期末考试必考题型（二）——分式方程的实际应用（2大考点8类题型）- 2025-2026学年苏科版八年级数学下册基础知识专项突破讲练

**基本信息** 以“解题步骤+等量模型”双主线构建分式方程应用体系，覆盖8类期末高频题型，突出方法迁移与实际应用，培养模型意识与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |必考点知识回顾|考点一（6步解题法）、考点二（4类等量模型）|提炼“审设列解验答”六步规范流程，归纳行程、工程等核心等量关系|从解题方法到等量模型，构建“方法-原理”认知框架| |必考题型精析|8类题型各5题（含选择、填空、解答）|针对不同题型强化等量关系适配，突出综合题中方程与不等式的衔接|以题型为载体，实现“模型-应用-综合”的能力递进|

期末考试必考题型（二）——分式方程的实际应用（2大考点8类题型） 目录 一.必考点知识回顾 1 【考点一】分式方程应用题解题步骤 1 【考点二】常见等量关系模型 2 二.必考题型精析 2 【考点一】列分式方程解应用题 2 【题型 1】分式方程的行程问题（5题） 2 【题型 2】分式方程的工程问题（5题） 4 【题型 3】分式方程的经济问题（5题） 6 【题型 4】分式方程和差倍分问题（5题） 9 【题型 5】分式方程的其他实际问题（5题） 11 【考点二】分式方程与一元一次不等式（组）综合应用 13 【题型 6】分式方程与行程问题、工程问题（5题） 13 【题型 7】分式方程与营销、利润问题（5题） 18 【题型 8】分式方程与分配、方案问题（5题） 23 一.必考点知识回顾 【考点一】分式方程应用题解题步骤 1、审：分析题意，找出已知量、未知量，梳理数量关系 2、设：设未知数（直接设 / 间接设，注意单位统一） 3、列：根据等量关系列出分式方程 4、解：去分母化为一元一次方程，求解方程 5、验：双重检验（①检验是否为分式方程增根；②检验解是否符合实际题意） 6、答：规范作答，带单位 【要点提示】分式方程应用题必须检验，这是得分关键点，增根、不符合实际的解都要舍去。 【考点二】常见等量关系模型 1、工作总量 = 工作效率 × 工作时间 2、路程 = 速度 × 时间 3、总价 = 单价 × 数量 4、利润 = 售价 - 进价，利润率 = 利润 ÷ 进价 二.必考题型精析 【考点一】列分式方程解应用题 【题型 1】分式方程的行程问题（5题） 1．（25-26八年级下·重庆·期中）小阳与小红两人周末去广阳岛骑行，小阳的速度是小红速度的倍，两人各自骑行了，小阳骑行时间比小红少用了．设小红的骑行速度为，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据小红的骑行速度表示出小阳的骑行速度，再根据等量关系列方程即可. 解：∵ 小红的骑行速度为，小阳的速度是小红速度的倍， ∴ 小阳的速度为， ∵ 两人各自骑行了，小阳骑行时间比小红少用了，且， ∴ 可得方程. 2．（2026·山东济南·二模）甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城，在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离（千米）与甲车行驶的时间（小时）之间的函数关系如图所示，则乙追上甲时，乙行驶了__________小时． 【答案】 【分析】分别求出甲、乙的速度，再由两车相遇时，距离A城的距离相等建立方程求解即可． 解：由题意得，，， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴乙追上甲时，乙行驶了． 3．（25-26八年级下·海南海口·期中）海南省首个省级科技馆于2025年12月18日开启试运行，是海南自贸港重要的科普教育地标．某校八年级学生前往距学校15千米的海南省科技馆参观，一部分学生乘大巴先出发，过了10分钟，其余学生乘坐中巴出发，结果他们同时到达，已知中巴的平均速度是大巴平均速度的1.5倍，求大巴的平均速度． 【答案】 【分析】设大巴的平均速度是，，则中巴的平均速度是，根据中巴用的时间比大巴少10分钟，列出方程，解方程即可． 解：设大巴的平均速度是，则中巴的平均速度是，根据题意得： ， 解得：， 经检验是原方程的解， 答：大巴的平均速度是． 4．（2026·江苏扬州·二模）《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题的大意为：把一份文件用慢马送到900里（1里）外的城市需要的时间比规定时间多1天；如果用快马送，所需的时间就比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定几天到达． 【答案】规定7天到达 【分析】设规定x天到达，根据题意列分式方程，然后解方程即可解答． 解：设规定x天到达， 根据题意得：， 解得：， 经检验：是原方程的解． 答：规定7天到达． 5．（2026·江苏常州·一模）为了响应市政府“绿色出行”的号召，姜老师决定每天不再开私家车上班了，改为每天骑电瓶车上班．已知姜老师家与学校的距离为4公里，他开私家车的速度是骑电瓶车速度的3倍．经过测算，姜老师发现骑电瓶车要比开私家车多花8分钟到校．求姜老师上班时开私家车的平均速度是每小时多少公里？ 【答案】姜老师上班时开私家车的平均速度是每小时60公里． 【分析】本题利用路程、速度、时间的关系“时间路程速度”，根据骑电瓶车比开私家车多花8分钟的等量关系列分式方程求解，解题时需要统一时间单位，分式方程求解后要检验． 解：设姜老师骑电瓶车的平均速度为每小时公里，则开私家车的平均速度为每小时公里． 8分钟小时． 根据题意列方程得： 方程两边同乘得： 化简得， 解得． 经检验，是原方程的解，且符合题意． 则开私家车的平均速度为（公里/小时） 答：姜老师上班时开私家车的平均速度是每小时60公里． 【题型 2】分式方程的工程问题（5题） 1．（2026·黑龙江绥化·三模）某工厂新引进一批电子产品，乙工人比甲工人每小时少搬运件电子产品，已知甲工人搬运件电子产品所用的时间与乙工人搬运件电子产品所用的时间相同．若设甲工人每小时搬运件电子产品，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设甲工人每小时搬运件电子产品，由题意可得乙工人每小时搬运件电子产品，再根据题意列出方程即可求解． 解：∵设甲工人每小时搬运件电子产品，乙工人比甲工人每小时少搬运件， ∴乙工人每小时搬运件电子产品， ∵甲工人搬运件所用时间与乙工人搬运件所用时间相同， ∴可列方程为． 2．（2026·江西吉安·一模）我国古代数学名著《九章算术》记载：某工匠制作器物，改进工艺后，每日制作数量为原来的1.5倍，制作90件器物比原来少用3天．设原来每天制作件，则可列方程为______． 【答案】 【分析】设原来每天制作件，先表示出改进工艺后每天的制作数量，再分别求出原来和改进后制作90件器物所用的时间，根据改进后制作90件比原来少用3天的等量关系列方程即可． 解：设原来每天制作件，则改进工艺后每天制作件， 原来制作件器物所用时间为天，改进工艺后制作件器物所用时间为天， 由题意可得等量关系：原来所用时间改进后所用时间， 列方程得：． 3．（2026·安徽宿州·二模）志愿者为社区图书馆整理新购的一批图书，为使任务能提前完成，需将原来的工作效率提高，求原来整理这批图书所需的时间． 【答案】 【分析】设原来整理这批图书用，则实际完成，根据“将原来的工作效率提高”可列出方程求解即可． 解：设原来整理这批图书用，则实际完成，根据题意得： ， 解得： ， 经检验：是原方程的解，且符合题意， 答：原来整理这批图书所需的时间为． 4．（2026·广东东莞·二模）随着人工智能的快速发展，机器人的工作效率越来越高，为我们的工作和生活带来了许多便利．厂家将一款普通机器人升级改造为智能机器人，智能机器人的工作效率是普通机器人的1.5倍．