次数较低的三项式（如三次及以下），直接按多项式乘法展开，反而比分步转化更简单，不容易出错。 例6．的展开式中项的系数是 ． 【答案】60 【分析】将看作个因式相乘，由分步乘法计数原理求解. 【详解】将看作个因式相乘， 则得到需从个因式中先选择个因式取，有种不同的取法； 再从剩余个因式中选择个因式取，有种不同的取法， 最后从剩下的因式中取，有种不同的取法， 根据分步乘法计数原理，可得的系数为， 故答案为：. 变式6-1．在的展开式中，的系数为；在的展开式中，的系数为.则（    ） A．10 B． C． D． 【答案】B 【分析】10个因式的乘积中，有8个选，有1个选，有1个选，可得的系数，9个因式的乘积中，有8个选，有1个选，可得的系数为，求解即可． 【详解】的展开式表示10个因式的乘积， 故在这10个因式中，有8个选，有1个选，有1个选， 即可得到含的项，故的系数为，即； 在的展开式表示9个因式的乘积， 故在这9个因式中，有8个选，有1个选，即可得到含的项， 故的系数为，即， 所以. 故选：B． 变式6-2．已知展开式中有一项是，则 . 【答案】3367 【分析】根据多项展开式每一项的次数特征，以及生成这一项的方法，结合组合数公式，即可求解. 【详解】因为展开式中每一项的次数均为，故； 从而含有的项为， 所以，故. 故答案为： 变式6-3．在展开式中，的系数为 ． 【答案】180 【分析】根据题意其展开式为，求的展开式中通项，令，即可求解. 【详解】，若满足题意可知其展开式为， 其的展开式中通项，令可得， 所以系数得180， 故答案为：180． 变式6-4．（1）在的展开式中，含的项为 ． （2）在的展开式中，的系数为 ． 【答案】 30 【分析】（1）法一，，利用二项式定理求出中前的系数；法二，，利用二项式定理求出前的系数； 法三，根据乘法分配律结合组合知识计算系数； （2）法一，，利用二项式定理求出，再求出中前的系数； 法二，根据乘法分配律结合组合知识计算系数； 【详解】（1）解法1：， 二项式的通项为， 令，则，可求得含的项为. 解法2：， 则通项为， 令，即时，可求得含的项为． 解法3：表示4个相乘，每个相乘时有三种选择， 选x或或． 设选a个， b个，则选的有个，其中， 相乘后x的次数为， 由，解得或， 即在4个相乘时，选2个x、2个，或选3个x、1个， 故含的项为． （2）解法1：，含的项为， 其中，中含的项为，所以的系数为． 解法2：为5个相乘，每个相乘时有三种选择， 选或x或y． 设选a个，选b个，则选y的有个，其中， 根据次数关系可知，解得， 即选的有2个，选的有1个，则选y的有2个，所以的系数为． 故答案为：； 类型七、二项展开式各项系数和及奇次项与偶次项的系数和 解题技巧： （1）“赋值法”普遍适用于恒等式,是一种重要的方法,若求其展开式各项系数之和,只需令未知数为1即可. （2）若,则展开式中各项系数之和为 （3）若,则奇数项系数之和为 偶数项系数之和为 例7．若，则的值为 . 【答案】0 【分析】通过赋值，代入即可求解. 【详解】由，令， 则有， 即. 故答案为：0 变式7-1．（多选）已知，则下列选项中正确的是（    ） A． B．展开式中二项式系数的最大值为84 C． D． 【答案】AD 【分析】根据二项式的展开式可判断A；根据二项式系数的性质可判断B，通过赋值可判断CD. 【详解】展开式的通项公式为， ，故A正确； 根据二项式系数的性质，二项式系数的最大值为和，即最大值为，故B错误； 当时，， 当时，， 所以，故C错误； 当时，， 当时，， 所以， 又，则，故D正确. 故选：AD. 变式7-2．若，则 ； ． 【答案】 【分析】令，可得，再令，即可求解；分别令和，两式相加即可求解. 【详解】令，可得， 令，可得，① ∴； 令，可得，② ①②两式相加，可得. 故答案为： 变式7-3．（多选）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】由二项式展开式通项可判断A，由二项式系数的性质可以判断B，利用赋值法分别令和可以判断C，二项式系数和的性质可以判断D. 【详解】二项式的展开式的通项为，， 所以， 计算可得， 比较可知系数最大值为，故A错误，B正确； 令，得； 令，得， 两式相减，得，所以，故C正确； 由，得，所以，故D正确. 故选：BCD. 变式7-4．已知，求 (1)； (2)，． 【答案】(1) (2)； 【分析】（1）令和，可求得； （2）令与（1）可求得，的值. 【详解】（1）令，得， 令，得， 所以； （2）令，得， 由（1）知， 所以，， 所以，. 类型八、近似计算问题 解题技巧： 在二项式近似计算中，优先选取展开式前2-3项简化运算，注意需远小于1以保证精度 例8．的小数点后第三位数字为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用二项展开式可得出该小数的前四位数，即可得解. 【详解】因为 ， 因此，的小数点后第三位数字为. 故选：A. 变式8-1． （小数点后保留三位小数）． 【答案】1.172 【分析】由二项展开式展开，结合二项展开式的性质可知从项开始均远小于，即可按所需保留位数近似求和 【详解】， 由二项展开式的性质易知，远小于，依次类推， 故. 故答案为：1.172. 变式8-2．把实数写成十进制小数，则a的十分位、百分位和千分位上的数字之和等于（    ） A．0 B．9 C．27 D．前三个答案都不对 【答案】C 【分析】先根据二项式定理可得，再估计出，故可得正确答案： 【详解】 ， 故， 于是a的小数部分为， 而， 于是a的十分位、百分位和千分位均为9，和为27． 