8.3正态分布课件-2025-2026学年高二下学期数学苏教版选择性必修第二册

该高中数学课件聚焦正态分布，涵盖正态密度曲线、分布定义、特征及3σ原则等核心知识。通过误差模型实例导入，衔接频率直方图，搭建从概率基础到连续型随机变量分布的学习支架。 其亮点在于系统提炼μ和σ的意义，结合图表对比曲线特征，通过四类题型（性质、概率计算、应用、标准正态分布）培养数学思维与模型观念。实例丰富如大枣质量估计，助力学生用数学语言解决实际问题，教师可高效开展分层教学。

第8章　概率 8.3　正态分布 【课标要求】 1.通过误差模型,了解服从正态分布的随机变量;通过具体实例,借助频率直方图的几何直观,了解正态分布的特征. 2.了解正态分布的均值、方差及其含义. 要点深化·核心知识提炼 知识点一　正态密度曲线 称函数P(x)=(x∈R)为正态密度函数,其图象称为正态密度曲线.这里有两个参数μ和σ,其中μ∈R,σ>0. 知识点二　正态密度曲线的特征 1.当x<μ时,曲线上升;当x>μ时,曲线下降;当曲线向左右两边无限延伸时,以x轴为渐近线. 2.曲线关于直线x=μ对称. 3.σ越大,曲线越扁平;σ超小,曲线越尖陡. 4.在曲线下方和x轴上方范围内的区域面积为1. 名师点睛 一个正态密度函数由μ,σ唯一确定.当σ一定时,曲线的位置由μ确定,曲线随着μ的变化而沿x轴平移,如图①.当μ一定时,曲线的形状由σ确定,σ较小时,曲线“瘦高”,表示随机变量X的分布比较集中;σ较大时,曲线“矮胖”,表示随机变量X的分布比较分散,如图②. ① ② 知识点三　正态分布 1.定义 (1)设X是一个随机变量,若对任给区间(a,b],P(a<X≤b)是正态密度曲线下方和x轴上(a,b]上方所围成的图形的面积,则称随机变量X服从参数为μ和σ2的正态分布,简记为X~N(μ,σ2). (2)正态分布N(0,1)称为标准正态分布. 2.随机变量在三个特殊区间内取值的概率 (1)落在区间(μ-σ,μ+σ)内的概率约为68.3%; (2)落在区间(μ-2σ,μ+2σ)内的概率约为95.4%; (3)落在区间(μ-3σ,μ+3σ)内的概率约为99.7%. 名师点睛 1.如图所示,若X~N(μ,σ2),X取值不超过x的概率P(X≤x)为图中区域A的面积,而P(a≤X≤b)为区域B的面积. 2.在实际应用中,通常认为服从于正态分布N(μ,σ2)的随机变量X只取 (μ-3σ,μ+3σ)之间的值,并简称之为3σ原则. 3.正态曲线P(x)=,x∈R中的参数μ可取任意实数,表示平均水平的特征数,E(X)=μ;σ>0,表示标准差,D(X)=σ2. 自主诊断 判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)对∀x∈R,P(x)>0,它的图象在x轴的上方.(　　) (2)曲线在x=μ处达到峰值.(　　) (3)当|x|无限增大时,曲线与x轴相交.(　　) (4)若X~N(μ,σ2),则X是离散型随机变量.(　　) (5)若X~N(μ,σ2),则P(X>μ)=0.5.(　　) √ √ × × √ 题型分析·能力素养提升 【题型一】正态曲线的图象与性质 例 1 (1)设随机变量X~N(0,1),则X的密度函数为(　　) A.P(x)= B.P(x)= C.P(x)= D.P(x)= A 解析 因为X~N(0,1),所以μ=0,σ2=1,即σ=1,所以X的密度函数为A.故选A. (2)某市期末教学质量检测,甲、乙、丙三科考试成绩近似服从正态分布,则由如图所示的曲线可得下列说法中正确的是(　　) A.甲学科总体的均值最小 B.乙学科总体的方差及均值都居中 C.丙学科总体的方差最大 D.甲、乙、丙的总体的均值不相同 C 解析 由题中图象可知三科总体的平均数(均值)相等,由正态密度曲线的性质可知σ越大,正态曲线越扁平,σ越小,正态曲线越尖陡,故三科总体的标准差从小到大依次为甲、乙、丙.故选C. 规律方法　求正态曲线的两个方法 (1)图解法,明确顶点坐标即可,横坐标为样本的均值μ,纵坐标为. (2)待定系数法,求出μ,σ便可. 跟踪训练1(1)已知正态分布密度函数P(x)=,x∈R,则μ,σ分别是(　) A.0和4 B.0和2 C.0和8 D.0和 B 解析 ∵P(x)=, ∴μ=0,σ=2.