天津市第四十三中学2025-2026学年高一年级下学期5月期中考试数学试题

答案和解析 1．【答案】B 2．【答案】D 3．【答案】D 4．【答案】B 5．【答案】A 6．【答案】C 7．【答案】A 8．【答案】C 9．【答案】D 10．【答案】D 11．【答案】B 12．【答案】B 13．【答案】，． 14．【答案】-8 15．【答案】 16．【答案】 17．【答案】 18．【答案】，． 19．【答案】解：（1）： ， ， 设与的夹角为， 则， 又， ∴向量，的夹角为． （2）， 所以． 【解析】本题考查了平面向量的数量积应用问题，也考查了夹角与模长的计算问题，是基础题． （1）根据平面向量的数量积求出与夹角的余弦值，再求夹角的大小； （2）先求出，再计算模长的大小． 20．【答案】解：（Ⅰ）由已知及正弦定理得 ， ， ， ， （Ⅱ）（ⅰ）因为，，， 由余弦定理得， （ⅱ）由， 因为为锐角，所以， ，， ． 【解析】本题考查了正弦定理、余弦定理、倍角公式、和差公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． （Ⅰ）利用正弦定理、和差公式化简，即可得出结果． （Ⅱ）（ⅰ）因为，，，利用余弦定理，即可得出结果． （ⅱ）由，可得再利用倍角公式、和差公式，即可得出结果． 21．【答案】证明：（1）如图： 证明：连接，由题意得，， 又由，得， 平面，平面， 平面； （2）证明：取棱中点，连接， 依题意得， 又平面平面，平面平面，平面， 平面， 又平面，， 又，， 平面，平面， 平面； （3）解：连接，由（2）中平面， 知是直线与平面所成角， 是等边三角形，，且为中点， ， 又平面，平面，， 在中，． ∴直线与平面所成角的正弦值为． 【解析】本题考查直线与平面平行、直线与平面垂直、平面与平面垂直、直线与平面所成角等基础知识，考查空间想象能力和运算求解能力，属于拔高题． （1）连接，由题意得，，由，得，由此能证明平面；（2）取棱中点，连接，推导出，从而平面，进而，再上，能证明平面； （3）连接，由平面，知是直线与平面所成角，由此能求出直线与平面所成角的正弦值． 22．【答案】解： （1）在中，因为， 所以，所以， 所以， 所以， 所以； （2）由正弦定理得：，又，得， 所以，所以，．又由余弦定理：，所以； 3）由余弦定理：， 所以，当且仅当时等号成立， 故， 即周长最大值为． 【解析】本题重点考查正余弦定理解三角形，属于较难题． （1）将转化为是本题的关键； （2）由余弦定理得，即可解出； （3）利用即可解答． 学科网（北京）股份有限公司 $ 天津市第四十三中学2025-2026学年高一下期中阶段测验 数学学科 一、单选题：本题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知复数，其中为虚数单位，则下列结论中正确的是（ ） A． B． C． D．的虚部是 2．下列说法不正确的是（ ） A．三棱锥是四面体 B．三棱台是五面体 C．正方体是四棱柱 D．四棱柱是长方体 3．若圆柱、圆锥的底面直径和高都等于球的半径，则圆柱、圆锥、球的体积的比为（ ） A． B． C． D． 4．设，，向量，，，且，，则（ ） A． B． C． D．10 5．已知，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，对于下列四个命题： ①，，，； ②，； ③，，； ④，． 其中正确命题的个数有（ ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 6．在中，角、、所对的边分别为、、，且．若，则的形状是（ ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 7．用斜二测画法画边长为2的正方形的直观图时，以射线，分别为轴、轴的正半轴建立直角坐标系，在相应的斜角坐标系中得到直观图，则该直观图的面积为（ ） A． B． C． D． 8．如图，在正方体中，为线段的中点，则异面直线与所成角的大小为（ ） A． B． C． D． 9．在中，，分别是角，的对边，，，，则角为（ ） A． B． C． D．或 10．已知一个圆锥的轴截面是等边三角形，设圆锥的侧面积为，圆锥的内切球的表面积为，则（ ） A． B． C． D． 11．在等腰梯形中，，，，，点是线段上的一点，为直线上的动点，若，，且，则的最大值为（ ） A． B． C．-1 D． 12．设，已知平面向量，满足：，且，向量，若存在两个不同的实数，使得，则实数（ ） A．有最大值为2，最小值为 B．无最大值，最小值为 C．有最大值为2，无最小值 D．无最大值，最小值为0 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 13．一元二次方程的一个虚根为，则另一个虚根为________，实数______． 14．已知，是两个不共线的向量，，，，若，，三点共线，则实数______． 15．已知某圆锥体的底面半径，沿圆锥体的母线把侧面展开后得到一个圆心角为的扇形，则该圆锥体的表面积是_____． 16．已知直二面角，点，，为垂足，点，，为垂足，若，，则到平面的距离等于_____． 17．如图，在中，已知点在边上，，，，，那么的长为________． 18．粽子古称“角黍”，是中国传统的节庆食品之一，由粽叶包裹糯米等食材蒸制而成．因各地风俗不同．粽子的形状和味道也不同，某地流行的“五角粽子”，其形状可以看做所有棱长均为的正四棱锥，则这个粽子的表面积为_____，现在需要在粽子内部放入一颗咸蛋黄，蛋黄的形状近似地看成球，则当这个蛋黄的体积最大时，其半径与正四棱锥的高的比值为_____． 三、解答题：本题共4小题，共41分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19．（本小题8分） 已知，，． （1）求与的夹角； （2）求． 20．（本小题10分） 在中，内角、、的对边分别为，，，． （Ⅰ）求角的大小； （Ⅱ）若，．求： （ⅰ）边长； （ⅱ）的值． 21．（本小题12分） 如图，在四棱锥，底面为平行四边形，为等边三角形，平面平面，，，， （1）设，分别为，的中点，求证：平面； （2）求证：平面； （3）求直线与平面所成角的正弦值． 22．（本小题11分） 在中，角，，所对的边分别为，，，已知． （1）求角的大小． （2）若，且，求． （3）若，求周长的最大值． 学科网（北京）股份有限公司 $