13.2.4平面与平面的位置关系（第1课时　两平面平行）课件-2025-2026学年高一下学期数学苏教版必修第二册

该高中数学课件聚焦平面与平面平行的判定定理、性质定理及距离概念，通过复习线面平行知识作为学习支架，引导学生从线面平行过渡到面面平行，构建立体几何平行关系的知识脉络。 其亮点在于知识点采用表格整合文字、图形、符号语言，题型分析结合正方体、三棱柱等实例，培养学生用数学眼光观察空间形式。通过自主诊断正误判断和规律方法总结，发展数学思维推理能力，帮助学生夯实基础，教师可借助结构化资源提升教学效率。

第13章　立体几何初步 13.2.4　平面与平面的位置关系 第1课时　两平面平行 苏教版 必修第二册 【课标要求】 1.理解并掌握平面与平面平行的判定定理. 2.理解并掌握平面与平面平行的性质定理. 3.能够应用平面与平面平行的判定定理和性质定理证明相关问题. 4.理解两个平行平面间的距离的概念. 要点深化·核心知识提炼 知识点一　平面与平面的位置关系 位置关系 图形表示 符号表示 公共点 两平面平行 α∥β 没有公共点 两平面相交 α∩β=l 有一条公共直线 知识点二　两平面平行的判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,那么这两个平面平行 若a⊂α,b⊂α,a∩b=A,且a∥β,b∥β,则α∥β 名师点睛 1.用该定理判定平面α和平面β平行时,必须满足: (1)平面α内两条相交直线a,b,即a⊂α,b⊂α,a∩b=A. (2)两条相交直线a,b都与β平行,即a∥β,b∥β. 2.定理充分体现了等价转化的思想,即把面面平行转化为线面平行,可概述为线面平行⇒面面平行. 知识点三　平面和平面平行的性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 两个平面平行,如果另一个平面与这两个平面相交,那么两条交线平行 若α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b,则a∥b 名师点睛 1.面面平行的性质定理也是线线平行的判定定理. 2.已知两个平面平行,虽然一个平面内的任何直线都平行于另一个平面,但是这两个平面内的所有直线并不一定都相互平行,它们可能是平行直线,也可能是异面直线,但不可能是相交直线(否则将导致这两个平面有公共点). 3.两个平面平行的其他性质 (1)两个平面平行,其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面. (2)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行. (3)如果两个平面分别平行于第三个平面,那么这两个平面互相平行. 知识点四　两个平行平面间的距离 1.公垂线(段) 与两个平行平面都垂直的直线,叫作这两个平行平面的公垂线,它夹在这两个平行平面间的线段,叫作这两个平行平面的公垂线段. 2.两个平行平面间的距离 两个平行平面的公垂线段都相等,我们把公垂线段的长度叫作两个平行平面间的距离. 名师点睛 1.两平行平面间的公垂线有无数条. 2.两个平行平面间的距离等于其中一个平面上任意一点到另一个平面的距离,则求两个平行平面间的距离可转化为求点面距离. 自主诊断 判断正误.(正确的画√,错误的画×) 直线m,l是两条不同的直线,平面α,β是两个不同的平面. (1)若m∥l,l∥α,则m∥α.(　　) (2)若l∥β,m∥β,l⊂α,m⊂α,则α∥β.(　　) (3)若l∥m,l⊂α,m⊂β,则α∥β.(　　) (4)若l∥β,m∥β,l⊂α,m⊂α,l∩m=M,则α∥β.(　　) × × × √ 题型分析·能力素养提升 【题型一】平面与平面平行判定定理的运用 例 1 (1)平面α与平面β平行的充分条件可以是(　　) A.α内有无穷多条直线都与β平行 B.直线m⊄α,m⊄β,且m∥α,m∥β C.直线m⊂α,直线n⊂β,且m∥β,n∥α D.α内的任何一条直线都与β平行 D 解析 对于A,若α内有无穷多条直线都与β平行,则α,β平行或相交,故充分性不成立,故A错误; 对于B,如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,C1D1∥平面ABCD,C1D1∥平面ABB1A1,而平面ABB1A1∩平面ABCD=AB,充分性不成立,故B错误; 对于C,如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,A1B1⊂平面ABB1A1,且A1B1∥平面ABCD,CD⊂平面ABCD,且CD∥平面ABB1A1,而平面ABB1A1∩平面ABCD=AB,充分性不成立,故C错误; 对于D,由面面平行的定义知能推出平面α与平面β平行,充分性成立,故D正确.故选D. (2)[链接教材例1]如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F,G,H分别为AB,AC, A1B1,A1C1的中点.求证: ①B,C,H,G四点共面; ②平面EFA1∥平面BCHG. 证明 ①∵G,H分别为A1B1,A1C1的中点,∴GH∥B1C1. 又B1C1∥BC,∴GH∥BC.∴B,C,H,G四点共面. ②∵点E,F分别为AB,AC的中点,∴EF∥BC. ∵EF⊄平面BCHG,BC⊂平面BCHG, ∴EF∥平面BCHG. ∵点G,E分别为A1B1,AB的中点,A1B1 AB, ∴A1G EB, ∴四边形A1EBG是平行四边形,∴A1E∥GB. ∵A1E⊄平面BCHG,GB⊂平面BCHG, ∴A1E∥平面BCHG. ∵A1E∩EF=E,A1E,EF⊂平面EFA1, ∴平面EFA1∥平面BCHG. 