13.3.2 第2课时 与球有关的组合体问题-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册教师用书word（苏教版）

　　第2课时　与球有关的组合体问题[教学方式：拓展融通课——习题讲评式教学]

[课时目标]

理解球的大、小圆，直线与球相切的意义.掌握球的表面积与体积公式，并能解决与球有关的组合体的相关计算问题.

1.球的截面

球面被经过球心的平面截得的圆叫作球的大圆，被不经过球心的平面截得的圆叫作球的小圆.

2.球的切线

(1)当直线与球有唯一交点时，称直线与球相切，这一交点称为直线与球的切点.

(2)过球外一点的所有切线的切线长都相等，这些切点的集合是一个圆，该圆面及所有切线围成了一个圆锥.

3.球的表面积和体积

S球面=4πR2，V球=πR3(其中R为球的半径).

 

题型(一)　球的截面问题

 [例1]　平面α截球O的球面所得圆的半径为1.球心O到平面α的距离为，则此球的体积为              (　　)

A.π B.4π  

C.4π D.6π

解析：选B　如图，设截面圆的圆心为O'，M为截面圆上任一点，

则OO'=，O'M=1.

∴OM==，

即球的半径为.

∴V=π()3=4π.

|思|维|建|模|

(1)有关球的截面问题，常画出过球心的截面圆，将问题转化为平面中圆的有关问题解决.

(2)注意一个直角三角形，即由球心距(球心到截面圆心的距离)、截面圆的半径、球的半径围成一个直角三角形，满足勾股定理.

[针对训练]

1.已知过球面上三点A，B，C的截面到球心的距离等于球半径的倍，且AC=8，BC=6，AB=10，则球的表面积是　　　，体积是　　　. 

解析：如图，设球的半径为R，球心为O，截面圆心为O1，则OO1=R.

在△ABC中，∵AC2+BC2=AB2，∴∠ACB=90°.∴O1是AB的中点，即O1A=5.又O+O1A2=OA2，∴+52=R2.∴R2=100，R=10.∴球的表面积S球=4πR2=4π×102=400π，球的体积V球=πR3=π×103=π.

答案：400π　π

题型(二)　与球有关的切、接问题

 角度(一)　球与正(长)方体的切接问题

　　处理与球有关的相接、相切问题时，关键是根据“接点”和“切点”作一适当的截面，将空间问题转化为平面问题.

(1)球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径.

(2)球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.

[例2]　有三个球，第一个球内切于正方体的六个面，第二个球与这个正方体的各条棱相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积之比.

解：设正方体的棱长为a，设三个球的半径分别为r1，r2，r3.

①正方体的内切球球心是正方体的中心，切点是六个面(正方形)的中心，经过在一个平面上的四个切点及球心作截面，如图(1)所示.

所以2r1=a，r1=，S1=4π=πa2.

②球与正方体各棱的切点为每条棱的中点，过球心作正方体的对角面得截面，如图(2).

所以2r2=a，r2=a，所以S2=4π=2πa2.

③正方体的各个顶点都在球面上，过球心作正方体的对角面得截面，如图(3)所示.

则2r3=a，∴r3=a，S3=4π=3πa2.

因此三个球的表面积之比为S1∶S2∶S3=1∶2∶3.

角度(二)　球与其他多面体的切接问题