若两种机器人分别同时装载货物6吨，普通机器人比智能机器人多用20分钟，求智能机器人每小时可以装载多少吨货物？ 【答案】智能机器人每小时可以装载货物9吨 【分析】建立分式方程，求解后得到智能机器人每小时可以装载多少吨货物． 解：设普通机器人每小时可以装载货物吨，则智能机器人每小时可以装载货物吨，得： 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， （吨）， 答：智能机器人每小时可以装载货物9吨． 5．（2026·辽宁沈阳·二模）某车间加工个零件后，采用了新工艺，工效提升了，这样同样加工个零件就少用小时．求采用新工艺后每小时加工多少个零件？ 【答案】采用新工艺后每小时加工39个零件． 【分析】设采用新工艺前每小时加工个零件，则新工艺后每小时加工个零件，根据加工相同数量零件的时间差为10小时，列出分式方程求解即可． 解：设采用新工艺前每小时加工个零件，则采用新工艺后每小时加工个零件． 根据题意，得， 解得， 经检验，是原分式方程的解，符合题意， 则， 答：采用新工艺后每小时加工39个零件． 【题型 3】分式方程的经济问题（5题） 1．（2026·河南平顶山·一模）年郑州跨年音乐会于年月日在郑州大剧院开演，音乐会票价原价有四档，其中某一档门票的价格是原价的六折，用元购买打折后该档门票的数量比用元购买原价票的数量多张，求该档门票原价为多少元．设该档门票原价为元，则可列方程（   ） A． B． C． D． 【答案】A 解：设该档门票原价为元， 根据题意得， 故选：A． 2．（2026·江西赣州·模拟预测）笔、墨、纸、砚被称为“文房四宝”．某书法社团计划购买，两种型号毛笔共50支，型号毛笔的单价是型号毛笔单价的1.4倍，购买型号毛笔共花费420元，购买型号毛笔共花费450元．设型号毛笔的单价是元/支，则可列分式方程为____． 【答案】 【分析】本题考查分式方程的实际应用，设型号毛笔单价为元/支，则型号毛笔单价为元/支．根据总价和单价可求出，两种型号毛笔的数量，再结合两种毛笔总数量为支这一等量关系列方程． 解：根据题意可得，型号毛笔数量为，型号毛笔数量为， 两种毛笔总数量为支， 列分式方程为 . 3．（25-26八年级下·吉林长春·期中）某商场准备购进甲、乙两种商品进行销售，若每个甲商品的进价比每个乙商品的进价少3元，且用90元购进甲商品的数量与用120元购进乙商品的数量相同．求甲、乙两种商品每个的进价分别是多少元． 【答案】每个甲商品的进价是9元，每个乙商品的进价是12元 【分析】设每个甲商品的进价为元，则每个乙商品的进价为元，根据用90元购进甲商品的数量与用120元购进乙商品的数量相同的等量关系列方程，求解并检验即可得到结果． 解：设每个甲商品的进价是元，则每个乙商品的进价是元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ， 答：每个甲商品的进价是9元，每个乙商品的进价是12元． 4．（2026·云南曲靖·二模）为落实“书香校园”建设，丰富学生课余文化生活，某校计划采购一批经典名著套装和科普读物套装．每套科普读物套装的单价比每套经典名著套装便宜20元，用2400元购买科普读物套装的数量，与用3000元购买经典名著套装的数量恰好相等．经典名著套装和科普读物套装的单价各是多少元？ 【答案】经典名著套装单价为100元，科普读物套装单价为80元 【分析】先结合每套科普读物套装的单价比每套经典名著套装便宜20元，故设经典名著套装的单价是元，则科普读物套装的单价是元，又因为用2400元购买科普读物套装的数量，与用3000元购买经典名著套装的数量恰好相等，进行列方程，再解得，最后验根，即可作答． 解：设经典名著套装的单价是元， 则科普读物套装的单价是元， 依题意，得， 解得， 经检验：当时，， 故是原分式方程的解， ∴科普读物套装的单价是（元）． 5．（2026·江苏南京·一模）某城市计划采购型和型新能源公交车，已知每辆型公交车的采购成本是型公交车的倍，用万元采购型公交车的数量比用万元采购型公交车的数量少辆．求每辆型和型公交车的采购成本． 【答案】每辆型公交车采购成本为万元，每辆型公交车采购成本为万元． 【分析】设每辆型公交车的采购成本为万元，由题意得每辆型公交车的采购成本为万元，列出方程解答即可求解，根据题意，找到等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 解：设每辆型公交车的采购成本为万元，由题意得每辆型公交车的采购成本为万元， 依题意，得， ， 即， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合实际意义， （万元）， 答：每辆型公交车采购成本为万元，每辆型公交车采购成本为万元． 【题型 4】分式方程和差倍分问题（5题） 1．（25-26九年级下·上海·阶段检测）某工厂生产零件80个，实际参与生产的人数是原计划人数的1.5倍，实际平均每人生产零件个数比原计划少了4个，若设原计划人数为人，则列出的方程是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设原计划人数为人，根据总零件数分别表示出原计划和实际的平均每人生产零件个数，再结合实际平均每人生产零件个数比原计划少个的等量关系列出方程，即可选出正确选项． 解：设原计划人数为人， ∵实际参与生产的人数是原计划人数的倍，∴实际参与生产的人数为人． 原计划平均每人生产零件个数为，实际平均每人生产零件个数为， ∵实际平均每人生产零件个数比原计划少了个， ∴原计划平均生产个数减去实际平均生产个数等于，因此列出方程为， 故选A． 2．（2026·黑龙江绥化·三模）第5代移动通信技术简称，某地已开通业务，经测试下载速度是下载速度的15倍，小明和小强分别用与下载一部600兆的公益片，小明比小强所用的时间快140秒，求该地与的下载速度分别是每秒多少兆？设该地的下载速度是每秒兆，则根据题意可列方程______． 【答案】 【分析】设该地的下载速度是每秒兆，则下载速度是每秒兆，再利用“时间等于下载总量除以下载速度”分别表示出两种下载方式的用时，最后根据时间差为140秒列出方程． 解：设该地的下载速度是每秒兆，则下载速度是每秒兆， 由题意可得：． 3．（25-26八年级下·云南昆明·期中）为了美化校园，学校计划购进一批月季和桂花树进行种植，已知桂花树的单价是月季的2倍，用600元购买桂花树的数量比用400元购买月季的数量少10棵，求桂花树和月季的单价． 【答案】月季的单价为10元，桂花树的单价为20元 【分析】设月季的单价为元，则桂花树的单价为元，然后根据题意列分式方程求解即可． 解：设月季的单价为元，则桂花树的单价为元， 由题意得：，解得：， 经检验：是所列方程的解，且符合题目要求，即． 答：月季的单价为10元，桂花树的单价为20元． 4．（2026·黑龙江大庆·一模）大庆高速公路收费站在早高峰期间，人工收费通道和通道同时开放，已知通道每小时通过的车辆数是人工收费通道每小时通过车辆数的2.5倍，当通过600辆车时，通道比人工收费通道少用，分别求人工收费通道和通道每小时通过车辆的数量． 【答案】人工收费通道每小时通过120辆车，则ETC通道每小时通过300辆车 【分析】设人工收费通道每小时通过辆车，则通道每小时通过辆车，根据题意，列出方程进行求解即可． 解：设人工收费通道每小时通过辆车，则通道每小时通过辆车， 根据题意得： 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴． 答：人工收费通道每小时通过120辆车，通道每小时通过300辆车． 5．（2026·江苏徐州·二模）某公司为深入宣传低碳发展理念，以碳积分激励市民低碳出行，累积的积分可兑换公交优惠券等权益．已知每乘坐一次公交车可获10个碳积分，步行则按总步数核算碳积分，小悦每日上下班各出行1次，规划了两种固定绿色出行方式，具体如下： 方式一：一次公交车（中途不下车）+步行600步； 方式二：步行4200步． 