13.3.2 空间图形的体积-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册教用课件（苏教版）

该高中数学课件聚焦空间图形体积，涵盖柱体、锥体、台体、球的体积公式及简单组合体体积计算。以小学初中长方体体积公式为起点，通过问题引导学生探究其他空间图形体积公式的推导，搭建新旧知识的学习支架。 其亮点在于分题型典例研析，提炼公式法、等积法等通性通法，结合直观想象与数学运算素养，如补体法求截圆柱体积实例，培养学生空间观念与运算能力。分层作业设计满足不同需求，助力教师系统教学，提升学生学习效率。

13.3.2　空间图形的体积 1 1.掌握柱体、锥体、台体的体积公式，会利用它们求有关空间图形的体积（直观想象、数学运算）. 2.了解球的表面积与体积公式，并能应用它们求球的表面积及体积（直观想象、数学运算）. 3.会求简单组合体的体积（数学运算）. 课标要求 基础落实 01 典例研析 02 课时作业 03 目录 3 01 PART 基础落实 基础落实 目 录 　　在小学和初中，我们已经知道长方体的体积V长方体＝abc＝Sh，这里 a，b，c表示长方体的长、宽和高，S，h分别表示长方体的底面积和高. 长方体体积公式是计算其他空间图形体积的基础，我们将上述结论作为已 知事实来运用，那么，如何推出其他简单空间图形的体积公式呢？ 【问题】　柱体、锥体、台体的体积公式是什么？ 数学·必修第二册（SJ） 目 录 知识点一　柱体、锥体、台体的体积 几何体 体积公式 柱体 V＝ （S为底面面积，h为柱体的高） 锥体 V＝ （S为底面面积，h为锥体的高） 台体 V＝ （S'，S分别为上、下底面面 积，h为台体的高） Sh　 Sh　 h（S＋ ＋S'）　 数学·必修第二册（SJ） 目 录 　　提醒：柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系： 数学·必修第二册（SJ） 目 录 知识点二　球的体积和表面积 若球的半径为R，则： （1）球的体积V球＝ ⁠； （2）球的表面积S球面＝ ⁠. πR3　 4πR2　 知识点三　球的截面的特点 1. 球既是中心对称的空间图形，又是轴对称的空间图形，它的任何截面均 为圆面. 2. 利用球半径、截面圆半径，球心到截面的距离构建直角三角形是把空间 问题转化为平面问题的主要途径. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 1. 正方体的表面积为96，则正方体的体积为（　　） A. 48 B. 64 C. 16 D. 96 √ 解析： 　设正方体的棱长为a，则6a2＝96，解得a＝4，所以正方体的体 积为a3＝64. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 2. 〔多选〕若一个球的直径为6，则（　　） A. 球的表面积是36π B. 球的表面积是144π C. 球的体积是36π D. 球的体积是144π √ √ 解析： 　由题意知，球的半径r＝3.则S球＝4πr2＝4π×32＝36π，V球＝ πr3＝ π×33＝36π.故选A、C. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 3. 如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，则三棱锥D1-ADC的体 积是 ⁠. 解析：三棱锥D1-ADC的体积V＝ S△ADC×D1D＝ × ×AD×DC×D1D＝ × ×1×1×1＝ . 　 数学·必修第二册（SJ） 目 录 02 PART 典例研析 典例研析 目 录 题型一｜柱体、锥体、台体的体积 【例1】　（1）已知圆柱的底面周长为4π，高为4，则圆柱的体积为 （　D　） A. 4π B. 8π C. 12π D. 16π 解析： 设圆柱的底面半径为r，则2πr＝4π，解得r＝2，则该圆柱的 体积为π×22×4＝16π.故选D. D 数学·必修第二册（SJ） 目 录 （2）棱台的上、下底面面积分别是2，4，高为3，则该棱台的体积是 （　B　） A. 18＋6 B. 6＋2 C. 24 D. 18 B 解析： V＝ （S＋ ＋S'）h＝ ×（2＋ ＋4）×3＝6＋ 2 .故选B. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 （3）如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a， 过顶点B，D，A1截下一个三棱锥. ①求剩余部分的体积； ②求三棱锥A-A1BD的体积及高. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 解：① ＝ S△ABD·A1A＝ × ·AB·AD·A1A＝ a3. 故剩余部分的体积V＝V正方体－ ＝a3－ a3＝ a3. ② ＝ ＝ a3. 设三棱锥A-A1BD的高为h， 则 ＝ · ·h＝ × × （ a）2h＝ a2h，故 a2h＝ a3，解得h＝ a. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 通性通法 求空间图形体积的常用方法 （1）公式法：直接代入公式求解； （2）等积法：例如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面 积和高都易求的形式即可； （3）补体法：将空间图形补成易求解的空间图形，如棱锥补成棱柱，棱 台补成棱锥等； （4）分割法：将空间图形分割成易求解的几部分，分别求体积. 提醒：求空间图形的体积时，要注意利用好空间图形的轴截面（尤其为圆 柱、圆锥时），准确求出空间图形的高和底面积. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 【跟踪训练】 1. 如图，一个底面半径为2的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和 最长母线长分别为2和3，则该几何体的体积为（　　） A. 5π B. 6π C. 20π D. 10π √ 解析： 　 用一个完全相同的几何体把题中几何体补成一个圆 柱，如图，则圆柱的体积为π×22×5＝20π，故所求几何体的体 积为10π. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 2. 如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，若E，F分别为AB，AC的中点，平面EB1C1F将三棱柱分成体积为V1，V2的两部分，那么V1∶V2＝ ⁠. 7∶5　 解析：设三棱柱的高为h，底面的面积为S，体积为V， 则V＝V1＋V2＝Sh.因为E，F分别为AB，AC的中点， 所以S△AEF＝ S，V1＝ h（S＋ S＋ ）＝ Sh，V2＝Sh－V1＝ Sh，所以V1∶V2＝7∶5. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 题型二｜球的表面积与体积 【例2】　（1）一平面截一球得到直径为2 cm的圆面，球心到这个平面 的距离是2 cm，则该球的体积是（　B　） A. 12π cm3 B. 36π cm3 C. 64 π cm3 D. 108π cm3 B 解析： 设球心为O，截面圆心为O1，连接OO1，如图 所示，在Rt△OO1A中，O1A＝ cm，OO1＝2 cm，∴球的 半径R＝OA＝ ＝3 cm，∴球的体积V＝ π×33＝36π cm3.故选B. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 （2）半径为2的小金属球共有125个，熔化后铸成一个大金属球，如果不 计损耗，可铸成的大金属球的表面积为（　D　） A. 100 B. 400 C. 100π D. 400π 解析： 设大金属球的半径为r，则 ×23×125＝ ×r3⇒r＝10， ∴其表面积为4πr2＝400π.故选D. D 数学·必修第二册（SJ） 目 录 通性通法 　　因为球的表面积与体积都是球的半径的函数，所以在解答这类问题 时，设法求出球的半径是解题的关键. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 【跟踪训练】 1. 若两球的表面积之差为48π，它们的半径之和为6，则两球的体积之差的 绝对值为 ⁠. 解析：设两个球的半径分别为R，r（R＞r），则由题意得 即 整理，得 解得 故两球的体积之差的绝对值为 π×43－ π×23 ＝ π（43－23）＝ π. π　 数学·必修第二册（SJ） 目 录 2. 长、宽、高分别为2， ， 的长方体的外接球的表面积为 ⁠. 解析：该长方体的体对角线长为 ＝2 ，设外接 球的半径为R，∴2R＝2 ，∴R＝ ，∴S球＝4πR2＝12π. 12π　 数学·必修第二册（SJ） 目 录 题型三｜简单组合体的体积 【例3】　如图所示的空间图形，上面是圆柱，其底面直径为6 cm，高为3 cm，下面是正六棱柱，其底面边长为4 cm，高为2 cm，现从中间挖去一个 直径为2 cm的圆柱，求此空间图形的体积. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 解：依题意，该空间图形是由一个正六棱柱和一个圆柱组合后再挖去一个 小圆柱而成的. 正六棱柱底面边长为4 cm，即由6个边长为4 cm的等边三角形组成，故底面 积为6× ×42＝24 （cm2）， 又高为2 cm，故正六棱柱的体积V1＝24 ×2＝48 （cm3）， 大圆柱底面直径为6 cm，高为3 cm，故体积V2＝π× ×3＝27π （cm3）， 数学·必修第二册（SJ） 目 录 小圆柱直径为2 cm，高为2＋3＝5（cm），故体积为V3＝π× ×5＝5π （cm3）， 故该空间图形的体积为V＝V1＋V2－V3＝48 ＋27π－5π＝（48 ＋ 22π）（cm3）. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 通性通法 求空间组合体体积的思路与方法 　　针对此类问题的关键是将该组合体分解为若干个柱、锥、台、球的基 本空间图形，然后借助柱、锥、台、球的体积公式分别求解. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 【跟踪训练】 如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，∠ADC＝ 135°，AB＝5，CD＝2 ，AD＝2，求四边形ABCD 绕AD所在直线旋转一周所得的空间图形的体积. 解：四边形ABCD绕AD旋转一周形成的几何体是一个圆台挖去一个圆锥 所得的组合体，故该空间图形的体积V＝V圆台－V圆锥＝ π（ ＋r1r2＋ ）·h－ π h'＝ π（25＋10＋4）×4－ π×4×2＝ π. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 1. 已知正四棱锥的底面边长为2，高为3，则它的体积为（　　） A. 2 B. 4 C. 6 D. 12 √ 解析： 　正四棱锥的底面积为2×2＝4，则体积为 ×4×3＝4. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 2. 把球的表面积扩大到原来的2倍，那么球的体积扩大到原来的（　　） A. 2倍 B. 倍 C. 2 倍 D. 倍 √ 解析： 　设原来球的半径为r，扩大后球的半径为R，依题意可知 ＝ 2，所以R＝ r.所以 ＝ ＝ ＝2 .即球的体积扩大到原 来的2 倍，故C正确.故选C. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 3. （2025·淮安期末）已知某圆锥的侧面积为2 π，母线长为2，则该圆 锥的体积为（　　） A. B. C. D. √ 解析： 　设底面半径为r，高为h，母线长为l，l＝2，则 ×2πr×l＝ 2 π，解得r＝ ，则h＝ ＝ ＝ ，则该圆锥 的体积为V＝ πr2h＝ π×（ ）2× ＝ .故选B. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 4. （2025·扬州期末）已知一个正四棱台的体积为152 cm3，上、下底面边 长分别为4 cm，6 cm，则棱台的高为 cm. 解析：设棱台高为h，上、下底面面积分别为S＝42，S'＝62，由棱台的体 积公式V＝ h（S＋S'＋ ）得h＝ ＝6. 6　　 数学·必修第二册（SJ） 目 录 03 PART 课时作业 课时作业 目 录 1. 如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4π，那么圆柱的体积等于 （　　） A. π B. 2π C. 4π D. 8π 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 解析： 　设轴截面正方形的边长为a，由题意知S侧＝πa·a＝πa2.又∵S侧 ＝4π，∴πa2＝4π，∴a＝2.∴V圆柱＝π（ ）2×a＝π×2＝2π.故选B. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 2. 如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，A1A⊥底面ABC，AB⊥AC，A1A＝ AB＝AC＝2，那么三棱锥A1-ABC的体积是（　　） A. B. C. 4 D. 8 √ 解析： 　∵A1A⊥底面ABC，∴A1A为三棱锥A1-ABC的高，故h＝2， ∵△ABC为底面，AB⊥AC，∴S△ABC＝ AB·AC＝ ×2×2＝2， ∴ ＝ S△ABC·h＝ ×2×2＝ .故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 3. 若底面半径为r，母线长为l的圆锥的表面积与直径为l的球的表面积相 等，则 ＝（　　） A. －1 B. C. －1 D. √ 解析： 　圆锥的表面积为πrl＋πr2，球的表面积为4π（ ）2＝πl2，故πrl ＋πr2＝πl2，即（ ）2＋ －1＝0，解得 ＝ （负值舍）.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 4. 在棱长为1的正方体中，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方 体，则截去与8个顶点相关的8个三棱锥后，剩下的空间图形的体积是 （　　） A. B. C. D. √ 解析： 　由题意易知正方体的体积为1，过共顶点的三条棱中点的平面截 该正方体，截去的三棱锥的体积是 × × ＝ ，于是8个三棱 锥的体积是 ，故剩下的空间图形的体积是1－ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 5. 如图，已知正六棱柱的最大对角面的面积为1 m2，互相平行的两个侧面 的距离为1 m，则这个六棱柱的体积为（　　） A. m3 B. m3 C. 1 m3 D. m3 √ 解析： 　设正六棱柱的底面边长为a m，高为h m，则2ah＝1， a＝ 1，解得a＝ ，h＝ .所以六棱柱的体积V＝ ×（ ）2×6× ＝ （m3）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 6. 体积为52的圆台，一个底面积是另一个底面积的9倍，那么截得这个圆 台的圆锥的体积是（　　） A. 54 B. 54π C. 58 D. 58π √ 解析： 　设上底面半径为r，则由题意求得下底面半径为3r，设圆台高 为h1，则52＝ πh1（r2＋9r2＋3r·r），∴πr2h1＝12.令原圆锥的高为h， 由相似知识得 ＝ ，∴h＝ h1，∴V原圆锥＝ π（3r）2×h＝3πr2× h1＝ ×12＝54. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 7. 在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，A1B1＝1，AA1＝ ，则该 棱台的体积为 ⁠. 　 解析：如图，过点A1作A1M⊥AC，垂足为点M，易知 A1M为四棱台ABCD-A1B1C1D1的高， 因为AB＝2， A1B1＝1，AA1＝ ，则A1C1＝ A1B1＝ ，AC＝ AB＝2 ，故AM＝ （AC－A1C1）＝ ，则 A1M＝ ＝ ＝ ，所以体积为V＝ ×（4＋1＋ ）× ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 8. 已知圆锥的体积为 π cm3，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆 锥的底面半径是 cm. 解析：设圆锥的底面半径为r cm，高为h cm，母线为l cm，依题意得 解得r＝1. 1　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 9. 把底面半径为8 cm的圆锥放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶 点S滚动，当这个圆锥在平面内转回原位置时，圆锥本身滚动了2.5周，则 圆锥的母线长为 ，表面积等于 ⁠. 解析：设圆锥的母线长为l cm，如图，以S为圆心，SA为半 径的圆的面积S＝πl2.又圆锥的侧面积S圆锥侧＝πrl＝8πl，根 据圆锥在平面内转到原位置时，圆锥本身滚动了2.5周， ∴πl2＝2.5×8πl，∴l＝20（cm）.圆锥的表面积S＝S圆锥侧＋S底＝π×8×20＋π×82＝224π（cm2）. 20 cm　 224π cm2　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 10. 若E，F 是三棱柱 ABC-A1B1C1 侧棱 BB1和 CC1 上的点，且 B1E ＝ CF，三棱柱的体积为 m，求四棱锥 A-BEFC 的体积. 解：如图所示，连接 AB1，AC1， 因为B1E＝CF， 所以梯形 BEFC 的面积等于梯形 B1EFC1 的面积. 又四棱锥 A-BEFC 的高与四棱锥 A-B1EFC1 的高相等， 所以VA-BEFC＝ ＝ .又 ＝ ·h， ＝ ·h＝m，所以 ＝ ，所以 ＝ － ＝ m.所以 VA-BEFC＝ × m＝ ，即四棱锥A-BEFC 的体积是 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 11. 如图，实心正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，其中上、下底面的中 心分别为Q，R. 若从该正方体中挖去两个圆锥，且其中一个圆锥以R为 顶点，以正方形A1B1C1D1的内切圆为底面，另一个圆锥以Q为顶点，以正 方形ABCD的内切圆为底面，则该正方体剩余部分的体积为（　　） A. 8－ B. 8－ C. 8－ D. 8－ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 解析： 　两圆锥的体积都为V1＝ πr2h＝ ×π×12×2＝ π，则其公共部 分为V2＝2× ×π×（ ）2×1＝ ，故该正方体剩余部分的体积为V＝23 －2×V1＋V2＝8－ ＋ ＝8－ .故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 12. 〔多选〕已知△ABC的三边长分别是AC＝3，BC＝4，AB＝5，下列 说法正确的是（　　） A. 以BC所在直线为轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的侧面积为 15π B. 以BC所在直线为轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的体积为36π C. 以AC所在直线为轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的侧面积为 25π D. 以AC所在直线为轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的体积为16π √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 解析： 　由已知得AC2＋BC2＝AB2，所以AC⊥BC，△ABC是以角C 为直角的直角三角形，以BC所在直线为轴旋转时，所得旋转体为底面半 径为3，母线长为5，高为4的圆锥，∴侧面积为π×3×5＝15π，体积为 ×π×32×4＝12π，A正确，B错误；以AC所在直线为轴旋转时，所得旋转 体为底面半径为4，母线长为5，高为3的圆锥，∴侧面积为π×4×5＝ 20π，体积为 ×π×42×3＝16π，C错误，D正确.故选A、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 13. （2025·南京期末）一个封闭的正三棱柱容器的高为 ，内装水若干 （如图1，底面处于水平状态），将容器放倒（如图2，一个侧面处于水平 状态），这时水面与各棱交点E，F，E1，F1分别为所在棱的中点，则图1 中水面的高度为 ⁠. 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 解析：设△ABC的面积为S，∵E，F，F1，E1分别为所在棱的中点，则 ＝ ，S△AFE＝ S，∴S四边形BCFE＝ S，∴ ＝ S× ＝ S，设图1中水面高度为h，则Sh＝ S，解得h＝ ，即图1中水面的高 度为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 14. 已知在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AD＝3，AA1＝4， 点E是CD1的中点. （1）求异面直线AD1与DE所成角的余弦值； 解： 如图，连接AC，设AC∩BD＝O，则O为AC 的中点，连接OE，又E为CD1的中点，∴OE∥AD1， ∴异面直线AD1与DE所成角为∠DEO或其补角，∵在 △DEO中，DO＝ ，OE＝ AD1＝ ，DE＝ ， ∴ cos ∠DEO＝ ＝ ，∴异面直线AD1与DE所成角的余弦值为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 （2）求三棱锥D1-EBD的体积. 解： ∵CO⊥BD，且BD＝ ＝3 ， ∴CO＝ CA＝ BD＝ ， 又在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，DD1⊥平面ABCD， CO⊂平面ABCD， ∴DD1⊥CO，又DD1∩BD＝D， DD1，BD⊂平面D1DB， ∴CO⊥平面D1DB. 又∵E是CD1的中点， ∴ ＝ ＝ ＝ × ·CO＝ × ×3 ×4× ＝3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 15. 某市建造圆锥形仓库用于储存粮食，已建的仓库底面直径为12 m，高 为4 m.随着该市经济的发展，粮食产量的增大，该市拟建一个更大的圆锥 形仓库，以存放更多的粮食.现有两种方案：一是新建的仓库底面半径比 原来大2 m（高不变）；二是高度增加4 m（底面直径不变）. （1）分别计算按这两种方案所建的仓库的体积； 解： 方案一：仓库的底面直径变成16 m，则仓库的体积V1＝ Sh＝ ×π×（ ）2×4＝ π（m3）. 方案二：仓库的高变成8 m，则仓库的体积V2＝ Sh＝ ×π×（ ）2×8 ＝ π＝96π（m3）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 （2）分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积； 解： 方案一：仓库的底面直径变成16 m，半径为8 m， 则圆锥的母线长l1＝ ＝4 （m）， 则仓库的表面积S1＝π×8×4 ＋π×82＝（32 π＋64π）m2. 方案二：仓库的高变成8 m， 则圆锥的母线长l2＝ ＝10（m）， 则仓库的表面积S2＝π×6×10＋π×62＝60π＋36π＝96π（m2）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 （3）选用哪个方案建造仓库更经济些？ 解： 由（1）（2）可知V1＜V2，S1＞S2，按第二种方案所建的仓库 的体积大，可以贮藏更多的粮食，仓库的表面积小，则用料少，成本低， 所以选择方案二建造仓库更经济些. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 $