13.3.2空间图形的体积（第1课时　柱、锥、台的体积）课件-2025-2026学年高一下学期数学苏教版必修第二册

该高中数学课件聚焦柱体、锥体、台体的体积公式及关系，通过自主诊断判断题回顾正方体、圆柱等体积计算，衔接空间几何体结构特征，构建从空间形式到度量计算的学习支架。 其亮点在于结合卷纸、香料收纳罐等生活实例，运用等积法、分割补体法分析问题，体现数学眼光观察现实、数学思维解决问题。学生能提升应用能力与逻辑推理，教师可借助清晰题型与规律总结优化教学。

第13章　立体几何初步 13.3.2　空间图形的体积 第1课时　柱、锥、台的体积 苏教版 必修第二册 【课标要求】 1.掌握柱体、锥体、台体的体积计算公式,会利用它们求有关几何体的体积. 2.掌握求几何体体积的基本技巧. 要点深化·核心知识提炼 知识点一　柱体的体积公式 柱体(棱柱、圆柱)的体积等于它的底面积S和高h的积,即V柱体=Sh.特别地,底面半径为r,高为h的圆柱的体积为V圆柱=πr2h. 知识点二　锥体的体积公式 若锥体的底面积为S,高为h,则该锥体的体积为V锥体=Sh. 特别地,底面半径为r,高为h的圆锥的体积为V圆锥=πr2h. 知识点三　台体的体积公式 若台体的上、下底面面积分别为S',S,高是h,则该台体的体积为V台体=h(S++S'). 特别地,上、下底面的半径分别为r,r',高是h的圆台的体积为V圆台=πh(r2+rr'+r'2). 知识点四　柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系 V柱体=Sh V台体=h(S++S') V锥体=Sh. 自主诊断 判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,四面体A-CB1D1的体积为. (　　) (2)已知圆柱的轴截面为正方形,且圆柱的体积为54π,则该圆柱的侧面积为36π.(　　) (3)等底面积、等高的两个柱体,体积相等.(　　) (4)用平行于棱锥底面的平面去截棱锥,得到上、下两部分空间图形,且上、下两部分的高之比为1∶2,则体积之比为1∶27.(　　) √ √ √ × 题型分析·能力素养提升 【题型一】柱体的体积 例1 小明有一卷纸,纸非常的薄且以一个圆柱体为轴心紧紧卷成一卷,它的整体外貌如图,卷纸的直径为12 cm,轴的直径为4 cm,当小明用掉的纸后,则剩下的这卷纸的直径最接近于(　　) A.6 cm B.7 cm C.8 cm D.9 cm B 解析 设小明用掉的纸后,剩下的这卷纸的直径为x cm,卷纸高为h cm, 则由题可知(π×62-π×22)hh, 解得x2=48,所以剩下的这卷纸的直径最接近于7 cm. 故选B. 规律方法　柱体体积的求解思路及注意点 求柱体体积的关键是求底面积和高,而底面积的求解要根据平面图形的性质灵活处理,熟记常见平面图形的面积的求法是解决此类问题的关键. 跟踪训练1 把长和宽分别为6和3的矩形卷成一个圆柱的侧面,则该圆柱的体积为　　 　　.  解析 设圆柱的底面半径为r,母线长为l,则①当2πr=6时,r=,l=3, 所以V圆柱=πr2·l=π3= ②当2πr=3时,r=,l=6,所以V圆柱=πr2·l=π6= 故所求圆柱的体积为 【题型二】锥体的体积 例2 [链接教材练习,T3](1)如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,则四棱锥A1-BB1D1D的体积为(　　) A. B. C. D. A 解析 ∵正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1, ∴三棱柱ABD-A1B1D1的体积V=1×1×1=, 三棱锥A1-ABD的体积为1×1×1=, ∴四棱锥A1-BB1D1D的体积V= 故选A. (2)(多选题)正三棱锥底面边长为3,侧棱长为2,则下列叙述正确的是 (　　) A.正三棱锥的高为3 B.正三棱锥的斜高为 C.正三棱锥的体积为 D.正三棱锥的侧面积为 AB 解析 如图,取△ABC的中心为O,连接PO,由题意得,PO⊥平面ABC, 又△ABC为等边三角形, 则AO=,所以正三棱锥高为 PO==3,故A正确; S△ABC=3×3·sin 60°=,所以正三棱锥的体积为 VP-ABC=S△ABC·PO=,故C错误; 作PD⊥AB交AB于点D,又PA=PB=2,所以AD=AB=,则正三棱锥的斜高为PD=,所以正三棱锥的侧面积为 3S△PAB=3PD×AB=33=,故B正确,D错误. 故选AB. (3)将半径为1的半圆形纸片卷成一个圆锥,使半圆圆心为圆锥的顶点,直径的两个端点重合,则圆锥的体积是　　　　.  解析 设圆锥的底面半径为r,圆锥的高为h,圆锥底面周长为半圆的弧长,圆锥的母线为半圆的半径,则2πr=2π·1,解得r=,可得底面面积S=πr2=,h=,所以圆锥的体积V=S·h= 规律方法　1.三棱锥的体积求解具有灵活性,因为三棱锥的任何一个面都可以作为底面,所以常常需要根据题目条件对其顶点和底面进行转换,使得转换后,该三棱锥的底面的面积易求、可求,高易求、可求,这一方法叫作等积法. 2.有些几何体还可以利用分割法或补体法进行求解,无论补体法还是分割法都是要将所给的几何体补成(或分割成)易求解的几何体,体现出间接思维模式和化归的数学思想. 跟踪训练2 我国南北朝时期的数学家祖暅提出了计算几何体体积的祖暅原理:“幂势既同,则积不容异”.意思是两个等高的几何体,如果在同高处的截面积都相等,那么这两个几何体的体积相等,现有等高的三棱锥和圆锥满足祖暅原理的条件,若圆锥的侧面展开图是圆心角为120°,半径为3的扇形,由此推算三棱锥的体积为(　　) A.π B.π C.π D.π B 解析 设圆锥的底面半径为r,高为h,母线长为l, 则r=1,所以h==2, 则圆锥的体积V=r2h=12×2 所以三棱锥的体积为 故选B. 【题型三】台体的体积 例3 [链接教材练习,T5](1)某款厨房用具中的香料收纳罐的实物图如图1所示,该几何体为上、下底面周长分别为32 cm,24 cm的正四棱台,若棱台的高为3 cm,忽略收纳罐的厚度,则该香料收纳罐的容积为(　　) A. cm3 B.74 cm3 C.148 cm3 D.298 cm3 图1 图2 C 解析 由题意可知,该四棱台的上、下底面的边长分别为8 cm,6 cm, 故该香料收纳罐的容积为3×(82+62+)=148 (cm3). 故选C. (2)设圆台的高为3,如图,在轴截面中母线AA1与底面直径AB的夹角为60°,轴截面中的一条对角线垂直于腰,则圆台的体积为　　　　.  21π 解析 设上、下底面的半径、母线长分别为r,R,l. 如图,作A1D⊥AB于点D, 则A1D=3,∠A1AB=60°, 又∠BA1A=90°,∴∠BA1D=60°, ∴AD=,∴R-r=,① 又∵BD=A1D·tan 60°=3, ∴R+r=3 由①②得R=2,r=,而h=3, ∴V圆台=h(R2+Rr+r2)=3=21π.故答案为21π. 规律方法　求台体体积的一般方法是求出台体的上、下底面的面积和高,然后套用公式V=(S'++S)h计算求解,要充分利用截面、轴截面、展开图等求出所需要的量,再代入公式计算. 跟踪训练3 已知正四棱台的上、下底面的边长分别为1和3,若该正四棱台的体积为,则侧棱长为　　　　　.  2 解析 如图,在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中,A1B1=1,AB=3,连接AC,A1C1, 则A1C1=,AC=3,设侧棱长为a(a>0),则棱台的高为 , 所以该正四棱台的体积为V=(12+32+),解得a=2. $