23.4 实际问题与一次函数 课件 2025-2026学年人教版八年级数学下册

该初中数学课件聚焦一次函数与几何综合，涵盖动点坐标设定、三角形面积计算（铅锤法、和差法）、等腰三角形存在性及最值模型等核心知识点。课堂导入从一次函数解析式求解过渡到几何综合，通过表格归纳动点设参方法，分情况总结面积计算思路，搭建从基础到综合的学习支架。 其亮点在于以分类讨论和模型应用为核心，结合数学思维（推理意识、运算能力）与数学语言（模型意识）。例如等腰三角形存在性问题分三种情况分析培养推理能力，铅锤法解决非坐标轴三角形面积体现运算技巧，设置“思考”拓展题激发创新意识。学生能提升综合解题能力，教师可获得系统的分层教学资源。

23.4 一次函数 第二十三章 一次函数 第10课时 一次函数与几何综合 一次函数与面积问题的常见解题思路： 1．求动点坐标时，可根据动点所在的不同位置设参． 动点位置 设动点坐标 x轴 （m，0） y轴 （0，m） 直线y＝kx＋b （m，km＋b） 直线x＝a （a，m） 直线y＝b （m，b） 2.求三角形的面积． ①当三角形至少有一边在坐标轴上或与坐标轴平行时． 图4 图5 图4：S△ABC＝ |yC|·|xB－xA|. 图5：S△ABC＝ |yA－yB|·|xC－xA|. ②当三角形的三边都不与坐标轴平行时，采用和差法． 图6　　　　　　图7 思路1（铅锤法）： 图6：S△AOB＝S△AOC＋S△BOC＝ |yA－yB|·|xC|. 图7：S△AOB＝S△AOC＋S△BOC＝ |xA－xB|·|yC|. 例1　如图1，直线l1：y＝kx＋b与x轴、y轴分别交于点A，B，OA＝4，OB＝3. （1）点A的坐标为__________，点B的坐标为__________，直线l1的函数解析式为_____________. 图1 （－4，0） （0，3） （2）如图2，若直线l2：y＝－ x与直线l1交于点P，则点P的坐标为__________，△AOP的面积为__________． 图2 （3）在（2）的条件下，若点M是第一象限内直线l1上的一个动点，S△OPM＝4，求点M的坐标． 根据题意，得S△OPM＝S△OPB＋S△OMB＝4， （4）如图3，若N是直线l3：y＝－ x＋1上一动点，直线l3分别交x轴、直线l1于点C，D，当S△AOB＝2S△ADN时，求点N的坐标． 图3 思考：若改为“当S△ADN＝S△BON时，求点N的坐标”，该如何解答？ 思路2：延长AB（或延长BA）. 图8：S△AOB＝S△AOE－S△BOE＝ |xE|·|yA－yB|. 图8 3.已知面积或面积关系求点坐标：设点坐标，根据题干给出的面积或面积关系建立方程，解方程求得点坐标． 注：线段长是正值，但坐标有正有负，因此在将线段长度转化为点坐标时，一般要用到分类讨论思想． 4．常见的最值模型： ①点到直线的最短距离（垂线段最短） 已知点A和直线l，在直线l上找一点P，使得线段AP的值最小． ②“将军饮马模型” 已知点A，B和直线l，在直线l上找一点P，使得PA＋PB的值最小 两点在直线的异侧 两点在直线的同侧 领跑作业本 · 数学（八年级下册RJ） 5.等腰三角形的存在性问题： 解决等腰三角形的存在性问题时，若等腰三角形的腰和底不确定，常需要进行分类讨论．　 （5）①若G是直线l1上一动点，则线段OG的最小值是__________； ②如图9，已知点Q（4，a）在直线l1上，在x轴上找一点R，使BR＋QR的值最小，并求出点R的坐标． 图9 答图1 ∴Q（4，6）. 如答图1，作点B关于x轴的对称点B′，连接B′Q， 交x轴于点R，连接BR. 由轴对称的性质，得B′（0，－3），B′R＝BR，此时BR＋QR的值最小． 设直线B′Q的函数解析式为y＝ax＋c（a≠0）. 领跑作业本 · 数学（八年级下册RJ） （6）在x轴上是否存在一点E，使得△ABE为等腰三角形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 答图2 如答图2，分三种情况： ①当AB＝AE时，点E可能在x负半轴上， 也可能在x轴正半轴上．OE1＝AE1－OA＝1， OE2＝AE2＋OA＝9， ∴E1（1，0），E2（－9，0）. ②当BA＝BE时，点E与点A关于y轴对称．∴E3（4，0）. ③当EA＝EB时，点E在线段AB的垂直平分线上． 设点E4的坐标为（e，0），则AE4＝BE4＝4＋e. 在Rt△OBE4中，由勾股定理，得OE24＋OB2＝BE24， 即e2＋32＝（4＋e）2. 