辽宁朝阳市建平县实验中学2025-2026学年高二下学期第二次阶段性训练数学试题

建平县实验中学高二年级第二次阶段性训练（数学） 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分，满分150分，考试时间120分钟．202605 2．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的，在试题卷草稿纸上答案无效 3．本试卷命题范围：人教B版选择性必修第二册第四章，选择性必修第三册 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求． 1．函数在区间上的平均变化率为（ ） A．3 B．-3 C．2 D．-2 2．数列1，3，6，10，15，…的一个通项公式为（ ） A．， B．， C． D． 3．先后抛掷两枚均匀的硬币，设正面朝上的硬币数为，则表示的是（ ） A．第一次抛硬币 B．恰有一枚硬币正面朝上 C．硬币正面朝上面的数字是1 D．先抛一枚硬币 4．函数，，则（ ） A． B． c． D．，的大小关系不能确定 5．已知回归方程，则该方程在样本处的残差为（ ） A．-2 B．1 C．2 D．5 6．定义在上的函数和，其各自导函数和的图像如图所示，则函数其极值点的情况是（ ） A．只有三个极大值点，无极小值点； B．有两个极大值点，一个极小值点； C．有一个极大值点；两个极小值点； D．无极大值点，只有三个极小值点． 7．已知数列的前项和为，若，则的值是（ ） A．36 B．88 C．128 D．136 8．已知定义在区间上的奇函数，对于任意的满足（其中是的导函数），则下列不等式中成立的是（ ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的有（ ） A．若，则 B．已知事件A，B互斥，，，则 C．已知事件A，B相互独立，，，则 D．若，且，则 10．对于函数，下列说法正确的是（ ） A．在处取得极大值 B． C．有两个不同的零点 D． 11．下列命题正确的是（ ） A．已知为等差数列的前项和，若（，且），则； B．已知是等比数列的前项和，若，，则； C．“等额本息还款法”中每一期还款数构成的数列是常数列； D．下图（1）是一个边长为1的正三角形，将每边3等分，以中间一段为边向外作正三角形，并擦去中间一段，得图（2）如此继续下去，得图（3）……则第个图形的周长为． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知两个随机事件，，若，，则__________； 13．已知，则通过导数求的近似值为__________（用分数表示）； 14．在项数为奇数的等差数列中，奇数项之和为220，偶数项之和为165，则此数列的中间项是__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 已知数列的前项和为，且，，求的值． 16．（15分） 已知函数． （1）求函数在处的切线方程； （2）求函数的单调区间和极值． 17．（15分） 已知数列满足，， （1）若，求数列的通项公式； （2）若，设，求数列的前项和． 18．（17分） 某校举办了一次安全知识竞赛，竞赛分为预赛与决赛，预赛通过后才能参加决赛，预赛从8道题中任选4道作答，答对3道及以上则进入决赛，否则被淘汰． （1）若这8道题中甲同学能答对其中4道，记甲在预赛中答对的题目个数为，求的分布列并计算甲进入决赛的概率； （2）决赛需要回答3道同等难度的题目，若全部答对则获得一等奖，奖励200元；若答对2道题目则获得二等奖，奖励100元；若答对1道题目则获得三等奖，奖励50元；若全部答错则没有奖励，假定进入决赛的同学答对每道题目的概率均为（），且每次答题相互独立． （ⅰ）记进入决赛的某同学恰好获得二等奖的概率为，求的最大值； （ⅱ）某班共有4名学生进入了决赛，若这4名同学获得总奖金的期望值不小于325元，求此时的取值范围． 19．（17分） 已知函数，若有三个实数根，，且． （1）求实数的取值范围； （2）求证：①； ②． 学科网（北京）股份有限公司 $建平县实验中学高二下学期第二次阶段考试 数学试卷参考答案 一、ACBC ACDB 二、BC ABD ACD 三得 13.161 14.55. 80 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15(13分).答案a。=2 【解析】令m=1,则Sn+S=S+n, 5分 S-S,=S=a=2, 10分 ∴.ao=S0-Sg=a=2 13分其他方法合理就给分 16.(15分) 【答案】(1)y=-3x+6 (2)单调增区间为(0,1)，（3，+0)，单调减区间为1,3)；极大值为2，极小值为-2. 【解析】(1)函数f(x=x3-6x2+9x-2的定义域为R.导函数f'(x)=3x2-12x+9.2分 所以f'(2)=12-24+9=-3,f(2)=23-6×22+9×2-2=0, 4分 所以函数f(x)在点x=2处的切线方程为y=-3x-2),即y=-3x+6. 6分 (2)令f'(x)=0,解得：x=1或x=3. 8分 列表得： x (-00,1) (1,3 (3,+00 f(x) × 2 -2 f(x) 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 11分 所以函数f(x)的单调增区间为(-0,1)，（3，+0)；单调减区间为1,3)； 13分 f(x)的极大值为f1)=2,极小值为f(3=33-6×32+9×3-2=-2. 15分 17.(15分) 答案为：(1)an=-1.(2)Tn=（5-3n·2m+-10 【解析】由己知an1=2an+1, 故an+1+1=2an+2=2(a,+1. (1)4=-1时，a,+1=0,故an+1=0, 故an=-1. 4分 （2):4=1,÷4+1=2,由(1)得0+=2，a,+是2为首项，2为公比的等比数列 a+1 an+1=2",an=2-1, 6分 bn=2-3n2" 7分 Tn=b+b2+b+…+bn+b 令cn=-b,=（3n-2)·2”,设数列{cn}的前n项和为A,则Tn=-A 8分 An=G+C2+C3+…+C-1+Cm =2+4×22+7×23+…+(3n-5)×2m-+(3n-2）×2”① 2An=22+4×23+7×24+…+(3n-5)×2”+3m-2×2m1② ①-②得 -An=2+3×22+3×2+3×24+…+3×2-(3n-2×21 =2+322+23+24+…+2"）-(（3n-2)×2 ，2(1-2） =2+3× -(3n-2×21=3×2-10-(3n-2×2* 13分 1-2 -An=(5-3n)×2m1-10 14分 .Tn=（5-3n×2m+1-10 15分其他做法酌情对应给分 (2)(i)4 sp<1 1 18.(17分)(1)见解析 (i) 【解析】(1)由已知X的取值为0,1,2,3,4， 1分 PX=0-g=石Px==cg8 C470 P(X=2)-CC=18 所以X的分布列为 X 0 2 4 1 8 18 8 P 70 35 35 35 70 5分 中旺人读素的框家为P=P代X=3小+PX=-多+力-号 6分 (2)(i)由题意得fp)=C3p2(1-p=3p-3p3(0<p<1), ®p=6p-9p2=3p2-3pl=0,解得p=3 当0p号计，八p川>0，小率抓告号cp<1了p小0.1昆减 s)-) 可得f(p)的最大值为。 4 10分 (ⅱ)由题可设每名进入决赛的学生获得的奖金为随机变量Y, 则Y的可能取值为0,50,100,200， 11分 所以P(Y=0)=C(1-p)3,P(Y=50)=C3p(1-p)2, P(Y=100)=C3p2(1-p),P(Y=200)=Cp3, 所以E(Y)=50Cp(1-p)+100Cp2(1-p)+200Cp =50p3+150p, 14分 可得4E(Y)≥325，即200p3+600p≥325， 整理得8p3+24p-13≥0， 15分 由8p3+24p-13=(8p3-1+12(2p-1=(2p-1(4p2+2p+1+1220, 12p-训p+2p*l-4-e+≥0 解得2p<1, 17分 19.(17分)(1)（0，e (2)见解析 【解析】(1)令f(x=x+2ex-a=0,可得x+2ex=a. 设gx)=x+2e,则函数gx)的图象与y=a有三个交点. 1分 当x<-2时，gx)=-(x+2)小e，则g'(x=-[e-(x+2小e]=(x+1e<0. 则函数gx)在区间(-o0,-2)上单调递减； 3分 当x≥-2时，gx=(x+2e",则g'(x=e"-(x+2ex=-x+1ex. 当-2<x<-1时，g'(x)>0;当x>-1时，g'x)<0, 则函数g(x)在区间(-2，-1上单调递增，在区间(-l,+0)上单调递减，则g(x)极大值=g(-1)=e, 当x,-0时，g)=x+2→0，当x→+0时，8到=+2,0， 6分 e er 函数gx)的大致图象如图， y=a y=g(x) -10 \2 要使直线y=a与函数gx)的图象有三个交点，需使0<a<e. 即实数a的取值范围为0<a<e. 8分 (2) ①由(1)可知g(x2)=gx3)，-2<x2<-1<3 设F(x)=gx)-g-2-x),-2<x<-1, 则F'(x=g'(x+g'(-2-x=-(x+1e+(x+1e+2=(x+1e+2-e）, 当-2<x<-1时，因x+1<0,e+2<e,则F'(x)>0,故F(x)在区间(-2，-1)上单调递增， 故F(x)=gx-g-2-x<F(-1=0,即gx)<g-2-x),则gx2<g-2-x2). 又gx2)=gx)，故gx3)<g(-2-x2).因-1<-2-x3<0,x3>-1, 由(1)知g(x)在区间(-1，+∞)上单调递减，则x>-2-x2,即x,+x,>-2. 13分 ②过点(-2,0)和(-1，e的直线l的方程为y=ex+2), 由图知直线L即为曲线y=gx)(x≥-2)的割线. 当-2<x<-1时，(x+2)e-e(x+2)=(x+2)(e-e>0, 则函数y=gx)(-2<x<-1)的图象总在直线4上方. 过点(-2,0)且与函数y=gx(x≤-2)的图象相切的直线1，的方程为y=-e2(x+2). 当x<-2时，-(x+2e-[-e2(x+2]=(x+2(e2-e）>0, 则函数y=g(x(x<-2)的图象总在直线l,上方，如图所示。 设直线，l,与直线y=a(a∈(0，e))的交点横坐标分别为x4,x, 则可斑<=君-2.>=号-2. e 放g-<-%-总-2-（是-2小日3) 17分