13.3.2 第2课时 与球有关的组合体问题-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册教师用书word（苏教版）

本高中数学讲义聚焦与球有关的组合体问题，系统梳理球的大/小圆、切线概念，表面积与体积公式，构建从基础概念到公式应用的学习支架，涵盖球的截面计算及与正/长方体、多面体、旋转体的切接问题。 以习题讲评式教学为特色，通过作截面图转化空间问题，培养空间观念（数学眼光），题型分类与思维建模（如勾股定理应用）提升推理能力（数学思维），规范解析助学生精准表达（数学语言）。课中辅助教师高效授课，课后训练助力学生查漏补缺。

　　第2课时　与球有关的组合体问题[教学方式：拓展融通课——习题讲评式教学] [课时目标] 理解球的大、小圆，直线与球相切的意义.掌握球的表面积与体积公式，并能解决与球有关的组合体的相关计算问题. 1.球的截面 球面被经过球心的平面截得的圆叫作球的大圆，被不经过球心的平面截得的圆叫作球的小圆. 2.球的切线 (1)当直线与球有唯一交点时，称直线与球相切，这一交点称为直线与球的切点. (2)过球外一点的所有切线的切线长都相等，这些切点的集合是一个圆，该圆面及所有切线围成了一个圆锥. 3.球的表面积和体积 S球面=4πR2，V球=πR3(其中R为球的半径). 题型(一)　球的截面问题 [例1]　平面α截球O的球面所得圆的半径为1.球心O到平面α的距离为，则此球的体积为 (　　) A.π B.4π C.4π D.6π 解析：选B　如图，设截面圆的圆心为O'，M为截面圆上任一点， 则OO'=，O'M=1. ∴OM==， 即球的半径为. ∴V=π()3=4π. |思|维|建|模| (1)有关球的截面问题，常画出过球心的截面圆，将问题转化为平面中圆的有关问题解决. (2)注意一个直角三角形，即由球心距(球心到截面圆心的距离)、截面圆的半径、球的半径围成一个直角三角形，满足勾股定理. [针对训练] 1.已知过球面上三点A，B，C的截面到球心的距离等于球半径的倍，且AC=8，BC=6，AB=10，则球的表面积是　　　，体积是　　　.  解析：如图，设球的半径为R，球心为O，截面圆心为O1，则OO1=R. 在△ABC中，∵AC2+BC2=AB2，∴∠ACB=90°.∴O1是AB的中点，即O1A=5.又O+O1A2=OA2，∴+52=R2.∴R2=100，R=10.∴球的表面积S球=4πR2=4π×102=400π，球的体积V球=πR3=π×103=π. 答案：400π　π 题型(二)　与球有关的切、接问题 角度(一)　球与正(长)方体的切接问题 　　处理与球有关的相接、相切问题时，关键是根据“接点”和“切点”作一适当的截面，将空间问题转化为平面问题. (1)球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径. (2)球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径. [例2]　有三个球，第一个球内切于正方体的六个面，第二个球与这个正方体的各条棱相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积之比. 解：设正方体的棱长为a，设三个球的半径分别为r1，r2，r3. ①正方体的内切球球心是正方体的中心，切点是六个面(正方形)的中心，经过在一个平面上的四个切点及球心作截面，如图(1)所示. 所以2r1=a，r1=，S1=4π=πa2. ②球与正方体各棱的切点为每条棱的中点，过球心作正方体的对角面得截面，如图(2). 所以2r2=a，r2=a，所以S2=4π=2πa2. ③正方体的各个顶点都在球面上，过球心作正方体的对角面得截面，如图(3)所示. 则2r3=a，∴r3=a，S3=4π=3πa2. 因此三个球的表面积之比为S1∶S2∶S3=1∶2∶3. 角度(二)　球与其他多面体的切接问题 　　特殊多面体的内切球或外接球问题，要注意球心的位置与几何体的关系.一般情况下，由于球的对称性，球心总在特殊位置，比如几何体的中心，对角线的中点等，还需熟记棱长为a的正四面体的外接球的半径R=a，内切球的半径r=. [例3]　设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a，顶点在一个球面上，则该球的表面积为 (　　) A.πa2 B.πa2 C.πa2 D.5πa2 解析：选B　如图所示，设O1，O分别为上、下底面的中心，连接OO1，则球心O2为OO1的中点，连接AO并延长交BC于D点，连接AO2. ∵AD=a，AO=AD=a，OO2=，∴A=a2+a2=a2. 故该球的表面积S球=4π×a2=πa2. 角度(三)　球与旋转体的切接问题 　　球与圆柱的底面和侧面均相切，则球的直径等于圆柱的高，也等于圆柱底面圆的直径. [例4]　(1)若与球外切的圆台的上、下底面半径分别为r，R，则球的表面积为 (　　) A.4π(r+R)2 B.4πr2R2 C.4πRr D.π(R+r)2 (2)如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切.记圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，则的值是　　　　.  解析：(1)如图，BE=BO2=r， AE=AO1=R， 又OE⊥AB且BO⊥OA， ∴△AEO∽△OEB. ∴OE2=AE·BE=Rr. ∴球的表面积为4πOE2=4πRr. (2)设球O的半径为r，则圆柱的底面半径为r，高为2r.所以==. 答案：(1)C　(2) [针对训练] 2.已知一个圆锥底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内切球的表面积为 (　　) A.π B. C.2π D.3π 解析：选C　依题意，作出圆锥与球的轴截面，如图所示，设球的半径为r，易知轴截面三角形边AB上的高为2，因此=， 解得r=，所以圆锥内切球的表面积为4π×=2π，故选C. 3.正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为　　　　.  解析：如图所示，设球半径为R，底面中心为O'且球心为O， ∵正四棱锥P-ABCD中AB=2，∴AO'=.∵PO'=4， ∴在Rt△AOO'中，AO2=AO'2+OO'2， ∴R2=()2+(4-R)2，解得R=， ∴该球的表面积为4πR2=4π×=. 答案： 4.若圆柱内接于球，圆柱的底面半径为3，高为8，则球的表面积为　　　　.  解析：如图，由条件知，O1A=3，OO1=4，所以OA=5，所以球的表面积为100π. 答案：100π 学科网（北京）股份有限公司 $