随堂练习 图1 （2）求S△AOC-S△BOC的值； 图1 （3）若P为直线l1上的一个动点，且不与点A，B重合，当△BOP的面积是5时，求点P的坐标. 图1 2.如图2，一次函数y=kx+b的图象分别与x轴、y轴交于点A，B，且OA=2OB=4，点C在直线AB上，其纵坐标为5. （1）求该一次函数的解析式及点C的坐标； 图2 （2）在x轴上找一点P，连接PB，PC，使△PBC的周长最小，并求出点P的坐标； 图2 如答图1，作点B关于x轴的对称点D，连接CD，交x轴于点P，则点P即为所求. ∴BP+CP=DP+CP=CD，此时PB+PC最小，即△PBC的周长最小. 由轴对称的性质可知，D（0，-2）. 设直线CD的解析式为y=mx+n. （3）在（2）的条件下，求出△BCP的面积. 图3 ① （2）当DE=CE时，求m的值； 图3 ① （3）如图3②，连接AD，BD，在点C运动的过程中，当△ADB的面积等于△AOB的面积时，求m的值. 图3 ② 　4.如图3，直线l1：y＝2x与直线l2：y＝kx＋b交于点A（1，a），直线l2与x轴交于点B（－2，0），与y轴交于点C. （1）求直线l2的函数解析式； 图3 解：（1）将A（1，a）代入y＝2x，得a＝2.∴A（1，2）. 将A（1，2），B（－2，0）代入y＝kx＋b， （2）若点D在直线l2上，且△OAD的面积为△BOC面积的2倍，求点D的坐标． ②当点D在点A左侧时， ①当点D在点A右侧时， 5.如图4，在平面直角坐标系中，直线y=2x+6与x轴、y轴分别交于点A，C，过点C的一条直线与x轴交于点B（6，0）. （1）求直线BC的函数解析式； 图4 （2）已知D是x轴上一点，当△ACD是等腰三角形时，求点D的坐标； 如答图2，分三种情况： 答图2 答图2 （3）G是线段BC上一动点，若线段AG把△ABC的面积分成1∶2的两部分，请求点G的坐标. 图4 图4 题型突破 类型 一次函数图象与系数的关系 1．已知一次函数y＝kx＋b的图象如图1所示，则k，b的取值范围是（　　） A．k＞0，b＞0 B．k＞0，b＜0 C．k＜0，b＞0 D．k＜0，b＜0 图1 B 2．在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax和y＝x＋a（a为常数，且a≠0）的图象可能是（　　） D 类型 与一次函数有关的规律探究问题 3．如图2，在平面直角坐标系中，直线l是函数y＝x的图象，点A1在x轴正半轴上，OA1＝1.作A1B1⊥x轴交直线l于点B1，以O为圆心，OB1长为半径画弧，交x轴正半轴于点A2，作A2B2⊥x轴交直线l于点B2，以O为圆心，OB2长为半径画弧， 交x轴正半轴于点A3，……按此作法进行 下去，则点A2 025的横坐标为__________. 图2 21 012 4．如图3，在平面直角坐标系中，函数y＝2x和y＝－x的图象分别为直线l1，l2，过点（1，0）作x轴的垂线交l1于点A1，过A1点作y轴的垂线交l2于点A2，过点A2作x轴的垂线交l1于点A3，过点A3作y轴的垂线交l2于点A4，……依次进行下去，则点A2 025 的坐标为（　　） A．（21 012，21 013） B．（－1 0122，1 012 2） C．（－21 013，21 013） D．（21 012，21 012） 图3 A 类型 与一次函数有关的动点图象问题 5．如图4，正方形ABCD的边长为4，动点P从点B出发沿折线BCDA做匀速运动，设点P的运动路程为x，△PAB的面积为y.下列图象能表示y与x之间函数关系的是（　　） D 6．如图5①，在一个矩形纸板的一角剪掉一个小矩形，动点P从点A出发，沿路径A→B→C→D→E→F匀速运动，速度为1 cm/s， 点P到达终点F后停止运动，△APF的面积S（单位：cm2，S≠0）与点P的运动时间t（单位：s）的关系如图5②所示，点P从点E运动到点F需要的时间是（　　） A．4 s B．5 s C．6 s D．7 s 图5 C 7．如图6①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D是BC的中点，动点P从点C沿出发沿折线CAB匀速运动到点B.设点P的运动路程为x，△PCD的面积为y，y关于x的函数图象如图6②所示，则△ABC的面积为（　　） 图6 A．9 B．12 C．16 D．32 C 谢谢观看！ $