8.3 正态分布-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教用课件（苏教版）

该高中数学课件聚焦正态分布，涵盖密度曲线特征、参数含义及3σ原则等核心知识。通过身高分布、电子产品寿命等生活情境导入，引导学生从实际问题抽象数学模型，搭建从具体现象到抽象概念的学习支架。 其亮点在于以直观想象为基础，借助频率直方图过渡到正态密度曲线，结合典例（考试成绩分析、零件尺寸检测）培养数学建模能力，自我诊断与跟踪训练强化数学运算。助力学生提升用数学眼光观察、思维分析的素养，为教师提供系统教学资源与分层练习设计。

8.3　正态分布 1 1.通过误差模型，了解服从正态分布的随机变量（数学抽象）. 2.通过具体实例，借助频率直方图的几何直观，了解正态分布的特征（直观想象）. 3.了解正态分布的均值、方差及其含义，并会用正态分布去解决实际问题（数学建模、数学运算）. 课标要求 基础落实 01 典例研析 02 课时作业 03 目录 3 01 PART 基础落实 基础落实 目 录 　　（1）一所学校同年级的同学，身高特别高的同学比较少，特别矮的同 学也不多，大都集中在某个高度左右；（2）某种电子产品的使用寿命也都 接近某一个数，使用期过长，或过短的产品相对较少. 【问题】　生活中像上述这样的现象很多，那么如何用数学模型来刻 画呢？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 知识点一　正态密度曲线及特征 1. 概率密度曲线 对于某一随机变量的频率分布直方图，如果数据无限 且组距无限 ⁠ ，那么频率分布直方图上的折线将趋于一条光滑的曲线，我们将此曲线称为概率密度曲线. 增多　 缩小 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 2. 正态密度曲线 定 义 函数P（x）＝ （x∈R）的图象称为正态密度曲 线，这里有两个参数μ和σ，其中σ＞0，μ∈R 特 征 （1）当x＜μ时，曲线 ；当x＞μ时，曲线 ；当曲 线向左右两边无限延伸时，以 为渐近线. （2）曲线关于直线 对称. （3）σ越 ，曲线越扁平；σ越 ，曲线越尖陡. （4）在曲线下方和x轴上方范围内的区域面积为 ⁠ 　 上升　 下降　 x轴　 x＝μ　 大　 小　 1　 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 知识点二　正态分布 设X是一个随机变量，若对任给区间（a，b]，P（a＜X≤b）是正态密 度曲线下方和x轴上（a，b]上方所围成的图形的 ，则称随机变 量X服从参数为μ和σ2的正态分布，简记为X～ ⁠. 　　提醒：（1）μ＝0，σ＝1的正态分布叫作标准正态分布；（2）参数μ 是反映随机变量取值的平均水平的特征数（均值）；σ2是衡量随机变量总 体波动大小的特征数（方差）. 面积　 N（μ，σ2）　 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 知识点三　3σ原则 　随机变量X取值 （1）落在区间（μ－σ，μ＋σ）内的概率约为 ⁠； （2）落在区间（μ－2σ，μ＋2σ）内的概率约为 ⁠； （3）落在区间（μ－3σ，μ＋3σ）内的概率约为 ⁠. 68.3%　 95.4%　 99.7%　 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）正态密度曲线中参数μ，σ的意义分别是随机变量的均值与标准差. （　√　） （2）正态曲线是单峰的，其与x轴围成的面积是随参数μ，σ的变化而变 化的. （　×　） （3）若X～N（μ，σ2），则P（X＜μ）＝ . （　√　） √ × √ 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 2. 如图是三个正态分布X～N（0，0.25），Y～N（0，1），Z～N （0，4）的密度曲线，则三个随机变量X，Y，Z对应的曲线分别是图中 的 、 、 ⁠. 解析：在密度曲线中，σ越大，曲线越“矮胖”；σ越小，曲线越“瘦高”. ① ② ③ 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 3. 若随机变量ξ～N（0，1），查标准正态分布表，则（1）P（0＜ξ＜ 1.90）＝ ⁠； 解析： P（0＜ξ＜1.90）＝P（ξ＜1.9）－P（ξ≤0）＝0.971 3－ 0.500 0＝0.471 3. （2）P（－1.83＜ξ＜0）＝ ⁠. 