已知，小悦用方式一上班获得的碳积分比用方式二上班获得的碳积分少50个． 求每获得1个碳积分需要步行多少步． 【答案】每获得1个碳积分需要步行60步 【分析】设每获得1个碳积分需要步行x步，根据“小悦用方式一上班获得的碳积分比用方式二上班获得的碳积分少50个”列分式方程，解答即可． 解：设每获得1个碳积分需要步行x步， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：每获得1个碳积分需要步行60步． 【题型 5】分式方程的其他实际问题（5题） 1．（25-26八年级下·四川成都·阶段检测）某生产队承接了240亩地的复合种植任务，为了完成任务，引入新型机械种植，实际工作效率比原来提高了，结果提前3天完成任务．设原计划每天种植的面积为x亩地，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设原计划每天种植的面积为亩地，则实际每天种植的面积为亩地，根据“提前3天完成任务”的等量关系列方程． 解：设原计划每天种植的面积为亩地，则实际每天种植的面积为亩地， 根据题意得，． 2．（2026·江西·模拟预测）我国古代数学专著《四元玉鉴》中记载了一道这样的题：“今有绫、罗共三丈（1丈尺），各值（各自价值）钱八百九十六文．只云（已知）绫、罗各一尺共值钱一百二十文，问：绫、罗尺价各几何？”若设绫有尺，根据题意可列方程为___． 【答案】 【分析】先根据绫罗总长度求出罗的长度，再分别表示出绫和罗每尺的价格，最后根据“绫罗各一尺共值钱一百二十文”的等量关系列出方程． 解：∵3丈尺， 设绫有x尺，则罗有尺， 绫的总价值为896文，因此绫一尺的价格为文， 罗的总价值为896文，因此罗一尺的价格为文， 根据绫罗各一尺共值钱120文，列方程得：． 3．（2026·云南昆明·二模）“翻开一本书，就是打开一个世界，让心灵在文字间自由翱翔”．某教育体育局向全县中小学生推出“童心读书会”的分享活动．甲、乙两同学分别读页和页的两本书，准备参加读书分享活动，甲同学每天读书的页数是乙同学每天读书页数的倍，结果乙同学比甲同学提前天完成．求乙同学每天读书多少页？ 【答案】乙同学每天读书页 【分析】本题考查分式方程的实际应用．设乙同学每天读书页，则甲同学每天读书为页，根据读书天数总页数每天读的页数，以及两人读书的天数差列出方程，解方程即可得到答案． 解：设乙同学每天读书页，则甲同学每天读书为页， 由题意可列方程：， 解得， 经检验，是原方程的解， 答：乙同学每天读书页． 4．（2026·广东揭阳·一模）今年春节，揭阳文化古城人气火爆，累计接待游客约50万人次．揭阳学宫推出两款文创纪念品：“揭阳古八景”书签和“进贤门”折扇．某文创店决定购进这两款纪念品，已知“揭阳古八景”书签每件的进价比“进贤门”折扇每件的进价少6元，花180元购买“揭阳古八景”书签的件数与花240元购买“进贤门”折扇的件数相等．求书签和折扇每件的进价． 【答案】“揭阳古八景”书签每件进价18元，“进贤门”折扇每件进价24元． 【分析】设折扇每件的进价为x元，则书签每件的进价为元．根据花180元购买“揭阳古八景”书签的件数与花240元购买“进贤门”折扇的件数相等，列分式方程进行求解． 解：设折扇每件的进价为x元，则书签每件的进价为元． 由题意得，， 解得， 经检验，是原分式方程的解， ， 答：书签每件的进价为18元，折扇每件的进价为24元． 5．（25-26八年级下·河南周口·期中）分拣机器人是一种应用于物流、快递、制造业等领域的智能工业设备，核心配置包括传感器、物镜和电子光学系统，为企业带来了勃勃生机．某公司仓库选用了甲、乙两种型号的分拣机器人，已知甲型机器人比乙型机器人每小时多分拣快递200件，且甲型机器人分拣9000件快递所用时间与乙型机器人分拣8000件所用时间相等．求甲、乙两种型号的分拣机器人每小时分拣快递的数量． 【答案】甲型机器人每小时分拣快递1800件，乙型机器人每小时分拣快递1600件 【分析】设乙型机器人每小时分拣快递件，则甲型机器人每小时分拣快递件，再根据两型机器人分拣快递所用时间相等列出方程求解即可，注意分式方程需要检验． 解：设乙型机器人每小时分拣快递件，则甲型机器人每小时分拣快递件， 根据题意，得，解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意, ， 答：甲型机器人每小时分拣快递1800件，乙型机器人每小时分拣快递1600件． 【考点二】分式方程与一元一次不等式（组）综合应用 【题型 6】分式方程与行程问题、工程问题（5题） 1．（25-26八年级下·河南周口·期中）甲、乙两人从A地到B地，甲骑慢车，乙骑快车，乙速度是甲的3倍，乙比甲早40分钟到达，A、B相距12千米． （1）求甲、乙速度； （2）甲出发10分钟后乙出发追甲，乙多久追上？ 【答案】（1）甲的速度为12千米/时，乙的速度为36千米/时；（2）乙5分钟追上 【分析】（1）设甲的速度为x千米/时，则乙的速度为千米/时，根据“乙比甲早40分钟到达”列分式方程求解； （2）设乙出发t小时追上，根据题意列出一元一次方程求解． 解：（1）解：设甲的速度为x千米/时，则乙的速度为千米/时， 根据题意得， 解得 经检验，是原方程的解，且符合题意 ∴（千米/时） 答：甲的速度为12千米/时，乙的速度为36千米/时； （2）解：设乙出发t小时追上， 根据题意得，， 解得小时分钟， 答：乙5分钟追上． 2．（21-22八年级上·贵州黔西南·期末）小李从家出发去相距的B地上班，他每天出发的时间都相同．第一天步行去上班，结果迟到了5分钟；第二天骑自行车去上班，结果早到了10分钟．已知他骑自行车的速度是步行速度的1.5倍． （1）求小李上班步行的速度和骑自行车的速度． （2）有一天小李骑自行车出发，出发后自行车发生故障．小李立即跑步去上班（耽误时间忽略不计），为了上班不迟到，他跑步的速度至少为多少？ 【答案】（1）小李上班步行的速度为，骑自行车的速度为；（2）小李跑步的速度至少为 【分析】（1）设小李上班步行的速度为，则骑自行车的速度为，根据题意列出分式方程，解方程即可得出结果； （2）先求出小李骑自行车出发所用的时间，从而得出从出发到上班所用的时间，设小李跑步的速度为，根据题意列出一元一次不等式，解不等式即可得出结果． 解：（1）解：设小李上班步行的速度为，则骑自行车的速度为． 由题意，得， 解得． 经检验，是原分式方程的解， 则． 答：小李上班步行的速度为，骑自行车的速度为． （2）解：小李骑自行车出发所用的时间为． 因为小李每天出发的时间都相同， 所以从出发到上班所用的时间为． 设小李跑步的速度为． 由题意，得， 解得． 答：小李跑步的速度至少为． 3．（2026·河南平顶山·二模）甲、乙两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月（30天）完成总工程的 ，这时增加了乙队，两队又共同施工40天，总工程才全部完成，请解答下面的问题． （1）甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天? （2）甲队一天施工需要各项支出10000元，乙队一天施工需要各项支出4500元，如果两队单独施工且一共施工130天，怎样安排施工任务，最节省开支?最少开支是多少元? 【答案】（1）甲队单独完成这项工程需90天，乙队单独完成这项工程需180天；（2）安排甲队单独施工50天，乙队单独施工80天最节省开支，最少开支为860000元 【分析】（1）首先根据甲队30天完成 的工作量，确定甲队单独完成需90天，进而得出甲的工作效率。设乙队单独完成需 天，根据“甲先做30天，甲乙再合做40天完成全部工程”的等量关系列出分式方程，解方程并检验即可得出乙队单独完成所需天数； （2）设甲队施工 天，则乙队施工 天，根据“两队工作量之和不少于1”的条件确定 的取值范围，建立总支出 关于 的一次函数关系式，利用一次函数的增减性（时随增大而增大），确定当取最小值时总支出最少，从而得出最优施工安排及最少开支． 解：（1）解：甲队单独施工1个月（30天）完成总工程的， 因此甲队单独完成这项工程需（天），甲队单独施工1天完成总工程的． 设乙队单独完成这项工程需x天，，解得． 经检验，是原方程的根且符合题意． 答：甲队单独完成这项工程需90天，乙队单独完成这项工程需180天． （2）解：设甲队单独施工t天，则乙队单独施工天． 根据题意得，解得． 设总支出为y元，则． 因为，所以y随t的增大而增大， 所以时，y最小，此时，（天）． 答：安排甲队单独施工50天，乙队单独施工80天最节省开支，最少开支为860000元． 4．（2026·河南三门峡·二模）某科技公司专注于智能制造，成功研发一款教学用智能机器人，接到了首批校园采购订单，订单数量为2400台．公司设有甲、乙两个自动化生产车间，甲车间每天生产的智能机器人数量是乙车间的2倍．先由甲、乙两个车间共同生产完成1800台，剩余机器人再由乙车间单独完成，前后共用10天完成这批订单任务． （1）求甲、乙两个车间每天分别能生产多少台智能机器人； （2）首批订单完成后，公司接到后续采购需求，计划继续生产40天该款智能机器人，每天只能安排一个车间生产，如果安排甲车间生产的天数不超过乙车间的3倍，要使这40天的智能机器人生产总量最大，那么应如何安排甲、乙两个车间的生产天数？ 【答案】（1）甲车间每天生产240台智能机器人，乙车间每天生产120台智能机器人；（2）要使这40天的生产总量最大，应安排甲车间生产30天，乙车间生产10天 【分析】（1）设乙车间每天生产台智能机器人，则甲车间每天生产台智能机器人，结合先由甲、乙两个车间共同生产完成1800台，剩余机器人再由乙车间单独完成，前后共用10天完成这批订单任务，再建立分式方程求解即可． （2）设安排甲车间生产天，乙车间生产天，这40天的生产总量为台，进一步利用一次函数的性质求解即可． 解：（1）解：设乙车间每天生产台智能机器人，则甲车间每天生产台智能机器人， 根据题意得，解得， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴（台）． 答：甲车间每天生产240台智能机器人，乙车间每天生产120台智能机器人． （2）解：设安排甲车间生产天，乙车间生产天，这40天的生产总量为台， 根据题意，得，． ∵，∴随的增大而增大． ∵安排甲车间生产的天数不超过乙车间的3倍， ∴，解得， 由于天数不能为负数， ∴．． ∴当时，取得最大值，此时（天）． 答：要使这40天的生产总量最大，应安排甲车间生产30天，乙车间生产10天． 5．（2026九年级下·广东深圳·专题练习）为响应深圳市教育局“每周半天计划”，深圳某校推出“山海课堂”，将课堂搬至山海之间，依托鲲鹏径20段特色线路展开活动．学校将初一年级分为20个组，化身“探路者”，每组独立完成一段路线任务，最终拼合出完整的200公里轨迹． 【信息收集】信息一： 路段 路程（千米） 计划平均速度（千米/时） 第11组 鲲鹏径11段 12.5 第19组 鲲鹏径19段 6 a 信息二：第11组和第19组计划用时相等． 【问题解决】 （1）求a的值和计划用时； （2）第11组的同学前段的平均速度为3千米/时，后段由于体力下降，平均速度降为2千米/时．如果第11组的同学想要在计划的时间内到达终点，则至少需要保持平均速度为3千米时多长时间？ 【答案】（1）的值为1.2，计划用时为5小时；（2）至少需要保持平均速度为3千米/时2.5小时 【分析】此题考查了分式方程和一元一次不等式的应用，解题的关键是正确列出分式方程和一元一次不等式． （1）根据题意列出分式方程求解即可； （2）设需要保持平均速度为3千米/时小时，根据题意列出一元一次不等式求解即可． 解：（1）解：根据题意得： 解得：， 经检验：是分式方程的根， （小时）， 答：的值为1.2，计划用时为5小时； （2）解：设需要保持平均速度为3千米/时小时， 根据题意得： 解得： 答：至少需要保持平均速度为3千米/时2.5小时. 【题型 7】分式方程与营销、利润问题（5题） 1．（25-26八年级下·广东深圳·期中）随着生活水平的提高，人们越来越注重健康饮食、均衡膳食营养．某校食堂为丰富日常餐食，采购小米、黑米两种优质杂粮食材．已知小米每千克的价格是黑米每千克价格的1.2倍，用150元购买小米的质量比用100元购买黑米的质量多5千克． （1）求小米、黑米每千克分别是多少元； （2）该食堂计划采购两种杂粮共60千克，且购买小米的质量不少于黑米质量的一半，请通过计算设计一种购买方案，使所需费用最少． 【答案】（1）小米、黑米每千克分别是6元和5元；（2）当采购小米20千克，采购黑米40千克时，所需费用最少． 【分析】（1）设黑米每千克x元，则小米每千克元，以质量为等量构造方程求解即可； （2）采购小米a千克，则采购黑米千克，用a表示所需费用为w元，根据题意求出a的取值范围，利用一次函数性质求最小值即可． 解：（1）设黑米每千克x元，则小米每千克元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原列方程的解， （元）． 小米、黑米每千克分别是6元和5元； （2）设采购小米a千克，则采购黑米千克，所需费用为w元， 则有， 即， ， w随a的增大而增大， 购买小米的质量不少于黑米质量的一半， ， 解得：， 当时，w取得最小值，最小值（元）． 此时，千克 当采购小米20千克，采购黑米40千克时，所需费用最少． 2．（2026·湖北襄阳·一模）某玩具店决定购进A，B两种玩偶．已知一个B种玩偶比一个A种玩偶价格贵元，玩具店用元购进A种玩偶的数量是用元购进B种玩偶数量的2.5倍． （1）求购进A，B两种玩偶的单价各是多少元？ （2）六一将至，该玩具店决定用不超过元再次购进A，B两种玩偶（两种都要购进）共个进行销售，且将每个A种玩偶售价定为元，每个B种玩偶售价定为元，若设购进A种玩偶个， A、B两种玩偶全部售完所获利润为元，求w关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围． （3）在（2）的条件下，A、B两种玩偶各购进多少个时获得的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）20元；30元；（2），自变量的取值范围为且是整数；（3）A种40个，B种80个；1680元 【分析】（1）设种玩偶的单价为元，则种玩偶的单价为元，再依题意列出，进行计算，即可作答． （2）设购进A种玩偶个， A、B两种玩偶全部售完所获利润为元，再结合总利润等于A、B两种玩偶的利润之和建立关系式，进一步求解的范围即可； （3）运用一次函数的性质进行解答即可． 解：（1）解：设种玩偶的单价为元，则种玩偶的单价为元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ， 答：A种玩偶的单价为20元，则B种玩偶的单价为30元； （2）解：根据题意得：. ∵， 解得：， ∴自变量的取值范围为且是整数； （3）解：由（2）得，， ∵， ∴w随的增大而减小， ∴当时，最大为元，此时， 答：购买A种玩偶40个，购买B种玩偶80个时，最大利润为1680元． 3．（2026·山东济南·二模）为构建蓝色粮仓，某沿海新区启动“深蓝计划”，在远海部署两种新型智能养殖单元：A型深海网箱与B型水下机器人．已知用180万元购买A型网箱的数量与用300万元购买B型机器人的数量相等，且B型机器人的单价比A型网箱的单价多40万元． （1）求A型网箱和B型机器人的单价； （2）若该海域计划共采购A，B两种单元共20个（两种单元均需采购），且采购B型机器人的数量不少于A型网箱数量的，则采购A单元多少个时，可使投资总额最少？最少投资总额为多少万元？ 【答案】（1）A型网箱的单价是60万元，B型机器人的单价是100万元；（2）采购A网箱15个投资总额最少，最少投资总额为1400万元 【分析】（1）先设A型网箱单价，结合价格差表示出B型机器人单价，依据花费金额÷单价=数量，利用两种器材购买数量相等列出分式方程，解方程并检验，求出两种器材单价即可． （2）先设购进A型网箱数量，表示出B型数量，根据数量之间不等关系列出一元一次不等式，求出自变量取值范围；再根据总价公式列出总投资的一次函数关系式，利用一次函数增减性，确定自变量取值，求出最少投资金额． 解：（1）解：设型网箱的单价是万元，则型机器人的单价是万元 由题意得：， 解得：， 经检验是原方程的根，且符合题意， ， 答：型网箱的单价是60万元，型机器人的单价是100万元． （2）设购买型网箱个，则购买型机器人个， ∵两种单元均需采购， ∴且， 故m的取值范围为的整数， ∵采购B型机器人的数量不少于A型网箱数量的， ∴， 解得：， 综上m的取值范围为的整数， 设投资总额为万元， 由题意得： ， ， 随的增大而减小， ∵m为正整数， ∴当，有最小值， 此时（万元）， 答：采购网箱15个时总投资总额最少，最少投资总额为1400万元． 4．（2026·山东济南·二模）2026年春晚舞台上，人形机器人表演再次惊艳全球，展现了“中国智造”的无限活力和广阔未来，点燃了全世界对人形机器人赛道的憧憬，向全世界传递了中国科技自立自强的最强声音．某公司计划采购甲、乙两种机器人，已知甲种机器人的单价比乙种机器人的单价少5万元，花费1200万元购进甲种机器人的数量是花费650万元购进乙种机器人数量的2倍． （1）求甲种机器人和乙种机器人的单价分别是多少万元？ （2）该公司计划购进甲，乙两种机器人共40台，且甲种机器人的购买数量不超过乙种机器人购买数量的2倍，该公司购进甲种机器人多少台时花费最少？最少费用是多少万元？ 【答案】（1）一台甲种机器人需60万元，一台乙种机器人需65万元；（2）购进26台甲种机器人花费最少，最少费用是2470万元 【分析】（1）设购买一个乙种机器人需万元，则购买一台甲种机器人需万元，根据“花费1200万元购进甲种机器人的数量是花费650万元购进乙种机器人数量的2倍”列分式方程求解即可； （2）设该公司购进甲种机器人台，总花费为万元，先求出a的取值范围，再求出的函数解析式，根据一次函数的性质作答即可． 解：（1）解：设购买一个乙种机器人需万元，则购买一台甲种机器人需万元， 根据题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：购买一台甲种机器人需60万元，一台乙种机器人需65万元； （2）解：设该公司购进甲种机器人台，总花费为万元， 根据题意，得：， 解得，， ， ， 随的增大而减小， ∵，a为整数， 当时，取得最小值， 此时（万元）， 答：购进26台甲种机器人花费最少，最少费用是2470万元． 5．（25-26八年级下·福建泉州·阶段检测）习近平总书记在主持召开中央农村工作会议中指出：“坚持中国人的饭碗任何时候都要牢牢端在自己手中，饭碗主要装中国粮．”某粮食生产基地为了落实习近平总书记的重要讲话精神，积极扩大粮食生产规模，计划投入一笔资金购买甲，乙两种农机具，已知1件乙种农机具比1件甲种农机具多0.5万元，用20万元购买甲种农机具的数量和用25万元购买乙种农机具的数量相同． （1）求购买1件甲种农机具和1件乙种农机具各需多少万元？ （2）若该粮食生产基地计划购买甲，乙两种农机具共30件，且乙的件数不低于甲件数的一半．设购买甲种农机具m件，购买的总费用为W万元，求购买这批农机具最少要用多少万元？ 【答案】（1）购买1件甲种农机具需要2万元，购买1件乙种农机具需要2.5万元；（2）65万元 【分析】（1）设购买1件甲种农机具需要x万元，则购买1件乙种农机具需要万元，根据用20万元购买甲种农机具的数量和用25万元购买乙种农机具的数量相同，列出分式方程，求解并检验即可得出结论； （2）设购买甲种农机具m件，则购买乙种农机具件，根据乙的件数不低于甲件数的一半，列出一元一次不等式求出m的取值范围，根据题意得，根据一次函数的性质及m的取值范围求最小值即可． 解：（1）解：设购买1件甲种农机具需要x万元，则购买1件乙种农机具需要万元， 由题意列分式方程得，， 解得， 经检验：是原方程的解且符合题意； 则， 答：购买1件甲种农机具需要2万元，购买1件乙种农机具需要2.5万元； （2）解：设购买甲种农机具m件，则购买乙种农机具件， 由题意列一元一次不等式得，， 解得， ， W随着m的增大而减小， 当时，W有最小值，最小值； 答：购买这批农机具最少要用65万元． 【题型 8】分式方程与分配、方案问题（5题） 1．（25-26九年级下·广西玉林·期中）清明过后就是春茶的采摘季节．已知熟练采茶工人每天采茶的数量是新手采茶工人的倍，每个熟练采茶工人采摘斤鲜叶比新手采茶工人采摘斤鲜叶少用天． （1）求熟练采茶工人和新手采茶工人一天分别能采摘鲜叶的斤数； （2）某茶厂计划一天采摘鲜叶不少于斤，现安排熟练采茶工人和新手采茶工人共人参与采摘．已知熟练采茶工人每人每天工资元，新手采茶工人每人每天工资元，怎样安排熟练采茶工人与新手采茶工人的人数，使一天所付工资最少？并求出所付的最少工资． 【答案】（1）熟练采茶工人一天能采摘鲜叶斤，新手采茶工人一天能采摘鲜叶斤；（2）安排名熟练采茶工人，名新手采茶工人时，一天所付工资最少，最少工资为元 【分析】（）设新手采茶工人一天能采摘鲜叶斤，则熟练采茶工人一天能采摘鲜叶斤，根据题意列出方程解答即可求解； （）设安排熟练采茶工人名，则安排新手采茶工人 名，一天所付总工资为元，根据题意列不等式求出的取值范围，再列出与的一次函数关系式，进而根据一次函数的性质解答即可求解． 解：（1）解：设新手采茶工人一天能采摘鲜叶斤，则熟练采茶工人一天能采摘鲜叶斤， 由题意得，， 解得， 经检验是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：熟练采茶工人一天能采摘鲜叶斤，新手采茶工人一天能采摘鲜叶斤； （2）解：设安排熟练采茶工人名，则安排新手采茶工人 名，一天所付总工资为元， 由题意得，， 解得， 又由题意得，， ， 随的增大而增大， ∴当取最小值时，取得最小值， 此时， ， 答：安排名熟练采茶工人，名新手采茶工人时，一天所付工资最少，最少工资为元． 2．（25-26九年级下·山东淄博·期中）某学校开设了智能机器人编程的校本课程．学校购买了，两种型号的机器人模型，型机器人模型单价比型机器人模型单价多元，用元购买型机器人模型的数量与用元购买型机器人模型的数量相同． （1）求型、型机器人模型的单价分别是多少元？ （2）学校准备再次购买型和型机器人模型共台，购买型机器人模型的数量不超过型机器人模型数量的倍，问购买型机器人模型至少为多少台？ 【答案】（1）型机器人模型的单价为元，型机器人模型的单价为元；（2）购买型机器人模型至少为台． 【分析】（1）设型机器人模型的单价为元，则型机器人模型的单价为元，根据题意列方程求解即可； （2）设购买型机器人模型台，则购买B型机器人模型台，根据题意列不等式求解即可． 解：（1）解：设型机器人模型的单价为元，则型机器人模型的单价为元， 由题意可得， 解得， 经检验，是原方程的解且符合题意， ∴， ∴型机器人模型的单价为元，型机器人模型的单价为元． （2）解：设购买型机器人模型台，则购买B型机器人模型台， 由题意可得， 解得， 又∵为正整数， ∴m的最小值为14， ∴购买型机器人模型至少为台． 3．（25-26八年级下·河北沧州·期中）河北作为农业大省，拥有丰富多样的土特产，许多产品还获得了国家地理标志认证，极具地方特色，如迁西板栗、平泉香菇、永年大蒜、沧州金丝小枣……某商店销售甲、乙两种河北当地土特产，每斤甲种土特产的利润比每斤乙种土特产的利润多2元，销售甲种土特产获利60元和销售乙种土特产获利40元时的销售质量相同． （1）分别求甲、乙两种土特产每斤的利润； （2）若该商店计划购进甲、乙两种土特产共800斤进行销售，设购进甲种土特产m斤（），销售完这批土特产共获利w元． ①求w与m之间的函数关系式； ②若甲种土特产的质量不超过乙种土特产质量的倍，求出w的最大值． 【答案】（1）每斤甲种土特产的利润为6元，每斤乙种土特产的利润为4元；（2）①；②4160 【分析】本题考查分式方程、一次函数、不等式的应用，根据题意列出分式方程、不等式，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． （1）设每斤乙种土特产的利润为x元，则每斤甲种土特产的利润为元，根据题意列出分式方程，解方程，注意检验是否为原分式方程的解； （2）①设购进甲种土特产m斤，则购进乙种土特产斤，根据题意列出w与m之间的函数关系式； ②根据题意可列出不等式，进而得到，由①知，函数，随m的增大而增大，将代入函数，求出的最大值即可． 解：（1）解：设每斤乙种土特产的利润为x元，则每斤甲种土特产的利润为元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， 则， 答：每斤甲种土特产的利润为6元，每斤乙种土特产的利润为4元； （2）解：①设购进甲种土特产m斤，则购进乙种土特产斤， 由题意得：， 与m之间的函数关系式为； ②根据题意得：， 解得：， 又， ， 由①知，函数， ， 随m的增大而增大， 当时，w有最大值， 此时， 的最大值为4160． 4．（2026·广东深圳·二模）为丰富学生课余生活，某区计划让甲、乙两校作为试点校，开设个性化课程．已知乙校每季度开设的个性化课程数是甲校的2倍，且甲、乙两校分别完成240个课程数时，甲校比乙校多用了3个季度． （1）求甲、乙两校每季度分别开设的个性化课程数； （2）已知甲校提供1个季度的个性化课程服务会产生2000元材料费用，乙校提供1个季度的个性化课程服务会产生3000元材料费用．现计划由甲、乙两校共同提供12个季度的个性化课程服务，每季度只需要一所学校承担，若总费用不超过31000元，则甲校至少应提供多少个季度的服务？ 【答案】（1）甲校每季度开设的个性化课程40个，乙校每季度开设的个性化课程80个；（2）5个季度 【分析】（1）设甲校每季度开设的个性化课程x个，以甲校和乙校分别完成240个课程数时所用的季度差构成方程即可； （2）设甲校应提供m个季度的服务，则乙校应提供个季度的服务，表示两个学校的总费用，构造不等式求解即可． 解：（1）解：设甲校每季度开设的个性化课程x个，则乙校每季度开设的个性化课程个， 依据题意可列式， 解得， 经检验，是方程的根． 答：甲校每季度开设的个性化课程40个，乙校每季度开设的个性化课程80个． （2）解：设甲校应提供m个季度的服务，则乙校应提供个季度的服务， 依据题意可得， 解不等式得， 答：甲校至少应提供5个季度的服务． 5．（2022九年级·江西赣州·专题练习）为推动绿色循环低碳发展，鼓励低碳出行，甲停车场安装了A类和B类两种智能充电桩，已知两类充电桩的数量相同，每个A类充电柱的功率比每个B类充电桩的功率低15千瓦．若所有充电桩同时工作，A类充电桩的总功率是720千瓦，B类充电桩的总功率是1080千瓦． （1）求A，B两种充电桩每个的功率分别是多少千瓦． （2）若A类充电桩单个造价为4万元，B类充电桩单个造价为6万元，乙停车场计划建造32个充电桩，在总投资不超过150万元的情况下，怎么设置两类充电桩的数量以达到最大充电总功率？并求出最大充电总功率． 【答案】（1）每个A类充电桩的功率为30千瓦，每个B类充电桩的功率为45千瓦；（2）建造A类充电桩21个，B类充电桩11个时充电总功率最大，最大为1125千瓦 【分析】（1）设每个B类充电桩的功率为x千瓦，则每个A类充电桩的功率为千瓦，根据题意列出分式方程即可求解； （2）设建造A类充电桩a个，则建造B类充电桩个，总功率为y千瓦，求出与的函数关系式，然后再求出与的函数关系式，并结合约束条件，利用一次函数性质即可求解． 解：（1）解：设每个B类充电桩的功率为x千瓦，则每个A类充电桩的功率为千瓦， 根据题意得： 解得：， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ∴， 答：每个A类充电桩的功率为30千瓦，每个B类充电桩的功率为45千瓦． （2）解：设建造A类充电桩a个，则建造B类充电桩个，总功率为y千瓦， ∴ ∵， ∴， 在中，， ∴y随着a的增大而减小， 当时，y有最大值，为 此时B类充电桩的数量为（个）． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末考试必考题型（二）——分式方程的实际应用（2大考点8类题型） 目录 一.必考点知识回顾 1 【考点一】分式方程应用题解题步骤 1 【考点二】常见等量关系模型 2 二.必考题型精析 2 【考点一】列分式方程解应用题 2 【题型 1】分式方程的行程问题（5题） 2 【题型 2】分式方程的工程问题（5题） 3 【题型 3】分式方程的经济问题（5题） 3 【题型 4】分式方程和差倍分问题（5题） 4 【题型 5】分式方程的其他实际问题（5题） 5 【考点二】分式方程与一元一次不等式（组）综合应用 6 【题型 6】分式方程与行程问题、工程问题（5题） 6 【题型 7】分式方程与营销、利润问题（5题） 7 【题型 8】分式方程与分配、方案问题（5题） 8 一.必考点知识回顾 【考点一】分式方程应用题解题步骤 1、审：分析题意，找出已知量、未知量，梳理数量关系 2、设：设未知数（直接设 / 间接设，注意单位统一） 3、列：根据等量关系列出分式方程 4、解：去分母化为一元一次方程，求解方程 5、验：双重检验（①检验是否为分式方程增根；②检验解是否符合实际题意） 6、答：规范作答，带单位 【要点提示】分式方程应用题必须检验，这是得分关键点，增根、不符合实际的解都要舍去。 【考点二】常见等量关系模型 1、工作总量 = 工作效率 × 工作时间 2、路程 = 速度 × 时间 3、总价 = 单价 × 数量 4、利润 = 售价 - 进价，利润率 = 利润 ÷ 进价 二.必考题型精析 【考点一】列分式方程解应用题 【题型 1】分式方程的行程问题（5题） 1．（25-26八年级下·重庆·期中）小阳与小红两人周末去广阳岛骑行，小阳的速度是小红速度的倍，两人各自骑行了，小阳骑行时间比小红少用了．设小红的骑行速度为，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 2．（2026·山东济南·二模）甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城，在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离（千米）与甲车行驶的时间（小时）之间的函数关系如图所示，则乙追上甲时，乙行驶了__________小时． 3．（25-26八年级下·海南海口·期中）海南省首个省级科技馆于2025年12月18日开启试运行，是海南自贸港重要的科普教育地标．某校八年级学生前往距学校15千米的海南省科技馆参观，一部分学生乘大巴先出发，过了10分钟，其余学生乘坐中巴出发，结果他们同时到达，已知中巴的平均速度是大巴平均速度的1.5倍，求大巴的平均速度． 4．（2026·江苏扬州·二模）《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题的大意为：把一份文件用慢马送到900里（1里）外的城市需要的时间比规定时间多1天；如果用快马送，所需的时间就比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定几天到达． 5．（2026·江苏常州·一模）为了响应市政府“绿色出行”的号召，姜老师决定每天不再开私家车上班了，改为每天骑电瓶车上班．已知姜老师家与学校的距离为4公里，他开私家车的速度是骑电瓶车速度的3倍．经过测算，姜老师发现骑电瓶车要比开私家车多花8分钟到校．求姜老师上班时开私家车的平均速度是每小时多少公里？ 【题型 2】分式方程的工程问题（5题） 1．（2026·黑龙江绥化·三模）某工厂新引进一批电子产品，乙工人比甲工人每小时少搬运件电子产品，已知甲工人搬运件电子产品所用的时间与乙工人搬运件电子产品所用的时间相同．若设甲工人每小时搬运件电子产品，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 2．（2026·江西吉安·一模）我国古代数学名著《九章算术》记载：某工匠制作器物，改进工艺后，每日制作数量为原来的1.5倍，制作90件器物比原来少用3天．设原来每天制作件，则可列方程为______． 3．（2026·安徽宿州·二模）志愿者为社区图书馆整理新购的一批图书，为使任务能提前完成，需将原来的工作效率提高，求原来整理这批图书所需的时间． 4．（2026·广东东莞·二模）随着人工智能的快速发展，机器人的工作效率越来越高，为我们的工作和生活带来了许多便利．厂家将一款普通机器人升级改造为智能机器人，智能机器人的工作效率是普通机器人的1.5倍．若两种机器人分别同时装载货物6吨，普通机器人比智能机器人多用20分钟，求智能机器人每小时可以装载多少吨货物？ 5．（2026·辽宁沈阳·二模）某车间加工个零件后，采用了新工艺，工效提升了，这样同样加工个零件就少用小时．求采用新工艺后每小时加工多少个零件？ 【题型 3】分式方程的经济问题（5题） 1．（2026·河南平顶山·一模）年郑州跨年音乐会于年月日在郑州大剧院开演，音乐会票价原价有四档，其中某一档门票的价格是原价的六折，用元购买打折后该档门票的数量比用元购买原价票的数量多张，求该档门票原价为多少元．设该档门票原价为元，则可列方程（   ） A． B． C． D． 2．（2026·江西赣州·模拟预测）笔、墨、纸、砚被称为“文房四宝”．某书法社团计划购买，两种型号毛笔共50支，型号毛笔的单价是型号毛笔单价的1.4倍，购买型号毛笔共花费420元，购买型号毛笔共花费450元．设型号毛笔的单价是元/支，则可列分式方程为____． 3．（25-26八年级下·吉林长春·期中）某商场准备购进甲、乙两种商品进行销售，若每个甲商品的进价比每个乙商品的进价少3元，且用90元购进甲商品的数量与用120元购进乙商品的数量相同．求甲、乙两种商品每个的进价分别是多少元． 4．（2026·云南曲靖·二模）为落实“书香校园”建设，丰富学生课余文化生活，某校计划采购一批经典名著套装和科普读物套装．每套科普读物套装的单价比每套经典名著套装便宜20元，用2400元购买科普读物套装的数量，与用3000元购买经典名著套装的数量恰好相等．经典名著套装和科普读物套装的单价各是多少元？ 5．（2026·江苏南京·一模）某城市计划采购型和型新能源公交车，已知每辆型公交车的采购成本是型公交车的倍，用万元采购型公交车的数量比用万元采购型公交车的数量少辆．求每辆型和型公交车的采购成本． 【题型 4】分式方程和差倍分问题（5题） 1．（25-26九年级下·上海·阶段检测）某工厂生产零件80个，实际参与生产的人数是原计划人数的1.5倍，实际平均每人生产零件个数比原计划少了4个，若设原计划人数为人，则列出的方程是（     ） A． B． C． D． 2．（2026·黑龙江绥化·三模）第5代移动通信技术简称，某地已开通业务，经测试下载速度是下载速度的15倍，小明和小强分别用与下载一部600兆的公益片，小明比小强所用的时间快140秒，求该地与的下载速度分别是每秒多少兆？设该地的下载速度是每秒兆，则根据题意可列方程______． 3．（25-26八年级下·云南昆明·期中）为了美化校园，学校计划购进一批月季和桂花树进行种植，已知桂花树的单价是月季的2倍，用600元购买桂花树的数量比用400元购买月季的数量少10棵，求桂花树和月季的单价． 4．（2026·黑龙江大庆·一模）大庆高速公路收费站在早高峰期间，人工收费通道和通道同时开放，已知通道每小时通过的车辆数是人工收费通道每小时通过车辆数的2.5倍，当通过600辆车时，通道比人工收费通道少用，分别求人工收费通道和通道每小时通过车辆的数量． 5．（2026·江苏徐州·二模）某公司为深入宣传低碳发展理念，以碳积分激励市民低碳出行，累积的积分可兑换公交优惠券等权益．已知每乘坐一次公交车可获10个碳积分，步行则按总步数核算碳积分，小悦每日上下班各出行1次，规划了两种固定绿色出行方式，具体如下： 方式一：一次公交车（中途不下车）+步行600步； 方式二：步行4200步． 已知，小悦用方式一上班获得的碳积分比用方式二上班获得的碳积分少50个． 求每获得1个碳积分需要步行多少步． 【题型 5】分式方程的其他实际问题（5题） 1．（25-26八年级下·四川成都·阶段检测）某生产队承接了240亩地的复合种植任务，为了完成任务，引入新型机械种植，实际工作效率比原来提高了，结果提前3天完成任务．设原计划每天种植的面积为x亩地，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2026·江西·模拟预测）我国古代数学专著《四元玉鉴》中记载了一道这样的题：“今有绫、罗共三丈（1丈尺），各值（各自价值）钱八百九十六文．只云（已知）绫、罗各一尺共值钱一百二十文，问：绫、罗尺价各几何？”若设绫有尺，根据题意可列方程为___． 3．（2026·云南昆明·二模）“翻开一本书，就是打开一个世界，让心灵在文字间自由翱翔”．某教育体育局向全县中小学生推出“童心读书会”的分享活动．甲、乙两同学分别读页和页的两本书，准备参加读书分享活动，甲同学每天读书的页数是乙同学每天读书页数的倍，结果乙同学比甲同学提前天完成．求乙同学每天读书多少页？ 4．（2026·广东揭阳·一模）今年春节，揭阳文化古城人气火爆，累计接待游客约50万人次．揭阳学宫推出两款文创纪念品：“揭阳古八景”书签和“进贤门”折扇．某文创店决定购进这两款纪念品，已知“揭阳古八景”书签每件的进价比“进贤门”折扇每件的进价少6元，花180元购买“揭阳古八景”书签的件数与花240元购买“进贤门”折扇的件数相等．求书签和折扇每件的进价． 5．（25-26八年级下·河南周口·期中）分拣机器人是一种应用于物流、快递、制造业等领域的智能工业设备，核心配置包括传感器、物镜和电子光学系统，为企业带来了勃勃生机．某公司仓库选用了甲、乙两种型号的分拣机器人，已知甲型机器人比乙型机器人每小时多分拣快递200件，且甲型机器人分拣9000件快递所用时间与乙型机器人分拣8000件所用时间相等．求甲、乙两种型号的分拣机器人每小时分拣快递的数量． 【考点二】分式方程与一元一次不等式（组）综合应用 【题型 6】分式方程与行程问题、工程问题（5题） 1．（25-26八年级下·河南周口·期中）甲、乙两人从A地到B地，甲骑慢车，乙骑快车，乙速度是甲的3倍，乙比甲早40分钟到达，A、B相距12千米． （1）求甲、乙速度； （2）甲出发10分钟后乙出发追甲，乙多久追上？ 2．（21-22八年级上·贵州黔西南·期末）小李从家出发去相距的B地上班，他每天出发的时间都相同．第一天步行去上班，结果迟到了5分钟；第二天骑自行车去上班，结果早到了10分钟．已知他骑自行车的速度是步行速度的1.5倍． （1）求小李上班步行的速度和骑自行车的速度． （2）有一天小李骑自行车出发，出发后自行车发生故障．小李立即跑步去上班（耽误时间忽略不计），为了上班不迟到，他跑步的速度至少为多少？ 3．（2026·河南平顶山·二模）甲、乙两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月（30天）完成总工程的 ，这时增加了乙队，两队又共同施工40天，总工程才全部完成，请解答下面的问题． （1）甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天? （2）甲队一天施工需要各项支出10000元，乙队一天施工需要各项支出4500元，如果两队单独施工且一共施工130天，怎样安排施工任务，最节省开支?最少开支是多少元? 4．（2026·河南三门峡·二模）某科技公司专注于智能制造，成功研发一款教学用智能机器人，接到了首批校园采购订单，订单数量为2400台．公司设有甲、乙两个自动化生产车间，甲车间每天生产的智能机器人数量是乙车间的2倍．先由甲、乙两个车间共同生产完成1800台，剩余机器人再由乙车间单独完成，前后共用10天完成这批订单任务． （1）求甲、乙两个车间每天分别能生产多少台智能机器人； （2）首批订单完成后，公司接到后续采购需求，计划继续生产40天该款智能机器人，每天只能安排一个车间生产，如果安排甲车间生产的天数不超过乙车间的3倍，要使这40天的智能机器人生产总量最大，那么应如何安排甲、乙两个车间的生产天数？ 5．（2026九年级下·广东深圳·专题练习）为响应深圳市教育局“每周半天计划”，深圳某校推出“山海课堂”，将课堂搬至山海之间，依托鲲鹏径20段特色线路展开活动．学校将初一年级分为20个组，化身“探路者”，每组独立完成一段路线任务，最终拼合出完整的200公里轨迹． 【信息收集】信息一： 路段 路程（千米） 计划平均速度（千米/时） 第11组 鲲鹏径11段 12.5 第19组 鲲鹏径19段 6 a 信息二：第11组和第19组计划用时相等． 【问题解决】 （1）求a的值和计划用时； （2）第11组的同学前段的平均速度为3千米/时，后段由于体力下降，平均速度降为2千米/时．如果第11组的同学想要在计划的时间内到达终点，则至少需要保持平均速度为3千米时多长时间？ 【题型 7】分式方程与营销、利润问题（5题） 1．（25-26八年级下·广东深圳·期中）随着生活水平的提高，人们越来越注重健康饮食、均衡膳食营养．某校食堂为丰富日常餐食，采购小米、黑米两种优质杂粮食材．已知小米每千克的价格是黑米每千克价格的1.2倍，用150元购买小米的质量比用100元购买黑米的质量多5千克． （1）求小米、黑米每千克分别是多少元； （2）该食堂计划采购两种杂粮共60千克，且购买小米的质量不少于黑米质量的一半，请通过计算设计一种购买方案，使所需费用最少． 2．（2026·湖北襄阳·一模）某玩具店决定购进A，B两种玩偶．已知一个B种玩偶比一个A种玩偶价格贵元，玩具店用元购进A种玩偶的数量是用元购进B种玩偶数量的2.5倍． （1）求购进A，B两种玩偶的单价各是多少元？ （2）六一将至，该玩具店决定用不超过元再次购进A，B两种玩偶（两种都要购进）共个进行销售，且将每个A种玩偶售价定为元，每个B种玩偶售价定为元，若设购进A种玩偶个， A、B两种玩偶全部售完所获利润为元，求w关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围． （3）在（2）的条件下，A、B两种玩偶各购进多少个时获得的利润最大？最大利润是多少？ 3．（2026·山东济南·二模）为构建蓝色粮仓，某沿海新区启动“深蓝计划”，在远海部署两种新型智能养殖单元：A型深海网箱与B型水下机器人．已知用180万元购买A型网箱的数量与用300万元购买B型机器人的数量相等，且B型机器人的单价比A型网箱的单价多40万元． （1）求A型网箱和B型机器人的单价； （2）若该海域计划共采购A，B两种单元共20个（两种单元均需采购），且采购B型机器人的数量不少于A型网箱数量的，则采购A单元多少个时，可使投资总额最少？最少投资总额为多少万元？ 4．（2026·山东济南·二模）2026年春晚舞台上，人形机器人表演再次惊艳全球，展现了“中国智造”的无限活力和广阔未来，点燃了全世界对人形机器人赛道的憧憬，向全世界传递了中国科技自立自强的最强声音．某公司计划采购甲、乙两种机器人，已知甲种机器人的单价比乙种机器人的单价少5万元，花费1200万元购进甲种机器人的数量是花费650万元购进乙种机器人数量的2倍． （1）求甲种机器人和乙种机器人的单价分别是多少万元？ （2）该公司计划购进甲，乙两种机器人共40台，且甲种机器人的购买数量不超过乙种机器人购买数量的2倍，该公司购进甲种机器人多少台时花费最少？最少费用是多少万元？ 5．（25-26八年级下·福建泉州·阶段检测）习近平总书记在主持召开中央农村工作会议中指出：“坚持中国人的饭碗任何时候都要牢牢端在自己手中，饭碗主要装中国粮．”某粮食生产基地为了落实习近平总书记的重要讲话精神，积极扩大粮食生产规模，计划投入一笔资金购买甲，乙两种农机具，已知1件乙种农机具比1件甲种农机具多0.5万元，用20万元购买甲种农机具的数量和用25万元购买乙种农机具的数量相同． （1）求购买1件甲种农机具和1件乙种农机具各需多少万元？ （2）若该粮食生产基地计划购买甲，乙两种农机具共30件，且乙的件数不低于甲件数的一半．设购买甲种农机具m件，购买的总费用为W万元，求购买这批农机具最少要用多少万元？ 【题型 8】分式方程与分配、方案问题（5题） 1．（25-26九年级下·广西玉林·期中）清明过后就是春茶的采摘季节．已知熟练采茶工人每天采茶的数量是新手采茶工人的倍，每个熟练采茶工人采摘斤鲜叶比新手采茶工人采摘斤鲜叶少用天． （1）求熟练采茶工人和新手采茶工人一天分别能采摘鲜叶的斤数； （2）某茶厂计划一天采摘鲜叶不少于斤，现安排熟练采茶工人和新手采茶工人共人参与采摘．已知熟练采茶工人每人每天工资元，新手采茶工人每人每天工资元，怎样安排熟练采茶工人与新手采茶工人的人数，使一天所付工资最少？并求出所付的最少工资． 2．（25-26九年级下·山东淄博·期中）某学校开设了智能机器人编程的校本课程．学校购买了，两种型号的机器人模型，型机器人模型单价比型机器人模型单价多元，用元购买型机器人模型的数量与用元购买型机器人模型的数量相同． （1）求型、型机器人模型的单价分别是多少元？ （2）学校准备再次购买型和型机器人模型共台，购买型机器人模型的数量不超过型机器人模型数量的倍，问购买型机器人模型至少为多少台？ 3．（25-26八年级下·河北沧州·期中）河北作为农业大省，拥有丰富多样的土特产，许多产品还获得了国家地理标志认证，极具地方特色，如迁西板栗、平泉香菇、永年大蒜、沧州金丝小枣……某商店销售甲、乙两种河北当地土特产，每斤甲种土特产的利润比每斤乙种土特产的利润多2元，销售甲种土特产获利60元和销售乙种土特产获利40元时的销售质量相同． （1）分别求甲、乙两种土特产每斤的利润； （2）若该商店计划购进甲、乙两种土特产共800斤进行销售，设购进甲种土特产m斤（），销售完这批土特产共获利w元． ①求w与m之间的函数关系式； ②若甲种土特产的质量不超过乙种土特产质量的倍，求出w的最大值． 4．（2026·广东深圳·二模）为丰富学生课余生活，某区计划让甲、乙两校作为试点校，开设个性化课程．已知乙校每季度开设的个性化课程数是甲校的2倍，且甲、乙两校分别完成240个课程数时，甲校比乙校多用了3个季度． （1）求甲、乙两校每季度分别开设的个性化课程数； （2）已知甲校提供1个季度的个性化课程服务会产生2000元材料费用，乙校提供1个季度的个性化课程服务会产生3000元材料费用．现计划由甲、乙两校共同提供12个季度的个性化课程服务，每季度只需要一所学校承担，若总费用不超过31000元，则甲校至少应提供多少个季度的服务？ 5．（2022九年级·江西赣州·专题练习）为推动绿色循环低碳发展，鼓励低碳出行，甲停车场安装了A类和B类两种智能充电桩，已知两类充电桩的数量相同，每个A类充电柱的功率比每个B类充电桩的功率低15千瓦．若所有充电桩同时工作，A类充电桩的总功率是720千瓦，B类充电桩的总功率是1080千瓦． （1）求A，B两种充电桩每个的功率分别是多少千瓦． （2）若A类充电桩单个造价为4万元，B类充电桩单个造价为6万元，乙停车场计划建造32个充电桩，在总投资不超过150万元的情况下，怎么设置两类充电桩的数量以达到最大充电总功率？并求出最大充电总功率． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $