期末考试必考题型（二）——方程组与不等式的实际应用（2大考点11类题型）- 2025-2026学年苏科版七年级数学下册基础知识专项突破讲练

期末考试必考题型（二）——方程组与不等式的实际应用（2大考点11类题型） 目录 一.必考点知识回顾 1 【考点一】二元一次方程组实际应用 1 【考点二】一元一次不等式（组）实际应用 2 二.必考题型精析 2 【考点一】二元一次方程组实际应用 2 【题型 1】 和差倍分问题（6题） 2 【题型 2】 行程问题（6题） 4 【题型 3】 工程问题（6题） 5 【题型 4】 配套问题（6题） 6 【题型 5】 利润与营销问题（6题） 7 【考点二】一元一次不等式（组）实际应用 8 【题型 6】分配问题（6题） 9 【题型 7】方案选择问题（6题） 9 【题型 8】营销与利润问题（6题） 10 【题型 9】限额类问题（6题） 11 【考点三】二元一次方程组与一元一次不等式（组）实际应用综合 12 【题型 10】方案问题（6题） 12 【题型 11】营销与利润问题（6题） 13 一.必考点知识回顾 【考点一】二元一次方程组实际应用 1、 解题通用步骤： （1）审：审题，找已知量、未知量；（2）设：设未知数；（3）列：根据等量关系列方程组；（4）解：解方程组；（5）验：检验结果合理性；（6）答：规范作答。 2、高频经典题型 （1）和差倍分问题：利用数量之间和、差、倍数关系列式； （2）行程问题：相遇、追及、航行问题（路程 = 速度 × 时间）； （3）工程问题：工作总量 = 工作效率 × 工作时间，常设总工作量为1； （4）配套问题：根据部件配比关系建立等量关系； （5）利润与计费问题：结合单价、数量、总价、分段收费列式。 【考点二】一元一次不等式（组）实际应用 1、解题通用步骤： （1）审题；（2）设未知数；（3）找不等关系；（4）列不等式（组）；（5）求解集；（6）结合实际取值（整数、正数等）；（7）确定方案，作答。 2、高频经典题型 （1）分配问题：物资、人员分配，结合数量限制列不等式； （2）方案选择问题：多套方案对比，求取最优方案； （3）最值问题：求最大量、最小量取值； （4）限额类问题：总量不超过、不少于某一数值类题型； 特别提示：注意实际问题中，人数、物品数、次数等必须取非负整数。 二.必考题型精析 【考点一】二元一次方程组实际应用 【题型 1】 和差倍分问题（6题） 1．（24-25八年级上·江西吉安·期末）某校150名学生参加数学竞赛考试，平均每人55分，其中及格人数人均77分，不及格人数人均47分，设及格的学生有x人，不及格的学生有y人，则x，y的值是（  ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·湖南永州·期末）5月31日至6月2日，2024年国家非遗道州龙船赛在潇水河上隆重举行．道州龙船船头造型分龙、虎、凤、麒麟四大类，按色彩又分“六龙五虎”和“金凤银麒”，代表着每个村落社区特有的宗族信仰、文化标识和审美意趣．据了解本次比赛共计条龙船参赛，创造了一项新的吉尼斯世界纪录，其中“六龙五虎”龙船数量比“金凤银麟”龙船数量的倍少条，则参赛的“金凤银麒”龙船为______条． 3．（24-25七年级上·广东广州·期末）据人民日报报道，中欧班列自2013年诞生后运行的十余年来，通达欧洲25个国家227个城市，亚洲11个国家超100个城市，累计运送货物超1100万标箱、货物品类达53大类5万余种．某贸易公司因业务需要租用A、B两种标箱共22个，其中租用A种标箱每个4万元，租用B种标箱每个6万元，共支付租金108万元． （1）将“1100万”用科学记数法法表示，可记为______； （2）求该贸易公司租用A、B两种标箱各多少个？ 4．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）某学校复印社购进一批白色复印纸和彩色复印纸，若购进白色复印纸2箱，彩色复印纸3箱共需700元，若购进白色复印纸5箱，彩色复印纸2箱共需760元． （1）求白色复印纸和彩色复印纸每箱各多少元． （2）该复印社计划整箱购进这两种复印纸，费用恰好为1160元，问两种复印纸各购买几箱？ 5．（24-25八年级上·山东济南·期末）某校开设智能机器人编程的校本课程，购买了A，B两种型号的机器人模型．已知A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多200元，购买5台A型机器人模型的费用比购买7台B型机器人模型的费用多400元． （1）求A型，B型机器人模型的单价分别是多少元？ （2）现在需要购买A型号机器人模型5台，B型号机器人模型7台，求共需要花费多少钱？ 6．（22-23七年级下·河北沧州·期中）庚子鼠年，疫情肆虐，口罩成为生活必需品．甲、乙两厂分别有4条和5条口罩生产线，两厂计划用3天时间赶制1000箱口罩支援疫情．若甲厂启用1条乙厂启用2条生产线，一天可以生产口罩112箱；若甲厂启用2条乙厂启用3条口罩生产线，一天可以生产口罩189箱． （1）甲、乙两厂每条口罩生产线每天的产量各是多少箱？ （2）两厂满负荷生产，是否可以如期完成任务？ 【题型 2】 行程问题（6题） 1．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）甲、乙二人分别从相距的，两地出发，相向而行．如图是小华绘制的甲、乙二人运动两次的情形，设甲的速度是，乙的速度是，根据题意所列的方程组正确的是 （    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·全国·期末）某校组织学生举行“远足研学”活动，先以的速度走平路，然后又以的速度上坡，共用了，原路返回时，先以的速度下坡，然后又以的速度走平路，共用了，则“远足研学”全程是__________． 3．（2025七年级下·全国·专题练习）列二元一次方程组解应用题： 小明早上骑自行车上学，中途因道路施工步行了一段路，到学校共用20分钟．他骑自行车的平均速度是200米/分，步行的平均速度是70米/分，他从家到学校的路程是3350米．求小明骑自行车和步行的时间分别为多少分钟？ 4．（24-25七年级上·广西贵港·期末）小贵、小港两人从相距的两地相向而行． （1）若小贵比小港先走，则他们在小港出发后相遇；若小港比小贵先走，则他们在小贵出发后相遇，求小贵、小港两人每小时各走多少千米？ （2）如果他们同时出发，并保持（1）中的速度，那么后两人还相距多少千米？ 5．（24-25七年级下·海南海口·期中）甲、乙两车分别从相距千米的，两地相向而行． （1）两车均保持匀速行驶且甲车的速度是乙车速度的2倍，若甲车比乙车提前2小时出发，则甲车出发后3小时两车相遇．求甲、乙两车的速度分别是多少（单位：千米/小时）？ （2）如果甲、乙两车保持（1）中的速度，两车同时出发相向而行，求经过多少小时两车相距30千米？ 6．（26-27七年级上·安徽淮南·期末）苗苗同学在学习了二元一次方程组相关知识后，对汽车的轮胎磨损问题进行了探究． 根据资料显示，汽车的前轮胎比后轮胎磨损更为严重，如果只更换前轮胎，那么行驶时的安全性会下降，但是如果一起更换轮胎，汽车的维护成本将会提高．所以为了解决这个问题，我们可以定期交换前后轮胎． 某种汽车前轮胎行驶4万公里时报废，而后轮胎行驶6万公里时报废．轮胎报废的时候磨损程度为1． （1）该种汽车每行驶1万公里，前轮胎的磨损为，后轮胎的磨损为________； （2）假设该种汽车行驶x万公里之后，将前轮胎交换到了后轮的位置，然后继续行驶了y万公里后，此时轮胎的磨损程度为1．请依据上述信息，求出当前后轮胎一起报废时，汽车的行驶里程是多少万公里？ 【题型 3】 工程问题（6题） 1．（25-26八年级上·全国·课后作业）一份工作，甲、乙合作20天后乙再单独做8天才完成．若甲的效率提高，乙的效率提高，合作20天就可完成全部工作，则甲单独完成这份工作需（    ） A．28天 B．34天 C．48天 D．58天 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）某市在落实国家“精准扶贫”政策的过程中，为某村修建一条长为400米的公路，由甲、乙两个工程队负责施工．甲工程队独立施工2天后，乙工程队加入，两工程队联合施工3天后，还剩50米的工程．已知甲工程队每天比乙工程队多施工2米，则甲工程队每天施工________米，乙工程队每天施工________米． 3．（25-26八年级上·河南开封·阶段检测） 某工厂承接了一批加工任务，要求在规定时间内完成．如果每天加工个零件，那么在规定时间内只能完成任务的；如果每天加工个零件，那么可提前天完成任务，且多加工个零件．求规定的时间和这批零件的总数． 4．（25-26八年级上·四川成都·阶段检测）修建某一建筑时，若请甲、乙两个工程队同时施工，8天可以完成，需付两队费用共3520元；若先请甲队单独做6天，再请乙队单独做12天可以完成，需付两队费用共3480元，问： （1）甲、乙两队每天费用各为多少？ （2）若单独请某队完成工程，则单独请哪队施工费用较少？ 5．（25-26七年级下·福建泉州·期中）为了提高居民生活质量，推动城市可持续性发展，某地对部分老旧城区进行改造，在改造工程中，有一条2000米的道路需要改扩建，现有甲、乙两个工程队分别施工修路，甲队每天修建150米，乙队每天修建100米，两队施工的总时间是16天，则甲、乙两个工程队分别修建了多少天？ （1）小红同学根据题意，列出了二元一次方程组，那么这个方程组中未知数x表示的是______，未知数y表示的是______． （2）小丽同学设甲工程队修建了m天，乙工程队修建了n天．请你按照小丽的思路解答上面的问题 6．（25-26七年级下·山西临汾·期中）山西的老旧城区改造，在国家“城市更新行动”的指导下，已从单纯的“旧房翻新”升级为涵盖老旧小区、街区、城中村的综合整治与功能提升．为了提高居民生活质量，推动城市可持续性发展，某地对部分老旧城区进行改造，在改造工程中，有一条米的道路需要改扩建，现有甲、乙两个工程队分别施工修路，甲队每天修建米，乙队每天修建米，两队施工总时间是天，则甲、乙两个工程队分别修建了多少天？ （1）小红同学根据题意，列出了二元一次方程组那么这个方程组中未知数表示的是___________，未知数表示的是_________； （2）小丽同学设甲工程队修建了天，乙工程队修建了天．请你按照小丽的思路解答上面的问题． 【题型 4】 配套问题（6题） 1．（24-25七年级下·云南楚雄·期末）某工厂生产大型汽油桶，汽油桶由两个圆形铁片和一个长方形铁片构成现工厂共有名工人，其中每名工人每天可制作圆形铁片个或长方形铁片个为了使每天生产的铁片数量刚好配套成油桶，应如何安排工人进行生产？设安排人制作圆形铁片，人制作长方形铁片，可列方程组为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·山西吕梁·期末）七年级上册《实际问题与一元一次方程》中，有如下例题：某车间有名工人，每人每天可以生产个螺柱或个螺母．个螺柱需要配个螺母，为使每天生产的螺柱和螺母刚好配套，应安排生产螺柱和螺母的工人各多少名？学习了二元一次方程组后，可以用二元一次方程组解答此问题，设应安排名工人生产螺柱， 名工人生产螺母，则可列二元一次方程组为______． 3．（25-26七年级下·重庆万州·期中）“寒夜客来茶当酒，竹炉汤沸火初红．”茶作为中国传统文化的重要部分，茶具选择影响品茶体验．某茶具厂共有30名工人，每名工人一天能做30个茶杯或10个茶壶，如果6个茶杯和1个茶壶为一套． （1）该工厂应如何安排工人生产，才能使每天生产的茶杯和茶壶刚好配套？ （2）该工厂承接一批茶具订单，若由1人制作这批茶具需要400小时完成．现计划由一部分人先做10小时，然后增加5人与他们一起合作20小时，恰好完成这批订单，假设这些人的工作效率相同，具体应先安排多少人制作茶具？ 4．（25-26七年级下·山东东营·期中）某玩具厂共有名生产工人，每个工人每天可生产玩具车架个或车轮个，如果个车架与个车轮配成一套，那么每天安排多少名工人生产车架，多少名工人生产车轮，才能使每天生产出来的产品刚好配套？（利用二元一次方程组求解） 5．（2026·陕西西安·三模）如图，制作甲、乙两种无盖的长方体纸盒，需用正方形和长方形两种硬纸片，且长方形硬纸片的宽与正方形硬纸片的边长相等．用200张正方形硬纸片和400张长方形硬纸片制作这两种纸盒，纸片刚好用完且无剩余．求可以制作乙种纸盒多少个．（纸片连接处损耗不计） 6．（25-26七年级上·全国·期末）一工厂有名工人，要完成套产品的生产任务，每套产品由4个A型零件和3个B型零件配套组成，每个工人每天能加工6个A型零件或者3个B型零件．现将工人分成两组，每组分别加工一种零件，并要求每天加工的零件正好配套． （1）工厂每天应安排多少名工人生产A型零件？每天能生产多少套产品？ （2）现在工厂要在天内完成套产品的生产，决定补充一些新工人，这些新工人只能独立进行A型零件的加工，且每名新工人每天只能加工4个A型零件．请问至少需要补充多少名新工人才能在规定期限完成生产任务？ 【题型 5】 利润与营销问题（6题） 1．