解析： P（－1.83＜ξ＜0）＝P（0＜ξ＜1.83）＝P（ξ＜1.83）－P （ξ≤0）＝0.966 4－0.500 0＝0.466 4. 0.471 3 0.466 4 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 02 PART 典例研析 典例研析 目 录 题型一｜正态密度曲线及其特点 【例1】　（1）〔多选〕已知三个正态密度函数φi（x）＝ （x∈R，i＝1，2，3）的图象如图所示，则下列结论正确的是（　AD　） A. σ1＝σ2 B. μ1＞μ3 C. μ1＝μ2 D. σ2＜σ3 AD 解析：根据正态曲线关于直线x＝μ对称，且μ越大图象越靠近右边，所以μ1＜μ2＝μ3，B、C错误；又σ越小数据越集中，图象越“瘦高”，所以σ1＝σ2＜σ3，A、D正确. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 （2）已知正态密度曲线的函数解析式为f（x）＝ （x∈R），则μ＝ ，σ＝ ⁠. 解析：将所给的函数解析式与正态分布密度函 数的解析式对照可得μ＝2，σ＝3. 2 3 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 通性通法 由正态密度曲线确定均值与方差的方法 　　正态分布的两个重要参数是μ与σ2，μ刻画了随机变量取值的平均水 平，σ2是衡量随机变量总体波动大小的特征数，因此我们由正态密度曲线 的形状与位置可比较参数的大小，反之利用参数之间的大小关系，也可以 确定正态密度曲线的形状与位置. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 【跟踪训练】 1. 函数f（x）＝ （其中μ＜0）的图象可能为（　　） 解析： 　函数f（x）图象的对称轴为直线x＝μ，因为μ＜0，所以排除 B、D；又正态密度曲线位于x轴上方，因此排除C. √ 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 2. 〔多选〕甲、乙两类水果的质量（单位：kg）分别服从正态分布N （μ1， ），N（μ2， ），其正态密度曲线f（x）＝ （x∈R）如图所示，则（　　） A. 甲类水果的平均质量μ1＝0.4 kg B. 甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右 C. 甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小 D. 乙类水果的质量服从的正态分布的参数σ2＝1.99 √ √ √ 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 解析： 　由图象可知甲图象关于直线x＝0.4对称，乙图象关于直线x ＝0.8对称，所以μ1＝0.4，μ2＝0.8，μ1＜μ2，故A、C正确；因为甲图 象比乙图象更“瘦高”，所以甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于 平均值左右，故B正确；因为乙图象的最大值为1.99，即 ＝1.99，则 σ2≠1.99.故D错误.故选A、B、C. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 题型二｜利用正态分布求概率 【例2】　（链接教科书第136页例1）设X～N（1，22），试求： （1）P（－1＜X＜3）； P（－1＜X＜3）＝P（1－2＜X＜1＋2）＝P（μ－σ＜X＜μ＋ σ）≈0.683. 解：因为X～N（1，22），所以μ＝1，σ＝2， （2）P（X＞5）. 解： P（X＞5）＝P（X＜－3）＝ [1－P（－3≤X≤5）]＝ [1－P （1－4≤X≤1＋4）]＝ [1－P（μ－2σ≤X≤μ＋2σ）]≈ （1－0.954） ＝0.023. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 【母题探究】 　（变设问）若本例条件不变，求P（3＜X＜5）. 解：∵P（3＜X＜5）＝P（－3＜X＜－1）， ∴P（3＜X＜5）＝ [P（－3＜X＜5）－P（－1＜X＜3）] ＝ [P（1－4＜X＜1＋4）－P（1－2＜X＜1＋2）] ＝ [P（μ－2σ＜X＜μ＋2σ）－P（μ－σ＜X＜μ＋σ）] ≈ ×（0.954－0.683）＝0.135 5. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 通性通法 利用正态分布求概率的两个方法 （1）对称法：由于正态密度曲线是关于直线x＝μ对称的，且概率的和为 1，故关于直线x＝μ对称的区间上概率相等.如： ①P（X＜a）＝1－P（X≥a）； ②P（X＜μ－a）＝P（X＞μ＋a）. （2）“3σ”法：利用X落在区间（μ－σ，μ＋σ），（μ－2σ，μ＋ 2σ），（μ－3σ，μ＋3σ）内的概率分别是68.3%，95.4%，99.7%求解. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 【跟踪训练】 1. 已知随机变量ξ服从正态分布N（3，σ2），且P（0＜ξ＜3）＝0.4，则 P（ξ＞6）＝（　　） A. 0.1 B. 0.2 C. 0.4 D. 0.6 解析： 　因为μ＝3，且P（0＜ξ＜3）＝0.4，所以P（3＜ξ＜6）＝0.4. 又P（ξ＞3）＝0.5，所以P（ξ＞6）＝P（ξ＞3）－P（3＜ξ＜6）＝0.1. √ 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 2. 设随机变量ξ服从正态分布N（2，9），若P（ξ＞c＋1）＝P（ξ＜c－ 1），则c＝ ⁠. 解析：∵ξ～N（2，9），又P（ξ＞c＋1）＝P（ξ＜c－1），∴ ＝2，∴c＝2. 2 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 3. 已知X～N（4，σ2），且P（2＜X＜6）≈0.683，则σ＝ ，P（｜ X－2｜＜4）＝ ⁠. 解析：∵X～N（4，σ2），∴μ＝4.∵P（2＜X＜6）≈0.683， ∴ ∴σ＝2.∴P（｜X－2｜＜4）＝P（－2＜X＜6）＝P （－2＜X＜2）＋P（2＜X＜6）＝ [P（－2＜X＜10）－P（2＜X＜ 6）]＋P（2＜X＜6）＝ P（－2＜X＜10）＋ P（2＜X＜6）＝0.84. 2 0.84 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 题型三｜正态分布的实际应用 【例3】　（链接教科书第137页例2）在某次数学考试中，考生的成绩ξ服 从正态分布，即ξ～N（90，100）. （1）试求考试成绩ξ位于区间[70，110]上的概率是多少？ 由于随机变量在区间（μ－2σ，μ＋2σ）内取值的概率是0.954，而 该正态分布中，μ－2σ＝90－2×10＝70，μ＋2σ＝90＋2×10＝110，于是 考试成绩ξ位于区间[70，110]内的概率为0.954. 解：因为ξ～N（90，100），所以μ＝90，σ＝10. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 解：由μ＝90，σ＝10，得μ－σ＝80，μ＋σ＝100.由于随机变量在区间 （μ－σ，μ＋σ）内取值的概率是0.683，所以考试成绩ξ位于区间[80， 100]内的概率为0.683，一共有2 000名考生，所以考试成绩在区间[80， 100]上的考生大约有2 000×0.683＝1 366（人）. （2）若这次考试共有2 000名考生，试估计考试成绩在区间[80，100]上的 考生大约有多少人？ 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 通性通法 正态密度曲线的应用及求解策略 　　解答此类题目的关键在于将待求的问题向（μ－σ，μ＋σ）， （μ－ 2σ，μ＋2σ），（μ－3σ，μ＋3σ）这三个区间进行转化，然后利用上述 区间的概率求出相应的概率，在此过程中依然会用到化归思想及数形结合 思想. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 【跟踪训练】 　某厂生产的圆柱形零件的外直径X（单位：cm）服从正态分布N（4， 0.52）.质检人员从该厂生产的1 000件零件中随机抽查1件，测得它的外直 径为5.7 cm，试问：该厂生产的这批零件是否合格？ 解：由于外直径X～N（4，0.52）， 则X在[4－3×0.5，4＋3×0.5]之内取值的概率为0.997，在[2.5，5.5]之 外取值的概率为0.003， 而5.7∉[2.5，5.5]，这说明在一次试验中，出现了几乎不可能发生的小概 率事件，据此可以认为这批零件是不合格的. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 1. 〔多选〕下面给出的关于正态密度曲线的叙述中，正确的有（　　） A. 曲线可以关于y轴对称 B. 当x＞μ时，随着x的增大，曲线逐渐下降；当x＜μ时，随着x的增 大，曲线逐渐上升 C. μ一定时，σ越小，总体分布越分散；σ越大，总体分布越集中 D. 当x＝μ时，曲线位于最高点 解析： 　当μ一定时，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体分布越集 中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体分布越分散.只有C错误，故选A、 B、D. √ √ √ 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 2. 某种零件的尺寸X（单位：cm）服从正态分布N（3，1），则不属于区 间（1，5）这个尺寸范围的零件数约占总数的 ⁠. 解析：属于区间（μ－2σ，μ＋2σ），即区间（1，5）的取值概率为 95.4%，故不属于区间（1，5）这个尺寸范围的零件数约占总数的1－ 95.4%＝4.6%. 4.6% 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 3. 若随机变量ξ～N（10，σ2），P（9≤ξ≤11）＝0.4，则P（ξ≥11） ＝ ⁠. 解析：由P（9≤ξ≤11）＝0.4且正态密度曲线以x＝μ＝10为对称轴知， P（9≤ξ≤11）＝2P（10≤ξ≤11）＝0.4，即P（10≤ξ≤11）＝0.2，又P （ξ≥10）＝0.5，所以P（ξ≥11）＝0.5－0.2＝0.3. 0.3 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 03 PART 课时作业 课时作业 目 录 1. 已知正态分布密度函数f（x）＝ ，x∈R，则μ，σ分别是 （　　） A. 0和4 B. 0和2 C. 0和8 D. 0和 解析： 　f（x）＝ ＝ ，故μ＝0，σ＝2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 2. 已知随机变量X服从正态分布N（a，4），且P（X＞1）＝0.5，则实 数a＝（　　） A. 1 B. C. 2 D. 4 解析： 　因为随机变量X服从正态分布N（a，4），所以P（X＞a）＝ 0.5.由P（X＞1）＝0.5，可知a＝1. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 3. 已知随机变量X服从正态分布N（2，σ2），P（X＜4）＝0.84，则P （X≤0）＝（　　） A. 0.16 B. 0.32 C. 0.68 D. 0.84 解析： 　由X～N（2，σ2），可知其正态密度曲线如图所 示，对称轴为直线x＝2，则P（X≤0）＝P（X≥4）＝1－ P（X＜4）＝1－0.84＝0.16. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 4. 如果正态总体的数据落在[－3，－1]内的概率和落在[3，5]内的概率相 等，那么这个正态总体的数学期望是（　　） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 解析： 　∵随机变量X服从正态分布，X的取值落在区间[－3，－1]内的 概率和落在区间[3，5]内的概率是相等的，∴函数图象关于直线x＝ ＝1对称，∴随机变量X的数学期望为1. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 5. 〔多选〕（2024·新高考Ⅰ卷9题）随着“一带一路”国际合作的深入，某 茶叶种植区多措并举推动茶叶出口.为了解推动出口后的亩收入（单位：万 元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值 ＝ 2.1，样本方差s2＝0.01.