故选：C. 变式8-3．的小数点后第100位数字是 ． 【答案】9 【分析】首先设，由特征方程得递推关系式为，并易知是整数，则根据的小数点后100位的数字，可确定的小数点后100位的数字. 【详解】设．则由特征方程可知其递推式为． 但注意到，都是整数，由数学归纳法可知是整数， 但显然有，因此所求小数点后第100位数字是9． 故答案为：9 变式8-4．已知m， n是正整数， 的展开式中x的系数为11. (1)试求中的系数的最小值； (2)对于使用中的系数为最小的m， n， 求出此时的系数； (3)利用上述结果，求的近似值(精确到0.001). 【答案】(1)25 (2)30 (3)2.033 【分析】（1）根据组合数公式及二项式展开式的二项式系数计算求解； （2）应用二项式展开式及组合数计算求解； （3）应用二项式展开式结合近似值计算求解. 【详解】（1）根据二项式定理，x项的系数为 需要找到使得项系数最小的正整数m和n. 将代入， 得到 该二次函数的顶点位于 因此当或时取得最小值. 此时对应的或 计算得 故项的系数最小值为25. （2）当， 时， 项的系数为 （3）展开至三次项： 相加后得到： 计算各项： 考虑更高次项的影响，发现对小数点后第三位无影响，故近似值为2.033. 类型九、余数和整除的问题 解题技巧： 使用二项式定理处理整除与余数问题时，需将底数拆解为与除数相关的数（如除数倍数±余数），展开后剔除含除数因子的项，关注剩余部分。注意余数范围应为非负数且小于除数，若余数为负需调整 例9．已知，且恰能被整除，则的最小正整数取值为 ． 【答案】5 【分析】先求出除以的余数，再根据整除条件确定的最小正整数即可. 【详解】 因为能被整除， 所以除以的余数是，故的最小正整数为. 故答案为：. 变式9-1．已知，设，若今天是星期一，则天后是星期 . 【答案】四 【分析】先利用赋值法求得，再利用二项式定理展开求解除以7所得的余数，进而求解即可. 【详解】由， 令，得，即， 令，得， 则 ， 其中，除了都能被7整除， 而 ， 其中，除了4都能被7整除，因此除以7余3，则除以7余3， 若今天是星期一，则天后是星期四. 故答案为：四. 变式9-2．《孙子算经》对同余除法有较深的研究，设为整数，若和被除得余数相同，则称和模同余，记为，如12和7被5除得余数都是2，则记为.若，且，则可以为（    ） A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 【答案】A 【分析】利用二项式定理证明除17余数为即可得. 【详解】 所以除17余数为，即. 故选：A. 变式9-3．已知为满足能被9整除的正整数的最小值，则的展开式中，系数最小的项为（    ） A．第6项 B．第7项 C．第11项 D．第6项和第7项 【答案】A 【分析】根据二项式系数和的特征得到，写出的展开式，即可得到能被整除，从而求出的取值，即可确定的值，再根据二项式系数的特征及展开式的通项分析可得. 【详解】， ， ， 所以 ， 显然为正整数， 能被9整除， 又且能被9整除，能被9整除，，则， 因为是满足条件的正整数的最小值，而满足条件的， 故取时，有最小值，所以，所以， 的展开式中，二项式系数最大的项为第6项和第7项， 又的展开式的通项公式为 ， 展开式系数为，要使系数最小，则系数须为负值（即为奇数），且其绝对值最大. 当为奇数时，在时取得最大值，故系数最小的项为第项. 故选：A 变式9-4．已知函数，. (1)当时，求的值； (2)若能被整除，求的最小值； (3)若，，且在中，存在连续三项，，的项的系数成等差数列，求和的值. 【答案】(1) (2) (3)，或 【分析】（1）依题意，再代入计算可得； （2）由，写出展开式，即可分析要能被整除，再分为偶数、奇数讨论，分别确定的最小值； （3）写出展开式的通项，即可得到，根据组合数公式整理得到，则为完全平方数，即可确定的值，同时取出相应的. 【详解】（1）因为 ，， 当时，所以； （2）因为，， 则 ， 又能被整除，所以， 又能被整除， 所以要能被整除， 当为偶数时，，此时的最小值为； 当为奇数时，不可能被整除，所以不存在符合题意， 综上可得的最小值为； （3）因为展开式的通项为（且）， 所以，，的项的系数分别为，，， 因为，，的项的系数成等差数列， 所以，整理可得， 即，为完全平方数， 又且 的最大值为，此时，则或， 解得或， 所以时中，，的项的系数分别为，，成等差数列， 中，，的项的系数分别为，，成等差数列； 综上可得，或. 类型十、杨辉三角问题 解题技巧： 1.对应好“行数”和“二项式次数” 杨辉三角的第1行（最上面那行）对应次数为0的二项式，往下每一行依次对应次数增加1，每一行的数字，就是对应二项式展开的系数。 2.用“肩上两数相加”的规律写数 除了每行最左和最右的数字都是1以外，中间的每个数字，都等于它正上方偏左和正上方偏右两个数字的和，用这个规律可以快速写出任意一行的所有数。 3.用“左右对称”省力气 每一行的数字都是左右对称的，和首尾距离一样的两个数完全相等。利用这一点，算一半就能知道另一半，减少计算量。 4.记住“行和等于2的幂” 每一行所有数字加起来的和，等于2的“行数”次方（从0开始数行数），这个规律可以用来快速检查计算是否正确。 5.把三角问题转成二项式问题 遇到求某一行的和、找最大的数、判断数的奇偶性等问题时，可以把它看成二项式系数的问题，用二项式的性质来解决，思路会更清晰。 例10．