（25-26七年级下·河北石家庄·期中）某班需采购本和尺子作为奖品，尺子3套、本2个，共需34元；尺子2套、本3个，共需36元，通过设适当的未知量可列出方程组若用可得，下列关于“”的意义解释正确的是（    ） A．每套尺子比每个本贵2元 B．每套尺子比每个本便宜2元 C．尺子比本多买了2个 D．尺子比本少买了2个 2．（2026·山东青岛·二模）随着人工智能的发展，高性能芯片的需求越来越大，某科技公司计划投入一笔资金用来购买、两种型号的芯片．已知购买颗型芯片和颗型芯片共需要2000元，购买颗型芯片和颗型芯片共需要1450元．则购买颗型芯片需要______元． 3．（25-26七年级下·内蒙古乌兰察布·期中）某超市投入17600元的资金购进甲、乙两种饮料共700箱，饮料的成本和售价如表所示： 类别单价 成本 售价 甲 元箱 元箱 乙 元箱 元箱 （1）该超市购进甲、乙两种饮料各多少箱？ （2）全部售完700箱饮料，该超市共获得利润多少元？ 4．（25-26七年级下·海南海口·期中）海南自贸港离岛免税购物节期间，某免税店精华液与面膜热销．李女士买2瓶精华液和3盒面膜，共付款960元；王先生买1瓶精华液和4盒面膜，共付款780元． （1）求每瓶精华液和每盒面膜的单价． （2）张先生用1140元购买了3瓶精华液和若干盒面膜，正好将钱用完．求他购买了多少盒面膜． 5．（25-26七年级下·广东东莞·期中）某中学举办足球联赛，为表彰优秀参赛队伍，学校决定采购A、B两类足球作为比赛奖品，已知购买10个A类足球和5个B类足球需要花费1250元；购买15个A类足球和10个B类足球需要花费2075元． （1）求A类足球和B类足球的单价分别是多少？ （2）现有两个供应商可供选择，并分别给出了优惠方案：甲供应商：买5个A类足球送1个B类足球：乙供应商：A类足球和B类足球均按照定价的付款．问：学校需要购买30个A类足球和30个B类足球，选择哪家供应商更便宜． 6．（25-26七年级下·北京海淀·期中）列二元一次方程组解答问题： 2025年12月26日，北大附中初中部“畅听杯”合唱节圆满落幕．本届合唱节以“歌漾山河·强国有我”为主题，为初一年级同学们搭建了凝聚班级向心力、提升艺术审美、厚植家国情怀的展示舞台．为了呈现更精彩的舞台效果，某班担任合唱指挥、伴奏、伴舞与主唱的同学计划单独租赁演出服装．为享受团购优惠，该班与另一班级商议后决定一起租用服装．已知其中一个班级租赁5套男生演出服和5套女生演出服，共花费300元；另一个班级租赁3套男生演出服和7套女生演出服，共花费320元，求每套男生演出服与每套女生演出服的租赁费用分别是多少元？ 【考点二】一元一次不等式（组）实际应用 【题型 6】分配问题（6题） 1．（24-25七年级下·宁夏吴忠·期末）课外阅读课上，老师将本书分给各个小组，每组本，还有剩余；每组本，却又不够．这个课外阅读小组共有（   ） A．组 B．组 C．组 D．组 2．（24-25八年级下·山东枣庄·月考）春雨中学九年级（1）班和九年级（2）班的同学外出参观，将两班的所有学生分成8组，如果每组人数比预定每组人数多1人，那么学生总数将超过100人；如果每组人数比预定每组人数少1人，那么学生总数将不到90人．则预定每组学生有___________人． 3．（24-25八年级下·宁夏银川·期中）一堆玩具分给若干个小朋友，若每人分2件，则剩余3件；若前面每人分3件，则最后一个人得到的玩具数不足2件．求小朋友的人数与玩具数． 4．（24-25七年级下·甘肃甘南·期末）养殖场计划用甲乙两种原料配制饲料，已知每千克甲原料含营养物质为200克；每千克乙原料含营养物质为300克．如果要求配好的饲料每千克中含营养物质不低于240克、不高于245克．求配制每千克饲料需要甲原料的重量范围． 5．（24-25九年级下·新疆·期中）（1）解方程：； （2）把一些书分给同学，若每人分3本，则余8本；若前面的每名同学分5本，则最后一人有但分不到3本．则共有多少名同学？ 6．（25-26七年级下·全国·课后作业）七年级某班部分学生参加端午节包粽子活动，活动结束后把包好的粽子分给这些学生．如果每人分4个，那么余6个；如果前面的学生每人分5个，那么最后1名学生能分到的粽子不少于2个但少于4个．求参加端午节包粽子活动的学生的人数． 【题型 7】方案选择问题（6题） 1．（24-25九年级下·湖北襄阳·自主招生）三种图书的单价分别为元、元和元，某学校计划恰好用元购买上述图书本，那么不同的购书方案有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 2．（24-25七年级下·湖南怀化·期末）怀化国际陆港某货场现有甲种货物和乙种货物，拟用两种集装箱将其运走．已知甲种货物和乙种货物可装满一个型集装箱，甲种货物和乙种货物可装满一个型集装箱．若共使用了50个集装箱，则有___________种具体的运输方案． 3．（25-26八年级下·江西九江·期中）某校计划租用座甲种客车和座乙种客车共辆，运送名学生外出活动，要求甲种客车不少于辆，问共有几种符合条件的租车方案？ 4．（25-26八年级下·河南平顶山·期中）剪纸是我国著名的非物质文化遗产，学校准备购进A，B两种样式的剪纸用于课外拓展课，A种剪纸每幅10元，B种剪纸每幅8元，计划购进A，B两种类型剪纸共100幅，购买预算不超过920元，且购进的A种剪纸数量不少于B种剪纸数量的一半，则至少购进A种剪纸多少幅？并直接写出共有几种购买方案． 5．（25-26七年级下·贵州铜仁·期中）某公交公司要购买10辆节能环保车，包括W型和U型两种．如果用400万元能购买1辆W型公交车和2辆U型公交车，用600万元能购买3辆W型公交车和2辆U型公交车． （1）一辆W型公交车的单价是多少万元？一辆U型公交车呢？ （2）W型公交车和U型公交车的运客量不同，分别为60万人次和100万人次．如果用不多于1200万元的费用购进这10辆公交车，且总运客量不能低于680万人次，有哪些方案可供选择？ 6．（25-26八年级下·陕西西安·阶段检测） “全民阅读”深入人心，好读书，读好书，让人终身受益．为满足同学们的读书需求，学校图书馆准备到新华书店采购《西游记》和《骆驼祥子》两本书．经了解20本《西游记》和40本《骆驼祥子》共需1600元，20本《西游记》比20本《骆驼祥子》多400元． （1）求每本《西游记》和每本《骆驼祥子》各多少元？ （2）若学校要求购买《骆驼祥子》比《西游记》多20本，而且《西游记》不低于25本，总费用不超过2000元，请求出所有符合条件的购书方案． 【题型 8】营销与利润问题（6题） 1．（24-25七年级下·广西百色·期末）某工厂试制新产品2000只，工本费共700元，每只售价2元，在保证盈利1000元以上的情况下，售出的产品数量的范围是（　　） A． B． C． D． 2．（2025·河北邯郸·二模）淇淇第一次以5元/千克的价格买了2千克西红柿，第二次以元/千克的价格买了4千克西红柿，两次购买西红柿的平均价格每千克大于5元且小于6元，若恰好是整数，则___________． 3．（25-26八年级下·广东佛山·期中）为了响应“足球进校园”的号召，育才中学开设了“足球大课间活动”，为此学校准备购买A，B两种品牌的足球共40个，已知A品牌足球每个80元，B品牌足球每个60元，其中购买A品牌足球的数量不少于B品牌足球的数量，且总费用不超过2900元，学校最多买多少个A品牌的足球？ 4．（25-26七年级下·北京通州·期中）剪纸是我国著名的非物质文化遗产，学校准备购进两种样式的剪纸用于课外拓展课，A种剪纸每幅10元、B种剪纸每幅8元，计划购进两种类型剪纸共100幅，购买预算不超过900元，且购进的B种剪纸数量不大于A种剪纸数量的2倍，则至少购进A种剪纸多少幅？ 5．（25-26八年级上·陕西西安·期末）为了提升学生的审美素养与艺术实践能力，学校计划采购画笔套装与音乐礼盒两种美育资源共40套，作为美育课堂的辅助材料．已知画笔套装单价为80元，音乐礼盒单价为30元．学校经费预算不超过2000元．在保证学生能同时接触绘画与音乐两类美育资源的前提下，学校最多能购买多少套画笔套装？ 6．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）为增强学生体质，丰富学生课余活动，学校决定添置一批篮球和足球．已知篮球价格为200元/个，足球价格为150元/个．若学校计划用不超过3550元的总费用购买篮球和足球共20个，且购买篮球的数量多于购买足球的数量，求学校购买篮球的数量． 【题型 9】限额类问题（6题） 1．（24-25七年级下·河南驻马店·期中）足球比赛规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，已知某队一共比赛了10场，均保持不败，得分超过22分，则该队（   ） A．最多胜了6场 B．最多胜了7场 C．最少胜了6场 D．最少胜了7场 2．（24-25七年级下·四川德阳·阶段检测）某种出租车的收费标准：起步价5元（即行驶距离不超过3千米都需付5元车费），超过3千米以后，每增加1千米，加收1.2元（不足1千米按1千米计）．某人乘这种出租车从甲地到乙地共付车费15.8元，设甲地到乙地路程是x千米，则x的范围是________． 3．（24-25八年级上·浙江湖州·期中）某市为了提升菜篮子工程质量，计划用大、中型车辆共30辆调拨不超过190吨蔬菜和不超过162吨肉制品补充当地市场．已知一辆大型车可运蔬菜8吨和肉制品5吨；一辆中型车可运蔬菜3吨和肉制品6吨． （1）符合题意的运输方案有几种？请你帮助设计出来； （2）若一辆大型车的运费是800元，一辆中型车的运费为600元，试说明（1）中哪种运输方案费用最低？最低费用是多少元？ 4．（25-26七年级下·河南周口·期中）某学校计划购买A、B两种奖品共100件，A奖品每件20元，B奖品每件15元． （1）若购买两种奖品共花费1650元，求A、B两种奖品各购买多少件？ （2）若购买B奖品的数量不少于A奖品数量的倍，总费用不少于1650元，问有几种购买方案？ 5．（25-26八年级上·浙江金华·期中）某商场准备购进A，B两种商品进行销售，A商品的进价为每件30元，售价为40元，B商品的进价为每件40元，售价为60元．现计划购进A，B两种商品100件，设购买A商品a件． （1）求出总利润（用含a的代数式表示）； （2）若A商品不少于59件，总利润不少于1380元，求出所有的进货方案． 6．（2021·广西百色·一模）洛阳市某家电商场要购进一批电视机和洗衣机，根据市场调查，决定电视机进货量不少于洗衣机进货量的一半，电视机与洗衣机的进价和售价如表： 类别 电视机 洗衣机 进价元台 售价元台 计划购进电视机和洗衣机共台，商店最多可筹资金元． （1）请你帮助商场算一算有多少进货方案？不考虑除进价之外的其它费用 （2）哪种进货方案待商店销售完购进的电视机与洗衣机后获得利润最多？并求出最多利润．利润售价进价 【考点三】二元一次方程组与一元一次不等式（组）实际应用综合 【题型 10】方案问题（6题） 1．（2026·河南平顶山·二模）某复印店购进一批复印纸和墨盒．购进箱复印纸和箱墨盒共需元；购进箱复印纸和箱墨盒共需元． （1）求复印纸和墨盒每箱的价格． （2）若复印店计划采购复印纸和墨盒共箱，且复印纸的箱数不多于墨盒的倍，复印纸和墨盒的采购总费用不超过元，该复印店共有几种采购方案？（不需要写出具体方案） 2．（25-26八年级下·四川成都·期中）在某市创建全国卫生城市活动中，某小区积极响应，决定在小区内安装垃圾分类的温馨提示牌和垃圾箱，若购买2个温馨提示牌和3个垃圾箱共需550元，且垃圾箱单价是温馨提示牌单价的3倍． （1）求温馨提示牌和垃圾箱的单价各是多少元？ （2）该小区至少需要安放23个垃圾箱，如果购买温馨提示牌和垃圾箱共50个，且费用不超过5000元，请你列举出所有购买方案，并指出哪种方案所需资金最少？最少是多少元？ 3．（25-26七年级下·湖南衡阳·期中）为了更好治理西太湖水质，保护环境，市治污公司决定购买10台污水处理设备，现有A、B两种型号的设备．经调查：购买3台A型设备和2台B型设备一共26万元，购买2台A型设备比购买4台B型设备少4万元． （1）求A型、B型设备每台各是多少钱； （2）经预算：市治污公司购买污水处理设备的资金不超过54万元，并且A型设备的数量不少于B型设备的数量，则有哪几种购买方案？请写出最省钱的一种购买方案，并写出相应的费用． 4．（25-26七年级下·云南昆明·阶段检测）某茶叶经销商计划购进甲、乙两种茶叶共80件，若甲种茶叶进价为每件120元，乙种茶叶进价为每件100元．已知3件甲种茶叶和2件乙种茶叶的售价共900元；1件甲种茶叶和4件乙种茶叶的售价共800元． （1）求甲、乙两种茶叶每件的售价分别是多少元？ （2）该经销商计划用不超过9250元购进甲、乙两种茶叶，且甲种茶叶的件数不少于乙种茶叶件数的3倍，则有哪几种进货方案？ （3）该经销商为尽快回笼资金，采取如下优惠活动：甲种茶叶售价下调元，乙种茶叶售价不变．若甲、乙两种茶叶的进价不变，并且无论如何进货，这80件茶叶销售总利润保持不变，求的值． 5．（25-26八年级下·陕西西安·期中）2020年4月，随着蔚来中国总部落户合肥，全国新能源汽车之都已成为合肥新的代名词．某汽车经销商销售A，B两种型号的新能源汽车，已知购进3台A型新能源汽车和2台B型新能源汽车需要70万元，购进2台A型新能源汽车和1台B型新能源汽车需要40万元． （1）问A型，B型新能源汽车的单价分别是多少万元？ （2）若该经销商计划购进A型和B型两种新能源汽车共20辆，费用不超过320万元，且A型新能源汽车的数量少于B型新能源汽车的数量，请你给出费用最省的方案，并求出该方案所需费用． 6．（25-26七年级下·安徽阜阳·期中）为了让学生加强体育锻炼，增强体质，2022版新课标中，体育与健康的课时占比将提高到10%~11%．某学校积极行动，给各班购买跳绳和毽子作为活动器材．已知购买3根跳绳和5个毽子共需41元；购买6根跳绳和4个毽子共需58元． （1）求购买一根跳绳和一个毽子分别需要多少元； （2）某班需要购买跳绳和毽子的总数量是54，且购买的总费用不超过300元，若要求购买跳绳的数量多于25根， ①求共有哪几种购买方案； ②比较哪一种购买方案更省钱． 【题型 11】营销与利润问题（6题） 1．（25-26七年级下·四川眉山·期中）国家一直倡导节能减排，改善环境，大力扶持新能源汽车的销售，某汽车专卖店销售A，B两种型号的新能源汽车．上周售出1辆A型车和3辆B型车，销售额为96万元；本周已售出2辆A型车和1辆B型车，销售额为62万元． （1）求每辆A型车和B型车的售价各为多少万元？ （2）甲公司拟向该店购买A，B两种型号的新能源汽车共6辆，且A型号车不少于2辆，购车费不少于130万元，则有哪几种购车方案？ （3）已知每辆A型车的进价为15万元，每辆B型车的进价为20万元，在（2）的购车方案中，哪种方案的利润最高？最高利润是多少万元？ 2．（25-26七年级下·辽宁盘锦·期中）某纪念品店调查发现：与2025年哈尔滨亚冬会吉祥物滨滨和妮妮相关的A、B两款纪念品深受青少年的喜爱，于是决定购进这两款纪念品，已知购进6个A款纪念品比购进5个B款纪念品多用108元；购进3个A款纪念品和7个B款纪念品共用510元． （1）分别求出A，B两款纪念品的进货单价； （2）该店决定购进这两款纪念品共60个，其总费用不超过3200元，则至少应购买B款纪念品多少个？ 3．（25-26七年级下·辽宁盘锦·期中）某网店销售甲、乙两种书包，已知甲种书包每个售价比乙种书包每个售价2倍少30元，网购2个甲种书包和3个乙种书包共花费255元（免运费）．请解答下列问题： （1）该网店甲、乙两种书包每个售价各是多少元？ （2）根据消费者需求，该网店决定用不超过8900元购进甲、乙两种书包共200个，且甲种书包的数量超过87个，已知甲种书包每个进价为50元，乙种书包每个进价为40元，该网店有哪几种进货方案； （3）在（2）条件下，求出哪种方案利润最大，最大利润是多少？ 4．（25-26九年级下·广西玉林·期中）项目背景：为助力乡村振兴、惠农富农，了解沙田柚的价格情况．小玉、小林、嘉嘉三人到某合作社买沙田柚．小玉、小林先买，购买情况如下： 购买甲种礼盒（只装） 购买乙种礼盒（只装） 一共花费费用 小玉 箱 箱 元 小林 箱 箱 元 项目任务： （1）求甲、乙两种礼盒每箱的售价； （2）嘉嘉计划从该合作社购买甲、乙两种包装的沙田柚礼盒共箱，预算为元．若不超过预算，嘉嘉至少要购买甲种包装的沙田柚礼盒多少箱？ 5．（25-26七年级下·上海·期中）为迎接校园文化艺术节，某中学举办了“青春绘梦，艺彩飞扬”绘画比赛，并购买、两种徽章作为奖品．已知购买2个种徽章和3个种徽章需156元；购买4个种徽章和5个种徽章需284元． （1）每个种徽章与每个种徽章的价格分别为多少元？ （2）学校计划购进、两种徽章共60个，已知购进的种徽章数不少于种徽章数的2倍，且总费用不超过2000元，那么购进种徽章的个数是多少？ 6．（25-26七年级下·四川眉山·期中）为响应眉山东坡区“蜀里安逸∙约惠东坡”消费焕新工程，落实家电“以旧换新”补贴政策，某家电卖场特推出惠民促销活动．请根据以下素材完成任务： “以旧换新”政策 素材1 购买3台节能空调和2台智能洗衣机，补贴后实际花费7900元； 素材2 购买2台节能空调和3台智能洗衣机，补贴后实际花费8100元． 解决问题 （1）任务1，计算节能空调和智能洗衣机每台的补贴后金额各是多少元？ （2）任务2，东坡区某企业为职工采购节能空调和智能洗衣机共10台，要求节能空调的数量不超过7台，且补贴后的实际总花费不超过16000元，请计算出有几种采购方案？哪种方案最省钱？ 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末考试必考题型（二）——方程组与不等式的实际应用（2大考点11类题型） 目录 一.必考点知识回顾 1 【考点一】二元一次方程组实际应用 1 【考点二】一元一次不等式（组）实际应用 2 二.必考题型精析 2 【考点一】二元一次方程组实际应用 2 【题型 1】 和差倍分问题（6题） 2 【题型 2】 行程问题（6题） 6 【题型 3】 工程问题（6题） 10 【题型 4】 配套问题（6题） 14 【题型 5】 利润与营销问题（6题） 17 【考点二】一元一次不等式（组）实际应用 21 【题型 6】分配问题（6题） 21 【题型 7】方案选择问题（6题） 24 【题型 8】营销与利润问题（6题） 29 【题型 9】限额类问题（6题） 32 【考点三】二元一次方程组与一元一次不等式（组）实际应用综合 36 【题型 10】方案问题（6题） 36 【题型 11】营销与利润问题（6题） 42 一.必考点知识回顾 【考点一】二元一次方程组实际应用 1、 解题通用步骤： （1）审：审题，找已知量、未知量；（2）设：设未知数；（3）列：根据等量关系列方程组；（4）解：解方程组；（5）验：检验结果合理性；（6）答：规范作答。 2、高频经典题型 （1）和差倍分问题：利用数量之间和、差、倍数关系列式； （2）行程问题：相遇、追及、航行问题（路程 = 速度 × 时间）； （3）工程问题：工作总量 = 工作效率 × 工作时间，常设总工作量为1； （4）配套问题：根据部件配比关系建立等量关系； （5）利润与计费问题：结合单价、数量、总价、分段收费列式。 【考点二】一元一次不等式（组）实际应用 1、解题通用步骤： （1）审题；（2）设未知数；（3）找不等关系；（4）列不等式（组）；（5）求解集；（6）结合实际取值（整数、正数等）；（7）确定方案，作答。 2、高频经典题型 （1）分配问题：物资、人员分配，结合数量限制列不等式； （2）方案选择问题：多套方案对比，求取最优方案； （3）最值问题：求最大量、最小量取值； （4）限额类问题：总量不超过、不少于某一数值类题型； 特别提示：注意实际问题中，人数、物品数、次数等必须取非负整数。 二.必考题型精析 【考点一】二元一次方程组实际应用 【题型 1】 和差倍分问题（6题） 1．（24-25八年级上·江西吉安·期末）某校150名学生参加数学竞赛考试，平均每人55分，其中及格人数人均77分，不及格人数人均47分，设及格的学生有x人，不及格的学生有y人，则x，y的值是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二元一次方程组的应用；得到关于总分的关系式是解决本题的难点．题目难度相对不大，属于基础题，注重考查同学们的基础知识，同学们平时需要多加积累基础知识，认真审题，正确解答．根据及格人数和不及格人数之和为150，及总分的关系式得到的两个关系式求解即可． 解：根据题意，得 ， 解得 ， 故选：A． 2．（24-25七年级下·湖南永州·期末）5月31日至6月2日，2024年国家非遗道州龙船赛在潇水河上隆重举行．道州龙船船头造型分龙、虎、凤、麒麟四大类，按色彩又分“六龙五虎”和“金凤银麒”，代表着每个村落社区特有的宗族信仰、文化标识和审美意趣．据了解本次比赛共计条龙船参赛，创造了一项新的吉尼斯世界纪录，其中“六龙五虎”龙船数量比“金凤银麟”龙船数量的倍少条，则参赛的“金凤银麒”龙船为______条． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，设参赛的“六龙五虎”龙船为条，参赛的“金凤银麒”龙船为条，根据：本次比赛共计条龙船参赛，其中“六龙五虎”龙船数量比“金凤银麟”龙船数量的倍少条，可列出方程组，求解即可．正确理解题意，找出等量关系是解题的关键． 解：设参赛的“六龙五虎”龙船为条，参赛的“金凤银麒”龙船为条， 依题意，得：， 解得：， ∴参赛的“金凤银麒”龙船为条． 故答案为：． 3．（24-25七年级上·广东广州·期末）据人民日报报道，中欧班列自2013年诞生后运行的十余年来，通达欧洲25个国家227个城市，亚洲11个国家超100个城市，累计运送货物超1100万标箱、货物品类达53大类5万余种．某贸易公司因业务需要租用A、B两种标箱共22个，其中租用A种标箱每个4万元，租用B种标箱每个6万元，共支付租金108万元． （1）将“1100万”用科学记数法法表示，可记为______； （2）求该贸易公司租用A、B两种标箱各多少个？ 【答案】（1）；（2）该贸易公司租用A种标箱12个，B种标箱10个 【分析】本题考查二元一次方程的应用，科学记数法表示较大的数，熟练掌握科学记数法的定义，列得正确的方程组是解题的关键． 把一个大于10的数记成的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法，据此即可求得答案； 设该贸易公司租用A种标箱x个，B种标箱y个，根据题意列得二元一次方程组，解得x，y的值即可． 解：（1）解：万， 故答案为：； （2）该贸易公司租用A种标箱x个，B种标箱y个， 由题意得， 解得：， 即该贸易公司租用A种标箱12个，B种标箱10个． 4．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）某学校复印社购进一批白色复印纸和彩色复印纸，若购进白色复印纸2箱，彩色复印纸3箱共需700元，若购进白色复印纸5箱，彩色复印纸2箱共需760元． （1）求白色复印纸和彩色复印纸每箱各多少元． （2）该复印社计划整箱购进这两种复印纸，费用恰好为1160元，问两种复印纸各购买几箱？ 【答案】（1）白色复印纸和彩色复印纸每箱各80元，180元；（2）购进白色复印纸和彩色复印纸个10箱，2箱或购进白色复印纸和彩色复印纸个1箱，6箱 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，二元一次方程的实际应用： （1）设白色复印纸和彩色复印纸每箱各x元，y元，然后根据购进白色复印纸2箱，彩色复印纸3箱共需700元，若购进白色复印纸5箱，彩色复印纸2箱共需760元列出方程组求解即可； （2）设购进白色复印纸和彩色复印纸个m箱，n箱，则，求出该方程的非负整数解即可得到答案． 解：（1）解：设白色复印纸和彩色复印纸每箱各x元，y元， 由题意得， ， 解得， 答：白色复印纸和彩色复印纸每箱各80元，180元； （2）解：设购进白色复印纸和彩色复印纸个m箱，n箱， 由题意得，， ∴， ∵m、n都是整数， ∴也是整数， 当时，； 当，； 答：购进白色复印纸和彩色复印纸个10箱，2箱或购进白色复印纸和彩色复印纸个1箱，6箱． 5．（24-25八年级上·山东济南·期末）某校开设智能机器人编程的校本课程，购买了A，B两种型号的机器人模型．已知A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多200元，购买5台A型机器人模型的费用比购买7台B型机器人模型的费用多400元． （1）求A型，B型机器人模型的单价分别是多少元？ （2）现在需要购买A型号机器人模型5台，B型号机器人模型7台，求共需要花费多少钱？ 【答案】（1）A型机器人模型的单价为500元，B型机器人模型的单价为300元；（2）一共需要4600元 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，有理数四则混合计算的实际应用： （1）设A型机器人模型的单价为x元，B型机器人模型的单价为y元，根据A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多200元，购买5台A型机器人模型的费用比购买7台B型机器人模型的费用多400元列出方程组求解即可； （2）根据（1）所求分别求出两种机器人的费用，然后求和即可得到答案． 解：（1）解：设A型机器人模型的单价为x元，B型机器人模型的单价为y元． 由题意得，， 解得：， 答：A型机器人模型的单价为500元，B型机器人模型的单价为300元． （2）解：元 答：一共需要4600元． 6．（22-23七年级下·河北沧州·期中）庚子鼠年，疫情肆虐，口罩成为生活必需品．甲、乙两厂分别有4条和5条口罩生产线，两厂计划用3天时间赶制1000箱口罩支援疫情．若甲厂启用1条乙厂启用2条生产线，一天可以生产口罩112箱；若甲厂启用2条乙厂启用3条口罩生产线，一天可以生产口罩189箱． （1）甲、乙两厂每条口罩生产线每天的产量各是多少箱？ （2）两厂满负荷生产，是否可以如期完成任务？ 【答案】（1）甲厂每条口罩生产线每天的产量是42箱，乙厂每条口罩生产线每天的产量是35箱；（2）能如期完成任务 【分析】（1）设甲、乙两厂每条口罩生产线每天的产量分别为箱和箱，根据甲厂启用1条乙厂启用2条生产线，一天可以生产口罩112箱；甲厂启用2条乙厂启用3条口罩生产线，一天可以生产口罩189箱，列出方程组进行求解即可； （2）求出满负荷生产时，3天能够生产的总量，即可得出结论． 解：（1）解：设甲、乙两厂每条口罩生产线每天的产量分别为箱和箱， 则，解得； 答：甲厂每条口罩生产线每天的产量是42箱，乙厂每条口罩生产线每天的产量是35箱． （2）∵， ∴能如期完成任务． 【点拨】本题考查二元一次方程组的应用．解题的关键是找准等量关系，正确的列出方程组． 【题型 2】 行程问题（6题） 1．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）甲、乙二人分别从相距的，两地出发，相向而行．如图是小华绘制的甲、乙二人运动两次的情形，设甲的速度是，乙的速度是，根据题意所列的方程组正确的是 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．根据路程速度时间结合两次运动的情形，即可得出关于x、y的二元一次方程组，此题得解． 解：设甲的速度是，乙的速度是， 根据题意所列的方程组为：， 故选：D． 2．（24-25七年级上·全国·期末）某校组织学生举行“远足研学”活动，先以的速度走平路，然后又以的速度上坡，共用了，原路返回时，先以的速度下坡，然后又以的速度走平路，共用了，则“远足研学”全程是__________． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用（行程问题）．方程（组）的应用解题关键是找出等量关系，列出方程求解．设平路，坡路，根据题意列出二元一次方程组求解即可． 解：设平路，坡路，据题意得 ，整理得：， 解得：， ∴． 答： “远足研学”全程是． 故答案为： 3．（2025七年级下·全国·专题练习）列二元一次方程组解应用题： 小明早上骑自行车上学，中途因道路施工步行了一段路，到学校共用20分钟．他骑自行车的平均速度是200米/分，步行的平均速度是70米/分，他从家到学校的路程是3350米．求小明骑自行车和步行的时间分别为多少分钟？ 【答案】骑自行车的时间为15分钟，步行的时间为5分钟 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找出等量关系列出方程跟组是解答本题的关键．设小明骑自行车的时间为x分钟，步行的时间为y分钟，利用路程＝速度×时间，结合小明到校所用时间及从家到学校的路程，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 解：设小明骑自行车的时间为x分钟，步行的时间为y分钟， 根据题意得：， 解得：． 答：小明骑自行车的时间为15分钟，步行的时间为5分钟． 4．（24-25七年级上·广西贵港·期末）小贵、小港两人从相距的两地相向而行． （1）若小贵比小港先走，则他们在小港出发后相遇；若小港比小贵先走，则他们在小贵出发后相遇，求小贵、小港两人每小时各走多少千米？ （2）如果他们同时出发，并保持（1）中的速度，那么后两人还相距多少千米？ 【答案】（1）小贵每小时走，小港每小时走；（2）后两人相距 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． （1）设小贵每小时走，小港每小时走，根据“若小贵比小港先走，则他们在小港出发后相遇；若小港比小贵先走，则他们在小贵出发后相遇”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）根据后两人间的距离两人的速度之和运动时间，即可求出结论． 解：（1）解：设小贵每小时走，小港每小时走， 依题意，得：， 解得：； 答：小贵每小时走，小港每小时走． （2）解：， 答：后两人相距． 5．（24-25七年级下·海南海口·期中）甲、乙两车分别从相距千米的，两地相向而行． （1）两车均保持匀速行驶且甲车的速度是乙车速度的2倍，若甲车比乙车提前2小时出发，则甲车出发后3小时两车相遇．求甲、乙两车的速度分别是多少（单位：千米/小时）？ （2）如果甲、乙两车保持（1）中的速度，两车同时出发相向而行，求经过多少小时两车相距30千米？ 【答案】（1）甲车的速度是60千米/小时，乙车的速度是30千米/小时；（2）小时或小时 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次方程的实际应用，正确理解题意，根据题意找出等量关系是解题的关键． （1）设甲车的速度是千米/小时，乙车的速度是千米/小时，根据题意列出方程组求解即可； （2）设经过小时两车相距30千米，然后进行分类讨论：当两车未相遇时，当两车相遇后，分别列出方程求解即可． 解：（1）解：设甲车的速度是千米/小时，乙车的速度是千米/小时， 根据题意，得 解得， 答：甲车的速度是60千米/小时，乙车的速度是30千米/小时． （2）解：设经过小时两车相距30千米， 根据题意，得： 当两车未相遇时，， 解得， 当两车相遇后，， 解得， 答：经过2小时或小时两车相距30千米． 6．（26-27七年级上·安徽淮南·期末）苗苗同学在学习了二元一次方程组相关知识后，对汽车的轮胎磨损问题进行了探究． 根据资料显示，汽车的前轮胎比后轮胎磨损更为严重，如果只更换前轮胎，那么行驶时的安全性会下降，但是如果一起更换轮胎，汽车的维护成本将会提高．所以为了解决这个问题，我们可以定期交换前后轮胎． 某种汽车前轮胎行驶4万公里时报废，而后轮胎行驶6万公里时报废．轮胎报废的时候磨损程度为1． （1）该种汽车每行驶1万公里，前轮胎的磨损为，后轮胎的磨损为________； （2）假设该种汽车行驶x万公里之后，将前轮胎交换到了后轮的位置，然后继续行驶了y万公里后，此时轮胎的磨损程度为1．请依据上述信息，求出当前后轮胎一起报废时，汽车的行驶里程是多少万公里？ 【答案】（1）；（2）万公里 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用． （1）根据后轮胎行驶6万公里时报废，可得出该种汽车每行驶1万公里时后轮胎的磨损为； （2）根据“原前轮胎行驶x万公里的磨损”+“交换为后轮胎后行驶y万公里的磨损”和“原后轮胎行驶x万公里的磨损”+“交换为前轮胎后行驶y万公里的磨损”，得到方程组即可求解． 解：（1）解：∵该种汽车前轮胎行驶4万公里时报废，而后轮胎行驶6万公里时报废， ∴该种汽车每行驶1万公里，前轮胎的磨损为，后轮胎的磨损为， 故答案为：． （2）解：根据题意得：， 解得：， ∴， 即前后轮胎一起报废时，汽车的行驶里程是万公里． 【题型 3】 工程问题（6题） 1．（25-26八年级上·全国·课后作业）一份工作，甲、乙合作20天后乙再单独做8天才完成．若甲的效率提高，乙的效率提高，合作20天就可完成全部工作，则甲单独完成这份工作需（    ） A．28天 B．34天 C．48天 D．58天 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 设总工程为，甲每天完成总工程的，乙每天完成总工程的，根据工作总量=工作效率×工作时间，结合“甲、乙合作天后，乙再单独做天才完成；提高工作效率后，甲、乙合作天就可完成全部工作”，即可得出关于的二元一次方程组，解之即可得出的值，再将其代入即可求出结论． 解：设总工程为，甲每天完成总工程的，乙每天完成总工程的， 依题意得：， 解得：， ∴， ∴甲独做这件工作天可以完成． 故选：B． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）某市在落实国家“精准扶贫”政策的过程中，为某村修建一条长为400米的公路，由甲、乙两个工程队负责施工．甲工程队独立施工2天后，乙工程队加入，两工程队联合施工3天后，还剩50米的工程．已知甲工程队每天比乙工程队多施工2米，则甲工程队每天施工________米，乙工程队每天施工________米． 【答案】 44.5 42.5 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，设甲工程队每天施工米，乙工程队每天施工米，根据题意，列出方程组进行求解即可． 解：设甲工程队每天施工米，乙工程队每天施工米，由题意，得： ，解得：， 答：甲工程队每天施工米，乙工程队每天施工米； 故答案为：，． 3．（25-26八年级上·河南开封·阶段检测） 某工厂承接了一批加工任务，要求在规定时间内完成．如果每天加工个零件，那么在规定时间内只能完成任务的；如果每天加工个零件，那么可提前天完成任务，且多加工个零件．求规定的时间和这批零件的总数． 【答案】规定的时间为天，这批零件的总数为个 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，设规定的时间为天，这批零件的总数为个，根据“如果每天加工个零件，那么在规定时间内只能完成任务的；如果每天加工个零件，那么可提前天完成任务，且多加工个零件”列出方程组，解出即可．解题的关键是正确理解题意，设出未知数，利用等量关系列出方程组． 解：设规定的时间为天，这批零件的总数为个， 依题意，得： 解得：． 答：规定的时间为天，这批零件的总数为个． 4．（25-26八年级上·四川成都·阶段检测）修建某一建筑时，若请甲、乙两个工程队同时施工，8天可以完成，需付两队费用共3520元；若先请甲队单独做6天，再请乙队单独做12天可以完成，需付两队费用共3480元，问： （1）甲、乙两队每天费用各为多少？ （2）若单独请某队完成工程，则单独请哪队施工费用较少？ 【答案】（1）甲队每天的费用为300元，乙队每天的费用为140元；（2）乙队 【分析】本题考查了二元一次方程的应用． （1）设甲队每天费用为a元，乙队每天费用为b元，根据题意列方程组求解即可； （2）设甲每天完成x，乙每天完成y，根据题意列方程组求出工作效率，求出两队费用，比较即可． 解：（1）解：设甲队每天费用为a元，乙队每天费用为b元，由题意得： ， 解得， 答：甲队每天的费用为300元，乙队每天的费用为140元； （2）解：设甲每天完成x，乙每天完成y，由题意得： ， 解得， 即甲单独做需要12天完成，乙单独做需要24天完成． 甲单独做需要元， 乙单独做需要元． 答：乙队单独完成费用较少． 5．（25-26七年级下·福建泉州·期中）为了提高居民生活质量，推动城市可持续性发展，某地对部分老旧城区进行改造，在改造工程中，有一条2000米的道路需要改扩建，现有甲、乙两个工程队分别施工修路，甲队每天修建150米，乙队每天修建100米，两队施工的总时间是16天，则甲、乙两个工程队分别修建了多少天？ （1）小红同学根据题意，列出了二元一次方程组，那么这个方程组中未知数x表示的是______，未知数y表示的是______． （2）小丽同学设甲工程队修建了m天，乙工程队修建了n天．请你按照小丽的思路解答上面的问题 【答案】（1）甲工程队修建的道路长度，乙工程队修建的道路长度；（2）甲工程队修建了8天，乙工程队修建了8天 【分析】（1）根据两个未知数的和为2000米，可知未知数表示的意义是两个工程队修建的路程； （2）根据工作时间和等于16，总工作量和为2000列出方程组，求出解即可． 解：（1）解：二元一次方程组，这个方程组中未知数x表示甲工程队修建的道路长度，未知数y表示乙工程队修建的道路长度； （2）解：根据题意，得， 解得， 所以甲工程队修建了8天，乙工程队修建了8天． 6．（25-26七年级下·山西临汾·期中）山西的老旧城区改造，在国家“城市更新行动”的指导下，已从单纯的“旧房翻新”升级为涵盖老旧小区、街区、城中村的综合整治与功能提升．为了提高居民生活质量，推动城市可持续性发展，某地对部分老旧城区进行改造，在改造工程中，有一条米的道路需要改扩建，现有甲、乙两个工程队分别施工修路，甲队每天修建米，乙队每天修建米，两队施工总时间是天，则甲、乙两个工程队分别修建了多少天？ （1）小红同学根据题意，列出了二元一次方程组那么这个方程组中未知数表示的是___________，未知数表示的是_________； （2）小丽同学设甲工程队修建了天，乙工程队修建了天．请你按照小丽的思路解答上面的问题． 【答案】（1）甲工程队修建道路的长度；乙工程队修建道路的长度；（2）甲工程队修建了天，乙工程队修建了天 【分析】（1）根据题意及小红同学列出的方程组即可得到答案； （2）设甲工程队修建了天，乙工程队修建了天，由题意列二元一次方程组求解即可． 解：（1）解：小红同学根据题意，列出了二元一次方程组那么这个方程组中未知数表示的是甲工程队修建道路的长度，未知数表示的是乙工程队修建道路的长度； （2）解：设甲工程队修建了天，乙工程队修建了天， 据题意得， 解得， 答：甲工程队修建了天，乙工程队修建了天． 【题型 4】 配套问题（6题） 1．（24-25七年级下·云南楚雄·期末）某工厂生产大型汽油桶，汽油桶由两个圆形铁片和一个长方形铁片构成现工厂共有名工人，其中每名工人每天可制作圆形铁片个或长方形铁片个为了使每天生产的铁片数量刚好配套成油桶，应如何安排工人进行生产？设安排人制作圆形铁片，人制作长方形铁片，可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题根据两个等量关系列方程组，一是总工人人数为42，二是配套时2个圆形铁片配1个长方形铁片，即圆形铁片总数量是长方形铁片总数量的2倍，据此整理得到方程组． 解：∵安排x人制作圆形铁片，y人制作长方形铁片，总共有42名工人， ∴， ∵每个油桶需要2个圆形铁片和1个长方形铁片，刚好配套时，圆形铁片总数量是长方形铁片总数量的2倍， 又∵x人每天生产圆形铁片共个，y人每天生产长方形铁片共个， ∴， 等式两边同时除以2，整理得， ∴可得方程组． 2．（24-25七年级下·山西吕梁·期末）七年级上册《实际问题与一元一次方程》中，有如下例题：某车间有名工人，每人每天可以生产个螺柱或个螺母．个螺柱需要配个螺母，为使每天生产的螺柱和螺母刚好配套，应安排生产螺柱和螺母的工人各多少名？学习了二元一次方程组后，可以用二元一次方程组解答此问题，设应安排名工人生产螺柱， 名工人生产螺母，则可列二元一次方程组为______． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设应安排名工人生产螺柱， 名工人生产螺母，根据题意，列出方程组即可求解，根据题意，找到等量关系，正确列出方程组是解题的关键． 解：设应安排名工人生产螺柱， 名工人生产螺母， 由题意可得，， 故答案为：． 3．（25-26七年级下·重庆万州·期中）“寒夜客来茶当酒，竹炉汤沸火初红．”茶作为中国传统文化的重要部分，茶具选择影响品茶体验．某茶具厂共有30名工人，每名工人一天能做30个茶杯或10个茶壶，如果6个茶杯和1个茶壶为一套． （1）该工厂应如何安排工人生产，才能使每天生产的茶杯和茶壶刚好配套？ （2）该工厂承接一批茶具订单，若由1人制作这批茶具需要400小时完成．现计划由一部分人先做10小时，然后增加5人与他们一起合作20小时，恰好完成这批订单，假设这些人的工作效率相同，具体应先安排多少人制作茶具？ 【答案】（1）每天安排20人生产茶杯，10人生产茶壶刚好配套；（2）先安排10人制作茶具 【分析】（1）设生产茶杯的工人为x人，生产茶壶的工人为y人，根据等量关系，列出方程组，解方程组即可； （2）设先安排m人制作茶具，将整个任务看作单位1，然后列出方程，解方程即可． 解：（1）解：设生产茶杯的工人为x人，生产茶壶的工人为y人， 由题意得：， 解得：， 答：每天安排20人生产茶杯，10人生产茶壶刚好配套； （2）解：设先安排m人制作茶具， 由题意得：， 解得：， 答：先安排10人制作茶具． 4．（25-26七年级下·山东东营·期中）某玩具厂共有名生产工人，每个工人每天可生产玩具车架个或车轮个，如果个车架与个车轮配成一套，那么每天安排多少名工人生产车架，多少名工人生产车轮，才能使每天生产出来的产品刚好配套？（利用二元一次方程组求解） 【答案】每天安排名工人生产车架，名工人生产车轮，才能使每天生产出来的产品刚好配套 【分析】设每天安排名工人生产车架，名工人生产车轮，根据题意列出方程组解答即可求解． 解：设每天安排名工人生产车架，名工人生产车轮， 由题意得，， 解得， 答：每天安排名工人生产车架，名工人生产车轮，才能使每天生产出来的产品刚好配套． 5．（2026·陕西西安·三模）如图，制作甲、乙两种无盖的长方体纸盒，需用正方形和长方形两种硬纸片，且长方形硬纸片的宽与正方形硬纸片的边长相等．用200张正方形硬纸片和400张长方形硬纸片制作这两种纸盒，纸片刚好用完且无剩余．求可以制作乙种纸盒多少个．（纸片连接处损耗不计） 【答案】可以制作乙种纸盒80个 【分析】设可以做成甲乙两种小盒各x个，y个，根据将200张正方形硬纸片和400张长方形硬纸片全部用于制作这两种小盒列出方程组求解即可． 解：设能制作甲种纸盒x个，乙种纸盒y个， 甲种无盖长方体纸盒需要1张正方形硬纸片和4张长方形硬纸片， 乙种无盖长方体纸盒需要2张正方形硬纸片和3张长方形硬纸片， 根据题意，得， 解得， ∴可以制作乙种纸盒80个． 6．（25-26七年级上·全国·期末）一工厂有名工人，要完成套产品的生产任务，每套产品由4个A型零件和3个B型零件配套组成，每个工人每天能加工6个A型零件或者3个B型零件．现将工人分成两组，每组分别加工一种零件，并要求每天加工的零件正好配套． （1）工厂每天应安排多少名工人生产A型零件？每天能生产多少套产品？ （2）现在工厂要在天内完成套产品的生产，决定补充一些新工人，这些新工人只能独立进行A型零件的加工，且每名新工人每天只能加工4个A型零件．请问至少需要补充多少名新工人才能在规定期限完成生产任务？ 【答案】（1）工厂每天应安排24名工人生产A型零件，工厂每天能生产36套产品；（2）至少需要补充60名新工人才能在规定期限完成生产任务 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，二元一次方程组的实际应用，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）工厂每天安排名工人生产A型零件，则工厂每天安排名工人生产B型零件，根据“每套产品由4个A型零件和3个B型零件配套组成”列方程求解即可； （2）设需要补充m名新工人才能在规定期限完成生产任务，安排n名熟练工人生产A型零件，则安排名熟练工人生产B型零件，根据题意，可得关于m、n的方程组，求解即可． 解：（1）解：设工厂每天安排名工人生产A型零件，则工厂每天安排名工人生产B型零件， 由题意得：， 解得， （套） 所以，工厂每天应安排24名工人生产A型零件，每天能生产36套产品． （2）解：设需要补充m名新工人才能在规定期限完成生产任务，安排n名熟练工人生产A型零件，则安排名熟练工人生产B型零件， 由题意得， 解得， 所以，至少需要补充60名新工人才能在规定期限完成生产任务． 【题型 5】 利润与营销问题（6题） 1．（25-26七年级下·河北石家庄·期中）某班需采购本和尺子作为奖品，尺子3套、本2个，共需34元；尺子2套、本3个，共需36元，通过设适当的未知量可列出方程组若用可得，下列关于“”的意义解释正确的是（    ） A．每套尺子比每个本贵2元 B．每套尺子比每个本便宜2元 C．尺子比本多买了2个 D．尺子比本少买了2个 【答案】B 【分析】根据所列方程组可知x元表示每套尺子的单价，y元表示每个本的单价，据此结合方程和选项可得答案． 解：根据所列方程组可知x元表示每套尺子的单价，y元表示每个本的单价， ∴的实际意义为每套尺子比每个本便宜2元． 2．（2026·山东青岛·二模）随着人工智能的发展，高性能芯片的需求越来越大，某科技公司计划投入一笔资金用来购买、两种型号的芯片．已知购买颗型芯片和颗型芯片共需要2000元，购买颗型芯片和颗型芯片共需要1450元．则购买颗型芯片需要______元． 【答案】 【分析】设购买颗型芯片需要元. 购买颗型芯片需要元，根据题意列出方程组，并求解即可． 解：设购买颗型芯片需要元. 购买颗型芯片需要元， 根据题意，可列方程：， 解得， ∴购买颗型芯片需要元． 3．（25-26七年级下·内蒙古乌兰察布·期中）某超市投入17600元的资金购进甲、乙两种饮料共700箱，饮料的成本和售价如表所示： 类别单价 成本 售价 甲 元箱 元箱 乙 元箱 元箱 （1）该超市购进甲、乙两种饮料各多少箱？ （2）全部售完700箱饮料，该超市共获得利润多少元？ 【答案】（1）该超市购进甲种饮料箱，乙种饮料箱；（2）该超市共获得利润元 【分析】（1）设该超市购进甲种饮料箱，乙种饮料箱，根据题意列出二元一次方程组，据此求解即可； （2）根据题意列式计算即可求解． 解：（1）解：设该超市购进甲种饮料箱，乙种饮料箱， 根据题意得：， 解得：． 答：该超市购进甲种饮料箱，乙种饮料箱； （2）解： （元）． 答：该超市共获得利润元． 4．（25-26七年级下·海南海口·期中）海南自贸港离岛免税购物节期间，某免税店精华液与面膜热销．李女士买2瓶精华液和3盒面膜，共付款960元；王先生买1瓶精华液和4盒面膜，共付款780元． （1）求每瓶精华液和每盒面膜的单价． （2）张先生用1140元购买了3瓶精华液和若干盒面膜，正好将钱用完．求他购买了多少盒面膜． 【答案】（1）每瓶精华液的单价为300元，每盒面膜的单价为120元；（2）2盒 【分析】（1）设每瓶精华液的单价为元，每盒面膜的单价为元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组，即可求解； （2）设他购买了盒面膜，根据题意，列出一元一次方程，解方程，即可求解． 解：（1）解：设每瓶精华液的单价为元，每盒面膜的单价为元． 根据题意，得 解得 答：每瓶精华液的单价为300元，每盒面膜的单价为120元． （2）解：设他购买了盒面膜，根据题意，得 解得． 答：他购买了2盒面膜． 5．（25-26七年级下·广东东莞·期中）某中学举办足球联赛，为表彰优秀参赛队伍，学校决定采购A、B两类足球作为比赛奖品，已知购买10个A类足球和5个B类足球需要花费1250元；购买15个A类足球和10个B类足球需要花费2075元． （1）求A类足球和B类足球的单价分别是多少？ （2）现有两个供应商可供选择，并分别给出了优惠方案：甲供应商：买5个A类足球送1个B类足球：乙供应商：A类足球和B类足球均按照定价的付款．问：学校需要购买30个A类足球和30个B类足球，选择哪家供应商更便宜． 【答案】（1）A类足球单价为85元，B类足球单价为80元；（2）选择乙供应商更便宜 【分析】（1）根据两种购买方案的花费条件，设A、B类足球单价为未知数，列二元一次方程组，利用消元法求解单价； （2）分别按照甲、乙供应商的优惠规则，计算购买指定数量足球的总费用，通过比较费用大小确定更优惠的供应商． 解：（1）解：设A类足球的单价为x元，B类足球的单价为y元 根据题意得，， 解得， 答：A类足球单价为85元，B类足球单价为80元； （2）解：∵买5个A类足球送1个B类足球，购买30个A类足球， ∴可赠送B类足球的数量为（个） ∴需要购买B类足球的数量为（个） 甲供应商的总费用为（元） 乙供应商的总费用为（元）， ∵， ∴选择乙供应商更便宜． 6．（25-26七年级下·北京海淀·期中）列二元一次方程组解答问题： 2025年12月26日，北大附中初中部“畅听杯”合唱节圆满落幕．本届合唱节以“歌漾山河·强国有我”为主题，为初一年级同学们搭建了凝聚班级向心力、提升艺术审美、厚植家国情怀的展示舞台．为了呈现更精彩的舞台效果，某班担任合唱指挥、伴奏、伴舞与主唱的同学计划单独租赁演出服装．为享受团购优惠，该班与另一班级商议后决定一起租用服装．已知其中一个班级租赁5套男生演出服和5套女生演出服，共花费300元；另一个班级租赁3套男生演出服和7套女生演出服，共花费320元，求每套男生演出服与每套女生演出服的租赁费用分别是多少元？ 【答案】每套男生演出服的租赁费用是25元，每套女生演出服的租赁费用是35元 【分析】设每套男生演出服的租赁费用是元，每套女生演出服的租赁费用是元，根据题意列二元一次方程求解即可． 解：设每套男生演出服的租赁费用是元，每套女生演出服的租赁费用是元， ， 解得， 答：每套男生演出服的租赁费用是25元，每套女生演出服的租赁费用是35元． 【考点二】一元一次不等式（组）实际应用 【题型 6】分配问题（6题） 1．（24-25七年级下·宁夏吴忠·期末）课外阅读课上，老师将本书分给各个小组，每组本，还有剩余；每组本，却又不够．这个课外阅读小组共有（   ） A．组 B．组 C．组 D．组 【答案】B 【分析】设小组数量为，根据题意列出一元一次不等式组，求出的取值范围，取范围内的正整数即可得到结果． 解：设一共有个小组，为正整数， ∵每组本有剩余，每组本不够， ∴可得， 解不等式，得， 解不等式，得， ∴不等式组的解集为， ∵为正整数， ∴，故一共有个小组． 2．（24-25八年级下·山东枣庄·月考）春雨中学九年级（1）班和九年级（2）班的同学外出参观，将两班的所有学生分成8组，如果每组人数比预定每组人数多1人，那么学生总数将超过100人；如果每组人数比预定每组人数少1人，那么学生总数将不到90人．则预定每组学生有___________人． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的实际应用，根据题意列出不等式组是解题的关键． 设预定每组分配人，根据两班的所有学生分成8组，如果每组人数比预定每组人数多1人，那么学生总数将超过100人；如果每组人数比预定每组人数少1人，那么学生总数将不到90人，列出不等式方程组求解即可． 解：设预定每组分配人，根据题意可得： 解得： ∵为整数， ∴， 故答案为：． 3．（24-25八年级下·宁夏银川·期中）一堆玩具分给若干个小朋友，若每人分2件，则剩余3件；若前面每人分3件，则最后一个人得到的玩具数不足2件．求小朋友的人数与玩具数． 【答案】小朋友的人数与玩具数分别为5人、件或6人、件． 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的应用，解本题的关键在于找出小朋友人数和玩具数之间的关系式． 设小朋友的人数为人，玩具数为，则，，且，的是正整数，将代入求出、的值，当求出的值后，求的值即可． 解：设小朋友的人数为人，玩具数为，由题意可得： ， ，即：， 解得，由于的是正整数，所以的取值为5人或6人， 当时，件； 当时，件； 所以小朋友的人数及玩具数分别为5人、件或6人、件． 4．（24-25七年级下·甘肃甘南·期末）养殖场计划用甲乙两种原料配制饲料，已知每千克甲原料含营养物质为200克；每千克乙原料含营养物质为300克．如果要求配好的饲料每千克中含营养物质不低于240克、不高于245克．求配制每千克饲料需要甲原料的重量范围． 【答案】配制每千克饲料需要甲原料的重量范围为大于等于千克，且小于等于千克 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的实际应用，设配制每千克饲料需要甲原料x千克，则需要乙原料千克，根据配好的饲料每千克中含营养物质不低于240克、不高于245克建立不等式组求解即可． 解：设配制每千克饲料需要甲原料x千克，则需要乙原料千克， 由题意得，， 解得， 答：配制每千克饲料需要甲原料的重量范围为大于等于千克，且小于等于千克． 5．（24-25九年级下·新疆·期中）（1）解方程：； （2）把一些书分给同学，若每人分3本，则余8本；若前面的每名同学分5本，则最后一人有但分不到3本．则共有多少名同学？ 【答案】（1）；（2）6名 【分析】本题考查了解一元一次方程、一元一次不等式组的应用，熟练掌握方程的解法和不等式组的应用是解题关键． （1）按照去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解方程即可得； （2）设共有名同学，根据若每人分3本，则余8本；若前面的每名同学分5本，则最后一人有但分不到3本建立不等式组，解不等式组，结合为正整数求解即可得． 解：（1）， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． （2）设共有名同学， 由题意得：， 解得， ∵为正整数， ∴， 答：共有6名同学． 6．（25-26七年级下·全国·课后作业）七年级某班部分学生参加端午节包粽子活动，活动结束后把包好的粽子分给这些学生．如果每人分4个，那么余6个；如果前面的学生每人分5个，那么最后1名学生能分到的粽子不少于2个但少于4个．求参加端午节包粽子活动的学生的人数． 【答案】8或9 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，找准数量关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键． 两次分配的粽子数量是相等的，因此可设有人包粽子，则表示出粽子总量为个，第二次分配时最后一个人的粽子数量为个．根据最后一名学生能分到的粽子不少于个但少于个列出不等式组，求正整数解即可． 解：设参加端午节包粽子活动的学生有人． 由题意，得， 解得． ∵为正整数， ∴可取或， 答：参加端午节包粽子活动的学生的人数为或． 【题型 7】方案选择问题（6题） 1．（24-25九年级下·湖北襄阳·自主招生）三种图书的单价分别为元、元和元，某学校计划恰好用元购买上述图书本，那么不同的购书方案有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】B 【分析】本题主要考查了三元一次方程组的应用，不等式组的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程组，准确计算确定取值范围． 设购买元、元和元图书的数量分别为a、b、c本，根据总本数和总金额列出方程组，通过代入消元得到a与c的关系，再根据非负整数条件确定a的取值范围，从而得到方案数． 解：设购买三种图书的数量分别为a、b、c本， 由题意得：， 整理得：， ∵a、b、c为非负整数， ∴， 解得：， ∴a的取值范围为0到的整数，共种可能的取值，（分别为0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，）， 对于每一个a值，对应地可求出唯一的b和c， ∴不同的购书方案共有种． 故选：B． 2．（24-25七年级下·湖南怀化·期末）怀化国际陆港某货场现有甲种货物和乙种货物，拟用两种集装箱将其运走．已知甲种货物和乙种货物可装满一个型集装箱，甲种货物和乙种货物可装满一个型集装箱．若共使用了50个集装箱，则有___________种具体的运输方案． 【答案】3 【分析】本题考查了列一元一次不等式组解实际问题的运用， 一元一次不等式组的解法的运用， 解答中运用为整数的隐含条件求出结论是解答的关键 ． 设安排A中集装箱个， 则安排B中集装箱个， 根据题意建立不等式组， 然后求出其解集， 根据解集就可以确定装运方案 ． 解：设安排A种集装箱x个，则安排B种集装箱个． 根据题意，得， 解不等式①，得； 解不等式②，得， 所以不等式组的解集为， 因为x取正整数，所以x取28，29，30， 当时，；当时，；当时，． 故有三种运输方案：方案一：安排A种集装箱28个，B种集装箱22个； 方案二：安排A种集装箱29个，B种集装箱21个； 方案三：安排A种集装箱30个，B种集装箱20个． 故答案为：3． 3．（25-26八年级下·江西九江·期中）某校计划租用座甲种客车和座乙种客车共辆，运送名学生外出活动，要求甲种客车不少于辆，问共有几种符合条件的租车方案？ 【答案】共有3种符合条件的租车方案 【分析】设甲种客车租用辆，则乙种客车租用辆，根据题意列出不等式组，求出其中的整数解，并列出方案即可． 解：设甲种客车租用辆，则乙种客车租用辆， 根据题意，列不等式组得， 由②得， ∴不等式组的解集为，其中整数解为，，， 租车方案如下： 租用甲种客车辆，乙种客车辆； 租用甲种客车辆，乙种客车辆； 租用甲种客车辆，不租用乙种客车． 答：共有3种符合条件的租车方案． 4．（25-26八年级下·河南平顶山·期中）剪纸是我国著名的非物质文化遗产，学校准备购进A，B两种样式的剪纸用于课外拓展课，A种剪纸每幅10元，B种剪纸每幅8元，计划购进A，B两种类型剪纸共100幅，购买预算不超过920元，且购进的A种剪纸数量不少于B种剪纸数量的一半，则至少购进A种剪纸多少幅？并直接写出共有几种购买方案． 【答案】至少购进A种剪纸34幅．共有27种购买方案 【分析】设购进A种剪纸x幅，则购进B种剪纸幅，根据购买预算不超过920元，且购进的A种剪纸数量不少于B种剪纸数量的一半列出不等式组，解不等式组并结合为正整数进行解答即可． 解：设购进A种剪纸x幅，则购进B种剪纸幅， 根据题意得：， 解得：， 又为正整数， 的最小值为34，最大值为．即共有27种购买方案． 答：至少购进A种剪纸34幅．共有27种购买方案． 5．（25-26七年级下·贵州铜仁·期中）某公交公司要购买10辆节能环保车，包括W型和U型两种．如果用400万元能购买1辆W型公交车和2辆U型公交车，用600万元能购买3辆W型公交车和2辆U型公交车． （1）一辆W型公交车的单价是多少万元？一辆U型公交车呢？ （2）W型公交车和U型公交车的运客量不同，分别为60万人次和100万人次．如果用不多于1200万元的费用购进这10辆公交车，且总运客量不能低于680万人次，有哪些方案可供选择？ 【答案】（1）一辆W型公交车单价为100万元，一辆U型公交车单价为150万元；（2）共有三种可行方案，方案1：购买W型公交车6辆，U型公交车4辆；方案2：购买W型公交车7辆，U型公交车3辆；方案3：购买W型公交车8辆，U型公交车2辆 【分析】（1）设一辆W型公交车单价为万元，一辆U型公交车单价为万元，由题意易得，然后进行求解即可； （2）设购买W型公交车辆，则购买U型公交车辆，由题意易得，然后进行求解即可． 解：（1）解：设一辆W型公交车单价为万元，一辆U型公交车单价为万元，由题意得： ， 解得：； 答：一辆W型公交车单价为100万元，一辆U型公交车单价为150万元． （2）解：设购买W型公交车辆，则购买U型公交车辆，由题意得： ， 解得：， ∵是正整数， ∴的取值为， ∴或或； 答：共有三种可行方案，方案1：购买W型公交车6辆，U型公交车4辆；方案2：购买W型公交车7辆，U型公交车3辆；方案3：购买W型公交车8辆，U型公交车2辆． 6．（25-26八年级下·陕西西安·阶段检测） “全民阅读”深入人心，好读书，读好书，让人终身受益．为满足同学们的读书需求，学校图书馆准备到新华书店采购《西游记》和《骆驼祥子》两本书．经了解20本《西游记》和40本《骆驼祥子》共需1600元，20本《西游记》比20本《骆驼祥子》多400元． （1）求每本《西游记》和每本《骆驼祥子》各多少元？ （2）若学校要求购买《骆驼祥子》比《西游记》多20本，而且《西游记》不低于25本，总费用不超过2000元，请求出所有符合条件的购书方案． 【答案】（1）每本《西游记》40元，每本《骆驼祥子》20元；（2）有2种购买方案，详见分析 【分析】（1）设每本《西游记》x元，每本《骆驼祥子》y元，根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）设学校购买m本《西游记》，则购买本《骆驼祥子》，根据题意列出不等式组求出的正整数解即可． 解：（1）解：设每本《西游记》x元，每本《骆驼祥子》y元， 根据题意得：， 解得：． 答：每本《西游记》40元，每本《骆驼祥子》20元； （2）解：设学校购买m本《西游记》，则购买本《骆驼祥子》， 根据题意得：， 解得， 又∵m为正整数， ∴m可以为25，26， ∴该学校共有2种购买方案， 方案1：购买25本《西游记》，45本《骆驼祥子》； 方案2：购买26本《西游记》，46本《骆驼祥子》． 【题型 8】营销与利润问题（6题） 1．（24-25七年级下·广西百色·期末）某工厂试制新产品2000只，工本费共700元，每只售价2元，在保证盈利1000元以上的情况下，售出的产品数量的范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是一元一次不等式组的应用，根据新产品2000只，工本费共700元，每只售价2元，在保证盈利1000元以上的情况下，则售出的产品数量满足，再解不等式组即可． 解：由题意可得：， 由可得：， ∴； 故选：A． 2．（2025·河北邯郸·二模）淇淇第一次以5元/千克的价格买了2千克西红柿，第二次以元/千克的价格买了4千克西红柿，两次购买西红柿的平均价格每千克大于5元且小于6元，若恰好是整数，则___________． 【答案】 【分析】本题考查不等式解应用题，根据题意求出两次购买西红柿的平均价格，列出不等式求解即可得到答案．读懂题意，准确求出两次购买西红柿的平均价格是解决问题的关键． 解：第一次以5元/千克的价格买了2千克西红柿， 第一次花费元； 第二次以元/千克的价格买了4千克西红柿， 第二次花费元； 两次购买西红柿的平均价格每千克大于5元且小于6元， ， 解得， 恰好是整数， ， 故答案为：． 3．（25-26八年级下·广东佛山·期中）为了响应“足球进校园”的号召，育才中学开设了“足球大课间活动”，为此学校准备购买A，B两种品牌的足球共40个，已知A品牌足球每个80元，B品牌足球每个60元，其中购买A品牌足球的数量不少于B品牌足球的数量，且总费用不超过2900元，学校最多买多少个A品牌的足球？ 【答案】25个 【分析】根据题目中的两个不等关系列出不等式组，求解后取x的最大值即可得到结果． 解：设购买A品牌足球的数量为，则购买B品牌足球的数量为 个， 根据题意列不等式组 ， 解第①个不等式得：， 解第②个不等式得：， 因此不等式组的解集为：， 所以的最大值为． 答：学校最多买25个A品牌的足球． 4．（25-26七年级下·北京通州·期中）剪纸是我国著名的非物质文化遗产，学校准备购进两种样式的剪纸用于课外拓展课，A种剪纸每幅10元、B种剪纸每幅8元，计划购进两种类型剪纸共100幅，购买预算不超过900元，且购进的B种剪纸数量不大于A种剪纸数量的2倍，则至少购进A种剪纸多少幅？ 【答案】34幅 【分析】设购进种剪纸幅，则购进种剪纸幅，根据“购买预算不超过900元，且购进的B种剪纸数量不大于A种剪纸数量的2倍”列不等式组求解即可． 解：设购进种剪纸幅，则购进种剪纸幅， ， 由①得，， 由②得，， 不等式组解集为， 为整数， ， ∴最小整数解为， 答：至少购进A种剪纸34幅． 5．（25-26八年级上·陕西西安·期末）为了提升学生的审美素养与艺术实践能力，学校计划采购画笔套装与音乐礼盒两种美育资源共40套，作为美育课堂的辅助材料．已知画笔套装单价为80元，音乐礼盒单价为30元．学校经费预算不超过2000元．在保证学生能同时接触绘画与音乐两类美育资源的前提下，学校最多能购买多少套画笔套装？ 【答案】16 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，正确理解题意、找准相等关系和不等关系是解题的关键； 设画笔套装购买套，则音乐礼盒购买套，根据预算和同时接触两种资源的条件，列出不等式组并求解 解：设画笔套装购买套，则音乐礼盒购买套 根据题意： 解得：1 因此的最大值为16， 答：学校最多能购买16套画笔套装． 6．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）为增强学生体质，丰富学生课余活动，学校决定添置一批篮球和足球．已知篮球价格为200元/个，足球价格为150元/个．若学校计划用不超过3550元的总费用购买篮球和足球共20个，且购买篮球的数量多于购买足球的数量，求学校购买篮球的数量． 【答案】 【分析】本题考查一元一次不等式组的实际应用，找出不等关系并列出不等式组是解题的关键． 根据总费用不超过3550元，购买篮球的数量多于购买足球的数量，列出不等式组，求解即可． 解：设购买篮球个，则购买足球个，根据题意，得 ， 解得：， ∵篮球和足球的数量是整数， ∴， 答：学校购买篮球个． 【题型 9】限额类问题（6题） 1．（24-25七年级下·河南驻马店·期中）足球比赛规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，已知某队一共比赛了10场，均保持不败，得分超过22分，则该队（   ） A．最多胜了6场 B．最多胜了7场 C．最少胜了6场 D．最少胜了7场 【答案】D 【分析】此题考查了一元一次不等式的应用，设该队胜了场，则平了场，均保持不败，得分超过22分，据此列不等式，解不等式即可得到答案． 解：设该队胜了场，则平了场， 根据题意得：， 解得 ∴该队最少胜了7场 故选：D 2．（24-25七年级下·四川德阳·阶段检测）某种出租车的收费标准：起步价5元（即行驶距离不超过3千米都需付5元车费），超过3千米以后，每增加1千米，加收1.2元（不足1千米按1千米计）．某人乘这种出租车从甲地到乙地共付车费15.8元，设甲地到乙地路程是x千米，则x的范围是________． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键． 设甲地到乙地的路程为千米，根据题意列出一元一次不等式组，并求解即可获得答案． 解：设甲地到乙地的路程为千米， 根据题意，可得， 解得：． 故答案为：． 3．（24-25八年级上·浙江湖州·期中）某市为了提升菜篮子工程质量，计划用大、中型车辆共30辆调拨不超过190吨蔬菜和不超过162吨肉制品补充当地市场．已知一辆大型车可运蔬菜8吨和肉制品5吨；一辆中型车可运蔬菜3吨和肉制品6吨． （1）符合题意的运输方案有几种？请你帮助设计出来； （2）若一辆大型车的运费是800元，一辆中型车的运费为600元，试说明（1）中哪种运输方案费用最低？最低费用是多少元？ 【答案】（1）见分析；（2）安排辆大型车，辆中型车所需费用最低，最低费用是元 【分析】本题考查一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键． （1）设安排x辆大型车，则安排辆中型车，根据30辆车调拨不超过190吨蔬菜和162吨肉制品补充当地市场，即可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围，结合x为整数即可得出各运输方案； （2）根据总运费＝单辆车所需费用×租车辆车可分别求出三种租车方案所需费用，比较后即可得出结论． 解：（1）解：设安排辆大型车，则安排辆中型车， 依题意，得：， 解得：． 为整数， ，，． 符合题意的运输方案有种，方案：安排辆大型车，辆中型车；方案：安排辆大型车，辆中型车；方案：安排辆大型车，辆中型车． （2）解：方案所需费用为：（元）， 方案所需费用为：（元）， 方案所需费用为：（元）， ， 方案安排辆大型车，辆中型车所需费用最低，最低费用是元． 4．（25-26七年级下·河南周口·期中）某学校计划购买A、B两种奖品共100件，A奖品每件20元，B奖品每件15元． （1）若购买两种奖品共花费1650元，求A、B两种奖品各购买多少件？ （2）若购买B奖品的数量不少于A奖品数量的倍，总费用不少于1650元，问有几种购买方案？ 【答案】（1）购买A种奖品30件，则购买B种奖品70件；（2）三种方案 【分析】（1）设购买A种奖品x件，则购买B种奖品件，根据题意得，然后解方程即可； （2）设购买A种奖品m件，则购买B种奖品件，根据题意列出不等式组求解即可． 解：（1）解：设购买A种奖品x件，则购买B种奖品件， 根据题意得， 解得， 则， 答：购买A种奖品30件，则购买B种奖品70件； （2）解：设购买A种奖品m件，则购买B种奖品件， 根据题意得，​ 解不等式①得； 解不等式②得， ∴， 当时，； 当时，； 当时，； 综上：共有三种购买方案． 5．（25-26八年级上·浙江金华·期中）某商场准备购进A，B两种商品进行销售，A商品的进价为每件30元，售价为40元，B商品的进价为每件40元，售价为60元．现计划购进A，B两种商品100件，设购买A商品a件． （1）求出总利润（用含a的代数式表示）； （2）若A商品不少于59件，总利润不少于1380元，求出所有的进货方案． 【答案】（1）；（2）方案一：A商品59件，B商品41件；方案二：A商品60件，B商品40件；方案三：A商品61件，B商品39件；方案四：A商品62件，B商品38件 【分析】本题考查了列代数式，一元一次不等式组的应用，理解题意，正确列出代数式和一元一次不等式组是解此题的关键． （1）设购买A商品a件，则购买B商品件，根据总利润 A商品利润 B商品利润，列出代数式即可； （2）根据题意列出一元一次不等式组，解不等式组即可得解． 解：（1）解：设购买A商品a件，则购买B商品件， 由题意可得：总利润（元）； （2）解：由题意可得：， 解得：， ∵为整数， ∴或或或， ∴共有四种方案：方案一：A商品59件，B商品41件；方案二：A商品60件，B商品40件；方案三：A商品61件，B商品39件；方案四：A商品62件，B商品38件． 6．（2021·广西百色·一模）洛阳市某家电商场要购进一批电视机和洗衣机，根据市场调查，决定电视机进货量不少于洗衣机进货量的一半，电视机与洗衣机的进价和售价如表： 类别 电视机 洗衣机 进价元台 售价元台 计划购进电视机和洗衣机共台，商店最多可筹资金元． （1）请你帮助商场算一算有多少进货方案？不考虑除进价之外的其它费用 （2）哪种进货方案待商店销售完购进的电视机与洗衣机后获得利润最多？并求出最多利润．利润售价进价 【答案】（1）有种方案；（2）购进电视36台，洗衣机66台，元 【分析】 设购进电视台，洗衣机就为台，根据电视机的进价为元台，洗衣机的进价为元台，根据电视机进货量不少于洗衣机的进货量的一半，以及超市最多可筹集资金元可列不等式组求解．看看电视机的利润和洗衣机的利润，谁的大就多购进．可求出最大利润． 解：（1）解：设购进电视台，洗衣机就为台． ， 解得． 当电视机有台，洗衣机就有台； 当电视机有台，洗衣机就有台； 当电视机有台，洗衣机就有台； 所以可有种方案． （2）解：每台电视机的利润为：元， 每台洗衣机的利润为：元， 故电视机购进的越多利润越大．即当电视机有台，洗衣机就有64台利润最多； 利润最多为：元． 答：当电视机有台，洗衣机就有64台利润最多，最多利润是元． 【点拨】本题考查一元一次不等式的应用，关键是根据数量和钱数作为不等量关系列出不等式组求解，以及根据每台洗衣机和电视机的利润选择方案，且求出利润． 【考点三】二元一次方程组与一元一次不等式（组）实际应用综合 【题型 10】方案问题（6题） 1．（2026·河南平顶山·二模）某复印店购进一批复印纸和墨盒．购进箱复印纸和箱墨盒共需元；购进箱复印纸和箱墨盒共需元． （1）求复印纸和墨盒每箱的价格． （2）若复印店计划采购复印纸和墨盒共箱，且复印纸的箱数不多于墨盒的倍，复印纸和墨盒的采购总费用不超过元，该复印店共有几种采购方案？（不需要写出具体方案） 【答案】（1）复印纸元；墨盒元；（2）种． 【分析】（）设复印纸每箱元，墨盒每箱元，由题意得，然后解方程组即可； （）设购进墨盒箱，则购进复印纸箱，由题意得，然后解不等式组即可． 解：（1）解：设复印纸每箱元，墨盒每箱元， 由题意，得， 解得， 答：复印纸每箱元，墨盒每箱元； （2）解：设购进墨盒箱，则购进复印纸箱， 由题意，得， 解得， ∵为整数， ∴（种）， ∴该复印店共有种采购方案． 2．（25-26八年级下·四川成都·期中）在某市创建全国卫生城市活动中，某小区积极响应，决定在小区内安装垃圾分类的温馨提示牌和垃圾箱，若购买2个温馨提示牌和3个垃圾箱共需550元，且垃圾箱单价是温馨提示牌单价的3倍． （1）求温馨提示牌和垃圾箱的单价各是多少元？ （2）该小区至少需要安放23个垃圾箱，如果购买温馨提示牌和垃圾箱共50个，且费用不超过5000元，请你列举出所有购买方案，并指出哪种方案所需资金最少？最少是多少元？ 【答案】（1）温馨提示牌的单价是50元，垃圾箱的单价是150元；（2）共有3种购买方案，分别是：方案1：购买23个垃圾箱，27个温馨提示牌；方案2：购买24个垃圾箱，26个温馨提示牌；方案3：购买25个垃圾箱，25个温馨提示牌；购买23个垃圾箱、27个温馨提示牌的方案所需资金最少，最少是4800元. 【分析】（1）设温馨提示牌的单价是x元，垃圾箱的单价是y元，根据“购买2个温馨提示牌和3个垃圾箱共需550元，且垃圾箱单价是温馨提示牌单价的3倍”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买m个垃圾箱，则购买个温馨提示牌，根据“至少需要购买23个垃圾箱，且购买费用不超过5000元”，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，结合m为正整数，即可得出各购买方案，再求出选择各方案所需资金，比较后即可得出结论． 解：（1）解：设温馨提示牌的单价是x元，垃圾箱的单价是y元， 依题意得：， 解得：． 答：温馨提示牌的单价是50元，垃圾箱的单价是150元． （2）解：设购买m个垃圾箱，则购买个温馨提示牌， 依题意得：， 解得：， 又∵m为正整数， ∴m可以为23，24，25， ∴共有3种购买方案，方案1：购买23个垃圾箱，27个温馨提示牌；方案2：购买24个垃圾箱，26个温馨提示牌；方案3：购买25个垃圾箱，25个温馨提示牌； 选择方案1所需资金为（元）； 选择方案2所需资金为（元）； 选择方案3所需资金为（元）． ∵， ∴方案1所需资金最少，最少是4800元． 3．（25-26七年级下·湖南衡阳·期中）为了更好治理西太湖水质，保护环境，市治污公司决定购买10台污水处理设备，现有A、B两种型号的设备．经调查：购买3台A型设备和2台B型设备一共26万元，购买2台A型设备比购买4台B型设备少4万元． （1）求A型、B型设备每台各是多少钱； （2）经预算：市治污公司购买污水处理设备的资金不超过54万元，并且A型设备的数量不少于B型设备的数量，则有哪几种购买方案？请写出最省钱的一种购买方案，并写出相应的费用． 【答案】（1）A型设备每台6万元，B型设备每台4万元；（2）共有三种购买方案：①购买A型设备5台，B型设备5台；②购买A型设备6台，B型设备4台；③购买A型设备7台，B型设备3台． 最省钱的购买方案为购买A型设备5台，B型设备5台，相应费用为50万元． 【分析】（1） 设购买A型的价格是x万元，购买B型的设备y万元，根据购买3台A型设备和2台B型设备一共26万元，购买2台A型设备比购买4台B型设备少4万元可列方程组求解； （2）设购买A型号设备x台，则B型为台，根据市治污公司购买污水处理设备的资金不超过54万元，并且A型设备的数量不少于B型设备的数量，可列不等式组求解． 解：（1）解：设A型设备每台万元，B型设备每台万元，则 ， 解得∶ ， 故A型设备每台6万元，B型设备每台4万元． （2）解：设购买污水处理设备A型设备x台，B型设备台， 根据题意得，， 解得：， ∵为整数， ∴x为5、6，7． 购买方案：①购买A型设备5台，B型设备5台；费用为（万元）， ②购买A型设备6台，B型设备4台；费用为（万元）， ③购买A型设备7台，B型设备3台；费用为（万元）， 最省钱的购买方案为购买A型设备5台，B型设备5台，相应费用为50万元． 4．（25-26七年级下·云南昆明·阶段检测）某茶叶经销商计划购进甲、乙两种茶叶共80件，若甲种茶叶进价为每件120元，乙种茶叶进价为每件100元．已知3件甲种茶叶和2件乙种茶叶的售价共900元；1件甲种茶叶和4件乙种茶叶的售价共800元． （1）求甲、乙两种茶叶每件的售价分别是多少元？ （2）该经销商计划用不超过9250元购进甲、乙两种茶叶，且甲种茶叶的件数不少于乙种茶叶件数的3倍，则有哪几种进货方案？ （3）该经销商为尽快回笼资金，采取如下优惠活动：甲种茶叶售价下调元，乙种茶叶售价不变．若甲、乙两种茶叶的进价不变，并且无论如何进货，这80件茶叶销售总利润保持不变，求的值． 【答案】（1）甲种茶叶每件的售价是元，乙种茶叶每件的售价是元；（2）共有种进货方案；（3） 【分析】（1）设甲种茶叶每件的售价是元，乙种茶叶每件的售价是元，根据题意列方程组即可求解； （2）设甲种茶叶进货件，乙种茶叶进货件，根据题意列出一元一次不等式组，即可求解； （3）设甲种茶叶进货件，乙种茶叶进货件，先分别求出甲、乙单件的利润，再求出总利润，根据“无论如何进货，销售总利润保持不变”，即可求解． 解：（1）解：设甲种茶叶每件的售价是元，乙种茶叶每件的售价是元， 依题意得：， 解得：， 甲种茶叶每件的售价是元，乙种茶叶每件的售价是元； （2）解：设甲种茶叶进货件，乙种茶叶进货件， 根据题意得：， 解得：， 又是整数， 可以取：、、， 共有种进货方案； （3）解：设甲种茶叶进货件，乙种茶叶进货件， 甲种茶叶单件的利润为：， 乙种茶叶单件的利润为：， 总利润为：， 无论如何进货，这件茶叶销售总利润保持不变， ， 解得：． 5．（25-26八年级下·陕西西安·期中）2020年4月，随着蔚来中国总部落户合肥，全国新能源汽车之都已成为合肥新的代名词．某汽车经销商销售A，B两种型号的新能源汽车，已知购进3台A型新能源汽车和2台B型新能源汽车需要70万元，购进2台A型新能源汽车和1台B型新能源汽车需要40万元． （1）问A型，B型新能源汽车的单价分别是多少万元？ （2）若该经销商计划购进A型和B型两种新能源汽车共20辆，费用不超过320万元，且A型新能源汽车的数量少于B型新能源汽车的数量，请你给出费用最省的方案，并求出该方案所需费用． 【答案】（1）A型新能源汽车的单价为10万元，B型新能源汽车的单价为20万元；（2）费用最省的方案为购进9辆A型新能源汽车，11辆B型新能源汽车，该方案所需费用为310万元 【分析】（1）设A型新能源汽车的单价为x万元，B型新能源汽车的单价为y万元，根据“购进3台A型新能源汽车和2台B型新能源汽车需要70万元，购进2台A型新能源汽车和1台B型新能源汽车需要40万元”，即可得出关于的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购进A型新能源汽车m辆，则购进B型新能源汽车辆，根据“购进A型和B型两种新能源汽车共20辆，费用不超过320万元，且A型新能源汽车的数量少于B型新能源汽车的数量”，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，结合m为整数即可得出各进货方案，再利于总价=单价×数量，可分别求出各购进方案所需费用，比较后即可得出结论． 解：（1）解：设A型新能源汽车的单价为x万元，B型新能源汽车的单价为y万元， 依题意得：， 解得：， 答：A型新能源汽车的单价为10万元，B型新能源汽车的单价为20万元； （2）解：设购进A型新能源汽车m辆，则购进B型新能源汽车辆， 依题意得：， 解得：， 又∵m为整数， ∴m可以取8，9， ∴共有两种进货方案， 方案1：购进8辆A型新能源汽车，12辆B型新能源汽车，该方案所需费用为（万元）； 方案2：购进9辆A型新能源汽车，11辆B型新能源汽车，该方案所需费用为（万元）； ∵， ∴费用最省的方案为购进9辆A型新能源汽车，11辆B型新能源汽车，该方案所需费用为万元． 6．（25-26七年级下·安徽阜阳·期中）为了让学生加强体育锻炼，增强体质，2022版新课标中，体育与健康的课时占比将提高到10%~11%．某学校积极行动，给各班购买跳绳和毽子作为活动器材．已知购买3根跳绳和5个毽子共需41元；购买6根跳绳和4个毽子共需58元． （1）求购买一根跳绳和一个毽子分别需要多少元； （2）某班需要购买跳绳和毽子的总数量是54，且购买的总费用不超过300元，若要求购买跳绳的数量多于25根， ①求共有哪几种购买方案； ②比较哪一种购买方案更省钱． 【答案】（1）购买一根跳绳需要7元，购买一个毽子需要4元；（2）①共有三种购买方案：方案一：购买跳绳26根，毽子28个；方案二：购买跳绳27根，毽子27个；方案三：购买跳绳28根，毽子26个；②方案一更省钱：购买跳绳26根，毽子28个 【分析】（1）设购买一根跳绳需要x元，购买一个毽子需要y元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组，即可求解； （2）①设购买跳绳m根，则购买毽子个，根据题意解不等式组，求得整数解，即可求解； ②分别求得各方案的费用，比较大小，即可求解． 解：（1）解：设购买一根跳绳需要x元，购买一个毽子需要y元，由题意得： 解得： 答：购买一根跳绳需要7元，购买一个毽子需要4元． （2）解：①设购买跳绳m根，则购买毽子个， 由题意得： 解得：． 为正整数， ∴，，． 共有三种购买方案：方案一：购买跳绳根，毽子个； 方案二：购买跳绳根，毽子个； 方案三：购买跳绳根，毽子个． ②方案一的费用为：元， 方案二的费用为：元， 方案三的费用为：元． ， 方案一更省钱：购买跳绳根，毽子个． 【题型 11】营销与利润问题（6题） 1．（25-26七年级下·四川眉山·期中）国家一直倡导节能减排，改善环境，大力扶持新能源汽车的销售，某汽车专卖店销售A，B两种型号的新能源汽车．上周售出1辆A型车和3辆B型车，销售额为96万元；本周已售出2辆A型车和1辆B型车，销售额为62万元． （1）求每辆A型车和B型车的售价各为多少万元？ （2）甲公司拟向该店购买A，B两种型号的新能源汽车共6辆，且A型号车不少于2辆，购车费不少于130万元，则有哪几种购车方案？ （3）已知每辆A型车的进价为15万元，每辆B型车的进价为20万元，在（2）的购车方案中，哪种方案的利润最高？最高利润是多少万元？ 【答案】（1）每辆A型车的售价为18万元，每辆B型车的售价为26万元；（2）共有2种购车方案，方案1：购买2辆A型车，4辆B型车；方案2：购买3辆A型车，3辆B型车；（3）购买2辆A型车4辆B型车的方案利润最高，最高利润是30万元． 【分析】（1）设未知数根据两周的销售额列二元一次方程组，求解得到两种车的售价； （2）设A型车购买数量，根据A型车数量要求和购车费要求列一元一次不等式组，求整数解得到所有购车方案； （3）分别计算各方案的总利润，比较大小得到最高利润的方案和最高利润． 解：（1）解：设每辆A型车的售价为万元，每辆B型车的售价为万元，依题意得： ， 解得：， 答：每辆A型车的售价为18万元，每辆B型车的售价为26万元； （2）解：设购买辆A型车，则购买辆B型车，依题意得： ， 解得：， 又为正整数， 可以为2，3， 共有2种购车方案，方案1：购买2辆A型车，4辆B型车；方案2：购买3辆A型车，3辆B型车； （3）解：由题意得，每辆A型车的利润为（万元），每辆B型车的利润为（万元）， 方案1的总利润：（万元）， 方案2的总利润：（万元）， ， 购买2辆A型车，4辆B型车的方案利润最高，最高利润是30万元． 2．（25-26七年级下·辽宁盘锦·期中）某纪念品店调查发现：与2025年哈尔滨亚冬会吉祥物滨滨和妮妮相关的A、B两款纪念品深受青少年的喜爱，于是决定购进这两款纪念品，已知购进6个A款纪念品比购进5个B款纪念品多用108元；购进3个A款纪念品和7个B款纪念品共用510元． （1）分别求出A，B两款纪念品的进货单价； （2）该店决定购进这两款纪念品共60个，其总费用不超过3200元，则至少应购买B款纪念品多少个？ 【答案】（1）A款纪念品的进货单价为58元，B款纪念品的进货单价为48元；（2）至少应购买B款纪念品28个 【分析】本题考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用． （1）设A款纪念品的进货单价为x元，则B款纪念品的进货单价为y元，根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）设购买B款纪念品a个，则购买A款纪念品个，根据题意列一元一次不等式求得a的取值范围，即可求解． 解：（1）解：设款纪念品的进货单价为元，款纪念品的进货单价为元， 由题意得， 解得， 答：款纪念品的进货单价为58元，款纪念品的进货单价为48元． （2）解：设购买款纪念品个，则购买款纪念品个， 由题意得，， 解得． 答：至少应购买款纪念品28个． 3．（25-26七年级下·辽宁盘锦·期中）某网店销售甲、乙两种书包，已知甲种书包每个售价比乙种书包每个售价2倍少30元，网购2个甲种书包和3个乙种书包共花费255元（免运费）．请解答下列问题： （1）该网店甲、乙两种书包每个售价各是多少元？ （2）根据消费者需求，该网店决定用不超过8900元购进甲、乙两种书包共200个，且甲种书包的数量超过87个，已知甲种书包每个进价为50元，乙种书包每个进价为40元，该网店有哪几种进货方案； （3）在（2）条件下，求出哪种方案利润最大，最大利润是多少？ 【答案】（1）甲、乙两种书包每个售价分别是60元，45元；（2）共有三种进货方案，方案1：购甲88个，乙112个．方案2：购甲89个，乙111个．方案3：购甲90个，乙110个；（3）方案三利润最大，最大利润是1450元 【分析】（1）设甲种书包每个售价x元，乙种书包每个售价y元，根据题意列二元一次方程组求解； （2）设购进甲种书包m个，则购进乙种书包个，根据题意列出不等式得到，然后结合求解即可； （3）分别计算三种方案的利润比较即可． 解：（1）解：设甲种书包每个售价x元，乙种书包每个售价y元， 根据题意得， 解得， 答：该网店甲种书包每个售价60元，乙种书包每个售价45元； （2）解：设购进甲种书包m个，则购进乙种书包个， 根据题意可得 解得 ∵， ∴ ∵m为整数， ∴、89、90， ，111，110 ∴该网店有3种进货方案： 方案一：购进甲种书包88个，乙种书包112个； 方案二：购进甲种书包89个，乙种书包111个； 方案三：购进甲种书包90个，乙种书包110个． （3）解：方案一：利润为（元）； 方案二：利润为（元）； 方案三：利润为（元）； ∵ ∴方案三利润最大，最大利润是1450元． 4．（25-26九年级下·广西玉林·期中）项目背景：为助力乡村振兴、惠农富农，了解沙田柚的价格情况．小玉、小林、嘉嘉三人到某合作社买沙田柚．小玉、小林先买，购买情况如下： 购买甲种礼盒（只装） 购买乙种礼盒（只装） 一共花费费用 小玉 箱 箱 元 小林 箱 箱 元 项目任务： （1）求甲、乙两种礼盒每箱的售价； （2）嘉嘉计划从该合作社购买甲、乙两种包装的沙田柚礼盒共箱，预算为元．若不超过预算，嘉嘉至少要购买甲种包装的沙田柚礼盒多少箱？ 【答案】（1）甲每箱的售价为元，乙每箱的售价为元；（2）嘉嘉至少要购买甲种包装的沙田柚礼盒箱 【分析】（1）设甲每箱的售价为元，乙每箱的售价为元，根据等量关系列方程组求解即可； （2）设购买甲包装箱箱，乙包装箱，根据总价不能超过元，列出关于的一元一次不等式，解不等式求出的取值范围，再根据为整数求出的值． 解：（1）解：设甲每箱的售价为元，乙每箱的售价为元． 由题意可得：， 解得：， 答：甲每箱的售价为元，乙每箱的售价为元． （2）解：设购买甲包装箱箱，乙包装箱， 根据题意可得：， 解不等式得：， 为整数， 的最小值为， 答：嘉嘉至少要购买甲种包装的沙田柚礼盒箱． 5．（25-26七年级下·上海·期中）为迎接校园文化艺术节，某中学举办了“青春绘梦，艺彩飞扬”绘画比赛，并购买、两种徽章作为奖品．已知购买2个种徽章和3个种徽章需156元；购买4个种徽章和5个种徽章需284元． （1）每个种徽章与每个种徽章的价格分别为多少元？ （2）学校计划购进、两种徽章共60个，已知购进的种徽章数不少于种徽章数的2倍，且总费用不超过2000元，那么购进种徽章的个数是多少？ 【答案】（1）每个A种徽章的价格为元，每个种徽章的价格为元；（2）购进A种徽章的个数是40个 【分析】（1）设每个A种徽章的价格为元，每个种徽章的价格为元，根据题意列出二元一次方程组并求解即可； （2）设购进个A种徽章，则购进个种徽章，再根据题意列出不等式组并求解即可． 解：（1）解：设每个A种徽章的价格为元，每个种徽章的价格为元， 由题意得：， 解得：， 答：每个A种徽章的价格为元，每个种徽章的价格为元； （2）解：设购进个A种徽章，则购进个种徽章， 由题意得：， 解得：， ∴， 答：购进A种徽章的个数是个． 6．（25-26七年级下·四川眉山·期中）为响应眉山东坡区“蜀里安逸∙约惠东坡”消费焕新工程，落实家电“以旧换新”补贴政策，某家电卖场特推出惠民促销活动．请根据以下素材完成任务： “以旧换新”政策 素材1 购买3台节能空调和2台智能洗衣机，补贴后实际花费7900元； 素材2 购买2台节能空调和3台智能洗衣机，补贴后实际花费8100元． 解决问题 （1）任务1，计算节能空调和智能洗衣机每台的补贴后金额各是多少元？ （2）任务2，东坡区某企业为职工采购节能空调和智能洗衣机共10台，要求节能空调的数量不超过7台，且补贴后的实际总花费不超过16000元，请计算出有几种采购方案？哪种方案最省钱？ 【答案】（1）补贴后节能空调每台1500元，智能洗衣机每台1700元；（2）有三种采购方案，采购节能空调7台，智能洗衣机3台更最钱 【分析】（1）设补贴后节能空调每台x元，智能洗衣机每台y元，根据素材1和素材2的购买情况列方程组求解即可； （2）设采购节能空调a台，则采购智能洗衣机台，根据节能空调的数量不超过7台，且补贴后的实际总花费不超过16000元列不等式组求解即可． 解：（1）解：设补贴后节能空调每台x元，智能洗衣机每台y元，由题可得： ， 解得：， ∴补贴后节能空调每台1500元，智能洗衣机每台1700元； （2）解：设采购节能空调a台，则采购智能洗衣机台，由题可得： ， 解得：， ∵a为正整数， ∴， 方案一：采购节能空调5台，智能洗衣机5台，元， 方案二：采购节能空调6台，智能洗衣机4台，元， 方案三：采购节能空调7台，智能洗衣机3台，元， ∵， ∴有三种采购方案，采购节能空调7台，智能洗衣机3台最省钱． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $