13.2.4平面与平面的位置关系（第2课时 两平面垂直）课件 -2025-2026学年高一下学期数学苏教版必修第二册

该高中数学课件聚焦立体几何中平面与平面的位置关系，核心涵盖二面角及其平面角的概念、度量，以及面面垂直的定义、判定定理和性质定理。课堂导入从已学线面垂直知识切入，通过定义辨析、定理推导构建知识支架，帮助学生衔接前后内容。 其亮点在于以数学思维为核心，通过表格对比（如判定定理的文字、图形、符号语言）和典型例题（如四棱锥中面面垂直证明）培养逻辑推理能力，结合自主诊断和跟踪训练，用数学语言精准表达空间关系，助力学生提升空间观念，也为教师提供系统的教学资源和方法指导。

第13章　立体几何初步 13.2.4　平面与平面的位置关系 第2课时　两平面垂直 苏教版 必修第二册 【课标要求】 1.理解二面角及其平面角的概念. 2.掌握两个平面互相垂直的定义和画法. 3.理解并掌握两个平面垂直的判定定理和性质定理,并能解决有关面面垂直的问题. 要点深化·核心知识提炼 知识点一　二面角 1.定义:一般地,一条直线和由这条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角,这条直线叫作二面角的棱,每个半平面叫二面角的面.如图,棱为AB,面为α,β的二面角,记作二面角α-AB-β或α-l-β或M-AB-N. 2.二面角的平面角 文字语言 图形语言 符号语言 一般地,以二面角的棱上任意一点为端点,在两个面内分别作垂直于棱的射线,这两条射线所成的角叫作二面角的平面角 若α∩β=l,OA⊂α,OB⊂β, OA⊥l,OB⊥l,则∠AOB为二面角α-l-β的平面角 3.二面角大小的度量 二面角的大小可以用它的平面角来度量,二面角的平面角是多少度,就说这个二面角是多少度.我们约定,二面角α的取值范围是0°≤α≤180°. 平面角是直角的二面角叫作直二面角. 名师点睛 1.一个二面角的平面角有无数个,它们的大小都相等. 2.当二面角的两个半平面重合时,规定二面角的大小是0°;当二面角的两个半平面合成一个平面时,规定二面角的大小是180°. 知识点二　平面与平面垂直的定义与判定 1.平面与平面垂直的定义 定义:一般地,如果两个平面所成的二面角是直二面角,那么就说这两个平面互相垂直. 表示方法:平面α与β垂直,记作α⊥β. 画法:在画两个互相垂直的平面时,通常画成图中的两种形式,此时,把直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直. 2.平面与平面垂直的判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 如果一个平面过另一个平面的垂线,那么这两个平面垂直 ⇒α⊥β 名师点睛 1.证明平面与平面垂直,只要在一个平面内找到两条相交的直线和另一个平面内的一条直线垂直即可. 2.该定理实现了把“面面垂直”问题转化为“线面垂直”问题,简记为“若线面垂直,则面面垂直”. 知识点三　平面与平面垂直的性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 两个平面垂直,如果一个平面内有一条直线垂直于这两个平面的交线,那么这条直线与另一个平面垂直 α⊥β,α∩β=l,AB⊂α,AB⊥l⇒AB⊥β 名师点睛 1.该定理的实质是由面面垂直得线面垂直. 2.平面与平面垂直的性质定理成立的条件有三个: (1)两个平面垂直,即α⊥β. (2)有一条直线在其中一个平面内,即AB⊂α. (3)这条直线垂直于两个平面的交线,即AB⊥l. 自主诊断 判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)若m⊥α,m∥n,n⊂β,则α⊥β.(　　) (2)若α⊥β,m⊂α,α∩β=n,m⊥n,则m⊥β.(　　) (3)若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β.(　　) √ √ × 题型分析·能力素养提升 【题型一】平面与平面垂直判定定理的运用 例1 [链接教材例4]如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是菱形,PC⊥平面ABCD,求证:平面PDB⊥平面PAC. 证明 ∵PC⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD, ∴PC⊥BD. ∵四边形ABCD为菱形,∴AC⊥BD, 又PC∩AC=C,PC,AC⊂平面PAC,∴BD⊥平面PAC. ∵BD⊂平面PDB,∴平面PDB⊥平面PAC. 规律方法　证明面面垂直常用的方法 (1)定义法:即说明两个半平面所成的二面角是直二面角; (2)判定定理法:在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直,即把问题转化为线面垂直; (3)性质法:两个平行平面中的一个垂直于第三个平面,则另一个也垂直于此平面. 跟踪训练1 如图,在四面体ABCD中,△ABC是正三角形,△ACD是直角三角形, ∠ABD=∠CBD,AB=BD.求证:平面ACD⊥平面ABC. 证明因为△ABC是正三角形,所以AB=BC. 又∠ABD=∠CBD,BD=BD,所以△ABD≌△CBD,从而AD=CD, 又△ACD为直角三角形,所以∠ADC=90°. 如图,取AC的中点O,连接DO,BO, 则DO⊥AC,DO=AO, 又△ABC是正三角形, 所以BO⊥AC,所以∠DOB为二面角D-AC-B的平面角. 在Rt△AOB中,BO2+OA2=AB2, 又AB=BD,所以BO2+DO2=BO2+AO2=AB2=BD2, 故∠DOB=90°,所以平面ACD⊥平面ABC. 【题型二】平面与平面垂直性质定理的运用 例2 如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,A1A=AB.若平面A1BC⊥平面A1ABB1, AB⊥BC,求证:BC⊥A1B. 证明 如图,连接AB1, 因为三棱柱ABC-A1B1C1中,四边形AA1B1B是平行四边形, 又A1A=AB,所以四边形AA1B1B是菱形,所以AB1⊥A1B. 因为平面A1BC⊥平面AA1B1B,平面A1BC∩平面AA1B1B=A1B,且AB1⊂平面AA1B1B, 所以AB1⊥平面A1BC.又BC⊂平面A1BC, 所以AB1⊥BC,又AB⊥BC,AB1∩AB=A,AB1,AB⊂平面A1ABB1, 所以BC⊥平面A1ABB1,又A1B⊂平面A1ABB1,所以BC⊥A1B. 题后反思　面面垂直的性质定理的应用思路 运用面面垂直的性质定理时,可能需作辅助线,这样把面面垂直转化为线面垂直,进而转化为线线垂直.利用面面垂直的性质定理证明线面垂直时要注意面面垂直的性质定理应用的前提条件,其中找准两平面的交线是关键. 跟踪训练2 (1)如图,直二面角α-l-β,点A∈α,AC⊥l,C为垂足,B∈β,BD⊥l,D为垂足,若AB=2,AC=BD=1,则CD的长为　　　　　.  解析 如图,连接BC, 因为二面角α-l-β为直二面角,AC⊂α,且AC⊥l, 所以AC⊥β. 又BC⊂β,所以AC⊥BC,所以BC2=AB2-AC2=3. 又BD⊥l,所以CD= (2)如图,已知点P是△ABC所在平面外的一点,且PA⊥平面ABC,平面PAC⊥平面PBC,求证:BC⊥AC. 证明 如图,在平面PAC内作AD⊥PC于点D, ∵平面PAC⊥平面PBC,AD⊂平面PAC,∴AD⊥平面PBC, 又BC⊂平面PBC,∴AD⊥BC. ∵PA⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,∴PA⊥BC. ∵AD∩PA=A,AD,PA⊂平面PAC,∴BC⊥平面PAC, 又AC⊂平面PAC,∴BC⊥AC. 【题型三】线面垂直、面面垂直的综合问题 例3 如图所示,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,底面是等腰三角形,AB=AC,D是BC的中点,侧面BB1C1C⊥底面ABC. (1)求证:AD⊥CC1; (2)过侧面BB1C1C的对角线BC1的平面交侧棱AA1于点M,若AM=MA1,求证:截面MBC1⊥侧面BB1C1C. 证明 (1)∵AB=AC,D是BC的中点,∴AD⊥BC. ∵底面ABC⊥侧面BB1C1C,底面ABC∩侧面BB1C1C=BC,AD⊂底面ABC, ∴AD⊥侧面BB1C1C, 又CC1⊂侧面BB1C1C,∴AD⊥CC1. (2)如图,延长B1A1,与BM的延长线交于点N, 连接C1N,则C1N⊂平面MBC1. ∵AA1∥BB1,AM=MA1, ∴NA1=A1B1, ∵A1B1=A1C1, ∴A1C1=A1N=A1B1, ∴C1N⊥B1C1,由已知侧面BB1C1C⊥底面ABC, ∴侧面BB1C1C⊥底面A1B1C1, 又侧面BB1C1C∩底面A1B1C1=B1C1,C1N⊂底面A1B1C1, ∴C1N⊥侧面BB1C1C, 又C1N⊂平面MBC1, ∴截面MBC1⊥侧面BB1C1C. 题后反思　垂直问题的转化关系 跟踪训练3 如图,在四棱锥A1-BCED中,DE∥BC,A1D=BD=A1E=CE=,点O为DE的中点,2DE=BC=4.点F为A1C的中点,平面A1DE⊥平面BCED. (1)求证:平面A1OB⊥平面A1OC. (2)线段OC上是否存在点G,使得OC⊥平面EFG?请说明理由. (1)证明 ∵A1D=A1E,又点O为DE的中点,∴A1O⊥DE. ∵平面A1DE⊥平面BCED,平面A1DE∩平面BCED=DE,且A1O⊂平面A1DE, ∴A1O⊥平面BCED,又CO⊂平面BCED,∴CO⊥A1O. 由题意可知四边形BCED是一个上底为2,下底为4,腰长为的等腰梯形,易求得OB=OC=2 在△OBC中,OB2+OC2=BC2,∴CO⊥BO, 又A1O∩OB=O,A1O,OB⊂平面A1OB,∴CO⊥平面A1OB,又CO⊂平面A1OC, ∴平面A1OB⊥平面A1OC. (2)解 线段OC上不存在点G,使得OC⊥平面FFG. 理由如下: 假设线段OC上存在点G,使得OC⊥平面EFG, 连接GE,GF(图略),则必有OC⊥GF,且OC⊥GE. 在Rt△A1OC中,由点F为A1C的中点,OC⊥GF,得点G为OC的中点. 在△EOC中,∵OC⊥GE.∴EO=EC.这显然与EO=1,EC=矛盾, ∴线段OC上不存在点G,使得OC⊥平面EFG. 【题型四】二面角 例 4 [链接教材例3](1)在三棱锥V-ABC中,VA=AB=VB=AC=BC=2,VC=,则二面角V-AB-C的大小为　　　　.  60° 解析 如图,取AB的中点D,连接VD,CD, ∵在△VAB中,VA=VB=AB=2, ∴△VAB为等边三角形,且VD⊥AB,VD=, 同理CD⊥AB,CD=, ∴∠VDC为二面角V-AB-C的平面角,又∵VD=CD=VC=, ∴△VDC是等边三角形,∠VDC=60°, ∴二面角V-AB-C的大小为60°.故答案为60°. (2)如图,在三棱锥S-ABC中,SA⊥底面ABC,AB⊥BC,DE垂直平分SC且分别交AC,SC于点D,E,又SA=AB,SB=BC,则二面角E-BD-C的大小为　　　　.  60° 解析 ∵SB=BC,且点E是SC的中点,∴SC⊥BE, 又SC⊥DE,BE∩DE=E,BE,DE⊂平面BDE, ∴SC⊥平面BDE,又BD⊂平面BDE,∴SC⊥BD, 又SA⊥平面ABC,BD⊂平面ABC, ∴SA⊥BD,而SC∩SA=S,SC,SA⊂平面SAC, ∴BD⊥平面SAC. ∵平面SAC∩平面BDE=DE,平面SAC∩平面BDC=DC,∴BD⊥DE,BD⊥DC, ∴∠EDC是所求二面角的平面角. ∵SA⊥底面ABC,AB,AC⊂底面ABC,∴SA⊥AB,SA⊥AC. 设SA=2,则AB=2,BC=SB=2 ∵AB⊥BC,∴AC=2, ∴在Rt△SAC中,tan∠SCA=, ∴∠SCA=30°,又DE⊥SC,∴∠EDC=60°. 即所求的二面角等于60°.故答案为60°. (3)过正方形ABCD的顶点A,作PA⊥平面ABCD,若PA=BA,则平面ABP和平面CDP所成的锐二面角的大小是　　　　　.  45° 解析 根据已知条件可将四棱锥补成如图所示的正方体,连接CE,则平面CDP和平面CPE为同一个平面,所以平面ABP∩平面CDP=PE.因为DA⊥平面ABP,且AP⊥PE,所以∠DPA为平面ABP和平面CDP所成的锐二面角,大小为45°. 规律方法　求二面角的三种常用方法 (1)定义法:在二面角的棱上找一个特殊点,在两个半平面内分别作垂直于棱的射线.如图1,则∠AOB为二面角α-l-β的平面角. 图1 图2 (2)垂面法:过棱上一点作棱的垂直平面,该平面与二面角的两个半平面产生交线,这两条交线所成的角,即为二面角的平面角.如图2,∠AOB为二面角α-l-β的平面角. 图3 (3)垂线法:过二面角的一个面内异于棱上的一点A向另一个平面作垂线,垂足为B,由点B向二面角的棱作垂线,垂足为O,连接AO.如图3,∠AOB为二面角α-l-β的平面角. 跟踪训练4 如图,平面β内一条直线AC,AC与平面α所成的角为30°,AC与棱BD所成的角为45°,求二面角α-l-β的平面角的大小. 解 如图,过点A作AF⊥BD,F为垂足,作AE⊥平面α,E为垂足,连接EF,CE, ∵AE⊥平面α,BD⊂平面α,∴AE⊥BD, 又∵AF⊥BD,且AE∩AF=A, ∴BD⊥平面AEF, 又EF⊂平面AEF,∴BD⊥EF, ∴∠AFE为二面角α-l-β的平面角. 依题意知∠ACF=45°,∠ACE=30°,设AC=2,∴AF=CF=,AE=1, ∴sin∠AFE=, ∴∠AFE=45°.∴二面角α-l-β的平面角为45°. $