（多选）我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了杨辉三角，杨辉三角是中国数学史上一项重要研究成果.从不同的角度观察杨辉三角，能得到很多优美的规律，如图是一个7阶的杨辉三角，则下列说法正确的是（    ） A． B．第10行所有数字之和为 C．第2026行的第1013个数最大 D．第15行中从左到右第4个数与倒数第4个数之比为1:3 【答案】AB 【分析】由组合数的性质计算可判断A；由杨辉三角的每行系数和性质可判断B；由杨辉三角图可知，第行有个数字，每行最中间项的系数最大可判断C；根据可判断D. 【详解】对于，故A正确； 对于B，由杨辉三角的每行系数和性质可知， 第0行所有数字之和为，第1行所有数字之和为， 第2行所有数字之和为，第3行所有数字之和为， 第4行所有数字之和为，以此类推，第10行所有数字之和为，故B正确； 对于C，由杨辉三角图可知，第行有个数字， 如果是奇数，则第和第个数字最大，且这两个数字一样大； 如果是偶数，则第个数字最大，故第2026行的第个数最大，故C错误； 对于D，由题意，第15行，第4个数为， 倒数第4个数为，即，故D错误. 故选：AB. 变式10-1．如图所示，在杨辉三角中，斜线上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列：，，，，，，，记这个数列前项和为，则 ． 【答案】 【分析】由组合数的运算性质即可求解. 【详解】解：由“杨辉三角”性质，得： ． 故答案为：799 变式10-2．我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中展示了二项式系数表．数学爱好者对杨辉三角做了广泛的研究．下列结论不正确的是（   ） A． B．第2025行的第1013个数和第1014个数相等 C．在杨辉三角中，第行所有数字的平方和恰好是第行的中间一项的数字 D．记杨辉三角中第行的第个数为，则 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用组合数的性质判断AB；利用二项式定理推理判断CD. 【详解】对于A， ， A正确； 对于B，第2025行的第1013个数和第1014个数分别为，而，B正确； 对于C，第行所有数字的平方和， 第行的中间一项的数字是展开式中项的系数， 而， 又展开式中项的系数为， 因此，C正确； 对于D，因为，所以，D不正确. 故选：D 变式10-3．杨辉是中国南宋末年的一位杰出的数学家、教育家，杨辉三角是杨辉的一项重要研究成果.杨辉三角中蕴藏了许多优美的规律，它的许多性质与组合数的性质有关，图1为杨辉三角的部分内容，图2为杨辉三角的改写形式 (1)求图2中第11行的各数之和； (2)从图2第2行开始，取每一行的第3个数一直取到第100行的第3个数，求取出的所有数之和； (3)在杨辉三角中是否存在某一行，使该行中三个相邻的数之比为3:8:14？若存在，试求出这三个数；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)2048； (2)166650； (3)存在，这三个数为. 【详解】（1）第11行的各数之和为； （2）杨辉三角中第2行到第100行，各行第3个数之和为 ； （3）存在，理由如下： 设在第行存在三个相邻的数，其中，且，， 之比为3:8:14， 故，化简得， 即，解得， 所以这三个数为. 变式10-4．杨辉是我国古代数学史上一位著述丰富的数学家，著有《详解九章算法》、《日用算法》和《杨辉算法》，杨辉在1261年所著的《解答九章算法》给出了如下图1所示的表，我们称这个表为杨辉三角，图2是杨辉三角的数字表示，杨辉三角的发现要比欧洲早500年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的． 杨辉三角本身包含了很多有趣的性质，利用这些性质，可以解决很多数学问题． 性质1：杨辉三角的第行就是的展开式的二项式系数； 性质2（对称性）：每行中与首末两端“等距离”之数相等，即； 性质3（递归性）：除1以外的数都等于肩上两数之和，即； 性质4：自腰上的某个1开始平行于腰的一条线上的连续个数的和等于最后一个数斜右下方的那个数，比如：，； 请回答以下问题： (1)求杨辉三角中第8行的各数之和； (2)在的展开式中，求含项的系数． 【答案】(1)256 (2) 【分析】（1）由杨辉三角的性质以及二项式系数之和公式即可得解； （2）求出的每一项中含项的系数在杨辉三角中所处的位置，再结合杨辉三角的性质，即可得解. 【详解】（1）由杨辉三角的性质1可知，第8行就是的展开式的二项式系数， 由二项式系数之和公式可知，杨辉三角中第8行的各数之和为； （2）的二项展开式的通项为， 其中的系数为，是杨辉三角第行中从左到右的第三个数， 因此中含项的系数， 分别为杨辉三角中第行中从左到右的第三个数， 首项为，且每一项均在平行于腰的一条线上，满足杨辉三角的性质， 其系数之和为最后一个数斜右下方的那个数， 因此，在的展开式中， 则含项的系数为. 压轴专练 1.的展开式中的系数为（   ） A．162 B．168 C．180 D．185 【答案】B 【分析】根据给定条件，求出展开式的通项公式，再利用多项式乘法法则求解. 【详解】二项式展开式的通项公式为， 所以的展开式中的系数为. 故选：B 2.已知，则的值为（　　） A．70 B．84 C．56 D．126 【答案】B 【分析】求出展开式中的系数为，其中，从而求解出答案． 【详解】四项中不存在， 对于其余部分 展开式中的系数为，展开式中的系数为， 展开式中的系数为，展开式中的系数为， 故选：B. 3.设，且，若能被9整除，则（    ） A．0 B．1 C．7 D．8 【答案】B 【分析】由，结合二项式定理即可求解. 【详解】 因为能被9整除，所以，所以. 故选：B 4.某银行在2024年初给出的大额存款的年利率为，某人存入大额存款元，按照复利计算10年后得到的本利和为，下列各数中与最接近的是（    ） A．1.31 B．1.32 C．1.33 D．1.34 【答案】D 【分析】利用等比数列的通项公式、二项展开式计算可得答案. 【详解】存入大额存款元，按照复利计算， 可得每年末本利和是以为首项，为公比的等比数列， 所以， 可得， 故选：D. 5.一组数据按照从小到大的顺序排列为0，2，4，5，6，8，记这组数据的上四分位数为，则二项式展开式的有理项共（    ）项 A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】求出“0，2，4，5，6，8”这组数据的上四分位数，代入二项式，并写出二项式展开式的通项，分析其有理项,即可得到答案. 【详解】“0，2，4，5，6，8”，这组数据共有6个数，所以， 所以这组数据的上四分位数为第5个数，即6. 二项式展开式的通项为：. 当分别取时，是整数，为有理项，所以共有4项. 它们分别是： 故选：B. 6.已知为满足能被9整除的正整数的最小值，则的展开式中，系数最小的项为（    ） A．第6项 B．第7项 C．第11项 D．第6项和第7项 【答案】A 【分析】根据二项式系数和的特征得到，写出的展开式，即可得到能被整除，从而求出的取值，即可确定的值，再根据二项式系数的特征及展开式的通项分析可得. 【详解】， ， ， 则 ， 显然为正整数， 能被9整除， 又且能被9整除，能被9整除， ，则， 因为是满足条件的正整数的最小值，而满足条件的， 故取时，有最小值，所以， 所以， 的展开式中，二项式系数最大的项为第6项和第7项， 又的展开式的通项公式为 ， 展开式系数为，要使系数最小， 则系数须为负值（即为奇数），且其绝对值最大. 当为奇数时，在时取得最大值， 故系数最小的项为第项. 故选：A. 7.（多选）已知，则（   ） A．的值为 B．的值为30 C．的值为 D． 【答案】AB 【分析】令 ，即可判断 ；利用二项式展开得通项，结合乘法得分配律即可判断 ；分别令 和 即可判断 ；令 即可判断 . 【详解】对于 ，令 ，则 ，故 正确； 对于B， 先将展开，其通项公式为， 展开式中的系数为展开式中的系数与的系数之和， ，故B正确； 对于 ，令 ，则 ， 令 ，则 ， 则 ， 故 错误； 对于 ，令 ，则 ， 所以，D错误. 故选： AB 8.（多选）我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中展示了二项式系数表，数学爱好者对杨辉三角做了广泛的研究，则下列结论正确的是（    ）．    A． B．第2024行的第1012个和第1013个数字最大 C．第6行、第7行、第8行的第7个数字之和等于第9行的第7个数字 D．第34行从左到右第14个数与第15个数之比为2∶3 【答案】AD 【分析】利用组合数运算公式计算可判断A；若n是偶数，则第个数字最大，即可判断B；根据规律确定数字，即可判断C；根据规律确定第34行第14个数字与第15个数字即可判断D. 【详解】对于A，，，故A正确； 对于B，由图可知，第n行有个数字，若n是奇数，则第个和第个数字最大，且这两个数字一样大；若n是偶数，则第个数字最大，故第2024行的第1013个数字最大，故B错误； 对于C，第6行、第7行、第8行的第7个数字分别为1，7，28，其和为36，第9行第7个数字是84，故C错误； 对于D，依题意，第34行第14个数字是，第34行第15个数字是， 所以，故D正确． 故选：AD. 9.（多选）设，则下列选项正确的是（   ） A． B． C．，，，…，中最大的是 D． 【答案】ABC 【分析】设，利用通项公式求得含的系数判断A，利用赋值法求解判断BD，结合二项式系数的单调性及系数的正负判断系数最大项即可判断C. 【详解】设，则， 二项式的展开式通式，由，选项A正确； 令，则，选项B正确； 因为，当时，系数为正， 所以系数最大的是，选项C正确； 令，则，令， 则，，选项D错误. 故选：ABC. 10.在的展开式中，所有项的二项式系数和为，则展开式中的常数项为 ． 【答案】 【分析】由所有项的二项式系数和为得到，从而得到的值，设展开式中的常数项为项，求出，经过整理后设的次数为，解出的值，代入中求出常数项即可得解. 【详解】的展开式中，所有项的二项式系数和为，， ，， 设展开式中的常数项为项， 则， 故，解得， 则常数项为. 故答案为：. 11.展开式中二项式系数和为32，则展开式中的系数为 ． 【答案】-30. 【详解】分析：首先根据二项展开式中二项式系数和求得的值，之后将式子转化，即，结合与的展开式中，对应项的关系，分别去分析可能有哪些项乘积所得的，从而确定出各项的系数关系，最后求得结果. 详解：由展开式中二项式系数和为32，可得，解得，， 根据二项式定理可以求得的展开式中， 三次项、二次项、一次项系数和常数项分别是10、10、5、1， 的展开式中， 常数项及一次项、二次项、三次项的系数分别是-1、10、-40、80， 所以展开式中项的系数为. 12.已知的展开式的二项式系数和比的展开式的二项式系数和大992.求 的展开式系数最大项是第 项. 【答案】4 【分析】利用二项式系数的性质求出，再求出展开式的通项公式，利用作商法推断系数的单调性求得答案. 【详解】依题意，，即，所以,解得； 展开式的通项公式，令， 当时，，由，解得， 则，即最大， 所以展开式系数最大项是第4项. 故答案为：4 13.已知的展开式中第二、三、四项的二项式系数成等差数列． (1)求展开式中二项式系数和； (2)求展开式中二项式系数最大的项； (3)求展开式中系数绝对值最大的项． 【答案】(1)； (2)，； (3). 【分析】（1）由等差中项的性质及组合数公式列方程求得，进而可得二项式系数和； （2）根据二项式的性质知第4、5项的二项式系数最大，写出展开式通项，即可得对应项； （3）应用不等式法求系数绝对值最大项的，写出对应项. 【详解】（1）由题设且，则，故， 所以，则展开式中二项式系数和； （2）由（1）知，二项式共有8项，故其第4、5项的二项式系数最大， 又二项式展开式通项为，， 所以二项式系数最大的项为，； （3）由（2），系数绝对值最大，即最大，， 故，，则，可得，则， 所以，当时系数绝对值最大，则 14.已知，且展开式中有且仅有第6项的二项式系数最大. (1)求展开式的所有二项式系数之和； (2)求的值； (3)判断的展开式中第几项系数的绝对值最大. 【答案】(1)1024 (2) (3)第5项系数的绝对值最大 【分析】（1）由“第6项二项式系数最大”确定，利用二项式系数之和公式求解. （2）通过赋值得，赋值代入展开式，变形后求得目标式子的值. （3）写出展开式通项，建立不等式组求解系数绝对值最大的项对应的值，确定项数. 【详解】（1）因为展开式中第6项的二项式系数最大，所以， 所以展开式的所有二项式系数之和为. （2）令，得. 令，得， 所以. （3）展开式的通项. 由得. 因为r为整数，所以，所以的展开式中第5项系数的绝对值最大. 15.设函数． (1)若且，求； (2)当时，求展开式中系数最大的项； (3)当时，设n是正整数，t为正实数，实数t满足，求证：． 【答案】(1)或 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）利用二项展开式的通项公式求出列出方程解得，通过对赋值1求出展开式的各项系数和； （2）利用二项展开式的通项确定各项系数，再计算系数大于零的项的系数，从而可判断系数最大项； （3）利用已知等式求出的关系，代入不等式的左边利用二项式的展开式得到左边，将的关系代入右边得证． 【详解】（1）由题可得， 所以，则，故， 令可得各项系数之和为或； （2）当时，， 其展开式的通项为， 设展开式的系数为，为偶数时系数为正，为奇数时系数为负， 又， 所以展开式中系数最大的项为； （3）由可得， 即，所以， 所以， 而， 所以原不等式成立． 16.已知. (1)若，求的值. (2)已知展开式的所有二项式系数之和为256. （i）若，求的值； （ii）若，且，求的取值范围. 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【分析】（1）通过赋值法，结合已知条件列方程，求解的值. （2）（i）先由二项式系数之和的性质求出，再利用二项展开式的通项公式写出的表达式，列方程求解的值. （ii）根据是展开式中最大的系数，列出不等式，解不等式得到的取值范围. 【详解】（1）令，则， 令，则， 所以，故. （2）由二项式系数之和为，得，解得. （i）为展开式中的系数，即. 计算，故，得，即. （ii）当时，展开式中第项的系数为（）. 计算相邻两项系数的比值：，， 要使（），需为系数序列的最大值，满足： ①.序列递增到：对，，即， 此时对，，故，满足. ②.序列递减自：对，，即， 此时对，，故，满足. 综上所述，的取值范围是. 17.杨辉是我国古代数学史上一位著述丰富的数学家，著有《详解九章算法》《日用算法》和《杨辉算法》．杨辉三角的发现要比欧洲早年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的．杨辉三角本身包含了很多有趣的性质，利用这些性质，可以解决很多数学问题，如开方、数列等． 如我们最熟悉的完全平方公式，其中展开式的各项系数分别为，，． 补充一： 补充二：    (1)求图中第行的各数之和； (2)在杨辉三角中是否存在某一行，使该行中三个相邻的数之比为，若存在，试求出这三个数，若不存在，请说明理由； (3)杨辉三角是杨辉的一项重要研究成果，比如：从第行开始，除了以外，其他每个数是它肩上的两个数之和；请尝试证明：当、，，． 【答案】(1) (2)存在，且这三个数为，， (3)证明见解析 【分析】（1）利用题中公式可计算出图中第行的各数之和； （2）假设在杨辉三角数阵中，在第行存在三个相邻的数、、满足条件，利用题中公式可得出关于、的等式组，解出、的值，即可得出结论； （3）证明出当且、时，，然后利用题中性质可证得结论成立. 【详解】（1）由题意可得，，同理可得，， ，，，，， 所以，图中第行的各数之和为 . （2）假设在杨辉三角数阵中，在第行存在三个相邻的数、、满足条件， 即， 整理可得，解得， 所以存在相邻的三个数，，， （3）因为当且、时，， 故 ， 即当、，，. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 二项式定理 目录 类型一、二项展开式的特定项问题 类型二、二项式系数和及二项式系数最值问题 类型三、二项展开式的有理项问题 类型四、二项展开式系数最值问题 类型五、两个多项式积的展开特定项问题 类型六、三项式展开式问题 类型七、二项展开式各项系数和及奇次项与偶次项的系数和（赋值法） 类型八、近似计算问题 类型九、余数和整除的问题 类型十、杨辉三角问题 压轴专练 类型一、二项展开式的特定项问题 解题技巧： 公式特点： （1）它表示二项展开式的第项，该项的二项式系数是； （2）字母的次数和组合数的上标相同 例1-1．二项式的展开式的第四项为（   ） A． B． C． D． 例1-2．展开式中的常数项为160，则实数 ． 变式1-1．若的展开式中的系数为231，则 . 变式1-2．在的展开式中，常数项为84，则的系数为（    ） A． B． C．9 D．36 变式1-3．的展开式中的系数为 ． 变式1-4．已知，且，若的展开式中存在常数项，则展开式中的系数为 . 类型二、二项式系数和及二项式系数最值问题 解题技巧： 1.分清“二项式系数”和“项的系数” 二项式系数：只和展开式的项数位置有关，是固定的组合数。 项的系数：是这一项里所有数字的乘积，会受原式中字母系数的影响。 2.找二项式系数的最值规律 当总项数是偶数时，最中间那一项的二项式系数最大。 当总项数是奇数时，最中间的两项二项式系数相等，并且都是最大的。 3.用单调性判断最值 二项式系数从第一项开始先增大，到中间位置达到最大，之后再减小。可以通过比较相邻两项的大小关系，确定系数最大的项的位置。 4.验证结果，避免混淆 计算完成后，要明确题目问的是“二项式系数”的最值，还是“项的系数”的最值，避免因概念混淆而出错。 例2-1．的展开式中，各项的二项式系数和为64，则常数项为 例2-2．已知的展开式中二项式系数最大项仅为第4项，则其常数项为 . 变式2-1．展开式的二项式系数之和为1024，则 ；常数项为 . 变式2-2．的二项展开式中，二项式系数之和等于256，则二项展开式中二项式系数最大的项为（    ） A． B． C． D． 变式2-3．在二项式的展开式中. (1)若展开式后三项的二项式系数的和等于，求展开式中二项式系数最大的项； (2)若为满足的整数，且展开式中有常数项，试求的值和常数项. 变式2-4．已知二项式的展开式中各项的二项式系数之和为32． (1)求； (2)求展开式中含项的系数； (3)求展开式的第四项． 类型三、二项展开式的有理项问题 解题技巧： 1.先写通项，整理指数 写出展开式的通用项，把字母部分的指数合并成一个统一的表达式，这是判断有理项的基础。 2.锁定核心条件 有理项的关键要求是字母的指数必须为整数，以此作为唯一判断标准，与系数是否为整数无关。 3.确定序号的取值范围 根据指数为整数的要求，结合项数序号的取值范围，找出所有符合条件的序号，做到不重不漏。 4.处理多字母复杂情况 若展开式含多个字母，需保证每个字母的指数都是整数，再综合确定序号的最终取值。 5.代回验证，写出结果 把找到的序号逐一代回通项，验证指数是否符合要求，最终写出所有的有理项。 例3-1．在的展开式中，仅有第5项的二项式系数最大，则的展开式中有理项的项数是（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 例3-2．已知的展开式中，第二项系数与第三项系数之比为， (1)求展开式中二项式系数最大的项； (2)求展开式中所有的有理项. 变式3-1．已知在的展开式中，前项的系数分别为、、，且满足，求： (1)展开式中二项式系数最大项的项； (2)展开式中所有有理项． 变式3-2．已知在二项式的展开式中，前三项系数的和是97． (1)求的值； (2)求展开式中二项式系数最大的项； (3)求展开式中所有的有理项． 变式3-3．已知关于的二项式的二项式系数之和为32，其中. (1)若，求展开式中二项式系数最大的项； (2)若展开式中含项系数为40，求展开式中所有有理项的系数之和. 类型四、二项展开式系数最值问题 解题技巧： 求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式(组)、解不等式(组)的方法求解．一般地，如果第(k＋1)项的系数最大，则与之相邻两项第k项，第(k＋2)项的系数均不大于第(k＋1)项的系数，由此列不等式组可确定k的范围，再依据k∈N来确定k的值，即可求出最大项 例4．已知展开式的所有二项式系数之和为32，则展开式的各项中系数的最大值为（    ） A．252 B．210 C．120 D．10 变式4-1．在的展开式中，有且仅有项前的系数最大，则实数的取值范围是 变式4-2．已知的展开式中第项为，，且第三项和第九项的二项式系数相等． (1)求第四项的二项式系数与系数； (2)求二项式系数的最大值及展开式系数的最大值． 变式4-3．已知的展开式的第2项与第4项的二项式系数之比是． (1)求n的值； (2)展开式中的有理项共有几项？ (3)展开式中系数最大的项是第几项？ 变式4-4．设的第项系数为. (1)当时，求的最大值； (2)表示的整数部分，，求的值. 类型五、两个多项式积的展开特定项问题 解题技巧： 1.先看“目标幂次”，再找“配对方式” 先明确要找的是哪个幂次的项，再分析：从第一个多项式里选一项，从第二个多项式里选一项，两者的幂次相加等于目标幂次，所有这样的配对组合，就是构成目标项的来源。 2.按“幂次和”分类讨论 把所有能凑出目标幂次的“项对”一一列出来，比如要找含x5的项，就列出第一个多项式里x2乘第二个里x3等所有可能组合。 3.分别计算每一组的系数，再相加 对每一组配对，分别算出两个项的系数乘积，再把所有组的结果加起来，就是目标项的总系数。 4.优先用二项式展开简化多项式 如果其中一个或两个多项式是二项式，先把它们展开成标准的多项式形式，再按上面的方法找配对，避免直接乘开整个式子。 