七年级下册期末数学复习专题二（选择填空篇）（6大考点23类题型）-2024-2025学年七年级数学下册基础知识专项突破讲与练（苏科版）

七年级下册期末数学复习专题二（选择填空篇）（6大考点23类题型） 苏科版七年级下册数学期末考试的选择题和填空题通常紧扣教材核心知识点，注重基础概念、计算能力和简单应用。本专题结合历年来江苏地区期末考试的特点，分为六个方面汇编了典型题型，供大家期末高效复习使用！ 第一部分 考点与题型目录 【考点一】图形的识别型 【题型一】图形的平移.........................................................................................................................................1 【题型二】轴对称图形.........................................................................................................................................2 【考点二】概念、定义与性质辨析型 【题型三】旋转角、旋转中心、对应点.............................................................................................................2 【题型四】二元一次方程定义及其解.................................................................................................................2 【题型五】不等式基本性质.................................................................................................................................3 【题型六】不等式定义.........................................................................................................................................3 【题型七】定义 命题 证明.................................................................................................................................3 【考点三】计算化简求值型 【题型八】幂的运算.............................................................................................................................................4 【题型九】整式的乘法运算.................................................................................................................................4 【题型十】整式的乘法与几何图形.....................................................................................................................4 【题型十一】整式的乘法化简求值.....................................................................................................................5 【题型十二】解二元一次方程组.........................................................................................................................5 【题型十三】解一元一次不等式（组）.............................................................................................................6 【考点四】几何判定推理、求值型 【题型十三】尺规作图——求值证明.................................................................................................................6 【题型十四】平移性质求值证明.........................................................................................................................7 【题型十五】轴对称求值证明.............................................................................................................................8 【题型十六】旋转求值证明.................................................................................................................................9 【题型十七】轴对称最值...................................................................................................................................10 【题型十八】轴对称折叠求值...........................................................................................................................11 【考点五】几何综合型 【题型十九】平移综合型...................................................................................................................................11 【题型二十】轴对称综合型...............................................................................................................................12 【题型二十一】旋转综合型...............................................................................................................................13 【考点六】实际应用型 【题型二十二】列二元一次方程组....................................................................................................................14 【题型二十三】列一元一次不等式（组）........................................................................................................14 第二部分【题型展示与方法点拨】 【考点一】图形的识别型 【题型一】图形的平移 1．（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）窗棂是中国传统木构建筑的框架结构设计，在园林设计中常常可以看到．下列窗棂图案中可以看作由一个“基本图案”经过平移得到的是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·江苏泰州·期末）下面四个花窗图案，其中运用了“平移”制作的是（   ） A． B． C． D． 【题型二】轴对称图形 1．（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）下列图形中，不是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·江苏盐城·期末）现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性．下列汉字是轴对称图形的是（   ） A．山 B．河 C．无 D．恙 【考点一】概念、定义与性质辨析型 【题型三】旋转角、旋转中心、对应点 1．（2024·福建厦门·模拟预测）如图，将绕点顺时针旋转至．下列角中，是旋转角的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·江苏南京·期末）如图，在方格纸中，线段绕某个点旋转一定角度得到线段，其中点A的对应点是点C，则旋转中心是点 ． 【题型四】二元一次方程定义及其解 1．（23-24七年级下·江苏宿迁·期末）关于、的方程是二元一次方程，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·江苏扬州·期末）唐代初期数学家王孝通撰写的《缉古算经》中记载：“今有五十鹿入舍，小舍容四鹿，大舍容六鹿，需舍几何？”大意为：今有50只鹿进圈舍，小圈舍可以容4头鹿，大圈舍可以容纳6头鹿，若每个圈舍都住满，可选择的方案有（    ） A．6种 B．5种 C．4种 D．3种 10．（22-23七年级下·河南南阳·阶段练习）若是二元一次方程的一个解，则的值为 ． 【题型五】不等式基本性质 3．（23-24七年级下·江苏苏州·期末）若，下列不等式一定成立的是（     ） A． B． C． D． 4．（22-23七年级下·江苏南通·期末）已知实数，b满足，若，则m的最大值为（    ） A．9 B．7 C．5 D． 7．（22-23八年级上·安徽六安·期末）下列命题是真命题的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【题型六】不等式定义 5．（23-24七年级下·江苏宿迁·期末）下列各式中，是不等式的是（     ） A． B． C． D． 6．（23-24七年级下·江苏盐城·期末）为了保障交通安全、畅通，隧道入口处常有汽车限高标识（如图）．下列高度的汽车不可以通过这条隧道的是（       ） A． B． C． D． 12．（22-23七年级下·江苏宿迁·期末）某校女子跑的记录是14秒．在今年的校春季运动会上，很遗憾，没有人能打破该项记录，若参加运动会的女生小丽的成绩为t秒，则用不等式表示为 ． 【题型七】定义 命题 证明 8．（23-24七年级下·江苏泰州·期末）判断命题“如果， 那么” 是假命题，只需举出一个反例，则所举反例中x 的值可以为（     ） A．15 B． C． D．0 9．（23-24七年级下·江苏南京·期末）关于命题“如果，那么”，下列判断正确的是（    ） A．该命题及其逆命题都是真命题 B．该命题是真命题，其逆命题是假命题 C．该命题是假命题，其逆命题是真命题 D．该命题及其逆命题都是假命题 11．（21-22七年级上·江苏苏州·期末）已知关于的不等式，可化为，试化简，正确的结果是 ． 【考点三】计算化简求值型 【题型八】幂的运算 1．（24-25八年级上·江苏南通·期末）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·江苏淮安·期末）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 8．（23-24七年级下·广东深圳·期中）已知，，则 ． 【题型九】整式的乘法运算 3．（21-22八年级上·福建泉州·期末）若的结果中不含项，则a的值为（    ） A．0 B．2 C． D． 4．（23-24七年级下·江苏宿迁·期末）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（22-23七年级下·江苏南京·期末）若多项式可以写成一个整式的平方，则常数的值可以为（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 【题型十】整式的乘法与几何图形 6．（23-24七年级下·江苏徐州·期末）如图，有一块长、宽的长方形纸板，在其四角各剪去一个边长为的小正方形，将四周突出部分折起，可制成一个无盖长方体盒子，该盒子的底面积为（    ） A． B． C． D． 7．（14-15七年级下·江苏宿迁·期末）如图所示，两个正方形的边长分别为a和b，如果，，那么阴影部分的面积是（　　） A．10 B．20 C．30 D．40 9．（23-24八年级上·江苏南通·期末）设有边长分别为a和b（）的A类和B类正方形纸片、长为a宽为b的C类矩形纸片若干张．如图所示要拼一个边长为的正方形，需要1张A类纸片、1张B类纸片和2张C类纸片，若要拼一个长为，宽为的矩形，则需要C类纸片的张数为 张．    【题型十一】整式的乘法化简求值 4．（23-24八年级上·江苏南通·期末）若，则 ． 5．（23-24七年级下·江苏淮安·期末）简便计算：的值为 ． 6．（23-24七年级下·江苏扬州·期末）世纪欧拉引进了求和符号“”（其中，且和表示正整数），对这个符号我们进行如下定义：表示从开始取数一直取到，全部加起来，即．例如：当时，．若，则 ． 【题型十二】解二元一次方程组 1．（22-23七年级下·江苏宿迁·期末）已知，则 ． 2．（2022·江苏宿迁·一模）已知二元一次方程组，则x+y的值等于（　　） A．﹣2 B． C．9 D．22 1．（23-24七年级下·江苏南通·期末）已知实数x，y，m满足，，则代数式的最小值为（    ） A．3 B．4 C． D． 【题型十三】解一元一次不等式（组） 3．（2022·江苏南通·二模）已知关于x的不等式组的解集中至少有5个整数解，则整数a的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 二、填空题 8．（23-24七年级下·江苏泰州·期末）若关于的不等式组有解，则的取值范围是 ． 9．（21-22七年级下·湖北武汉·期末）已知关于的不等式组，下列四个结论： ①若它的解集是，则； ②当，不等式组有解； ③若它的整数解仅有3个，则的取值范围是； ④若它无解，则． 其中正确的结论是 （填写序号）． 【考点四】几何判定推理、求值型 【题型十三】尺规作图——求值证明 1．（21-22七年级下·浙江舟山·期末）如图，直线，表示一条河的两岸，且，现要在这条河上建一座桥（桥与河的两岸相互垂直），使得从村庄P经桥过河到村庄的路程最短，应该选择路线（　　） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·江苏连云港·期中）如图，在的正方形的网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，图中的为格点三角形，在网格中与成轴对称的格点三角形最多能画出（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 9．（22-23七年级下·浙江宁波·期末）两块不同的三角板按如图1所示摆放，AC与边重合，，．接着如图2保持三角板ACD不动，将三角板绕着点C按逆时针旋转后停止．在此旋转过程中，当与三角板ACD的一条边恰好平行时， ．    【题型十四】平移性质求值证明 1．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）如图，将直角沿边的方向平移到的位置，连结，若，，则的长为（   ） A．3 B． C．4 D． 2．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，将三角形平移得到三角形，下列结论中，不一定成立的是（　　） A．或与在同一条直线上 B．或与在同一条直线上 C． D． 7．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）如图，锐角中，，将沿着射线方向平移得到（平移后点，，的对应点分别是点，，），连接，若在整个平移过程中，和的度数之间存在2倍关系，则 ． 【题型十五】轴对称求值证明 3．（22-23八年级上·江苏常州·期中）如图，点是外的一点，点，分别是两边上的点，点关于的对称点恰好落在线段上，点关于的对称点落在的延长线上．若，，，则线段的长为     A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，和关于直线对称，连接，，，其中与直线交于点，点为直线上一点，且不与点重合，连接．下列说法错误的是（    ） A． B．线段，，被直线垂直平分 C． D．线段所在直线的交点不一定在直线上 8．（24-25七年级下·江苏连云港·期中）如图，点是外的一点，点，分别是两边上的点，点关于的对称点恰好落在线段上，点关于的对称点落在的延长线上．若，则线段的长为 ． 【题型十六】旋转求值证明 5．（24-25八年级下·江苏盐城·期中）如图，将绕点B顺时针旋一定角度后，得到，此时点A、B、在同一条直线上，若，则旋转角的度数为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级上·河北石家庄·期末）如图，将三角形绕点O顺时针旋转，得到三角形，若，，则下列选项正确的是（    ）   A． B． C． D． 9．（24-25七年级下·江苏南京·期中）将绕点A按逆时针方向旋转得到．若，则 ． 【题型十七】轴对称最值 3．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）如图，在直角三角形中，，，，，动点M在线段上运动（不与端点重合），点M关于边，的对称点分别为E，F，连接，点D在上，则在点M的运动过程中，线段长度的最小值是（   ） A． B． C．10 D． 4．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，中，，，，、、分别是、、边上的动点，则的最小值是（　　） A． B． C． D． 10．（22-23七年级下·广东佛山·阶段练习）如图1，有一个足够长的矩形纸片，、分别是、上的点，．将纸片含的部分沿折叠，称为第1次操作；继续将纸片含的部分沿折叠，称为第2次操作；以后，重复上述这两步操作，分别记作第3次，第4次，第5次……第操作，则的最大值为 ． 【题型十八】轴对称折叠求值 5．（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）如图，，将长方形纸片沿直线折叠成图， 再沿折痕为折叠成图，则图中的度数为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，是用长方形纸片折纸飞机的操作顺序，则折痕、与飞机头的夹角的度数为（   ） A． B． C． D． 11．（24-25七年级下·江苏淮安·期中）如图，将长方形纸片依次折叠两次：第一次以为折痕，使点落在上的点处；第二次以为折痕，使点与点重合，点落在点处．若，则的度数为 ． 【考点五】几何综合型 【题型十九】平移综合型 7．（2023·天津南开·三模）如图，将直角沿斜边的方向平移到的位置，交于点G，，，的面积为4，下列结论错误的是（    ）    A． B．平移的距离是4 C． D．四边形的面积为16 8．（21-22七年级下·河北衡水·期末）如图，三角形ABC沿着BC所在直线向右平移a个单位长度得到三角形DEF（点E在点C的左侧）．下列判断正确的是（    ） 结论Ⅰ：若BF＝8，EC＝4，则a的值为2； 结论Ⅱ：连接AD，若三角形ABC的周长为18，四边形ABFD的周长为22，则a的值为4． A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对 C．Ⅰ不对Ⅱ对 D．Ⅰ对Ⅱ不对 12．（21-22七年级下·福建莆田·期中）如图，已知三角形ABC中，∠ABC=90°，边BC=12，把三角形ABC沿射线AB方向平移至三角形DEF后，平移距离为6，GC＝4，则图中阴影部分的面积为 ． 【题型二十】轴对称综合型 1．（22-23七年级上·湖北武汉·期末）如图，把一个角沿过点O的射线对折后得到的图形为，现从点O引一条射线，使，再沿把角剪开．若剪开后再展开，得到的三个角中，有且只有一个角最大，最大角是最小角的三倍，则的值为（    ） A． B． C．或 D．或 8．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，将笔记本活页一角以为折痕折叠，使所折部分与活页在同一平面内，其中．现将图中的另一角的边沿着过点的直线折叠，折痕为，点在活页纸边上边足够长，点的对应点也落在活页的同一平面内．若，则 （用含的代数式表示）． 【题型二十一】旋转综合型 3．（23-24七年级上·上海松江·期末）如图1是中国数学会的会徽，，它是由四个相同的直角三角形拼成的一个正方形． 将会徽抽象为图2，记，，． 对图2进行图形运动得到图3，下面的说法不正确的是（    ）    A．可以看作是绕点B顺时针旋转得到 B．可以看作是沿着方向平移距离a，再沿方向平移距离b得到 C．可以看作是绕点D逆时针旋转得到 D．图形运动后，原正方形与六边形的面积相等，可得 9．（22-23七年级上·四川成都·期末）新定义：已知射线、为内部的两条射线，如果，那么把叫作的幸运角．已知，射线与射线重合，并绕点O以每秒5°的速度顺时针旋转，射线与射线重合，并绕点O以每秒3°的速度逆时针旋转，当射线OC旋转一周时运动停止．在旋转过程中，射线，，，中由两条射线组成的角是另外两条射线组成的角的幸运角时， 秒．（本题所有角都指的是小于180°的角） 10．（2022·山东泰安·三模）如图，在Rt△ABC中，，，BC＝2，线段BC绕点B旋转到BD，连AD，E为AD的中点，连接CE，则CE的最大值是 ． 【考点六】实际应用型 【题型二十二】列二元一次方程组 4．（23-24七年级下·江苏苏州·期末）我国古典数学文献《增删算法统宗·六均输》中这样一个题：“甲乙隔沟牧放，二人暗里参详，甲云得乙九只羊，多乙一倍之上，乙说得甲九只，两家之数相当”．译文：甲、乙两人一起放牧，两人心里暗中数羊．如果乙给甲只羊，那么甲的羊数为乙的倍；如果甲给乙只羊，那么两人的羊数相同，请问原来甲，乙各有多少只羊？设原来甲有羊只，乙有羊只，则符合题意的方程组是（     ） A． B． C． D． 5．（23-24七年级下·江苏宿迁·期末）古代一歌谣：栖树一群鸦，鸦树不知数：三个坐一棵，五个地上落；五个坐一棵，闲了一棵树．请你动脑筋，鸦树各几何？若设乌鸦有x只，树有y棵，由题意可列方程组（    ） A． B． C． D． 6．（23-24七年级下·江苏南通·期末）某社区为了打造“书香社区”，丰富小区居民的业余文化生活，计划出资600元全部用于采购甲，乙，丙三种图书．甲种每本40元，乙种每本30元，丙种每本25元，其中甲种图书至少买5本，最多买6本（三种图书都要买），此次采购的方案有（    ） A．6种 B．5种 C．4种 D．3种 【题型二十三】列一元一次不等式（组） 7．（23-24八年级上·湖南湘潭·期末）某服装网店购进男装、女装共100件，其进价和售价如下表： 进价（元/件） 售价（元/件） 男装 260 320 女装 240 290 该服装网店预计获得利润不少于5200元，设购进件男装，根据题意可列不等式（    ） A． B． C． D． 11．（23-24七年级下·江苏徐州·期末）某商品进价40元，标价50元出售，商家准备打折销售，但其利润率不能少于，则最多可打 折． 12．（23-24七年级上·江苏苏州·期末）我国古代《易经》记载，远古时期人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图，一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结，满五进一，用来记录采集到野果的个数．若她采集到的一筐野果不少于46个则在第2根绳子上的打结数至少是 ． 13．（23-24七年级下·江苏南通·期末）小明从家坐公交车上学，每天准时上车，全程6400米，到校，某天小明照常出发，但因交通事故导致交通堵塞，从到，公交车都未能前行，小明决定下车骑共享单车去学校，小明骑车的平均速度至少为 米/分钟，才能保证在之前到校． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 七年级下册期末数学复习专题二（选择填空篇）（6大考点23类题型） 苏科版七年级下册数学期末考试的选择题和填空题通常紧扣教材核心知识点，注重基础概念、计算能力和简单应用。本专题结合历年来江苏地区期末考试的特点，分为六个方面汇编了典型题型，供大家期末高效复习使用！ 第一部分 考点与题型目录 【考点一】图形的识别型 【题型一】图形的平移.........................................................................................................................................1 【题型二】轴对称图形.........................................................................................................................................2 【考点二】概念、定义与性质辨析型 【题型三】旋转角、旋转中心、对应点.............................................................................................................3 【题型四】二元一次方程定义及其解.................................................................................................................4 【题型五】不等式基本性质.................................................................................................................................5 【题型六】不等式定义.........................................................................................................................................7 【题型七】定义 命题 证明.................................................................................................................................8 【考点三】计算化简求值型 【题型八】幂的运算.............................................................................................................................................9 【题型九】整式的乘法运算...............................................................................................................................10 【题型十】整式的乘法与几何图形...................................................................................................................11 【题型十一】整式的乘法化简求值...................................................................................................................13 【题型十二】解二元一次方程组.......................................................................................................................15 【题型十三】解一元一次不等式（组）...........................................................................................................17 【考点四】几何判定推理、求值型 【题型十三】尺规作图——求值证明...............................................................................................................19 【题型十四】平移性质求值证明.......................................................................................................................22 【题型十五】轴对称求值证明...........................................................................................................................25 【题型十六】旋转求值证明...............................................................................................................................27 【题型十七】轴对称最值...................................................................................................................................29 【题型十八】轴对称折叠求值...........................................................................................................................32 【考点五】几何综合型 【题型十九】平移综合型...................................................................................................................................34 【题型二十】轴对称综合型...............................................................................................................................36 【题型二十一】旋转综合型...............................................................................................................................39 【考点六】实际应用型 【题型二十二】列二元一次方程组....................................................................................................................42 【题型二十三】列一元一次不等式（组）........................................................................................................44 第二部分【题型展示与方法点拨】 【考点一】图形的识别型 【题型一】图形的平移 1．（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）窗棂是中国传统木构建筑的框架结构设计，在园林设计中常常可以看到．下列窗棂图案中可以看作由一个“基本图案”经过平移得到的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了图形的平移，根据平移只改变位置，不改变大小，形状和方向，进行逐项分析，即可作答． 解：由平移只改变位置，不改变大小，形状和方向可知，四个选项中只有A选项中的图案可以有平移得到， 选项B，D中的图形可通过旋转或轴对称得到；C中的图形可通过旋转得到； 故选：A． 2．（23-24七年级下·江苏泰州·期末）下面四个花窗图案，其中运用了“平移”制作的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平移的性质，解题关键是掌握平移的基本性质：平移不改变图形的形状、大小以及方向，据此逐一判断即可． 解： 解：四个花窗图案，运用了“平移”制作的是， 故选：C． 【题型二】轴对称图形 1．（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）下列图形中，不是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是轴对称图形的概念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 根据轴对称图形的概念判断即可． 解：A．是轴对称图形，该选项不符合题意； B．是轴对称图形，该选项不符合题意； C．不是轴对称图形，该选项符合题意； D．是轴对称图形，该选项不符合题意． 故选：C． 2．（24-25八年级上·江苏盐城·期末）现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性．下列汉字是轴对称图形的是（   ） A．山 B．河 C．无 D．恙 【答案】A 【分析】本题主要考查了轴对称图形，解题的关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．利用轴对称图形的概念可得答案． 解：．山字是轴对称图形，故该选项符合题意； ．河字不是轴对称图形，故该选项不符合题意； ．无字不是轴对称图形，故该选项不符合题意； ．恙字不是轴对称图形，故该选项不符合题意； 故选：A． 【考点一】概念、定义与性质辨析型 【题型三】旋转角、旋转中心、对应点 1．（2024·福建厦门·模拟预测）如图，将绕点顺时针旋转至．下列角中，是旋转角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查图形旋转，旋转角，根据旋转角定义，对应点与旋转中心连线所夹的角是旋转角，可得旋转角为，即可． 解：∵将绕点顺时针旋转至， ∴旋转角为，． 故选：A． 2．（23-24八年级下·江苏南京·期末）如图，在方格纸中，线段绕某个点旋转一定角度得到线段，其中点A的对应点是点C，则旋转中心是点 ． 【答案】H 【分析】本题主要考查图形旋转的性质，牢记旋转中心的确定方法（对应点连线的垂直平分线的交点即为旋转中心）是解题的关键． 根据旋转的性质，对应点的连线的垂直平分线必过旋转中心，进而求解即可． 解：根据网格结构作、的垂直平分线，交点为H，所以旋转中心一定是H点． 故答案为：H． 【题型四】二元一次方程定义及其解 1．（23-24七年级下·江苏宿迁·期末）关于、的方程是二元一次方程，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程必须符合以下三个条件：（1）方程中只含有2个未知数；（2）含未知数项的最高次数为一次；（3）方程是整式方程．根据二元一次方程的定义列出不等式，即可求出k的取值范围． 解：整理 的得：， 关于、的方程是二元一次方程， ， ， 故选：C． 2．（23-24七年级下·江苏扬州·期末）唐代初期数学家王孝通撰写的《缉古算经》中记载：“今有五十鹿入舍，小舍容四鹿，大舍容六鹿，需舍几何？”大意为：今有50只鹿进圈舍，小圈舍可以容4头鹿，大圈舍可以容纳6头鹿，若每个圈舍都住满，可选择的方案有（    ） A．6种 B．5种 C．4种 D．3种 【答案】C 【分析】本题主要考查了二元一次方程的非负整数的应用，解题关键是正确列出二元一次方程，并根据题意求出该方程的所有解．设需要大圈舍x间，小圈舍y间，根据题意列出二元一次方程，并结合x、y都是非负整数解方程即可． 解：设需要大圈舍x间，小圈舍y间，根据题意列方程， 得， ∴； ∵x、y都是非负整数， ∴或或或， 答：鹿进圈舍的方案共有4种． 故选：C． 10．（22-23七年级下·河南南阳·阶段练习）若是二元一次方程的一个解，则的值为 ． 【答案】5 【分析】本题考查二元一次方程的解、代数式求值，先把代入方程得，再整体代入求值即可． 解：∵是二元一次方程的一个解， 把代入得，， ∴， 故答案为：5． 【题型五】不等式基本性质 3．（23-24七年级下·江苏苏州·期末）若，下列不等式一定成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了不等式的性质，根据不等式的性质逐项求解即可，解题的关键是正确理解不等式的两边都加（或减）同一个数，不等号的方向不变，不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 解：、∵，∴，一定成立，原选项符合题意； 、∵，∴，原选项不符合题意； 、∵，∴，原选项不符合题意； 、∵，则不一定成立，此选项不符合题意； 故选：． 4．（22-23七年级下·江苏南通·期末）已知实数，b满足，若，则m的最大值为（    ） A．9 B．7 C．5 D． 【答案】B 【分析】先根据题意用a表示出b，再代入，由即可得出结论． 解：∵， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ∴当时，m有最大值，最大值为7． 故选：B． 【点拨】本题主要考查了解一元一次方程，解题的关键是把b当做一个已知数求解，用a表示b． 7．（22-23八年级上·安徽六安·期末）下列命题是真命题的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题考查判断命题的真假，根据不等式的性质，等式的性质，逐项判断即可． 解：若，，不能得出，如，，但，故A选项是假命题； 当时，若，则，故B选项是假命题； 若，则，故C选项是假命题； 若，则，故D选项是真命题； 故选D． 【题型六】不等式定义 5．（23-24七年级下·江苏宿迁·期末）下列各式中，是不等式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了不等式的定义，即用不等号连接的用来表示不等关系的式子叫做不等式，根据不等式的定义解答即可． 解：根据不等式定义：用不等号连接的用来表示不等关系的式子叫做不等式， 所以满足条件的只有B符合题意． 故选：B． 6．（23-24七年级下·江苏盐城·期末）为了保障交通安全、畅通，隧道入口处常有汽车限高标识（如图）．下列高度的汽车不可以通过这条隧道的是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查不等式，将现实生活中的事件转化为数学问题来解决，读懂题意是关键．通过分析题意图中限制高度表示汽车的高度不能超过,从而可以求出结论． 解：∵图中限制高度表示汽车的高度不能超过， ∴限制的意思就是不超过． ∴高度为的汽车不可以通过这条隧道, 故选：D． 12．（22-23七年级下·江苏宿迁·期末）某校女子跑的记录是14秒．在今年的校春季运动会上，很遗憾，没有人能打破该项记录，若参加运动会的女生小丽的成绩为t秒，则用不等式表示为 ． 【答案】 【分析】根据没有人能打破该项记录列不等式即可． 解：∵没有人能打破该项记录， ∴． 故答案为：． 【点拨】本题考查了列不等式表示数量关系，与列代数式问题相类似，首先要注意其中的运算及运算顺序，再就是要注意分清大于、小于、不大于、不小于的区别． 【题型七】定义 命题 证明 8．（23-24七年级下·江苏泰州·期末）判断命题“如果， 那么” 是假命题，只需举出一个反例，则所举反例中x 的值可以为（     ） A．15 B． C． D．0 【答案】C 【分析】本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．反例中的x满足，使，从而对各选项进行判断． 解：当时，满足，但， 所以判断命题“如果， 那么”是假命题，举出． 故选：C． 9．（23-24七年级下·江苏南京·期末）关于命题“如果，那么”，下列判断正确的是（    ） A．该命题及其逆命题都是真命题 B．该命题是真命题，其逆命题是假命题 C．该命题是假命题，其逆命题是真命题 D．该命题及其逆命题都是假命题 【答案】B 【分析】本题考查了判断命题的真假，写命题的逆命题，写出逆命题并判断真假即可． 解：关于命题“如果，那么”，是真命题， 逆命题为：如果，那么，是假命题， 故选：B． 11．（21-22七年级上·江苏苏州·期末）已知关于的不等式，可化为，试化简，正确的结果是 ． 【答案】-1 【分析】根据题目的已知可得a−1＜0，然后再化简每一个绝对值进行计算即可． 解：由题意得：a−1＜0， ∴a＜1， ∴1−a＞0，a−2＜0， ∴|1−a|−|a−2|＝1−a−（2−a）＝1−a−2＋a＝−1， 故答案为：−1． 【点拨】本题考查了不等式的性质，绝对值，熟练掌握不等式的性质是解题的关键． 【考点三】计算化简求值型 【题型八】幂的运算 1．（24-25八年级上·江苏南通·期末）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，积的乘方，幂的乘方运算，熟记相关法则并根据法则准确计算是解题关键． 根据同底数幂的乘法，同底数幂的除法，积的乘方，幂的乘方运算法则进行计算，可得答案． 解：A、，故原式错误，不符合题意； B、，故原式正确，符合题意； C、，故原式错误，不符合题意； D、，故原式错误，不符合题意． 故选：B． 2．（24-25九年级上·江苏淮安·期末）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了合并同类项，去括号，同底数幂的乘法，积的乘方．根据合并同类项，去括号，同底数幂的乘法，积的乘方法则进行计算，逐一判断即可解答． 解：A、，故本选项不符合题意； B、，故本选项不符合题意； C、，故本选项符合题意； D、，故本选项不符合题意； 故选：C． 8．（23-24七年级下·广东深圳·期中）已知，，则 ． 【答案】6 【分析】本题考查同底数幂乘法的逆用，根据求解即可． 解：∵，， ∴， 故答案为：6． 【题型九】整式的乘法运算 3．（21-22八年级上·福建泉州·期末）若的结果中不含项，则a的值为（    ） A．0 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】把式子展开合并，找到项的系数，令其系数为0，可求出a的值，从而可得答案， 本题主要考查了多项式乘多项式的运算，注意当要求多项式中不含有哪一项时，应让这一项的系数为0． 解： ∵结果中不含项， ∴， ∴， 故选：B． 4．（23-24七年级下·江苏宿迁·期末）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 解：本题考查合并同类项法则、完全平方公式、积的乘方、单项式乘多项式法则，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 合并同类项、积的乘方运算、计算单项式乘多项式及求值、运用完全平方公式进行运算． 【分析】根据合并同类项法则、完全平方公式、积的乘方、单项式乘多项式法则进行计算即可． 解：A、与不是同类项，不能合并，故不符合题意； B、，故不符合题意； C、，故不符合题意； D、，故符合题意； 故选：D． 5．（22-23七年级下·江苏南京·期末）若多项式可以写成一个整式的平方，则常数的值可以为（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】B 【分析】根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定a值． 解：根据题意可得：或， ∵多项式可以写成一个整式的平方， ∴或， 故选：B． 【点拨】本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解决此题的关键． 完全平方公式． 【题型十】整式的乘法与几何图形 6．（23-24七年级下·江苏徐州·期末）如图，有一块长、宽的长方形纸板，在其四角各剪去一个边长为的小正方形，将四周突出部分折起，可制成一个无盖长方体盒子，该盒子的底面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了多项式乘多项式的应用，找准数量关系，正确列出代数式是解题的关键． 根据题意可知裁剪后的底面长为，宽为，根据长方形面积计算公式得出相应代数式，利用多项式乘多项式计算法则计算即可解答． 解：、宽的长方形纸板，在其四角各剪去一个边长为的小正方形， 长方体盒子的长为，宽为，根据题意得： 盒子的底面积为， ， 故选：D． 7．（14-15七年级下·江苏宿迁·期末）如图所示，两个正方形的边长分别为a和b，如果，，那么阴影部分的面积是（　　） A．10 B．20 C．30 D．40 【答案】C 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，根据题意列出阴影部分面积的表达式是解题的关键． 由图可得阴影部分面积为，列式根据完全平方公式变形再计算即可． 解：根据题意得： ， ， ，， ， 阴影部分的面积． 故选：C． 9．（23-24八年级上·江苏南通·期末）设有边长分别为a和b（）的A类和B类正方形纸片、长为a宽为b的C类矩形纸片若干张．如图所示要拼一个边长为的正方形，需要1张A类纸片、1张B类纸片和2张C类纸片，若要拼一个长为，宽为的矩形，则需要C类纸片的张数为 张．    【答案】8 【分析】本题考查完全平方式等，将多项式乘多项式展开成为多项式的形式是解题的关键．利用矩形的面积公式，计算矩形的面积并写成多项的形式，其中项的系数即为答案． 解：，即， 要拼一个边长为的正方形，需要1张类纸片、1张类纸片和2张类纸片． ，即， 若要拼一个长为，宽为的矩形，则需要类纸片的张数为8张， 故答案为：8 【题型十一】整式的乘法化简求值 4．（23-24八年级上·江苏南通·期末）若，则 ． 【答案】34 【分析】本题考查了完全平方公式以及已知式子的值，求代数式的值，先整理得，则把代入，即可作答． 解：∵ ∴ ∴方程两边同时除以 得 ∴ 则 故答案为： 5．（23-24七年级下·江苏淮安·期末）简便计算：的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了积的乘方的逆运算，平方差公式等知识．熟练掌握积的乘方的逆运算，平方差公式是解题的关键． 根据，计算求解即可． 解： ， 故答案为：． 6．（23-24七年级下·江苏扬州·期末）世纪欧拉引进了求和符号“”（其中，且和表示正整数），对这个符号我们进行如下定义：表示从开始取数一直取到，全部加起来，即．例如：当时，．若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘多项式求和，恒等式的问题，根据，把代入，然后通过法则进行计算对比即可求解，掌握多项式乘以多项式的运算法则是解题的关键． 解：∵，且中二次项系数为， ∴， ∴ ， ∴， ∴， ∴，， 故答案为：． 【题型十二】解二元一次方程组 1．（22-23七年级下·江苏宿迁·期末）已知，则 ． 【答案】 【分析】先利用加减消元法求解二元一次方程组，解出，的值后代入求解即可． 解：， 得，， 解得：， 将代入①得，， 解得：， ． 故答案为：． 【点拨】本题考查了二元一次方程组的求解，代数式求值，熟练掌握二元一次方程组的解法是解答本题的关键． 2．（2022·江苏宿迁·一模）已知二元一次方程组，则x+y的值等于（　　） A．﹣2 B． C．9 D．22 【答案】B 【分析】根据绝对值的意义把原方程组化为四个二元一次方程组，再分别解方程组即可得到x、y的值，进而可得x+y． 解：当x≥0，y≥0时， 原方程可转化为， 解得，不符合题意，故舍去； 当x≥0，y≤0时， 原方程可转化为， 解得， 此时x+y； 当x≤0，y≥0时， 原方程可转化为，不符合题意，故舍去； 当x≤0，y≤0时， 原方程可转化为， 解得，不符合题意，故舍去； 综上，x+y． 故选：B． 【点拨】本题考查二元一次方程组的解法，根据绝对值的意义把原方程组转化为不含绝对值的方程组是解题关键． 1．（23-24七年级下·江苏南通·期末）已知实数x，y，m满足，，则代数式的最小值为（    ） A．3 B．4 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了整式的加减和乘法运算，平方数的非负性，不等式的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 由，消去m得到，代入可得，再由结合不等式的性质即可求解． 解：由得， 由得， ∴， 化简得：， ∴， ∵， ∴， ∴最小值为， 故选：C． 【题型十三】解一元一次不等式（组） 3．（2022·江苏南通·二模）已知关于x的不等式组的解集中至少有5个整数解，则整数a的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】首先解不等式组求得不等式组的解集，然后根据不等式组的整数解的个数从而确定a的范围，进而求得整数a最小值． 解：， 解①得， 解②得． 则不等式组的解集是． ∵解集中至少有5个整数解 ∴整数解为：-1,0,1,2,3． ∴． 整数a的最小值是4． 故选C． 【点拨】本题考查一元一次不等式组的整数解，确定a的范围是本题的关键． 二、填空题 8．（23-24七年级下·江苏泰州·期末）若关于的不等式组有解，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了不等式的解集，熟练掌握不等式组取解集的方法是解答本题的关键．由不等式组有解，利用不等式组取解集的方法确定出a的范围即可． 解：∵不等式组有解，即有解， ∴，解得：． 故答案为：． 9．（21-22七年级下·湖北武汉·期末）已知关于的不等式组，下列四个结论： ①若它的解集是，则； ②当，不等式组有解； ③若它的整数解仅有3个，则的取值范围是； ④若它无解，则． 其中正确的结论是 （填写序号）． 【答案】①③④． 【分析】本题主要首先确定不等式组的解集，先利用含的式子表示，根据整数解的个数就可以确定有哪些整数解，根据解的情况可以得到关于的不等式组，从而求出的范围． 解：， 解不等式①，得． 解不等式②，得， 所以不等式组的解集为． ①它的解集是， ， 解得，故结论正确； ②， ， 故不等式组无解，故结论不正确； ③它的整数解仅有3个， ， 解得． 则的取值范围是，故结论正确； ④它无解， ， 解得，故结论正确． 故答案为：①③④． 【点拨】本题考查的是解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 【考点四】几何判定推理、求值型 【题型十三】尺规作图——求值证明 1．（21-22七年级下·浙江舟山·期末）如图，直线，表示一条河的两岸，且，现要在这条河上建一座桥（桥与河的两岸相互垂直），使得从村庄P经桥过河到村庄的路程最短，应该选择路线（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了轴对称的最短路径问题，熟练掌握轴对称最短路径中的“造桥选址问题”的方法是解题的关键．“造桥选址问题”是先利用平移的思想转化为常见的最值问题，再利用“两点之间线段最短”即可解决． 解：由于河岸是固定的，桥与河的两岸相互垂直 所以桥的长度是固定的， 因此当最小时，即最小， 将沿河岸垂直的方向平移，点移动到点，点移动到点， 则，， 则，其中点，位置固定， 则当点，，共线时，最短， 则最小， 故C选项符合题意， 故选：C． 2．（24-25七年级下·江苏连云港·期中）如图，在的正方形的网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，图中的为格点三角形，在网格中与成轴对称的格点三角形最多能画出（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查了利用轴对称变换作图，根据轴对称图形的概念，画出图形即可． 解：在网格中与△成轴对称的格点三角形最多能画出3个． 故选：B． 9．（22-23七年级下·浙江宁波·期末）两块不同的三角板按如图1所示摆放，AC与边重合，，．接着如图2保持三角板ACD不动，将三角板绕着点C按逆时针旋转后停止．在此旋转过程中，当与三角板ACD的一条边恰好平行时， ．    【答案】或 【分析】分两种情况：①当时，②当时，分别求解即可． 解：由题意可知，， 在旋转过程中，若与三角板的一条边恰好平行， 则有两种情况： ①当时，如图，    此时， ∴旋转角； ②当时，如图，作，    此时，， ∴旋转角． 故答案为：或． 【点拨】本题考查了三角板拼接、旋转问题，平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 【题型十四】平移性质求值证明 1．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）如图，将直角沿边的方向平移到的位置，连结，若，，则的长为（   ） A．3 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】本题考查了平移的性质，正确的识别图形是解题的关键． 由平移的性质得到，又由即可求解． 解：∵的是直角三角形沿着斜边的方向平移后得到的， ， ， ∴， 故选：C． 2．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，将三角形平移得到三角形，下列结论中，不一定成立的是（　　） A．或与在同一条直线上 B．或与在同一条直线上 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是平移的性质，平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．根据平移的性质判断即可． 解：A、由平移的性质可知或与在同一条直线上，故本选项不符合题意； B、由平移的性质可知或与在同一条直线上，故本选项不符合题意； C、由平移的性质可知，故本选项不符合题意； D、由平移的性质可知不一定等于，故本选项符合题意． 故选：D． 7．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）如图，锐角中，，将沿着射线方向平移得到（平移后点，，的对应点分别是点，，），连接，若在整个平移过程中，和的度数之间存在2倍关系，则 ． 【答案】或或 【分析】如图，当点在上时，当点在延长线上时，两种情况中又分①当时，当时，过点C作，证明，得到，再通过角之间的关系建立方程求解即可． 本题主要考查了平移的性质，平行线的性质与判定，熟练掌握以上知识点是关键． 解：第一种情况：如图，当点在上时，过点C作， 由平移性质可知， ∵， ∴， ∴， ①当时， 设，则， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴； ②当时， ∴设，则， ∴， 由条件可知， 解得：， ∴； 第二种情况：当点在延长线上时，过点C作， 同理可得， ∴， ①当时， 设，则， ∴， 由条件得， 解得：， ∴； ②由于，则这种情况不存在； 综上所述，的度数可以为或或． 故答案为：或或． 【题型十五】轴对称求值证明 3．（22-23八年级上·江苏常州·期中）如图，点是外的一点，点，分别是两边上的点，点关于的对称点恰好落在线段上，点关于的对称点落在的延长线上．若，，，则线段的长为     A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查轴对称，线段和差的计算，掌握轴对称的性质，线段和差的计算方法是解题的关键． 利用轴对称图形的性质得出，，进而利用，得出的长，即可得出的长． 解：点关于的对称点恰好落在线段上，点关于的对称点落在的延长线上， ，， ，，， ，， ∴， 则线段的长为：． 故选：． 4．（24-25八年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，和关于直线对称，连接，，，其中与直线交于点，点为直线上一点，且不与点重合，连接．下列说法错误的是（    ） A． B．线段，，被直线垂直平分 C． D．线段所在直线的交点不一定在直线上 【答案】D 【分析】此题考查轴对称的性质，根据轴对称的性质依次分析判断，正确掌握轴对称的性质是解题的关键． 解：A、和关于直线对称， ， ，原说法正确，不符合题意； B、和关于直线对称， 线段，，被直线垂直平分，原说法正确，不符合题意； C、和关于直线对称， 是线段的垂直平分线， ∴，原说法正确，不符合题意； D、和关于直线对称， 线段所在直线的交点一定在直线上，原说法错误，符合题意． 故选：D． 8．（24-25七年级下·江苏连云港·期中）如图，点是外的一点，点，分别是两边上的点，点关于的对称点恰好落在线段上，点关于的对称点落在的延长线上．若，则线段的长为 ． 【答案】15 【分析】本题考查轴对称的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 由轴对称的性质得到，同理得到，进而根据线段的和差即可解答． 解：点关于的对称点恰好落在线段上，， ， ， 点关于的对称点落在的延长线上， ， ． 故答案为：15． 【题型十六】旋转求值证明 5．（24-25八年级下·江苏盐城·期中）如图，将绕点B顺时针旋一定角度后，得到，此时点A、B、在同一条直线上，若，则旋转角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了旋转的性质，熟练地掌握对应点与旋转中心连线的夹角等于旋转角是解题的关键． 根据旋转的性质可知，用减去的度数再除以2即可求出旋转角的度数． 解：∵绕点B顺时针旋转，得到， ， ， ， ， 故选：A． 6．（24-25七年级上·河北石家庄·期末）如图，将三角形绕点O顺时针旋转，得到三角形，若，，则下列选项正确的是（    ）   A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角的计算，涉及到图形的旋转，读懂题意，正确进行计算是解题的关键． 三角形绕点O顺时针旋转，得到三角形，则相对应的边和角是相等的，逐一判断各选项，即可得到结果． 解：三角形绕点O顺时针旋转，得到三角形， ，， 故A选项错误，不符合题意； ， ， 故B选项正确，符合题意； ，， ， 故C选项错误，不符合题意； ，， ， 故D选项错误，不符合题意， 故选：B 9．（24-25七年级下·江苏南京·期中）将绕点A按逆时针方向旋转得到．若，则 ． 【答案】70 【分析】本题考查旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解答本题的关键． 由旋转得，再根据可得答案． 解：由旋转得， ， ∵， ∴． 故答案为：70． 【题型十七】轴对称最值 3．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）如图，在直角三角形中，，，，，动点M在线段上运动（不与端点重合），点M关于边，的对称点分别为E，F，连接，点D在上，则在点M的运动过程中，线段长度的最小值是（   ） A． B． C．10 D． 【答案】A 【分析】本题考查轴对称的性质，涉及三角形面积、点到直线的距离等知识，过作于，连接，根据已知，由面积法先求出，根据对称可得，故线段长度最小即是长度最小，求出垂线段的长度即可解答，解题的关键是将求长度的最小值转化为求长度的最小值． 解：过作于，连接，如图： ， ， 点M关于边，的对称点分别为E，F， ， ， 线段长度最小即是长度最小，此时，即与重合，最小值为． 故选：A． 4．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，中，，，，、、分别是、、边上的动点，则的最小值是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查的是轴对称路径最短问题，解决本题的关键是作出点关于、的对称点，将的周长转化为的长．首先作关于直线的对称点，关于直线的对称点，根据对称的性质可知，可得、、共线，由对称的性质可知，所以可得，可知当点、、、共线时，的值最小，最小值为，再根据垂线段最短可知当时最短，利用三角形的面积公式求出当时的值即可得到的最小值． 解：如图作关于直线的对称点，作关于直线的对称点，连接，，，，，，， ，，， ， 、、共线， 根据对称的性质可知，， ， ， 当、、、共线时，的值最小，即此时的值最小， 由对称性可知， ， 根据垂线段最短可知，当时，的值最小， 当时，的值最小，最小值为， ， 的最小值为． 故选：C． 10．（22-23七年级下·广东佛山·阶段练习）如图1，有一个足够长的矩形纸片，、分别是、上的点，．将纸片含的部分沿折叠，称为第1次操作；继续将纸片含的部分沿折叠，称为第2次操作；以后，重复上述这两步操作，分别记作第3次，第4次，第5次……第操作，则的最大值为 ． 【答案】6 【分析】观察可得，第2次操作比第1次操作减少一个，根据此规律可得出的最大值． 解：∵矩形纸片，∴， ∴， ∵将纸片含的部分沿折叠， 图2中，， 图3中，， ∴， 观察可得，第2次操作比第1次操作减少一个，以后每次重复操作，都减少， ∴每次重复操作后的角的度数为， 由题意得， 解得， ∵n为正整数， ∴的最大值为6， 故答案为：6． 【点拨】本题考查折叠的综合应用，平行线的性质，熟练掌握折叠的性质和平行线的性质是解题关键． 【题型十八】轴对称折叠求值 5．（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）如图，，将长方形纸片沿直线折叠成图， 再沿折痕为折叠成图，则图中的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了折叠的性质，平行线的性质，熟练掌握以上知识是解答本题的关键．根据平行线的性质求出图中的，根据折叠的性质求出图中的，最后利用折叠的性质即可求出图中的． 解：长方形对边， ， 图中，， ， ， 长方形对边， ， 图中，， 由翻折的性质得：图中， 图中，， 图中，， 故选：B． 6．（24-25八年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，是用长方形纸片折纸飞机的操作顺序，则折痕、与飞机头的夹角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查折叠的性质，根据折叠的性质，即可求出的度数． 解：∵折叠纸飞机的过程，对折了次， ∴， 故选：B． 11．（24-25七年级下·江苏淮安·期中）如图，将长方形纸片依次折叠两次：第一次以为折痕，使点落在上的点处；第二次以为折痕，使点与点重合，点落在点处．若，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了折叠性质、三角形的内角和性质，平行线的性质，先由折叠得，，结合平行线的性质列式，解得，因为三角形的内角和性质，所以，即可作答． 解：如图所示： ∵将长方形纸片依次折叠两次：第一次以为折痕，使点A落在上的点E处， ∴，， ∵第二次以为折痕，使点N与点E重合，点B落在点处． ∴，， ∵，， ∴， ∴， 解得， 在中，， ∴， 解得， 故答案为：． 【考点五】几何综合型 【题型十九】平移综合型 7．（2023·天津南开·三模）如图，将直角沿斜边的方向平移到的位置，交于点G，，，的面积为4，下列结论错误的是（    ）    A． B．平移的距离是4 C． D．四边形的面积为16 【答案】B 【分析】根据平移的性质分别对各个小题进行判断：①利用平移前后对应线段是平行的即可得出结果；②平移距离指的是对应点之间的线段的长度；③根据平移前后对应线段相等即可得出结果；④利用梯形的面积公式即可得出结果． 解：A．∵直角三角形沿斜边的方向平移到三角形的位置， ∴，， ∴， ∴，故A正确，不符合题意； B．平移距离应该是的长度，由，可知，故B错误，符合题意； C．由平移前后的对应点的连线平行且相等可知，，故C正确，不符合题意； D．∵的面积是4，， ∴， ∵由平移知：， ∴， 四边形的面积：，故D正确，不符合题意． 故选：B． 【点拨】本题主要考查的是平移的性质，正确的掌握平移的性质是解题的关键． 8．（21-22七年级下·河北衡水·期末）如图，三角形ABC沿着BC所在直线向右平移a个单位长度得到三角形DEF（点E在点C的左侧）．下列判断正确的是（    ） 结论Ⅰ：若BF＝8，EC＝4，则a的值为2； 结论Ⅱ：连接AD，若三角形ABC的周长为18，四边形ABFD的周长为22，则a的值为4． A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对 C．Ⅰ不对Ⅱ对 D．Ⅰ对Ⅱ不对 【答案】D 【分析】根据平移的性质，逐项判断即可． 解：∵三角形ABC沿着BC所在直线向右平移a个单位长度得到三角形DEF， ∴BE＝CF＝a， ∵BF＝BE+CE+CF，BF＝8，EC＝4， ∴8＝a+4+a， ∴a＝2，故结论Ⅰ正确； ∵三角形ABC沿着BC所在直线向右平移a个单位长度得到三角形DEF， ∴AC＝DF， ∵四边形ABFD的周长为22， ∴AB+BC+CF+DF+AD＝22， ∴AB+BC+CF+AC+AD＝22， ∵三角形ABC的周长为18， ∴AB+BC+AC＝18， ∴18+CF+AD＝22，即18+a+a＝22， ∴a＝2，故结论（Ⅱ）不正确， ∴Ⅰ对Ⅱ不对， 故选：D． 【点拨】本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等． 12．（21-22七年级下·福建莆田·期中）如图，已知三角形ABC中，∠ABC=90°，边BC=12，把三角形ABC沿射线AB方向平移至三角形DEF后，平移距离为6，GC＝4，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】60 【分析】由题可知，BE=6，BG=8，EF=12，阴影部分面积为直角梯形的面积，利用面积公式求解即可． 解：根据平移可知 BE=6，EF=BC=12， ∵CG=4， ∴BG=8， ∴阴影部分面积为：×（8+12）×6=60． 故答案为：60． 【点拨】本题考查平移的实际应用，根据题意找到平移对应的线段长，找到阴影部分面积的计算是解决问题的关键． 【题型二十】轴对称综合型 1．（22-23七年级上·湖北武汉·期末）如图，把一个角沿过点O的射线对折后得到的图形为，现从点O引一条射线，使，再沿把角剪开．若剪开后再展开，得到的三个角中，有且只有一个角最大，最大角是最小角的三倍，则的值为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】由题可知，沿过O的射线分为了射线和射线两种情况，分类讨论两种情况，利用建立等量关系即可解决． 解：①由题意得，三个角分别是、、， 且，， 又 ， ， ②三个角分别是、、， 有且只有一个角最大，即为， 且，， 又 ， ． 故选：D． 【点拨】本题考查了角的和差倍分，解决本题的关键是读清题意，找到不同情况，利用题目中的等量建立方程解得参数的值． 8．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，将笔记本活页一角以为折痕折叠，使所折部分与活页在同一平面内，其中．现将图中的另一角的边沿着过点的直线折叠，折痕为，点在活页纸边上边足够长，点的对应点也落在活页的同一平面内．若，则 （用含的代数式表示）． 【答案】或 【分析】此题主要考查了角的计算，折叠问题，依题意有以下两种情况：①点落在的右侧时，②当点落在的左侧时，分别画出图形，根据折叠的性质以及三角形内角和定理，即可求解． 解：依题意有以下两种情况： ①点落在的右侧时，如图所示： 由折叠的性质得：，， ， ， ， ， ； ②当点落在的左侧时，如图所示： 由折叠的性质得：，， ， ， ， ， ， '． 综上所述：或． 故答案为：或． 【题型二十一】旋转综合型 3．（23-24七年级上·上海松江·期末）如图1是中国数学会的会徽，，它是由四个相同的直角三角形拼成的一个正方形． 将会徽抽象为图2，记，，． 对图2进行图形运动得到图3，下面的说法不正确的是（    ）    A．可以看作是绕点B顺时针旋转得到 B．可以看作是沿着方向平移距离a，再沿方向平移距离b得到 C．可以看作是绕点D逆时针旋转得到 D．图形运动后，原正方形与六边形的面积相等，可得 【答案】B 【分析】本题考查了平移的性质与旋转的性质：根据平移的性质与旋转的性质，等积変化逐一判断即可；掌握平移的性质与旋转的性质是解题的关键． 解：A．由旋转的定义可以判定结论正确，故不符合题意； B．可以看作是沿着方向平移距离b，再沿方向平移距离a得到，结论错误，故符合题意； C．由旋转的定义可以判定结论正确，故不符合题意； D．图形运动后并没有改变图形的面积，通过图和图的面积表示得，结论正确，故不符合题意； 故选：B． 9．（22-23七年级上·四川成都·期末）新定义：已知射线、为内部的两条射线，如果，那么把叫作的幸运角．已知，射线与射线重合，并绕点O以每秒5°的速度顺时针旋转，射线与射线重合，并绕点O以每秒3°的速度逆时针旋转，当射线OC旋转一周时运动停止．在旋转过程中，射线，，，中由两条射线组成的角是另外两条射线组成的角的幸运角时， 秒．（本题所有角都指的是小于180°的角） 【答案】，15，， 【分析】根据边的运动分类讨论即可． 解：①如图 当， 则 解得： ②如图 当， 则 解得： ③如图 当， 则 解得： ④如图，当时，，解得． 故答案为：或15或或． 【点拨】本题考查了新定义，相关知识点有：角的计算、分类讨论思想等，分情况讨论是解题关键． 10．（2022·山东泰安·三模）如图，在Rt△ABC中，，，BC＝2，线段BC绕点B旋转到BD，连AD，E为AD的中点，连接CE，则CE的最大值是 ． 【答案】3 【分析】通过已知求得D在以B为圆心，BD长为半径的圆上运动，∵E为AD的中点， ∴E在以BA中点为圆心，长为半径的圆上运动，再运用圆外一定点到圆上动点距离的最大值=定点与圆心的距离+圆的半径，求得CE的最大值． 解：∵BC＝2，线段BC绕点B旋转到BD， ∴BD＝2， ∴． 由题意可知，D在以B为圆心，BD长为半径的圆上运动， ∵E为AD的中点， ∴E在以BA中点为圆心，长为半径的圆上运动， CE的最大值即C到BA中点的距离加上长． ∵，，BC＝2， ∴C到BA中点的距离即， 又∵， ∴CE的最大值即． 故答案为3． 【点拨】本题考查了与圆相关的动点问题，正确识别E点运动轨迹是解题的关键． 【考点六】实际应用型 【题型二十二】列二元一次方程组 4．（23-24七年级下·江苏苏州·期末）我国古典数学文献《增删算法统宗·六均输》中这样一个题：“甲乙隔沟牧放，二人暗里参详，甲云得乙九只羊，多乙一倍之上，乙说得甲九只，两家之数相当”．译文：甲、乙两人一起放牧，两人心里暗中数羊．如果乙给甲只羊，那么甲的羊数为乙的倍；如果甲给乙只羊，那么两人的羊数相同，请问原来甲，乙各有多少只羊？设原来甲有羊只，乙有羊只，则符合题意的方程组是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设原来甲有羊只，乙有羊只，由题意列出即可，正确理解题意，找出题目中的等量关系列出方程组是解题的关键． 解：设原来甲有羊只，乙有羊只， 根据题意得：， 故选：． 5．（23-24七年级下·江苏宿迁·期末）古代一歌谣：栖树一群鸦，鸦树不知数：三个坐一棵，五个地上落；五个坐一棵，闲了一棵树．请你动脑筋，鸦树各几何？若设乌鸦有x只，树有y棵，由题意可列方程组（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．根据题意正确的列方程组是解题的关键． 根据三个坐一棵，五个地上落，可列方程，由五个坐一棵，闲了一棵树，可列方程，进而可得方程组，然后作答即可． 解：依题意列方程组得，， 故选：D． 6．（23-24七年级下·江苏南通·期末）某社区为了打造“书香社区”，丰富小区居民的业余文化生活，计划出资600元全部用于采购甲，乙，丙三种图书．甲种每本40元，乙种每本30元，丙种每本25元，其中甲种图书至少买5本，最多买6本（三种图书都要买），此次采购的方案有（    ） A．6种 B．5种 C．4种 D．3种 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，当购买5本甲种图书时，设购买x本乙种图书，y本丙种图书，利用总价=单价×数量，可列出关于x，y的二元一次方程，结合x，y均为正整数，可得出此时有2种购买方案；当购买6本甲种图书时，设购买m本乙种图书，n本丙种图书，利用总价=单价×数量，可列出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数，可得出此时有2种购买方案．综上，即可得出结论． 解：当购买5本甲种图书时，设购买x本乙种图书，y本丙种图书， 根据题意得：， ， 又均为正整数， 或， 此时有2种方案； 当购买6本甲种图书时，设购买m本乙种图书，n本丙种图书， 根据题意得：， ， 又均为正整数， 或， 此时有2种方案； 综上所述，此次采购的方案有（种）． 故选：C． 【题型二十三】列一元一次不等式（组） 7．（23-24八年级上·湖南湘潭·期末）某服装网店购进男装、女装共100件，其进价和售价如下表： 进价（元/件） 售价（元/件） 男装 260 320 女装 240 290 该服装网店预计获得利润不少于5200元，设购进件男装，根据题意可列不等式（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查由实际问题抽象出不等式． 根据总利润=（甲的售价-甲的进价）×购进甲的数量+（乙的售价-乙的进价）×购进乙的数量， 设购进件男装，则购进件女装，由该服装网店预计获得利润不少于5200元，列出不等式即可． 解：设购进件男装，则购进件女装，根据题意，得 故选：D． 11．（23-24七年级下·江苏徐州·期末）某商品进价40元，标价50元出售，商家准备打折销售，但其利润率不能少于，则最多可打 折． 【答案】8.8 【分析】本题考查一元一次不等式的实际应用，设可打折，根据利润率不能少于，列出不等式进行求解即可． 解：设可打折，由题意，得：， 解得：， ∴最多可打折； 故答案为：． 12．（23-24七年级上·江苏苏州·期末）我国古代《易经》记载，远古时期人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图，一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结，满五进一，用来记录采集到野果的个数．若她采集到的一筐野果不少于46个则在第2根绳子上的打结数至少是 ． 【答案】4 【分析】本题是以古代“结绳计数”为背景，按满五进一计数，运用了类比的方法，根据图示列式求解．解题的关键是运用“满五进一”的进制思想． 设在第2根绳子上的打结数是x，根据满五进一列出不等式，然后求解即可得出答案． 解：设在第2根绳子上的打结数是x（x为正整数），根据题意得： 解得： 因x为正整数，故x取最小值4． 即在第2根绳子上的打结数至少是4． 故答案为：4． 13．（23-24七年级下·江苏南通·期末）小明从家坐公交车上学，每天准时上车，全程6400米，到校，某天小明照常出发，但因交通事故导致交通堵塞，从到，公交车都未能前行，小明决定下车骑共享单车去学校，小明骑车的平均速度至少为 米/分钟，才能保证在之前到校． 【答案】240 【分析】本题考查一元一次不等式的应用，正确列出不等式是解题的关键． 先求出公交车的速度，设小明骑车速度是x米/分钟，根据题意可得，解不等式即可得出答案． 解：根据题意，公交车的速度是（米/分钟）， 设小明骑车速度是x米/分钟， 根据题意可得， 解得． 答：小明骑车的平均速度至少为240米/分钟，才能保证在之前到校． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$