13.2.4 第2课时 两平面垂直-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册教师用书word（苏教版）

本讲义聚焦高中数学“两平面垂直”核心知识点，从二面角的半平面、平面角、直二面角等概念入手，衔接面面垂直的定义，再到判定定理（线面垂直推面面垂直）和性质定理（面面垂直推线面垂直），通过基础训练与求二面角、判定、性质、综合应用等题型构建学习支架。 该资料采用梯度进阶式教学，借助长方体模型直观感知空间关系（数学眼光），通过“思维建模”总结方法（如二面角求法步骤）培养推理能力（数学思维）。课中助力教师分层教学，课后通过基础与针对训练帮助学生查漏补缺，提升用数学语言解决问题的能力。

　　第2课时　两平面垂直[教学方式：深化学习课——梯度进阶式教学] [课时目标] 1.从相关定义和基本事实出发，借助长方体，通过直观感知，了解空间中平面与平面的垂直关系. 2.了解二面角的相关概念，平面与平面垂直的定义，会求简单的二面角问题. 3.归纳出平面与平面垂直的性质定理、判定定理，并会证明平面与平面的垂直关系. 1.二面角 (1)二面角 半平面 平面内的一条直线把这个平面分成两部分，其中的每一部分都叫作半平面 二面角的相关概念 一般地，一条直线和由这条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角，这条直线叫作二面角的棱，每个半平面叫作二面角的面 画法 记法 二面角α-l-β或α-AB-β或P-l-Q或P-AB-Q (2)二面角的平面角 ①定义：一般地，以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的射线，这两条射线所成的角叫作二面角的平面角.如图，∠AOB就是二面角α-l-β的平面角. ②范围：二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度.二面角α的取值范围是0°≤α≤180°. (3)直二面角 平面角是直角的二面角叫作直二面角. 2.面面垂直的定义 定义 一般地，如果两个平面所成的二面角是直二面角，那么就说这两个平面互相垂直 画法 画两个互相垂直的平面时，通常把表示平面的两个平行四边形的一组边画成垂直.如图 记作 α⊥β 3.平面与平面垂直的判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 作用 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直 ⇒α⊥β 证面面垂直 4.平面与平面垂直的性质定理 文字语言 两个平面垂直，如果一个平面内有一条直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直 符号语言 α⊥β，α∩β=l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β 图形语言 作用 ①面面垂直⇒线面垂直； ②作平面的垂线 |微|点|助|解| (1)面面垂直的判定定理可简述为“线面垂直⇒面面垂直”.要证明平面与平面垂直，只需转化为证明直线与平面垂直，这充分说明了线面垂直与面面垂直的密切关系. (2)要判断两个平面的垂直关系，只需要固定其中一个平面，找另一个平面内的一条直线与第一个平面垂直. (3)观察空间图形时，不能以平面的观点去看待，平面上画的两直线成锐角或钝角，在空间中可能是垂直的. (4)平面与平面垂直的性质定理成立的条件有三个： ①两个平面垂直；②有一条直线在其中一个平面内；③这条直线垂直于两个平面的交线. (5)如果两个平面垂直，那么分别在这两个平面内的两条直线可能平行、相交(含垂直相交)或异面. 基础落实训练 1.判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)两个相交平面组成的图形叫作二面角. (　　) (2)异面直线a，b分别和一个二面角的两个面垂直，则a，b的夹角与这个二面角的平面角相等或互补. (　　) (3)二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成的角的最小角. (　　) (4)二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系. (　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)√ 2.已知直线l⊥平面α，则经过l且和α垂直的平面 (　　) A.有一个　　　　　　 B.有两个 C.有无数个 D.不存在 答案：C 3.若平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ，则 (　　) A.α∥γ B.α与γ相交但不垂直 C.α⊥γ D.以上都有可能 答案：D 4.如图所示，在长方体ABCD -A1B1C1D1的棱AB上任取一点E，作EF⊥A1B1于F，则EF与平面A1B1C1D1的关系是 (　　) A.平行 B.EF⊂平面A1B1C1D1 C.相交但不垂直 D.相交且垂直 答案：D 题型(一)　二面角的求法 [例1]　在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=3，BC=2，AA1=1，则二面角D1-BC-D的余弦值为 (　　) A. B. C. D. 解析：选D　在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=3，BC=2，AA1=1，∴CD1=. ∵BC⊥平面DCC1D1，CD1⊂平面DCC1D1， ∴BC⊥CD1. 又平面D1BC∩平面BCD=BC，BC⊥CD， ∴∠D1CD为二面角D1-BC-D的平面角， cos∠D1CD===. ∴二面角D1-BC-D的余弦值为.故选D. |思|维|建|模| 1.求二面角大小的步骤 (1)找出这个二面角的平面角； (2)证明这个角是二面角的平面角； (3)作出这个角所在的三角形，解这个三角形，求出角的大小. 2.确定二面角的平面角的方法 (1)定义法：在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别过该点作垂直于棱的射线. (2)垂面法：过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线的夹角，即为二面角的平面角. [针对训练] 1.如图，AB是圆的直径，PA⊥BC，C是圆上一点(不同于A，B)，且PA=AC，则二面角P-BC-A的平面角为 (　　) A.∠PAC B.∠CPA C.∠PCA D.∠CAB 解析：选C　∵C是圆上一点(不同于A，B)，AB是圆的直径，∴AC⊥BC.又PA⊥BC，AC∩PA=A，∴BC⊥平面PAC.而PC⊂平面PAC， ∴BC⊥PC.又平面ABC∩平面PBC=BC，PC∩AC=C，∴由二面角的定义，得∠PCA为二面角P-BC-A的平面角. 2.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为AB，AA1的中点，则平面CEB1与平面D1FB1所成二面角的平面角的正弦值为　　　　.  解析：设棱长为1，延长CE，D1F，DA交于一点G，如图所示，所以B1C=，B1G=，CG=，则B1C2+B1G2=CG2，故B1G⊥B1C.同理B1D1⊥B1G，则∠CB1D1即为所求二面角的平面角，而D1C=B1D1=B1C=，所以∠CB1D1=60°，其正弦值为. 答案： 题型(二)　平面与平面垂直的判定定理及其应用 [例2]　如图，斜三棱柱ABC-A1B1C1的底面是直角三角形，∠ACB=90°，点B1在底面ABC上的射影恰好是BC的中点，且BC=CA=AA1. (1)求证：平面ACC1A1⊥平面B1C1CB； (2)求证：BC1⊥AB1. 证明：(1)如图，设BC的中点为M，连接B1M. 因为点B1在底面ABC上的射影恰好是点M， 所以B1M⊥平面ABC. 又因为AC⊂平面ABC，所以B1M⊥AC. 又由BC⊥AC，B1M∩BC=M，且B1M，BC⊂平面B1C1CB，所以AC⊥平面B1C1CB. 因为AC⊂平面ACC1A1， 所以平面ACC1A1⊥平面B1C1CB. (2)连接B1C，因为AC⊥平面B1C1CB，且BC1⊂平面B1C1CB，所以AC⊥BC1. 在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，因为BC=CC1， 所以四边形B1C1CB为菱形. 所以B1C⊥BC1. 又因为B1C∩AC=C，且B1C，AC⊂平面ACB1， 所以BC1⊥平面ACB1. 因为AB1⊂平面ACB1， 所以BC1⊥AB1. |思|维|建|模| 证明面面垂直常用的方法 (1)定义法：说明两个半平面所成的二面角是直二面角，其判定的步骤： ①找出两相交平面的平面角；②证明这个平面角是直角；③根据定义，这两个相交平面互相垂直. (2)判定定理法：在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直，即把问题转化为“线面垂直”，其基本步骤： (3)性质法：两个平行平面中的一个垂直于第三个平面，则另一个也垂直于此平面. [针对训练] 3.如图，在圆锥PO中，AB是☉O的直径，C是上的点，D为AC的中点.证明：平面POD⊥平面PAC. 证明：如图，连接OC， 因为OA=OC， D是AC的中点，所以AC⊥OD. 又PO⊥底面AOC，AC⊂底面AOC，所以AC⊥PO. 因为OD，PO是平面POD内的两条相交直线，所以AC⊥平面POD. 又AC⊂平面PAC，所以平面POD⊥平面PAC. 题型(三)　平面与平面垂直的性质定理及其应用 [例3]　如图所示，平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC，AE⊥平面PBC，E为垂足. (1)求证：PA⊥平面ABC； (2)当E为△PBC的垂心时，求证：△ABC是直角三角形. 证明：(1)在平面ABC内取一点D，作DF⊥AC于F. ∵平面PAC⊥平面ABC，且交线为AC，∴DF⊥平面PAC.∵PA⊂平面PAC，∴DF⊥AP. 作DG⊥AB于G，同理可证DG⊥AP. ∵DG，DF都在平面ABC内，且DG∩DF=D， ∴PA⊥平面ABC. (2)如图，连接BE并延长，交PC于H. ∵E是△PBC的垂心， ∴PC⊥BH. 又已知AE⊥平面PBC，PC⊂平面PBC，∴PC⊥AE. ∵BH∩AE=E，∴PC⊥平面ABE. ∵AB⊂平面ABE，∴PC⊥AB. 又∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB. ∵PC∩PA=P，∴AB⊥平面PAC. ∵AC⊂平面PAC， ∴AB⊥AC， 即△ABC是直角三角形. |思|维|建|模| 面面垂直的性质定理的应用思路 　　在空间图形中，如已知条件中有面面垂直，一般需要作辅助线，考虑应用面面垂直的性质定理得到线面垂直，继而可得线线垂直.在运用面面垂直的性质定理时，找准两平面的交线是关键. [提醒]　在证明垂直问题时，要注意题中隐含的垂直关系，如等腰三角形的底边上的高、中线和顶角的角平分线三线合一、矩形的内角、直径所对的圆周角、菱形的对角线互相垂直、直角三角形(或给出线段长度，经计算满足勾股定理)、直角梯形等等. 　　[针对训练] 4.已知长方体ABCD-A1B1C1D1，在平面AA1B1B上任取一点M，作ME⊥AB于点E，则 (　　) A.ME⊥平面ABCD B.ME⊂平面ABCD C.ME∥平面ABCD D.以上都有可能 解析：选A　∵ME⊂平面AA1B1B，平面AA1B1B∩平面ABCD=AB，且平面AA1B1B⊥平面ABCD，ME⊥AB，∴ME⊥平面ABCD. 5.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=∠AA1C=90°，平面AA1C1C⊥平面ABC. (1)求证：AA1⊥A1B； (2)若AA1=2，BC=3，∠A1AC=60°，求点C到平面A1ABB1的距离. 解：(1)证明：因为平面AA1C1C⊥平面ABC，平面AA1C1C∩平面ABC=AC，BC⊥AC， 所以BC⊥平面AA1C1C. 又AA1⊂平面AA1C1C， 所以BC⊥AA1. 因为∠AA1C=90°，所以AA1⊥A1C. 又BC∩A1C=C，所以AA1⊥平面A1BC. 又A1B⊂平面A1BC，所以AA1⊥A1B. (2)由(1)可知A1A⊥平面A1BC，A1A⊂平面A1ABB1， 所以平面A1BC⊥平面A1ABB1，且交线为A1B. 所以点C到平面A1ABB1的距离等于△CA1B的边A1B上的高，设其为h. 在Rt△AA1C中，A1A=2，∠A1AC=60°， 则A1C=2. 由(1)得BC⊥A1C， 所以在Rt△A1CB中，BC=3，A1B=， h===. 故点C到平面A1ABB1的距离为. 题型(四)　线面位置关系的综合问题 [例4]　如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA=PD，E，F分别为AD，PB的中点.求证： (1)PE⊥BC； (2)平面PAB⊥平面PCD； (3)EF∥平面PCD. 证明：(1)因为PA=PD，E为AD的中点， 所以PE⊥AD. 因为底面ABCD为矩形，所以BC∥AD. 所以PE⊥BC. (2)因为底面ABCD为矩形，所以AB⊥AD. 又因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，AB⊂平面ABCD， 所以AB⊥平面PAD. 又因为PD⊂平面PAD，所以AB⊥PD. 又因为PA⊥PD，且PA∩AB=A， 所以PD⊥平面PAB. 又因为PD⊂平面PCD， 所以平面PAB⊥平面PCD. (3)如图，取PC中点G，连接FG，DG. 因为F，G分别为PB，PC的中点， 所以FG∥BC，FG=BC. 因为底面ABCD为矩形，且E为AD的中点， 所以DE∥BC，DE=BC. 所以DE∥FG，DE=FG. 所以四边形DEFG为平行四边形. 所以EF∥DG. 又因为EF⊄平面PCD，DG⊂平面PCD， 所以EF∥平面PCD. |思|维|建|模| (1)在解决垂直问题的过程中，要注意平面与平面垂直的判定定理和性质定理的联合交替使用，即注意面面垂直和线面垂直的互相转化. (2)在应用线面平行、垂直的判定定理和性质定理证明有关问题时，除了运用转化思想，还应注意寻找线面平行、垂直所需的条件. 平行、垂直的转化 [针对训练] 6.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，点E在棱PC上(异于点P，C)，平面ABE与棱PD交于点F. (1)求证：AB∥EF； (2)若AF⊥EF，求证：平面PAD⊥平面ABCD. 证明：(1)因为四边形ABCD是矩形， 所以AB∥CD. 又AB⊄平面PDC，CD⊂平面PDC， 所以AB∥平面PDC. 又AB⊂平面ABE，平面ABE∩平面PDC=EF，所以AB∥EF. (2)因为四边形ABCD是矩形，所以AB⊥AD. 因为AF⊥EF，(1)中已证AB∥EF， 所以AB⊥AF. 由点E在棱PC上(异于点C)， 所以点F异于点D. 又AF∩AD=A，AF，AD⊂平面PAD. 所以AB⊥平面PAD. 又AB⊂平面ABCD， 所以平面PAD⊥平面ABCD. 学科网（北京）股份有限公司 $