规律方法　判定平面与平面平行的常用方法 (1)利用定义:证明两个平面没有公共点,有时直接证明非常困难,往往采用反证法. (2)利用判定定理:要证明两个平面平行,只需在其中一个平面内找两条相交直线,分别证明它们平行于另一个平面,或在一个平面内找到两条相交的直线分别与另一个平面内两条相交的直线平行. (3)平面平行的传递性:即若两个平面都平行于第三个平面,则这两个平面互相平行. 跟踪训练1 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点O为底面ABCD的中心,点P为DD1的中点,点Q为CC1的中点.证明:平面D1BQ∥平面PAO. 明 由题意可得,点O,P分别为BD,DD1的中点,则OP∥BD1. 又OP⊄平面D1BQ,BD1⊂平面D1BQ,∴OP∥平面D1BQ. 如图,连接PQ,由题意可得,点P,Q分别为DD1,CC1的中点,则PQ CD. ∵AB CD,∴AB PQ, 故四边形ABQP为平行四边形,则AP∥BQ, 又AP⊄平面D1BQ,BQ⊂平面D1BQ, ∴AP∥平面D1BQ, 又OP∩AP=P,OP,AP⊂平面PAO, 故平面D1BQ∥平面PAO. 【题型二】平面与平面平行性质定理的运用 例2 如图,四边形ABCD是平行四边形,点E,F,G分别为线段BC,PB,AD的中点. (1)证明:EF∥平面PAC; (2)若AE∩BD=N,CG∩BD=M,证明:FN∥PM. 证明 (1)∵点E,F分别是BC,BP中点, ∴EFPC. ∵PC⊂平面PAC,EF⊄平面PAC, ∴EF∥平面PAC. (2)∵四边形ABCD为平行四边形,点E,G分别为BC,AD的中点,∴EC AG, ∴四边形AECG为平行四边形,∴AE􀱀CG, 又AE⊄平面PCG,CG⊂平面PCG,∴AE∥平面PCG. 由(1)得EF∥PC,EF⊄平面PCG,PC⊂平面PCG,∴EF∥平面PCG, 又∵AE∩EF=E,AE,EF⊂平面AEF, ∴平面AEF∥平面PCG, ∵平面PBD∩平面AEF=FN,平面PBD∩平面PCG=PM,∴FN∥PM. 题后反思　性质定理应用的注意事项 面面平行的性质定理是由面面平行得到线线平行.证明线线平行的关键是把要证明的直线看作是平面的交线,所以构造三个平面,即两个平行平面和一个经过两直线的平面,有时需要添加辅助面. 跟踪训练2 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,作截面EFGH交C1D1,A1B1,AB,CD分别于点E,F,G,H,则四边形EFGH的形状一定为(　　) A.平行四边形 B.菱形 C.矩形 D.梯形 A 解析 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,可得平面ABCD∥平面A1B1C1D1, 因为平面EFGH∩平面ABCD=GH,平面EFGH∩平面A1B1C1D1=EF,所以EF∥GH, 同理可证EH∥FG,所以四边形EFGH的形状一定为平行四边形.故选A. 【题型三】线面平行、面面平行的综合问题 例3 [链接教材练习,T4]如图,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,D,D1分别为AC,A1C1上的点. (1)当=1时,求证:BC1∥平面AB1D1; (2)若平面BC1D∥平面AB1D1,求的值,并说明理由. (1)证明 当=1时,D1为A1C1的中点,连接A1B交AB1于点O,连接D1O(图略), 由棱柱的性质知,四边形A1ABB1为平行四边形,所以点O为A1B的中点. 所以在△A1BC1中,O,D1分别为A1B,A1C1的中点,可得OD1∥BC1,又OD1⊂平面AB1D1,BC1⊄平面AB1D1,所以BC1∥平面AB1D1. (2)解 由已知,平面AB1D1∥平面BC1D, 且平面A1BC1∩平面BC1D=BC1, 平面A1BC1∩平面AB1D1=D1O, 所以BC1∥D1O,同理AD1∥DC1,则,又=1,所以=1,即=1. 题后反思　线线平行、线面平行、面面平行是一个有机的整体,平行关系的判定定理、性质定理是转化平行关系的关键,其内在联系如图所示: 跟踪训练3 (1)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2BC=2CC1=4,E,F分别为BC,CC1的中点,点P在矩形BCC1B1内运动(包括边界),若A1P∥平面AEF,则动点P的轨迹长度为(　　) A.2 B. C.2 D.2 B 解析 如图,取BB1的中点M,B1C1的中点N,连接MN,A1M,A1N,根据长方体的结构特征,易得EF∥MN,A1N∥AE,因为MN⊄平面AEF,EF⊂平面AEF, 所以MN∥平面AEF,同理A1N∥平面AEF,又A1N∩MN=N,A1N,MN⊂平面A1MN, 所以平面A1MN∥平面AEF,又A1P∥平面AEF,且A1∈平面A1MN,所以A1P⊂平面A1MN,即点P在平面A1MN与平面BCC1B1的交线MN上,由题可知MN=,所以动点P的轨迹长度为 故选B. (2)已知夹在两平行平面α,β之间的线段AB=8,且线段AB与平面α所成角为45°,则α与β之间的距离是　　　　.  4 解析 如图,过A作AA'⊥平面α交α于点A',连接A'B,则A'B为AB在平面α内的射影,所以∠ABA'为AB与平面α所成的角,即∠ABA'=45°. 在Rt△ABA'中,AB=8,AA'=AB·sin∠ABA'=8=4,又因为α∥β,所以AA'⊥β,所以线段AA'的长即为α与β之间的距离,所以α与β之间的距离为4 $