故选B. (2)已知三个正态分布密度函数fi(x)=(x∈R,i=1,2,3)的图象如图所示,则下列结论正确的是(　　) A.μ1=μ2>μ3,σ1=σ2>σ3 B.μ1<μ2=μ3,σ1=σ2<σ3 C.μ1<μ2=μ3,σ1=σ2>σ3 D.μ1=μ2>μ3,σ1=σ2<σ3 B 解析 根据正态分布密度函数中参数μ,σ的意义,结合图象可知f2(x),f3(x)对称轴位置相同,所以可得μ2=μ3;且都在f1(x)的右侧,即μ1<μ2=μ3.比较f1(x)和f2(x)图象可得,其形状相同,即σ1=σ2,又f3(x)的离散程度比f1(x)和f2(x)大,所以可得σ1=σ2<σ3.故选B. 【题型二】有关正态分布的概率计算 角度1利用正态分布的对称性求概率 例 2 [链接教材例1](1)已知随机变量ξ服从正态分布N(2,σ2),且P(ξ<3)=0.6,则P(1<ξ<2)=(　　) A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.4 A 解析 由题意可得μ=2,且P(ξ<3)=0.6, 则P(ξ>3)=P(ξ<1)=1-0.6=0.4, 所以P(1<ξ<2)==0.1.故选A. (2)若随机变量X~N(μ,σ2),且P(X≥4)=P(X≤1)=0.4,则P(≤X<4)=　　　　　　.  0.1 解析 因为X~N(μ,σ2),且P(X≥4)=P(X≤1)=0.4,则μ=,所以P(≤X<4)=P(X≥)-P(X≥4)=0.5-0.4=0.1.故答案为0.1. 规律方法　利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题,涉及的知识主要是正态曲线关于直线x=μ对称,曲线与x轴之间的面积为1.充分利用正态曲线对称性和曲线与x轴之间面积为1是求解这类问题的关键.下面是几个常用的结论:①P(X<a)=1-P(X≥a);②P(X<μ-a)=1-P(X≤μ+a);③若b<μ,则P(X<b)=. 跟踪训练2(1)设随机变量X服从正态分布N(3,4),若P(X>a-2)=P(X<6-3a),则a=(　　) A.-2 B.-1 C. D.1 B 解析 由题意知随机变量X服从正态分布N(3,4),即正态分布曲线关于x=3对称,因为P(X>a-2)=P(X<6-3a),故=3,a=-1.故选B. (2)已知随机变量ξ服从正态分布N(1,),若P(ξ≤)=0.841 3,则P(<ξ≤1)=(　　) A.0.341 3 B.0.682 6 C.0.158 1 D.0.079 4 A 解析 ∵随机变量ξ服从正态分布N(1,),∴正态曲线关于x=1对称, ∴P(ξ<)=P(ξ>)=1-P(ξ≤)=1-0.841 3=0.158 7,P(<ξ≤1)=0.5-P(ξ<) =0.5-0.158 7=0.341 3.故选A. 角度2利用3σ原则求概率 例 3 [链接教材例2]已知随机变量X~N(20,22),则P(X<16)=(　　)(附:若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 6,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 4) A.0.022 8 B.0.158 8 C.0.158 65 D.0.341 35 A 解析 由题意可得μ=20,σ=2,则P(16≤ξ≤24)≈0.954 4, 所以P(X<16)=[1-P(16≤ξ≤24)]≈0.022 8. 故选A. 规律方法　利用3σ原则求概率问题时,要注意把给出的区间或范围与正态变量的μ,σ进行对比联系,确定它们属于(μ-σ,μ+σ),(μ-2σ,μ+2σ),(μ-3σ,μ+3σ)中的哪一个.要熟记P(μ-σ<X≤μ+σ),P(μ-2σ<X≤μ+2σ),P(μ-3σ<X≤μ+3σ)的值.  跟踪训练3为了检测自动流水线生产的食盐质量,检验员每天从生产线上随机抽取k(k∈N*)包食盐,并测量其质量(单位:g).由于存在各种不可控制的因素,任意抽取的一袋食盐的质量与标准质量之间存在一定的误差,已知这条生产线在正常状态下,每包食盐的质量服从正态分布N(μ,σ2).假设生产状态正常,记X表示每天抽取的k包食盐中质量在(μ-3σ,μ+3σ)之外的包数,若X的数学期望E(X)>0.03,则k的最小值为(　　) 附:若随机变量X服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-3σ<X<μ+3σ)≈0.997 4. A.12 B.13 C.14 D.16 A 解析 因为P(μ-3σ<X<μ+3σ)≈0.997 4,所以1-0.997 4=0.002 6,所以X~B(k,0.002 6),所以E(X)=0.002 6k>0.03,解得k>11,因为k∈N*,故k的最小值为12.故选A. 【题型三】正态分布的应用 例 4 (1)某科研院校培育大枣新品种,新培育的大枣单果质量近似服从正态分布N(90,4)(单位:g),现有该新品种大枣10 000个,估计单果质量在(86,92)范围内的大枣个数约为(　　)(附:若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ<X<μ+σ)≈0.682 6,P(μ-2σ<X<μ+2σ)≈0.954 4,P(μ-3σ<X<μ+3σ)≈0.997 4) A.8 185 B.8 400 C.9 974 D.9 987 A 解析 因为μ=90,σ=2,则86=μ-2σ,92=μ+σ,则P(86<X<92)=P(μ-2σ<X<μ+σ) =[P(μ-2σ<X<μ+2σ)+P(μ-σ<X<μ+σ)]=×(0.954 4+0.682 6)=0.818 5,因此,估计单果质量在(86,92)范围内的大枣个数约为10 000×0.818 5=8 185.故选A. (2)某校高三年级1 000名学生参加了市教体局组织的高考模拟考试,其中数学考试成绩近似服从正态分布X~N(100,σ2)(σ>0,试卷满分为150分),且数学成绩在80分到120分之间的人数约为总人数的,则此次考试中数学成绩不低于120分的学生人数约为(　　) A.300 B.250 C.125 D.100 C 解析 因为X~N(100,σ2),所以P(X≥120)=P(X≤80)=×(1-)=,故此次考试中数学成绩不低于120分的学生人数约为1 000×=125.故选C. 跟踪训练4(1)某实验室针对某种新型病毒研发了一种疫苗,并在1 000名志愿者身上进行了人体注射实验,发现注射疫苗的志愿者均产生了稳定的免疫应答.若这些志愿者的某免疫反应蛋白M的数值X(单位:mg/L)近似服从正态分布N(15,σ2),且X在区间(10,20)内的人数占总人数的,则这些志愿者中免疫反应蛋白M的数值X不高于20的人数大约为(　　) A.120 B.760 C.880 D.920 C 解析 ∵X~N(15,σ2),又P(X≤10)+P(X≥20)=1-P(10<X<20)=1-, ∴P(X≤10)=P(X≥20)=,∴P(X≤20)=P(X≤10)+P(10<X<20) =,∴这些志愿者中免疫反应蛋白M的数值X不高于20的人数大约为1 000×=880.故选C. (2)随着网络技术的迅速发展,各种购物群成为网络销售的新渠道.在丑橘销售旺季,某丑橘基地随机抽查了100个购物群的销售情况,各购物群销售丑橘的数量(都在100箱到600箱之间)情况如下: 丑橘数量/箱 [100, 200) [200,300) [300,400) [400,500) [500,600] 购物群数量/个 a 18 a+8 a+20 18 ①求实数a的值,并用组中值估计这100个购物群销售丑橘总量的平均数(单位:箱); ②假设所有购物群销售丑橘的数量X服从正态分布N(μ,σ2),其中μ为①中的平均数,σ2=12 100.若参与销售该基地丑橘的购物群约有2 000个,销售丑橘的数量在[266,596)(单位:箱)内的群为“一级群”,销售数量小于266箱的购物群为“二级群”,销售数量大于等于596箱的购物群为“优质群”.该丑橘基地对每个“优质群”奖励1 000元,每个“一级群”奖励200元,“二级群”不奖励,则该丑橘基地大约需要准备多少元? 附:若X服从正态分布X~N(μ,σ2),则P(μ-σ<X<μ+σ)≈0.683,P(μ-2σ<X<μ+2σ) ≈0.954,P(μ-3σ<X<μ+3σ)≈0.997.  解 ①由题意得a+18+a+8+a+20+18=100,解得a=12. 故平均数为×(150×12+250×18+350×20+450×32+550×18)=376(箱). ②由题意,得μ=376,σ=110,且266=376-110=μ-σ,596=376+220=μ+2σ,故P(X>596)=P(X>μ+2σ)=×(1-0.954)=0.023,所以“优质群”约有2 000×0.023=46(个),P(266≤X<596)=P(μ-σ<X<μ+2σ)=×0.683+×0.954=0.818 5,所以“一级群”约有 2 000×0.818 5=1 637(个), 所以需要资金为46×1 000+1 637×200=373 400(元), 故至少需要准备373 400元. 【题型四】标准正态分布的应用 例 5 在某校举行的数学竞赛中,全体参赛学生的竞赛成绩ξ近似服从正态分布N(70,100).已知成绩在90分以上(含90分)的学生有12名. (1)此次参赛的学生总数约为多少人? (2)若该校计划奖励竞赛成绩排在前50名的学生,则设奖的分数线约为多少分? 说明:对任何一个正态分布X~N(μ,σ2)来说,通过Z=转化为标准正态分布Z~N(0,1),从而查标准正态分布表得到P(X<X1)=Φ(Z). 参考数据:可供查阅的(部分)标准正态分布表Φ(Z). x0 0 1 2 3 4 1.2 0.884 9 0.886 9 0.888 0.890 77 0.892 5 1.3 0.903 2 0.904 9 0.906 6 0.908 2 0.909 9 1.4 0.919 2 0.920 7 0.922 2 0.923 6 0.925 1 1.9 0.977 13 0.971 9 0.972 6 0.973 2 0.973 8 2.0 0.977 2 0.977 8 0.978 3 0.978 8 0.979 3 2.1 0.982 1 0.982 6 0.983 0 0.983 4 0.983 8 x0 5 6 7 8 9 1.2 0.894 4 0.896 2 0.898 0 0.899 7 0.901 5 1.3 0.911 5 0.913 1 0.914 7 0.916 2 0.917 7 1.4 0.926 5 0.927 8 0.929 2 0.930 6 0.931 6 1.9 0.974 4 0.975 0 0.975 6 0.976 2 0.976 7 2.0 0.979 8 0.980 3 0.980 8 0.981 2 0.981 7 2.1 0.984 2 0.984 6 0.985 0 0.985 4 0.985 7 解 (1)因为ξ~N(70,100),所以~N(0,1). 由条件知,P(ξ≥90)=1-P(ξ<90)=1-Φ()=1-Φ(2)=1-0.977 2=0.022 8. 这说明成绩在90分以上(含90分)的学生人数约占全体参赛人数的2.28%,所以参赛总人数约为≈526. (2)假定设奖的分数线为x分,则X~N(70,100),故~N(0,1).又P(ξ≥x)=1-P(ξ<x)=1-Φ()=≈0.095 1,即Φ()≈0.904 9,查表得≈1.31, 解得x=83.1.故设奖的分数线约为83分. 规律方法　1.任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布,即若X~N(μ,σ2),则Z=~N(0,1). 2.Φ(a)=P(X<a),即标准正态曲线与x轴在区间(-∞,a)上的概率. 跟踪训练5高铁是当代中国非常重要的一类交通基础设施,乘坐高铁已经成为人们喜爱的一种出行方式,已知某市市郊乘车前往高铁站有①,②两条路线可走,路线①穿过市区,路程较短但交通拥挤,所需时间(单位:分钟)服从正态分布N(50,100);路线②走环城公路,路程长,但意外阻塞较少,所需时间(单位:分钟)服从正态分布N(60,16).若住同一地方的甲、乙两人分别有70分钟与64分钟可用,要使两人按时到达车站的可能性更大,则甲、乙选择的路线分别是(　　) A.①,② B.②,① C.①,① D.②,② B 解析 对于甲,若有70分钟可走,走第一条线路赶到的概率为P(X≤70)=Φ()=Φ(2),走第二条线路赶到的概率为P(X≤70)=Φ()=Φ(2.5),Φ(2)<Φ(2.5),所以甲应走线路②; 对于乙,若有64分钟可走,走第一条线路的概率为P(X≤64)=Φ()=Φ(1.4),走第二条线路赶到的概率为P(X≤64)=Φ()=Φ(1),Φ(1.4)>Φ(1),所以乙应走线路①.故选B. $