5.用“排除法”验证结果 算完后，可以用小范围列举或反向计算的方式，检查有没有漏掉或多算的配对，确保系数和的正确性。 例5．已知，则的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 变式5-1．在的展开式中，的系数为 . 变式5-2．的展开式中的系数为 变式5-3．的展开式中的系数为（    ） A．18 B．21 C．22 D．28 变式5-4．（1）的展开式中的常数项为 ； （2）的展开式中含项的系数为 ． 类型六、三项式展开式问题 解题技巧： 1.化三项为二项，降维处理 把三项式中的两项看成一个整体，先把它转化成二项式，再用二项式定理展开，最后再对里面的二项式进行二次展开，这样就能把复杂问题拆成熟悉的二项式问题。 2.按“整体展开”分步计算 先对转化后的二项式展开，得到若干项，再对每一项里剩余的二项式进行展开，最后合并同类项，得到三项式的完整展开式。 3.找特定项时，用“幂次和”定位 如果要找某个幂次的项，先在第一次二项式展开中，确定哪些项的幂次和目标幂次相关，再在二次展开时精确找到对应的项，最后把系数相加。 4.利用组合意义理解展开 三项式展开的每一项，都可以理解为从每个括号里选一个元素相乘，所以可以直接用组合计数的方法，找出所有能凑出目标幂次的选择方式，再计算系数 5.优先处理次数低的三项式 对于次数较低的三项式（如三次及以下），直接按多项式乘法展开，反而比分步转化更简单，不容易出错。 例6．的展开式中项的系数是 ． 变式6-1．在的展开式中，的系数为；在的展开式中，的系数为.则（    ） A．10 B． C． D． 变式6-2．已知展开式中有一项是，则 . 变式6-3．在展开式中，的系数为 ． 变式6-4．（1）在的展开式中，含的项为 ． （2）在的展开式中，的系数为 ． 类型七、二项展开式各项系数和及奇次项与偶次项的系数和 解题技巧： （1）“赋值法”普遍适用于恒等式,是一种重要的方法,若求其展开式各项系数之和,只需令未知数为1即可. （2）若,则展开式中各项系数之和为 （3）若,则奇数项系数之和为 偶数项系数之和为 例7．若，则的值为 . 变式7-1．（多选）已知，则下列选项中正确的是（    ） A． B．展开式中二项式系数的最大值为84 C． D． 变式7-2．若，则 ； ． 变式7-3．（多选）若，则（   ） A． B． C． D． 变式7-4．已知，求 (1)； (2)，． 类型八、近似计算问题 解题技巧： 在二项式近似计算中，优先选取展开式前2-3项简化运算，注意需远小于1以保证精度 例8．的小数点后第三位数字为（ ） A． B． C． D． 变式8-1． （小数点后保留三位小数）． 变式8-2．把实数写成十进制小数，则a的十分位、百分位和千分位上的数字之和等于（    ） A．0 B．9 C．27 D．前三个答案都不对 变式8-3．的小数点后第100位数字是 ． 变式8-4．已知m， n是正整数， 的展开式中x的系数为11. (1)试求中的系数的最小值； (2)对于使用中的系数为最小的m， n， 求出此时的系数； (3)利用上述结果，求的近似值(精确到0.001). 类型九、余数和整除的问题 解题技巧： 使用二项式定理处理整除与余数问题时，需将底数拆解为与除数相关的数（如除数倍数±余数），展开后剔除含除数因子的项，关注剩余部分。注意余数范围应为非负数且小于除数，若余数为负需调整 例9．已知，且恰能被整除，则的最小正整数取值为 ． 变式9-1．已知，设，若今天是星期一，则天后是星期 . 变式9-2．《孙子算经》对同余除法有较深的研究，设为整数，若和被除得余数相同，则称和模同余，记为，如12和7被5除得余数都是2，则记为.若，且，则可以为（    ） A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 变式9-3．已知为满足能被9整除的正整数的最小值，则的展开式中，系数最小的项为（    ） A．第6项 B．第7项 C．第11项 D．第6项和第7项 变式9-4．已知函数，. (1)当时，求的值； (2)若能被整除，求的最小值； (3)若，，且在中，存在连续三项，，的项的系数成等差数列，求和的值. 类型十、杨辉三角问题 解题技巧： 1.对应好“行数”和“二项式次数” 杨辉三角的第1行（最上面那行）对应次数为0的二项式，往下每一行依次对应次数增加1，每一行的数字，就是对应二项式展开的系数。 2.用“肩上两数相加”的规律写数 除了每行最左和最右的数字都是1以外，中间的每个数字，都等于它正上方偏左和正上方偏右两个数字的和，用这个规律可以快速写出任意一行的所有数。 3.用“左右对称”省力气 每一行的数字都是左右对称的，和首尾距离一样的两个数完全相等。利用这一点，算一半就能知道另一半，减少计算量。 4.记住“行和等于2的幂” 每一行所有数字加起来的和，等于2的“行数”次方（从0开始数行数），这个规律可以用来快速检查计算是否正确。 5.把三角问题转成二项式问题 遇到求某一行的和、找最大的数、判断数的奇偶性等问题时，可以把它看成二项式系数的问题，用二项式的性质来解决，思路会更清晰。 例10．（多选）我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了杨辉三角，杨辉三角是中国数学史上一项重要研究成果.从不同的角度观察杨辉三角，能得到很多优美的规律，如图是一个7阶的杨辉三角，则下列说法正确的是（    ） A． B．第10行所有数字之和为 C．第2026行的第1013个数最大 D．