湖北省仙桃中学2026届高三年级5月半月考数学试卷

仙桃中学第二次半月考数学试卷 满分：150分时间：120分钟 一、单选题 1．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 2．已知抛物线的焦点为，准线为，为上一点，为上一点．若是正三角形，则的边长为（ ） A．2 B．3 C． D．4 3．已知向量，，，，均为实数，且，，则（ ） A．25 B．16 C．5 D．4 4．已知函数的值域为，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 5．某同学制作了一个质地均匀的正四面体形骰子，在其中三个面分别写上一个数字1、2、3，第四个面写了三个数字1，2，3，随机抛掷一次，事件表示向下的面上有数字1，事件表示向下的面上有数字2，事件表示向下的面上有数字3，则（ ） A．事件与事件互斥 B．事件与事件相互独立 C．事件与事件互斥 D．事件与事件相互独立 6．艺术家埃舍尔的作品展示了数学之美，如图①是其作品《星空》中的一部分，由正方体和正八面体相互交叉形成的组合体，可抽象为图②所示的图形．若正八面体的棱长均为2，且相交处均为棱中点，则两个几何体相交后公共部分形成的几何体的体积是（ ） A． B． C． D． 7．已知函数的定义域为，，，，且，则（ ） A． B． C． D． 8．如图，已知函数的部分图象与圆的两个公共点，，当时，的图象无限逼近轴，则下列选项正确的是（ ） A． B． C． D． 二、多选题 9．如图，正方体中，点，分别为，的中点，则（ ） A． B．平面 C． D．平面 10．已知，则下列正确的是（ ） A．直线为的切线 B．若，则 C．若在上单调递增，则 D．设，为曲线在，处的两条切线，若，则 11．已知的面积为，若，，则（ ） A． B． C．的外接圆半径为1 D． 三、填空题 12．已知，为虚数单位，复数为纯虚数，则________． 13．已知是椭圆的内接三角形，其中原点是的重心，若点的横坐标为，直线的倾斜角为，则椭圆的离心率为________． 14．某文件被切分成个独立分片上传云端，每个分片上传成功的概率为，且相互独立．当成功上传了个分片时，文件可被成功恢复的概率为．为使文件最终成功恢复的概率不小于，正整数的最小值为________．（参考数据：，） 四、解答题 15．已知等差数列满足，． （1）求的通项公式； （2）等比数列的前项和为，且，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中任选择两个作为已知条件，求满足的的最大值．条件①：；条件②：；条件③：． 16．脑机接口，即指在人或动物大脑与外部设备之间创建的直接连接，实现脑与设备的信息交换．近日埃隆马斯克宣布，脑机接口公司Neuralink正在接收第二位植入者申请，该试验可以实现意念控制手机和电脑．未来10到20年，我国脑机接口产业将产生数百亿元的经济价值．为了适应市场需求，同时兼顾企业盈利的预期，某科技公司决定增加一定数量的研发人员，经过调研，得到年收益增量（单位：亿元）与研发人员增量（人）的10组数据．现用模型①，②分别进行拟合，由此得到相应的经验回归方程，并进行残差分析，得到如图所示的残差图． 根据收集到的数据，计算得到下表数据，其中，． 7.5 2.25 82.50 4.50 12.14 2.88 （1）根据残差图，判断应选择哪个模型；（无需说明理由） （2）根据（1）中所选模型，求出关于的经验回归方程并用该模型预测，要使年收益增量超过8亿元，研发人员增量至少多少人？（精确到1） 附：对于一组具有线性相关关系的数据，，…，，其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，． 17．如图，四边形是边长为1的正方形，四边形是梯形，，，是BC上的点，且，平面平面． （1）证明：，，，四点共面； （2）设，且点，，，均在球的球面上． （ⅰ）求点到平面的距离； （ⅱ）记为球面上到点距离最小的点，求直线与平面所成角的正 弦值． 18．已知双曲线，是其右顶点，定点，动点，直线交于点；连接并延长交于点． （1）若，证明：为的左顶点； （2）设直线，的斜率分别为，，求证：是定值； （3）若的面积为，求点坐标． 19．已知函数． （1）当时，求的最小值； （2）当时，，求的取值范围； （3）已知点，按照如下方式依次构造点：过点作曲线的切线与轴交于点，令为过点且斜率为0的直线与曲线的交点，记的面积为，，证明：． 学科网（北京）股份有限公司 $