9.1线性回归分析（教学课件）高二数学苏教版选择性必修第二册

9.1 线性回归分析 第9章 统计 苏教版·选修二下册 学 习 目 标 1 2 3 理解变量间的相关关系，能区分函数关系与相关关系 掌握散点图的画法，能通过散点图直观判断两个变量是否具有线性相关关系，理解最小二乘法的思想，掌握线性回归方程的求法，会利用线性回归方程进行预测，并理解预测结果的实际意义。 通过探究活动，体验最小二乘法”使总偏差最小”的优化思想，培养数据分析、数学运算和数学建模的核心素养 一、情境引入，激趣导思 【情境一：生活实例】 问题引入： 人的身高与体重之间有关系吗？如果有，是怎样的关系？ 展示数据： 某校10名高三男生的身高(cm)与体重(kg)数据： 身高(x) 168 170 172 174 176 178 180 182 184 186 体重(y) 62 65 66 70 72 74 77 80 82 85 思考： 身高越高，体重一定越重吗？ 这种关系与函数关系有何不同？ 能否用一个数学表达式近似描述这种关系？ 线性回归分析 一、情境引入，激趣导思 线性回归分析 【情境二：学科联系】 物理情境： 弹簧的伸长量与所挂砝码质量的关系（胡克定律 F=kx 是确定的函数关系) 经济情境： 但实际测量数据会有误差，需要用统计方法拟合 【情境三：社会热点】 家庭收入与消费支出的关系、广告投入与销售额的关系等。都是统计学研究的关系。 这些变量之间不是严格的函数关系，但又存在某种联系，这种关系叫做相关关系。 如何用数学方法描述这种关系，并进行预测？ 今天我们学习——线性回归分析。 二、师生互动，探究新知 互动1：判断关系类型 给出下列关系，让学生分类： ① 圆面积与半径 ② 身高与体重 ③ 年龄与血压 ④ 匀速路程与时间 学生讨论后回答： 函数关系：①④；相关关系：②③ 线性回归分析 互动2：散点图探究 任务： 根据上述身高体重数据，在坐标系中描点，观察分布规律。 操作步骤： 1. 建立平面直角坐标系，横轴表示身高，纵轴表示体重 2. 将10组数据作为点的坐标描出 3. 观察这些点的分布特征 二、师生互动，探究新知 线性回归分析 互动2：散点图探究 操作步骤： 1. 建立平面直角坐标系，横轴表示身高，纵轴表示体重 2. 将10组数据作为点的坐标描出 3. 观察这些点的分布特征 讨论问题： 这些点是否在一条直线上？ 这些点的分布有什么规律？ 如果画一条直线来”拟合”这些点，你认为这条直线应该满足什么条件？ 学生发现： 点不在一条直线上，但大致分布在一条直线附近，呈正相关趋势。 如何找“最贴合”的直线？ 二、师生互动，探究新知 线性回归分析 活动3：寻找”最佳”拟合直线 问题： 如何量化直线与数据点的”拟合程度”？ 方案1： 使各点到直线的垂直距离之和最小（几何距离） 方案2： 使各点到直线的纵向距离（残差）之和最小 方案3： 使各点纵向距离的平方和最小（最小二乘法） 不可行 通用 不严谨 二、师生互动，探究新知 线性回归分析 活动4：公式推导 推导过程： 设 ， 列 将 分别对 和 求偏导，令其为零： 解 解得： 理 回归直线方程： （过定点 ） 叫中心点 三、归纳概括，构建体系 线性回归分析 1. 相关关系 定义： 两个变量之间存在某种不确定的依赖关系，但又不具有严格的函数关系 分类： 正相关、负相关、线性相关、非线性相关 区别： 函数关系是确定性的，相关关系是统计性的 三、归纳概括，构建体系 线性回归分析 2. 散点图 作用： 直观判断两个变量是否存在相关关系及相关程度 读图要点： 观察点的分布趋势、集中程度、异常点 三、归纳概括，构建体系 线性回归分析 3. 线性回归方程 回归直线必过中心点 这是一个重要的几何特征，也是检验回归方程计算是否正确的一个快速方法。 2. 作为回归直线的“锚点” 回归直线的斜率 描述了 和 的变化关系，而中心点 则是这条直线在坐标系中的“锚点”。 3. 简化回归方程的计算 回归直线的截距 可以通过中心点直接计算： 这是回归方程 y ̂=a+bx 经过点 (x ‾,y ‾ ) 的直接推论，大大简化了计算步骤。 三、归纳概括，构建体系 线性回归分析 5. 公式 名称 公式 说明 样本均值 数据中心位置 回归系数 也可记为 截距 保证直线过样本中心 回归方程 用于预测和解释 其中： ， 四、巩固新知，学以致用 线性回归分析 求回归方程,预测应用 例1.某企业为了研究生产某种产品的年宣传费 x（单位：千元）对年销售量 y（单位：吨）的影响，对近5年的宣传费和销售量数据进行了统计，得到如下数据： 年宣传费 2 4 5 6 8 年销售量 30 40 50 60 70 已知：， （1）求年销售量 关于年宣传费 的线性回归方程 ； （2）若年销售利润 ，根据（1）中的结果，当年宣传费为10千元时，预计年销售利润是多少？ 参考公式： 答：（1） ，，方程为 （2） 当 时，，（千元） 四、巩固新知，学以致用 线性回归分析 例2.某工厂为了确定工效，对加工零件的个数 x 与所用时间 y（小时）进行了统计，数据如下： 求回归方程,预测应用 （个） 10 20 30 40 50 （小时） 62 68 75 81 89 （1）求 关于 的线性回归方程； （2）预测加工70个零件需要多少小时？ 解：由最小二乘法求得线性回归方程为： 当 时，预测时间为： 四、巩固新知，学以致用 线性回归分析 例3.某地区2016年至2022年的农村居民家庭人均纯收入 y（单位：千元）的数据如下表： 求回归方程,预测应用 年份 2016 2017 2018 2019 2020 2021 2022 年份代号 1 2 3 4 5 6 7 人均纯收入 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9 （1）求 关于 的线性回归方程； （2）利用（1）中的回归方程，分析2016年至2022年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2025年农村居民家庭人均纯收入。 （1） （2） 2025年对应 ，预测 千元（详解转下页） 四、巩固新知，学以致用 线性回归分析 求回归方程,预测应用 基本量 b a 应用 由 (1) 知，，故 2016 年至 2022 年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加 0.5 千元。 将 2024 年的年份代号 代入 (1) 中的经验回归方程，得 ， 故预测该地区 2024 年农村居民家庭人均纯收入为 6.8 千元。 四、巩固新知，学以致用 线性回归分析 例4.某商场为了了解某商品的销售量 y（件）与销售价格 x（元/件）之间的关系，统计了近6个月的销售数据： 相关系数的应用 销售价格 10 15 20 25 30 35 销售量 120 105 90 75 60 45 （1）根据数据判断 与 是否具有较强的线性相关关系（计算相关系数 ，若 则认为具有较强的线性相关关系）； （2）建立 关于 的回归直线方程； （3）若该商品的成本为5元/件，为了获得最大利润，销售价格应定为多少元？ （1） ，强相关 （2） （3） 定价约25.8元时利润最大(详解见下页） 四、巩固新知，学以致用 线性回归分析 相关系数的应用 基本量 r 计算 ：-1312.5 算 ：437.5 计算 ：4937.5 相关系数： r 因为 ，所以 与 具有极强的线性相关关系。 （2）建立回归直线方程 回归系数 ： 截距 ： 所以回归直线方程为： （3）求最大利润时的销售价格 利润为开口向下的二次函数 为了获得最大利润，销售价格应定为 27.5 元/件 四、巩固新知，学以致用 线性回归分析 例5.某高校为了研究学生的学习时间 x（小时/周）与考试成绩 y（分）之间的关系，随机抽取了10名学生的数据： 综合应用 学生 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 学习时间 10 12 15 18 20 22 25 28 30 35 考试成绩 58 62 70 75 82 85 88 90 92 95 已知：，，，， （1）求考试成绩 关于学习时间 的线性回归方程； （2）计算相关系数 （精确到0.001），并判断相关程度； （3）若一名学生每周学习时 （1） （2） ，极强相关 （3） 预测约103分，但需注意学习时间的边际效应 (详解见下页） 四、巩固新知，学以致用 线性回归分析 综合应用 计算均值： 计算回归系数 b： 计算截距 a： 方程： 线性回归方程为： 计算分母： 计算 r： 分析 r： 因为 ，非常接近 1，所以学习时间与考试成绩之间存在极强的正线性相关关系。 预测考试成绩 小时/周时，代入回归方程： 五、内化于心，融会贯通 线性回归分析 1. 线性回归模型 中， 表示（　　） A. 因变量 B. 自变量 C. 随机误差 D. 回归系数 五、内化于心，融会贯通 线性回归分析 2. 下列关于相关系数 的说法正确的是（　　） A. 越大，相关性越弱 B. 表示负相关 C. ，且 越接近1，线性相关程度越强 D. 表示没有相关关系 五、内化于心，融会贯通 线性回归分析 3. 在最小二乘法中，求解回归直线 的原则是（　　） A. 使得 最小 B. 使得 最小 C. 使得 最小 D. 使得 最小 五、内化于心，融会贯通 线性回归分析 4. 已知变量 与 正相关，且由观测数据算得样本平均数 ，，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是（　　） A. B. C. D. 五、内化于心，融会贯通 线性回归分析 5. 若回归直线方程为 ，则当变量 增加一个单位时，变量 平均（　　） A. 增加1.5个单位 B. 增加2个单位 C. 减少1.5个单位 D. 减少2个单位 五、内化于心，融会贯通 线性回归分析 6. 回归直线 y=bx+a 一定过定点__________。 7. 已知某产品广告费用 （万元）与销售额 （万元）的统计数据如下表： 2 3 4 5 26 39 49 54 若回归直线方程为 ，则 __________。 （样本中心点） （计算：，代入得 ） 9.1 六、学海拾贝，智启未来 线性回归分析 线性回归分析课后小结 📊 一、核心知识回顾 线性相关关系 两个变量之间的关系并非严格的函数关系，但呈现出明显的线性趋势。 可用相关系数 衡量线性相关的强弱： 越接近 1，线性相关程度越强； 时，通常认为具有较强的线性相关关系。 回归直线方程 形式： 斜率 ：表示 每增加 1 个单位， 的平均变化量。 截距 ：表示当 时， 的估计值。 计算核心： 回归分析的应用 预测：利用回归方程，由已知的 值估计对应的 值。决策：结合实际背景（如成本、利润），通过回归模型求解最优方案（如最大利润对应的价格）。 六、学海拾贝，智启未来 线性回归分析 二、关键步骤与易错点提醒 判断相关性：先计算相关系数 ，确认线性相关关系显著后，再进行回归分析，否则回归方程的预测意义不大。 回归方程的意义：回归直线是“最佳拟合”直线，它反映的是变量间的平均变化趋势，而非精确的函数关系。 实际应用：在解决利润最大化等问题时，要注意回归方程的适用范围，避免超出数据区间进行无意义的外推。 感谢聆听! $