已知该种植区以往的亩收入X服从正态分布N （1.8，0.12），假设推动出口后的亩收入Y服从正态分布N（ ，s2）， 则（若随机变量Z服从正态分布N（μ，σ2），则P（Z＜μ＋σ）≈0.841 3）（　　） A. P（X＞2）＞0.2 B. P（X＞2）＜0.5 C. P（Y＞2）＞0.5 D. P（Y＞2）＜0.8 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 解析： 　法一　依题可知， ＝2.1，s2＝0.01，所以Y～N（2.1， 0.12），故P（Y＞2）＝P（Y＞2.1－0.1）＝P（Y＜2.1＋0.1）≈0.841 3＞0.5，C正确，D错误；因为X～N（1.8，0.12），所以P（X＞2）＝ P（X＞1.8＋2×0.1），因为P（X＜1.8＋0.1）≈0.841 3，所以P（X＞ 1.8＋0.1）≈1－0.841 3＝0.158 7＜0.2，而P（X＞2）＝P（X＞1.8＋ 2×0.1）＜P（X＞1.8＋0.1）＜0.2，B正确，A错误，故选B、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 法二　由P（Z＜μ＋σ）≈0.841 3，得P（μ－σ＜Z＜μ＋σ）≈0.682 6， 又Y～N（2.1，0.12），X～N（1.8，0.12），则P（X＞2）＝ ≈ ＝0.022 8＜0.5，P（Y＞2）＝0.5＋ ≈0.5＋0.341 3＝0.841 3＞0.8＞0.5，故选B、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 6. 〔多选〕小明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公 交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到，坐公交车平均用时10 min，样本方差为9；骑自行车平均用时15 min，样本方差为1.已知坐公交 车所花时间X与骑自行车所花时间Y都服从正态分布，用样本均值和样本 方差估计X，Y分布中的参数，并利用信息技术工具画出X和Y的分布密度 曲线如图所示.若小明每天需在早上8点之前到校，否则就迟到，则下列判 断正确的是（　　） A. X～N（10，32） B. 若小明早上7：50之后出发，并选择坐公交车，则有 60%以上的可能性会迟到 C. 若小明早上7：42出发，则应选择骑自行车 D. 若小明早上7：47出发，则应选择坐公交车 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 解析： 　由题意知，坐公交车所花时间X～N（10，32），骑自行车 所花时间Y～N（15，12），A正确；对于B，若小明早上7：50之后出发， 并选择坐公交车，有50%以上的可能性会超过10 min，即8点之后到校会迟 到，错误；对于C、D，由P（X≤13）＝P（X≤10＋1×3）＝P （Y≤15＋1×1）＞P（Y≤13），且P（X≤18）＜P（X≤10＋3×3） ＝P（Y≤15＋3×1）＝P（Y≤18），应选择在给定的时间内不迟到的概 率大的交通工具，小明早上7：42出发，有18 min可用，则应选择骑自行 车，故C正确；小明早上7：47出发，有13 min可用，则应选择坐公交车， 故D正确.故选A、C、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 7. 已知随机变量X～N（2，σ2），如图，若P（X＜a）＝0.32，则P （a≤X≤4－a）＝ ⁠. 解析：因为随机变量X～N（2，σ2），所以μ＝2.由正态分布图象的对称 性可得曲线关于直线x＝2对称，所以P（X＞4－a）＝P（X＜a）＝ 0.32，所以P（a≤X≤4－a）＝1－P（X＜a）－P（X＞4－a）＝1－ 2P（X＜a）＝0.36. 0.36 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 8. 某城市每年6月份的平均气温t近似服从N（28，σ2），若P （28≤t≤32）＝0.2，则可估计该城市6月份平均气温低于24 ℃的天数 为 ⁠. 解析：因为每年6月份的平均气温t近似服从N（28，σ2），所以μ＝28， 因为P（28≤t≤32）＝0.2，所以P（24≤t≤28）＝0.2，所以P（t＜ 24）＝0.5－0.2＝0.3，所以估计该城市6月份平均气温低于24 ℃的天数为 0.3×30＝9. 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 9. 已知随机变量ξ～N（3，σ2），且 ＝ ，则P（3＜ξ＜5） ＝ ⁠. 解析：由题意知μ＝3，故P（ξ＜1）＝P（ξ＞5），又 ＝ ，所 以 ＝ .又P（ξ＜5）＋P（ξ＞5）＝1，所以P（ξ＞5）＝0.2， 故P（3＜ξ＜5）＝P（ξ＞3）－P（ξ≥5）＝0.5－0.2＝0.3. 0.3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 10. 已知随机变量X～N（μ，σ2），且正态密度函数在（－∞，80）上单 调递增，在（80，＋∞）上单调递减，P（72＜X＜88）≈68.3%. （1）求参数μ，σ的值； 解： 由题意，得正态密度曲线关于直线x＝80对称，即参数μ＝80. 又P（72＜X＜88）≈68.3%， 结合P（μ－σ＜X＜μ＋σ）≈68.3%， 可知σ＝8. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 （2）求P（X≤64）. 解： P（μ－2σ＜X＜μ＋2σ） ＝P（64＜X＜96）≈95.4%， 因为P（X≤64）＝P（X≥96）， 所以P（X≤64）≈ ×（1－95.4%）＝0.023. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 11. 工厂质量监控小组从一批面粉中抽取n袋测量其重量，已知每袋面粉的 重量X（单位：千克）服从正态分布N（20， ），若P （19.95≤X≤20.05）≥0.997，则n的最小值为（　　） 参考数据：若X～N（μ，σ2），则P（μ－3σ≤X≤μ＋3σ）≈0.997. A. 120 B. 144 C. 150 D. 160 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 解析： 　由题意知当P（19.95≤X≤20.05）≥0.997时，[μ－3σ，μ＋ 3σ]⊆[19.95，20.05]，又μ＝20，σ＝ ，所以0.05≥3 ，解得 n≥144，所以n的最小值为144.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 12. 〔多选〕为鼓励和推动学生积极参加体育锻炼，增强学生体质，我国 于2002年开始在全国试行《学生体质健康标准》，坐位体前屈属于该标准 规定的测试内容之一.已知某地区进行体育达标测试统计得到高三女生坐位 体前屈的成绩ξ（单位：cm）服从正态分布N（20，σ2），且P（ξ≥22） ＝0.1，现从该地区高三女生中随机抽取3人，记ξ不在区间（18，22）的人 数为X，则（　　） A. P（18＜ξ＜22）＝0.9 B. E（3X＋2）＝3.8 C. D（ X）＝2.4 D. P（X≥1）＝0.476 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 解析： 　对于A，由ξ～N（20，σ2），得P（ξ≤18）＝P（ξ≥22）＝ 0.1，则P（18＜ξ＜22）＝1－0.1－0.1＝0.8，A错误；对于B，由A知，ξ 不在区间（18，22）的概率为0.2，X～B（3，0.2），E（X）＝0.6，因 此E（3X＋2）＝3E（X）＋2＝3.8，B正确；对于C，由B知，D（X） ＝3×0.2×0.8＝0.48，因此D（ X）＝5D（X）＝2.4，C正确；对于 D，P（X≥1）＝1－P（X＝0）＝1－0.83＝0.488，D错误.故选B、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 13. 已知随机变量X～N（2，22），且aX＋b（a＞0）服从标准正态分布 N（0，1），则a＝ ，b＝ ⁠. 解析：∵随机变量X～N（2，22），∴E（X）＝2，D（X）＝22＝ 4.∴E（aX＋b）＝aE（X）＋b＝2a＋b＝0，D（aX＋b）＝a2D （X）＝4a2＝1，又a＞0，∴a＝ ，b＝－1. ​ －1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 14. 已知某地农民工年均收入X服从正态分布，其正态密度曲线如图所示. （1）写出此地农民工年均收入的密度函数解析式； 此地农民工年均收入的密度函数解析式为f （x）＝ ，x∈R. 解：设此地农民工年均收入X～N（μ，σ2），结合题图可知，μ＝8 000，σ＝500. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 解： ∵P（7 500≤X≤8 500）＝P（8 000－ 500≤X≤8 000＋500）≈0.683， ∴P（8 000≤X≤8 500）＝ P（7 500≤X≤ 8 500）≈0.341 5＝34.15%. 故此地农民工年均收入在8 000～8 500元之间的人数 所占的百分比为34.15%. （2）求此地农民工年均收入在8 000～8 500元之间的人数所占的百分比. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 15. 某工厂为了提高精度，采购了一批新型机器，现对这批机器的生产效 能进行测试，对其生产的第一批零件的直径进行测量，质检部门随机抽查 了100个零件进行统计整理，得到数据如下表： 零件直径 （单位：cm） [1.0， 1.2） [1.2， 1.4） [1.4， 1.6） [1.6， 1.8） [1.8， 2.0] 零件个数 10 25 30 25 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 参考数据： ≈0.228；若随机变量ξ～N（μ，σ2），则P（μ－ σ≤ξ≤μ＋σ）≈0.683，P（μ－2σ≤ξ≤μ＋2σ）≈0.954，P（μ－ 3σ≤ξ≤μ＋3σ）≈0.997. 已知零件的直径服从正态分布N（μ，σ2），μ，σ2分别为这100个零件的 直径的平均数及方差（同一组区间的直径尺寸用该组区间的中点值代表）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 （1）试估计这批零件直径在[1.044，1.5]的概率； 解： 由平均数与方差的计算公式得 μ＝ ×（10×1.1＋25×1.3＋30×1.5＋25×1.7＋10×1.9）＝ ×[10×（1.1＋1.9）＋25×（1.3＋1.7）＋30×1.5]＝ ×150＝1.5. σ2＝ ×[10×（1.1－1.5）2＋25×（1.3－1.5）2＋30×（1.5－1.5）2 ＋25×（1.7－1.5）2＋10×（1.9－1.5）2]＝ ×（10×0.16＋ 25×0.04＋30×0＋25×0.04＋10×0.16）＝ ×5.2＝0.052. 故μ＝1.5，σ2＝0.052. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 设ξ表示零件直径，则ξ～N（μ，σ2），即ξ～N（1.5，0.052）. 则P（μ－2σ≤ξ≤μ＋2σ）＝P（1.5－2×0.228≤ξ≤1.5＋2×0.228） ＝0.954， 2P（1.044≤ξ≤1.5）＝0.954，即P（1.044≤ξ≤1.5）＝0.477. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 （2）以频率估计概率，若在这批零件中随机抽取4个，记直径在区间 [1.2，1.4）内的零件个数为Z，求Z的分布列及数学期望； 解： 由题意知，这批零件直径在[1.2，1.4）内的概率为 . Z的所有可能取值为{0，1，2，3，4}， 则P（Z＝0）＝ （ ）4（ ）0＝ ， P（Z＝1）＝ （ ）3（ ）1＝ ， P（Z＝2）＝ （ ）2（ ）2＝ ， P（Z＝3）＝ （ ）1（ ）3＝ ， P（Z＝4）＝ （ ）0（ ）4＝ ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 Z 0 1 2 3 4 P ​ ​ ​ ​ ​ 因为Z服从二项分布，则Z的数学期望E（Z）＝4× ＝1. 因此可得Z的分布列为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 （3）若此工厂有甲、乙两台机器生产这种零件，且甲机器的生产效率是乙 机器的生产效率的3倍，甲机器生产的零件的次品率为0.3，乙机器生产的 零件的次品率为0.2，现从这批零件中随机抽取一件.若检测出这个零件是 次品，求这个零件是甲机器生产的概率. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 解： 设“抽取的零件为甲机器生产”记为事件A1，“抽取的零件为 乙机器生产”记为事件A2， “抽取的零件为次品”记为事件B， 则P（A1）＝ ，P（A2）＝ ，P（B｜A1）＝0.3，P（B｜A2）＝0.2， 则P（B）＝P（A1）P（B｜A1）＋P（A2）P（B｜A2）＝ ×0.3＋ ×0.2＝ ， P（A1｜B）＝ ＝ ＝ ＝ ， 所以这个零件是甲机器生产的概率为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 $