13.2.4 第1课时 两平面平行 课件-2024-2025学年高一下学期数学苏教版（2019）必修第二册

数学 第13章　立体几何初步 13．2　基本图形位置关系 13.2.4　平面与平面的位置关系 第1课时　两平面平行 01 自主学习 02 讲练互动 03 当堂达标 04 巩固提升 学习指导 核心素养 1.了解两个平面的位置关系． 2.理解平面与平面平行的定义，会用图形语言、文字语言、符号语言准确描述平面与平面平行的判定定理，会用平面与平面平行的判定定理证明空间面面位置关系． 3.理解并能证明平面与平面平行的性质定理，能利用平面与平面平行的性质定理解决有关的平行问题． 4.了解两个平行平面间的距离． 直观想象、逻辑推理：平面与平面平行的判定、平面与平面平行的性质． 1．两个平面的位置关系 位置关系 两平面平行 两平面相交 公共点 没有公共点 有一条公共直线 符号表示 α∥β α∩β＝l 图形表示 自主学习 3 2.两个平面平行的判定定理 文字语言 如果一个平面内的______________与另一个平面平行，那么这两个平面平行 符号语言 ______________________________________⇒α∥β 图形语言 两条相交直线 a⊂α，b⊂α，a∩b＝A且a∥β，b∥β (1)平面与平面平行的判定定理中的平行于一个平面内的“两条相交直 线”是必不可少的． (2)面面平行的判定定理充分体现了等价转化思想，即把面面平行转化为线面平行． 3．两个平面平行的性质定理 文字语言 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线______ 符号语言 α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒______ 图形语言 平行 a∥b 1．应用两平面平行的性质定理的条件是什么？ 提示：用两平面平行的性质定理判断直线a与b平行时，必须具备三个条件： ①平面α和平面β平行，即α∥β； ②平面γ和α相交，即α∩γ＝a； ③平面γ和β相交，即β∩γ＝b. 以上三个条件缺一不可． 2．如果平面α∥平面β，且a⊂α，b⊂β，是否有a∥b成立？ 提示：不一定．已知两个平面平行，虽然一个平面内的任何直线都平行于另一个平面，但是这两个平面内的所有直线并不一定相互平行，它们可能是平行直线，也可能是异面直线，但不可能是相交直线． 3．由面面平行能推出线面平行吗？ 提示：能，两个平面平行，其中一个平面内的任何直线与另一个平面平行． 4．公垂线、公垂线段 与两个平行平面都垂直的直线，叫作这两个平行平面的________，它夹在这两个平行平面间的线段，叫作这两个平行平面的__________；我们把公垂线段的长度叫作两个平行平面间的______． 公垂线 公垂线段 距离 两个平行平面间的公垂线段都相等． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)如果一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行．(　　) (2)若α∥β，则平面α内有无数条互相平行的直线平行于平面β.(　　) (3)如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线与另一个平面内的直线异面．(　　) × × √ 2．若一个平面内的两条直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则这两个平面的位置关系是(　　) A．一定平行　　　　　 B．一定相交 C．平行或相交 D．以上判断都不对 √ 3．下列命题正确的是(　　) A．若直线a⊂平面α，直线a∥平面β，则α∥β B．若直线a∥直线b，直线a∥平面α，则直线b∥平面α C．若直线a∥直线b，直线b⊂平面α，则直线a∥平面α D．若直线a与直线b是异面直线，直线a⊂α，则直线b有可能与α平行 √ 4．如图是长方体被一平面所截得的几何体，四边形EFGH为截面，则四边形EFGH的形状为________． 解析：因为平面ABFE∥平面CDHG， 又平面EFGH∩平面ABFE＝EF， 平面EFGH∩平面CDHG＝HG， 所以EF∥HG. 同理EH∥FG. 所以四边形EFGH的形状是平行四边形． 答案：平行四边形 探究点1　两个平面平行的判定 　 如图所示，已知正方体ABCDA1B1C1D1. (1)求证：平面A1BD∥平面B1D1C； (2)若E，F分别是AA1，CC1的中点，求证：平面EB1D1∥平面FBD. 讲练互动 (2)由BD∥B1D1， 得BD∥平面EB1D1. 取BB1的中点G， 连接AG，GF， 易得AE∥B1G， 又因为AE＝B1G， 所以四边形AEB1G是平行四边形， 所以B1E∥AG. 易得GF∥AD，又因为GF＝AD， 所以四边形ADFG是平行四边形， 所以AG∥DF，所以B1E∥DF， 所以DF∥平面EB1D1. 又因为BD∩DF＝D， 所以平面EB1D1∥平面FBD. 证明两个平面平行的方法 (1)要证明两平面平行，只需在其中一个平面内找到两条相交直线平行于另一个平面即可． (2)判定两个平面平行与判定线面平行一样，应遵循先找后作的原则，即先在一个面内找到两条与另一个平面平行的相交直线，若找不到再作辅助线．　 　 已知四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形．点M，N，Q分别在PA，BD，PD上，且PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD，求证：平面MNQ∥平面PBC. 证明：因为PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD， 所以MQ∥AD，NQ∥BP， 而BP⊂平面PBC，NQ⊄平面PBC， 所以NQ∥平面PBC， 又因为四边形ABCD为平行四边形， 所以BC∥AD， 所以MQ∥BC. 而BC⊂平面PBC，MQ⊄平面PBC， 所以MQ∥平面PBC. 又MQ∩NQ＝Q，所以平面MNQ∥平面PBC. 探究点2　两个平面平行的性质定理的应用 　 如图所示，两条异面直线BA，DC与两平行平面α，β分别交于点B，A和D，C，点M，N分别是AB，CD的中点，求证：MN∥平面α. 【证明】　如图，过点A作AE∥CD交α于点E，取AE的中点P，连接 MP，PN，BE，ED，AC. 因为AE∥CD，所以AE，CD确定平面AEDC. 则平面AEDC∩α＝DE，平面AEDC∩β＝AC， 因为α∥β，所以AC∥DE. 又P，N分别为AE，CD的中点， 所以PN∥DE，PN⊄α，DE⊂α，所以PN∥α. 又M，P分别为AB，AE的中点， 所以MP∥BE，且MP⊄α，BE⊂α. 所以MP∥α，因为MP∩PN＝P， 所以平面MPN∥α. 又MN⊂平面MPN，所以MN∥平面α. 应用平面与平面平行性质定理的基本步骤 [提醒]　面面平行性质定理的实质：面面平行⇒线线平行，体现了转化思想．与判定定理交替使用，可实现线面、线线、面面平行间的相互转 化．　 如图，已知α∥β，点P是平面α，β外的一点(不在α与β之间),直线PB，PD分别与α，β相交于点A，B和C，D. (1)求证：AC∥BD； (2)已知PA＝4 cm，AB＝5 cm，PC＝3 cm，求PD的长． 解：(1)证明：因为PB∩PD＝P，所以直线PB和PD确定一个平面γ，则α∩γ＝AC，β∩γ＝BD.又α∥β，所以AC∥BD. 探究点3　平行关系的综合应用 在正方体ABCDA1B1C1D1中，如图． (1)求证：平面AB1D1∥平面C1BD； (2)试找出体对角线A1C与平面AB1D1和平面C1BD的交点E，F，并证明：A1E＝EF＝FC. (2)如图，连接A1C1交B1D1于点O1，连接A1C，连接AO1与A1C交于点E. 又因为AO1⊂平面AB1D1，所以点E也在平面AB1D1内，所以点E就是A1C与平面AB1D1的交点； 连接AC交BD于点O，连接C1O与A1C交于点F，则点F就是A1C与平面C1BD的交点．证明A1E＝EF＝FC的过程如下： 因为平面A1C1C∩平面AB1D1＝EO1， 平面A1C1C∩平面C1BD＝C1F， 平面AB1D1∥平面C1BD，所以EO1∥C1F. 在△A1C1F中，O1是A1C1的中点， 所以E是A1F的中点，即A1E＝EF；同理可证OF∥AE， 所以F是CE的中点， 即CF＝FE，所以A1E＝EF＝FC. 两个平面平行的判定定理与性质定理实现了直线与直线平行、直线与平面平行、平面与平面平行的相互转化．　 　 如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G分别为B1C1，A1B1，AB的中点． (1)求证：平面A1C1G∥平面BEF； (2)若平面A1C1G∩BC＝H，求证： H为BC的中点． 证明：(1)如图，因为E，F分别为B1C1，A1B1的中点， 所以EF∥A1C1， 因为A1C1⊂平面A1C1G，EF⊄平面A1C1G， 所以EF∥平面A1C1G， 又F，G分别为A1B1，AB的中点，所以A1F＝BG， 又A1F∥BG，所以四边形A1GBF为平行四边形，则BF∥A1G， 因为A1G⊂平面A1C1G，BF⊄平面A1C1G，所以BF∥平面A1C1G， 又EF∩BF＝F，所以平面A1C1G∥平面BEF. (2)因为平面ABC∥平面A1B1C1，平面A1C1G∩平面A1B1C1＝A1C1， 平面A1C1G与平面ABC有公共点G，则有经过G的直线，设交BC＝H， 则A1C1∥GH，得GH∥AC， 因为G为AB的中点，所以H为BC的中点． 1．(多选)设a，b是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则α∥β的一个充分条件是(　　) A．存在一条直线a，a∥α，a∥β B．存在一条直线a，a⊂α，a∥β C．存在一个平面γ，满足α∥γ，β∥γ D．存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α √ √ 当堂达标 解析：对于选项A，若存在一条直线a，a∥α，a∥β则α∥β或α与β相交．若α∥β则存在一条直线a，使得a∥α，a∥β，所以选项A的内容是α∥β的一个必要条件； 同理，选项B的内容也是α∥β的一个必要条件而不是充分条件； 对于选项C，平行于同一个平面的两个平面显然是平行的，故选项C的内容是α∥β的一个充分条件； 对于选项D，可以通过平移把两条异面直线平移到其中一个平面中，成为相交直线，则有α∥β，所以选项D的内容是α∥β的一个充分条件．故选CD． 2．下列四个正方体图形中，A，B，C分别为所在棱的中点，则能得出平面ABC∥平面DEF的是(　　) √ 解析：对于B，可直观判断平面ABC∥平面DEF.证明如下：如图，连接MN，PN， 因为A，B，C分别为所在棱的中点， 所以AB∥MN，AC∥PN，因为MN∥DE，PN∥EF， 所以AB∥DE，AC∥EF， 因为AB∩AC＝A，DE∩EF＝E，AB，AC⊂平面ABC，DE，EF⊂平面DEF，所以平面ABC∥平面DEF. 3.如图所示，P是△ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，α分别交线段PA，PB，PC于A′，B′，C′，若PA′∶AA′＝2∶3，则S△A′B′C′∶S△ABC＝ (　　) A．2∶25　　　　　　　 B．4∶25 C．2∶5 D．4∶5 √ 解析：因为平面α∥平面ABC，平面PAB与它们的交线分别为A′B′，AB， 所以AB∥A′B′， 同理B′C′∥BC， 易得△ABC∽△A′B′C′， 4．如图所示，在直四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，底面ABCD是梯形，AB∥CD，CD＝2AB，P，Q分别是CC1，C1D1的中点，求证：平面AD1C∥平面BPQ. 因为Q，P分别为D1C1，C1C的中点，所以QP∥D1C. 因为D1C∩D1A＝D1，QP∩QB＝Q， 所以平面AD1C∥平面BPQ. 本部分内容讲解结束 $$