第15行中从左到右第4个数与倒数第4个数之比为1:3 变式10-1．如图所示，在杨辉三角中，斜线上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列：，，，，，，，记这个数列前项和为，则 ． 变式10-2．我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中展示了二项式系数表．数学爱好者对杨辉三角做了广泛的研究．下列结论不正确的是（   ） A． B．第2025行的第1013个数和第1014个数相等 C．在杨辉三角中，第行所有数字的平方和恰好是第行的中间一项的数字 D．记杨辉三角中第行的第个数为，则 变式10-3．杨辉是中国南宋末年的一位杰出的数学家、教育家，杨辉三角是杨辉的一项重要研究成果.杨辉三角中蕴藏了许多优美的规律，它的许多性质与组合数的性质有关，图1为杨辉三角的部分内容，图2为杨辉三角的改写形式 (1)求图2中第11行的各数之和； (2)从图2第2行开始，取每一行的第3个数一直取到第100行的第3个数，求取出的所有数之和； (3)在杨辉三角中是否存在某一行，使该行中三个相邻的数之比为3:8:14？若存在，试求出这三个数；若不存在，请说明理由. 变式10-4．杨辉是我国古代数学史上一位著述丰富的数学家，著有《详解九章算法》、《日用算法》和《杨辉算法》，杨辉在1261年所著的《解答九章算法》给出了如下图1所示的表，我们称这个表为杨辉三角，图2是杨辉三角的数字表示，杨辉三角的发现要比欧洲早500年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的． 杨辉三角本身包含了很多有趣的性质，利用这些性质，可以解决很多数学问题． 性质1：杨辉三角的第行就是的展开式的二项式系数； 性质2（对称性）：每行中与首末两端“等距离”之数相等，即； 性质3（递归性）：除1以外的数都等于肩上两数之和，即； 性质4：自腰上的某个1开始平行于腰的一条线上的连续个数的和等于最后一个数斜右下方的那个数，比如：，； 请回答以下问题： (1)求杨辉三角中第8行的各数之和； (2)在的展开式中，求含项的系数． 压轴专练 1.的展开式中的系数为（   ） A．162 B．168 C．180 D．185 2.已知，则的值为（　　） A．70 B．84 C．56 D．126 3.设，且，若能被9整除，则（    ） A．0 B．1 C．7 D．8 4.某银行在2024年初给出的大额存款的年利率为，某人存入大额存款元，按照复利计算10年后得到的本利和为，下列各数中与最接近的是（    ） A．1.31 B．1.32 C．1.33 D．1.34 5.一组数据按照从小到大的顺序排列为0，2，4，5，6，8，记这组数据的上四分位数为，则二项式展开式的有理项共（    ）项 A．3 B．4 C．5 D．6 6.已知为满足能被9整除的正整数的最小值，则的展开式中，系数最小的项为（    ） A．第6项 B．第7项 C．第11项 D．第6项和第7项 7.（多选）已知，则（   ） A．的值为 B．的值为30 C．的值为 D． 8.（多选）我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中展示了二项式系数表，数学爱好者对杨辉三角做了广泛的研究，则下列结论正确的是（    ）．    A． B．第2024行的第1012个和第1013个数字最大 C．第6行、第7行、第8行的第7个数字之和等于第9行的第7个数字 D．第34行从左到右第14个数与第15个数之比为2∶3 9.（多选）设，则下列选项正确的是（   ） A． B． C．，，，…，中最大的是 D． 10.在的展开式中，所有项的二项式系数和为，则展开式中的常数项为 ． 11.展开式中二项式系数和为32，则展开式中的系数为 ． 12.已知的展开式的二项式系数和比的展开式的二项式系数和大992.求 的展开式系数最大项是第 项. 13.已知的展开式中第二、三、四项的二项式系数成等差数列． (1)求展开式中二项式系数和； (2)求展开式中二项式系数最大的项； (3)求展开式中系数绝对值最大的项． 14.已知，且展开式中有且仅有第6项的二项式系数最大. (1)求展开式的所有二项式系数之和； (2)求的值； (3)判断的展开式中第几项系数的绝对值最大. 15.设函数． (1)若且，求； (2)当时，求展开式中系数最大的项； (3)当时，设n是正整数，t为正实数，实数t满足，求证：． 16.已知. (1)若，求的值. (2)已知展开式的所有二项式系数之和为256. （i）若，求的值； （ii）若，且，求的取值范围. 17.杨辉是我国古代数学史上一位著述丰富的数学家，著有《详解九章算法》《日用算法》和《杨辉算法》．杨辉三角的发现要比欧洲早年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的．杨辉三角本身包含了很多有趣的性质，利用这些性质，可以解决很多数学问题，如开方、数列等． 如我们最熟悉的完全平方公式，其中展开式的各项系数分别为，，． 补充一： 补充二：    (1)求图中第行的各数之和； (2)在杨辉三角中是否存在某一行，使该行中三个相邻的数之比为，若存在，试求出这三个数，若不存在，请说明理由； (3)杨辉三角是杨辉的一项重要研究成果，比如：从第行开始，除了以外，其他每个数是它肩上的两个数之和；请尝试证明：当、，，． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $